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diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile b/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile
index b42cbae..bd77756 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile
@@ -3,7 +3,7 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	peterson.pdf adjazenzu.pdf adjazenzd.pdf kreis.pdf
+all:	peterson.pdf adjazenzu.pdf adjazenzd.pdf kreis.pdf fundamental.pdf
 
 peterson.pdf:	peterson.tex
 	pdflatex peterson.tex
@@ -17,3 +17,6 @@ adjazenzd.pdf:	adjazenzd.tex
 kreis.pdf:	kreis.tex
 	pdflatex kreis.tex
 
+fundamental.pdf:	fundamental.tex
+	pdflatex fundamental.tex
+
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.pdf b/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.pdf
new file mode 100644
index 0000000..66b82ca
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.pdf
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.tex b/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.tex
new file mode 100644
index 0000000..b7fe9c4
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.tex
@@ -0,0 +1,54 @@
+%
+% fundamental.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\begin{scope}[xshift=-4.6cm]
+	\draw[color=red,line width=2pt] (1.8,0) -- (1.8,2);
+	\draw[color=red,line width=2pt] (0,0) -- (4,0);
+	\node at (1.8,0) [below] {$i$};
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
+
+	\node at (2,-2.3) [below] {Standarbasis};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}
+	\draw[color=red,line width=1.4pt] 
+		plot[domain=0:360,samples=100] ({\x/90},{2*sin(\x)});
+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] 
+		plot[domain=0:360,samples=100] ({\x/90},{2*cos(\x)});
+	\node[color=blue] at (1,-1) {$\Re f_i$};
+	\node[color=red] at (2,1) {$\Im f_i$};
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
+	\node at (2,-2.3) [below] {Eigenbasis};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=4.6cm]
+	\foreach \t in {0.02,0.05,0.1,0.2,0.5}{
+		\draw[color=red,line width=1.0pt]
+			plot[domain=-1.8:2.2,samples=100]
+				({\x+1.8},{exp(-\x*\x/(4*\t))/(sqrt(4*3.1415*\t))});
+	}
+	\fill[color=red] (1.8,0) circle[radius=0.08];
+	\node at (1.8,0) [below] {$\xi$};
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
+	\node at (2,-2.3) [below] {Fundamentallösung};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex b/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
index 9349f41..f68c814 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
@@ -6,3 +6,193 @@
 \section{Spektrale Graphentheorie
 \label{buch:section:spektrale-graphentheorie}}
 \rhead{Spektrale Graphentheorie}
+Die Laplace-Matrix codiert alle wesentliche Information eines
+ungerichteten Graphen.
+Sie operiert auf Vektoren, die für jeden Knoten des Graphen eine
+Komponente haben.
+Dies eröffnet die Möglichkeit, den Graphen über die linearalgebraischen
+Eigenschaften der Laplace-Matrix zu studieren.
+
+\subsection{Grapheigenschaften und Spektrum von $L$
+\label{buch:subsection:grapheigenschaften-und-spektrum-von-l}}
+TODO XXX 
+
+\subsection{Wärmeleitung auf einem Graphen
+\label{buch:subsection:waermeleitung-auf-einem-graphen}}
+Die Vektoren, auf denen die Laplace-Matrix operiert, können betrachtet
+werden als Funktionen, die jedem Knoten einen Wert zuordnen.
+Eine mögliche physikalische Interpretation davon ist die Temperaturverteilung
+auf dem Graphen.
+Die Kanten zwischen den Knoten erlauben der Wärmeenergie, von einem Knoten
+zu einem anderen zu fliessen.
+Je grösser die Temperaturdifferenz zwischen zwei Knoten ist, desto
+grösser ist der Wärmefluss und desto schneller ändert sich die Temperatur
+der beteiligten Knoten.
+Die zeitliche Änderung der Temperatur $T_i$ im Knoten $i$ ist proportional
+\[
+\frac{dT_i}{dt}
+=
+\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} \kappa (T_j-T_i)
+=
+-
+\kappa
+\biggl(
+d_iT_i
+-
+\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} T_j
+\biggr)
+\]
+Der Term auf der rechten Seite ist genau die Wirkung der 
+Laplace-Matrix auf dem Vektor $T$ der Temperaturen:
+\begin{equation}
+\frac{dT}{dt}
+=
+-\kappa L T.
+\label{buch:graphen:eqn:waermeleitung}
+\end{equation}
+Der Wärmefluss, der durch die
+Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} beschrieben
+wird, codiert ebenfalls wesentliche Informationen über den Graphen.
+Je mehr Kanten es zwischen verschiedenen Teilen eines Graphen gibt,
+desto schneller findet der Wärmeaustausch zwischen diesen Teilen
+statt.
+Die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung liefern also Informationen 
+über den Graphen.
+
+\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren
+\label{buch:subsection:ein-zyklischer-graph}}
+Die Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} 
+ist eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten,
+die mit der Matrixexponentialfunktion gelöst werden.
+Die Lösung ist
+\[
+f(t) = e^{-\kappa Lt}f(0).
+\]
+
+Die Berechnung der Lösung mit der Matrixexponentialreihe ist ziemlich
+ineffizient, da grosse Matrizenprodukte berechnet werden müssen.
+Da die Matrix $L$ symmetrisch ist, gibt es eine Basis aus 
+orthonormierten Eigenvektoren und die Eigenwerte sind reell.
+Wir bezeichnen die Eigenvektoren mit $f_1,\dots,f_n$  und die
+zugehörigen Eigenwerte mit $\lambda_i$.
+Die Funktion $f_i(t)= e^{-\kappa\lambda_it}f_i$ ist dann eine Lösung
+der Wärmeleitungsgleichung, denn die beiden Seiten
+\begin{align*}
+\frac{d}{dt}f_i(t)
+&=
+-\kappa\lambda_ie^{-\kappa\lambda_it}f_i
+=
+-\kappa\lambda_i f_i(t)
+\\
+-\kappa Lf_i(t)
+&=
+-\kappa e^{-\kappa\lambda_it} Lf_i
+=
+-\kappa e^{-\kappa\lambda_it} \lambda_i f_i
+=
+-\kappa \lambda_i f_i(t)
+\end{align*}
+von \eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} stimmen überein.
+
+Eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung zu einer beliebigen
+Anfangstemperaturverteilung $f$ kann durch Linearkombination aus 
+den Lösungen $f_i(t)$ zusammengesetzt werden.
+Dazu ist nötig, $f$ aus den Vektoren $f_i$ linear zu kombinieren.
+Da aber die $f_i$ orthonormiert sind, ist dies besonders einfach,
+die Koeffizienten sind die Skalarprodukte mit den Eigenvektoren:
+\[
+f=\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i.
+\]
+Daraus kann man die allgmeine Lösungsformel
+\begin{equation}
+f(t)
+=
+\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i(t)
+=
+\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle e^{-\kappa\lambda_i t}f_i
+\label{buch:graphen:eqn:eigloesung}
+\end{equation}
+ableiten.
+
+\subsection{Beispiel: Ein zyklischer Graph}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/70-graphen/images/kreis.pdf}
+\caption{Beispiel Graph zur Illustration der verschiedenen Basen auf einem
+Graphen.
+\label{buch:graphen:fig:kreis}}
+\end{figure}
+Wir illustrieren die im folgenden entwickelte Theorie an dem Beispielgraphen
+von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:kreis}.
+Besonders interessant sind die folgenden Funktionen:
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+s_m(k)
+&=
+\sin\frac{2\pi mk}{n}
+\\
+c_m(k)
+&=
+\cos\frac{2\pi mk}{n}
+\end{aligned}
+\;
+\right\}
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+e_m(k)
+=
+e^{2\pi imk/n}
+=
+c_m(k) + is_m(k).
+\]
+Das Skalarprodukt dieser Funktionen ist
+\[
+\langle e_m, e_{m'}\rangle
+=
+\frac1n
+\sum_{k=1}^n
+\overline{e^{2\pi i km/n}}
+e^{2\pi ikm'/n}
+=
+\frac1n
+\sum_{k=1}^n
+e^{\frac{2\pi i}{n}(m'-m)k}
+=
+\delta_{mm'}
+\]
+Die Funktionen bilden daher eine Orthonormalbasis des Raums der
+Funktionen auf $G$.
+Wegen $\overline{e_m} = e_{-m}$ folgt, dass für gerade $n$
+die Funktionen
+\[
+c_0, c_1,s_1,c_2,s_2,\dots c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2}
+\]
+eine orthonormierte Basis.
+
+
+Die Laplace-Matrix kann mit der folgenden Definition zu einer linearen
+Abbildung auf Funktionen auf dem Graphen gemacht werden.
+Sei $f\colon V\to \mathbb{R}$ und $L$ die Laplace-Matrix mit
+Matrixelementen $l_{vv'}$ wobei $v,v'\in V$ ist.
+Dann definieren wir die Funktion $Lf$ durch
+\[
+(Lf)(v)
+=
+\sum_{v'\in V} l_{vv'}f(v').
+\]
+
+\subsection{Standardbasis und Eigenbasis
+\label{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis}}
+Die einfachste Basis, aus der siche Funktionen auf dem Graphen linear
+kombinieren lassen, ist die Standardbasis.
+Sie hat für jeden Knoten $v$ des Graphen eine Basisfunktion mit den Werten
+\[
+e_v\colon V\to\mathbb R:v'\mapsto \begin{cases}
+1\qquad&v=v'\\
+0\qquad&\text{sonst.}
+\end{cases}
+\]
+
+
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
index 0739f14..9c88c08 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
@@ -6,126 +6,118 @@
 \section{Wavelets auf Graphen
 \label{buch:section:wavelets-auf-graphen}}
 \rhead{Wavelets auf Graphen}
-Graphen werden oft verwendet um geometrische Objekte zu approximieren.
-Funktionen auf einem Graphen können dann Approximationen von physikalischen
-Grössen wie zum Beispiel der Temperatur auf dem geometrischen Objekt
-interpretiert werden.
-Verschiedene Basen für die Beschreibung solcher Funktionen sind im Laufe
-der Zeit verwendet worden, doch Wavelets auf einem Graphen sind eine
-neuere Idee, mit der man aus der Laplace-Matrix Basen gewinnen kann,
-die die Idee von langsam sich ausbreitenden Störungen besonders gut
-wiederzugeben in der Lage sind.
-
-In diesem Abschnitt werden erst Funktionen auf einem Graphen genauer
-definiert.
-In Abschnitt~\ref{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis}
-wird die Eigenbasis mit dem Laplace-Operator konstruiert und mit
-der Standarbasis verglichen.
-Schliesslich werden in Abschnitt~\ref{buch:subsection:wavelet-basen}
-verschiedene Wavelet-Basen konstruiert.
-
-\subsection{Funktionen auf einem Graphen und die Laplace-Matrix}
-Sei $G$ ein Graph mit der Knotenmenge $V$.
-Eine Funktion $f$ auf einem Graphen ist eine Funktion $f\colon V\to\mathbb{R}$.
-Funktionen auf $G$ sind also Vektoren, die mit den Knoten $V$ indiziert
-sind.
-
-Es gibt auch ein Skalarprodukt für Funktionen auf dem Graphen.
-Sind $f$ und $g$ zwei Funktionen auf $G$, dann ist das Skalarprodukt
-definiert durch
+In Abschnitt~\ref{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis} wurde
+gezeigt dass die Standardbasis den Zusammenhang zwischen den einzelnen
+Teilen des Graphen völlig ignoriert, während die Eigenbasis Wellen
+beschreibt, die mit vergleichbarer Amplitude sich über den ganzen
+Graphen entsprechen.
+Die Eigenbasis unterdrückt also die ``Individualität'' der einzelnen
+Knoten fast vollständig.
+
+Wenn man einen Standardbasisvektor in einem Knoten $i$
+als Anfangstemperaturverteilung verwendet, erwartet man eine Lösung,
+die für kleine Zeiten $t$ die Energie immer in der Nähe des Knotens $i$
+konzentriert hat.
+Weder die Standardbasis noch die Eigenbasis haben diese Eigenschaft.
+
+\subsection{Vergleich mit der Wärmeleitung auf $\mathbb{R}$}
+Ein ähnliches Phänomen findet man bei der Wärmeausbreitung gemäss
+der partiellen Differentialgleichung
+\[
+\frac{\partial T}{\partial t} = -\kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.
+\]
+Die von Fourier erfundene Methode, die Fourier-Theorie, verwendet die
+Funktionen $e^{ik x}$, die Eigenvektoren der zweiten Ableitung
+$\partial^2/\partial x^2$ sind.
+Diese haben das gleiche Problem, der Betrag von $e^{ikx}$ ist $1$, die
+Entfernung von einem Punkt spielt überhaupt keine Rolle.
+Die Funktion
 \[
-\langle f,g\rangle
+F(x,t)
 =
-\frac{1}{|V|}\sum_{v\in V} \overline{f}(v) g(v)
+\frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}e^{-x^2/4\kappa t}
 \]
-Dies ist das bekannte Skalarprodukt der Vektoren mit Komponenten $f(v)$.
+ist eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit einem Maximum an
+der Stelle $0$.
+Sie heisst die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung.
+Durch Überlagerung von Translaten in eine Funktion
+\begin{equation}
+f(x,t)
+=
+\int_{-\infty}^\infty f(\xi) F(x-\xi,t)\,d\xi
+\label{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung}
+\end{equation}
+kann man die allgemeine Lösung aus Fundamentallösungen zusammensetzen.
+Die Fundamentallösungen $f(x-\xi,t)$ sind für kleine Zeiten immer noch
+deutlich in einer Umgebung von $\xi$ konzentriert.
 
+% XXX Ausbreitung der Fundamentallösung illustrieren
 \begin{figure}
 \centering
-\includegraphics{chapters/70-graphen/images/kreis.pdf}
-\caption{Beispiel Graph zur Illustration der verschiedenen Basen auf einem
-Graphen.
-\label{buch:graphen:fig:kreis}}
+\includegraphics{chapters/70-graphen/images/fundamental.pdf}
+\caption{Vergleich der verschiedenen Funktionenfamilien, mit denen
+Lösungenfunktionen durch Linearkombination erzeugt werden können.
+In der Standarbasis (links) ist es am einfachsten, die Funktionswerte
+abzulesen, in der Eigenbasis (Mitte) kann die zeitliche Entwicklung
+besonders leicht berechnet werden.
+Dazuwischen liegen die Fundamentallösungen (rechts), die eine einigermassen
+übersichtliche Zeitentwicklung haben, die Berechnung der Temperatur an 
+einer Stelle $x$ zur Zeit $t$ ist aber erst durch das Integral
+\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung} gegeben.
+\label{buch:graphen:fig:fundamental}}
 \end{figure}
-\begin{beispiel}
-Wir illustrieren die im folgenden entwickelte Theorie an dem Beispielgraphen
-von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:kreis}.
-Besonders interessant sind die folgenden Funktionen:
-\[
-\left.
-\begin{aligned}
-s_m(k)
-&=
-\sin\frac{2\pi mk}{n}
-\\
-c_m(k)
-&=
-\cos\frac{2\pi mk}{n}
-\end{aligned}
-\;
-\right\}
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-e_m(k)
-=
-e^{2\pi imk/n}
-=
-c_m(k) + is_m(k).
-\]
-Das Skalarprodukt dieser Funktionen ist
-\[
-\langle e_m, e_{m'}\rangle
-=
-\frac1n
-\sum_{k=1}^n
-\overline{e^{2\pi i km/n}}
-e^{2\pi ikm'/n}
+
+\subsection{Fundamentallösungen auf einem Graphen}
+Die Wärmeleitungsgleichung auf einem Graphen kann für einen
+Standardbasisvektor mit Hilfe der
+Lösungsformel~\eqref{buch:graphen:eqn:eigloesung}
+gefunden werden.
+Aus physikalischen Gründen ist aber offensichtlich, dass die
+Wärmeenergie Fundamentallösungen $F_i(t)$ für kurze Zeiten $t$
+in der Nähe des Knoten $i$ konzentriert ist.
+Dies ist aber aus der expliziten Formel
+\begin{equation}
+F_i(t)
 =
-\frac1n
-\sum_{k=1}^n
-e^{\frac{2\pi i}{n}(m'-m)k}
+\sum_{j=1}^n \langle f_j,e_i\rangle e^{-\kappa \lambda_i t} f_j
 =
-\delta_{mm'}
-\]
-Die Funktionen bilden daher eine Orthonormalbasis des Raums der
-Funktionen auf $G$.
-Wegen $\overline{e_m} = e_{-m}$ folgt, dass für gerade $n$
-die Funktionen
-\[
-c_0, c_1,s_1,c_2,s_2,\dots c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2}
-\]
-eine orthonormierte Basis.
-\end{beispiel}
+\sum_{j=1}^n \overline{f}_{ji} e^{-\kappa \lambda_i t},
+\label{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph}
+\end{equation}
+nicht unmittelbar erkennbar.
 
+Man kann aber aus~\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph} ablesen,
+dass für zunehmende Zeit die hohen Frequenzen sehr schnell gedämpft
+werden.
+Die hohen Frequenzen erzeugen also den scharfen Peak für Zeiten nahe
+beim Knoten $i$, die zu kleineren $\lambda_i$ beschreiben die Ausbreitung
+über grössere Distanzen.
+Die Fundamentallösung interpoliert also in einem gewissen Sinne zwischen
+den Extremen der Standardbasis und der Eigenbasis.
+Die ``Interpolation'' geht von der Differentialgleichung aus,
+sie ist nicht einfach nur ein Filter, der die verschiedenen Frequenzen
+auf die gleiche Art bearbeitet.
 
-Die Laplace-Matrix kann mit der folgenden Definition zu einer linearen
-Abbildung auf Funktionen auf dem Graphen gemacht werden.
-Sei $f\colon V\to \mathbb{R}$ und $L$ die Laplace-Matrix mit
-Matrixelementen $l_{vv'}$ wobei $v,v'\in V$ ist.
-Dann definieren wir die Funktion $Lf$ durch
-\[
-(Lf)(v)
-=
-\sum_{v'\in V} l_{vv'}f(v').
-\]
+Gesucht ist eine Methode, eine Familie von Vektoren zu finden,
+aus der sich alle Vektoren linear kombinieren lassen, in der aber
+auch auf die für die Anwendung interessante Längenskala angepasste
+Funktionen gefunden werden können.
 
-\subsection{Standardbasis und Eigenbasis
-\label{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis}}
-Die einfachste Basis, aus der siche Funktionen auf dem Graphen linear
-kombinieren lassen, ist die Standardbasis.
-Sie hat für jeden Knoten $v$ des Graphen eine Basisfunktion mit den Werten
-\[
-e_v\colon V\to\mathbb R:v'\mapsto \begin{cases}
-1\qquad&v=v'\\
-0\qquad&\text{sonst.}
-\end{cases}
-\]
+\subsection{Wavelets und Frequenzspektrum}
+Eine Wavelet-Basis der Funktionen auf $\mathbb{R}$ zerlegt
 
 
-\subsection{Wavelet-Basen
-\label{buch:subsection:wavelet-basen}}
+\subsection{Frequenzspektrum
+\label{buch:subsection:frequenzspektrum}}
+Die Fundamentallösung der Wärmeleitunsgleichung haben ein Spektrum, welches
+wie $e^{-k^2}$ gegen $0$ geht.
 
+Die Fundamentallösung entsteht dadurch, dass die hohen Frequenzen
+schneller dämpft als die tiefen Frequenzen.
+
+
+\subsection{Wavelet-Basen
+\label{buch:subsection:}}