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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc b/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc
index 64531c5..b15f476 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc
@@ -6,6 +6,10 @@
 
 CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex				\
+	chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex				\
+	chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex				\
 	chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex			\
 	chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex			\
+	chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex			\
+	chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex			\
 	chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/Makefile b/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..543ef65
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/Makefile
@@ -0,0 +1,8 @@
+#
+# Makefile -- Berechnungen für Beispiel durchführen
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	
+	octave i.m
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/i.m b/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/i.m
new file mode 100644
index 0000000..353e3a2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/i.m
@@ -0,0 +1,65 @@
+#
+# i.m -- invariante
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+A0 = [
+  2, 1, 0, 0;
+  0, 2, 1, 0;
+  0, 0, 2, 0;
+  0, 0, 0, 3
+];
+
+# find a 3x3 matrix in SL(3,Z)
+
+function retval = zufallswert()
+	x = round(rand() * 10) - 2;
+	if (x >= 0)
+		x = x + 1;
+	endif
+	retval = x;
+end
+
+function	retval = zufallsmatrix(n)
+	retval = zeros(n, n);
+	for i = (1:n)
+		for j = (1:n)
+			retval(i,j) = zufallswert();
+		end
+	end
+end
+
+function	retval = regulaer(n)
+	d = 0;
+	do
+		retval = zufallsmatrix(2);
+		d = det(retval);
+	until (d == 1);
+end
+
+function	retval = eingebettet(n,k)
+	retval = eye(n);
+	retval(k:k+1,k:k+1) = regulaer(2);
+end
+
+format long
+
+B = eye(4);
+B = B * eingebettet(4,3)
+B = B * eingebettet(4,1)
+B = B * inverse(eingebettet(4,2))
+#B = B * eingebettet(4,2)
+
+B
+inverse(B)
+
+A = round(B * A0 * inverse(B))
+
+D = A - 2 * eye(4)
+rank(D)
+
+E = round(D*D*D*D)
+rank(E')
+
+rref(E)
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/jp.maxima b/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/jp.maxima
new file mode 100644
index 0000000..a80a0a2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/jp.maxima
@@ -0,0 +1,19 @@
+/*
+ * jp.maxima -- potenzen von Jordan-Blöcken
+ *
+ * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+
+A: matrix(
+[lambda,     1,     0,     0,     0,     0 ],
+[     0,lambda,     1,     0,     0,     0 ],
+[     0,     0,lambda,     1,     0,     0 ],
+[     0,     0,     0,lambda,     1,     0 ],
+[     0,     0,     0,     0,lambda,     1 ],
+[     0,     0,     0,     0,     0,lambda ]
+);
+B: A.A;
+B: B.A;
+B: B.A;
+B: B.A;
+B: B.A;
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/n.m b/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/n.m
new file mode 100644
index 0000000..af0219b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/n.m
@@ -0,0 +1,55 @@
+#
+# n.m -- Polynome mit dem gleichen Wert von p(A)
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+A0 = [
+  2, 1, 0;
+  0, 2, 0;
+  0, 0, 3
+];
+
+# find a 3x3 matrix in SL(3,Z)
+
+function retval = zufallswert()
+	x = round(rand() * 10) - 2;
+	if (x >= 0)
+		x = x + 1;
+	endif
+	retval = x;
+end
+
+function	retval = zufallsmatrix(n)
+	retval = zeros(n, n);
+	for i = (1:n)
+		for j = (1:n)
+			retval(i,j) = zufallswert();
+		end
+	end
+end
+
+function	retval = regulaer(n)
+	d = 0;
+	do
+		retval = zufallsmatrix(2);
+		d = det(retval);
+	until (d == 1);
+end
+
+function	retval = eingebettet(n,k)
+	retval = eye(n);
+	retval(k:k+1,k:k+1) = regulaer(2);
+end
+
+format long
+
+B = eye(3);
+B = B * eingebettet(3,2)
+B = B * eingebettet(3,1)
+
+B
+inverse(B)
+
+A = round(B * A0 * inverse(B))
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/n.maxima b/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/n.maxima
new file mode 100644
index 0000000..9ed83b6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/beispiele/n.maxima
@@ -0,0 +1,20 @@
+/*
+ * n.maxima
+ *
+ * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+A: matrix(
+ [  1,  9, -4 ],
+ [ -1,  3,  0 ],
+ [ -2,  0,  3 ]
+);
+
+p: expand(charpoly(A,x));
+factor(p);
+
+A.A;
+A.A.A;
+
+A.A - 5*A;
+
+A.A.A -7*A.A +16 *A;
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
index 95665f7..e769b38 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
 %
-% chapter.tex -- Kapitel über eigenwerte und eigenvektoren
+% chapter.tex -- Kapitel über Eigenwerte und Eigenvektoren
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
@@ -7,9 +7,42 @@
 \label{buch:chapter:eigenwerte-und-eigenvektoren}}
 \lhead{Eigenwerte und Eigenvektoren}
 \rhead{}
+Die algebraischen Eigenschaften einer Matrix $A$ sind eng mit der
+Frage nach linearen Beziehungen unter den Potenzen von $A^k$ verbunden.
+Im Allgemeinen ist die Berechnung dieser Potenzen eher unübersichtlich,
+es sei denn, die Matrix hat eine spezielle Form.
+Die Potenzen einer Diagonalmatrix erhält man, indem man die Diagonalelemente
+potenziert.
+Auch für Dreiecksmatrizen ist mindestens die Berechnung der Diagonalelemente
+von $A^k$ einfach.
+Die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren ermöglicht, Matrizen in
+eine solche besonders einfache Form zu bringen.
 
+In Abschnitt~\ref{buch:section:grundlagen} werden die grundlegenden
+Definitionen der Eigenwerttheorie in Erinnerung gerufen.
+Damit kann dann in Abschnitt~\ref{buch:section:normalformen}
+gezeigt werden, wie Matrizen in besonders einfache Form gebracht
+werden können.
+Die Eigenwerte bestimmen auch die Eigenschaften von numerischen
+Algorithmen, wie in den Abschnitten~\ref{buch:section:spektralradius}
+und \ref{buch:section:numerisch} dargestellt wird.
+Für viele Funktionen kann man auch den Wert $f(A)$ berechnen, unter
+geeigneten Voraussetzungen an den Spektralradius.
+Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben.
 
-\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex}
+
+\input{chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex}
+\input{chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex}
 \input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex}
+\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex}
 \input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex}
 
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{4001}
+\uebungsaufgabe{4002}
+\uebungsaufgabe{4003}
+\end{uebungsaufgaben}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex
new file mode 100644
index 0000000..d984452
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex
@@ -0,0 +1,1002 @@
+%
+% grundlagen.tex -- Grundlagen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Grundlagen
+\label{buch:section:grundlagen}}
+\rhead{Grundlagen}
+Die Potenzen $A^k$ sind besonders einfach zu berechnen, wenn die Matrix
+Diagonalform hat, wenn also $A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$
+ist.
+In diesem Fall ist $Ae_k=\lambda_k e_k$ für jeden Standardbasisvektor $e_k$.
+Statt sich auf Diagonalmatrizen zu beschränken könnten man also auch
+Vektoren $v$ suchen, für die gilt $Av=\lambda v$, die also von $A$ nur
+gestreckt werden.
+Gelingt es, eine Basis aus solchen sogenanten {\em Eigenvektoren} zu finden,
+dann kann man die Matrix $A$ durch Basiswechsel in diese Form bringen.
+
+%
+% Kern und Bild von Matrixpotenzen
+%
+\subsection{Kern und Bild von Matrixpotenzen
+\label{buch:subsection:kern-und-bild}}
+In diesem Abschnitt ist $A\in M_n(\Bbbk)$, $A$ beschreibt eine lineare
+Abbildung $f\colon\Bbbk^n\to \Bbbk^n$.
+In diesem Abschnitt sollen Kern und Bild der Potenzen $A^k$ untersucht
+werden.
+\begin{definition}
+Wir bezeichnen Kern und Bild der iterierten Abbildung $A^k$ mit
+\[
+\mathcal{K}^k(A)
+=
+\ker A^k
+\qquad\text{und}\qquad
+\mathcal{J}^k(A)
+=
+\operatorname{im} A^k.
+\]
+\end{definition}
+
+Durch Iteration wird das Bild immer kleiner.
+Wegen
+\[
+\mathcal{J}^k (A)
+=
+\operatorname{im} A^k
+=
+\operatorname{im} A^{k-1} A
+=
+\{ A^{k-1} Av\;|\; v \in \Bbbk^n\}
+\subset
+\{ A^{k-1} v\;|\; v \in \Bbbk^n\}
+=
+\mathcal{J}^{k-1}(A)
+\]
+folgt
+\begin{equation}
+\Bbbk^n
+=
+\operatorname{im}E
+=
+\operatorname{im}A^0
+=
+\mathcal{J}^0(A)
+\supset
+\mathcal{J}^1(A)
+=
+\operatorname{im}A
+\supset
+\mathcal{J}^2(A)
+\supset\dots\supset
+\mathcal{J}^k(A)
+\supset
+\mathcal{J}^{k+1}(A)
+\supset \dots \supset
+\{0\}.
+\label{buch:eigenwerte:eqn:Jkchain}
+\end{equation}
+Für die Kerne gilt etwas Ähnliches.
+Ein Vektor $x\in \mathcal{K}^k(A)$ erfüllt $A^kx=0$.
+Dann erfüllt er aber erst recht auch
+\[
+A^{k+1}x=A\underbrace{A^kx}_{\displaystyle=0}=0,
+\]
+also ist $x\in\mathcal{K}^k(A)$.
+Es folgt
+\begin{equation}
+\{0\}
+=
+\mathcal{K}^0(A) = \ker A^0 = \ker E
+\subset
+\mathcal{K}^1(A) = \ker A
+\subset
+\dots
+\subset
+\mathcal{K}^k(A)
+\subset
+\mathcal{K}^{k+1}(A)
+\subset
+\dots
+\subset
+\Bbbk^n.
+\label{buch:eigenwerte:eqn:Kkchain}
+\end{equation}
+Neben diesen offensichtlichen Resultaten kann man aber noch mehr
+sagen.
+Es ist klar, dass in beiden Ketten
+\label{buch:eigenwerte:eqn:Jkchain}
+und
+\label{buch:eigenwerte:eqn:Kkchain}
+nur in höchstens $n$ Schritten eine wirkliche Änderung stattfinden 
+kann.
+Man kann aber sogar genau sagen, wo Änderungen stattfinden:
+
+\begin{satz}
+\label{buch:eigenwerte:satz:ketten}
+Ist $A\in M_n(\Bbbk)$ eine $n\times n$-Matrix, dann gibt es eine Zahl $k$
+so, dass
+\[
+\begin{array}{rcccccccccccl}
+0=\mathcal{K}^0(A)
+&\subsetneq& \mathcal{K}^1(A) &\subsetneq& \mathcal{K}^2(A)
+&\subsetneq&\dots&\subsetneq&
+\mathcal{K}^k(A) &=& \mathcal{K}^{k+1}(A) &=& \dots
+\\
+\Bbbk^n= \mathcal{J}^0(A)
+&\supsetneq& \mathcal{J}^1(A) &\supsetneq& \mathcal{J}^2(A)
+&\supsetneq&\dots&\supsetneq&
+\mathcal{J}^k(A) &=& \mathcal{J}^{k+1}(A) &=& \dots
+\end{array}
+\]
+ist.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Es sind zwei Aussagen zu beweisen.
+Erstens müssen wir zeigen, dass die Dimension von $\mathcal{K}^i(A)$ 
+nicht mehr grösser werden kann, wenn sie zweimal hintereinander gleich war.
+Nehmen wir daher an, dass $\mathcal{K}^i(A) = \mathcal{K}^{i+1}(A)$.
+Wir müssen $\mathcal{K}^{i+2}(A)$ bestimmen.
+$\mathcal{K}^{i+2}(A)$ besteht aus allen Vektoren $x\in\Bbbk^n$ derart,
+dass $Ax\in \mathcal{K}^{i+1}(A)=\mathcal{K}^i(A)$ ist.
+Daraus ergibt sich, dass $AA^ix=0$, also ist $x\in\mathcal{K}^{i+1}(A)$.
+Wir erhalten also
+$\mathcal{K}^{i+2}(A)\subset\mathcal{K}^{i+1}\subset\mathcal{K}^{i+2}(A)$,
+dies ist nur möglich, wenn beide gleich sind.
+
+Analog kann man für die Bilder vorgehen.
+Wir nehmen an, dass $\mathcal{J}^i(A) = \mathcal{J}^{i+1}(A)$ und
+bestimmten $\mathcal{J}^{i+2}(A)$.
+$\mathcal{J}^{i+2}(A)$ besteht aus all jenen Vektoren, die als
+$Ax$ mit $x\in\mathcal{J}^{i+1}(A)=\mathcal{J}^i(A)$ erhalten
+werden können.
+Es gibt also insbesondere ein $y\in\Bbbk^i$ mit $x=A^iy$.
+Dann ist $Ax=A^{i+1}y\in\mathcal{J}^{i+1}(A)$.
+Insbesondere besteht $\mathcal{J}^{i+2}(A)$ genau aus den Vektoren
+von $\mathcal{J}^{i+1}(A)$.
+
+Zweitens müssen wir zeigen, dass die beiden Ketten bei der gleichen
+Potenz von $A$ konstant werden.
+Dies folgt jedoch daraus, dass $\dim\mathcal{J}^i(A) = \operatorname{Rang} A^i
+= n - \dim\ker A^i = n -\dim\mathcal{K}^i(A)$.
+Der Raum $\mathcal{J}^k(A)$ hört also beim gleichen $i$ auf, kleiner
+zu werden, bei dem auch $\mathcal{K}^i(A)$ aufhört, grösser zu werden.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+Die Zahl $k$ in Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:ketten}
+ist nicht grösser als $n$, also
+\[
+\mathcal{K}^n(A) = \mathcal{K}^l(A)
+\qquad\text{und}\qquad
+\mathcal{J}^n(A) = \mathcal{J}^l(A)
+\]
+für $l\ge n$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:ketten} muss die
+Dimension von $\mathcal{K}^i(A)$ in jedem Schritt um mindestens
+$1$ zunehmen, das ist nur möglich, bis zur Dimension $n$.
+Somit können sich $\mathcal{K}^i(A)$ und $\mathcal{J}^i(A)$ für $i>n$
+nicht mehr ändern.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+\label{buch:eigenwerte:def:KundJ}
+Die gemäss Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:ketten} identischen Unterräume
+$\mathcal{K}^i(A)$ für $i\ge k$ und die identischen Unterräume
+$\mathcal{J}^i(A)$ für $i\ge k$ werden mit
+\[
+\begin{aligned}
+\mathcal{K} &= \mathcal{K}^i(A)&&\forall i\ge k \qquad\text{und}
+\\
+\mathcal{J} &= \mathcal{J}^i(A)&&\forall i\ge k
+\end{aligned}
+\]
+bezeichnet.
+\end{definition}
+
+%
+% Inveriante Unterräume
+%
+\subsection{Invariante Unterräume
+\label{buch:subsection:invariante-unterraeume}}
+Kern und Bild sind der erste Schritt zu einem besseren Verständnis 
+einer linearen Abbildung oder ihrer Matrix.
+Invariante Räume dienen dazu, eine lineare Abbildung in einfachere
+Abbildungen zwischen ``kleineren'' Räumen zu zerlegen, wo sie leichter
+analysiert werden können.
+
+\begin{definition}
+Sei $f\colon V\to V$ eine lineare Abbildung eines Vektorraums in sich
+selbst.
+Ein Unterraum $U\subset V$ heisst {\em invarianter Unterraum},
+wenn
+\[
+f(U) = \{ f(x)\;|\; x\in U\} \subset U
+\]
+gilt.
+\end{definition}
+
+Der Kern $\ker A$  einer linearen Abbildung ist trivialerweise ein
+invarianter Unterraum, da alle Vektoren in $\ker A$ auf $0\in\ker A$
+abgebildet werden.
+Ebenso ist natürlich $\operatorname{im}A$ ein invarianter Unterraum,
+denn jeder Vektor wird in $\operatorname{im}A$ abgebildet, insbesondere
+auch jeder Vektor in $\operatorname{im}A$.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:eigenwerte:satz:KJinvariant}
+Sei $f\colon V\to V$ eine lineare Abbildung mit Matrix $A$.
+Jeder der Unterräume $\mathcal{J}^i(A)$ und $\mathcal{K}^i(A)$ 
+ist ein invarianter Unterraum.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Sei $x\in\mathcal{K}^i(A)$, es gilt also $A^ix=0$.
+Wir müssen überprüfen, dass $Ax\in\mathcal{K}^i(A)$.
+Wir berechnen daher $A^i\cdot Ax=A^{i+1}x=A\cdot A^ix = A\cdot 0=0$,
+was zeigt, dass $Ax\in\mathcal{K}^i(A)$.
+
+Sei jetzt $x\in\mathcal{J}^i(A)$, es gibt also ein $y\in V$ derart, dass
+$A^iy=x$.
+Wir müssen überprüfen, dass $Ax\in\mathcal{J}^i(A)$.
+Dazu berechnen wir $Ax=AA^iy=A^iAy\in\mathcal{J}^i(A)$, $Ax$ ist also das
+Bild von $Ay$ unter $A^i$.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+Die Unterräume $\mathcal{K}(A)\subset V$ und $\mathcal{J}(A)\subset V$
+sind invariante Unterräume.
+\end{korollar}
+
+Die beiden Unterräume $\mathcal{K}(A)$ und $\mathcal{J}(A)$ sind besonders
+interessant, da wir aus der Einschränkung der Abbildung $f$ auf diese
+Unterräume mehr über $f$ lernen können.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:eigenwerte:satz:fJinj}
+Die Einschränkung von $f$ auf $\mathcal{J}(A)$ ist injektiv.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Einschränkung von $f$ auf $\mathcal{J}^k(A)$ ist
+$\mathcal{J}^k(A) \to \mathcal{J}^{k+1}(A)$, nach Definition von
+$\mathcal{J}^{k+1}(A)$ ist diese Abbildung surjektiv.
+Da aber $\mathcal{J}^k(A)=\mathcal{J}^{k+1}(A)$ ist, ist
+$f\colon \mathcal{J}^k(A)\to\mathcal{J}^k(A)$ surjektiv,
+also ist $f$ auf $\mathcal{J}^k(A)$ auch injektiv.
+\end{proof}
+
+Die beiden Unterräume $\mathcal{J}(A)$ und $\mathcal{K}(A)$
+sind Bild und Kern der iterierten Abbildung mit Matrix $A^k$.
+Das bedeutet, dass $\dim\mathcal{J}(A)+\mathcal{K}(A)=n$.
+Da $\mathcal{K}(A)=\ker A^k$ und andererseits $A$ injektiv ist auf
+$\mathcal{J}(A)$, muss $\mathcal{J}(A)\cap\mathcal{K}(A)=0$.
+Es folgt, dass $V=\mathcal{J}(A) + \mathcal{K}(A)$.
+
+In $\mathcal{K}(A)$ und $\mathcal{J}(A)$ kann man unabhängig voneinander
+jeweils eine Basis wählen.
+Die Basen von $\mathcal{K}(A)$ und $\mathcal{J}(A)$ zusammen ergeben
+eine Basis von $V$.
+Die Matrix $A'$ in dieser Basis wird die Blockform
+\[
+A'
+=
+\left(
+\begin{array}{ccc|ccc}
+&&&&&\\
+&A_{\mathcal{K}'}&&&&\\
+&&&&&\\
+\hline
+&&&&&\\
+&&&&A_{\mathcal{J}'}&\\
+&&&&&\\
+\end{array}
+\right)
+\]
+haben, wobei die Matrix $A_\mathcal{J}'$ invertierbar ist.
+Die Zerlegung in invariante Unterräume ergibt also eine natürlich
+Aufteilung der Matrix $A$ in kleiner Matrizen mit zum Teil bekannten
+Eigenschaften.
+
+%
+% Spezialfall, nilpotente Matrizen
+%
+\subsection{Nilpotente Matrizen
+\label{buch:subsection:nilpotente-matrizen}}
+Die Zerlegung von $V$ in die beiden invarianten Unterräume $\mathcal{J}(A)$
+und $\mathcal{K}(A)$ reduziert die lineare Abbildung auf zwei Abbildungen
+mit speziellen Eigenschaften.
+Es wurde bereits in Satz~\label{buch:eigenwerte:satz:fJinj} gezeigt,
+dass die Einschränkung auf $\mathcal{J}(A)$ injektiv ist.
+Die Einschränkung auf $\mathcal{K}(A)$ bildet nach Definition alle
+Vektoren nach $k$-facher Iteration auf $0$ ab, $A^k\mathcal{K}(A)=0$.
+Solche Abbildungen haben eine speziellen Namen.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:eigenwerte:def:nilpotent}
+Eine Matrix $A$ heisst nilpotent, wenn es eine Zahl $k$ gibt, so dass
+$A^k=0$.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Obere (oder untere) Dreiecksmatrizen mit Nullen auf der Diagonalen
+sind nilpotent.
+Wir rechnen dies wie folgt nach.
+Die Matrix $A$ mit Einträgen $a_{ij}$
+\[
+A=\begin{pmatrix}
+  0   &a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1,n-1}&a_{1n}   \\
+  0   &  0   &a_{23}&\dots &a_{1,n-1}&a_{2n}   \\
+  0   &  0   &  0   &\dots &a_{1,n-1}&a_{3n}   \\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots   &\vdots   \\
+  0   &  0   &  0   &\dots &  0      &a_{n-1,n}\\
+  0   &  0   &  0   &\dots &  0      &  0
+\end{pmatrix}
+\]
+erfüllt $a_{ij}=0$ für $i\ge j$.
+Wir zeigen jetzt, dass sich bei der Multiplikation die nicht
+verschwinden Elemente bei der Multiplikation noch rechts oben
+verschieben.
+Dazu multiplizieren wir zwei Matrizen $B$ und $C$ mit
+$b_{ij}=0$ für $i+k>j$ und $c_{ij}=0$ für $i+l>j$.
+In der folgenden graphischen Darstellung der Matrizen sind die
+Bereiche, wo die Matrixelemente verschwinden, weiss.
+\begin{center}
+\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/nilpotent.pdf}
+\end{center}
+Bei der Berechnung des Elementes $d_{ij}$ wird die Zeile $i$ von $B$
+mit der Spalte $j$ von $C$ multipliziert.
+Die blau eingefärbten Elemente in dieser Zeile und Spalte sind $0$.
+Aus der Darstellung ist abzulesen, dass das Produkt verschwindet, 
+die roten, von $0$ verschiedenen Elemente von den blauen Elementen
+annihiliert werden.
+Dies passiert immer, wenn $i+k>j-l$ ist, oder $i+(k+l)> j$.
+
+Wir wenden diese Beobachtung jetzt auf die Potenzen $A^s$ an.
+Für die Matrixelemente von $A^s$ schreiben wir $a^s_{ij}$.
+Wir behaupten, dass die Matrixelemente $A^s$ die Bedingung
+$a_{ij}^s=0$ für $i+s>j$ erfüllen.
+Dies ist für $s=1$ nach Voraussetzung richtig, dies ist die
+Induktionsvoraussetzung.
+Nehmen wir jetzt an, dass $a_{ij}^s=0$ für $i+s>j$, dann folgt
+aus obiger Rechnung, dass $a_{ij}^{s+1}=0$ für $i+s+1>j$, so
+dass die Bedingung auch für $A^s$ gilt (Induktionsschritt).
+Mit vollständiger Induktion folgt, dass $a_{ij}^s=0$ für $i+s>j$.
+Insbesondere ist $A^n=0$, die Matrix $A$ ist nilpotent.
+\end{beispiel}
+
+Man kann die Konstruktion der Unterräume $\mathcal{K}^i(A)$ weiter
+dazu verwenden, eine Basis zu finden, in der eine nilpotente Matrix
+eine besonders einfach Form erhält.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:eigenwerte:satz:nnilpotent}
+Sei $A$ eine nilpotente $n\times n$-Matrix mit der Eigenschaft, dass
+$A^{n-1}\ne 0$.
+Dann gibt es eine Basis so, dass $A$ die Form
+\begin{equation}
+A'
+=
+\begin{pmatrix}
+0&1& &      & & \\
+ &0&1&      & & \\
+ & &0&      & & \\
+ & & &\ddots&1& \\
+ & & &      &0&1\\
+ & & &      & &0\\
+\end{pmatrix}
+\label{buch:eigenwerte:eqn:nnilpotent}
+\end{equation}
+bekommt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Da $A^{n-1}\ne 0$ ist, gibt es einen Vektor $b_n$ derart, dass $A^{n-1}b_n\ne0$.
+Wir konstruieren die Vektoren
+\[
+b_n,\;
+b_{n-1}=Ab_n,\;
+b_{n-2}=Ab_{n-1},\;
+\dots,\;
+b_2=Ab_3,\;
+b_1=Ab_2.
+\]
+Aus der Konstruktion folgt $b_1=A^{n-1}b_n\ne 0$, aber $Ab_1=A^nb_n=0$.
+Aus der Konstruktion der iterierten Kerne $\mathcal{K}^i(A)$ folgt jetzt,
+dass die Vektoren $b_1,\dots,b_n$ eine Basis bilden.
+In dieser Basis hat die Matrix die Form~\ref{buch:eigenwerte:eqn:nnilpotent}.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+Wir bezeichnen mit $N_n$ eine Matrix der Form
+\eqref{buch:eigenwerte:eqn:nnilpotent}.
+\end{definition}
+
+Mit etwas mehr Sorgfalt kann man auch die Bedingung, dass $A^{n-1}\ne 0$
+sein muss, im Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:nnilpotent} loswerden.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:eigenwerte:satz:allgnilpotent}
+Sei $A$ ein nilpotente Matrix, dann gibt es eine Basis, in der die Matrix
+aus lauter Nullen besteht ausser in den Einträgen unmittelbar oberhalb der 
+Hauptdiagonalen, wo die Einträge $0$ oder $1$ sind.
+Insbesondere zerfällt eine solche Matrix in Blöcke der Form $N_{k_i}$,
+$i=1,\dots,l$,
+wobei $k_1+\dots+k_l=n$ sein muss:
+\begin{equation}
+\def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{\raisebox{0pt}[17pt][12pt]{\phantom{x}$#1\mathstrut$}\phantom{x}}}
+A'
+=\left(
+\begin{array}{cccc}
+\cline{1-1}
+\temp{N_{k_1}} &\multicolumn{1}{|c}{}&        &           \\
+\cline{1-2}
+          &\temp{N_{k_2}}&\multicolumn{1}{|c}{}&           \\
+\cline{2-3}
+          &           &\temp{\ddots}&\multicolumn{1}{|c}{}\\
+\cline{3-4}
+          &           &        &\multicolumn{1}{|c|}{\raisebox{0pt}[17pt][12pt]{\phantom{x}$N_{k_l}$}\phantom{x}}\\
+\cline{4-4}
+\end{array}
+\right)
+\label{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+Die Einschränkung von $f$ auf den invarianten Unterraum $\mathcal{K}(A)$
+ist nilpotent.
+Die Zerlegung $V=\mathcal{J}(A)\oplus \mathcal{K}(A)$ führt also zu einer
+Zerlegung der Abbildung $f$ in eine invertierbare Abbildung
+$\mathcal{J}(A)\to\mathcal{J}(A)$ und eine
+nilpotente Abbildung $\mathcal{K}(A)\to\mathcal{K}(A)$.
+Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:allgnilpotent} kann man in
+$\mathcal{K}(A)$ eine Basis so wählen, dass die Matrix die Blockform
+\eqref{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} erhält.
+
+%
+% Begriff des Eigenwertes und Eigenvektors
+%
+\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren
+\label{buch:subsection:eigenwerte-und-eigenvektoren}}
+In diesem Abschnitt betrachten wir Vektorräume $V=\Bbbk^n$ über einem
+beliebigen Körper $\Bbbk$ und quadratische Matrizen
+$A\in M_n(\Bbbk)$.
+In den meisten Anwendungen wird $\Bbbk=\mathbb{R}$ sein.
+Da aber in $\mathbb{R}$ nicht alle algebraischen Gleichungen lösbar sind,
+ist es manchmal notwendig, den Vektorraum zu erweitern um zum Beispiel
+Eigenschaften der Matrix $A$ abzuleiten.
+
+\begin{definition}
+Ein Vektor $v\in V$ heisst {\em Eigenvektor} von $A$ zum Eigenwert
+$\lambda\in\Bbbk$, wenn $v\ne 0$ und $Av=\lambda v$ gilt.
+\end{definition}
+
+Die Bedingung $v\ne 0$ dient dazu, pathologische Situationen auszuschliessen.
+Für den Nullvektor gilt $A0=\lambda 0$ für jeden beliebigen Wert von
+$\lambda\in\Bbbk$.
+Würde man $v=0$ zulassen, wäre jede Zahl in $\Bbbk$ ein Eigenwert,
+ein Eigenwert von $A$ wäre nichts besonderes.
+Ausserdem wäre $0$ ein Eigenvektor zu jedem beliebigen Eigenwert.
+
+Eigenvektoren sind nicht eindeutig bestimmt, jedes von $0$ verschiedene
+Vielfache von $v$ ist ebenfalls ein Eigenvektor.
+Zu einem Eigenwert kann man also einen Eigenvektor jeweils mit 
+geeigneten Eigenschaften finden, zum Beispiel kann man für $\Bbbk = \mathbb{R}$
+Eigenvektoren auf Länge $1$ normieren.
+Im Folgenden werden wir oft die abkürzend linear unabhängige Eigenvektoren
+einfach als ``verschiedene'' Eigenvektoren bezeichnen.
+
+Wenn $v$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ ist, dann kann
+man ihn mit zusätzlichen Vektoren $v_2,\dots,v_n$ zu einer Basis
+$\mathcal{B}=\{v,v_2,\dots,v_n\}$
+von $V$ ergänzen.
+Die Vektoren $v_k$ mit $k=2,\dots,n$ werden von $A$ natürlich auch
+in den Vektorraum $V$ abgebildet, können also als Linearkombinationen
+\[
+Av = a_{1k}v + a_{2k}v_2 + a_{3k}v_3 + \dots a_{nk}v_n
+\]
+dargestellt werden.
+In der Basis $\mathcal{B}$ bekommt die Matrix $A$ daher die Form
+\[
+A'
+=
+\begin{pmatrix}
+\lambda&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\
+    0  &a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2n}\\
+    0  &a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\
+\vdots &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+    0  &a_{n2}&a_{n3}&\dots &a_{nn}
+\end{pmatrix}.
+\]
+Bereits ein einzelner Eigenwert und ein zugehöriger Eigenvektor
+ermöglichen uns also, die Matrix in eine etwas einfachere Form
+zu bringen.
+
+\begin{definition}
+Für $\lambda\in\Bbbk$ heisst
+\[
+E_\lambda
+=
+\{ v\;|\; Av=\lambda v\}
+\]
+der {\em Eigenraum} zum Eigenwert $\lambda$.
+\index{Eigenraum}%
+\end{definition}
+
+Der Eigenraum $E_\lambda$ ist ein Unterraum von $V$, denn wenn
+$u,v\in E_\lambda$, dann ist
+\[
+A(su+tv)
+=
+sAu+tAv
+=
+s\lambda u + t\lambda v
+=
+\lambda(su+tv),
+\]
+also ist auch $su+tv\in E_\lambda$.
+Der Fall $E_\lambda = \{0\}=0$ bedeutet natürlich, dass $\lambda$ gar kein
+Eigenwert ist.
+
+\begin{satz}
+Wenn $\dim E_\lambda=n$, dann ist $A=\lambda E$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Da $V$ ein $n$-dimensionaler Vektoraum ist, ist $E_\lambda=V$.
+Jeder Vektor $v\in V$ erfüllt also die Bedingung $Av=\lambda v$,
+oder $A=\lambda E$.
+\end{proof}
+
+Wenn man die Eigenräume von $A$ kennt, dann kann man auch die Eigenräume
+von $A+\mu E$ berechnen.
+Ein Vektor $v\in E_\lambda$ erfüllt
+\[
+Av=\lambda v
+\qquad\Rightarrow\qquad
+(A+\mu)v = \lambda v + \mu v
+=
+(\lambda+\mu)v,
+\]
+somit ist $v$ ein Eigenvektor von $A+\mu E$ zum Eigenwert $\lambda+\mu$.
+Insbesondere können wir statt die Eigenvektoren von $A$ zum Eigenwert $\lambda$
+zu studieren, auch die Eigenvektoren zum Eigenwert $0$ von $A-\lambda E$
+untersuchen.
+
+%
+% Invariante Räume
+%
+\subsection{Verallgemeinerte Eigenräume
+\label{buch:subsection:verallgemeinerte-eigenraeume}}
+Wenn $\lambda$ ein Eigenwert der Matrix $A$ ist, dann ist
+ist $A-\lambda E$ injektiv und $\ker(A-\lambda E)\ne 0$.
+Man kann daher die invarianten Unterräume $\mathcal{K}(A-\lambda E)$
+und $\mathcal{J}(A-\lambda E)$.
+
+\begin{beispiel}
+Wir untersuchen die Matrix
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix}
+1&1&-1&0\\
+0&3&-1&1\\
+0&2& 0&1\\
+0&0& 0&2
+\end{pmatrix}
+\]
+Man kann zeigen, dass $\lambda=1$ ein Eigenwert ist.
+Wir suchen die Zerlegung des Vektorraums $\mathbb{R}^4$ in invariante
+Unterräume $\mathcal{K}(A-E)$ und $\mathcal{J}(A-E)$.
+Die Matrix $B=A-E$ ist
+\[
+B
+=
+\begin{pmatrix}
+0&1&-1&0\\
+0&2&-1&1\\
+0&2&-1&1\\
+0&0& 0&2
+\end{pmatrix}
+\]
+und wir berechnen davon die Potenz
+\[
+D=B^4=(A-E)^4
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0& 0&0\\
+0&2&-1&4\\
+0&2&-1&4\\
+0&0& 0&1
+\end{pmatrix}.
+\]
+Daraus kann man ablesen, dass das Bild $\operatorname{im}D$
+von $D$ die Basis
+\[
+b_1
+=
+\begin{pmatrix}
+0\\0\\0\\1
+\end{pmatrix}
+, \qquad
+b_2
+=
+\begin{pmatrix}
+0\\1\\1\\0
+\end{pmatrix}
+\]
+hat.
+Für den Kern von $D$ können wir zum Beispiel die Basisvektoren
+\[
+b_3
+=
+\begin{pmatrix}
+0\\1\\2\\0
+\end{pmatrix}
+,\qquad
+b_4
+=
+\begin{pmatrix}
+1\\0\\0\\0
+\end{pmatrix}
+\]
+verwenden.
+
+Als erstes überprüfen wir, ob diese Basisvektoren tatsächlich invariante
+Unterräume sind.
+Für $\mathcal{J}(A-E) = \langle b_1,b_2\rangle$
+berechnen wir
+\begin{align*}
+(A-E)b_1
+&=
+\begin{pmatrix} 0\\4\\4\\1 \end{pmatrix}
+=
+4b_2+b_1,
+\\
+(A-E)b_2
+&=
+\begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0 \end{pmatrix}
+=
+b_2.
+\end{align*}
+Dies beweist, dass $\mathcal{J}(A-E)$ invariant ist.
+In dieser Basis hat die von $A-E$ beschriebene lineare Abbildung
+auf $\mathcal{J}(A-E)$ die Matrix
+\[
+A_{\mathcal{J}(A-E)}
+=
+\begin{pmatrix}
+1&4\\
+0&1
+\end{pmatrix}.
+\]
+
+Für den Kern $\mathcal{K}(A-E)$ findet man analog
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+Ab_3
+&=
+-b_4
+\\
+Ab_4
+&=0
+\end{aligned}
+\quad\right\}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+A_{\mathcal{K}(A-E)}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&-1\\
+0& 0
+\end{pmatrix}.
+\]
+In der Basis $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ hat $A$ die Matrix
+in Blockform
+\[
+A'
+=
+\left(
+\begin{array}{cc|cr}
+2&4& & \\
+0&2& & \\
+\hline
+ & &1&-1\\
+ & &0& 1
+\end{array}\right),
+\]
+die Blöcke gehören zu den invarianten Unterräumen $\mathcal{K}(A-E)$
+und $\mathcal{K}(A-E)$.
+Die aus $A-E$ gewonnen invarianten Unterräume sind offenbar auch invariante
+Unterräume für $A$.
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition}
+Ist $A$ eine Matrix mit Eigenwert $\lambda$, dann heisst der invariante
+Unterraum
+\[
+\mathcal{E}_{\lambda}(A)
+=
+\mathcal{K}(A-\lambda E)
+\]
+der verallgemeinerte Eigenraum von $A$.
+\end{definition}
+
+Es ist klar, dass
+$E_\lambda(A)=\ker (A-\lambda E)\subset\mathcal{E}_{\lambda}(A)$.
+
+\subsection{Zerlegung in invariante Unterräume
+\label{buch:subsection:zerlegung-in-invariante-unterraeume}}
+Wenn $\lambda$ kein Eigenwert von $A$ ist, dann ist $A-\lambda E$
+injektiv und damit $\ker(A-\lambda E)=0$.
+Es folgt, dass $\mathcal{K}^i(A-\lambda E)=0$ und daher auch
+$\mathcal{J}^i(A-\lambda E)=V$.
+Die Zerlegung in invariante Unterräume $\mathcal{J}(A-\lambda E)$ und
+$\mathcal{K}(A-\lambda E)$ liefert in diesem Falle also nichts Neues.
+
+Für einen Eigenwert $\lambda_1$ von $A$ dagegen, erhalten wir die Zerlegung
+\[
+V
+=
+\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)
+\oplus
+\underbrace{\mathcal{J}(A-\lambda_1 E)}_{\displaystyle =V_2},
+\]
+wobei $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)\ne 0$ ist.
+Die Matrix $A-\lambda_1 E$ ist eingeschränkt auf $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)$
+nilpotent.
+Die Zerlegung in invariante Unterräume ist zwar mit Hilfe von $A-\lambda_1E$
+gewonnen worden, ist aber natürlich auch eine Zerlegung in invariante 
+Unterräume für $A$.
+Wir können daher das Problem auf $V_2$ einschränken und nach einem weiteren
+Eigenwert $\lambda_2$ von $A$ in $V_2$ suchen, was wieder eine Zerlegung
+in invariante Unterräume liefert.
+Indem wir so weiterarbeiten, bis wir den ganzen Raum ausgeschöpft haben,
+können wir eine Zerlegung des ganzen Raumes $V$ finden, so dass $A$ auf
+jedem einzelnen Summanden eine sehr einfach Form hat:
+
+\begin{satz}
+\label{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume}
+Sei $V$ ein $\Bbbk$-Vektorraum und $f$ eine lineare Abbildung mit Matrix
+$A$ derart, dass alle Eigenwerte $\lambda_1,\dots,\lambda_l$ von $A$
+in $\Bbbk$ sind.
+Dann gibt es eine Zerlegung von $V$ in verallgemeinerte Eigenräume
+\[
+V
+=
+\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)
+\oplus
+\mathcal{E}_{\lambda_2}(A)
+\oplus
+\dots
+\oplus
+\mathcal{E}_{\lambda_l}(A).
+\]
+Die Einschränkung von $A-\lambda_{i}E$ auf den Eigenraum 
+$\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ ist nilpotent.
+\end{satz}
+
+\subsection{Das charakteristische Polynom
+\label{buch:subsection:das-charakteristische-polynom}}
+Ein Eigenvektor von $A$ erfüllt $Av=\lambda v$ oder gleichbedeutend
+$(A-\lambda E)v=0$, er ist also eine nichttriviale Lösung des homogenen
+Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$. 
+Ein Eigenwert ist also ein Skalar derart, dass $A-\lambda E$
+singulär ist.
+Ob eine Matrix singulär ist, kann mit der Determinante festgestellt
+werden.
+Die Eigenwerte einer Matrix $A$ sind daher die Nullstellen
+von $\det(A-\lambda E)$.
+
+\begin{definition}
+Das {\em charakteristische Polynom}
+\[
+\chi_A(x)
+=
+\det (A-x E)
+=
+\left|
+\begin{matrix}
+a_{11}-x & a_{12}   & \dots  & a_{1n} \\
+a_{21}   & a_{22}-x & \dots  & a_{2n} \\
+\vdots   &\vdots    &\ddots  & \vdots \\
+a_{n1}   & a_{n2}   &\dots   & a_{nn}-x
+\end{matrix}
+\right|.
+\]
+der Matrix $A$ ist ein Polynom vom Grad $n$ mit Koeffizienten in $\Bbbk$.
+\end{definition}
+
+Findet man eine Nullstelle $\lambda\in\Bbbk$ von $\chi_A(x)$,
+dann ist die Matrix $A-\lambda E\in M_n(\Bbbk)$ und mit dem Gauss-Algorithmus
+kann man auch mindestens einen Vektor $v\in \Bbbk^n$ finden,
+der $Av=\lambda v$ erfüllt.
+Eine Matrix der Form  wie in Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:jordanblock}
+hat
+\[
+\chi_A(x)
+=
+\left|
+\begin{matrix}
+\lambda-x &     1     &           &      &         &         \\
+          & \lambda-x &     1     &      &         &         \\
+          &           & \lambda-x &      &         &         \\
+          &           &           &\ddots&         &         \\
+          &           &           &      &\lambda-x&     1   \\
+          &           &           &      &         &\lambda-x
+\end{matrix}
+\right|
+=
+(\lambda-x)^n
+=
+(-1)^n (x-\lambda)^n
+\]
+als charakteristisches Polynom, welches $\lambda$ als einzige
+Nullstelle hat.
+Der Eigenraum der Matrix ist aber nur eindimensional, man kann also
+im Allgemeinen für jede Nullstelle des charakteristischen Polynoms
+nicht mehr als einen Eigenvektor (d.~h.~einen eindimensionalen Eigenraum)
+erwarten.
+
+Wenn das charakteristische Polynom von $A$ keine Nullstellen in $\Bbbk$ hat,
+dann kann es auch keine Eigenvektoren in $\Bbbk^n$ geben.
+Gäbe es nämlich einen solchen Vektor, dann müsste eine der Komponenten
+des Vektors von $0$ verschieden sein, wir nehmen an, dass es die Komponente
+in Zeile $k$ ist.
+Die Komponente $v_k$ kann man auf zwei Arten berechnen, einmal als
+die $k$-Komponenten von $Av$ und einmal als $k$-Komponente von $\lambda v$:
+\[
+a_{k1}v_1+\dots+a_{kn}v_n = \lambda v_k.
+\]
+Da $v_k\ne 0$ kann man nach $\lambda$ auflösen und erhält
+\[
+\lambda = \frac{a_{k1}v_1+\dots + a_{kn}v_n}{v_k}.
+\]
+Alle Terme auf der rechten Seite sind in $\Bbbk$ und werden nur mit
+Körperoperationen in $\Bbbk$ verknüpft, also muss auch $\lambda\in\Bbbk$
+sein, im Widerspruch zur Annahme.
+
+Durch Hinzufügen von geeigneten Elementen können wir immer zu einem 
+Körper $\Bbbk'$ übergehen, in dem das charakteristische Polynom
+in Linearfaktoren zerfällt.
+In diesem Körper kann man jetzt das homogene lineare Gleichungssystem
+mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$ lösen und damit mindestens 
+einen Eigenvektor $v$ für jeden Eigenwert finden.
+Die Komponenten von $v$ liegen in $\Bbbk'$, und mindestens eine davon kann
+nicht in $\Bbbk$ liegen.
+Das bedeutet aber nicht, dass man diese Vektoren nicht für theoretische
+Überlegungen über von $\Bbbk'$ unabhängige Eigenschaften der Matrix $A$ machen.
+Das folgende Beispiel soll diese Idee illustrieren.
+
+\begin{beispiel}
+Wir arbeiten in diesem Beispiel über dem Körper $\Bbbk=\mathbb{Q}$.
+Die Matrix
+\[
+A=\begin{pmatrix}
+-4&7\\
+-2&4
+\end{pmatrix}
+\in
+M_2(\mathbb{Q})
+\]
+hat das charakteristische Polynom
+\[
+\chi_A(x)
+=
+\left|
+\begin{matrix}
+-4-x&7\\-2&4-x
+\end{matrix}
+\right|
+=
+(-4-x)(4-x)-7\cdot(-2)
+=
+-16+x^2+14
+=
+x^2-2.
+\]
+Die Nullstellen sind $\pm\sqrt{2}$ und damit nicht in $\mathbb{Q}$.
+Wir gehen daher über zum Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, in dem
+sich zwei Nullstellen $\lambda=\pm\sqrt{2}$ finden lassen.
+Zu jedem Eigenwert lässt sich auch ein Eigenvektor
+$v_{\pm\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2})^2$, und unter Verwendung dieser
+Basis bekommt die Matrix $A'=TAT^{-1}$ Diagonalform.
+Die Transformationsmatrix $T$ enthält Matrixelemente aus
+$\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, die nicht in $\mathbb{Q}$ liegen.
+Die Matrix $A$ lässt sich also über dem Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$
+diagonalisieren, nicht aber über dem Körper $\mathbb{Q}$.
+
+Da $A'$ Diagonalform hat mit $\pm\sqrt{2}$ auf der Diagonalen, folgt
+$A^{\prime 2} = 2E$, die Matrix $A'$ erfüllt also die Gleichung
+\begin{equation}
+A^{\prime 2}-E= \chi_{A}(A) = 0.
+\label{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel}
+\end{equation}
+Dies is ein Spezialfall des Satzes von Cayley-Hamilton~\ref{XXX}
+welcher besagt, dass jede Matrix $A$ eine Nullstelle ihres 
+charakteristischen Polynoms ist: $\chi_A(A)=0$.
+Die Gleichung~\ref{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel}
+wurde zwar in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ hergeleitet, aber in ihr kommen
+keine Koeffizienten aus $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ vor, die man nicht auch
+in $\mathbb{Q}$ berechnen könnte.
+Sie gilt daher ganz allgemein.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Die Matrix
+\[
+A=\begin{pmatrix}
+32&-41\\
+24&-32
+\end{pmatrix}
+\in
+M_2(\mathbb{R})
+\]
+über dem Körper $\Bbbk = \mathbb{R}$
+hat das charakteristische Polynom
+\[
+\det(A-xE)
+=
+\left|
+\begin{matrix}
+32-x&-41  \\
+25  &-32-x
+\end{matrix}
+\right|
+=
+(32-x)(-32-x)-25\cdot(-41)
+=
+x^2-32^2 + 1025
+=
+x^2+1.
+\]
+Die charakteristische Gleichung $\chi_A(x)=0$ hat in $\mathbb{R}$
+keine Lösungen, daher gehen wir zum Körper $\Bbbk'=\mathbb{C}$ über,
+in dem dank dem Fundamentalsatz der Algebra alle Nullstellen zu finden
+sind, sie sind $\pm i$.
+In $\mathbb C$ lassen sich dann auch Eigenvektoren finden, man muss dazu die
+folgenden linearen Gleichungssyteme lösen:
+\begin{align*}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+32-i&-41\\
+25  &-32-i
+\end{tabular}
+&
+\rightarrow
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+1 & t\\
+0 &  0 
+\end{tabular}
+&
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+32+i&-41\\
+25  &-32+i
+\end{tabular}
+&
+\rightarrow
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+1 & \overline{t}\\
+0 &  0 
+\end{tabular},
+\intertext{wobei wir $t=-41/(32-i) =-41(32+i)/1025= -1.28 -0.04i = (64-1)/50$
+abgekürzt haben.
+Die zugehörigen Eigenvektoren sind}
+v_i&=\begin{pmatrix}t\\i\end{pmatrix}
+&
+v_{-i}&=\begin{pmatrix}\overline{t}\\i\end{pmatrix}
+\end{align*}
+Mit den Vektoren $v_i$ und $v_{-i}$ als Basis kann die Matrix $A$ als
+komplexe Matrix, also mit komplexem $T$ in die komplexe Diagonalmatrix 
+$A'=\operatorname{diag}(i,-i)$ transformiert werden.
+Wieder kann man sofort ablesen, dass $A^{\prime2}+E=0$, und wieder kann
+man schliessen, dass für die relle Matrix $A$ ebenfalls $\chi_A(A)=0$
+gelten muss.
+\end{beispiel}
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..db00dac
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile
@@ -0,0 +1,16 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rappersil
+#
+all:	sp.pdf   nilpotent.pdf
+
+sp.pdf:	sp.tex sppaths.tex
+	pdflatex sp.tex
+
+sppaths.tex:	spbeispiel.m
+	octave spbeispiel.m
+
+nilpotent.pdf:	nilpotent.tex
+	pdflatex nilpotent.tex
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/nilpotent.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/nilpotent.pdf
new file mode 100644
index 0000000..2106697
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/nilpotent.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/nilpotent.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/nilpotent.tex
new file mode 100644
index 0000000..1e6cd79
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/nilpotent.tex
@@ -0,0 +1,76 @@
+%
+% nilpotent.tex -- Produkt nilpotenter Matrizen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage[many]{tcolorbox}
+
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+
+\newtcbox{\myboxA}{blank,boxsep=0mm,
+clip upper,minipage,
+width=31.0mm,height=17.0mm,nobeforeafter,
+borderline={0.0pt}{0.0pt}{white},
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\cx{1.8}
+\def\cy{1.2}
+
+\draw[line width=0.3pt] (-3,2.5) -- (6,2.5);
+
+\begin{scope}[xshift=-4cm]
+\node at (1.5,1.53) {$\left(\myboxA{}\right)$};
+\fill[color=red!30] (0.5,3) -- (3,0.5) -- (3,3) -- cycle;
+\draw (0,0) rectangle (3,3);
+\draw (0,3) -- (3,0);
+\node at ({\cx+0.5*0.5},{\cy+0.5*0.5}) [rotate=-45] {$k$};
+\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,2.5) -- (1.0,2.5);
+\draw[color=red,line width=1.4pt] (1.0,2.5) -- (3,2.5);
+\node at (1,1) {$B$};
+\node at (-0.3,2.5) [left] {$i$};
+\node at (1,2.5) [above right] {$i+k$};
+\end{scope}
+
+\node at (-0.5,1.5) {$\mathstrut\cdot\mathstrut$};
+
+\begin{scope}
+\node at (1.5,1.53) {$\left(\myboxA{}\right)$};
+\fill[color=red!30] (1.0,3) -- (3,1.0) -- (3,3) -- cycle;
+\draw (0,0) rectangle (3,3);
+\draw (0,3) -- (3,0);
+\node at ({\cx+1.0*0.5},{\cy+1.0*0.5}) [rotate=-45] {$l$};
+\draw[color=red,line width=1.4pt] (2,3)--(2,2);
+\draw[color=blue,line width=1.4pt] (2,2)--(2,0);
+\node at (1,1) {$C$};
+\node at (2,3) [above] {$j$};
+\node at (2,2) [above right] {$j-l$};
+\end{scope}
+
+\node at (3.5,1.5) {$\mathstrut=\mathstrut$};
+
+\begin{scope}[xshift=4cm]
+\node at (1.5,1.53) {$\left(\myboxA{}\right)$};
+\fill[color=red!30] (1.5,3) -- (3,1.5) -- (3,3) -- cycle;
+\draw (0,0) rectangle (3,3);
+\draw (0,3) -- (3,0);
+\node at ({\cx+1.5*0.5},{\cy+1.5*0.5}) [rotate=-45] {$k+l$};
+\fill[color=red!50!blue] (2,2.5) circle[radius=0.1];
+\draw[line width=0.3pt] (2,3) -- (2,2.5);
+\node at (2,3) [above] {$j$};
+\node at (1,1) {$D$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/sp.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/sp.pdf
new file mode 100644
index 0000000..d4de984
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/sp.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/sp.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/sp.tex
new file mode 100644
index 0000000..db70889
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/sp.tex
@@ -0,0 +1,62 @@
+%
+% sp.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{2.33}
+\input{sppaths.tex}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\xdef\sx{1}
+\xdef\sy{1}
+
+% add image content here
+\begin{scope}
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle (3,2.1);
+\richardson
+\end{scope}
+\draw[->] (-0.1,0) -- (3.15,0) coordinate[label={$\tau$}];
+\draw[->] (0,-0.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$\varrho(\frac1\tau A-E)$}];
+\draw (1,{-0.1/\skala}) -- (1,{0.1/\skala});
+\draw (2,{-0.1/\skala}) -- (2,{0.1/\skala});
+\draw (3,{-0.1/\skala}) -- (3,{0.1/\skala});
+\node at (1,{-0.1/\skala}) [below] {1};
+\node at (2,{-0.1/\skala}) [below] {2};
+\node at (3,{-0.1/\skala}) [below] {3};
+\draw ({-0.1/\skala},1) -- ({0.1/\skala},1);
+\draw ({-0.1/\skala},2) -- ({0.1/\skala},2);
+\node at ({-0.1/\skala},1) [left] {1};
+\node at ({-0.1/\skala},2) [left] {2};
+\end{scope}
+
+\xdef\sy{1}
+
+\begin{scope}[xshift=3.5cm]
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle (2,2);
+\sor
+\end{scope}
+\draw[->] (-0.1,0) -- (2.15,0) coordinate[label={$\omega$}];
+\draw[->] (0,-0.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$\varrho(B_\omega^{-1}C_\omega)$}];
+\draw (1,{-0.1/\skala}) -- (1,{0.1/\skala});
+\draw (2,{-0.1/\skala}) -- (2,{0.1/\skala});
+\node at (1,{-0.1/\skala}) [below] {1};
+\node at (2,{-0.1/\skala}) [below] {2};
+\draw ({-0.1/\skala},1) -- ({0.1/\skala},1);
+\draw ({-0.1/\skala},2) -- ({0.1/\skala},2);
+\node at ({-0.1/\skala},1) [left] {1};
+\node at ({-0.1/\skala},2) [left] {2};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/spbeispiel.m b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/spbeispiel.m
new file mode 100644
index 0000000..81160b9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/spbeispiel.m
@@ -0,0 +1,51 @@
+#
+# spbeispiel.m
+#
+# (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+#
+N = 30
+R = 0.05 * rand(N,N);
+R = R + R';
+A = eye(N) + R;
+L = tril(A,-1)
+U = tril(A',-1)'
+D = diag(diag(A))
+
+A
+
+function r = spektralradius(A)
+	r = max(abs(eig(A)));
+end
+
+gaussseidel = spektralradius(inverse(L+D)*U)
+jacobi = spektralradius(inverse(D)*(L+U))
+richardson = spektralradius(A - eye(N))
+
+fd = fopen("sppaths.tex", "w");
+
+fprintf(fd, "\\def\\richardson{\n")
+tau = 0.1;
+r = spektralradius((1/tau) * A - eye(N))
+fprintf(fd, "\\draw[line width=1.4pt,color=red] ({\\sx*0.1},{\\sy*%.5f})", r);
+for tau = (11:300) / 100
+	r = spektralradius((1/tau) * A - eye(N));
+	fprintf(fd, "\n--({\\sx*%.5f},{\\sy*%.5f})", tau, r);
+end
+fprintf(fd, "\n;}\n");
+
+fprintf(fd, "\\def\\sor{\n");
+omega = 1/100
+B = (1/omega) * D + L;
+C = (1-1/omega) * D + U;
+r = spektralradius(inverse(B) * C)
+fprintf(fd, "\\draw[line width=1.4pt,color=red] ({\\sx*%.3f},{\\sy*%.3f})", omega, r);
+for omega = (2:200) / 100
+	B = (1/omega) * D + L;
+	C = (1-1/omega) * D + U;
+	r = spektralradius(inverse(B) * C);
+	fprintf(fd, "\n--({\\sx*%.5f},{\\sy*%.5f})", omega, r);
+end
+fprintf(fd, ";\n}\n");
+
+fclose(fd);
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex
new file mode 100644
index 0000000..c21c403
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex
@@ -0,0 +1,338 @@
+%
+% normalformen.tex -- Normalformen einer Matrix
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Normalformen
+\label{buch:section:normalformen}}
+\rhead{Normalformen}
+In den Beispielen im vorangegangenen wurde wiederholt der Trick
+verwendet, den Koeffizientenkörper so zu erweitern, dass das
+charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und 
+für jeden Eigenwert Eigenvektoren gefunden werden können.
+Diese Idee ermöglicht, eine Matrix in einer geeigneten Körpererweiterung
+in eine besonders einfache Form zu bringen, das Problem dort zu lösen.
+Anschliessend kann man sich darum kümmern in welchem Mass die gewonnenen
+Resultate wieder in den ursprünglichen Körper transportiert werden können.
+
+\subsection{Diagonalform}
+Sei $A$ eine beliebige Matrix mit Koeffizienten in $\Bbbk$ und sei $\Bbbk'$
+eine Körpererweiterung von $\Bbbk$ derart, dass das charakteristische
+Polynom in Linearfaktoren
+\[
+\chi_A(x)
+=
+(x-\lambda_1)^{k_1}\cdot (x-\lambda_2)^{k_2}\cdot\dots\cdot (x-\lambda_m)^{k_m}
+\]
+mit Vielfachheiten $k_1$ bis $k_m$ zerfällt, $\lambda_i\in\Bbbk'$.
+Zu jedem Eigenwert $\lambda_i$ gibt es sicher einen Eigenvektor, wir 
+wollen aber in diesem Abschnitt zusätzlich annehmen, dass es eine Basis
+aus Eigenvektoren gibt.
+In dieser Basis bekommt die Matrix Diagonalform, wobei auf der 
+Diagonalen nur Eigenwerte vorkommen können.
+Man kann die Vektoren so anordnen, dass die Diagonalmatrix in Blöcke
+der Form $\lambda_iE$ zerfällt
+\[
+\def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{\raisebox{0pt}[12pt][7pt]{\phantom{x}$#1$}\phantom{x}}}
+A'
+=\left(
+\begin{array}{cccc}
+\cline{1-1}
+\temp{\lambda_1E} &\multicolumn{1}{|c}{}&        &           \\
+\cline{1-2}
+          &\temp{\lambda_2E}&\multicolumn{1}{|c}{}&           \\
+\cline{2-3}
+          &           &\temp{\ddots}&\multicolumn{1}{|c}{}\\
+\cline{3-4}
+          &           &        &\multicolumn{1}{|c|}{\raisebox{0pt}[12pt][7pt]{\phantom{x}$\lambda_mE$}\phantom{x}}\\
+\cline{4-4}
+\end{array}
+\right)
+\]
+Über die Grösse eines solchen $\lambda_iE$-Blockes können wir zum jetzigen
+Zeitpunkt noch keine Aussagen machen.
+
+Die Matrizen $A-\lambda_kE$ enthalten jeweils einen Block aus lauter
+Nullen.
+Das Produkt all dieser Matrizen  ist daher
+\[
+(A-\lambda_1E)
+(A-\lambda_2E)
+\cdots
+(A-\lambda_mE)
+=
+0.
+\]
+Über dem Körper $\Bbbk'$ gibt es also das Polynom
+$m(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_m)$ mit der Eigenschaft
+$m(A)=0$.
+Dies ist auch das Polynom von kleinstmöglichem Grad, denn für jeden
+Eigenwert muss ein entsprechender Linearfaktor in so einem Polynom vorkommen.
+Das Polynom $m(x)$ ist daher das Minimalpolynom der Matrix $A$.
+Da jeder Faktor in $m(x)$ auch ein Faktor von $\chi_A(x)$ ist,
+folgt wieder $\chi_A(A)=0$.
+Ausserdem ist über dem Körper $\Bbbk'$ das Polynom $m(x)$ ein Teiler
+des charakteristischen Polynoms $\chi_A(x)$.
+
+\subsection{Jordan-Normalform
+\label{buch:subsection:jordan-normalform}}
+Die Eigenwerte einer Matrix $A$ können als Nullstellen des 
+charakteristischen Polynoms gefunden werden.
+Da der Körper $\Bbbk$ nicht unbedingt algebraische abgeschlossen ist,
+zerfällt das charakteristische Polynom nicht unbedingt in Linearfaktoren,
+die Nullstellen sind nicht unbedingt in $\Bbbk$.
+Wir können aber immer zu einem grösseren Körper $\Bbbk'$ übergehen,
+in dem das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
+Wir nehmen im Folgenden an, dass 
+\[
+\chi_A(x)
+=
+(x-\lambda_1)^{k_1}
+\cdot
+(x-\lambda_2)^{k_2}
+\cdot
+\dots
+\cdot
+(x-\lambda_l)^{k_l}
+\]
+ist mit $\lambda_i\in\Bbbk'$.
+
+Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume} liefern
+die verallgemeinerten Eigenräume $V_i=\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ eine
+Zerlegung von $V$ in invariante Eigenräume
+\[
+V=V_1\oplus V_2\oplus \dots\oplus V_l,
+\]
+derart, dass $A-\lambda_iE$ auf $V_i$ nilpotent ist.
+Wählt man in jedem der Unterräume $V_i$ eine Basis, dann zerfällt die
+Matrix $A$ in Blockmatrizen
+\begin{equation}
+\def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{\raisebox{0pt}[17pt][12pt]{\phantom{x}$#1\mathstrut$}\phantom{x}}}
+A'
+=\left(
+\begin{array}{cccc}
+\cline{1-1}
+\temp{A_{1}} &\multicolumn{1}{|c}{}&        &           \\
+\cline{1-2}
+          &\temp{A_{2}}&\multicolumn{1}{|c}{}&           \\
+\cline{2-3}
+          &           &\temp{\ddots}&\multicolumn{1}{|c}{}\\
+\cline{3-4}
+          &           &        &\multicolumn{1}{|c|}{\raisebox{0pt}[17pt][12pt]{\phantom{x}$A_{l}$}\phantom{x}}\\
+\cline{4-4}
+\end{array}
+\right)
+\label{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent}
+\end{equation}
+wobei, $A_i$ Matrizen mit dem einzigen Eigenwert $\lambda_i$ sind.
+
+Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:allgnilpotent}
+kann man in den Unterräume die Basis zusätzlich so wählen, dass 
+die entstehenden Blöcke $A_i-\lambda_i E$ spezielle nilpotente Matrizen
+aus lauter Null sind, die höchstens unmittelbar über der Diagonalen
+Einträge $1$ haben kann.
+Dies bedeutet, dass sich immer eine Basis so wählen lässt, dass die
+Matrix $A_i$ zerfällt in sogenannte Jordan-Blöcke.
+
+\begin{definition}
+Ein $m$-dimensionaler {\em Jordan-Block} ist eine $m\times m$-Matrix
+\index{Jordan-Block}%
+der Form
+\[
+J_m(\lambda)
+=
+\begin{pmatrix}
+\lambda &    1    &         &        &         &         \\
+        & \lambda &    1    &        &         &         \\
+        &         & \lambda &        &         &         \\
+        &         &         & \ddots &         &         \\
+        &         &         &        & \lambda &     1   \\
+        &         &         &        &         & \lambda 
+\end{pmatrix}.
+\]
+Eine {\em Jordan-Matrix} ist eine Blockmatrix Matrix
+\[
+J
+=
+\def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{\raisebox{0pt}[17pt][12pt]{\phantom{x}$#1\mathstrut$}\phantom{x}}}
+\left(
+\begin{array}{cccc}
+\cline{1-1}
+\temp{J_{m_1}(\lambda)} &\multicolumn{1}{|c}{}&        &           \\
+\cline{1-2}
+          &\temp{J_{m_2}(\lambda)}&\multicolumn{1}{|c}{}&           \\
+\cline{2-3}
+          &           &\temp{\ddots}&\multicolumn{1}{|c}{}\\
+\cline{3-4}
+          &           &        &\multicolumn{1}{|c|}{\raisebox{0pt}[17pt][12pt]{\phantom{x}$J_{m_p}(\lambda)$}\phantom{x}}\\
+\cline{4-4}
+\end{array}
+\right)
+\]
+mit $m_1+m_2+\dots+m_p=m$.
+\index{Jordan-Matrix}%
+\end{definition}
+
+Da Jordan-Blöcke obere Dreiecksmatrizen sind, ist
+das charakteristische Polynom eines Jordan-Blocks oder einer Jordan-Matrix
+besonders einfach zu berechnen.
+Es gilt
+\[
+\chi_{J_m(\lambda)}(x)
+=
+\det (J_m(\lambda) - xE)
+=
+(\lambda-x)^m
+\]
+für einen Jordan-Block $J_m(\lambda)$.
+Für eine $m\times m$-Jordan-Matrix $J$ mit Blöcken $J_{m_1}(\lambda)$
+bis $J_{m_p}(\lambda)$ ist
+\[
+\chi_{J(\lambda)}(x)
+=
+\chi_{J_{m_1}(\lambda)}(x)
+\chi_{J_{m_2}(\lambda)}(x)
+\cdot
+\dots
+\cdot
+\chi_{J_{m_p}(\lambda)}(x)
+=
+(\lambda-x)^{m_1}
+(\lambda-x)^{m_2}
+\cdot\dots\cdot
+(\lambda-x)^{m_p}
+=
+(\lambda-x)^m.
+\]
+
+\begin{satz}
+\label{buch:eigenwerte:satz:jordannormalform}
+Über einem Körper $\Bbbk'\supset\Bbbk$, über dem das charakteristische
+Polynom $\chi_A(x)$ in Linearfaktoren zerfällt, lässt sich immer
+eine Basis finden derart, dass die Matrix $A$ zu einer Blockmatrix wird,
+die aus lauter Jordan-Matrizen besteht.
+Die Dimension der Jordan-Matrix zum Eigenwert $\lambda_i$ ist die
+Vielfachheit des Eigenwerts im charakteristischen Polynom.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Es ist nur noch die Aussage über die Dimension der Jordan-Blöcke zu
+beweisen.
+Die Jordan-Matrizen zum Eigenwert $\lambda_i$ werden mit $J_i$
+bezeichnet und sollen $m_i\times m_i$-Matrizen sein.
+Das charakteristische Polynom jedes Jordan-Blocks ist dann
+$\chi_{J_i}(x)=(\lambda_i-x)^{m_i}$.
+Das charakteristische Polynom der Blockmatrix mit diesen Jordan-Matrizen
+als Blöcken ist das Produkt
+\[
+\chi_A(x)
+=
+(\lambda_1-x)^{m_1}
+(\lambda_2-x)^{m_2}
+\cdots
+(\lambda_p-x)^{m_p}
+\]
+mit $m_1+m_2+\dots+m_p$.
+Die Blockgrösse $m_i$ ist also auch die Vielfachheit von $\lambda_i$ im
+charakteristischen Polynom $\chi_A(x)$.
+\end{proof}
+
+
+
+\begin{satz}[Cayley-Hamilton]
+Ist $A$ eine $n\times n$-Matrix über dem Körper $\Bbbk$, dann gilt
+$\chi_A(A)=0$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst gehen wir über zu einem Körper $\Bbbk'\supset\Bbbk$, indem
+das charakteristische Polynom $\chi_A(x)$ in Linearfaktoren
+$\chi_A(x)
+=
+(\lambda_1-x)^{m_1}
+(\lambda_2-x)^{m_2}
+\dots
+(\lambda_p-x)^{m_p}$
+zerfällt.
+Im Vektorraum $\Bbbk'$ kann man eine Basis finden, in der die Matrix
+$A$ in Jordan-Matrizen $J_1,\dots,J_p$ zerfällt, wobei $J_i$ eine
+$m_i\times m_i$-Matrix ist.
+Für den Block mit der Nummer $i$ erhalten wir
+$(J_i - \lambda_i E)^{m_i} = 0$.
+Setzt man also den Block $J_i$ in das charakteristische Polynom
+$\chi_A(x)$ ein, erhält man
+\[
+\chi_A(J_i)
+=
+(\lambda_1E - J_1)^{m_1}
+\cdot
+\ldots
+\cdot
+\underbrace{
+(\lambda_iE - J_i)^{m_i}
+}_{\displaystyle=0}
+\cdot
+\ldots
+\cdot
+(\lambda_iE - J_p)^{m_p}
+=
+0.
+\]
+Jeder einzelne Block $J_i$ wird also zu $0$, wenn man ihn in das
+charakteristische Polynome $\chi_A(x)$ einsetzt.
+Folglich gilt auch $\chi_A(A)=0$.
+
+Die Rechnung hat zwar im Körper $\Bbbk'$ stattgefunden, aber die Berechnung
+$\chi_A(A)$ kann in $\Bbbk$ ausgeführt werden, also ist $\chi_A(A)=0$.
+\end{proof}
+
+Aus dem Beweis kann man auch noch eine strengere Bedingung ableiten.
+Auf jedem verallgemeinerten Eigenraum $\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$
+ist $A_i-\lambda_i$ nilpotent, es gibt also einen minimalen Exponenten
+$q_i$ derart, dass $(A_i-\lambda_iE)^{q_i}=0$ ist.
+Wählt man eine Basis in jedem verallgemeinerten Eigenraum derart,
+dass $A_i$ eine Jordan-Matrix ist, kann man wieder zeigen, dass
+für das Polynom
+\[
+m_A(x)
+=
+(x-\lambda_1x)^{q_1}
+(x-\lambda_2x)^{q_2}
+\cdot
+\ldots
+\cdot
+(x-\lambda_px)^{q_p}
+\]
+gilt $m_A(A)=0$.
+$m_A(x)$ ist das {\em Minimalpolynom} der Matrix $A$.
+\index{Minimalpolynom einer Matrix}%
+
+\begin{satz}[Minimalpolynom]
+Über dem Körper $\Bbbk'\subset\Bbbk$, über dem das charakteristische
+Polynom $\chi_A(x)$ in Linearfaktoren zerfällt, ist das Minimalpolynom
+von $A$ das Polynom
+\[
+m(x)
+=
+(x-\lambda_1)^{q_1}
+(x-\lambda_2)^{q_2}
+\cdots
+\ldots
+\cdots
+(x-\lambda_p)^{q_p}
+\]
+wobei $q_i$ der kleinste Index ist, für den die $q_i$-te Potenz
+derEinschränkung von $A-\lambda_i E$ auf den verallgemeinerten Eigenraum
+$\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ verschwindet.
+Es ist das Polynom geringsten Grades über $\Bbbk'$, welches $m(A)=0$ erfüllt.
+\end{satz}
+
+
+\subsection{Reelle Normalform
+\label{buch:subsection:reelle-normalform}}
+
+\subsection{Obere Hessenberg-Form
+\label{buch:subsection:obere-hessenberg-form}}
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex
index 67147f2..bdc725f 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex
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 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi
 %
-\section{Spektralradius
-\label{buch:section:spektralradius}}
-% Satz von Gelfand
-% Konvergenz von Matrixreihen
-% Konditionszahl
+\section{Funktionen einer Matrix
+\label{buch:section:funktionen-einer-matrix}}
+\rhead{Funktionen einer Matrix}
+Eine zentrale Motivation in der Entwicklung der Eigenwerttheorie
+war das Bestreben, Potenzen $A^k$ auch für grosse $k$ effizient
+zu berechnen.
+Mit der Jordan-Normalform ist dies auch gelungen, wenigstens über
+einem Körper, in dem das charakteristische Polynom in Linearfaktoren
+zerfällt.
+Die Berechnung von Potenzen war aber nur der erste Schritt, das Ziel
+in diesem Abschnitt ist, $f(A)$ für eine genügend grosse Klasse von
+Funktionen $f$ berechnen zu können.
+
+%
+% Polynom-Funktionen von Matrizen
+%
+\subsection{Polynom-Funktionen
+\label{buch:subsection:polynom-funktionen}}
+In diesem Abschnitt ist $B\in M_n(\Bbbk)$ und $\Bbbk'\supset\Bbbk$ ein
+Körper, über dem das charakteristische Polynome $\chi_A(x)$ in
+Linearfaktoren
+\[
+\chi_A(x)
+=
+(\lambda_1-x)^{m_1}(\lambda_2-x)^{m_2}\cdot\ldots\cdot(\lambda_p-x)^{m_p}
+\]
+zerfällt.
+
+Für jedes beliebige Polynome $p(X)\in\Bbbk[X]$ der Form
+\[
+p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_1x + a_0
+\]
+kann man auch
+\[
+p(A) = a_nA^n + a_{n-1}A^{n-1} + \dots a_1A + a_0E
+\]
+berechnen.
+In der Jordan-Normalform können die Potenzen $A^k$ leicht zusammengstellt
+werden, sobald man die Potenzen von Jordan-Blöcken berechnet hat.
+
+\begin{satz}
+Die $k$-te Potenz von $J_n(\lambda)$ ist die Matrix mit
+\begin{equation}
+J_n(\lambda)^k
+=
+\begin{pmatrix}
+\lambda^k
+	& \binom{k}{1}\lambda^{k-1}
+		& \binom{k}{2} \lambda^{k-2}
+			& \binom{k}{3} \lambda^{k-3}
+				& \dots
+					&\binom{k}{n-1}\lambda^{k-n+1}
+\\
+0
+	& \lambda^k
+		& \binom{k}{1}\lambda^{k-1}
+			& \binom{k}{2} \lambda^{k-2}
+				& \dots
+					&\binom{k}{n-2}\lambda^{k-n+2}
+\\
+0
+	& 0
+		& \lambda^k
+			& \binom{k}{1}\lambda^{k-1}
+				& \dots
+					&\binom{k}{n-3}\lambda^{k-n+3}
+\\
+\vdots  &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots & \vdots
+\\
+0	& 0	& 0	& 0	& \dots	& \lambda^k
+\end{pmatrix}
+\label{buch:eigenwerte:eqn:Jnkpotenz}
+\end{equation}
+mit den Matrixelementen
+\[
+(J_n(\lambda)^k)_{ij}
+=
+\binom{k}{j-i}\lambda^{k-j+i}.
+\]
+Die Binomialkoeffizienten verschwinden für $j<i$ und $j>i+k$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Herkunft der Binomialkoeffizienten wird klar, wenn man
+\[
+J_n(\lambda) = \lambda E + N_n
+\]
+schreibt, wobei $N_n$ die Matrix \eqref{buch:eigenwerte:eqn:nnilpotent} ist.
+Die Potenzen von $N_n$ haben die Matrix-Elemente
+\[
+(N_n^k)_{ij}
+=
+\delta_{i,j-k}
+=
+\begin{cases}
+1&\qquad j-i=k\\
+0&\qquad\text{sonst,}
+\end{cases}
+\]
+sie haben also Einsen genau dort, wo in der
+\label{buch:eigenwerte:eqn:Jnkpotenz} die Potenz $\lambda^{k}$ steht.
+Die $kt$-te Potenz von $J_n(\lambda)$ kann dann mit dem binomischen
+Satz berechnet werden:
+\[
+J_n(\lambda)^k
+=
+\sum_{l=0}^k \binom{k}{l}\lambda^l N_n^{k-l},
+\]
+dies ist genau die Form \eqref{buch:eigenwerte:eqn:Jnkpotenz}.
+\end{proof}
+
+Wir haben bereits gesehen, dass $\chi_A(A)=0$, ersetzt man also das
+Polynom $p(X)$ durch $p(X)+\chi_A(X)$, dann ändert sich am Wert 
+\[
+(p+\chi_A)(A)
+=
+p(A) + \chi_A(A)
+=
+p(A)
+\]
+nichts.
+Man kann also nicht erwarten, dass verschiedene Polynome 
+$p(X)$ zu verschiedenen Matrizen $p(A)$ führen.
+Doch welche Unterschiede zwischen Polynomen wirken sich genau aus?
+
+\begin{satz}
+Für zwei Polynome $p(X)$ und $q(X)$ ist genau dann $p(A)=q(A)$, wenn
+das Minimalpolynom von $A$ die Differenz $p-q$ teilt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wenn $p(A)=q(A)$, dann ist $h(X)=p(X)-q(X)$ ein Polynom mit $h(A)=0$,
+daher muss $h(X)$ vom Minimalpolynom geteilt werden.
+Ist andererseits $p(X)-q(X)=m(X)t(X)$, dann ist
+$p(A)-q(A)=m(A)t(A)=0\cdot t(A) = 0$, also $p(A)=q(A)$.
+\end{proof}
+
+Über einem Körper $\Bbbk'\supset\Bbbk$, über dem das charakteristische
+Polynom in Linearfaktoren zerfällt, kann man das Minimalpolynom aus
+der Jordanschen Normalform ableiten.
+Es ist
+\[
+m(X)
+=
+(\lambda_1-X)^{q_1}
+(\lambda_2-X)^{q_2}
+\cdot\ldots
+\cdot
+(\lambda_p-X)^{q_p},
+\]
+wobei $q_i$ die Dimension des grössten Jordan-Blocks ist, der in der
+Jordan-Normalform vorkommt.
+Zwei Polynome $p_1(X)$ und $p_2(X)$ haben genau dann den gleichen Wert,
+wenn die Differenz $p_1(X)-p_2(X)$ genau die Nullstellen
+$\lambda_1,\dots,\lambda_p$ mit Vielfachheiten $q_1,\dots,q_p$ hat.
+
+\begin{beispiel}
+Wir betrachten die Matrix
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix}
+   1&  9& -4\\
+  -1&  3&  0\\
+  -2&  0&  3
+\end{pmatrix}
+\]
+mit dem charakteristischen Polynom
+\[
+\chi_A(x)
+=
+-x^3+7x^2-16 x+12
+=
+-(x-3)(x-2)^2.
+\]
+Daraus kann man bereits ablesen, dass das Minimalpolynom $m(X)$ von $A$ 
+entweder $(X-2)(X-3)$ oder $(X-2)^2(X-3)$ ist.
+Es genügt also nachzuprüfen, ob $p(A)=0$ für das Polynom
+$p(X)=(X-2)(X-3) = X^2-5X+6$ ist.
+Tatsächlich sind die Potenzen von $A$:
+\[
+A^2=
+\begin{pmatrix}
+  0&  36& -16 \\
+ -4&   0&   4 \\
+ -8& -18&  17 
+\end{pmatrix}
+,\qquad
+A^3=
+\begin{pmatrix}
+ -4& 108& -48\\
+-12& -36&  28\\
+-24&-126&  83
+\end{pmatrix}
+\]
+und daraus kann man jetzt $P(A)$ berechnen:
+\begin{equation}
+p(A)
+=
+\begin{pmatrix}
+  0&  36& -16 \\
+ -4&   0&   4 \\
+ -8& -18&  17 
+\end{pmatrix}
+-5
+\begin{pmatrix}
+   1&  9& -4\\
+  -1&  3&  0\\
+  -2&  0&  3
+\end{pmatrix}
++
+6
+\begin{pmatrix}
+1&0&0\\
+0&1&0\\
+0&0&1
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+   1& -9&  4\\
+   1& -9&  4\\
+   2&-18&  8
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}1&-9&4\end{pmatrix}
+\label{buch:eigenwerte:eqn:nichtminimalpolynom}
+\end{equation}
+Also ist tatsächlich $(X-2)^2(X-3)$ das Minimalpolynom.
+
+Das Quadrat des Polynoms $p(X)$ ist $p(X)^2 = (X-2)^2(X-3)^2$, es hat
+das Minimalpolynom als Teiler, also muss $p(A)^2=0$ sein.
+Die Gleichung \eqref{buch:eigenwerte:eqn:nichtminimalpolynom} ermöglicht,
+das Quaddrat $p(A)^2$ leichter zu berechnen:
+\[
+p(A)^2
+=
+\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}
+\underbrace{
+\begin{pmatrix}1&-9&4\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}
+}_{\displaystyle = 0}
+\begin{pmatrix}1&-9&4\end{pmatrix}
+=
+0
+,
+\]
+wie zu erwarten war.
+
+Wenn sich zwei Polynome nur um das charakteristische Polynom unterscheiden,
+dann haben sie den gleichen Wert auf $A$.
+Das Polynom $p_1(X)=X^3$ unterschiedet sich vom Polynom $p_2(X)=7X^2-16X+12$ 
+um das charakteristische Polynom, welches wir bereits als das Minimalpolynom
+von $A$ erkannt haben.
+Die dritte Potenz $A^3$ von $A$ muss sich daher auch mit $p_2(X)$ berechnen
+lassen:
+\[
+7
+\begin{pmatrix}
+  0&  36& -16 \\
+ -4&   0&   4 \\
+ -8& -18&  17 
+\end{pmatrix}
+-16
+\begin{pmatrix}
+   1&  9& -4\\
+  -1&  3&  0\\
+  -2&  0&  3
+\end{pmatrix}
++12
+\begin{pmatrix}
+1&0&0\\
+0&1&0\\
+0&0&1
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ -4& 108&  -48\\
+-12& -36&   28\\
+-24&-126&   83
+\end{pmatrix}
+=
+A^3.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+\begin{satz}
+Wenn $A$ diagonalisierbar ist über einem geeignet erweiterten Körper $\Bbbk'$,
+dann haben zwei Polynome $p(X)$ und $q(X)$ in $\Bbbk[X]$ genau dann
+den gleichen Wert auf $A$, also $p(A)=q(A)$, wenn $p(\lambda) = q(\lambda)$
+für alle Eigenwerte $\lambda$ von $A$.
+\end{satz}
+
+Über dem Körper der komplexen Zahlen ist die Bedingung, dass die Differenz
+$d(X)=p_1(X)-p_2(X)$ vom Minimalpolynom geteilt werden muss, gleichbedeutend
+damit, dass $p_1(X)$ und $p_2(X)$ den gleichen Wert und gleiche Ableitungen
+bis zur Ordnung $q_i-1$ haben in allen Eigenwerten $\lambda_i$, wobei 
+$q_i$ der Exponent von $\lambda_i-X$ im Minimalpolynom von $A$ ist.
+
+Das Beispiel illustriert auch noch ein weiteres wichtiges Prinzip.
+Schreiben wir das Minimalpolynom von $A$ in der Form
+\[
+m(X)
+=
+X^k + a_{k-1}X^{k-1} + \dots + a_1X + a_0,
+\]
+dann kann man wegen $m(A)=0$ die Potenzen $A^i$ mit $i\ge k$ mit der
+Rekursionsformel
+\[
+A^i
+=
+A^{i-k}A^k
+=
+A^{i-k}(-a_{k-1}A^{k-1}+ \dots + a_1 A + a_0E)
+\]
+in einer Linearkombination kleinerer Potenzen reduzieren.
+Jedes Polynom vom Grad $\ge k$ kann also reduizert werden in
+ein Polynom vom Grad $<k$ mit dem gleichen Wert auf $A$.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:eigenwerte:satz:reduktion}
+Sei $A$ eine Matrix über $\Bbbk$ mit Minimalpolynom $m(X)$.
+Zu jedem $p(X)\in\Bbbk[X]$ gibt es ein Polynom $q(X)\in\Bbbk[X]$
+vom Grad $\deg q<\deg m$ mit $p(A)=q(A)$.
+\end{satz}
+
+%
+% Approximationen für Funktionswerte f(A)
+%
+\subsection{Approximation von $f(A)$
+\label{buch:subsection:approximation}}
+Die Quadratwurzelfunktion $x\mapsto\sqrt{x}$ lässt sich nicht durch ein
+Polynom darstellen, es gibt also keine direkte Möglichkeit, $\sqrt{A}$
+für eine beliebige Matrix zu definieren.
+Wir können versuchen, die Funktion durch ein Polynom zu approximieren.
+Damit dies geht, müssen wir folgende zwei Fragen klären:
+\begin{enumerate}
+\item
+Wie misst man, ob ein Polynom eine Funktion gut approximiert?
+\item
+Was bedeutet es genau, dass zwei Matrizen ``nahe beeinander'' sind?
+\item
+In welchem Sinne müssen Polynome ``nahe'' beeinander sein, damit
+auch die Werte auf $A$ nahe beeinander sind.
+\end{enumerate}
+
+Wir wissen bereits, dass nur die Werte und gewisse Ableitungen des
+Polynoms $p(X)$ in den Eigenwerten einen Einfluss auf $p(A)$ haben.
+Es genügt also, Approximationspolynome zu verwenden, welche in der Nähe
+der Eigenwerte ``gut genug'' approximieren.
+Solche Polynome gibt es dank dem Satz von Stone-Weierstrass immer:
+
+\begin{satz}[Stone-Weierstrass]
+Ist $I\subset\mathbb{R}$ kompakt, dann lässt sich jede stetige Funktion
+durch eine Folge $p_n(x)$ beliebig genau approximieren.
+\end{satz}
+
+Wir haben schon gezeigt, dass es dabei auf die höheren Potenzen gar nicht
+ankommt, nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:reduktion} kann man ein
+approximierendes Polynom immer durch ein Polynom von kleinerem Grad
+als das Minimalpolynom ersetzen.
+
+\begin{definition}
+\index{Norm}%
+Die {\em Norm} einer Matrix $M$ ist
+\[
+\|M\|
+=
+\max\{|Mx|\,|\, x\in\mathbb R^n\wedge |x|=1\}.
+\]
+Für einen Vektor $x\in\mathbb R^n$ gilt $|Mx| \le \|M\|\cdot |x|$.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Die Matrix
+\[
+M=\begin{pmatrix}
+0&2\\
+\frac13&0
+\end{pmatrix}
+\]
+hat Norm
+\[
+\|M\|
+=
+\max_{|x|=1} |Mx| 
+=
+\max_{t\in\mathbb R} \sqrt{2^2\cos^2 t +\frac1{3^2}\sin^2t} = 2.
+\]
+Da aber
+\[
+M^2 = \begin{pmatrix}
+\frac{2}{3}&0\\
+0&\frac{2}{3}
+\end{pmatrix}
+\qquad\Rightarrow\qquad \|M^2\|=\frac23
+\]
+ist, wird eine Iteration mit Ableitungsmatrix $M$ trotzdem
+konvergieren, weil der Fehler nach jedem zweiten Schritt um den
+Faktor $\frac23$ kleiner geworden ist.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Wir berechnen die Norm eines Jordan-Blocks.
+
+\end{beispiel}
+
+%
+% Potenzreihen für Funktionen $f(z)$
+%
+\subsection{Potenzreihen
+\label{buch:subsection:potenzreihen}}
+
+
+
+Dies führt uns auf die Grösse
+\begin{equation}
+\pi(M)
+=
+\limsup_{n\to\infty} \|M^n\|^\frac1n.
+\label{buch:eqn:gelfand-grenzwert}
+\end{equation}
+Ist $\pi(M) > 1$, dann gibt es Anfangsvektoren $v$ für die Iteration,
+für die $M^kv$ über alle Grenzen wächst.
+Ist $\pi(M) < 1$, dann wird jeder Anfangsvektor $v$ zu einer Iterationsfolge
+$M^kv$ führen, die gegen $0$ konvergiert.
+Die Kennzahl $\pi(M)$ erlaubt also zu entscheiden, ob ein
+Iterationsverfahren konvergent ist.
+\index{Konvergenzbedingung}%
+
+Die Berechnung von $\pi(M)$ als Grenzwert ist sehr unhandlich.
+Viel einfacher ist der Begriff des Spektralradius.
+\index{Spektralradius}%
+
+\begin{definition}
+\label{buch:definition:spektralradius}
+Der {\em Spektralradius} der Matrix $M$ ist der Betrag des betragsgrössten
+Eigenwertes.
+\end{definition}
+
+%
+% Gelfand-Radius und Eigenwerte
+%
+\subsection{Gelfand-Radius und Eigenwerte
+\label{buch:subsection:spektralradius}}
+In Abschnitt~\ref{buch:subsection:konvergenzbedingung}
+ist der Gelfand-Radius mit Hilfe eines Grenzwertes definiert worden.
+\index{Gelfand-Radius}%
+Nur dieser Grenzwert ist in der Lage, über die Konvergenz eines 
+Iterationsverfahrens Auskunft zu geben.
+Der Grenzwert ist aber sehr mühsam zu berechnen.
+\index{Grenzwert}%
+Es wurde angedeutet, dass der Gelfand-Radius mit dem Spektralradius
+übereinstimmt, dem Betrag des  betragsgrössten Eigenwertes.
+Dies hat uns ein vergleichsweise einfach auszuwertendes Konvergenzkriterium
+geliefert.
+\index{Konvergenzkriterium}%
+In diesem Abschnitt soll diese Identität zunächst an Spezialfällen
+und später ganz allgemein gezeigt werden.
+
+\subsubsection{Spezialfall: Diagonalisierbare Matrizen}
+Ist eine Matrix $A$ diagonalisierbar, dann kann Sie durch eine Wahl
+einer geeigneten Basis in Diagonalform
+\index{diagonalisierbar}%
+\index{Diagonalform}%
+\[
+A'
+=
+\begin{pmatrix}
+\lambda_1&        0&\dots &0\\
+0        &\lambda_2&\dots &0\\
+\vdots   &         &\ddots&\vdots\\
+0        &        0&\dots &\lambda_n
+\end{pmatrix}
+\]
+gebracht werden, wobei die Eigenwerte $\lambda_i$  möglicherweise auch
+komplex sein können.
+\index{komplex}%
+Die Bezeichnungen sollen so gewählt sein, dass $\lambda_1$ der
+betragsgrösste Eigenwert ist, dass also
+\[
+|\lambda_1| \ge |\lambda_2| \ge \dots \ge |\lambda_n|.
+\]
+Wir nehmen für die folgende, einführende Diskussion ausserdem an, dass
+sogar $|\lambda_1|>|\lambda_2|$ gilt.
+
+Unter den genannten Voraussetzungen kann man jetzt den Gelfand-Radius
+von $A$ berechnen.
+Dazu muss man $|A^nv|$ für einen beliebigen Vektor $v$ und für
+beliebiges $n$ berechnen.
+Der Vektor $v$ lässt sich in der Eigenbasis von $A$ zerlegen, also
+als Summe
+\index{Eigenbasis}%
+\[
+v = v_1+v_2+\dots+v_n
+\]
+schreiben, wobei $v_i$ Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_i$ sind oder
+Nullvektoren.
+Die Anwendung von $A^k$ ergibt dann
+\[
+A^k v
+=
+A^k v_1 + A^k v_2 + \dots + A^k v_n
+=
+\lambda_1^k v_1 + \lambda_2^k v_2 + \dots + \lambda_n^k v_n.
+\]
+Für den Grenzwert braucht man die Norm von $A^kv$, also
+\begin{align}
+|A^kv|
+&= |\lambda_1^k v_1 + \lambda_2^k v_2 + \dots + \lambda_3 v_3|
+\notag
+\\
+\Rightarrow\qquad
+\frac{|A^kv|}{\lambda_1^k}
+&=
+\biggl|
+v_1 +
+\biggl(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\biggr)^k v_2
++
+\dots
++
+\biggl(\frac{\lambda_n}{\lambda_1}\biggr)^k v_n
+\biggr|.
+\label{buch:spektralradius:eqn:eigenwerte}
+\end{align}
+Da alle Quotienten $|\lambda_i/\lambda_1|<1$ sind für $i\ge 2$,
+konvergieren alle Terme auf der rechten Seite von
+\eqref{buch:spektralradius:eqn:eigenwerte}
+ausser dem ersten gegen $0$.
+Folglich ist
+\[
+\lim_{k\to\infty} \frac{|A^kv|}{|\lambda_1|^k}
+=
+|v_1|
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\lim_{k\to\infty} \frac{|A^kv|^\frac1k}{|\lambda_1|}
+=
+\lim_{k\to\infty}|v_1|^{\frac1k}
+=
+1.
+\]
+Dies gilt für alle Vektoren $v$, für die $v_1\ne 0$ ist.
+Der maximale Wert dafür wird erreicht, wenn man für 
+$v$ einen Eigenvektor der Länge $1$ zum Eigenwert $\lambda_1$ einsetzt,
+dann ist $v=v_1$.
+Es folgt dann
+\[
+\pi(A)
+=
+\lim_{k\to\infty} \| A^k\|^\frac1k
+=
+\lim_{k\to\infty} |A^kv|^\frac1k
+=
+|\lambda_1|
+=
+\varrho(A).
+\]
+Damit ist gezeigt, dass im Spezialfall einer diagonalisierbaren Matrix der
+Gelfand-Radius tatsächlich der Betrag des betragsgrössten Eigenwertes ist.
+\index{Gelfand-Radius}%
+
+\subsubsection{Blockmatrizen}
+Wir betrachten jetzt eine $(n+m)\times(n+m)$-Blockmatrix der Form
+\begin{equation}
+A = \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & C\end{pmatrix}
+\label{buch:spektralradius:eqn:blockmatrix}
+\end{equation}
+mit einer $n\times n$-Matrix $B$ und einer $m\times m$-Matrix $C$.
+Ihre Potenzen haben ebenfalls Blockform:
+\[
+A^k = \begin{pmatrix} B^k & 0 \\ 0 & C^k\end{pmatrix}.
+\]
+Ein Vektor $v$ kann in die zwei Summanden $v_1$ bestehen aus den
+ersten $n$ Komponenten und $v_2$ bestehen aus den letzten $m$ 
+Komponenten zerlegen.
+Dann ist
+\[
+A^kv = B^kv_1 + C^kv_2.
+\qquad\Rightarrow\qquad
+|A^kv|
+\le
+|B^kv_1| + |C^kv_2|
+\le 
+\pi(B)^k |v_1| + \pi(C)^k |v_2|.
+\]
+Insbesondere haben wir das folgende Lemma gezeigt:
+
+\begin{lemma}
+\label{buch:spektralradius:lemma:diagonalbloecke}
+Eine diagonale Blockmatrix $A$ \eqref{buch:spektralradius:eqn:blockmatrix}
+Blöcken $B$ und $C$  hat Gelfand-Radius
+\[
+\pi(A) = \max ( \pi(B), \pi(C) )
+\]
+\end{lemma}
+
+Selbstverständlich lässt sich das Lemma auf Blockmatrizen mit beliebig
+vielen diagonalen Blöcken verallgemeinern.
+\index{Blockmatrix}%
+
+Für Diagonalmatrizen der genannten Art sind aber auch die 
+Eigenwerte leicht zu bestimmen.
+\index{Diagonalmatrix}%
+Hat $B$ die Eigenwerte $\lambda_i^{(B)}$ mit $1\le i\le n$ und $C$ die
+Eigenwerte $\lambda_j^{(C)}$ mit $1\le j\le m$, dann ist das charakteristische
+Polynom der Blockmatrix $A$ natürlich
+\index{charakteristisches Polynom}%
+\index{Polynom!charakteristisch}%
+\[
+\chi_A(\lambda) = \chi_B(\lambda)\chi_C(\lambda),
+\]
+woraus folgt, dass die Eigenwerte von $A$ die Vereinigung der Eigenwerte
+von $B$ und $C$ sind.
+Daher gilt auch für die Spektralradius die Formel
+\[
+\varrho(A) = \max(\varrho(B) , \varrho(C)).
+\]
+
+\subsubsection{Jordan-Blöcke}
+\index{Jordan-Block}%
+Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar, die bekanntesten Beispiele sind
+die Matrizen
+\begin{equation}
+J_n(\lambda)
+=
+\begin{pmatrix}
+\lambda &      1&       &       &       &       \\
+        &\lambda&      1&       &       &       \\[-5pt]
+        &       &\lambda&\ddots &       &       \\[-5pt]
+        &       &       &\ddots &      1&       \\
+        &       &       &       &\lambda&      1\\
+        &       &       &       &       &\lambda
+\end{pmatrix},
+\label{buch:spektralradius:eqn:jordan}
+\end{equation}
+wobei $\lambda\in\mathbb C$ eine beliebige komplexe Zahl ist.
+Wir nennen diese Matrizen {\em Jordan-Matrizen}.
+Es ist klar, dass $J_n(\lambda)$ nur den $n$-fachen Eigenwert
+$\lambda$ hat und dass der erste Standardbasisvektor ein
+Eigenvektor zu diesem Eigenwert ist.
+
+In der linearen Algebra lernt man, dass jede Matrix durch Wahl
+\index{lineare!Algebra}%
+einer geeigneten Basis als Blockmatrix der Form
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix}
+J_{n_1}(\lambda_1) &        0         & \dots & 0 \\
+       0         & J_{n_2}(\lambda_2) & \dots & 0 \\[-4pt]
+\vdots           &\vdots            &\ddots &\vdots \\
+       0         &        0         & \dots &J_{n_l}(\lambda_l)
+\end{pmatrix}
+\]
+geschrieben werden kann\footnote{Sofern die Matrix komplexe Eigenwerte
+hat muss man auch komplexe Basisvektoren zulassen.}.
+Die früheren Beobachtungen über den Spektralradius und den
+Gelfand-Radius von Blockmatrizen zeigen uns daher, dass
+nur gezeigt werden muss, dass nur die Gleichheit des Gelfand-Radius
+und des Spektral-Radius von Jordan-Blöcken gezeigt werden muss.
+
+\subsubsection{Iterationsfolgen}
+\begin{satz}
+\label{buch:spektralradius:satz:grenzwert}
+Sei $A$ eine $n\times n$-Matrix mit Spektralradius $\varrho(A)$.
+Dann ist $\varrho(A)<1$ genau dann, wenn
+\[
+\lim_{k\to\infty} A^k = 0.
+\]
+Ist andererseits $\varrho(A) > 1$, dann ist
+\[
+\lim_{k\to\infty} \|A^k\|=\infty.
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wie bereits angedeutet reicht es, diese Aussagen für einen einzelnen
+Jordan-Block mit Eigenwert $\lambda$ zu beweisen.
+Die $k$-te Potenz von $J_n(\lambda)$ ist
+\[
+J_n(\lambda)^k
+=
+\renewcommand\arraystretch{1.35}
+\begin{pmatrix}
+\lambda^k    & \binom{k}{1} \lambda^{k-1} & \binom{k}{2}\lambda^{k-2}&\dots&
+\binom{k}{n-1}\lambda^{k-n+1}\\
+      0      &\lambda^k & \binom{k}{1} \lambda^{k-1} & \dots &\binom{k}{n-2}\lambda^{k-n+2}\\
+      0     &      0    & \lambda^k & \dots &\binom{k}{n-k+3}\lambda^{k-n+3}\\
+\vdots      & \vdots    &               &\ddots & \vdots\\
+     0      &      0    &      0        &\dots  &\lambda^k
+\end{pmatrix}.
+\]
+Falls $|\lambda| < 1$ ist, gehen alle Potenzen von $\lambda$ exponentiell
+schnell gegen $0$, während die Binomialkoeffizienten nur polynomiell
+schnell anwachsen. 
+\index{Binomialkoeffizient}%
+In diesem Fall folgt also $J_n(\lambda)\to 0$.
+
+Falls $|\lambda| >1$ divergieren bereits die Elemente auf der Diagonalen,
+also ist $\|J_n(\lambda)^k\|\to\infty$ mit welcher Norm auch immer man
+man die Matrix misst.
+\end{proof}
+
+Aus dem Beweis kann man noch mehr ablesen.
+Für $\varrho(A)< 1$ ist die Norm $ \|A^k\| \le M \varrho(A)^k$ für eine
+geeignete Konstante $M$,
+für $\varrho(A) > 1$ gibt es eine Konstante $m$ mit
+$\|A^k\| \ge m\varrho(A)^k$.
+
+\subsubsection{Der Satz von Gelfand}
+Der Satz von Gelfand ergibt sich jetzt als direkte Folge aus dem
+Satz~\ref{buch:spektralradius:satz:grenzwert}.
+
+\begin{satz}[Gelfand]
+\index{Satz von Gelfand}%
+\index{Gelfand!Satz von}%
+\label{buch:satz:gelfand}
+Für jede komplexe $n\times n$-Matrix $A$ gilt
+\[
+\pi(A)
+=
+\lim_{k\to\infty}\|A^k\|^\frac1k
+=
+\varrho(A).
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Der Satz~\ref{buch:spektralradius:satz:grenzwert} zeigt, dass der
+Spektralradius ein scharfes Kriterium dafür ist, ob $\|A^k\|$ 
+gegen 0 oder $\infty$ konvergiert.
+Andererseits ändert ein Faktor $t$ in der Matrix $A$ den Spektralradius
+ebenfalls um den gleichen Faktor, also $\varrho(tA)=t\varrho(A)$.
+Natürlich gilt auch
+\[
+\pi(tA)
+=
+\lim_{k\to\infty} \|t^kA^k\|^\frac1k
+=
+\lim_{k\to\infty} t\|A^k\|^\frac1k
+=
+t\lim_{k\to\infty} \|A^k\|^\frac1k
+=
+t\pi(A).
+\]
+
+Wir betrachten jetzt die Matrix
+\[
+A(\varepsilon) = \frac{A}{\varrho(A) + \varepsilon}.
+\]
+Der Spektralradius von $A(\varepsilon)$ ist
+\[
+\varrho(A(\varepsilon)) = \frac{\varrho(A)}{\varrho(A)+\varepsilon},
+\]
+er ist also $>1$ für negatives $\varepsilon$ und $<1$ für positives
+$\varepsilon$.
+Aus dem Satz~\ref{buch:spektralradius:satz:grenzwert} liest man daher ab,
+dass $\|A(\varepsilon)^k\|$ genau dann gegen $0$ konvergiert, wenn
+$\varepsilon > 0$ ist und divergiert genau dann, wenn $\varepsilon< 0$ ist.
+
+Aus der Bemerkung nach dem Beweis von
+Satz~\ref{buch:spektralradius:satz:grenzwert} schliesst man daher, dass 
+es im Fall $\varepsilon > 0$ eine Konstante $M$ gibt mit
+\begin{align*}
+\|A(\varepsilon) ^k\|\le M\varrho(A(\varepsilon))^k
+\quad&\Rightarrow\quad
+\|A(\varepsilon) ^k\|^\frac1k\le M^\frac1k\varrho(A(\varepsilon))
+\\
+&\Rightarrow\quad
+\pi(A) \le  \varrho(A(\varepsilon))
+\underbrace{\lim_{k\to\infty} M^\frac1k}_{\displaystyle=1}
+=
+\varrho(A(\varepsilon))
+=
+\varrho(A)+\varepsilon.
+\end{align*}
+Dies gilt für beliebige $\varepsilon >0$, es folgt daher
+$\pi(A) \le \varrho(A)$.
+
+Andererseits gibt es für $\varepsilon <0$ eine Konstante $m$ mit
+\begin{align*}
+\|A(\varepsilon) ^k\|\ge m\varrho(A(\varepsilon))^k
+\quad&\Rightarrow\quad
+\|A(\varepsilon) ^k\|^\frac1k\ge m^\frac1k\varrho(A(\varepsilon))
+\\
+&\Rightarrow\quad
+\pi(A) \ge  \varrho(A(\varepsilon))
+\underbrace{\lim_{k\to\infty} m^\frac1k}_{\displaystyle=1}
+=
+\varrho(A(\varepsilon))
+=
+\varrho(A)+\varepsilon.
+\end{align*}
+Dies gilt für beliebige $\varepsilon> 0$, es folgt daher
+$\pi(A) \ge \varrho(A)$.
+Zusammen mit $\pi(A) \le \varrho(A)$ folgt $\pi(A)=\varrho(A)$.
+\end{proof}
 
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex
new file mode 100644
index 0000000..2fab61a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex
@@ -0,0 +1,76 @@
+Verwenden Sie die Matrixdarstellung komplexer Zahlen, um $i^i$ zu
+berechnen.
+
+\begin{hinweis}
+Verwenden Sie die eulersche Formel um $\log J$ zu bestimmen.
+\end{hinweis}
+
+\begin{loesung}
+Wir berechnen $J^J$ mit Hilfe des Logarithmus als
+$J^J = \exp(J\log J)$.
+Zunächst erinnern wir an die Eulersche Formel
+\[
+\exp tJ
+=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{t^k J^k}{k!}
+=
+\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i}(-1)^i}{(2i)!}\cdot E
++
+\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i+1}(-1)^i}{(2i+1)!}\cdot J
+=
+\cos t\cdot E
++
+\sin t\cdot J.
+\]
+Daraus liest man ab, dass 
+\[
+\log \begin{pmatrix}
+\cos t&-\sin t\\
+\sin t& \cos t
+\end{pmatrix}
+=
+tJ
+\]
+gilt.
+Für die Matrix $J$ heisst das
+\begin{equation}
+J = \begin{pmatrix}
+0&-1\\1&0
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\frac{\pi}2&-\sin\frac{\pi}2\\
+\sin\frac{\pi}2& \cos\frac{\pi}2
+\end{pmatrix}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\log J = \frac{\pi}2 J.
+\label{4001:logvalue}
+\end{equation}
+Als nächstes müssen wir $J\log J$ berechnen.
+Aus \eqref{4001:logvalue} folgt
+\[
+J\log J = J\cdot \frac{\pi}2J = - \frac{\pi}2 \cdot E.
+\]
+Darauf ist die Exponentialreihe auszuwerten, also
+\[
+J^J
+=
+\exp (J\log J)
+=
+\exp(-\frac{\pi}2 E)
+=
+\exp
+\begin{pmatrix}
+-\frac{\pi}2&0\\
+0&-\frac{\pi}2
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+e^{-\frac{\pi}2}&0\\
+0&e^{-\frac{\pi}2}
+\end{pmatrix}
+=
+e^{-\frac{\pi}2} E.
+\]
+Als komplexe Zahlen ausgedrückt folgt also $i^i = e^{-\frac{\pi}2}$.
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex
new file mode 100644
index 0000000..6c0223e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex
@@ -0,0 +1,23 @@
+Seien $z$ und $w$  komplexe Zahlen derart, dass $z=e^w$, d.~h.~$w$ ist
+ein Wert des Logarithmus von $z$.
+Zeigen Sie, dass die Zahlen $w+2\pi ik$ für $k\in\mathbb Z$ ebenfalls 
+Logarithmen von $z$ sind.
+Dies zeigt, dass eine komlexe Zahl unendlich viele verschiedene
+Logarithmen haben kann, die Logarithmusfunktion ist im Komplexen
+nicht eindeutig.
+
+\begin{loesung}
+Aus der Eulerschen Formel folgt
+\begin{align*}
+e^{w+2\pi ik}
+&=
+e^w\cdot e^{2\pi ik}
+=
+e^w (\underbrace{\cos 2\pi k}_{\displaystyle=1} + i \underbrace{\sin 2\pi k}_{\displaystyle = 0})
+=
+e^w
+=
+z.
+\qedhere
+\end{align*}
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.m b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.m
new file mode 100644
index 0000000..e6e94db
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.m
@@ -0,0 +1,66 @@
+#
+# 4003.m
+#
+# (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+A = [
+  -13,   5, -29,  29;
+  -27,  11, -51,  51;
+   -3,   1,  -2,   5;
+   -6,   2, -10,  13
+];
+
+eig(A)
+
+
+lambda = 2
+B = A - lambda*eye(4)
+rref(B)
+
+D = B*B*B*B
+
+lambda = 3
+B = A - lambda*eye(4)
+rref(B)
+
+D = B*B*B*B
+
+b1 = [0;0;1;1]
+b2 = [1;0;0;0]
+b3 = [0;1;0;0]
+b4 = [0;0;1;2]
+
+T = zeros(4,4);
+T(:,1) = b1;
+T(:,2) = b2;
+T(:,3) = b3;
+T(:,4) = b4;
+
+AA = inverse(T)*A*T
+
+A1 = AA(2:4,2:4)
+B1 = A1 - 2*eye(3)
+B1 * B1
+B1 * B1 * B1
+
+c30 = [ 0; 1; 3; 1 ]
+
+c3 = T*c30
+
+lambda=2
+B=A-lambda*eye(4)
+c2=B*c3
+c1=B*c2
+
+T = zeros(4,4);
+T(:,1) = [0;0;1;1]
+T(:,2) = c1;
+T(:,3) = c2;
+T(:,4) = c3
+det(T)
+inverse(T)
+det(T)*inverse(T)
+
+inverse(T)*A*T
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.maxima b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.maxima
new file mode 100644
index 0000000..bbbc045
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.maxima
@@ -0,0 +1,16 @@
+/* 
+ * 4003.maxima - algebraische Lösung von Aufgabe 4003
+ *
+ * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+
+A: matrix(
+ [ -13,   5, -29,  29 ],
+ [ -27,  11, -51,  51 ],
+ [  -3,   1,  -2,   5 ],
+ [  -6,   2, -10,  13 ]);
+
+p: expand(charpoly(A,x));
+tex(p);
+factor(p);
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex
new file mode 100644
index 0000000..3cd9959
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex
@@ -0,0 +1,241 @@
+Finden Sie eine Basis von $\mathbb{Q}^4$ derart, dass die Matrix $A$
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix}
+-13&  5& -29& 29\\
+-27& 11& -51& 51\\
+ -3&  1&  -2&  5\\
+ -6&  2& -10& 13
+\end{pmatrix}
+\]
+Jordansche Normalform hat.
+
+\begin{loesung}
+Zunächst muss man die Eigenwerte finden.
+Dazu kann man das charakteristische Polynom berechnen, man findet nach
+einiger Rechnung oder mit Hilfe einer Software für symbolische Rechnung:
+\[
+\chi_A(\lambda)
+=
+x^4-9x^3+30x^2-44x+24
+=
+(x-3)^3(x-2),
+\]
+Eigenwerte sind also $\lambda=3$ und $\lambda=2$.
+
+Der Eigenwert $\lambda=2$ ist ein einfacher Eigenwert, der zugehörige
+Eigenraum ist daher eindimensional.
+Ein Eigenvektor kann mit Hilfe des linearen Gleichungssystems
+\begin{align*}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+-13-\lambda& 5        &-29        &29        \\
+-27        &11-\lambda&-51        &51        \\
+ -3        & 1        & -2-\lambda& 5        \\
+ -6        & 2        &-10        &13-\lambda\\
+\hline
+\end{tabular}
+&\rightarrow
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+  -16&   5& -29&  29\\
+  -27&   8& -51&  51\\
+   -3&   1&  -5&   5\\
+   -6&   2& -10&  10\\
+\hline
+\end{tabular}
+\to
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+1&0&0& 0\\
+0&1&0& 0\\
+0&0&1&-1\\
+0&0&0& 0\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{align*}
+gefunden werden.
+Daraus liest man den Eigenvektor
+\[
+b_1
+=
+\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\1\end{pmatrix},
+\qquad
+Ab_1 = 
+\begin{pmatrix}
+-13&  5& -29& 29\\
+-27& 11& -51& 51\\
+ -3&  1&  -2&  5\\
+ -6&  2& -10& 13
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\1\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+0\\0\\3\\3
+\end{pmatrix}
+=
+3b_1
+\]
+ab.
+Diesen  Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-eE)$
+bestimmen.
+Die vierte Potenz von $A-2E$ ist
+\begin{equation}
+(A-2E)^4
+=
+\begin{pmatrix}
+   0&  0&  0&  0\\
+   0&  0&  0&  0\\
+   0&  0&  2& -1\\
+   0&  0&  2& -1
+\end{pmatrix},
+\label{4003:potenz}
+\end{equation}
+der zugehörige Bildraum ist wieder aufgespannt von $b_1$.
+
+Aus \eqref{4003:potenz} kann man aber auch eine Basis
+\[
+b_2
+=
+\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}
+,\qquad
+b_3
+=
+\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}
+,\qquad
+b_4
+=
+\begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix}
+\]
+für den Kern $\mathcal{K}(A-2E)$ ablesen.
+Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2E)
+= \mathcal{J}(A-3E)$ sein.
+Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2E$
+berechnen, sie ist
+\[
+(A-2E)^4
+=
+\begin{pmatrix}
+    79&  -26&  152& -152\\
+   162&  -53&  312& -312\\
+    12&   -4&   23&  -23\\
+    24&   -8&   46&  -46\\
+\end{pmatrix}.
+\]
+Die Spaltenvektoren lassen sich alle durch die Vektoren $b_2$, $b_3$
+und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2E)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$.
+
+Indem die Vektoren $b_i$ als Spalten in eine Matrix $T$ schreibt, kann man
+jetzt berechnen, wie die Matrix der linearen Abbildung in dieser neuen
+Basis aussieht, es ist
+\[
+A'=T^{-1}AT
+\left(
+\begin{array}{r|rrr}
+    3&   0&   0&   0\\
+\hline
+    0& -13&   5&  29\\
+    0& -27&  11&  51\\
+    0&  -3&   1&   8
+\end{array}
+\right),
+\]
+wir haben also tatsächlich die versprochene Blockstruktur.
+
+Der $3\times 3$-Block
+\[
+A_1
+=
+\begin{pmatrix}
+ -13&   5&  29\\
+ -27&  11&  51\\
+  -3&   1&   8
+\end{pmatrix}
+\]
+in der rechten unteren Ecke hat den dreifachen Eigenwert $2$, 
+und die Potenzen von $A_1-2E$ sind
+\[
+A_1-2E
+\begin{pmatrix}
+  -15 &  5&  29\\
+  -27 &  9&  51\\
+   -3 &  1&   6
+\end{pmatrix}
+,\qquad
+(A_1-2E)^2
+=
+\begin{pmatrix}
+    3 & -1 & -6\\
+    9 & -3 &-18\\
+    0 &  0 &  0\\
+\end{pmatrix}
+,\qquad
+(A_1-2E)^3=0.
+\]
+Für die Jordan-Normalform brauchen wir einen von $0$ verschiedenen
+Vektor im Kern von $(A_1-2E)^2$, zum Beispiel den Vektor mit den
+Komponenten $1,3,1$.
+Man beachte aber, dass diese Komponenten jetzt in der neuen Basis
+$b_2,\dots,b_4$ zu verstehen sind, d.~h.~der Vektor, den wir suchen, ist
+\[
+c_3
+=
+b_1+ 3b_2+b_3
+=
+\begin{pmatrix}1\\3\\1\\2\end{pmatrix}.
+\]
+Jetzt berechnen wir die Bilder von $c_3$ unter $A-2E$:
+\[
+c_2
+=
+\begin{pmatrix}
+29\\51Ò\\6\\12
+\end{pmatrix}
+,\qquad
+c_1
+=
+\begin{pmatrix}
+-6\\-18\\0\\0
+\end{pmatrix}.
+\]
+Die Basis $b_1,c_1,c_2,c_3$ ist also eine Basis, in der die Matrix $A$
+Jordansche Normalform annimmt.
+
+Die Umrechnung der Matrix $A$ in die Basis $\{b_1,c_1,c_2,c_3\}$ kann 
+mit der Matrix
+\[
+T_1
+=
+\begin{pmatrix}
+    0&  -6&  29&   1\\
+    0& -18&  51&   3\\
+    1&   0&   6&   1\\
+    1&   0&  12&   2\\
+\end{pmatrix},
+\qquad
+T_1^{-1}
+=
+\frac{1}{216}
+\begin{pmatrix}
+     0&    0&  432& -216\\
+    33&  -23&  -36&   36\\
+    18&   -6&    0&    0\\
+  -108&   36& -216&  216
+\end{pmatrix}
+\]
+erfolgen und ergibt die Jordansche Normalform
+\[
+A'
+=
+\begin{pmatrix}
+3&0&0&0\\
+0&2&1&0\\
+0&0&2&1\\
+0&0&0&2
+\end{pmatrix}
+\]
+wie erwartet.
+\end{loesung}
+
+