zweite Lesung

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diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
index 2577b48..3fa6aa7 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
@@ -44,7 +44,7 @@ aus zwei identischen Zeilen.
 Die Verknüpfung zweier solcher Permutationen kann leicht graphisch
 dargestellt werden: dazu werden die beiden Permutationen
 untereinander geschrieben und Spalten der zweiten Permutation
-in der Reihen folge der Zahlen in der zweiten Zeile der ersten
+in der Reihenfolge der Zahlen in der zweiten Zeile der ersten
 Permutation angeordnet.
 Die zusammengesetzte Permutation kann dann in der zweiten Zeile
 der zweiten Permutation abgelesen werden:
@@ -75,7 +75,7 @@ dass die Zahlen in der ersten Zeile ansteigend sind:
 
 \subsection{Zyklenzerlegung
 \label{buch:subsection:zyklenzerlegung}}
-Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit sogenanten Zyklenzerlegung
+Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit der sogenanten Zyklenzerlegung
 \index{Zyklenzerlegung}%
 analysiert werden.
 
@@ -98,7 +98,8 @@ Zum Beispiel:
 \begin{center}
 \includegraphics{chapters/50-permutationen/images/zyklenzerlegung.pdf}
 \end{center}
-Der folgende Algorithmus findet die Zyklenzerlegung einer Permutation.
+Der folgende Satz stellt einen Algorithmus bereit, mit dem die
+Zyklenzerlegung einer Permutation gefunden werden kann.
 
 \begin{satz}
 Sei $\sigma\in S_n$ eine Permutation. Der folgende Algorithmus findet
@@ -143,7 +144,7 @@ m = \operatorname{kgV} (|Z_1|,|Z_2|,\dots,|Z_k|).
 Zwei Elemente $g_1,g_2\in G$ einer Gruppe heissen {\em konjugiert}, wenn
 \index{konjugiert}
 es ein Element $c\in G$ gibt derart, dass $cg_1c^{-1}=g_2$.
-Bei Matrizen bedeutet dies bedeutet, dass die beiden Matrizen durch
+Bei Matrizen bedeutet dies, dass die beiden Matrizen durch
 Basiswechsel auseinander hervorgehen.
 Dasselbe lässt sich auch im Kontext der symmetrischen Gruppe sagen.
 
@@ -175,16 +176,16 @@ $\sigma_1^k\gamma = \gamma\sigma_2^k$, also
 \[
 \gamma(Z_i)
 =
-\{\gamma(x),\sigma_1(\gamma(x)),\sigma_1^2(\gamma(x)),\dots\},
+\{\gamma(x),\sigma_1(\gamma(x)),\sigma_1^2(\gamma(x)),\dots\}.
 \]
-Also ist $\gamma(Z_i)$ ein Zyklus von $\sigma_1$.
+Somit ist $\gamma(Z_i)$ ein Zyklus von $\sigma_1$.
 Die Permutation $\gamma$ bildet also Zyklen von $\sigma_2$ auf Zyklen
 von $\sigma_1$ ab.
 Es folgt daher der folgende Satz:
 
 \begin{satz}
 Seien $\sigma_1,\sigma_2\in S_n$ konjugiert $\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$
-mit dem $\gamma\in S_n$.
+mit $\gamma\in S_n$.
 Wenn $Z_1,\dots,Z_k$ die Zyklen von $\sigma_2$ sind, dann sind 
 $\gamma(Z_1),\dots,\gamma(Z_k)$ die Zyklen von $\sigma_1$.
 \end{satz}