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author | LordMcFungus <mceagle117@gmail.com> | 2021-03-22 18:05:11 +0100 |
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diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex index 71cc991..700c0f2 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex @@ -6,3 +6,192 @@ \section{Permutationen einer endlichen Menge \label{buch:section:permutationen-einer-endlichen-menge}} \rhead{Permutationen} +Eine endliche Anzahl $n$ von Objekten können auf $n!$ Arten angeordnet +werden. +Als Objektmenge nehmen wir $[n] = \{ 1,\dots,n\}$. +Die Operation, die die Objekte in eine bestimmte Reihenfolge bringt, +ist eine Abbildung $\sigma\colon[n]\to[n]$. +Eine Permutation ist eine umkehrbare Abbildung $[n]\to[n]$. +Die Menge $S_n$ aller umkehrbaren Abbildungen $[n]\to[n]$ +mit der Verknüpfung von Abbildungen als Operation heisst die +die {\em symmetrische Gruppe}. +Die identische Abbildung $\sigma(x)=x$ ist das {\em neutrale +Element} der Gruppe $S_n$ und wir auch mit $e$ bezeichnet. + +\subsection{Permutationen als $2\times n$-Matrizen} +Eine Permutation kann als $2\times n$-Matrix geschrieben werden: +\begin{center} +\includegraphics{chapters/50-permutationen/images/permutation.pdf} +\end{center} +Das neutrale Element hat die Matrix +\[ +e = \begin{pmatrix} +1&2&3&4&5&6\\ +1&2&3&4&5&6 +\end{pmatrix} +\] +aus zwei identischen Zeilen. + +Die Verknüpfung zweier solcher Permutationen kann leicht graphisch +dargestellt werden: dazu werden die beiden Permutationen +untereinander geschrieben und Spalten der zweiten Permutation +in der Reihen folge der Zahlen in der zweiten Zeile der ersten +Permutation angeordnet. +Die zusammengesetzte Permutation kann dann in der zweiten Zeile +der zweiten Permutation abgelesen werden: +\begin{center} +\includegraphics{chapters/50-permutationen/images/komposition.pdf} +\end{center} +Die Inverse einer Permutation kann erhalten werden, indem die beiden +Zeilen vertauscht werden und dann die Spalten wieder so angeordnet werden, +dass die Zahlen in der ersten Zeile ansteigend sind: +\[ +\sigma = \begin{pmatrix} +1&2&3&4&5&6\\ +2&1&3&5&6&4 +\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +\sigma^{-1} += +\begin{pmatrix} +2&1&3&5&6&4\\ +1&2&3&4&5&6 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +1&2&3&4&5&6\\ +2&1&3&6&4&5 +\end{pmatrix}. +\] + +\subsection{Zyklenzerlegung +\label{buch:subsection:zyklenzerlegung}} +Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit sogenanten Zyklenzerlegung +analysiert werden. +Zum Beispiel: +\begin{center} +\includegraphics{chapters/50-permutationen/images/zyklenzerlegung.pdf} +\end{center} + +\begin{definition} +Ein Zyklus $Z$ ist eine unter $\sigma$ invariante Teilmenge von $[n]$ +minimaler Grösse. +Die Zyklenzerlegung ist eine Zerlegung von $[n]$ in Zyklen +\[ +[n] += +\cup_{i=1}^k Z_i, +\] +wobei jede Menge $Z_i$ ein Zyklus ist. +\end{definition} + +Der folgende Algorithmus findet die Zyklenzerlegung einer Permutation. + +\begin{satz} +Sei $\sigma\in S_n$ eine Permutation. Der folgende Algorithmus findet +die Zyklenzerlegung von $\sigma$: +\begin{enumerate} +\item +$i=1$ +\item +Wähle das erste noch nicht verwendete Element +\[ +s_i=\min\biggl( [n] \setminus \bigcup_{j< i} Z_j\biggr) +\] +\item +Bestimme alle Elemente, die aus $s_i$ durch Anwendung von $\sigma$ +entstehen: +\[ +Z_i += +\{ s_i, \sigma(s_i), \sigma(\sigma(s_i)), \dots \} += +\{\sigma^k(s_i)\;|\; k\ge 0\}. +\] +\item +Falls $\bigcup_{j\le i} Z_j\ne [n]$, erhöhe $i$ um $1$ und fahre +weiter bei 2. +\end{enumerate} +\end{satz} + +Mit Hilfe der Zyklenzerlegung von $\sigma$ lassen sich auch +gewisse Eigenschaften von $\sigma$ ableiten. +Sei also $[n] = Z_1\cup\dots\cup Z_k$ die Zyklenzerlegung. +Für jedes Element $x\in S_i$ gilt $\sigma^{|S_i|}(x) = x$. +Die kleinste Zahl $m$, für die $\sigma^m=e$ ist, das kleinste +gemeinsame Vielfache der Zyklenlängen: +\[ +m = \operatorname{kgV} (|Z_1|,|Z_2|,\dots,|Z_k|). +\] + +\subsection{Konjugierte Elemente in $S_n$} +Zwei Elemente $g_1,g_2\in G$ einer Gruppe heissen konjugiert, wenn +es ein Element $c\in G$ gibt derart, dass $cg_1c^{-1}=g_2$. +Bei Matrizen hat dies bedeutet, dass die beiden Matrizen durch +Basiswechsel auseinander hervorgehen. +Dasselbe lässt sich auch im Kontext der symmetrischen Gruppe sagen. + +Seien $\sigma_1$ und $\sigma_2$ zwei konjugierte Permutationen in $S_n$. +Es gibt also eine Permutation $\gamma\in S_n$ derart, dass +$\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$ oder $\gamma^{-1}\sigma_1\gamma=\sigma_2$. +Dann gilt auch für die Potenzen +\begin{equation} +\sigma_1^k = \gamma\sigma_2^k\gamma^{-1}. +\label{buch:permutationen:eqn:konjpot} +\end{equation} +Ist $Z_i$ ein Zyklus von $\sigma_2$ und $x\in Z_i$, dann ist +$Z_i = \{ x,\sigma_2(x),\sigma_2^2(x),\dots\}$. +Die Menge $\gamma(Z_i)$ besteht dann aus dem Elementen +$\gamma(Z_i)=\{\gamma(x),\gamma(\sigma_2(x)),\gamma(\sigma_2^2(x)),\dots\}$. +Aus der Formel~\eqref{buch:permutationen:eqn:konjpot} folgt +$\sigma_1^k\gamma = \gamma\sigma_2^k$, also +\[ +\gamma(Z_i) += +\{\gamma(x),\sigma_1(\gamma(x)),\sigma_1^2(\gamma(x)),\dots\}, +\] +Also ist $\gamma(Z_i)$ ein Zyklus von $\sigma_1$. +Die Permutation $\gamma$ bildet also Zyklen von $\sigma_2$ auf Zyklen +von $\sigma_1$ ab. +Es folgt daher der folgende Satz: + +\begin{satz} +Sind $\sigma_1,\sigma_2\in S_n$ konjugiert $\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$ +mit dem $\gamma\in S_n$. +Wenn $Z_1,\dots,Z_k$ die Zyklen von $\sigma_2$ sind, dann sind +$\gamma(Z_1),\dots,\gamma(Z_k)$ die Zyklen von $\sigma_1$. +\end{satz} + +Die Zyklenzerlegung kann mit der Jordan-Normalform \ref{XXX} +einer Matrix verglichen werden. +Durch einen Basiswechsel, welcher durch eine ``Konjugation'' +von Matrizen ausgedrückt wir, kann die Matrix in eine besonders +übersichtliche Form gebracht werden. +Wenn $\sigma$ die Zyklenzerlegung $Z_1,\dots,Z_k$ mit Zyklenlängen +$l_i=|Z_i|$, dann kann man die Menge $[n]$ wie folgt in Teilmengen +\begin{align*} +X_1 &= \{1,\dots, l_1\}, +\\ +X_2 &= \{l_1+1,\dots,l_1+l_2\}, +\\ +X_i &= \{l_1+\dots+l_{i-1}+1,\dots, l_1+\dots+l_i\} +\\ +X_k &= \{l_1+\dots+l_{k-1}+1,\dots n\} +\end{align*} +zerlegen. +Sei $\sigma_2$ die Permutation, die in jeder der Mengen $X_i$ durch +zyklische Vertauschung der Elemente wirkt. +Indem man die Elemente von $Z_i$ in der Reihenfolge, in der sie durch +$\sigma_1$ erreicht werden, auf die Elemente $X_i$ abbildet, findet +man eine Permutation, die Zyklen von $\sigma_1$ in Zyklen von $\sigma_2$ +überführt. + +\begin{satz} +Wenn zwei Elemente $\sigma_1,\sigma_2\in S_n$ Zyklenzerlegungen mit den +gleichen Zyklenlängen haben, dann sind sie konjugiert. +\end{satz} + +Ein Element $\sigma\in S_n$ ist also bis auf eine Permutation +vollständig durch die Länge der Zyklen von $\sigma$ charakterisiert. + + |