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index 2acf6f6..5c973fd 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex
@@ -1,233 +1,233 @@
-Eine Drehung eines Vektors $\vec{x}$ der Ebene $\mathbb{R}^2$
-um den Winkel $\alpha$ gefolgt von einer Translation um $\vec{t}$
-ist gegeben durch $D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$.
-Darauf lässt sich jedoch die Theorie der Matrizengruppen nicht
-darauf anwenden, weil die Operation nicht die Form einer Matrixmultiplikation
-schreiben.
-Die Drehung und Translation kann in eine Matrix zusammengefasst werden,
-indem zunächst die Ebene mit
-\[
-\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3
-:
-\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
-\mapsto
-\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}
-\qquad\text{oder in Vektorschreibweise }\qquad
-\vec{x}\mapsto\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
-\]
-in den dreidimensionalen Raum eingebettet wird.
-Die Drehung und Verschiebung kann damit in der Form
-\[
-\begin{pmatrix}D_\alpha\vec{x}+\vec{t}\\1
-\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}D_\alpha&\vec{t}\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
-\]
-als Matrizenoperation geschrieben werden.
-Die Gruppe der Drehungen und Verschiebungen der Ebene ist daher
-die Gruppe
-\[
-G
-=
-\left\{
-\left.
-A
-=
-\begin{pmatrix}
-D_\alpha&\vec{t}\\
-0&1
-\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha & -\sin\alpha & t_x \\
-\sin\alpha &  \cos\alpha & t_y \\
-     0     &       0     &  1
-\end{pmatrix}
-\;
-\right|
-\;
-\alpha\in\mathbb{R},\vec{t}\in\mathbb{R}^2
-\right\}
-\]
-Wir kürzen die Elemente von $G$ auch als $(\alpha,\vec{t})$ ab.
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Verifizieren Sie, dass das Produkt zweier solcher Matrizen 
-$(\alpha_1,\vec{t}_1)$ und $(\alpha_2,\vec{t}_2)$
-wieder die selbe Form $(\alpha,\vec{t})$ hat und berechnen Sie
-$\alpha$ und $\vec{t}_j$.
-\item
-Bestimmen Sie das inverse Element zu $(\alpha,\vec{t}) \in G$.
-\item
-Die Elemente der Gruppe $G$ sind parametrisiert durch den Winkel $\alpha$
-und die Translationskomponenten $t_x$ und $t_y$.
-Rechnen Sie nach, dass
-\[
-\alpha\mapsto \begin{pmatrix} D_{\alpha}&0\\0&1\end{pmatrix},
-\quad
-t_x\mapsto
-\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix},
-\qquad
-t_y\mapsto
-\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
-\]
-Einparameteruntergruppen von $G$ sind.
-\item
-Berechnen Sie die Tangentialvektoren $D$, $X$ und $Y$,
-die zu den Einparameteruntergruppen von c) gehören.
-\item
-Berechnen Sie die Lie-Klammer für alle Paare von Tangentialvektoren.
-\end{teilaufgaben}
-
-\begin{loesung}
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Die Wirkung beider Gruppenelemente auf dem Vektor $\vec{x}$ ist
-\begin{align*}
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}&\vec{t}_2\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
-&=
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2\\1\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-D_{\alpha_1}(D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2)+\vec{t}_1\\1
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-D_{\alpha_1}D_{\alpha_2}\vec{x} + D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\1
-\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-D_{\alpha_1+\alpha_2}&D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\
-0&1
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}.
-\end{align*}
-Das Produkt in der Gruppe $G$ kann daher
-\[
-(\alpha_1,\vec{t}_1) (\alpha_2,\vec{t}_2)
-=
-(\alpha_1+\alpha_2,\vec{t}_1+D_{\alpha_1}\vec{t}_2)
-\]
-geschrieben werden.
-\item
-Die Inverse der Abbildung $\vec{x}\mapsto \vec{y}=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$
-kann gefunden werden, indem man auf der rechten Seite nach $\vec{x}$
-auflöst:
-\begin{align*}
-\vec{y}&=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}
-&&\Rightarrow&
-D_{\alpha}^{-1}( \vec{y}-\vec{t}) &= \vec{x}
-\\
-&&&& \vec{x} &= D_{-\alpha}\vec{y} + (-D_{-\alpha}\vec{t})
-\end{align*}
-Die Inverse von $(\alpha,\vec{t})$ ist also $(-\alpha,-D_{-\alpha}\vec{t})$.
-\item
-Da $D_\alpha$ eine Einparameteruntergruppe von $\operatorname{SO}(2)$ ist,
-ist $\alpha\mapsto (D_\alpha,0)$ ebenfalls eine Einparameteruntergruppe.
-Für die beiden anderen gilt
-\[
-\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}\\0\end{pmatrix}\biggr)
-\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)
-=
-\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}+t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)
-\quad\text{und}\quad
-\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}\end{pmatrix}\biggr)
-\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y2}\end{pmatrix}\biggr)
-=
-\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}+t_{y2}\end{pmatrix}\biggr),
-\]
-also sind dies auch Einparameteruntergruppen.
-\item
-Die Ableitungen sind
-\begin{align*}
-D
-&=
-\frac{d}{d\alpha}\begin{pmatrix}D_\alpha&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{\alpha=0}
-=
-\begin{pmatrix}J&0\\0&0\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&-1&0\\
-1& 0&0\\
-0& 0&0
-\end{pmatrix}
-\\
-X
-&=
-\frac{d}{dt_x}
-\left.
-\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
-\right|_{t_x=0}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&1\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-&
-Y
-&=
-\frac{d}{dt_y}
-\left.
-\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
-\right|_{t_y=0}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&1\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-\end{align*}
-\item
-Die Vertauschungsrelationen sind
-\begin{align*}
-[D,X]
-&=
-DX-XD
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&1\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-Y
-\\
-[D,Y]
-&=
-DY-YD
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&-1\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-=
--X
-\\
-[X,Y]
-&=
-XY-YX
-=
-0-0=0
-\qedhere
-\end{align*}
-\end{teilaufgaben}
-\end{loesung}
+Eine Drehung eines Vektors $\vec{x}$ der Ebene $\mathbb{R}^2$

+um den Winkel $\alpha$ gefolgt von einer Translation um $\vec{t}$

+ist gegeben durch $D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$.

+Darauf lässt sich jedoch die Theorie der Matrizengruppen nicht

+darauf anwenden, weil die Operation nicht die Form einer Matrixmultiplikation

+schreiben.

+Die Drehung und Translation kann in eine Matrix zusammengefasst werden,

+indem zunächst die Ebene mit

+\[

+\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3

+:

+\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

+\mapsto

+\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}

+\qquad\text{oder in Vektorschreibweise }\qquad

+\vec{x}\mapsto\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}

+\]

+in den dreidimensionalen Raum eingebettet wird.

+Die Drehung und Verschiebung kann damit in der Form

+\[

+\begin{pmatrix}D_\alpha\vec{x}+\vec{t}\\1

+\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}D_\alpha&\vec{t}\\0&1\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}

+\]

+als Matrizenoperation geschrieben werden.

+Die Gruppe der Drehungen und Verschiebungen der Ebene ist daher

+die Gruppe

+\[

+G

+=

+\left\{

+\left.

+A

+=

+\begin{pmatrix}

+D_\alpha&\vec{t}\\

+0&1

+\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}

+\cos\alpha & -\sin\alpha & t_x \\

+\sin\alpha &  \cos\alpha & t_y \\

+     0     &       0     &  1

+\end{pmatrix}

+\;

+\right|

+\;

+\alpha\in\mathbb{R},\vec{t}\in\mathbb{R}^2

+\right\}

+\]

+Wir kürzen die Elemente von $G$ auch als $(\alpha,\vec{t})$ ab.

+\begin{teilaufgaben}

+\item

+Verifizieren Sie, dass das Produkt zweier solcher Matrizen 

+$(\alpha_1,\vec{t}_1)$ und $(\alpha_2,\vec{t}_2)$

+wieder die selbe Form $(\alpha,\vec{t})$ hat und berechnen Sie

+$\alpha$ und $\vec{t}_j$.

+\item

+Bestimmen Sie das inverse Element zu $(\alpha,\vec{t}) \in G$.

+\item

+Die Elemente der Gruppe $G$ sind parametrisiert durch den Winkel $\alpha$

+und die Translationskomponenten $t_x$ und $t_y$.

+Rechnen Sie nach, dass

+\[

+\alpha\mapsto \begin{pmatrix} D_{\alpha}&0\\0&1\end{pmatrix},

+\quad

+t_x\mapsto

+\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix},

+\qquad

+t_y\mapsto

+\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}

+\]

+Einparameteruntergruppen von $G$ sind.

+\item

+Berechnen Sie die Tangentialvektoren $D$, $X$ und $Y$,

+die zu den Einparameteruntergruppen von c) gehören.

+\item

+Berechnen Sie die Lie-Klammer für alle Paare von Tangentialvektoren.

+\end{teilaufgaben}

+

+\begin{loesung}

+\begin{teilaufgaben}

+\item

+Die Wirkung beider Gruppenelemente auf dem Vektor $\vec{x}$ ist

+\begin{align*}

+\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}&\vec{t}_2\\0&1\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}

+&=

+\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2\\1\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}

+D_{\alpha_1}(D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2)+\vec{t}_1\\1

+\end{pmatrix}

+\\

+&=

+\begin{pmatrix}

+D_{\alpha_1}D_{\alpha_2}\vec{x} + D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\1

+\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}

+D_{\alpha_1+\alpha_2}&D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\

+0&1

+\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}.

+\end{align*}

+Das Produkt in der Gruppe $G$ kann daher

+\[

+(\alpha_1,\vec{t}_1) (\alpha_2,\vec{t}_2)

+=

+(\alpha_1+\alpha_2,\vec{t}_1+D_{\alpha_1}\vec{t}_2)

+\]

+geschrieben werden.

+\item

+Die Inverse der Abbildung $\vec{x}\mapsto \vec{y}=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$

+kann gefunden werden, indem man auf der rechten Seite nach $\vec{x}$

+auflöst:

+\begin{align*}

+\vec{y}&=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}

+&&\Rightarrow&

+D_{\alpha}^{-1}( \vec{y}-\vec{t}) &= \vec{x}

+\\

+&&&& \vec{x} &= D_{-\alpha}\vec{y} + (-D_{-\alpha}\vec{t})

+\end{align*}

+Die Inverse von $(\alpha,\vec{t})$ ist also $(-\alpha,-D_{-\alpha}\vec{t})$.

+\item

+Da $D_\alpha$ eine Einparameteruntergruppe von $\operatorname{SO}(2)$ ist,

+ist $\alpha\mapsto (D_\alpha,0)$ ebenfalls eine Einparameteruntergruppe.

+Für die beiden anderen gilt

+\[

+\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}\\0\end{pmatrix}\biggr)

+\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)

+=

+\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}+t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)

+\quad\text{und}\quad

+\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}\end{pmatrix}\biggr)

+\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y2}\end{pmatrix}\biggr)

+=

+\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}+t_{y2}\end{pmatrix}\biggr),

+\]

+also sind dies auch Einparameteruntergruppen.

+\item

+Die Ableitungen sind

+\begin{align*}

+D

+&=

+\frac{d}{d\alpha}\begin{pmatrix}D_\alpha&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{\alpha=0}

+=

+\begin{pmatrix}J&0\\0&0\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}

+0&-1&0\\

+1& 0&0\\

+0& 0&0

+\end{pmatrix}

+\\

+X

+&=

+\frac{d}{dt_x}

+\left.

+\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}

+\right|_{t_x=0}

+=

+\begin{pmatrix}

+0&0&1\\

+0&0&0\\

+0&0&0

+\end{pmatrix}

+&

+Y

+&=

+\frac{d}{dt_y}

+\left.

+\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}

+\right|_{t_y=0}

+=

+\begin{pmatrix}

+0&0&0\\

+0&0&1\\

+0&0&0

+\end{pmatrix}

+\end{align*}

+\item

+Die Vertauschungsrelationen sind

+\begin{align*}

+[D,X]

+&=

+DX-XD

+=

+\begin{pmatrix}

+0&0&0\\

+0&0&1\\

+0&0&0

+\end{pmatrix}

+-

+\begin{pmatrix}

+0&0&0\\

+0&0&0\\

+0&0&0

+\end{pmatrix}

+=

+Y

+\\

+[D,Y]

+&=

+DY-YD

+=

+\begin{pmatrix}

+0&0&-1\\

+0&0&0\\

+0&0&0

+\end{pmatrix}

+-

+\begin{pmatrix}

+0&0&0\\

+0&0&0\\

+0&0&0

+\end{pmatrix}

+=

+-X

+\\

+[X,Y]

+&=

+XY-YX

+=

+0-0=0

+\qedhere

+\end{align*}

+\end{teilaufgaben}

+\end{loesung}