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diff --git a/buch/chapters/90-crypto/arith.tex b/buch/chapters/90-crypto/arith.tex
index b6f2fd8..44eb6bb 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/arith.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/arith.tex
@@ -6,20 +6,290 @@
 \section{Arithmetik für die Kryptographie
 \label{buch:section:arithmetik-fuer-kryptographie}}
 \rhead{Arithmetik für die Kryptographie}
+Die Algorithmen der mathematischen Kryptographie basieren
+auf den Rechenoperationen in grossen, aber endlichen Körpern.
+Für die Division liefert der euklidische Algorithmus eine
+Methode, der in so vielen Schritten die Inverse findet,
+wie Dividend und Divisor Binärstellen haben.
+Dies ist weitgehend optimal.
+
+Die Division ist umkehrbar, in der Kryptographie strebt man aber an,
+Funktionen zu konstruieren, die nur mit grossem Aufwand umkehrbar sind.
+Eine solche Funktion ist das Potenzieren in einem endlichen Körper.
+Die Berechnung von Potenzen durch wiederholte Multiplikation ist jedoch
+prohibitiv aufwendig, daher ist ein schneller Potenzierungsalgorithmus
+nötig, der in Abschnitt~\ref{buch:subsection:potenzieren} beschrieben
+wird.
+Bei der Verschlüsselung grosser Datenmengen wie zum Beispiel bei
+der Verschlüsselung ganzer Harddisks mit Hilfe des AES-Algorithmus
+kommt es auf die Geschwindigkeit auch der elementarsten Operationen
+in den endlichen Körpern an.
+Solche Methoden werden in den Abschnitten
+\ref{buch:subsection:rechenoperationen-in-fp}
+und
+\ref{buch:subsection:rechenoperatione-in-f2l}
+besprochen.
 
 \subsection{Potenzieren
 \label{buch:subsection:potenzieren}}
-% XXX Divide-and-Conquer Algorithmus
+Wir gehen davon aus, dass wir einen schnellen Algorithmus zur
+Berechnung des Produktes zweier Elemente $a,b$ in einer
+beliebigen Gruppe $G$ haben.
+Die Gruppe $G$ kann die Multiplikation der ganzen oder reellen Zahlen
+sein, dies wird zum Beispiel in Implementation der Potenzfunktion
+verwendet.
+Für kryptographische Anwendungen ist $G$ die multiplikative Gruppe
+eines endlichen Körpers oder eine elliptische Kurve.
+
+Zur Berechnung von $a^k$ sind bei einer naiven Durchführung des
+Algorithmus $k-1$ Multiplikationen nötig, immer sofort gefolgt
+von einer Reduktion $\mod p$ um sicherzustellen, dass die Resultate
+nicht zu gross werden.
+Ist $l$ die Anzahl der Binärstellen von $k$, dann benötigt dieser
+naive Algorithmus $O(2^l)$ Multiplikationen, die Laufzeit wächst
+also exponentiell mit der Bitlänge von $k$ an.
+Der nachfolgend beschriebene Algorithmus reduziert die Laufzeit auf
+die $O(l)$.
+
+Zunächst schreiben wir den Exponenten $k$ in binärer Form als
+\[
+k = k_l2^l + k_{l-1}2^{l-1} + \dots k_22^2+k_12^1 k_02^0.
+\]
+Die Potenz $a^k$ kann dann geschrieben werden als
+\[
+a^k
+=
+a^{k_l2^l} \cdot a^{k_{l-1}2^{l-1}} \cdot \dots \cdot
+a^{k_22^2} \cdot a^{k_12^1} \cdot a^{k_02^0}
+\]
+Nur diejenigen Faktoren tragen etwas bei, für die $k_i\ne 0$ ist.
+Die Potenz kann man daher auch schreiben als
+\[
+a^k
+=
+\prod_{k_i\ne 0} a^{2^i}.
+\]
+Es sind also nur so viele Faktoren zu berücksichtigen, wie $k$ 
+Binärstellen $1$ hat.
+
+Die einzelnen Faktoren $a^{2^i}$ können durch wiederholtes Quadrieren
+erhalten werden:
+\[
+a^{2^i} = a^{2\cdot 2^{i-1}} = (a^{2^{i-1}})^2,
+\]
+also durch maximal $l-1$ Multiplikationen.
+Wenn $k$ keine Ganzzahl ist sondern binäre Nachkommastellen hat, also
+\[
+k=k_l2^l + \dots + k_12^1 + k_02^0 + k_{-1}2^{-1} + k_{-2}2^{-2}+\dots,
+\]
+dann können die Potenzen $a^{2^{-i}}$ durch wiederholtes Wurzelziehen
+\[
+a^{2^{-i}} = a^{\frac12\cdot 2^{-i+1}} = \sqrt{a^{2^{-i+1}}}
+\]
+gefunden werden.
+Die Berechnung der Quadratwurzel lässt sich in Hardware effizient
+implementieren.
+
+\begin{algorithmus}
+Der folgende Algorithmsu berechnet $a^k$ in $O(\log_2(k))$
+Multiplikationen
+\begin{enumerate}
+\item Initialisiere $p=1$ und $q=a$
+\item Falls $k$ ungerade ist, setze $p:=p\cdot q$ 
+\item Setze $q:=q^2$ und $k := k/2$, wobei die ganzzahlige Division durch $2$
+am effizientesten als Rechtsshift implementiert werden kann.
+\item Falls $k>0$, fahre weiter bei 2.
+\end{enumerate}
+\end{algorithmus}
+
+\begin{beispiel}
+Die Berechnung von $1.1^{17}$ mit diesem Algorithmus ergibt
+\begin{enumerate}
+\item $p=1$, $q=1.1$
+\item $k$ ist ungerade: $p:=1.1$
+\item $q:=q^2=1.21$, $k := 8$
+\item $k$ ist gerade
+\item $q:=q^2=1.4641$, $k := 4$
+\item $k$ ist gerade
+\item $q:=q^2=2.14358881$, $k := 2$
+\item $k$ ist gerade
+\item $q:=q^2=4.5949729863572161$, $k := 1$
+\item $k$ ist ungerade: $p:=1.1\cdot p = 5.05447028499293771$
+\item $k:=0$
+\end{enumerate}
+Multiplikationen sind nur nötig in den Schritten 3, 5, 7, 9, 10, es
+werden also genau $5$ Multiplikationen ausgeführt.
+\end{beispiel}
 
 \subsection{Rechenoperationen in $\mathbb{F}_p$
 \label{buch:subsection:rechenoperationen-in-fp}}
-% XXX Multiplikation: modulare Reduktion mit jedem Digit
-% XXX Divide-and-Conquer
+Die Multiplikation macht aus zwei Faktoren $a$ und $b$ ein 
+Resultat mit Bitlänge $\log_2 a+\log_2 b$, die Bitlänge wird
+also typischerweise verdoppelt.
+In $\mathbb{F}_p$ muss anschliessend das Resultat $\mod p$
+reduziert werden, so dass die Bitlänge wieder höchstens
+$\log_2p$ ist.
+In folgenden soll gezeigt werden, dass dieser Speicheraufwand 
+für eine Binärimplementation deutlich reduziert werden kann,
+wenn die Reihenfolge der Operationen modifiziert wird.
+
+Für die Multiplikation von $41\cdot 47$ rechnet man im Binärsystem
+\begin{center}
+\begin{tabular}{>{$}r<{$}}
+\texttt{{\color{darkgreen}1}0{\color{red}1}001}\cdot\texttt{101111}\\
+\hline
+\texttt{101111}\\
+\texttt{{\color{red}101111}\phantom{000}}\\
+\texttt{{\color{darkgreen}101111}\phantom{00000}}\\
+\hline
+\texttt{11110000111}\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+In $\mathbb{F}_{53}$ muss im Anschluss Modulo $p=53$ reduziert werden.
+
+Der Speicheraufwand entsteht zunächst dadurch, dass durch die Multiplikation
+mit $2$ die Summanden immer länger werden.
+Man kann den die Sumanden kurz halten, indem man jedesmal, wenn 
+der Summand nach der Multiplikation mit $2$ grösser als $p$ geworden ist,
+$p$ subtrahiert (Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:reduktion}).
+Ebenso kann bei nach jeder Addition das bereits reduzierten zweiten
+Faktors wieder reduziert werden.
+Die Anzahl der nötigen Reduktionsoperationen wird durch diese
+frühzeitig durchgeführten Reduktionen nicht teurer als bei der Durchführung
+des Divisionsalgorithmus.
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\begin{tabular}{>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}}
+\text{Multiplikation mit $2$}&\text{Reduktion?}&\text{reduziert}
+	&\text{Summanden}&\text{Summe}&\text{reduziert}
+\\
+\hline
+\texttt{101111}               &                &\texttt{101111} 
+	&\texttt{101111}&\texttt{101111}&\texttt{101111}
+\\
+\texttt{101111\phantom{0}}    &\texttt{{\color{red}1011110}}&\texttt{101001}
+	&               &               &
+\\
+\texttt{101111\phantom{00}}   &\texttt{0{\color{red}111010}}&\texttt{011101}
+	&               &               &
+\\
+\texttt{101111\phantom{000}}  &\texttt{0001010}&\texttt{000101}
+	&\texttt{000101}&\texttt{110100}&\texttt{110100}
+\\
+\texttt{101111\phantom{0000}} &\texttt{0010100}&\texttt{001010}
+	&               &               &
+\\
+\texttt{101111\phantom{00000}}&\texttt{0101000}&\texttt{010100}
+	&\texttt{010100}&\texttt{{\color{red}1001000}}&\texttt{10011}\rlap{$\mathstrut=19$}
+\end{tabular}
+\end{center}
+\caption{Multiplikation von $41=\texttt{101001}_2$ mit $47=\texttt{101111}_2$,
+Reduktion nach jeder Multiplikation mit $2$: falls das Resultat
+$>p$ ist, wie in den rot markierten Zeilen $p=53=\texttt{110101}_2$
+durchgeführt.
+Bei der Bildung der Summe wird ebenfalls in jedem Schritt falls nötig
+reduziert, angezeigt durch die roten Zahlen in der zweitletzten
+Spalte.
+Die Anzahl der Subtraktionen, die für die Reduktionen nötig sind, ist
+von der selben Grössenordnung wie bei der Durchführung des
+Divisionsalgorithmus.
+\label{buch:crypto:fig:reduktion}}
+\end{figure}
+
+Es ist also möglich, mit gleichem Aufwand an Operationen
+aber mit halbe Speicherplatzbedarf die Multiplikationen in $\mathbb{F}_p$
+durchzuführen.
+Die Platzeinsparung ist besonders bei Implementationen in Hardware 
+hilfreich, wo on-die Speicherplatz teuer sein kann.
 
 \subsection{Rechenoperationen in $\mathbb{F}_{2^l}$
 \label{buch:subsection:rechenoperatione-in-f2l}}
-% XXX Darstellung eines Körpers der Art F_{2^l}
-% XXX Addition (XOR) und Multiplikation
-% XXX Beispiel F_{2^8}
+Von besonderem praktischem Interesse sind die endlichen Körper
+$\mathbb{F}_{2^l}$.
+Die arithmetischen Operationen in diesen Körpern lassen sich besonders
+effizient in Hardware realisieren.
+
+\subsubsection{Zahldarstellung}
+Ein endlicher Körper $\mathbb{F}_{2^l}$ ist definiert durch ein
+irreduzibles Polynom in $\mathbb{F}_2[X]$ vom Grad $2^l$ 
+\[
+m(X)
+=
+X^l + m_{l-1}X^{l-1} + m_{l-2}X^{l-2} + \dots + m_2X^2 + m_1X + m_0
+\]
+gegeben.
+Ein Element in $\mathbb{F}_2[X]/(m)$ kann dargestellt werden durch ein
+Polynom vom Grad $l-1$, also durch
+\[
+a = a_{l-1}X^{l-1} + a_{l-2}X^{l-2} +\dots + a_2X^2 + a_1X + a_0.
+\]
+In einer Maschine kann eine Zahl also als eine Bitfolge der Länge $l$
+dargestellt werden.
+
+\subsubsection{Addition}
+Die Addition in $\mathbb{F}_2$ ist in Hardware besonders leicht zu
+realisieren.
+Die Addition ist die XOR-Operation, die Multiplikation ist die UND-Verknüfung.
+Ausserdem stimmen in $\mathbb{F}_2$ Addition und Subtraktion überein.
+
+Die Addition zweier Polynome erfolgt komponentenweise.
+Die Addition von zwei Elemente von $\mathbb{F}_{2^l}$ kann also
+durch die bitweise XOR-Verknüpfung der Darstellungen der Summanden 
+erfolgen.
+Diese Operation ist in einem einzigen Maschinenzyklus realisierbar.
+Die Subtraktion, die für die Reduktionsoperation module $m(X)$ nötig
+ist, ist mit der Addition identisch.
+
+\subsubsection{Multiplikation}
+Die Multiplikation zweier Polynome benötigt zunächst die Multiplikation
+mit $X$, wodurch der Grad des Polynoms ansteigt und möglicherweise so
+gross wird, dass eine Reduktionsoperation modulo $m(X)$ nötig wird.
+Die Reduktion wird immer dann nötig, wenn der Koeffizient von $X^l$
+nicht $0$ ist.
+Der Koeffizient kann dann zum Verschwinden gebracht werden, indem
+$m(X)$ addiert wird.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/90-crypto/images/schieberegister.pdf}
+\caption{Implementation der Multiplikation mit $X$ in einem 
+endlichen Körper $\mathbb{F}_{2^l}$ mit dem Minimalpolynom
+$m(X) = X^8+X^4+X^3+X^+1$ als Feedback-Schieberegister.
+\label{buch:crypto:fig:schieberegister}}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:schieberegister} wird gezeigt,
+wie die Reduktion erfolgt, wenn die Multiplikation mit $X$, also der
+Shift nach links, einen Überlauf ergibt.
+Das Minimalpolynom $m(X)=X^8+X^4+X^3+X+1$ bedeutet, dass in $\mathbb{F}_{2^l}$
+$X^8=X^4+X^3+X+1$ gilt, so dass man das Überlaufbit durch 
+$X^4+X^3+X+1$ ersetzen und addieren kann.
+
+Ein Produktes $p(X)\cdot q(X)$, wobei $p(X)$ und
+$q(X)$ Repräsentaten von Elementen $\mathbb{F}_{2^l}$ sind, kann jetzt
+wie folgt berechnet werden.
+Mit dem Schieberegister werden die Vielfachen $X^k\cdot p(X)$ 
+für $k=0,\dots,l-1$ berechnet.
+Diejenigen Vielfachen, für die der Koeffizient von $X^k$ in $q(X)$
+von $0$ verschieden ist werden aufsummiert und ergeben das Produkt.
+Der Prozess in Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:multiplikation}
+dargestellt.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/90-crypto/images/multiplikation.pdf}
+\caption{Multiplikation zweier Elemente von $\mathbb{F}_{2^l}$.
+Mit Hilfe des Schieberegisters am linken Rand werden die Produkte 
+$X\cdot p(X)$, $X^2\cdot p(X),\dots,X^7\cdot p(X)$ nach der in
+Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:schieberegister} dargestellten
+Methode berechnet.
+Am rechten Rand werden diejenigen $X^k\cdot p(X)$ aufaddiert,
+für die der $X^k$-Koeffizient von $q(X)$ von $0$ verschieden ist.
+\label{buch:crypto:fig:multiplikation}}
+\end{figure}
+
+
 % XXX Beispiel F einer Oakley-Gruppe
 
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex b/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex
index 43ac8de..d2fcbbf 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex
@@ -20,7 +20,7 @@ In diesem Abschnitt soll dies an einigen Beispielen gezeigt werden.
 \input{chapters/90-crypto/arith.tex}
 \input{chapters/90-crypto/ff.tex}
 \input{chapters/90-crypto/aes.tex}
-\input{chapters/90-crypto/rs.tex}
+%\input{chapters/90-crypto/rs.tex}
 
 \section*{Übungsaufgaben}
 \rhead{Übungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex
index 4ab9c34..535b359 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex
@@ -26,7 +26,7 @@ In der Praxis werden aber $g$ und $a$ Zahlen mit vielen Binärstellen
 sein, die die wiederholte Multiplikation ist daher sicher nicht
 effizient, das Kriterium der einfachen Berechenbarkeit scheint
 also nicht erfüllt.
-Der folgende Algorithmus berechnet die Potenz in $O(\log_2 a$
+Der folgende Algorithmus berechnet die Potenz in $O(\log_2 a)$
 Multiplikationen.
 
 \begin{algorithmus}[Divide-and-conquer]
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/Makefile b/buch/chapters/90-crypto/images/Makefile
index 9480163..bbb960f 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/Makefile
@@ -3,7 +3,7 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	dh.pdf elliptic.pdf
+all:	dh.pdf elliptic.pdf schieberegister.pdf multiplikation.pdf
 
 dh.pdf:	dh.tex
 	pdflatex dh.tex
@@ -11,3 +11,9 @@ dh.pdf:	dh.tex
 elliptic.pdf:	elliptic.tex
 	pdflatex elliptic.tex
 
+schieberegister.pdf:	schieberegister.tex
+	pdflatex schieberegister.tex
+
+multiplikation.pdf:	multiplikation.tex
+	pdflatex multiplikation.tex
+
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.pdf
new file mode 100644
index 0000000..86345b8
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.tex b/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.tex
new file mode 100644
index 0000000..27c4329
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.tex
@@ -0,0 +1,464 @@
+%
+% multiplikation.tex -- 
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\s{0.45}
+
+\def\punkt#1#2{({#1*\s},{#2*\s})}
+
+\def\pfeile{
+	\foreach \x in {0.5,1.5,...,7.5}{
+		\draw[->,color=blue] \punkt{\x}{-2.1} -- \punkt{(\x-1)}{-3.3};
+	}
+}
+
+\begin{scope}[yshift=0.1cm]
+	\node at \punkt{0}{0.5} [left] {$p(X)=\mathstrut$};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\foreach \x in {0.5,1.5,...,7.5}{
+		\draw[->,color=blue] \punkt{\x}{-0.1} -- \punkt{(\x-1)}{-1.3};
+	}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-1cm]
+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);
+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};
+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};
+
+	\draw[->,color=darkgreen]
+		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+
+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};
+	}
+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+
+	\pfeile
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-3cm]
+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);
+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};
+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};
+
+%	\draw[->,color=darkgreen]
+%		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4}{-0.5} {$\|$};
+
+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};
+	}
+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+
+	\pfeile
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-5cm]
+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);
+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};
+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{1}};
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+
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+
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+	\pfeile
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-11cm]
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+
+\begin{scope}[yshift=-13cm]
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+
+%	\draw[->,color=darkgreen]
+%		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};
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+
+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};
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+
+\begin{scope}[xshift=9cm]
+
+\begin{scope}[yshift=0.1cm]
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+\end{scope}
+
+\def\summation#1#2#3#4#5#6#7#8{
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+
+	\draw[->] \punkt{-11.8}{0.5} -- \punkt{3.5}{0.5};
+
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+
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+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};
+	}
+
+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{#1}};
+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{#2}};
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+}
+
+\begin{scope}[yshift=-1.9cm]
+	\summation{1}{0}{0}{1}{0}{1}{0}{1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-3.9cm]
+	\summation{1}{1}{1}{1}{0}{1}{1}{1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-5.9cm]
+	\summation{1}{1}{1}{1}{0}{1}{1}{1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-7.9cm]
+	\summation{0}{1}{1}{0}{0}{1}{0}{0}
+\end{scope}
+
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+	\summation{0}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-11.9cm]
+	\summation{0}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-13.9cm]
+	\summation{0}{0}{1}{1}{0}{1}{1}{0}
+	\node at \punkt{0}{-1.5} [left] {$p(X)\cdot q(X)=\mathstrut$};
+\end{scope}
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=5cm]
+
+\begin{scope}[yshift=2cm]
+	\node at \punkt{0}{0.5} [left] {$q(X)=\mathstrut$};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};
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+
+	\draw[->] \punkt{7.5}{-0.1} -- ({7.5*\s},{-1.3});
+	\node at ({7.5*\s},{-1.2}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{1}$};
+
+	\def\y{1.2}
+
+	\draw[->] \punkt{6.5}{-0.1} -- ({6.5*\s},{-1*2-\y-0.1});
+	\node at ({6.5*\s},{-1*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{0}$};
+
+	\draw[->] \punkt{5.5}{-0.1} -- ({5.5*\s},{-2*2-\y-0.1});
+	\node at ({5.5*\s},{-2*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{1}$};
+
+	\draw[->] \punkt{4.5}{-0.1} -- ({4.5*\s},{-3*2-\y-0.1});
+	\node at ({4.5*\s},{-3*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{0}$};
+
+	\draw[->] \punkt{3.5}{-0.1} -- ({3.5*\s},{-4*2-\y-0.1});
+	\node at ({3.5*\s},{-4*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{1}$};
+
+	\draw[->] \punkt{2.5}{-0.1} -- ({2.5*\s},{-5*2-\y-0.1});
+	\node at ({2.5*\s},{-5*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{1}$};
+
+	\draw[->] \punkt{1.5}{-0.1} -- ({1.5*\s},{-6*2-\y-0.1});
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+
+	\draw[->] \punkt{0.5}{-0.1} -- ({0.5*\s},{-7*2-\y-0.1});
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+\end{scope}
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
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new file mode 100644
index 0000000..30b675b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.tex b/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.tex
new file mode 100644
index 0000000..7c24e52
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.tex
@@ -0,0 +1,120 @@
+%
+% schieberegister.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
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+\begin{document}
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+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\s{0.8}
+
+\def\punkt#1#2{({#1*\s},{#2*\s})}
+
+\fill[color=blue!20] \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+
+\node at \punkt{0.5}{1} [above] {$X^7\mathstrut$};
+\node at \punkt{3}{1}   [above] {$+\mathstrut$};
+\node at \punkt{3.5}{1} [above] {$X^4\mathstrut$};
+\node at \punkt{5}{1}   [above] {$+\mathstrut$};
+\node at \punkt{5.5}{1} [above] {$X^2\mathstrut$};
+\node at \punkt{7}{1}   [above] {$+\mathstrut$};
+\node at \punkt{7.5}{1} [above] {$1\mathstrut$};
+
+\node at \punkt{0}{1} [above left] {\llap{$p(X)=\mathstrut$}};
+
+\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};
+\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{1}};
+\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};
+\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{1}};
+
+\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+\foreach \x in {1,...,7}{
+	\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+}
+
+\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{-3} rectangle \punkt{7}{-2};
+\fill[color=darkgreen!20] \punkt{0}{-4} rectangle \punkt{8}{-3};
+
+\node[color=darkgreen] at \punkt{-1}{-1.5} [left] 
+	{$m(X) = X^8+X^4+X^3+X+1$};
+
+\node[color=darkgreen] at \punkt{-1}{-2.7} [left]
+	{$\underbrace{X^4+X^3+X+1}_{}= X^8=\mathstrut$};
+
+\coordinate (A) at ({-4.15*\s},{-3*\s});
+\coordinate (B) at ({0*\s},{-3.5*\s});
+
+\draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm] (A) to[out=-90,in=180] (B);
+\node[color=red] at \punkt{-3.1}{-3.8} [below] {Feedback};
+
+\node at \punkt{-0.5}{-2.5} {\texttt{1}};
+\node at \punkt{0.5}{-2.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{1.5}{-2.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{2.5}{-2.5} {\texttt{1}};
+\node at \punkt{3.5}{-2.5} {\texttt{0}};
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+
+\node[color=darkgreen] at \punkt{0.5}{-3.5} {\texttt{0}};
+\node[color=darkgreen] at \punkt{1.5}{-3.5} {\texttt{0}};
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+\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-3.5} {\texttt{1}};
+\node[color=darkgreen] at \punkt{5.5}{-3.5} {\texttt{0}};
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+
+\draw \punkt{0}{-4} rectangle \punkt{8}{-2};
+\draw \punkt{0}{-3} -- \punkt{8}{-3};
+\foreach \x in {1,...,7}{
+	\draw \punkt{\x}{-4} -- \punkt{\x}{-2};
+}
+
+\foreach \x in {0.5,1.5,...,7.5}{
+	\draw[->,color=blue] \punkt{\x}{-0.1} -- \punkt{(\x-1)}{-1.9};
+}
+
+\draw \punkt{0}{-6} rectangle \punkt{8}{-5};
+\foreach \x in {1,...,7}{
+	\draw \punkt{\x}{-6} -- \punkt{\x}{-5};
+}
+
+\node at \punkt{0.5}{-5.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{1.5}{-5.5} {\texttt{0}};
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+\node at \punkt{4.5}{-5.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{5.5}{-5.5} {\texttt{0}};
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+
+\node at \punkt{4}{-4.5} {$\|$};
+
+\node at \punkt{10.3}{-3} [left]
+	{$\left.\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}\right\} + = \text{XOR}$};
+
+\draw[<-,shorten >= 0.1cm, shorten <= 0.1cm]
+	\punkt{8.0}{-2.0} arc (-30:30:{2.0*\s});
+\node at \punkt{8.3}{-1} [right] {$\mathstrut \cdot X$};
+
+\node at \punkt{8.1}{-5.5} [right] {$=X\cdot p(X)\mathstrut$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/uebungsaufgaben/9001.tex b/buch/chapters/90-crypto/uebungsaufgaben/9001.tex
index 5bf4558..7ed1e57 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/uebungsaufgaben/9001.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/uebungsaufgaben/9001.tex
@@ -6,7 +6,7 @@ Welchen gemeinsamen Schlüssel verwenden $A$ und $B$?
 
 \begin{loesung}
 Der zu verwendende gemeinsame Schlüssel ist
-$g^{ab}=(g^b)^a = y^a\in\mathbb{F}_2027$.
+$g^{ab}=(g^b)^a = y^a\in\mathbb{F}_{2027}$.
 Diese Potenz kann man mit dem Divide-and-Conquer-Algorithmus effizient
 berechnen.
 Die Binärdarstellung des privaten Schlüssels von $A$ ist