euler char, traces, telescoping sums

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@@ -34,1147 +34,8 @@ Es soll möglich werden, kompliziertere Fragen des Zusammenhangs, zum
 Beispiel das Vorhandensein von Löchern mit algebraischen Mitteln
 zu analysieren.
 
-\subsection{Homologie eines Kettenkomplexes
-\label{buch:subsection:homologie-eines-kettenkomplexes}}
-Wegzusammenhang lässt sich untersuchen, indem man in der Triangulation
-nach Linearkombinationen von Kanten sucht, die als Rand die beiden Punkte
-haben.
-Zwei Punkte sind also nicht verbindbar und liegen damit in verschiedenen
-Komponenten, wenn die beiden Punkte nicht Rand irgend einer
-Linearkombination von Kanten sind.
-Komponenten können also identifiziert werden, indem man unter allen
-Linearkombinationen von Punkten, also $C_0$ all diejenigen ignoriert,
-die Rand einer Linearkombinationv on Kanten sind, also $\partial_1C_1$.
-Der Quotientenraum $H_0=C_0/\partial_1C_1$ enthält also für jede Komponente
-eine Dimension.
-
-Eine Dimension höher könnten wir danach fragen, ob sich ein geschlossener
-Weg zusammenziehen lässt.
-In der Triangulation zeichnet sich ein geschlossener Weg dadurch aus,
-dass jedes Ende einer Kante auch Anfang einer Folgekante ist, dass also
-der Rand der Linearkombination von Kanten 0 ist.
-Algebraisch bedeutet dies, dass wir uns für diejenigen Linearkombinationen
-$z\in C_1$ interessieren, die keinen Rand haben, für die also $\partial_1z=0$
-gilt.
-
-\begin{definition}
-Die Elemente von
-\[
-Z_k
-=
-Z_k^C
-=
-\{z\in C_k\;|\; \partial_k z = 0\}
-=
-\ker \partial_k
-\]
-heissen die {\em ($k$-dimensionalen) Zyklen} von $C_*$.
-\end{definition}
-
-In einem Dreieck ist der Rand ein geschlossener Weg, der sich zusammenziehen
-lässt, indem man ihn durch die Dreiecksfläche deformiert.
-Entfernt man aber die Dreiecksfläche, ist diese Deformation nicht mehr
-möglich.
-Einen zusammenziehbaren Weg kann man sich also als den Rand eines Dreiecks
-einer vorstellen.
-``Löcher'' sind durch geschlossene Wege erkennbar, die nicht Rand eines
-Dreiecks sein können.
-Wir müssen also ``Ränder'' ignorieren.
-
-\begin{definition}
-Die Elemente von
-\[
-B_k
-=
-B_k^C
-=
-\{\partial_{k+1}z\;|\; C_{k+1}\}
-=
-\operatorname{im} \partial_{k+1}
-\]
-heissen die {\em ($k$-dimensionalen) Ränder} von $C_*$.
-\end{definition}
-
-Algebraisch ausgedrückt interessieren uns also nur Zyklen, die selbst
-keine Ränder sind.
-Der Quotientenraum $Z_1/B_1$ ignoriert unter den Zyklen diejenigen, die
-Ränder sind, drückt also algebraisch die Idee des eindimensionalen
-Zusammenhangs aus.
-Wir definieren daher
-
-\begin{definition}
-Die $k$-dimensionale Homologiegruppe des Kettenkomplexes $C_*$ ist
-\[
-H_k(C) = Z_k/B_k = \ker \partial_k / \operatorname{im} \partial_{k+1}.
-\]
-Wenn nur von einem Kettenkomplex die Rede ist, kann auch $H_k(C)=H_k$
-abgekürzt werden.
-\end{definition}
-
-% XXX Visualisierung Zyklen/Ränder, Klassen von Zyklen, die sich um einen
-% XXX Rand unterscheiden
-
-Die folgenden zwei ausführlichen Beispiele sollen zeigen, wie die
-Homologiegruppe $H_2$ die Anwesenheit eines Hohlraumes detektieren kann,
-der entsteht, wenn man aus einem Tetraeder das innere entfernt.
-
-\begin{beispiel}
-\begin{figure}
-\centering
-XXX Bild eines Tetraeders mit Bezeichnung der Ecken und Kanten
-\caption{Triangulation eines Tetraeders, die Orientierung von Kanten
-und Seitenflächen ist immer so gewählt, dass die Nummern der Ecken
-aufsteigend sind.
-\label{buch:homologie:tetraeder:fig}}
-\end{figure}
-Ein Tetraeder ist ein zweidmensionales Simplex, wir untersuchen seinen
-Kettenkomplex und bestimmen die zugehörigen Homologiegruppen.
-Zunächst müssen wir die einzelnen Mengen $C_k$ beschreiben und verwenden
-dazu die Bezeichnungen gemäss Abbildung~\ref{buch:homologie:tetraeder:fig}.
-$C_0$ ist der vierdimensionale Raum aufgespannt von den vier Ecken 
-$0$, $1$, $2$ und $3$ des Tetraeders.
-$C_1$ ist der sechsdimensionale Vektorraum der Kanten 
-\[
-k_0 = [0,1],\quad
-k_1 = [0,2],\quad
-k_2 = [0,3],\quad
-k_3 = [1,2],\quad
-k_4 = [1,3],\quad
-k_5 = [2,3]
-\]
-Der Randoperator $\partial_1$ hat die Matrix
-\[
-\partial_1
-=
-\begin{pmatrix*}[r]
--1&-1&-1& 0& 0& 0\\
- 1& 0& 0&-1&-1& 0\\
- 0& 1& 0& 1& 0&-1\\
- 0& 0& 1& 0& 1& 1
-\end{pmatrix*}.
-\]
-
-Wir erwarten natürlich, dass sich zwei beliebige Ecken verbinden lassen,
-dass es also nur eine Komponente gibt und dass damit $H_1=\Bbbk$ ist.
-Dazu beachten wir, dass das Bild von $\partial_1$ genau aus den Vektoren
-besteht, deren Komponentensumme $0$ ist.
-Das Bild $B_0$ von $\partial_1$ ist daher die Lösungsmenge der einen
-Gleichung
-\(
-x_0+x_1+x_2+x_3=0.
-\)
-Der Quotientenraum $H_0=Z_0/B_0 = C_0/\operatorname{im}\partial_1$
-ist daher wie erwartet eindimensional.
-
-Wir bestimmen jetzt die Homologiegruppe $H_1$.
-Da sich im Tetraeder jeder geschlossene Weg zusammenziehen lässt,
-erwarten wir $H_1=0$.
-
-Die Menge der Zyklen $Z_1$ wird bestimmt, indem man die Lösungsmenge
-des Gleichungssystems $\partial_1z=0$ bestimmt.
-Der Gauss-Algorithmus für die Matrix $\partial_1$ liefert das
-Schlusstableau
-\[
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
-\hline
-k_0&k_1&k_2&k_3&k_4&k_5\\
-\hline
-   1&  0&  0& -1& -1&  0\\
-   0&  1&  0&  1&  0& -1\\
-   0&  0&  1&  0&  1&  1\\
-   0&  0&  0&  0&  0&  0\\
-\hline
-\end{tabular}
-\]
-Daraus lassen sich drei linear unabhängig eindimensionale Zyklen ablesen,
-die zu den Lösungsvektoren
-\[
-z_1
-=
-\begin{pmatrix*}[r]
-1\\
--1\\
-0\\
-1\\
-0\\
-0
-\end{pmatrix*},
-\qquad
-z_2
-=
-\begin{pmatrix*}[r]
-1\\
-0\\
--1\\
-0\\
-1\\
-0
-\end{pmatrix*},
-\qquad
-z_3
-=
-\begin{pmatrix*}[r]
-0\\
-1\\
--1\\
-0\\
-0\\
-1
-\end{pmatrix*}
-\]
-gehören.
-
-$C_2$ hat die vier Seitenflächen
-\[
-f_0=[0,1,2],\quad
-f_1=[0,1,3],\quad
-f_2=[0,2,3],\quad
-f_3=[1,2,3]
-\]
-als Basis.
-Der zweidimensionale Randoperator ist die $6\times 4$-Matrix 
-\[
-\partial_2
-=
-\begin{pmatrix*}[r]
- 1& 1& 0& 0\\
--1& 0& 1& 0\\
- 0&-1&-1& 0\\
- 1& 0& 0& 1\\
- 0& 1& 0&-1\\
- 0& 0& 1& 1
-\end{pmatrix*}.
-\]
-Man kann leicht nachrechnen, dass $\partial_1\partial_2=0$ ist, wie es
-für einen Kettenkomplex sein muss.
-
-Um nachzurechnen, dass die Homologiegruppe $H_1=0$ ist, müssen wir jetzt 
-nachprüfen, ob jeder Zyklus in $Z_1$ auch Bild der Randabbildung $\partial_2$
-ist.
-Die ersten drei Spalten von $\partial_2$ sind genau die drei Zyklen
-$z_1$, $z_2$ und $z_3$.
-Insbesondere lassen sich alle Zyklen als Ränder darstellen, die
-Homologiegruppe $H_1=0$ verschwindet.
-
-Die Zyklen in $C_2$ sind die Lösungen von $\partial_2z=0$.
-Der Gauss-Algorithmus für $\partial_2$ liefert das -Tableau
-\[
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
-\hline
-f_0&f_1&f_2&f_3\\
-\hline
-1&0&0& 1\\
-0&1&0&-1\\
-0&0&1& 1\\
-0&0&0& 0\\
-0&0&0& 0\\
-0&0&0& 0\\
-\hline
-\end{tabular}
-\]
-Daraus liest man ab, dass es genau einen Zyklus nämlich
-\[
-z
-=
-\begin{pmatrix}
--1\\1\\-1\\1
-\end{pmatrix}
-\]
-$Z_2$ besteht also aus Vielfachen des Vektors $z$.
-
-Da es nur ein zweidimensionales Simplex gibt, ist $C_3$ eindimensional.
-Die Randabbildung $\partial_3$ hat die Matrix
-\[
-\partial_3
-=
-\begin{pmatrix}
-1\\
--1\\
-1\\
--1
-\end{pmatrix}.
-\]
-Die Zyklen $Z_2$ und die Ränder $B_2$ bilden also dieselbe Menge, auch
-die Homologie-Gruppe $H_2$ ist $0$.
-
-Da es keine vierdimensionalen Simplizes gibt, ist $B_3=0$.
-Die Zyklen $Z_3$ bestehen aus den Lösungen von $\partial_3w=0$, da
-aber $\partial_3$ injektiv ist, ist $Z_3=0$.
-Daher ist auch $H_3=0$.
-\end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}
-Für dieses Beispiel entfernen wir das Innere des Tetraeders, es entsteht
-ein Hohlraum.
-Am Kettenkomplex der Triangulation ändert sich nur, dass $C_3$ jetzt 
-nur noch den $0$-Vektor enthält.
-Das Bild $B_2=\operatorname{im}\partial_3$ wird damit auch $0$-dimensional,
-während es im vorigen Beispiel eindimensional war.
-Die einzige Änderung ist also in der Homologiegruppe 
-$H_2 = Z_2/B_2 = Z_2 / \{0\} \simeq \Bbbk$.
-Die Homologiegruppe $H_2$ hat jetzt Dimension $1$ und zeigt damit den
-Hohlraum an.
-\end{beispiel}
-
-\subsubsection{Basiswahl}
-Die Definition der Homologiegruppen $H_k(C)$ als Quotient von
-Vektorräumen ist ziemlich abstrakt.
-Sie besteht aus Klassen von Zyklen, die sich höchstens um einen
-Rand unterscheiden.
-% XXX Verweise auf Visualisierung
-Indem wir eine geeignete Basis wählen, können wir konkrete Zyklen
-identifizieren, die eine Basis für den Vektorraum $H_k(C)$ bilden.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf}
-\caption{Beispiel für die Berechnung von Basisvektoren und Homologieklassen
-mit Hilfe des Gauss-Algorithmus
-\label{buch:homologie:fig:gausshomoex}}
-\end{figure}
-
-Um eine Basis für $H_k(C)$ zu konstruieren, ist es zunächst nötig,
-eine Basis de rZyklen $Z_k(C)$ zu bestimmen.
-Ausgehend von einer beliebigen Basis der $C_k$ und einer 
-zugehörigen Darstellung des Randoperators $\partial_k$ als
-Matrix, kann eine Basis von Zyklen mit Hilfe des Gauss-Algorithmus
-gefunden werden.
-Wir bezeichnen die Menge dieser Zyklen mit
-\[
-\mathcal{Z}_k 
-=
-\{
-z_1^{(k)},
-z_2^{(k)},
-\dots,
-z_l^{(k)}
-\}.
-\]
-$\mathcal{Z}_k$ erzeugt den $l$-dimensionalen Vektorraum $Z_k(C)$.
-
-\begin{beispiel}
-\label{buch:homologie:beispiel:gausshomo}
-In Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:gausshomoex} ist ein Polyeder 
-dargestellt, dessen Homologiegruppe $H_1$ berechnet werden soll.
-Um eine Basis für die Zyklen zu berechnen, wird zunächst die Matrix
-des Randoperators $\partial_1$ aufgestellt.
-Sie ist
-\[
-\setcounter{MaxMatrixCols}{27}
-\partial_1
-=
-\tiny
-\setlength\arraycolsep{2pt}
-\begin{pmatrix*}[r]
-%1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
--1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 1
- 1&-1& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 2
- 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 3
- 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 4
- 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 5
- 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 6
- 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 7
- 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 8
- 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 9
- 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0&-1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ %10
- 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0\\ %11
- 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ %12
- 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0&-1& 1& 0\\ %13
- 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 1& 0&-1\\ %14
- 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1\\ %15
-\end{pmatrix*}
-\]
-Die reduzierte Zeilenstufenform von $\partial_1$ ist
-\begin{center}
-\tiny
-\setlength\tabcolsep{3pt}
-\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
-\hline
-&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27\\
-\hline
- 1&1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
- 2&0& 1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
- 3&0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
- 4&0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
- 5&0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
- 6&0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
- 7&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
- 8&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
- 9&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
-10&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
-11&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 1& 1& 0&-1\\
-12&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 1& 0&-1\\
-13&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1&-1& 0& 1\\
-14&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1\\
-15&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
-\hline
-\end{tabular},
-\end{center}
-daraus kann man die Zyklen ablesen.
-{
-\begin{align*}
-z_1
-&=
-\tiny
-\begin{pmatrix*}[r]
-\phantom{-}
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0
-\end{pmatrix*},
-&z_2
-&=
-\tiny
-\begin{pmatrix*}[r]
-\phantom{-}
- 0\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0
-\end{pmatrix*},
-&z_3
-&=
-\tiny
-\begin{pmatrix*}[r]
-\phantom{-}
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0
-\end{pmatrix*},
-&z_4 % variable 12 = 1
-&=
-\tiny
-\begin{pmatrix*}[r]
-\phantom{-}
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0
-\end{pmatrix*},
-&z_5 % variable 13 = 1
-&=
-\tiny
-\begin{pmatrix*}[r]
--1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
--1\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0
-\end{pmatrix*},
-&z_6 % variable 14 = 1
-&=
-\tiny
-\begin{pmatrix*}[r]
- 0\\
- 0\\
--1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
--1\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0
-\end{pmatrix*},
-&z_7 % variable 16 = 1
-&=
-\tiny
-\begin{pmatrix*}[r]
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\
--1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0
-\end{pmatrix*},\\
-z_8 % variable 18 = 1
-&=
-\tiny
-\begin{pmatrix*}[r]
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\
--1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0
-\end{pmatrix*},
-&z_9 % variable 20 = 1
-&=
-\tiny
-\begin{pmatrix*}[r]
--1\\
--1\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
--1\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\
- 1\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0
-\end{pmatrix*},
-&z_{10} % variable 22 = 1
-&=
-\tiny
-\begin{pmatrix*}[r]
-\phantom{-}
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\ %5
- 0\\ 
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\ %10
- 0\\ 
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\ %15
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\ %20
- 1\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\ %25
- 0\\
- 0
-\end{pmatrix*},
-&z_{11} % variable 24 = 1
-&=
-\tiny
-\begin{pmatrix*}[r]
- 1\\
- 1\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\ %5
- 0\\
- 0\\
- 0\\
--1\\
- 0\\ %10
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\ %15
- 0\\
--1\\
- 0\\
--1\\
- 0\\ %20
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 1\\
- 0\\ %25
- 0\\
- 0
-\end{pmatrix*},
-&z_{12} % variable 25 = 1
-&=
-\tiny
-\begin{pmatrix*}[r]
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\ %10
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\ %15
- 0\\
- 0\\
- 0\\
--1\\
- 0\\ %20
--1\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\
- 1\\ %25
- 0\\
- 0
-\end{pmatrix*},
-&z_{13} % variable 27 = 1
-&=
-\tiny
-\begin{pmatrix*}[r]
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 0\\
- 1\\
- 0\\ %20
- 1\\
- 0\\
--1\\
- 0\\
- 0\\ %25
- 1\\
- 1
-\end{pmatrix*}
-\end{align*}
-}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf}
-\caption{Zyklen des Randoperators $\partial_1$ im Beispiel von
-Seite~\pageref{buch:homologie:beispiel:gausshomo}.
-\label{buch:homologie:fig:homocycles}}
-\end{figure}
-Die Zyklen sind in Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} {\color{red}rot} dargestellt.
-\end{beispiel}
-
-Da $B_k(C)\subset Z_k(C)$ gilt, lässt sich für jedes $c_{k+1}\in C_{k+1}$
-der Rand $\partial_{k+1}c_{k+1}$ als Linearkombination der im 
-vorangegangenen Schritt gefundenen Basiszyklen finden.
-Wir können also aus der Standardbasis $e^{(k+1)}_i\in C_{k+1}$ eine Menge
-von Vektoren $\partial_{k+1}e^{(k+1)}_i$ gewinnen, die mit Sicherheit
-ganz $B_k(C)$ aufspannen.
-Es ist aber davon auszugehen, dass diese Vektoren nicht linear unabhängig
-sind.
-Es ist also nötig, eine Teilmenge
-\[
-\mathcal{B}_k
-=
-\{
-\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_1},
-\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_2},
-\dots,
-\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_m}
-\}
-\]
-von Vektoren auszuwählen, die linear
-unabhängig sind.
-Diese bilden eine Basis von $B_k(C)$.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf}
-\caption{Die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ für das Beispiel von
-Seite~\pageref{buch:homologie:beispiel:gausshomo}.
-Die grauen Dreiecke bilden die Standardbasis $e_i^{(2)}$ von $C_2$,
-die blauen Dreiecke sind die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ dieser
-Dreiecke.
-\label{buch:homologie:fig:homoboundaries}}
-\end{figure}
-
-Aus den Abbildungen~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} und
-\ref{buch:homologie:fig:homoboundaries} kann man auch ablesen,
-wie die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ aus den Zyklen von $\mathcal{Z}_1$
-linear kombiniert werden können.
-Man erhält so die Beziehungen.
-\begin{equation}
-\setcounter{MaxMatrixCols}{29}
-\setlength\arraycolsep{1pt}
-\begin{array}{lcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr}
-\partial_2e_1^{(2)} &=&z_1& &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
-\partial_2e_2^{(2)} &=&   & &z_2& &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
-\partial_2e_3^{(2)} &=&   & &   & &z_3& &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
-\partial_2e_4^{(2)} &=&   & &   & &   & &z_4& &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
-\partial_2e_5^{(2)} &=&   & &   & &   & &   &-&z_5& &   &+&z_7& &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
-\partial_2e_6^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   &-&z_6& &   &+&z_8& &   & &      & &      & &      & &      \\
-\partial_2e_7^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &z_{10}& &      & &      & &      \\
-\partial_2e_8^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &z_{11}& &      & &      \\
-\partial_2e_9^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      &-&z_{12}&+&z_{13}
-\end{array}
-\end{equation}
-Dies reicht jedoch nicht, um herauszufinden, welche der blauen Dreiecke
-linear unabhängig sind.
-Im vorliegenden Fall ist dies einfach: jedes blaue Dreieck besteht aus
-Kanten, die in keinem anderen blauen Dreieck vorkommen, daher müssen
-sie alle linear unabhängig sein.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf}
-\caption{Bestimmung einer Basis für die Homologiegruppe $H_k(C)$ mit
-Hilfe der Vorwärtsreduktion des Gaussalgorithmus.
-Die schwarzen Nullzeilen zeigen an, welche Zeilenvektoren zusammen mit
-den darüberliegenden Vektoren nicht linear unabhängig sind und damit nicht
-in Frage kommen für die besuchte Basis.
-Übrig bleiben die {\color{red}rot} und {\color{darkgreen}grün} hervorgehobenen
-Vektoren.
-\label{buch:homologie:fig:gausshomobasis}}
-\end{figure}
-
-Diese Auswahl lässt sich sehr leicht mit Hilfe der folgenden
-Variante des Gauss-Algorithmus realisieren.
-Dazu werden die $n_{k+1}$ Zeilen Gauss-Tableau zunächst mit den Vektoren
-$\partial_{k+1}{e_i^{(k+1)}}^t$ gefüllt.
-Führt man in diesem Tableau die Vorwärtsreduktion durch, wobei man
-entstehende Nullzeilen einfach überspringt, bleiben nur noch Zeilen
-übrig, die linear unabhängig sind.
-Diese Zeilen entsprechen den linear unabhängigen Vektoren von $\mathcal{B}_k$,
-die Zeilennummern sind $i_1,i_2,\dots,i_m$.
-Dieses vorgehen ist schematisch im oberen Teil der
-Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:gausshomobasis} dargestellt.
-
-Um eine Basis von $H_k(C)$ zu konstruieren, müssen wir jetzt eine
-Basis von Zyklen finden, die sich nicht nur um einen Rand unterscheiden,
-die also zu verschiedenen Homologie-Klassen in $H_k(C)$ gehören.
-Gesucht sind jetzt also Vektoren $\mathcal{Z}'_k$ derart, dass 
-die Vektoren von $\mathcal{Z}'_k\cup\mathcal{B}_k$ immer noch $Z_k(C)$
-aufspannen, aber zusätzlich linear unabhängig sind.
-
-Dazu kann man wie folgt vorgehen.
-\begin{enumerate}
-\item
-Man beginnt mit $\mathcal{D}_0=\emptyset$ und setzt $j=0$.
-\item
-Dann testet man der Reihe nach alle noch nicht getesteten Vektoren
-von $z_i^{(k)}\in\mathcal{Z}_k$ daraufhin, ob sie von den Vektoren
-$\mathcal{B}_k\cup \mathcal{D}_j$ linear unabhängig sind.
-Wenn ja, bildet man $\mathcal{D}_{j+1} = \mathcal{D}\cup\{z^{(k)}_i\}$ und
-setzt $j=1$.
-Andernfalls ignoriert man $z^{(k)}_i$.
-\item
-Schritt 2 wird wiederholt, bis man alle Vektoren von $\mathcal{Z}_k$
-getestet hat.
-Die gesuchte Basis setzt sich zusammen  aus $\mathcal{B}_k$ und
-$\mathcal{D}_l$,
-also
-$
-\mathcal{Z}_k'
-=
-\mathcal{B}_k
-\cup
-\mathcal{D}_l.
-$
-\end{enumerate}
-
-Dieser Algorithmus kann ebenfalls mit der oben angesprochenen Variante
-des Gauss-Algorithmus durchgeführt werden.
-Dazu werden die Zeilen $n_k+1$ bis $n_k+1+|\mathcal{Z}_k|$ mit den
-Vektoren $z_i^t$.
-Dann führt man die Vorwärtsreduktion im ganzen Tableau durch, wobei
-man wieder die Nullzeilen stehen lässt.
-Nullzeilen zeigen wieder Vektoren an, die sich linear durch die darüber
-liegenden Vektoren ausdrücken lassen.
-Die auszuwählenden Vektoren sind daher genau diejenigen, die für
-$\mathcal{Z}_k'$ ausgewählt werden müssen.
-
-Um den Algorithmus durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau
-in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableau},
-bestehend aus den Vektoren $\partial_2e_i^{(2)}$ in den ersten 9
-Zeilen und den Zyklen $z_1,\dots,z_{13}$ in den folgenden 13 Zeilen.
-Das reduzierte Tableau nach der Vorwärtsreduktion ist in
-Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}
-dargestellt, amn erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$,
-$z_9$ und $z_{10}$ sowie $z_{13}$ weggelassen werden müssen.
-Es bleiben die folgenden Zyklen:
-\begin{center}
-\begin{tabular}{>{$}l<{$}l}
-\text{Zyklus}&Eigenschaft\\
-\hline
-z_5   &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck links unten\\
-z_6   &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck rechts unten\\
-z_9   &Zyklus umschliesst das grosse weisse Dreieck\\
-z_{12}&Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreicke oben\\
-\hline
-\end{tabular}
-\end{center}
-Die Zyklen, die nach der Reduktion übrig bleiben, sind in
-Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} zusammengestellt.
-Jede solche Klasse entspricht genau einem der ``Löcher'', der weissen
-Dreiecke.
-Die Homologie kann man also als eine exakte Version der Idee eines
-Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polygons verstehen.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\setlength\tabcolsep{1pt}
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
-\hline
-&\scriptstyle 1&\scriptstyle 2&\scriptstyle 3&\scriptstyle 4 &\scriptstyle 5
-&\scriptstyle 6 &\scriptstyle 7 &\scriptstyle 8 &\scriptstyle 9 &\scriptstyle 10
-&\scriptstyle 11 &\scriptstyle 12 &\scriptstyle 13 &\scriptstyle 14 &\scriptstyle 15
-&\scriptstyle 16 &\scriptstyle 17 &\scriptstyle 18 &\scriptstyle 19 &\scriptstyle 20
-&\scriptstyle 21 &\scriptstyle 22 &\scriptstyle 23 &\scriptstyle 24 &\scriptstyle 25
-&\scriptstyle 26 &\scriptstyle 27
-\\
-%                                1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7
-\hline
-\scriptstyle\partial_2e_1^{(2)}& 1&  &  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_2^{(2)}&  & 1&  &  &  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_3^{(2)}&  &  & 1&  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_4^{(2)}&  &  &  &\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_5^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_6^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_7^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  &\phantom{-}1& 1&  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\
-\hline
-%                    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
-\scriptstyle z_{ 1}& 1&  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 2}&  & 1&  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 3}&  &  & 1&  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 4}&  &  &  & 1&  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 5}&-1&  &  &  &-1&  & 1&  &  &  &  &  & 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 6}&  &  &-1&  &  &  &  &  &-1&  & 1&  &  & 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 7}& 1&  &  &  & 1&  &-1&  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 8}&  &  & 1&  &  &  &  &  & 1&  &-1&  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 9}&-1&-1&  &  & 1&  &  &  & 1&  &  &  &  &  &-1&  & 1& 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{10}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1& 1&  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{11}& 1& 1&  &  & 1&  &  &  &-1&  &  &  &  &  & 1&  &-1&  &-1&  &  &  & 1& 1&  &  &  \\
-\scriptstyle z_{12}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &-1&  &-1&  & 1&  & 1&  &  \\
-\scriptstyle z_{13}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1&  &-1&  &  & 1& 1\\
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Gauss-Tableau für die Bestimmung einer Basis von
-$H_1$ für das Beispiel. 
-Die ersten neuen Zeilen bestehen aus den Bildern der
-Basisvektoren von $C_2$.
-Im vorliegenden Fall kann man sofort sehen, dass alle diese
-Zeilen linear unabhängig sind.
-Die folgenden Zeilen sind die Zyklen in $\mathbb{Z}_2$, sie
-sind ebenfalls linear unabhängig.
-Mit Hilfe der Vorwärtsreduktion müssen jetzt diejenigen
-Zeilen elminiert werden, die bereits aus anderen Zyklen
-mit Hilfe von Rändern der Zeilen 1--9 kombiniert werden können.
-\label{buch:homologie:beispiel:gausstableau}}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\centering
-\setlength\tabcolsep{1pt}
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
-\hline
-&\scriptstyle 1&\scriptstyle 2&\scriptstyle 3&\scriptstyle 4 &\scriptstyle 5
-&\scriptstyle 6 &\scriptstyle 7 &\scriptstyle 8 &\scriptstyle 9 &\scriptstyle 10
-&\scriptstyle 11 &\scriptstyle 12 &\scriptstyle 13 &\scriptstyle 14 &\scriptstyle 15
-&\scriptstyle 16 &\scriptstyle 17 &\scriptstyle 18 &\scriptstyle 19 &\scriptstyle 20
-&\scriptstyle 21 &\scriptstyle 22 &\scriptstyle 23 &\scriptstyle 24 &\scriptstyle 25
-&\scriptstyle 26 &\scriptstyle 27
-\\
-%                                1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7
-\hline
-\scriptstyle\partial_2e_1^{(2)}&\phantom{-}1&  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_2^{(2)}&  &\phantom{-}1&  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_3^{(2)}&  &  &\phantom{-}1&  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_4^{(2)}&  &  &  &\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_5^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_6^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_7^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  &\phantom{-}1& 1&  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  \\
-\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\
-\hline
-%                    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
-\scriptstyle z_{ 1}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 2}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 3}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 4}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 5}&  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &-1&-1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 6}&  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &-1&-1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 7}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 8}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 9}&  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &-1&-1&-1&-1&  &  &  \\
-\scriptstyle z_{10}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{11}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{12}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &-1&-1\\
-\scriptstyle z_{13}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Nach Durchführung der Vorwärtsreduktion kann man die Zyklen
-ablesen, die nicht für eine Basis von $H_1$ gebraucht werden.
-\label{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf}
-\caption{Repräsentanten für die Reduzierten Klassen aus dem
-Tableau von
-Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert},
-sie bilden eine Basis der Homologie-Gruppe $H_1$.
-Jeder dieser Repräsentanten umschliesst genau ein ``Loch'',
-also genau ein weisses Dreieck.
-\label{buch:homologie:beispiel:homoclasses}}
-\end{figure}
-
-\subsubsection{Basis von $H_k(C)$}
-Die im vorangegangenen Abschnitt konstruierte Basis kann jetzt auch
-dazu verwendet werden, eine Basis von $H_k(C)$ zu finden.
-Die Vektoren in $\mathcal{B}_k$ bilden eine Basis von $B_k(C)$
-und die Vektoren in $\mathcal{Z}_k'$ sind davon unabhängig.
-Die Klassen der Vektoren von $\mathcal{Z}_k'$ in $H_k(C)$ sind
-daher ebenfalls linear unabhängig und bilden damit eine Basis
-von $H_k(C)$.
-Die von obigem Algorithmus ausgewählten Zyklen bilden also automatisch
-eine Basis von Zyklen, die nicht Rand irgend einer Kette in $C_{k+1}$
-sein können.
-
-\subsection{Induzierte Abbildung
-\label{buch:subsection:induzierte-abbildung}}
-Früher haben wurde eine Abbildung $f_*$ zwischen Kettenkomplexen $C_*$ und
-$D_*$ so definiert,
-dass sie mit den Randoperatoren verträglich sein muss.
-Diese Forderung bewirkt, dass sich auch eine lineare Abbildung
-\[
-H_k(f) \colon H_k(C) \to H_k(D)
-\]
-zwischen den Homologiegruppen ergibt, wie wir nun zeigen wollen.
-
-\subsubsection{Definition der induzierten Abbildung}
-Um eine Abbildung von $H_k(C)$ nach $H_k(D)$ zu definieren, müssen wir
-zu einem Element von $H_k(C)$ ein Bildelement konstruieren.
-Ein Element in $H_k(C)$ ist eine Menge von Zyklen in $Z^C_k$, die sich
-nur um einen Rand in $B_k$ unterscheiden.
-Wir wählen also einen Zyklus $z\in Z_k$ und bilden ihn auf $f_k(z)$ ab.
-Wegen $\partial^D_kf(z)=f\partial^C_kz = f(0) =0 $ ist auch $f_k(z)$
-ein Zyklus.
-Wir müssen jetzt aber noch zeigen, dass eine andere Wahl des Zyklus
-das gleiche Element in $H_k(D)$ ergibt.
-Dazu genügt es zu sehen, dass sich $f(z)$ höchstens um einen Rand
-ändert, wenn man $z$ um einen Rand ändert.
-Sei also $b\in B^C_k$ ein Rand, es gibt also ein $w\in C_{k+1}$ mit
-$\partial^C_{k+1}w=b$.
-Dann gilt aber auch
-\[
-f_k(z+b)
-=
-f_k(z) + f_k(b)
-=
-f_k(z) + f_k(\partial^C_{k+1}w)
-=
-f_k(z) + \partial^D_{k+1}(f_k(w)).
-\]
-Der letzte Term ist ein Rand in $D_k$, somit ändert sich $f_k(z)$ nur
-um diesen Rand, wenn man $z$ um einen Rand ändert.
-$f_k(z)$ und $f_k(z+b)$ führen auf die selbe Homologieklasse.
-
-\subsubsection{Matrixdarstellung}
-
-\subsubsection{Spur}
-Für eine Selbstabbildung von Komplexen $f_*\colon C_*\to C_*$ muss
-\[
-\partial_{k}\circ f_{k}
-=
-f_{k+1}\circ \partial_{k}
-\]
-man die einzelnen
-
-
-
+\input{chapters/95-homologie/homologieketten.tex}
+\input{chapters/95-homologie/basiswahl.tex}
+\input{chapters/95-homologie/eulerchar.tex}
+\input{chapters/95-homologie/induzierteabb.tex}