chapter 8, intro typos

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diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
index b8298b1..9ca210d 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
@@ -6,7 +6,7 @@
 %
 \section{Determinante
 \label{buch:section:determinante}}
-Das Signum einer Permutationsmatrizen lässt sich
+Das Signum einer Permutationsmatrix lässt sich
 gemäss~\eqref{buch:permutationen:determinante}
 mit der Determinanten berechnen.
 Umgekehrt sollte es auch möglich sein, eine Formel
@@ -70,28 +70,28 @@ schreiben lassen, wobei die Koeffizienten $c(\sigma)$ noch zu bestimmen
 sind.
 Setzt man in
 \eqref{buch:permutationen:cformel}
-eine Permutationsmatrix $P_\tau$ ein, dann verschwinden alle
-Terme auf der rechten Seite ausser dem zur Permutation $\tau$,
+eine Permutationsmatrix $P_\gamma$ ein, dann verschwinden alle
+Terme auf der rechten Seite ausser dem zur Permutation $\gamma$,
 also
 \[
-\det(P_\tau)
+\det(P_\gamma)
 =
 \sum_{\sigma \in S_n}
 c(\sigma)
 \,
-(P_\tau)_{1\sigma(1)}
-(P_\tau)_{2\sigma(2)}
+(P_\gamma)_{1\sigma(1)}
+(P_\gamma)_{2\sigma(2)}
 \cdots
-(P_\tau)_{n\sigma(n)}
+(P_\gamma)_{n\sigma(n)}
 =
-c(\tau)
+c(\gamma)
 \,
 1\cdot 1\cdots 1
 =
-c(\tau).
+c(\gamma).
 \]
-Der Koeffizientn $c(\tau)$ ist also genau das Vorzeichen
-der Permutation $\tau$.
+Der Koeffizient $c(\gamma)$ ist also genau das Vorzeichen
+der Permutation $\gamma$.
 Damit erhalten wir den folgenden Satz:
 
 \begin{satz}
@@ -106,12 +106,12 @@ a_{2\sigma(2)}
 \cdots
 a_{n\sigma(n)}
 =
-\sum_{\tau\in S_n}
-\operatorname{sgn}(\tau)
-a_{\tau(1)1}
-a_{\tau(2)2}
+\sum_{\gamma\in S_n}
+\operatorname{sgn}(\gamma)
+a_{\gamma(1)1}
+a_{\gamma(2)2}
 \cdots
-a_{\tau(n)n}.
+a_{\gamma(n)n}.
 \]
 Insbesondere folgt auch $\det(A)=\det(A^t)$.
 \end{satz}
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index 24ed053..32bf217 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
@@ -12,7 +12,7 @@ Da es in dieser Diskussion nicht auf die Art der Objekte ankommt,
 nehmen wir als Objektmenge die Zahlen $[n] = \{ 1,\dots,n\}$
 (siehe auch Definition~\ref{buch:zahlen:def:[n]}).
 Die Operation, die die Objekte in eine bestimmte Reihenfolge bringt,
-ist eine Abbildung $\sigma\colon[n]\to[n]$.
+ist eine umkehrbare Abbildung $\sigma\colon[n]\to[n]$.
 
 \begin{definition}
 \label{buch:permutationen:def:permutation}
@@ -80,8 +80,8 @@ Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit der sogenanten Zyklenzerlegung
 analysiert werden.
 
 \begin{definition}
-Ein Zyklus $Z$ ist eine unter $\sigma$ invariante Teilmenge von $[n]$
-minimaler Grösse.
+Der Zyklus $Z$ eines Elements von $[n]$ ist die unter $\sigma$ invariante
+Teilmenge von $[n]$ minimaler Grösse, die das Element enthält.
 \index{Zyklus}%
 \index{invariante Teilmenge}%
 \index{minimale Grösse}%
@@ -106,11 +106,11 @@ Sei $\sigma\in S_n$ eine Permutation. Der folgende Algorithmus findet
 die Zyklenzerlegung von $\sigma$:
 \begin{enumerate}
 \item
-$i=1$
+$i=1$.
 \item
 Wähle das erste noch nicht verwendete Element
 \[
-s_i=\min\biggl( [n] \setminus \bigcup_{j< i} Z_j\biggr)
+s_i=\min\biggl( [n] \setminus \bigcup_{j< i} Z_j\biggr).
 \]
 \item
 Bestimme alle Elemente, die aus $s_i$ durch Anwendung von $\sigma$
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
index 9108824..0a5aea0 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
@@ -77,7 +77,7 @@ Die Verknüpfung von Permutationen wird zur Matrixmultiplikation
 von Permutationsmatrizen, die Zuordnung $\sigma\mapsto P_\sigma$
 ist also ein Homomorphismus
 \index{Homomorphismus}%
-$S_n \to M_n(\Bbbk^n)$,
+$S_n \to \operatorname{GL}_n(\Bbbk)$,
 es ist
 $P_{\sigma_1\sigma_2}=P_{\sigma_1}P_{\sigma_2}$.
 $\sigma$ heisst gemäss Definition~\ref{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung}
@@ -105,9 +105,11 @@ P_{\tau_{i\!j}}
 \end{pmatrix}.
 \]
 
-Die Permutation $\sigma$ mit dem Zyklus $1\to 2\to\dots\to l-1\to l\to 1$
+Die Permutation $\sigma$ mit dem Zyklus
+$1\mapsto 2\mapsto\dots\mapsto l-1\mapsto l\mapsto 1$
 der Länge $l$ kann aus aufeinanderfolgenden Transpositionen zusammengesetzt
-werden, die zugehörigen Permutationsmatrizen sind
+werden.
+Die zugehörigen Permutationsmatrizen sind
 \begin{align*}
 P_\sigma
 &=
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
index 222a7cc..8e8fefb 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
@@ -32,7 +32,8 @@ Zyklen haben die Länge $1$.
 
 \subsection{Zyklus und Permutationen aus Transpositionen}
 Sei $\sigma$ die zyklische Vertauschung der Elemente $1,\dots,k\in [n]$,
-also die Permutation, die $1\to2\to3\to\dots\to k-2\to k-1\to k\to 1$
+also die Permutation, die
+$1\mapsto2\mapsto3\mapsto\dots\mapsto k-2\mapsto k-1\mapsto k\mapsto 1$
 abbildet.
 Dieser Zyklus lässt sich wie folgt aus Transpositionen zusammensetzen:
 \begin{center}
@@ -63,7 +64,7 @@ werden.
 Die Anzahl Transpositionen, die zur Darstellung einer Permutation
 nötig ist, ändert sich aber immer nur um eine gerade Zahl.
 Die Anzahl ist also keine Invariante einer Permutation, aber ob
-die Anzahl gerade ist oder nicht, ist sehr wohl eine charkterisierende
+die Anzahl gerade ist oder nicht, ist sehr wohl eine charkteristische
 Eigenschaft einer Permutation.
 
 \begin{definition}