2. Lesung

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@@ -12,7 +12,7 @@ Die Gruppe
 \[
 \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) 
 =
-\{ A \in M_n(\mathbb{R})\;|\; \det A \ne 0\}
+\{ A \in M_n(\mathbb{R}) \mid \det A \ne 0\}
 \]
 besteht aus den Matrizen, deren Determinante nicht $0$ ist.
 Da die Menge der Matrizen mit $\det A=0$ eine abgeschlossene Menge
@@ -266,7 +266,7 @@ Jede komplexe Zahl $z$ vom Betrag $1$ kann geschrieben werden in der Form
 $z=e^{i\alpha}$.
 Die Abbildung $f$ ist also eine Parametrisierung des
 Einheitskreises in der Ebene.
-Wir bezeichen $S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ die komplexen Zahlen vom
+Wir bezeichen $S^1=\{z\in\mathbb{C} \mid |z|=1\}$ die komplexen Zahlen vom
 Betrag $1$.
 $S^1$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, da für alle Zahlen
 $z,w\in S^1$ gilt
@@ -479,7 +479,7 @@ daher aus den Matrizen
 \[
 \operatorname{O}(n)
 =
-\{ A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; AA^t=I\}.
+\{ A\in M_n(\mathbb{R}) \mid AA^t=I\}.
 \]
 Die Matrixgleichung $AA^t=I$ liefert $n(n+1)/2$ unabhängige Bedingungen,
 die die orthogonalen Matrizen innerhalb der $n^2$-dimensionalen
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@@ -499,22 +499,22 @@ Die Projektionen auf die einzelnen Koordinaten liefern die folgenden
 vier Karten:
 \begin{align*}
 \color{red}
-\varphi_1&{\color{red}\colon U_{x>0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\}}\to\mathbb{R}
+\varphi_1&{\color{red}\colon U_{x>0}=\{(x,y) \mid x^2+y^2=1\wedge x>0\}}\to\mathbb{R}
 :
 (x,y) \mapsto y
 \\
 \color{blue}
-\varphi_2&{\color{blue}\colon U_{x<0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\}}\to\mathbb{R}
+\varphi_2&{\color{blue}\colon U_{x<0}=\{(x,y) \mid x^2+y^2=1\wedge x<0\}}\to\mathbb{R}
 :
 (x,y) \mapsto y
 \\
 \color{darkgreen}
-\varphi_3&{\color{darkgreen}\colon U_{y>0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\}}\to\mathbb{R}
+\varphi_3&{\color{darkgreen}\colon U_{y>0}=\{(x,y) \mid x^2+y^2=1\wedge y>0\}}\to\mathbb{R}
 :
 (x,y) \mapsto x
 \\
 \color{orange}
-\varphi_4&{\color{orange}\colon U_{y<0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\}}\to\mathbb{R}
+\varphi_4&{\color{orange}\colon U_{y<0}=\{(x,y) \mid x^2+y^2=1\wedge y<0\}}\to\mathbb{R}
 :
 (x,y) \mapsto x
 \end{align*}
@@ -588,7 +588,7 @@ die Kreislinie (Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}).
 Ganz analog zum vorangegangenen Beispiel über die Kreisline lässt sich
 für eine $n$-di\-men\-sio\-nale Sphäre
 \[
-S^n = \{ (x_1,\dots,x_{n+1})\;|\; x_0^2+\dots+x_n^2=1\}
+S^n = \{ (x_1,\dots,x_{n+1}) \mid x_0^2+\dots+x_n^2=1\}
 \]
 immer ein Atlas aus $2^{n+1}$ Karten mit den Koordinatenabbildungen
 \[
@@ -596,7 +596,7 @@ immer ein Atlas aus $2^{n+1}$ Karten mit den Koordinatenabbildungen
 \colon
 U_{i,\pm}
 =
-\{p\in S^n\;|\; \pm x_i >0\}
+\{p\in S^n \mid \pm x_i >0\}
 \to
 \mathbb{R}^n
 :