euler char, traces, telescoping sums

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diff --git a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
new file mode 100644
index 0000000..6cf49c2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
@@ -0,0 +1,812 @@
+\subsection{Basiswahl
+\label{buch:subsection:basiswahl}}
+Die Definition der Homologiegruppen $H_k(C)$ als Quotient von
+Vektorräumen ist ziemlich abstrakt.
+Sie besteht aus Klassen von Zyklen, die sich höchstens um einen
+Rand unterscheiden.
+% XXX Verweise auf Visualisierung
+Indem wir eine geeignete Basis wählen, können wir konkrete Zyklen
+identifizieren, die eine Basis für den Vektorraum $H_k(C)$ bilden.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf}
+\caption{Beispiel für die Berechnung von Basisvektoren und Homologieklassen
+mit Hilfe des Gauss-Algorithmus
+\label{buch:homologie:fig:gausshomoex}}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Basis von $Z_k(C)$}
+Um eine Basis für $H_k(C)$ zu konstruieren, ist es zunächst nötig,
+eine Basis der Zyklen $Z_k(C)$ zu bestimmen.
+Ausgehend von einer beliebigen Basis der $C_k$ und einer 
+zugehörigen Darstellung des Randoperators $\partial_k$ als
+Matrix, kann eine Basis von Zyklen mit Hilfe des Gauss-Algorithmus
+gefunden werden.
+Wir bezeichnen die Menge dieser Zyklen mit
+\[
+\mathcal{Z}_k 
+=
+\{
+z_1^{(k)},
+z_2^{(k)},
+\dots,
+z_l^{(k)}
+\}.
+\]
+$\mathcal{Z}_k$ erzeugt den $l$-dimensionalen Vektorraum $Z_k(C)$.
+
+\begin{beispiel}
+\label{buch:homologie:beispiel:gausshomo}
+In Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:gausshomoex} ist ein Polyeder 
+dargestellt, dessen Homologiegruppe $H_1$ berechnet werden soll.
+Um eine Basis für die Zyklen zu berechnen, wird zunächst die Matrix
+des Randoperators $\partial_1$ aufgestellt.
+Sie ist
+\[
+\setcounter{MaxMatrixCols}{27}
+\partial_1
+=
+\tiny
+\setlength\arraycolsep{2pt}
+\begin{pmatrix*}[r]
+%1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
+-1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 1
+ 1&-1& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 2
+ 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 3
+ 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 4
+ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 5
+ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 6
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 7
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 8
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 9
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0&-1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ %10
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0\\ %11
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ %12
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0&-1& 1& 0\\ %13
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 1& 0&-1\\ %14
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1\\ %15
+\end{pmatrix*}
+\]
+Die reduzierte Zeilenstufenform von $\partial_1$ ist
+\begin{center}
+\tiny
+\setlength\tabcolsep{3pt}
+\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27\\
+\hline
+ 1&1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 2&0& 1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 3&0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 4&0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 5&0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 6&0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 7&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
+ 8&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 9&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+10&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
+11&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 1& 1& 0&-1\\
+12&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 1& 0&-1\\
+13&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1&-1& 0& 1\\
+14&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1\\
+15&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+\hline
+\end{tabular}.
+\end{center}
+Daraus kann man die Zyklen wie folgt ablesen:
+{
+\begin{align*}
+z_1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_2
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_3
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_4 % variable 12 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_5 % variable 13 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_6 % variable 14 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_7 % variable 16 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},\\
+z_8 % variable 18 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_9 % variable 20 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+-1\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_{10} % variable 22 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %5
+ 0\\ 
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %10
+ 0\\ 
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %15
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\ %20
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %25
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_{11} % variable 24 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\ %5
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\ %10
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\ %15
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\ %20
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\ %25
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_{12} % variable 25 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %10
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %15
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\ %20
+-1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 1\\ %25
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_{13} % variable 27 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\ %20
+ 1\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\ %25
+ 1\\
+ 1
+\end{pmatrix*}
+\end{align*}
+}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf}
+\caption{Zyklen des Randoperators $\partial_1$ im Beispiel von
+Seite~\pageref{buch:homologie:beispiel:gausshomo}.
+\label{buch:homologie:fig:homocycles}}
+\end{figure}
+Die Zyklen sind in Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} {\color{red}rot} dargestellt.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Basis für $B_k(C)$}
+Da $B_k(C)\subset Z_k(C)$ gilt, lässt sich für jedes $c_{k+1}\in C_{k+1}$
+der Rand $\partial_{k+1}c_{k+1}$ als Linearkombination der im 
+vorangegangenen Schritt gefundenen Basiszyklen finden.
+Wir können also aus der Standardbasis $e^{(k+1)}_i\in C_{k+1}$ eine Menge
+von Vektoren $\partial_{k+1}e^{(k+1)}_i$ gewinnen, die mit Sicherheit
+ganz $B_k(C)$ aufspannen.
+Es ist aber davon auszugehen, dass diese Vektoren nicht linear unabhängig
+sind.
+Es ist also nötig, eine Teilmenge
+\[
+\mathcal{B}_k
+=
+\{
+\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_1},
+\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_2},
+\dots,
+\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_m}
+\}
+\]
+von Vektoren auszuwählen, die linear
+unabhängig sind.
+Diese bilden eine Basis von $B_k(C)$.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf}
+\caption{Die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ für das Beispiel von
+Seite~\pageref{buch:homologie:beispiel:gausshomo}.
+Die grauen Dreiecke bilden die Standardbasis $e_i^{(2)}$ von $C_2$,
+die blauen Dreiecke sind die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ dieser
+Dreiecke.
+\label{buch:homologie:fig:homoboundaries}}
+\end{figure}
+
+Aus den Abbildungen~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} und
+\ref{buch:homologie:fig:homoboundaries} kann man auch ablesen,
+wie die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ aus den Zyklen von $\mathcal{Z}_1$
+linear kombiniert werden können.
+Man erhält so die Beziehungen.
+\begin{equation}
+\setcounter{MaxMatrixCols}{29}
+\setlength\arraycolsep{1pt}
+\begin{array}{lcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+\partial_2e_1^{(2)} &=&z_1& &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_2^{(2)} &=&   & &z_2& &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_3^{(2)} &=&   & &   & &z_3& &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_4^{(2)} &=&   & &   & &   & &z_4& &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_5^{(2)} &=&   & &   & &   & &   &-&z_5& &   &+&z_7& &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_6^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   &-&z_6& &   &+&z_8& &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_7^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &z_{10}& &      & &      & &      \\
+\partial_2e_8^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &z_{11}& &      & &      \\
+\partial_2e_9^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      &-&z_{12}&+&z_{13}
+\end{array}
+\end{equation}
+Dies reicht jedoch nicht, um herauszufinden, welche der blauen Dreiecke
+linear unabhängig sind.
+Im vorliegenden Fall ist dies einfach: jedes blaue Dreieck besteht aus
+Kanten, die in keinem anderen blauen Dreieck vorkommen, daher müssen
+sie alle linear unabhängig sein.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf}
+\caption{Bestimmung einer Basis für die Homologiegruppe $H_k(C)$ mit
+Hilfe der Vorwärtsreduktion des Gaussalgorithmus.
+Die schwarzen Nullzeilen zeigen an, welche Zeilenvektoren zusammen mit
+den darüberliegenden Vektoren nicht linear unabhängig sind und damit nicht
+in Frage kommen für die besuchte Basis.
+Übrig bleiben die {\color{red}rot} und {\color{darkgreen}grün} hervorgehobenen
+Vektoren.
+\label{buch:homologie:fig:gausshomobasis}}
+\end{figure}
+
+Diese Auswahl lässt sich sehr leicht mit Hilfe der folgenden
+Variante des Gauss-Algorithmus realisieren.
+Dazu werden die $n_{k+1}$ Zeilen Gauss-Tableau zunächst mit den Vektoren
+$\partial_{k+1}{e_i^{(k+1)}}^t$ gefüllt.
+Führt man in diesem Tableau die Vorwärtsreduktion durch, wobei man
+entstehende Nullzeilen einfach überspringt, bleiben nur noch Zeilen
+übrig, die linear unabhängig sind.
+Diese Zeilen entsprechen den linear unabhängigen Vektoren von $\mathcal{B}_k$,
+die Zeilennummern sind $i_1,i_2,\dots,i_m$.
+Dieses Vorgehen ist schematisch im oberen Teil der
+Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:gausshomobasis} dargestellt.
+
+\subsubsection{Basis für die Homologiegruppe $H_k(C)$}
+Um eine Basis von $H_k(C)$ zu konstruieren, müssen wir jetzt eine
+Basis von Zyklen finden, die sich nicht nur um einen Rand unterscheiden,
+die also zu verschiedenen Homologie-Klassen in $H_k(C)$ gehören.
+Gesucht sind jetzt also Vektoren $\mathcal{Z}'_k$ derart, dass 
+die Vektoren von $\mathcal{Z}'_k\cup\mathcal{B}_k$ immer noch $Z_k(C)$
+aufspannen, aber zusätzlich linear unabhängig sind.
+
+Dazu kann man wie folgt vorgehen.
+\begin{enumerate}
+\item
+Man beginnt mit $\mathcal{D}_0=\emptyset$ und setzt $j=0$.
+\item
+Dann testet man der Reihe nach alle noch nicht getesteten Vektoren
+von $z_i^{(k)}\in\mathcal{Z}_k$ daraufhin, ob sie von den Vektoren
+$\mathcal{B}_k\cup \mathcal{D}_j$ linear unabhängig sind.
+Wenn ja, bildet man $\mathcal{D}_{j+1} = \mathcal{D}\cup\{z^{(k)}_i\}$ und
+setzt $j=1$.
+Andernfalls ignoriert man $z^{(k)}_i$.
+\item
+Schritt 2 wird wiederholt, bis man alle Vektoren von $\mathcal{Z}_k$
+getestet hat.
+Die gesuchte Basis setzt sich zusammen  aus $\mathcal{B}_k$ und
+$\mathcal{D}_l$,
+also
+$
+\mathcal{Z}_k'
+=
+\mathcal{B}_k
+\cup
+\mathcal{D}_l.
+$
+\end{enumerate}
+
+Dieser Algorithmus kann ebenfalls mit der oben angesprochenen Variante
+des Gauss-Algorithmus durchgeführt werden.
+Dazu werden die Zeilen $n_k+1$ bis $n_k+1+|\mathcal{Z}_k|$ mit den
+Vektoren $z_i^t$.
+Dann führt man die Vorwärtsreduktion im ganzen Tableau durch, wobei
+man wieder die Nullzeilen stehen lässt.
+Nullzeilen zeigen wieder Vektoren an, die sich linear durch die darüber
+liegenden Vektoren ausdrücken lassen.
+Die auszuwählenden Vektoren sind daher genau diejenigen, die für
+$\mathcal{Z}_k'$ ausgewählt werden müssen.
+
+Um den Algorithmus durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau
+in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableau},
+bestehend aus den Vektoren $\partial_2e_i^{(2)}$ in den ersten 9
+Zeilen und den Zyklen $z_1,\dots,z_{13}$ in den folgenden 13 Zeilen.
+Das reduzierte Tableau nach der Vorwärtsreduktion ist in
+Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}
+dargestellt, amn erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$,
+$z_9$ und $z_{10}$ sowie $z_{13}$ weggelassen werden müssen.
+Es bleiben die folgenden Zyklen:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{>{$}l<{$}l}
+\text{Zyklus}&Eigenschaft\\
+\hline
+z_5   &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck links unten\\
+z_6   &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck rechts unten\\
+z_9   &Zyklus umschliesst das grosse weisse Dreieck\\
+z_{12}&Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreicke oben\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+Die Zyklen, die nach der Reduktion übrig bleiben, sind in
+Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} zusammengestellt.
+Jede solche Klasse entspricht genau einem der ``Löcher'', der weissen
+Dreiecke.
+Die Homologie kann man also als eine exakte Version der Idee eines
+Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polygons verstehen.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\setlength\tabcolsep{1pt}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+&\scriptstyle 1&\scriptstyle 2&\scriptstyle 3&\scriptstyle 4 &\scriptstyle 5
+&\scriptstyle 6 &\scriptstyle 7 &\scriptstyle 8 &\scriptstyle 9 &\scriptstyle 10
+&\scriptstyle 11 &\scriptstyle 12 &\scriptstyle 13 &\scriptstyle 14 &\scriptstyle 15
+&\scriptstyle 16 &\scriptstyle 17 &\scriptstyle 18 &\scriptstyle 19 &\scriptstyle 20
+&\scriptstyle 21 &\scriptstyle 22 &\scriptstyle 23 &\scriptstyle 24 &\scriptstyle 25
+&\scriptstyle 26 &\scriptstyle 27
+\\
+%                                1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7
+\hline
+\scriptstyle\partial_2e_1^{(2)}& 1&  &  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_2^{(2)}&  & 1&  &  &  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_3^{(2)}&  &  & 1&  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_4^{(2)}&  &  &  &\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_5^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_6^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_7^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  &\phantom{-}1& 1&  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\
+\hline
+%                    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
+\scriptstyle z_{ 1}& 1&  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 2}&  & 1&  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 3}&  &  & 1&  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 4}&  &  &  & 1&  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 5}&-1&  &  &  &-1&  & 1&  &  &  &  &  & 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 6}&  &  &-1&  &  &  &  &  &-1&  & 1&  &  & 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 7}& 1&  &  &  & 1&  &-1&  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 8}&  &  & 1&  &  &  &  &  & 1&  &-1&  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 9}&-1&-1&  &  & 1&  &  &  & 1&  &  &  &  &  &-1&  & 1& 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{10}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1& 1&  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{11}& 1& 1&  &  & 1&  &  &  &-1&  &  &  &  &  & 1&  &-1&  &-1&  &  &  & 1& 1&  &  &  \\
+\scriptstyle z_{12}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &-1&  &-1&  & 1&  & 1&  &  \\
+\scriptstyle z_{13}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1&  &-1&  &  & 1& 1\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Gauss-Tableau für die Bestimmung einer Basis von
+$H_1$ für das Beispiel. 
+Die ersten neuen Zeilen bestehen aus den Bildern der
+Basisvektoren von $C_2$.
+Im vorliegenden Fall kann man sofort sehen, dass alle diese
+Zeilen linear unabhängig sind.
+Die folgenden Zeilen sind die Zyklen in $\mathbb{Z}_2$, sie
+sind ebenfalls linear unabhängig.
+Mit Hilfe der Vorwärtsreduktion müssen jetzt diejenigen
+Zeilen elminiert werden, die bereits aus anderen Zyklen
+mit Hilfe von Rändern der Zeilen 1--9 kombiniert werden können.
+\label{buch:homologie:beispiel:gausstableau}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\setlength\tabcolsep{1pt}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+&\scriptstyle 1&\scriptstyle 2&\scriptstyle 3&\scriptstyle 4 &\scriptstyle 5
+&\scriptstyle 6 &\scriptstyle 7 &\scriptstyle 8 &\scriptstyle 9 &\scriptstyle 10
+&\scriptstyle 11 &\scriptstyle 12 &\scriptstyle 13 &\scriptstyle 14 &\scriptstyle 15
+&\scriptstyle 16 &\scriptstyle 17 &\scriptstyle 18 &\scriptstyle 19 &\scriptstyle 20
+&\scriptstyle 21 &\scriptstyle 22 &\scriptstyle 23 &\scriptstyle 24 &\scriptstyle 25
+&\scriptstyle 26 &\scriptstyle 27
+\\
+%                                1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7
+\hline
+\scriptstyle\partial_2e_1^{(2)}&\phantom{-}1&  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_2^{(2)}&  &\phantom{-}1&  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_3^{(2)}&  &  &\phantom{-}1&  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_4^{(2)}&  &  &  &\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_5^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_6^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_7^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  &\phantom{-}1& 1&  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\
+\hline
+%                    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
+\scriptstyle z_{ 1}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 2}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 3}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 4}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 5}&  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &-1&-1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 6}&  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &-1&-1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 7}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 8}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 9}&  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &-1&-1&-1&-1&  &  &  \\
+\scriptstyle z_{10}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{11}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{12}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &-1&-1\\
+\scriptstyle z_{13}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Nach Durchführung der Vorwärtsreduktion kann man die Zyklen
+ablesen, die nicht für eine Basis von $H_1$ gebraucht werden.
+\label{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf}
+\caption{Repräsentanten für die Reduzierten Klassen aus dem
+Tableau von
+Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert},
+sie bilden eine Basis der Homologie-Gruppe $H_1$.
+Jeder dieser Repräsentanten umschliesst genau ein ``Loch'',
+also genau ein weisses Dreieck.
+\label{buch:homologie:beispiel:homoclasses}}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Basis von $H_k(C)$}
+Die im vorangegangenen Abschnitt konstruierte Basis kann jetzt auch
+dazu verwendet werden, eine Basis von $H_k(C)$ zu finden.
+Die Vektoren in $\mathcal{B}_k$ bilden eine Basis von $B_k(C)$
+und die Vektoren in $\mathcal{Z}_k'$ sind davon unabhängig.
+Die Klassen der Vektoren von $\mathcal{Z}_k'$ in $H_k(C)$ sind
+daher ebenfalls linear unabhängig und bilden damit eine Basis
+von $H_k(C)$.
+Die von obigem Algorithmus ausgewählten Zyklen bilden also automatisch
+eine Basis von Zyklen, die nicht Rand irgend einer Kette in $C_{k+1}$
+sein können.