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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-09-02 19:50:27 +0200 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-09-02 19:50:27 +0200 |
commit | 1843428795ae9005da7d54cad51450de9b7d298f (patch) | |
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Chapter 5, permutations
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-rw-r--r-- | buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex | 31 |
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diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex index 748b2e9..b8f3d41 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex @@ -12,11 +12,12 @@ Es zeigt sich aber, dass sich eine Permutation in noch elementarere Bausteine zerlegen lässt, die Transpositionen. \begin{definition} -Einen Transposition $\tau\in S_n$ ist ein Permutation, die genau +Eine {\em Transposition} $\tau\in S_n$ ist ein Permutation, die genau zwei Elemente vertauscht. -Die Transposition $\tau_{ij}$ ist definiert durch +\index{Transposition}% +Die Transposition $\tau_{i\!j}$ ist definiert durch \[ -\tau_{ij}(x) +\tau_{i\!j}(x) = \begin{cases} i&\qquad x=j\\ @@ -41,7 +42,7 @@ Es ist also \[ \sigma = -\tau_{12} \tau_{23} \tau_{34} \dots \tau_{k-3,k-2} \tau_{k-2,k-1} \tau_{k-1,k}. +\tau_{12} \tau_{23} \tau_{34} \cdots \tau_{k-3,k-2} \tau_{k-2,k-1} \tau_{k-1,k}. \] \begin{satz} Jede Permutation $\sigma\in S_n$ lässt sich als ein Produkt von @@ -66,6 +67,8 @@ die Anzahl gerade ist oder nicht, ist sehr wohl eine charkterisierende Eigenschaft einer Permutation. \begin{definition} +\index{Vorzeichen}% +\index{Signum}% Das {\em Vorzeichen} oder {\em Signum} einer Permutation $\sigma$ ist die Zahl $\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^k$, wenn $\sigma$ als Produkt von $k$ Transpositionen geschrieben werden kann. @@ -77,16 +80,18 @@ dann ist $\sigma^{-1}=\tau_k\dots\tau_2\tau_1$, sowohl $\sigma$ wie $\sigma^{-1}$ können also mit der gleichen Zahl von Transpositionen geschrieben werden, sie haben also auch das gleiche Vorzeichen. -Die Abbildung $S_n\to\{\pm\}$, die einer Permutation das Signum zuordnet, -ist ein Homomorphismus von Gruppen, +Die Abbildung $S_n\to\{\pm1\}$, die einer Permutation das Signum zuordnet, +ist ein Homomorphismus von Gruppen +(siehe Definition~\ref{buch:gruppen:def:homomorphismus}), +\index{Homomorphismus}% d.~h. \[ \operatorname{sgn}(\sigma_1\sigma_2) = \operatorname{sgn}(\sigma_1) -\operatorname{sgn}(\sigma_2) +\operatorname{sgn}(\sigma_2). \] -da ganz offensichtlich $\sigma_1\sigma_2$ mit $k_1+k_2$ Transpositionen +Da ganz offensichtlich $\sigma_1\sigma_2$ mit $k_1+k_2$ Transpositionen geschrieben kann, wenn $\sigma_i$ mit $k_i$ Transpositionen geschrieben werden kann. @@ -101,16 +106,24 @@ A_n \{ \sigma\in S_n\;|\; \operatorname{sgn}(\sigma)=1 \} -\subset S_n. += +\ker \operatorname{sgn} +\subset +S_n. \] +\index{Kern}% +\index{alterniernde Gruppe}% heisst die {\em alternierende Gruppe} der Ordnung $n$ Die Elemente von $A_n$ heissen auch die {\em geraden} Permutationen, +\index{gerade Permutation}% +\index{ungerade Permutation}% die Elemente von $S_n\setminus A_n$ heissen auch die {\em ungeraden} Permutationen. \end{definition} Die alternierende Gruppe $A_n$ ist tatsächlich eine Untergruppe. +\index{Untergruppe}% Zunächst ist $\operatorname{sgn}(e)=(-1)^0=1$, also ist $e\in A_n$. Es wurde schon gezeigt, dass mit jedem Element $\sigma\in A_n$ auch das inverse Element $\sigma^{-1}\in A_n$ ist. |