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diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile b/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile
index bd77756..c1bc5df 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile
@@ -1,22 +1,22 @@
-#
-# Makefile -- Bilder für Kapitel Graphen
-#
-# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-#
-all:	peterson.pdf adjazenzu.pdf adjazenzd.pdf kreis.pdf fundamental.pdf
-
-peterson.pdf:	peterson.tex
-	pdflatex peterson.tex
-
-adjazenzu.pdf:	adjazenzu.tex
-	pdflatex adjazenzu.tex
-
-adjazenzd.pdf:	adjazenzd.tex
-	pdflatex adjazenzd.tex
-
-kreis.pdf:	kreis.tex
-	pdflatex kreis.tex
-
-fundamental.pdf:	fundamental.tex
-	pdflatex fundamental.tex
-
+#

+# Makefile -- Bilder für Kapitel Graphen

+#

+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+#

+all:	peterson.pdf adjazenzu.pdf adjazenzd.pdf kreis.pdf fundamental.pdf

+

+peterson.pdf:	peterson.tex

+	pdflatex peterson.tex

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+adjazenzu.pdf:	adjazenzu.tex

+	pdflatex adjazenzu.tex

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+adjazenzd.pdf:	adjazenzd.tex

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+kreis.pdf:	kreis.tex

+	pdflatex kreis.tex

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+fundamental.pdf:	fundamental.tex

+	pdflatex fundamental.tex

+

diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.tex b/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.tex
index b7fe9c4..388bdf7 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.tex
@@ -1,54 +1,54 @@
-%
-% fundamental.tex -- template for standalon tikz images
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\begin{scope}[xshift=-4.6cm]
-	\draw[color=red,line width=2pt] (1.8,0) -- (1.8,2);
-	\draw[color=red,line width=2pt] (0,0) -- (4,0);
-	\node at (1.8,0) [below] {$i$};
-	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
-
-	\node at (2,-2.3) [below] {Standarbasis};
-\end{scope}
-
-\begin{scope}
-	\draw[color=red,line width=1.4pt] 
-		plot[domain=0:360,samples=100] ({\x/90},{2*sin(\x)});
-	\draw[color=blue,line width=1.4pt] 
-		plot[domain=0:360,samples=100] ({\x/90},{2*cos(\x)});
-	\node[color=blue] at (1,-1) {$\Re f_i$};
-	\node[color=red] at (2,1) {$\Im f_i$};
-	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
-	\node at (2,-2.3) [below] {Eigenbasis};
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[xshift=4.6cm]
-	\foreach \t in {0.02,0.05,0.1,0.2,0.5}{
-		\draw[color=red,line width=1.0pt]
-			plot[domain=-1.8:2.2,samples=100]
-				({\x+1.8},{exp(-\x*\x/(4*\t))/(sqrt(4*3.1415*\t))});
-	}
-	\fill[color=red] (1.8,0) circle[radius=0.08];
-	\node at (1.8,0) [below] {$\xi$};
-	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
-	\node at (2,-2.3) [below] {Fundamentallösung};
-\end{scope}
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+%

+% fundamental.tex -- template for standalon tikz images

+%

+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+%

+\documentclass[tikz]{standalone}

+\usepackage{amsmath}

+\usepackage{times}

+\usepackage{txfonts}

+\usepackage{pgfplots}

+\usepackage{csvsimple}

+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}

+\begin{document}

+\def\skala{1}

+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]

+

+\begin{scope}[xshift=-4.6cm]

+	\draw[color=red,line width=2pt] (1.8,0) -- (1.8,2);

+	\draw[color=red,line width=2pt] (0,0) -- (4,0);

+	\node at (1.8,0) [below] {$i$};

+	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];

+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];

+

+	\node at (2,-2.3) [below] {Standarbasis};

+\end{scope}

+

+\begin{scope}

+	\draw[color=red,line width=1.4pt] 

+		plot[domain=0:360,samples=100] ({\x/90},{2*sin(\x)});

+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] 

+		plot[domain=0:360,samples=100] ({\x/90},{2*cos(\x)});

+	\node[color=blue] at (1,-1) {$\Re f_i$};

+	\node[color=red] at (2,1) {$\Im f_i$};

+	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];

+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];

+	\node at (2,-2.3) [below] {Eigenbasis};

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=4.6cm]

+	\foreach \t in {0.02,0.05,0.1,0.2,0.5}{

+		\draw[color=red,line width=1.0pt]

+			plot[domain=-1.8:2.2,samples=100]

+				({\x+1.8},{exp(-\x*\x/(4*\t))/(sqrt(4*3.1415*\t))});

+	}

+	\fill[color=red] (1.8,0) circle[radius=0.08];

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+	\node at (2,-2.3) [below] {Fundamentallösung};

+\end{scope}

+

+\end{tikzpicture}

+\end{document}

+

diff --git a/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex b/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
index f68c814..72e3519 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
@@ -1,198 +1,198 @@
-%
-% spektral.tex
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Spektrale Graphentheorie
-\label{buch:section:spektrale-graphentheorie}}
-\rhead{Spektrale Graphentheorie}
-Die Laplace-Matrix codiert alle wesentliche Information eines
-ungerichteten Graphen.
-Sie operiert auf Vektoren, die für jeden Knoten des Graphen eine
-Komponente haben.
-Dies eröffnet die Möglichkeit, den Graphen über die linearalgebraischen
-Eigenschaften der Laplace-Matrix zu studieren.
-
-\subsection{Grapheigenschaften und Spektrum von $L$
-\label{buch:subsection:grapheigenschaften-und-spektrum-von-l}}
-TODO XXX 
-
-\subsection{Wärmeleitung auf einem Graphen
-\label{buch:subsection:waermeleitung-auf-einem-graphen}}
-Die Vektoren, auf denen die Laplace-Matrix operiert, können betrachtet
-werden als Funktionen, die jedem Knoten einen Wert zuordnen.
-Eine mögliche physikalische Interpretation davon ist die Temperaturverteilung
-auf dem Graphen.
-Die Kanten zwischen den Knoten erlauben der Wärmeenergie, von einem Knoten
-zu einem anderen zu fliessen.
-Je grösser die Temperaturdifferenz zwischen zwei Knoten ist, desto
-grösser ist der Wärmefluss und desto schneller ändert sich die Temperatur
-der beteiligten Knoten.
-Die zeitliche Änderung der Temperatur $T_i$ im Knoten $i$ ist proportional
-\[
-\frac{dT_i}{dt}
-=
-\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} \kappa (T_j-T_i)
-=
--
-\kappa
-\biggl(
-d_iT_i
--
-\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} T_j
-\biggr)
-\]
-Der Term auf der rechten Seite ist genau die Wirkung der 
-Laplace-Matrix auf dem Vektor $T$ der Temperaturen:
-\begin{equation}
-\frac{dT}{dt}
-=
--\kappa L T.
-\label{buch:graphen:eqn:waermeleitung}
-\end{equation}
-Der Wärmefluss, der durch die
-Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} beschrieben
-wird, codiert ebenfalls wesentliche Informationen über den Graphen.
-Je mehr Kanten es zwischen verschiedenen Teilen eines Graphen gibt,
-desto schneller findet der Wärmeaustausch zwischen diesen Teilen
-statt.
-Die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung liefern also Informationen 
-über den Graphen.
-
-\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren
-\label{buch:subsection:ein-zyklischer-graph}}
-Die Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} 
-ist eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten,
-die mit der Matrixexponentialfunktion gelöst werden.
-Die Lösung ist
-\[
-f(t) = e^{-\kappa Lt}f(0).
-\]
-
-Die Berechnung der Lösung mit der Matrixexponentialreihe ist ziemlich
-ineffizient, da grosse Matrizenprodukte berechnet werden müssen.
-Da die Matrix $L$ symmetrisch ist, gibt es eine Basis aus 
-orthonormierten Eigenvektoren und die Eigenwerte sind reell.
-Wir bezeichnen die Eigenvektoren mit $f_1,\dots,f_n$  und die
-zugehörigen Eigenwerte mit $\lambda_i$.
-Die Funktion $f_i(t)= e^{-\kappa\lambda_it}f_i$ ist dann eine Lösung
-der Wärmeleitungsgleichung, denn die beiden Seiten
-\begin{align*}
-\frac{d}{dt}f_i(t)
-&=
--\kappa\lambda_ie^{-\kappa\lambda_it}f_i
-=
--\kappa\lambda_i f_i(t)
-\\
--\kappa Lf_i(t)
-&=
--\kappa e^{-\kappa\lambda_it} Lf_i
-=
--\kappa e^{-\kappa\lambda_it} \lambda_i f_i
-=
--\kappa \lambda_i f_i(t)
-\end{align*}
-von \eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} stimmen überein.
-
-Eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung zu einer beliebigen
-Anfangstemperaturverteilung $f$ kann durch Linearkombination aus 
-den Lösungen $f_i(t)$ zusammengesetzt werden.
-Dazu ist nötig, $f$ aus den Vektoren $f_i$ linear zu kombinieren.
-Da aber die $f_i$ orthonormiert sind, ist dies besonders einfach,
-die Koeffizienten sind die Skalarprodukte mit den Eigenvektoren:
-\[
-f=\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i.
-\]
-Daraus kann man die allgmeine Lösungsformel
-\begin{equation}
-f(t)
-=
-\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i(t)
-=
-\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle e^{-\kappa\lambda_i t}f_i
-\label{buch:graphen:eqn:eigloesung}
-\end{equation}
-ableiten.
-
-\subsection{Beispiel: Ein zyklischer Graph}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/70-graphen/images/kreis.pdf}
-\caption{Beispiel Graph zur Illustration der verschiedenen Basen auf einem
-Graphen.
-\label{buch:graphen:fig:kreis}}
-\end{figure}
-Wir illustrieren die im folgenden entwickelte Theorie an dem Beispielgraphen
-von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:kreis}.
-Besonders interessant sind die folgenden Funktionen:
-\[
-\left.
-\begin{aligned}
-s_m(k)
-&=
-\sin\frac{2\pi mk}{n}
-\\
-c_m(k)
-&=
-\cos\frac{2\pi mk}{n}
-\end{aligned}
-\;
-\right\}
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-e_m(k)
-=
-e^{2\pi imk/n}
-=
-c_m(k) + is_m(k).
-\]
-Das Skalarprodukt dieser Funktionen ist
-\[
-\langle e_m, e_{m'}\rangle
-=
-\frac1n
-\sum_{k=1}^n
-\overline{e^{2\pi i km/n}}
-e^{2\pi ikm'/n}
-=
-\frac1n
-\sum_{k=1}^n
-e^{\frac{2\pi i}{n}(m'-m)k}
-=
-\delta_{mm'}
-\]
-Die Funktionen bilden daher eine Orthonormalbasis des Raums der
-Funktionen auf $G$.
-Wegen $\overline{e_m} = e_{-m}$ folgt, dass für gerade $n$
-die Funktionen
-\[
-c_0, c_1,s_1,c_2,s_2,\dots c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2}
-\]
-eine orthonormierte Basis.
-
-
-Die Laplace-Matrix kann mit der folgenden Definition zu einer linearen
-Abbildung auf Funktionen auf dem Graphen gemacht werden.
-Sei $f\colon V\to \mathbb{R}$ und $L$ die Laplace-Matrix mit
-Matrixelementen $l_{vv'}$ wobei $v,v'\in V$ ist.
-Dann definieren wir die Funktion $Lf$ durch
-\[
-(Lf)(v)
-=
-\sum_{v'\in V} l_{vv'}f(v').
-\]
-
-\subsection{Standardbasis und Eigenbasis
-\label{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis}}
-Die einfachste Basis, aus der siche Funktionen auf dem Graphen linear
-kombinieren lassen, ist die Standardbasis.
-Sie hat für jeden Knoten $v$ des Graphen eine Basisfunktion mit den Werten
-\[
-e_v\colon V\to\mathbb R:v'\mapsto \begin{cases}
-1\qquad&v=v'\\
-0\qquad&\text{sonst.}
-\end{cases}
-\]
-
-
+%

+% spektral.tex

+%

+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Spektrale Graphentheorie

+\label{buch:section:spektrale-graphentheorie}}

+\rhead{Spektrale Graphentheorie}

+Die Laplace-Matrix codiert alle wesentliche Information eines

+ungerichteten Graphen.

+Sie operiert auf Vektoren, die für jeden Knoten des Graphen eine

+Komponente haben.

+Dies eröffnet die Möglichkeit, den Graphen über die linearalgebraischen

+Eigenschaften der Laplace-Matrix zu studieren.

+

+\subsection{Grapheigenschaften und Spektrum von $L$

+\label{buch:subsection:grapheigenschaften-und-spektrum-von-l}}

+TODO XXX 

+

+\subsection{Wärmeleitung auf einem Graphen

+\label{buch:subsection:waermeleitung-auf-einem-graphen}}

+Die Vektoren, auf denen die Laplace-Matrix operiert, können betrachtet

+werden als Funktionen, die jedem Knoten einen Wert zuordnen.

+Eine mögliche physikalische Interpretation davon ist die Temperaturverteilung

+auf dem Graphen.

+Die Kanten zwischen den Knoten erlauben der Wärmeenergie, von einem Knoten

+zu einem anderen zu fliessen.

+Je grösser die Temperaturdifferenz zwischen zwei Knoten ist, desto

+grösser ist der Wärmefluss und desto schneller ändert sich die Temperatur

+der beteiligten Knoten.

+Die zeitliche Änderung der Temperatur $T_i$ im Knoten $i$ ist proportional

+\[

+\frac{dT_i}{dt}

+=

+\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} \kappa (T_j-T_i)

+=

+-

+\kappa

+\biggl(

+d_iT_i

+-

+\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} T_j

+\biggr)

+\]

+Der Term auf der rechten Seite ist genau die Wirkung der 

+Laplace-Matrix auf dem Vektor $T$ der Temperaturen:

+\begin{equation}

+\frac{dT}{dt}

+=

+-\kappa L T.

+\label{buch:graphen:eqn:waermeleitung}

+\end{equation}

+Der Wärmefluss, der durch die

+Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} beschrieben

+wird, codiert ebenfalls wesentliche Informationen über den Graphen.

+Je mehr Kanten es zwischen verschiedenen Teilen eines Graphen gibt,

+desto schneller findet der Wärmeaustausch zwischen diesen Teilen

+statt.

+Die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung liefern also Informationen 

+über den Graphen.

+

+\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren

+\label{buch:subsection:ein-zyklischer-graph}}

+Die Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} 

+ist eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten,

+die mit der Matrixexponentialfunktion gelöst werden.

+Die Lösung ist

+\[

+f(t) = e^{-\kappa Lt}f(0).

+\]

+

+Die Berechnung der Lösung mit der Matrixexponentialreihe ist ziemlich

+ineffizient, da grosse Matrizenprodukte berechnet werden müssen.

+Da die Matrix $L$ symmetrisch ist, gibt es eine Basis aus 

+orthonormierten Eigenvektoren und die Eigenwerte sind reell.

+Wir bezeichnen die Eigenvektoren mit $f_1,\dots,f_n$  und die

+zugehörigen Eigenwerte mit $\lambda_i$.

+Die Funktion $f_i(t)= e^{-\kappa\lambda_it}f_i$ ist dann eine Lösung

+der Wärmeleitungsgleichung, denn die beiden Seiten

+\begin{align*}

+\frac{d}{dt}f_i(t)

+&=

+-\kappa\lambda_ie^{-\kappa\lambda_it}f_i

+=

+-\kappa\lambda_i f_i(t)

+\\

+-\kappa Lf_i(t)

+&=

+-\kappa e^{-\kappa\lambda_it} Lf_i

+=

+-\kappa e^{-\kappa\lambda_it} \lambda_i f_i

+=

+-\kappa \lambda_i f_i(t)

+\end{align*}

+von \eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} stimmen überein.

+

+Eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung zu einer beliebigen

+Anfangstemperaturverteilung $f$ kann durch Linearkombination aus 

+den Lösungen $f_i(t)$ zusammengesetzt werden.

+Dazu ist nötig, $f$ aus den Vektoren $f_i$ linear zu kombinieren.

+Da aber die $f_i$ orthonormiert sind, ist dies besonders einfach,

+die Koeffizienten sind die Skalarprodukte mit den Eigenvektoren:

+\[

+f=\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i.

+\]

+Daraus kann man die allgmeine Lösungsformel

+\begin{equation}

+f(t)

+=

+\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i(t)

+=

+\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle e^{-\kappa\lambda_i t}f_i

+\label{buch:graphen:eqn:eigloesung}

+\end{equation}

+ableiten.

+

+\subsection{Beispiel: Ein zyklischer Graph}

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics{chapters/70-graphen/images/kreis.pdf}

+\caption{Beispiel Graph zur Illustration der verschiedenen Basen auf einem

+Graphen.

+\label{buch:graphen:fig:kreis}}

+\end{figure}

+Wir illustrieren die im folgenden entwickelte Theorie an dem Beispielgraphen

+von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:kreis}.

+Besonders interessant sind die folgenden Funktionen:

+\[

+\left.

+\begin{aligned}

+s_m(k)

+&=

+\sin\frac{2\pi mk}{n}

+\\

+c_m(k)

+&=

+\cos\frac{2\pi mk}{n}

+\end{aligned}

+\;

+\right\}

+\quad

+\Rightarrow

+\quad

+e_m(k)

+=

+e^{2\pi imk/n}

+=

+c_m(k) + is_m(k).

+\]

+Das Skalarprodukt dieser Funktionen ist

+\[

+\langle e_m, e_{m'}\rangle

+=

+\frac1n

+\sum_{k=1}^n

+\overline{e^{2\pi i km/n}}

+e^{2\pi ikm'/n}

+=

+\frac1n

+\sum_{k=1}^n

+e^{\frac{2\pi i}{n}(m'-m)k}

+=

+\delta_{mm'}

+\]

+Die Funktionen bilden daher eine Orthonormalbasis des Raums der

+Funktionen auf $G$.

+Wegen $\overline{e_m} = e_{-m}$ folgt, dass für gerade $n$

+die Funktionen

+\[

+c_0, c_1,s_1,c_2,s_2,\dots c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2}

+\]

+eine orthonormierte Basis.

+

+

+Die Laplace-Matrix kann mit der folgenden Definition zu einer linearen

+Abbildung auf Funktionen auf dem Graphen gemacht werden.

+Sei $f\colon V\to \mathbb{R}$ und $L$ die Laplace-Matrix mit

+Matrixelementen $l_{vv'}$ wobei $v,v'\in V$ ist.

+Dann definieren wir die Funktion $Lf$ durch

+\[

+(Lf)(v)

+=

+\sum_{v'\in V} l_{vv'}f(v').

+\]

+

+\subsection{Standardbasis und Eigenbasis

+\label{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis}}

+Die einfachste Basis, aus der siche Funktionen auf dem Graphen linear

+kombinieren lassen, ist die Standardbasis.

+Sie hat für jeden Knoten $v$ des Graphen eine Basisfunktion mit den Werten

+\[

+e_v\colon V\to\mathbb R:v'\mapsto \begin{cases}

+1\qquad&v=v'\\

+0\qquad&\text{sonst.}

+\end{cases}

+\]

+

+

diff --git a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
index 9c88c08..26a9e42 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
@@ -1,125 +1,125 @@
-%
-% wavelets.tex -- Wavelets auf Graphen
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Wavelets auf Graphen
-\label{buch:section:wavelets-auf-graphen}}
-\rhead{Wavelets auf Graphen}
-In Abschnitt~\ref{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis} wurde
-gezeigt dass die Standardbasis den Zusammenhang zwischen den einzelnen
-Teilen des Graphen völlig ignoriert, während die Eigenbasis Wellen
-beschreibt, die mit vergleichbarer Amplitude sich über den ganzen
-Graphen entsprechen.
-Die Eigenbasis unterdrückt also die ``Individualität'' der einzelnen
-Knoten fast vollständig.
-
-Wenn man einen Standardbasisvektor in einem Knoten $i$
-als Anfangstemperaturverteilung verwendet, erwartet man eine Lösung,
-die für kleine Zeiten $t$ die Energie immer in der Nähe des Knotens $i$
-konzentriert hat.
-Weder die Standardbasis noch die Eigenbasis haben diese Eigenschaft.
-
-\subsection{Vergleich mit der Wärmeleitung auf $\mathbb{R}$}
-Ein ähnliches Phänomen findet man bei der Wärmeausbreitung gemäss
-der partiellen Differentialgleichung
-\[
-\frac{\partial T}{\partial t} = -\kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.
-\]
-Die von Fourier erfundene Methode, die Fourier-Theorie, verwendet die
-Funktionen $e^{ik x}$, die Eigenvektoren der zweiten Ableitung
-$\partial^2/\partial x^2$ sind.
-Diese haben das gleiche Problem, der Betrag von $e^{ikx}$ ist $1$, die
-Entfernung von einem Punkt spielt überhaupt keine Rolle.
-Die Funktion
-\[
-F(x,t)
-=
-\frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}e^{-x^2/4\kappa t}
-\]
-ist eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit einem Maximum an
-der Stelle $0$.
-Sie heisst die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung.
-Durch Überlagerung von Translaten in eine Funktion
-\begin{equation}
-f(x,t)
-=
-\int_{-\infty}^\infty f(\xi) F(x-\xi,t)\,d\xi
-\label{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung}
-\end{equation}
-kann man die allgemeine Lösung aus Fundamentallösungen zusammensetzen.
-Die Fundamentallösungen $f(x-\xi,t)$ sind für kleine Zeiten immer noch
-deutlich in einer Umgebung von $\xi$ konzentriert.
-
-% XXX Ausbreitung der Fundamentallösung illustrieren
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/70-graphen/images/fundamental.pdf}
-\caption{Vergleich der verschiedenen Funktionenfamilien, mit denen
-Lösungenfunktionen durch Linearkombination erzeugt werden können.
-In der Standarbasis (links) ist es am einfachsten, die Funktionswerte
-abzulesen, in der Eigenbasis (Mitte) kann die zeitliche Entwicklung
-besonders leicht berechnet werden.
-Dazuwischen liegen die Fundamentallösungen (rechts), die eine einigermassen
-übersichtliche Zeitentwicklung haben, die Berechnung der Temperatur an 
-einer Stelle $x$ zur Zeit $t$ ist aber erst durch das Integral
-\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung} gegeben.
-\label{buch:graphen:fig:fundamental}}
-\end{figure}
-
-\subsection{Fundamentallösungen auf einem Graphen}
-Die Wärmeleitungsgleichung auf einem Graphen kann für einen
-Standardbasisvektor mit Hilfe der
-Lösungsformel~\eqref{buch:graphen:eqn:eigloesung}
-gefunden werden.
-Aus physikalischen Gründen ist aber offensichtlich, dass die
-Wärmeenergie Fundamentallösungen $F_i(t)$ für kurze Zeiten $t$
-in der Nähe des Knoten $i$ konzentriert ist.
-Dies ist aber aus der expliziten Formel
-\begin{equation}
-F_i(t)
-=
-\sum_{j=1}^n \langle f_j,e_i\rangle e^{-\kappa \lambda_i t} f_j
-=
-\sum_{j=1}^n \overline{f}_{ji} e^{-\kappa \lambda_i t},
-\label{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph}
-\end{equation}
-nicht unmittelbar erkennbar.
-
-Man kann aber aus~\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph} ablesen,
-dass für zunehmende Zeit die hohen Frequenzen sehr schnell gedämpft
-werden.
-Die hohen Frequenzen erzeugen also den scharfen Peak für Zeiten nahe
-beim Knoten $i$, die zu kleineren $\lambda_i$ beschreiben die Ausbreitung
-über grössere Distanzen.
-Die Fundamentallösung interpoliert also in einem gewissen Sinne zwischen
-den Extremen der Standardbasis und der Eigenbasis.
-Die ``Interpolation'' geht von der Differentialgleichung aus,
-sie ist nicht einfach nur ein Filter, der die verschiedenen Frequenzen
-auf die gleiche Art bearbeitet.
-
-Gesucht ist eine Methode, eine Familie von Vektoren zu finden,
-aus der sich alle Vektoren linear kombinieren lassen, in der aber
-auch auf die für die Anwendung interessante Längenskala angepasste
-Funktionen gefunden werden können.
-
-\subsection{Wavelets und Frequenzspektrum}
-Eine Wavelet-Basis der Funktionen auf $\mathbb{R}$ zerlegt
-
-
-\subsection{Frequenzspektrum
-\label{buch:subsection:frequenzspektrum}}
-Die Fundamentallösung der Wärmeleitunsgleichung haben ein Spektrum, welches
-wie $e^{-k^2}$ gegen $0$ geht.
-
-Die Fundamentallösung entsteht dadurch, dass die hohen Frequenzen
-schneller dämpft als die tiefen Frequenzen.
-
-
-\subsection{Wavelet-Basen
-\label{buch:subsection:}}
-
-
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+%

+% wavelets.tex -- Wavelets auf Graphen

+%

+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Wavelets auf Graphen

+\label{buch:section:wavelets-auf-graphen}}

+\rhead{Wavelets auf Graphen}

+In Abschnitt~\ref{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis} wurde

+gezeigt dass die Standardbasis den Zusammenhang zwischen den einzelnen

+Teilen des Graphen völlig ignoriert, während die Eigenbasis Wellen

+beschreibt, die mit vergleichbarer Amplitude sich über den ganzen

+Graphen entsprechen.

+Die Eigenbasis unterdrückt also die ``Individualität'' der einzelnen

+Knoten fast vollständig.

+

+Wenn man einen Standardbasisvektor in einem Knoten $i$

+als Anfangstemperaturverteilung verwendet, erwartet man eine Lösung,

+die für kleine Zeiten $t$ die Energie immer in der Nähe des Knotens $i$

+konzentriert hat.

+Weder die Standardbasis noch die Eigenbasis haben diese Eigenschaft.

+

+\subsection{Vergleich mit der Wärmeleitung auf $\mathbb{R}$}

+Ein ähnliches Phänomen findet man bei der Wärmeausbreitung gemäss

+der partiellen Differentialgleichung

+\[

+\frac{\partial T}{\partial t} = -\kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.

+\]

+Die von Fourier erfundene Methode, die Fourier-Theorie, verwendet die

+Funktionen $e^{ik x}$, die Eigenvektoren der zweiten Ableitung

+$\partial^2/\partial x^2$ sind.

+Diese haben das gleiche Problem, der Betrag von $e^{ikx}$ ist $1$, die

+Entfernung von einem Punkt spielt überhaupt keine Rolle.

+Die Funktion

+\[

+F(x,t)

+=

+\frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}e^{-x^2/4\kappa t}

+\]

+ist eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit einem Maximum an

+der Stelle $0$.

+Sie heisst die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung.

+Durch Überlagerung von Translaten in eine Funktion

+\begin{equation}

+f(x,t)

+=

+\int_{-\infty}^\infty f(\xi) F(x-\xi,t)\,d\xi

+\label{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung}

+\end{equation}

+kann man die allgemeine Lösung aus Fundamentallösungen zusammensetzen.

+Die Fundamentallösungen $f(x-\xi,t)$ sind für kleine Zeiten immer noch

+deutlich in einer Umgebung von $\xi$ konzentriert.

+

+% XXX Ausbreitung der Fundamentallösung illustrieren

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics{chapters/70-graphen/images/fundamental.pdf}

+\caption{Vergleich der verschiedenen Funktionenfamilien, mit denen

+Lösungenfunktionen durch Linearkombination erzeugt werden können.

+In der Standarbasis (links) ist es am einfachsten, die Funktionswerte

+abzulesen, in der Eigenbasis (Mitte) kann die zeitliche Entwicklung

+besonders leicht berechnet werden.

+Dazuwischen liegen die Fundamentallösungen (rechts), die eine einigermassen

+übersichtliche Zeitentwicklung haben, die Berechnung der Temperatur an 

+einer Stelle $x$ zur Zeit $t$ ist aber erst durch das Integral

+\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung} gegeben.

+\label{buch:graphen:fig:fundamental}}

+\end{figure}

+

+\subsection{Fundamentallösungen auf einem Graphen}

+Die Wärmeleitungsgleichung auf einem Graphen kann für einen

+Standardbasisvektor mit Hilfe der

+Lösungsformel~\eqref{buch:graphen:eqn:eigloesung}

+gefunden werden.

+Aus physikalischen Gründen ist aber offensichtlich, dass die

+Wärmeenergie Fundamentallösungen $F_i(t)$ für kurze Zeiten $t$

+in der Nähe des Knoten $i$ konzentriert ist.

+Dies ist aber aus der expliziten Formel

+\begin{equation}

+F_i(t)

+=

+\sum_{j=1}^n \langle f_j,e_i\rangle e^{-\kappa \lambda_i t} f_j

+=

+\sum_{j=1}^n \overline{f}_{ji} e^{-\kappa \lambda_i t},

+\label{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph}

+\end{equation}

+nicht unmittelbar erkennbar.

+

+Man kann aber aus~\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph} ablesen,

+dass für zunehmende Zeit die hohen Frequenzen sehr schnell gedämpft

+werden.

+Die hohen Frequenzen erzeugen also den scharfen Peak für Zeiten nahe

+beim Knoten $i$, die zu kleineren $\lambda_i$ beschreiben die Ausbreitung

+über grössere Distanzen.

+Die Fundamentallösung interpoliert also in einem gewissen Sinne zwischen

+den Extremen der Standardbasis und der Eigenbasis.

+Die ``Interpolation'' geht von der Differentialgleichung aus,

+sie ist nicht einfach nur ein Filter, der die verschiedenen Frequenzen

+auf die gleiche Art bearbeitet.

+

+Gesucht ist eine Methode, eine Familie von Vektoren zu finden,

+aus der sich alle Vektoren linear kombinieren lassen, in der aber

+auch auf die für die Anwendung interessante Längenskala angepasste

+Funktionen gefunden werden können.

+

+\subsection{Wavelets und Frequenzspektrum}

+Eine Wavelet-Basis der Funktionen auf $\mathbb{R}$ zerlegt

+

+

+\subsection{Frequenzspektrum

+\label{buch:subsection:frequenzspektrum}}

+Die Fundamentallösung der Wärmeleitunsgleichung haben ein Spektrum, welches

+wie $e^{-k^2}$ gegen $0$ geht.

+

+Die Fundamentallösung entsteht dadurch, dass die hohen Frequenzen

+schneller dämpft als die tiefen Frequenzen.

+

+

+\subsection{Wavelet-Basen

+\label{buch:subsection:}}

+

+

+

+

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