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| author | Ayexor <9105454+Ayexor@users.noreply.github.com> | 2021-08-27 18:09:54 +0200 |
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| committer | GitHub <noreply@github.com> | 2021-08-27 18:09:54 +0200 |
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diff --git a/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc b/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc index 7e6f1e7..3b2b50c 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc @@ -8,8 +8,11 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/95-homologie/simplex.tex \ chapters/95-homologie/komplex.tex \ chapters/95-homologie/homologie.tex \ - chapters/95-homologie/mayervietoris.tex \ + chapters/95-homologie/homologieketten.tex \ + chapters/95-homologie/basiswahl.tex \ chapters/95-homologie/fixpunkte.tex \ + chapters/95-homologie/eulerchar.tex \ + chapters/95-homologie/induzierteabb.tex \ chapters/95-homologie/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex new file mode 100644 index 0000000..aacfa9f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex @@ -0,0 +1,817 @@ +\subsection{Basiswahl +\label{buch:subsection:basiswahl}} +Die Definition der Homologiegruppen $H_k(C)$ als Quotient von +Vektorräumen ist ziemlich abstrakt. +Sie besteht aus Klassen von Zyklen, die sich höchstens um einen +Rand unterscheiden. +Indem wir eine geeignete Basis wählen, können wir konkrete Zyklen +identifizieren, die eine Basis für den Vektorraum $H_k(C)$ bilden. +Dies soll im Folgenden schrittweise durchgeführt werden. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf} +\caption{Beispiel für die Berechnung von Basisvektoren und Homologieklassen +mit Hilfe des Gauss-Algorithmus +\label{buch:homologie:fig:gausshomoex}} +\end{figure} + +\subsubsection{Basis von $Z_k(C)$} +Um eine Basis für $H_k(C)$ zu konstruieren, ist es zunächst nötig, +eine Basis der Zyklen $Z_k(C)$ zu bestimmen. +Ausgehend von einer beliebigen Basis der $C_k$ und einer +zugehörigen Darstellung des Randoperators $\partial_k$ als +Matrix, kann eine Basis von Zyklen mit Hilfe des Gauss-Algorithmus +gefunden werden. +Wir bezeichnen die Menge dieser Zyklen mit +\[ +\mathcal{Z}_k += +\{ +z_1^{(k)}, +z_2^{(k)}, +\dots, +z_l^{(k)} +\}. +\] +$\mathcal{Z}_k$ erzeugt den $l$-dimensionalen Vektorraum $Z_k(C)$. + +\begin{beispiel} +\label{buch:homologie:beispiel:gausshomo} +In Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:gausshomoex} ist ein Polyeder +dargestellt, dessen Homologiegruppe $H_1$ berechnet werden soll. +Um eine Basis für die Zyklen zu berechnen, wird zunächst die Matrix +des Randoperators $\partial_1$ aufgestellt. +Sie ist +\[ +\setcounter{MaxMatrixCols}{27} +\partial_1 += +\footnotesize +\setlength\arraycolsep{2pt} +\begin{pmatrix*}[r] +%1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 +-1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 1 + 1&-1& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 2 + 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 3 + 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 4 + 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 5 + 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 6 + 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 7 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 8 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 9 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0&-1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ %10 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0\\ %11 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ %12 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0&-1& 1& 0\\ %13 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 1& 0&-1\\ %14 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1\\ %15 +\end{pmatrix*} +\] +Die reduzierte Zeilenstufenform von $\partial_1$ ist +(Pivotpositionen in {\color{red}rot}, frei wählbare Variablen +in {\color{darkgreen}grün}) +\begin{center} +%\tiny +\scriptsize +%\footnotesize +\setlength\tabcolsep{3pt} +\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|} +\hline + & 1& 2& 3& 4& 5&{\color{darkgreen}6}& 7&{\color{darkgreen}8}& 9&{\color{darkgreen}10}&11&{\color{darkgreen}12}&{\color{darkgreen}13}&{\color{darkgreen}14}&15&{\color{darkgreen}16}&17&{\color{darkgreen}18}&19&{\color{darkgreen}20}&21&{\color{darkgreen}22}&23&{\color{darkgreen}24}&{\color{darkgreen}25}&26&{\color{darkgreen}27}\\ +\hline + 1&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ + 2& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ + 3& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ + 4& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ + 5& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ + 6& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ + 7& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ + 8& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ + 9& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ +10& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ +11& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 1& 1& 0&-1\\ +12& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 1& 0&-1\\ +13& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1&-1& 0& 1\\ +14& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1\\ +15& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ +\hline +\end{tabular}. +\end{center} +Daraus kann man die Zyklen wie folgt ablesen, indem man jeweils +genau eine frei wählbare Variable auf $1$ setzt: +\begin{align*} +z_1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] +\phantom{-} + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_2 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] +\phantom{-} + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_3 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] +\phantom{-} + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_4 % variable 12 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] +\phantom{-} + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_5 % variable 13 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] +-1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_6 % variable 14 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] + 0\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_7 % variable 16 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*},\\ +z_8 % variable 18 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_9 % variable 20 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] +-1\\ +-1\\ + 0\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_{10} % variable 22 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] +\phantom{-} + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ %5 + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ %10 + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ %15 + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ %20 + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ %25 + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_{11} % variable 24 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ %5 + 0\\ + 0\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ %10 + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ %15 + 0\\ +-1\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ %20 + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ %25 + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_{12} % variable 25 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ %10 + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ %15 + 0\\ + 0\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ %20 +-1\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 1\\ %25 + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_{13} % variable 27 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ %20 + 1\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 0\\ %25 + 1\\ + 1 +\end{pmatrix*} +\end{align*} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf} +\caption{Zyklen des Randoperators $\partial_1$ im Beispiel von +Seite~\pageref{buch:homologie:beispiel:gausshomo}. +\label{buch:homologie:fig:homocycles}} +\end{figure}% +Die Zyklen sind in Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} {\color{red}rot} dargestellt. +\end{beispiel} + +\subsubsection{Basis für $B_k(C)$} +Da $B_k(C)\subset Z_k(C)$ gilt, lässt sich für jedes $c_{k+1}\in C_{k+1}$ +der Rand $\partial_{k+1}c_{k+1}$ als Linearkombination der im +vorangegangenen Schritt gefundenen Basiszyklen finden. +Wir können also aus der Standardbasis $e^{(k+1)}_i\in C_{k+1}$ eine Menge +von Vektoren $\partial_{k+1}e^{(k+1)}_i$ gewinnen, die mit Sicherheit +ganz $B_k(C)$ aufspannen. +Es ist aber davon auszugehen, dass diese Vektoren nicht linear unabhängig +sind. +Es ist also nötig, eine Teilmenge +\[ +\mathcal{B}_k += +\{ +\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_1}, +\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_2}, +\dots, +\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_m} +\} +\] +von Vektoren auszuwählen, die linear +unabhängig sind. +Diese bilden eine Basis von $B_k(C)$. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf} +\caption{Die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ für das Beispiel von +Seite~\pageref{buch:homologie:beispiel:gausshomo}. +Die grauen Dreiecke bilden die Standardbasis $e_i^{(2)}$ von $C_2$, +die blauen Dreiecke sind die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ dieser +Dreiecke. +\label{buch:homologie:fig:homoboundaries}} +\end{figure} + +Aus den Abbildungen~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} und +\ref{buch:homologie:fig:homoboundaries} kann man auch ablesen, +wie die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ aus den Zyklen von $\mathcal{Z}_1$ +linear kombiniert werden können. +Man erhält so die Beziehungen +\begin{equation} +\setcounter{MaxMatrixCols}{29} +\setlength\arraycolsep{1pt} +\begin{array}{lcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr} +\partial_2e_1^{(2)} &=&z_1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\partial_2e_2^{(2)} &=& & &z_2& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\partial_2e_3^{(2)} &=& & & & &z_3& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\partial_2e_4^{(2)} &=& & & & & & &z_4& & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\partial_2e_5^{(2)} &=& & & & & & & & &z_5& & &+&z_7& & & & & & & & & & & & \\ +\partial_2e_6^{(2)} &=& & & & & & & & & & &z_6& & &+&z_8& & & & & & & & & & \\ +\partial_2e_7^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & &z_{10}& & & & & & \\ +\partial_2e_8^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &z_{11}& & & & \\ +\partial_2e_9^{(2)} &=& &\phantom{+}& &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & & &z_{12}&+&z_{13} +\end{array} +\end{equation} +Dies reicht jedoch nicht, um herauszufinden, welche der blauen Dreiecke +linear unabhängig sind. +Im vorliegenden Fall ist dies einfach: jedes blaue Dreieck besteht aus +Kanten, die in keinem anderen blauen Dreieck vorkommen, daher müssen +sie alle linear unabhängig sein. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf} +\caption{Bestimmung einer Basis für die Homologiegruppe $H_k(C)$ mit +Hilfe der Vorwärtsreduktion des Gaussalgorithmus. +Die schwarzen Nullzeilen zeigen an, welche Zeilenvektoren zusammen mit +den darüberliegenden Vektoren nicht linear unabhängig sind und damit nicht +in Frage kommen für die besuchte Basis. +Übrig bleiben die {\color{red}rot} und {\color{darkgreen}grün} hervorgehobenen +Vektoren. +\label{buch:homologie:fig:gausshomobasis}} +\end{figure} + +Diese Auswahl lässt sich sehr leicht mit Hilfe der folgenden +Variante des Gauss-Algorithmus realisieren. +Dazu werden die $n_{k+1}$ Zeilen Gauss-Tableau zunächst mit den Vektoren +$\partial_{k+1}{e_i^{(k+1)}}^t$ gefüllt. +Führt man in diesem Tableau die Vorwärtsreduktion durch, wobei man +entstehende Nullzeilen einfach überspringt, bleiben nur noch Zeilen +übrig, die linear unabhängig sind. +Diese Zeilen entsprechen den linear unabhängigen Vektoren von $\mathcal{B}_k$, +die Zeilennummern sind $i_1,i_2,\dots,i_m$. +Dieses Vorgehen ist schematisch im oberen Teil der +Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:gausshomobasis} dargestellt. + +\subsubsection{Basis für die Homologiegruppe $H_k(C)$} +Um eine Basis von $H_k(C)$ zu konstruieren, müssen wir jetzt eine +Basis von Zyklen finden, die sich nicht nur um einen Rand unterscheiden, +die also zu verschiedenen Homologie-Klassen in $H_k(C)$ gehören. +Gesucht sind jetzt also Vektoren $\mathcal{Z}'_k$ derart, dass +die Vektoren von $\mathcal{Z}'_k\cup\mathcal{B}_k$ immer noch $Z_k(C)$ +aufspannen, aber zusätzlich linear unabhängig sind. + +Dazu kann man wie folgt vorgehen. +\begin{enumerate} +\item +Man beginnt mit $\mathcal{D}_0=\emptyset$ und setzt $j=0$. +\item +Dann testet man der Reihe nach alle noch nicht getesteten Vektoren +von $z_i^{(k)}\in\mathcal{Z}_k$ daraufhin, ob sie von den Vektoren +$\mathcal{B}_k\cup \mathcal{D}_j$ linear unabhängig sind. +Wenn ja, bildet man $\mathcal{D}_{j+1} = \mathcal{D}\cup\{z^{(k)}_i\}$ und +setzt $j=1$. +Andernfalls ignoriert man $z^{(k)}_i$. +\item +Schritt 2 wird wiederholt, bis man alle Vektoren von $\mathcal{Z}_k$ +getestet hat. +Die gesuchte Basis setzt sich zusammen aus $\mathcal{B}_k$ und +$\mathcal{D}_l$, +also +$ +\mathcal{Z}_k' += +\mathcal{B}_k +\cup +\mathcal{D}_l. +$ +\end{enumerate} + +Dieser Algorithmus kann ebenfalls mit der oben angesprochenen Variante +des Gauss-Algorithmus durchgeführt werden. +Dazu werden die Zeilen $n_k+1$ bis $n_k+1+|\mathcal{Z}_k|$ mit den +Vektoren $z_i^t$. +Dann führt man die Vorwärtsreduktion im ganzen Tableau durch, wobei +man wieder die Nullzeilen stehen lässt. +Nullzeilen zeigen wieder Vektoren an, die sich linear durch die darüber +liegenden Vektoren ausdrücken lassen. +Die auszuwählenden Vektoren sind daher genau diejenigen, die für +$\mathcal{Z}_k'$ ausgewählt werden müssen. + +Um den Algorithmus durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau +in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableau}, +bestehend aus den Vektoren $\partial_2e_i^{(2)}$ in den ersten 9 +Zeilen und den Zyklen $z_1,\dots,z_{13}$ in den folgenden 13 Zeilen. +Das reduzierte Tableau nach der Vorwärtsreduktion ist in +Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert} +dargestellt, amn erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$, +$z_9$ und $z_{10}$ sowie $z_{13}$ weggelassen werden müssen. +Es bleiben die folgenden Zyklen: +\begin{center} +\begin{tabular}{>{$}l<{$}l} +\text{Zyklus}&Eigenschaft\\ +\hline +z_5 &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck links unten\\ +z_6 &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck rechts unten\\ +z_9 &Zyklus umschliesst das grosse weisse Dreieck\\ +z_{12}&Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreicke oben\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +Die Zyklen, die nach der Reduktion übrig bleiben, sind in +Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} zusammengestellt. +Jede solche Klasse entspricht genau einem der ``Löcher'', der weissen +Dreiecke. +Die Homologie kann man also als eine exakte Version der Idee eines +Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polygons verstehen. + +\begin{figure} +\centering +\setlength\tabcolsep{1pt} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|} +\hline +&\scriptstyle 1&\scriptstyle 2&\scriptstyle 3&\scriptstyle 4 &\scriptstyle 5 +&\scriptstyle 6 &\scriptstyle 7 &\scriptstyle 8 &\scriptstyle 9 &\scriptstyle 10 +&\scriptstyle 11 &\scriptstyle 12 &\scriptstyle 13 &\scriptstyle 14 &\scriptstyle 15 +&\scriptstyle 16 &\scriptstyle 17 &\scriptstyle 18 &\scriptstyle 19 &\scriptstyle 20 +&\scriptstyle 21 &\scriptstyle 22 &\scriptstyle 23 &\scriptstyle 24 &\scriptstyle 25 +&\scriptstyle 26 &\scriptstyle 27 +\\ +% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 +\hline +\scriptstyle\partial_2e_1^{(2)}& 1& & & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_2^{(2)}& & 1& & & & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_3^{(2)}& & & 1& & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_4^{(2)}& & & &\phantom{-}1& & & & & & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_5^{(2)}& & & & & & & & & & & & & 1& & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_6^{(2)}& & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1& & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_7^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& &\phantom{-}1& 1& & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1& & & 1&\phantom{-}1& & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\ +\hline +% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 +\scriptstyle z_{ 1}& 1& & & & 1& 1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 2}& & 1& & & & & 1& 1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 3}& & & 1& & & & & & 1& 1& & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 4}& & & & 1& & & & & & & 1& 1& & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 5}&-1& & & &-1& & 1& & & & & & 1& & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 6}& & &-1& & & & & &-1& & 1& & & 1& & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 7}& 1& & & & 1& &-1& & & & & & & & 1& 1& & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 8}& & & 1& & & & & & 1& &-1& & & & & & 1& 1& & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 9}&-1&-1& & & 1& & & & 1& & & & & &-1& & 1& 1& 1& & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{10}& & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& & 1& 1& & & & & & \\ +\scriptstyle z_{11}& 1& 1& & & 1& & & &-1& & & & & & 1& &-1& &-1& & & & 1& 1& & & \\ +\scriptstyle z_{12}& & & & & & & & & & & & & & & & & & &-1& &-1& & 1& & 1& & \\ +\scriptstyle z_{13}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& & 1& &-1& & & 1& 1\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Gauss-Tableau für die Bestimmung einer Basis von +$H_1$ für das Beispiel. +Die ersten neuen Zeilen bestehen aus den Bildern der +Basisvektoren von $C_2$. +Im vorliegenden Fall kann man sofort sehen, dass alle diese +Zeilen linear unabhängig sind. +Die folgenden Zeilen sind die Zyklen in $\mathbb{Z}_2$, sie +sind ebenfalls linear unabhängig. +Mit Hilfe der Vorwärtsreduktion müssen jetzt diejenigen +Zeilen elminiert werden, die bereits aus anderen Zyklen +mit Hilfe von Rändern der Zeilen 1--9 kombiniert werden können. +\label{buch:homologie:beispiel:gausstableau}} +\end{figure} + +\begin{figure} +\centering +\setlength\tabcolsep{1pt} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|} +\hline +&\scriptstyle 1&\scriptstyle 2&\scriptstyle 3&\scriptstyle 4 &\scriptstyle 5 +&\scriptstyle 6 &\scriptstyle 7 &\scriptstyle 8 &\scriptstyle 9 &\scriptstyle 10 +&\scriptstyle 11 &\scriptstyle 12 &\scriptstyle 13 &\scriptstyle 14 &\scriptstyle 15 +&\scriptstyle 16 &\scriptstyle 17 &\scriptstyle 18 &\scriptstyle 19 &\scriptstyle 20 +&\scriptstyle 21 &\scriptstyle 22 &\scriptstyle 23 &\scriptstyle 24 &\scriptstyle 25 +&\scriptstyle 26 &\scriptstyle 27 +\\ +% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 +\hline +\scriptstyle\partial_2e_1^{(2)}&\phantom{-}1& & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_2^{(2)}& &\phantom{-}1& & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_3^{(2)}& & &\phantom{-}1& & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_4^{(2)}& & & &\phantom{-}1& & & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_5^{(2)}& & & & & & & & & & & & & 1& & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_6^{(2)}& & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1& & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_7^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& &\phantom{-}1& 1& & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1& & & 1&\phantom{-}1& & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\ +\hline +% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 +\scriptstyle z_{ 1}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 2}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 3}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 4}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 5}'& & & & & & 1& 1& & & & & & & &-1&-1& & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 6}'& & & & & & & & & & 1& 1& & & & & &-1&-1& & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 7}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 8}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 9}'& & & & & & & & 1& 1& & & & & & & 1& 1& & & &-1&-1&-1&-1& & & \\ +\scriptstyle z_{10}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{11}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{12}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& 1& & &-1&-1\\ +\scriptstyle z_{13}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Nach Durchführung der Vorwärtsreduktion kann man die Zyklen +ablesen, die nicht für eine Basis von $H_1$ gebraucht werden. +Die resultierenden Zyklen sind in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} +dargestellt. +\label{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}} +\end{figure} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf} +\caption{Repräsentanten für die reduzierten Klassen aus dem +Tableau von +Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}, +sie bilden eine Basis der Homologie-Gruppe $H_1$. +Jeder dieser Repräsentanten umschliesst genau ein ``Loch'', +also genau ein weisses Dreieck. +\label{buch:homologie:beispiel:homoclasses}} +\end{figure} + +\subsubsection{Basis von $H_k(C)$} +Die im vorangegangenen Abschnitt konstruierte Basis kann jetzt auch +dazu verwendet werden, eine Basis von $H_k(C)$ zu finden. +Die Vektoren in $\mathcal{B}_k$ bilden eine Basis von $B_k(C)$ +und die Vektoren in $\mathcal{Z}_k'$ sind davon unabhängig. +Die Klassen der Vektoren von $\mathcal{Z}_k'$ in $H_k(C)$ sind +daher ebenfalls linear unabhängig und bilden damit eine Basis +von $H_k(C)$. +Die von obigem Algorithmus ausgewählten Zyklen bilden also automatisch +eine Basis von Zyklen, die nicht Rand irgend einer Kette in $C_{k+1}$ +sein können. diff --git a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex index eaa56c4..e25188c 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex @@ -3,9 +3,9 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\chapter{Homologie +\chapter{Kettenkomplexe und Homologie \label{buch:chapter:homologie}} -\lhead{Homologie} +\lhead{Kettenkomplexe und Homologie} \rhead{} Mit der Inzidenzmatrix war es möglich, einen Graphen zu beschreiben und verschiedene interessante Eigenschaften desselben zu berechnen. @@ -35,10 +35,20 @@ Der sogenannte Randoperator ordnet jedem Dreieck, Tetraeder oder allgemein jedem Simplex seinen Rand zu. Damit wird es möglich, das Dreieck vom Rand des Dreiecks zu unterschieden. +Die Verallgemeinerung dieser Idee liefert eine algebraische Konstruktion +zu jedem topologischen Raum, die sogenannten Homologie-Gruppen. +Sie formalisieren ein mögliches Konzept der Dimension und der +Idee von ``Löchern'' in einem topologischen Raum. +Sie können dabei helfen, die topologische Struktur verschiedener +Räume zu unterscheiden. +Das Ziel dieses Kapitels ist nicht, die Homologietheorie +vollständig zu entwickeln, sondern zu zeigen, wie man Matrizen +verwenden kann, um konkrete Rechnungen durchzuführen. + \input{chapters/95-homologie/simplex.tex} \input{chapters/95-homologie/komplex.tex} \input{chapters/95-homologie/homologie.tex} -\input{chapters/95-homologie/mayervietoris.tex} +%\input{chapters/95-homologie/mayervietoris.tex} \input{chapters/95-homologie/fixpunkte.tex} diff --git a/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex new file mode 100644 index 0000000..03e389b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex @@ -0,0 +1,139 @@ +\subsection{Euler-Charakteristik} +Die Homologiegruppen fassen die Idee, die ``Löcher'' in +Dimension $k$ eines Polyeders zu zählen, algebraisch exakt. +Dazu ist aber die algebraische Struktur von $H_k(C)$ gar +nicht nötig, nur schon die Dimension des Vektorraumes $H_k(C)$ +liefert bereits die verlange Information. + +Dies ist auch der Ansatz, den der eulersche Polyedersatz verfolgt. +Euler hat für dreidimensionale Polyeder eine Invariante gefunden, +die unabhängig ist von der Triangulation. + +\begin{definition} +\label{buch:homologie:def:eulerchar0} +Ist $E$ die Anzahl der Ecken, $K$ die Anzahl der Kanten und $F$ +die Anzahl der Flächen eines dreidimensionalen Polyeders $P$, dann +heisst +\[ +\chi(P) = E-K+F +\] +die {\em Euler-Charakteristik} des Polyeders $P$. +\end{definition} + +Der Eulersche Polyedersatz, den wir nicht gesondert beweisen +wollen, besagt, dass $\chi(P)$ unabhängig ist von der +Triangulation. +Alle regelmässigen Polyeder sind verschiedene Triangulationen +einer Kugel, sie haben alle den gleichen Wert $2$ +der Euler-Charakteristik. + +Ändert man die Triangulation, dann wird die Dimension der +Vektorräume $B_k(C)$ und $Z_k(C)$ grösser werden. +Kann man eine Grösse analog zu $\chi(P)$ finden, die sich nicht ändert? + +\begin{definition} +\label{buch:homologie:def:eulerchar} +Sei $C$ ein Kettenkomplex, dann heisst +\[ +\chi(C) = \sum_{k=0}^n (-1)^k\dim H_k(C) +\] +die Euler-Charakteristik von $C$. +\end{definition} + +Die Summe in Definition~\ref{buch:homologie:def:eulerchar} erstreckt +sich bis zum Index $n$, der Dimension des Simplexes höchster Dimension +in einem Polyeder. +Für $k>n$ ist $H_k(C)=0$, es ändert sich also nichts, wenn wir +die Summe bis $\infty$ erstrecken, da die zusätzlichen Terme alle +$0$ sind. +Wir werden dies im folgenden zur Vereinfachung der Notation tun. + +Die Definition verlangt, dass man erst die Homologiegruppen +berechnen muss, bevor man die Euler-Charakteristik bestimmen +kann. +Dies ist aber in vielen Fällen gar nicht nötig, da dies nur +eine Frage der Dimensionen ist, die man direkt aus den +$C_k$ ablesen kann, wie wir nun zeigen wollen. + +Die Dimension der Homologiegruppen ist +\begin{equation} +\dim H_k(C) += +\dim \bigl(Z_k(C) / B_k(C)\bigr) += +\dim Z_k(C) - \dim B_k(C). +\label{buch:homologie:eqn:dimHk} +\end{equation} +Die Bestimmung der Dimensionen der Zyklen und Ränder erfordert +aber immer noch, dass wir dafür Basen bestimmen müssen, es ist +also noch nichts eingespart. +Die Zyklen bilden den Kern von $\partial$, also +\[ +\dim Z_k(C) = \dim\ker \partial_k. +\] +Die Ränder $B_k(C)$ sind die Bilder von $\partial_{k+1}$, also +\[ +\dim B_k(C) += +\dim C_{k+1} - \ker\partial_{k+1} += +\dim C_{k+1} - \dim Z_{k+1}(C). +\] +Daraus kann man jetzt eine Formel für die Euler-Charakteristik +gewinnen. +Sie ist +\begin{align*} +\chi(C) +&= +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim H_k(C) +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \bigl(\dim Z_k(C) - \dim B_k(C)\bigr) +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim Z_k(C) +- +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \bigl(\dim C_{k+1} - \dim_{k+1}(C)\bigr) +\\ +&= +-\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim C_{k+1} ++ +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim Z_k(C) ++ +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim Z_{k+1}(C). +\intertext{Indem wir in der letzten Summe den Summationsindex $k$ durch +$k-1$ ersetzen, können wir bis auf den ersten Term die Summen +der $\dim Z_k(C)$ zum Verschwinden bringen:} +&= +-\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim C_{k+1} ++ +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim Z_k(C) +- +\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \dim Z_k(C) +\\ +&= +\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \dim C_{k} ++ +\dim \underbrace{Z_0(C)}_{\displaystyle =C_0}. +\intertext{In der letzten Umformung haben wir auch in der ersten +Summe den Summationsindex $k$ durch $k-1$ ersetzt. +Damit beginnt die Summation bei $k=1$. +Der fehlende Term ist genau der Term, der von den Summen der +$\dim Z_k(C)$ übrig bleibt. +Damit erhalten wir} +&= +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim C_{k}. +\end{align*} + +\begin{satz} +Für die Euler-Charakteristik eines endlichdimensionalen Kettenkomplexes $C$ gilt +\[ +\chi(C) += +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim H_k(C) += +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim C_k. +\] +\end{satz} +Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dass die Euler-Charakteristik +als Spezialfall der Lefshetz-Zahl verstanden werden kann. diff --git a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex index 1ed51ef..b3b184e 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex @@ -11,15 +11,127 @@ selbst gehört die zugehörige lineare Abbildung $f_*\colon H_*(X)\to H_*(X)$ der Homologiegruppen. Diese linearen Abbildungen sind im Allgemeinen viel einfacher zu analysieren. -Zum Beispiel soll in Abschnitt~\ref{buch:subsection:lefshetz} -die Lefshetz-Spurformel abgeleitet werden, die eine Aussagen darüber -ermöglicht, ob eine Abbildung einen Fixpunkt haben kann. -In Abschnitt~\ref{buch:subsection:brower} wird gezeigt wie man damit -den Browerschen Fixpunktsatz beweisen kann, der besagt, dass jede -Abbildung eines Einheitsballs in sich selbst immer einen Fixpunkt hat. - -\subsection{Lefshetz-Spurformel -\label{buch:subsection:lefshetz}} - -\subsection{Brower-Fixpunktsatz -\label{buch:subsection:brower}} +%Zum Beispiel soll in Abschnitt~\ref{buch:subsection:lefshetz} +%die Lefshetz-Spurformel abgeleitet werden, die eine Aussagen darüber +%ermöglicht, ob eine Abbildung einen Fixpunkt haben kann. +%In Abschnitt~\ref{buch:subsection:brower} wird gezeigt wie man damit +%den Browerschen Fixpunktsatz beweisen kann, der besagt, dass jede +%Abbildung eines Einheitsballs in sich selbst immer einen Fixpunkt hat. + +%\subsection{Brower-Fixpunktsatz +%\label{buch:subsection:brower}} +% +%\begin{satz}[Brower] +%\end{satz} + +%\subsection{Lefshetz-Fixpunktsatz +%\label{buch:subsection:lefshetz}} +Eine Selbstabbildung $f_*\colon C_*\to C_*$ von Kettenkomplexen führt auf +eine Selbstabbiludng der Homologiegruppen $H(f)\colon H(C)\to H(C)$. +Da sowohl $H_k$ wie auch $C_k$ endlichdimensionale Vektorräume sind, +ist die Spur von $H_k(f)$ wohldefiniert. + +\begin{definition} +Die {\em Lefshetz-Zahl} einer Abbildung $f$ von Kettenkomplexen ist +\begin{equation} +\lambda(f) += +\sum_{k=0}^\infty +(-1)^k \operatorname{Spur}f_k += +\sum_{k=0}^\infty +(-1)^k \operatorname{Spur}(H_k(f)). +\label{buch:homologie:lefschetz-zahl} +\end{equation} +\end{definition} + +Die zweite Darstellung der Lefshetz-Zahl auf der rechten Seite ist +meistens viel leichter zu berechnen als die erste. +Die einzelnen Vektorräume eines Kettenkomplexes können haben typischerweise +eine hohe Dimension, so hoch wie die Anzahl der Simplizes der Triangulation. +Die Homologiegruppen dagegen haben typischerweise sehr viel kleinere +Dimension, die Matrizen $H_k(f)$ sind also relativ klein. +Es ist aber nicht klar, dass beide Berechnungsmethoden für die +Lefshetz-Zahl auf das gleiche Resultat führen müssen. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/95-homologie/images/approximation.pdf} +\caption{Stückweise lineare Approximation einer Abbildung derart, +dass die Bildpunkt von Knoten auf Gitterpunkte fallen. +Die Abbildung wird damit zu einer Abbildung von Polyedern und +die induzierte Abbildung der Kettenkomplexe lässt sich direkt berechnen. +Wenn die Auflösung des Gitters klein genug ist, hat die Approximation +einer Abbildung ohne Fixpunkte immer noch keine Fixpunkte. +\label{buch:homologie:fig:simplapprox}} +\end{figure}% + +\begin{proof}[Beweis] +Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:induzierte-abbildung} wurde gezeigt, +dass die Basis des Komplexes immer so gewählt werden kann, dass für +die Spuren der Teilmatrizen von $f_k$ die +Formel~\eqref{buch:homologie:eqn:spur} gilt. +Damit kann jetzt die alternierenierden Summe der Spuren von $f_k$ ermittelt +werden: +\begin{align*} +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_k) +&= +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B}) ++ +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}) ++ +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k-1,B}) +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B}) ++ +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}) +- +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B}) +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}). +\intertext{Die Abbildung $H_k(f)$ hat $f_{k,Z}$ als Matrix, also ist +die letzte Form gleichbedeutend mit} +&= +\sum_{k=0} (-1)^k\operatorname{Spur} H_k(f). +\end{align*} +Damit ist die Formel +\eqref{buch:homologie:lefschetz-zahl} +bewiesen. +\end{proof} + +Die Lefshetz-Zahl ist eine Invariante einer topologischen Abbildung, +die Aussagen über Fixpunkte zu machen erlaubt. + +\begin{satz} +Ist $f\colon X\to X$ eine Selbstabbildung eines kompakten Polyeders und +ist $\lambda(f) \ne 0$, dann hat $f$ einen Fixpunkt. +\end{satz} + +Im Folgenden soll nur ein heuristisches Argument gegeben werden, warum +ein solcher Satz wahr sein könnte. + + +Wenn eine Abbildung keinen Fixpunkt hat, dann ist $f(x) \ne x$ für alle +Punkte von $X$. +Da $X$ kompakt ist, gibt es einen minimalen Abstand $d$ zwischen $f(x)$ und $x$. +Wenn man also für $X$ eine Triangulation wählt, die wesentlich feiner ist +als dieser minimale Abstand, dann wird kein Simplex der Triangulation auf +Punkte im selben Simplex oder in einem Nachbarsimplex abgebildet wird. +Indem man nötigenfalls die Triangulation nochmals verfeinert, kann man auch +genügend Platz schaffen, dass man die Abbildung $f$ etwas modifizieren kann, +so dass auch die deformierte Abbildung immer noch diese Eigenschaft hat. +Die Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:simplapprox} illustriert, wie eine +Abbildung durch eine andere approximiert werden kann, die die Triangulation +im Bildraum respektiert. + +Die zugehörige Abbildung des Kettenkomplexes der Triangulation hat damit +die Eigenschaft, dass kein Basisvektor auf sich selbst abgebildet wird. +Die Matrix der Abbildung hat daher keine Nullen auf der Diagonalen, und +damit ist auch die Spur dieser Abbildung Null: $\operatorname{Spur}(H_k(f))=0$ +für alle $k$. +Erst recht ist die Lefshetz-Zahl $\lambda(f)=0$. +Wenn also die Lefshetz-Zahl verschieden ist von Null, dann muss $f$ +notwendigerweise einen Fixpunkt haben. + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex index 2b80a17..747c00f 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex @@ -6,13 +6,36 @@ \section{Homologie \label{buch:section:homologie}} \rhead{Homologie} +Die Idee der Trangulation ermöglicht, komplizierte geometrische +Objekte mit einem einfachen ``Gerüst'' auszustatten und so zu +analysieren. +Projiziert man ein mit einer Kugel konzentrisches Tetraeder auf die +Kugel, entsteht eine Triangulation der Kugeloberfläche. +Statt eine Kugel zu studieren, kann man also auch ein Tetraeder untersuchen. -\subsection{Homologie eines Kettenkomplexes -\label{buch:subsection:homologie-eines-kettenkomplexes}} +Das Gerüst kann natürlich nicht mehr alle Eigenschaften des ursprünglichen +Objektes wiedergeben. +Im Beispiel der Kugel geht die Information darüber, dass es sich um eine +glatte Mannigfaltigkeit handelt, verloren. +Was aber bleibt, sind Eigenschaften des Zusammenhangs. +Wenn sich zwei Punkte mit Wegen verbinden lassen, dann gibt es auch eine +Triangulation mit eindimensionalen Simplices, die diese Punkte als Ecken +enthalten, die sich in der Triangulation mit einer Folge von Kanten +verbinden lassen. +Algebraisch bedeutet dies, dass die beiden Punkte der Rand eines +Weges sind. +Fragen der Verbindbarkeit von Punkten mit Wegen lassen sich also +dadurch studieren, dass man das geometrische Objekt auf einen Graphen +reduziert. -\subsection{Induzierte Abbildung -\label{buch:subsection:induzierte-abbildung}} +In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie diese Idee auf höhere +Dimensionen ausgedehnt werden. +Es soll möglich werden, kompliziertere Fragen des Zusammenhangs, zum +Beispiel das Vorhandensein von Löchern mit algebraischen Mitteln +zu analysieren. -\subsection{Homologie eines simplizialen Komplexes -\label{buch:subsection:simplizialekomplexe}} +\input{chapters/95-homologie/homologieketten.tex} +\input{chapters/95-homologie/basiswahl.tex} +\input{chapters/95-homologie/eulerchar.tex} +\input{chapters/95-homologie/induzierteabb.tex} diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex new file mode 100644 index 0000000..1b40147 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex @@ -0,0 +1,286 @@ +% +% homologieketten.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\subsection{Homologie eines Kettenkomplexes +\label{buch:subsection:homologie-eines-kettenkomplexes}} +Wegzusammenhang lässt sich untersuchen, indem man in der Triangulation +nach Linearkombinationen von Kanten sucht, die als Rand die beiden Punkte +haben. +Zwei Punkte sind also nicht verbindbar und liegen damit in verschiedenen +Komponenten, wenn die beiden Punkte nicht Rand irgend einer +Linearkombination von Kanten sind. +Komponenten können also identifiziert werden, indem man unter allen +Linearkombinationen von Punkten, also $C_0$ all diejenigen ignoriert, +die Rand einer Linearkombinationv on Kanten sind, also $\partial_1C_1$. +Der Quotientenraum $H_0=C_0/\partial_1C_1$ enthält also für jede Komponente +eine Dimension. + +Eine Dimension höher könnten wir danach fragen, ob sich ein geschlossener +Weg zusammenziehen lässt. +In der Triangulation zeichnet sich ein geschlossener Weg dadurch aus, +dass jedes Ende einer Kante auch Anfang einer Folgekante ist, dass also +der Rand der Linearkombination von Kanten 0 ist. +Algebraisch bedeutet dies, dass wir uns für diejenigen Linearkombinationen +$z\in C_1$ interessieren, die keinen Rand haben, für die also $\partial_1z=0$ +gilt. + +\begin{definition} +Die Elemente von +\[ +Z_k += +Z_k^C += +\{z\in C_k\;|\; \partial_k z = 0\} += +\ker \partial_k +\] +heissen die {\em ($k$-dimensionalen) Zyklen} von $C_*$. +\end{definition} + +In einem Dreieck ist der Rand ein geschlossener Weg, der sich zusammenziehen +lässt, indem man ihn durch die Dreiecksfläche deformiert. +Entfernt man aber die Dreiecksfläche, ist diese Deformation nicht mehr +möglich. +Einen zusammenziehbaren Weg kann man sich also als den Rand eines Dreiecks +einer vorstellen. +``Löcher'' sind durch geschlossene Wege erkennbar, die nicht Rand eines +Dreiecks sein können. +Wir müssen also ``Ränder'' ignorieren. + +\begin{definition} +Die Elemente von +\[ +B_k += +B_k^C += +\{\partial_{k+1}z\;|\; C_{k+1}\} += +\operatorname{im} \partial_{k+1} +\] +heissen die {\em ($k$-dimensionalen) Ränder} von $C_*$. +\end{definition} + +Algebraisch ausgedrückt interessieren uns also nur Zyklen, die selbst +keine Ränder sind. +Der Quotientenraum $Z_1/B_1$ ignoriert unter den Zyklen diejenigen, die +Ränder sind, drückt also algebraisch die Idee des eindimensionalen +Zusammenhangs aus. +Wir definieren daher + +\begin{definition} +Die $k$-dimensionale Homologiegruppe des Kettenkomplexes $C_*$ ist +\[ +H_k(C) = Z_k/B_k = \ker \partial_k / \operatorname{im} \partial_{k+1}. +\] +Wenn nur von einem Kettenkomplex die Rede ist, kann auch $H_k(C)=H_k$ +abgekürzt werden. +\end{definition} + +% XXX Visualisierung Zyklen/Ränder, Klassen von Zyklen, die sich um einen +% XXX Rand unterscheiden + +Die folgenden zwei ausführlichen Beispiele sollen zeigen, wie die +Homologiegruppe $H_2$ die Anwesenheit eines Hohlraumes detektieren kann, +der entsteht, wenn man aus einem Tetraeder das innere entfernt. + +\begin{beispiel} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/tetraeder.pdf} +\caption{Triangulation eines Tetraeders, die Orientierung von Kanten +und Seitenflächen ist immer so gewählt, dass die Nummern der Ecken +aufsteigend sind. +\label{buch:homologie:tetraeder:fig}} +\end{figure} +Ein Tetraeder ist ein zweidmensionales Simplex, wir untersuchen seinen +Kettenkomplex und bestimmen die zugehörigen Homologiegruppen. +Zunächst müssen wir die einzelnen Mengen $C_k$ beschreiben und verwenden +dazu die Bezeichnungen gemäss Abbildung~\ref{buch:homologie:tetraeder:fig}. +$C_0$ ist der vierdimensionale Raum aufgespannt von den vier Ecken +$0$, $1$, $2$ und $3$ des Tetraeders. +$C_1$ ist der sechsdimensionale Vektorraum der Kanten +\[ +k_0 = [0,1],\quad +k_1 = [0,2],\quad +k_2 = [0,3],\quad +k_3 = [1,2],\quad +k_4 = [1,3],\quad +k_5 = [2,3] +\] +Der Randoperator $\partial_1$ hat die Matrix +\[ +\partial_1 += +\begin{pmatrix*}[r] +-1&-1&-1& 0& 0& 0\\ + 1& 0& 0&-1&-1& 0\\ + 0& 1& 0& 1& 0&-1\\ + 0& 0& 1& 0& 1& 1 +\end{pmatrix*}. +\] + +Wir erwarten natürlich, dass sich zwei beliebige Ecken verbinden lassen, +dass es also nur eine Komponente gibt und dass damit $H_1=\Bbbk$ ist. +Dazu beachten wir, dass das Bild von $\partial_1$ genau aus den Vektoren +besteht, deren Komponentensumme $0$ ist. +Das Bild $B_0$ von $\partial_1$ ist daher die Lösungsmenge der einen +Gleichung +\( +x_0+x_1+x_2+x_3=0. +\) +Der Quotientenraum $H_0=Z_0/B_0 = C_0/\operatorname{im}\partial_1$ +ist daher wie erwartet eindimensional. + +Wir bestimmen jetzt die Homologiegruppe $H_1$. +Da sich im Tetraeder jeder geschlossene Weg zusammenziehen lässt, +erwarten wir $H_1=0$. + +Die Menge der Zyklen $Z_1$ wird bestimmt, indem man die Lösungsmenge +des Gleichungssystems $\partial_1z=0$ bestimmt. +Der Gauss-Algorithmus für die Matrix $\partial_1$ liefert das +Schlusstableau +\[ +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +k_0&k_1&k_2&k_3&k_4&k_5\\ +\hline + 1& 0& 0& -1& -1& 0\\ + 0& 1& 0& 1& 0& -1\\ + 0& 0& 1& 0& 1& 1\\ + 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ +\hline +\end{tabular} +\] +Daraus lassen sich drei linear unabhängig eindimensionale Zyklen ablesen, +die zu den Lösungsvektoren +\[ +z_1 += +\begin{pmatrix*}[r] +1\\ +-1\\ +0\\ +1\\ +0\\ +0 +\end{pmatrix*}, +\qquad +z_2 += +\begin{pmatrix*}[r] +1\\ +0\\ +-1\\ +0\\ +1\\ +0 +\end{pmatrix*}, +\qquad +z_3 += +\begin{pmatrix*}[r] +0\\ +1\\ +-1\\ +0\\ +0\\ +1 +\end{pmatrix*} +\] +gehören. + +$C_2$ hat die vier Seitenflächen +\[ +f_0=[0,1,2],\quad +f_1=[0,1,3],\quad +f_2=[0,2,3],\quad +f_3=[1,2,3] +\] +als Basis. +Der zweidimensionale Randoperator ist die $6\times 4$-Matrix +\[ +\partial_2 += +\begin{pmatrix*}[r] + 1& 1& 0& 0\\ +-1& 0& 1& 0\\ + 0&-1&-1& 0\\ + 1& 0& 0& 1\\ + 0& 1& 0&-1\\ + 0& 0& 1& 1 +\end{pmatrix*}. +\] +Man kann leicht nachrechnen, dass $\partial_1\partial_2=0$ ist, wie es +für einen Kettenkomplex sein muss. + +Um nachzurechnen, dass die Homologiegruppe $H_1=0$ ist, müssen wir jetzt +nachprüfen, ob jeder Zyklus in $Z_1$ auch Bild der Randabbildung $\partial_2$ +ist. +Die ersten drei Spalten von $\partial_2$ sind genau die drei Zyklen +$z_1$, $z_2$ und $z_3$. +Insbesondere lassen sich alle Zyklen als Ränder darstellen, die +Homologiegruppe $H_1=0$ verschwindet. + +Die Zyklen in $C_2$ sind die Lösungen von $\partial_2z=0$. +Der Gauss-Algorithmus für $\partial_2$ liefert das -Tableau +\[ +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +f_0&f_1&f_2&f_3\\ +\hline +1&0&0& 1\\ +0&1&0&-1\\ +0&0&1& 1\\ +0&0&0& 0\\ +0&0&0& 0\\ +0&0&0& 0\\ +\hline +\end{tabular} +\] +Daraus liest man ab, dass es genau einen Zyklus nämlich +\[ +z += +\begin{pmatrix} +-1\\1\\-1\\1 +\end{pmatrix} +\] +$Z_2$ besteht also aus Vielfachen des Vektors $z$. + +Da es nur ein zweidimensionales Simplex gibt, ist $C_3$ eindimensional. +Die Randabbildung $\partial_3$ hat die Matrix +\[ +\partial_3 += +\begin{pmatrix} +1\\ +-1\\ +1\\ +-1 +\end{pmatrix}. +\] +Die Zyklen $Z_2$ und die Ränder $B_2$ bilden also dieselbe Menge, auch +die Homologie-Gruppe $H_2$ ist $0$. + +Da es keine vierdimensionalen Simplizes gibt, ist $B_3=0$. +Die Zyklen $Z_3$ bestehen aus den Lösungen von $\partial_3w=0$, da +aber $\partial_3$ injektiv ist, ist $Z_3=0$. +Daher ist auch $H_3=0$. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Für dieses Beispiel entfernen wir das Innere des Tetraeders, es entsteht +ein Hohlraum. +Am Kettenkomplex der Triangulation ändert sich nur, dass $C_3$ jetzt +nur noch den $0$-Vektor enthält. +Das Bild $B_2=\operatorname{im}\partial_3$ wird damit auch $0$-dimensional, +während es im vorigen Beispiel eindimensional war. +Die einzige Änderung ist also in der Homologiegruppe +$H_2 = Z_2/B_2 = Z_2 / \{0\} \simeq \Bbbk$. +Die Homologiegruppe $H_2$ hat jetzt Dimension $1$ und zeigt damit den +Hohlraum an. +\end{beispiel} diff --git a/buch/chapters/95-homologie/hx.m b/buch/chapters/95-homologie/hx.m new file mode 100644 index 0000000..0003e76 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/hx.m @@ -0,0 +1,129 @@ +split_long_rows(0) + +d = [ +#1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 +-1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 1 + 1,-1, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 2 + 0, 1,-1, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 3 + 0, 0, 1,-1, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 4 + 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 5 + 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 6 + 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0,-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 7 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0, 0,-1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 8 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 1, 0, 0, 0,-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 9 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0,-1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 10 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,-1, 0,-1, 1, 0, 0, 0, 0; # 11 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 1, 0, 0, 0,-1, 0, 0, 0; # 12 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0,-1, 1, 0; # 13 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 1, 0,-1; # 14 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1 # 15 +] + +rref(d) + +B = [ +#1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718192021222324252627 + 1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; + 0,1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; + 0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; + 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; + 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; + 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0; + 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0; + 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0; + 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1 +]'; + +d*B + +Z = [ +#1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 + 1, 0, 0, 0,-1, 0, 1, 0,-1, 0, 1, 0, 0; # 1 + 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 0, 1, 0, 0; # 2 + 0, 0, 1, 0, 0,-1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0; # 3 + 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 4 + 1, 0, 0, 0,-1, 0, 1, 0,-1, 0, 1, 0, 0; # 5 + 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 6 + 0, 1, 0, 0, 1, 0,-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 7 + 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 8 + 0, 0, 1, 0, 0,-1, 0, 1, 1, 0,-1, 0, 0; # 9 + 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 10 + 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0,-1, 0, 0, 0, 0, 0; # 11 + 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 12 + 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 13 + 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 14 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,-1, 0, 1, 0, 0; # 15 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 16 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0,-1, 0, 0; # 17 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0; # 18 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1,-1,-1, 1; # 19 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0; # 20 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,-1, 1; # 21 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0; # 22 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1,-1; # 23 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0; # 24 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0; # 25 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1; # 26 + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 # 27 +] + +d * Z + +T = zeros(22, 9); +T(1:9,1:27) = B'; +T(10:22,1:27) = Z'; + +T + +for i = (2:22) + T(i,:) = T(i,:) - T(i,1) * T(1,:); +end +for i = (3:22) + T(i,:) = T(i,:) - T(i,2) * T(2,:); +end +for i = (4:22) + T(i,:) = T(i,:) - T(i,3) * T(3,:); +end +for i = (5:22) + T(i,:) = T(i,:) - T(i,4) * T(4,:); +end + +T + +for i = (15:22) + T(i,:) = T(i,:) - T(i,6) * T(14,:); +end +T +for i = (19:22) + T(i,:) = T(i,:) - T(i,8) * T(18,:); +end +T +for i = (16:22) + T(i,:) = T(i,:) - T(i,10) * T(15,:); +end +T +for i = (6:22) + T(i,:) = T(i,:) - T(i,13) * T(5,:); +end +T +for i = (7:22) + T(i,:) = T(i,:) - T(i,14) * T(6,:); +end +T +for i = (8:22) + T(i,:) = T(i,:) - T(i,19) * T(7,:); +end +T +for i = (9:22) + T(i,:) = T(i,:) - T(i,20) * T(8,:); +end +T +for i = (22:22) + T(i,:) = T(i,:) - T(i,22) * T(21,:); +end +T +for i = (10:22) + T(i,:) = T(i,:) - T(i,25) * T(9,:); +end +# +T diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile index 82f1285..0a3979e 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile @@ -3,8 +3,44 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -all: dreieck.pdf +all: complexbasis.pdf homocycles.pdf homoboundaries.pdf homoclasses.pdf \ + gausshomoex.pdf gausshomobasis.pdf dreieck.pdf polyeder.pdf \ + approximation.pdf tetraeder.pdf dreieck.pdf: dreieck.tex pdflatex dreieck.tex +polyeder.pdf: polyeder.tex + pdflatex polyeder.tex + +gausshomobasis.pdf: gausshomobasis.tex + pdflatex gausshomobasis.tex + +gausshomoex.pdf: gausshomoex.tex + pdflatex gausshomoex.tex + +homocycles.pdf: homocycles.tex + pdflatex homocycles.tex + +homoboundaries.pdf: homoboundaries.tex + pdflatex homoboundaries.tex + +homoclasses.pdf: homoclasses.tex + pdflatex homoclasses.tex + +complexbasis.pdf: complexbasis.tex + pdflatex complexbasis.tex + +approximation.pdf: approximation.tex approx.tex + pdflatex approximation.tex + +approx.tex: approx.m + octave approx.m + +tetraeder.png: tetraeder.pov + povray +A0.1 -W1920 -H1080 -O$@ $< +tetraeder.jpg: tetraeder.png Makefile + convert -extract 1080x1080+520 tetraeder.png tetraeder.jpg +tetraeder.pdf: tetraeder.tex tetraeder.jpg + pdflatex tetraeder.tex + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m b/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m new file mode 100644 index 0000000..0db41c2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m @@ -0,0 +1,77 @@ +# +# approx.m +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +x = zeros(7,7); +y = zeros(7,7); + +s = 1.05; + +for i = (1:7) + winkel = (i-1) * 8.333333 + 20; + for j = (1:7) + radius = (j-1) * 0.5 + 3; + x(i,j) = 1.05 * radius * cosd(winkel); + y(i,j) = 1.05 * radius * sind(winkel); + endfor +endfor + +X = x; +Y = y; +for i = (1:7) + for j = (1:7) + X(i,j) = round(2 * x(i,j)) / 2; + Y(i,j) = round(2 * y(i,j)) / 2; + endfor +endfor + +fn = fopen("approx.tex", "w"); + + +for i = (1:6) + for j = (1:6) + winkel = (i-1+0.6666) * 8.33333 + 20; + radius = (j-1+0.3333) * 0.5 + 3; + fprintf(fn, "\\definecolor{mycolor}{rgb}{%.2f,%.2f,%.2f};\n", + (winkel - 20) / 50, 0.8, (radius-3)/3); + fprintf(fn, "\\fill[color=mycolor] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- cycle;\n", + X(i,j), Y(i,j), + X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1), + X(i+1,j), Y(i+1,j)); + winkel = (i-1+0.3333) * 8.33333 + 20; + radius = (j-1+0.6666) * 0.5 + 3; + fprintf(fn, "\\definecolor{mycolor}{rgb}{%.2f,%.2f,%.2f};\n", + (winkel - 20) / 50, 0.8, (radius-3)/3); + fprintf(fn, "\\fill[color=mycolor] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- cycle;\n", + X(i,j), Y(i,j), + X(i,j+1), Y(i,j+1), + X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1)); + endfor +endfor + +linewidth = 0.4; + +fprintf(fn, "\\gitter\n"); + +for i = (1:7) + for j = (1:6) + fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth, + X(i,j), Y(i,j), X(i,j+1), Y(i,j+1)); + endfor +endfor +for i = (1:6) + for j = (1:7) + fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth, + X(i,j), Y(i,j), X(i+1,j), Y(i+1,j)); + endfor +endfor +for i = (1:6) + for j = (1:6) + fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth, + X(i,j), Y(i,j), X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1)); + endfor +endfor + +fclose(fn) + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..8bdd2e7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex new file mode 100644 index 0000000..042f0e2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex @@ -0,0 +1,69 @@ +% +% approximation.tex -- Approximation einer Abbildung durch eine simpliziale +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1.3} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0} +\definecolor{darkred}{rgb}{0,0,0} + +\def\gitter{ + \foreach \x in {1,1.5,...,6}{ + \draw[color=gray] (\x,1) -- (\x,6); + \draw[color=gray] (1,\x) -- (6,\x); + } +} + +\def\s{1.05} + +\def\colorsector{ + \foreach \r in {3,3.2,...,5.8}{ + \foreach \a in {20,...,69}{ + \pgfmathparse{(\a-20)/50} + \xdef\rot{\pgfmathresult} + \pgfmathparse{(\r-3)/3} + \xdef\blau{\pgfmathresult} + \definecolor{mycolor}{rgb}{\rot,0.8,\blau} + \fill[color=mycolor] + (\a:{\s*\r}) -- (\a:{\s*(\r+0.2)}) -- ({\a+1}:{\s*(\r+0.2)}) -- ({\a+1}:{\s*\r}) -- cycle; + } + } +} + +\begin{scope}[xshift=0cm] +\colorsector +\gitter +\foreach \r in {3,3.5,...,6.0}{ + \draw[color=black,line width=0.4pt] (20:{\s*\r}) arc (20:70:{\s*\r}); +} +\foreach \a in {20,28.3333,...,70}{ + \draw[color=black,line width=0.4pt] (\a:{\s*3}) -- (\a:{\s*6}); +} +\begin{scope} +\clip (20:{\s*3}) -- (20:{\s*6}) arc (20:70:{\s*6}) -- (70:{\s*3}); +\foreach \a in {-5,...,5}{ + \draw[color=black,line width=0.4pt] + plot[domain={20+8.33333*\a}:{70+8.3333*\a},samples=100] + (\x:{\s*(3+3*(\x-(20+8.3333*\a))/50)}); +} +\end{scope} + +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=5.5cm] +\input{approx.tex} +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..9ff6709 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.pdf diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.tex new file mode 100644 index 0000000..bab89d2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.tex @@ -0,0 +1,158 @@ +% +% complexbasis.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\def\s{0.5} +\def\h{0.02} + +\def\rechteck#1#2#3{ + \fill[color=#3!20,rounded corners=2pt] + ({-\s+\h},{(2*(#1)-1)*\s+\h}) + rectangle + ({\s-\h},{(2*(#2)+1)*\s-\h}); + \draw[color=#3,rounded corners=2pt] + ({-\s+\h},{(2*(#1)-1)*\s+\h}) + rectangle + ({\s-\h},{(2*(#2)+1)*\s-\h}); + \foreach \y in {{#1},...,{#2}}{ + \fill[color=#3] (0,{2*\y*\s}) circle[radius=0.05]; + } +} +\def\Rechteck#1#2{ + \draw[rounded corners=3pt] + ({-\s-\h},{(2*(#1)-1)*\s-\h}) + rectangle + ({\s+\h},{(2*(#2)+1)*\s+\h}); +} + +\def\abbildung#1#2#3#4{ + \fill[color=gray!20] + ({\s+\h},{(2*(#1)+1)*\s}) + -- + ({3.5-\s-\h},{-\s}) + -- + ({3.5-\s-\h},{(2*(#3)+1)*\s}) + -- + ({\s+\h},{(2*(#1)+1)*\s}) + -- + cycle; + \fill[color=gray!40] + ({\s+\h},{(2*(#1+1)-1)*\s}) + -- + ({3.5-\s-\h},{(2*(#3+1)-1)*\s}) + -- + ({3.5-\s-\h},{(2*(#4)+1)*\s}) + -- + ({\s+\h},{(2*(#2)+1)*\s}) + -- + cycle; + \draw[<-,color=gray] + ({\s+\h},{(2*(#1+1)-1)*\s}) + -- + ({3.5-\s-\h},{(2*(#3+1)-1)*\s}); + \draw[->,color=gray] + ({3.5-\s-\h},{(2*(#4)+1)*\s}) + -- + ({\s+\h},{(2*(#2)+1)*\s}); + \draw[<-,color=gray!40] + ({\s+\h},{(2*(#1)+1)*\s}) + -- + ({3.5-\s-\h},{-\s}); +} + +\clip ({-3.5-1.7},-1.2) rectangle ({7+1.7},11.7); + +\begin{scope}[xshift=-7cm] + \abbildung{6}{7}{10}{11} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=-3.5cm] + \abbildung{6}{10}{7}{11} + \rechteck{0}{6}{red} + \rechteck{7}{10}{darkgreen} + \rechteck{11}{11}{blue} + \Rechteck{0}{11} + \node[color=darkgreen] at ({0},{(9*2-1)*\s}) {$B_{k-2\mathstrut}$}; + \node at (1.75,{9*2*\s}) {$\Delta_{k-1}$}; + \node at (1.75,{-\s}) [above] {$\partial_{k-1\mathstrut}$}; + \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}] + ({-\s-0.1},{-\s}) -- ({-\s-0.1},{(2*10+1)*\s}); + \node at ({-\s-0.17},{10*\s}) [left] {$Z_{k-2\mathstrut}$}; + \node at (0,{-\s}) [below] {$C_{k-2\mathstrut}$}; +\end{scope} + +\begin{scope} + \abbildung{2}{7}{5}{10} + \rechteck{8}{11}{blue} + \rechteck{3}{7}{darkgreen} + \rechteck{0}{2}{red} + \Rechteck{0}{11} + \node at (0,{-\s}) [below] {$C_{k-1\mathstrut}$}; + \node[color=darkgreen] at ({0},{(5*2-1)*\s}) {$B_{k-1\mathstrut}$}; + \node at (1.75,{6.5*2*\s}) {$\Delta_k$}; + \node at (1.75,{-\s}) [above] {$\partial_{k\mathstrut}$}; + \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}] + ({-\s-0.1},{-\s}) -- ({-\s-0.1},{(2*7+1)*\s}); + \node at ({-\s-0.17},{7*\s}) [left] {$Z_{k-1\mathstrut}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=3.5cm] + \abbildung{3}{5}{5}{7} + \rechteck{6}{10}{blue} + \rechteck{4}{5}{darkgreen} + \rechteck{0}{3}{red} + \Rechteck{0}{10} + \node at (0,{-\s}) [below] {$C_{k\mathstrut}$}; + \node[color=darkgreen] at ({-0.25},{9*\s}) + {$B_{k\mathstrut}$}; + \node[color=darkgreen] at (0.24,{2*4*\s}) {$b_1$}; + \node[color=darkgreen] at (0.24,{2*4.5*\s+0.1}) {$\vdots$}; + \node[color=darkgreen] at (0.24,{2*5*\s}) {$b_r$}; + \node[color=red] at (0.24,{2*0*\s}) {$z_1$}; + \node[color=red] at (0.24,{2*1*\s}) {$z_2$}; + \node[color=red] at (0.24,{2*2*\s+0.1}) {$\vdots$}; + \node[color=red] at (0.24,{2*3*\s}) {$z_l$}; + \node[color=blue] at (0.24,{2*6*\s}) {$c_1$}; + \node[color=blue] at (0.24,{2*7*\s}) {$c_2$}; + \node[color=blue] at (0.24,{2*8*\s}) {$c_3$}; + \node[color=blue] at (0.24,{2*9*\s}) {$\vdots$}; + \node[color=blue] at (0.24,{2*10*\s}) {$c_s$}; + \node at (1.75,{5.5*2*\s}) {$\Delta_{k+1}$}; + \node at (1.75,{-\s}) [above] {$\partial_{k+1\mathstrut}$}; + \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}] + ({-\s-0.1},{-\s}) -- ({-\s-0.1},{(2*5+1)*\s}); + \node at ({-\s-0.17},{5*\s}) [left] {$Z_{k\mathstrut}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=7cm] + \abbildung{0}{5}{4}{8} + \rechteck{5}{7}{blue} + \rechteck{1}{5}{darkgreen} + \rechteck{0}{0}{red} + \Rechteck{0}{7} + \node at (0,{-\s}) [below] {$C_{k+1\mathstrut}$}; + \node[color=darkgreen] at ({0},{(2.0*2+1)*\s}) + {$B_{k+1\mathstrut}$}; + \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}] + ({-\s-0.1},{-\s}) -- ({-\s-0.1},{(2*5+1)*\s}); + \node at ({-\s-0.17},{5*\s}) [left] {$Z_{k+1\mathstrut}$}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..07414bb --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.tex new file mode 100644 index 0000000..ba21f54 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.tex @@ -0,0 +1,109 @@ +% +% gaushomobasis.tex -- Bestimmung einer Basis der Homologiegruppen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\s{0.5} +\def\inset{0.05} +\def\w{8} + +\def\zeile#1#2{ + \fill[color=#2] ({0+\inset},{(12-#1)*\s+\inset}) + rectangle ({\w*\s-\inset},{(13-#1)*\s-\inset}); +} +\def\marke#1#2{ +\node at ({0.5*\w*\s},{12.5-#1)*\s}) {$#2\mathstrut$}; +} + +\def\gauss{ +\draw (0,0) rectangle ({\w*\s},{12*\s}); +\draw (0,{7*\s}) -- ({\w*\s},{7*\s}); +} + +\draw[->,color=red,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-1)*\s}) + to[out=180,in=90] (-3.6,-2); +\draw[->,color=red,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-2)*\s}) + to[out=180,in=90] (-2.2,-2); +\draw[->,color=red,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-4)*\s}) + to[out=180,in=90] (-0.7,-2); + +\draw[->,color=darkgreen,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-7)*\s}) + to[out=180,in=90] (0.9,-2); +\draw[->,color=darkgreen,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-8)*\s}) + to[out=180,in=90] (1.6,-2); +\draw[->,color=darkgreen,line width=1pt] ({(\w-0.1)*\s},{(12.5-12)*\s}) + to[out=0,in=90] (2.6,-2); + +\draw[->,line width=2pt] ({\w*\s+0.1},{6*\s}) -- (5.4,{6*\s}); +\node at ({0.5*(\w*\s+5.5)},{6*\s}) [above] {Gauss}; + +\begin{scope} +\zeile{1}{red!30} +\zeile{2}{red!30} +\zeile{4}{red!30} +\zeile{7}{darkgreen!30} +\zeile{8}{darkgreen!30} +%\zeile{10}{darkgreen!30} +\zeile{12}{darkgreen!30} +\marke{1}{\scriptstyle\partial_{k+1}e_1^{(k+1)}} +\marke{2}{\scriptstyle\partial_{k+1}e_2^{(k+1)}} +\marke{3}{\scriptstyle\partial_{k+1}e_3^{(k+1)}} +\marke{4}{\vdots} +\marke{5}{\scriptstyle\partial_{k+1}e_{n_{k+1}}^{(k+1)}} +\marke{6}{\scriptstyle z_1^{(k)}} +\marke{7}{\scriptstyle z_2^{(k)}} +\marke{8}{\scriptstyle z_3^{(k)}} +\marke{9}{\scriptstyle z_4^{(k)}} +\marke{10}{\vdots} +\marke{11}{\scriptstyle z_{l-1}^{(k)}} +\marke{12}{\scriptstyle z_{l}^{(k)}} +\gauss +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=5.5cm] +\zeile{1}{black!20} +\zeile{2}{black!20} +\zeile{3}{black} +\marke{3}{\color{white}0} +\zeile{4}{black!20} +\zeile{5}{black} +\marke{5}{\color{white}0} +\zeile{6}{black} +\marke{6}{\color{white}0} +\zeile{7}{black!20} +\zeile{8}{black!20} +\zeile{9}{black} +\marke{9}{\color{white}0} +\zeile{10}{black} +\marke{10}{\color{white}0} +\zeile{11}{black} +\marke{11}{\color{white}0} +\zeile{12}{black!20} +\gauss +\end{scope} + +\node at (-4.4,-2) [below right] {$\{ +{\color{red}\partial_{k+1}e_1^{(k+1)}}, +{\color{red}\partial_{k+1}e_2^{(k+1)}}, +{\color{red}\partial_{k+1}e_{i_3}^{(k+1)}},\dots, +{\color{darkgreen}z_2^{(k)}}, +{\color{darkgreen}z_3^{(k)}}, +\dots +{\color{darkgreen}z_l^{(k)}} +\} = {\color{red}\mathcal{B}_k} \cup {\color{darkgreen}\mathcal{Z}_k'}$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..bc0b766 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.tex new file mode 100644 index 0000000..df53f70 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.tex @@ -0,0 +1,120 @@ +% +% gausshomoex.tex -- Beispiel für die Bestimmung einer Basis von H_1 +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\s{2.0} + +\def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})} + +\def\knoten#1#2#3{ + \fill[color=white] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3]; + \node at \punkt{#1}{#2} {$#3$\strut}; + \draw \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3]; +} +\def\dreieck#1#2#3{ + \fill[color=gray] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2} + -- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle; + \node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut}; + \draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] + \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}; + \draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] + \punkt{#1+1}{#2} -- \punkt{#1}{#2+1}; + \draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] + \punkt{#1}{#2+1} -- \punkt{#1}{#2}; +} + +\def\Dreieck#1#2#3{ + \fill[color=gray!50] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2} + -- \punkt{#1+1}{(#2)-1} -- cycle; + \node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut}; +} + +\def\kante#1#2#3{ + \fill[color=white,opacity=0.8] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.15]; + \node at \punkt{#1}{#2} {$\scriptstyle #3$}; +} + +\dreieck{0}{0}{1} +\dreieck{1}{0}{2} +\dreieck{2}{0}{3} +\dreieck{3}{0}{4} + +\dreieck{0}{1}{5} +\dreieck{2}{1}{6} + +\dreieck{0}{2}{7} +\dreieck{1}{2}{8} + +\dreieck{0}{3}{9} + + +\knoten{0}{0}{1} +\knoten{1}{0}{2} +\knoten{2}{0}{3} +\knoten{3}{0}{4} +\knoten{4}{0}{5} + +\knoten{0}{1}{6} +\knoten{1}{1}{7} +\knoten{2}{1}{8} +\knoten{3}{1}{9} + +\knoten{0}{2}{10} +\knoten{1}{2}{11} +\knoten{2}{2}{12} + +\knoten{0}{3}{13} +\knoten{1}{3}{14} + +\knoten{0}{4}{15} + +\kante{0.5}{0}{1} +\kante{1.5}{0}{2} +\kante{2.5}{0}{3} +\kante{3.5}{0}{4} + +\kante{0}{0.5}{5} +\kante{0.5}{0.5}{6} +\kante{1}{0.5}{7} +\kante{1.5}{0.5}{8} +\kante{2}{0.5}{9} +\kante{2.5}{0.5}{10} +\kante{3}{0.5}{11} +\kante{3.5}{0.5}{12} + +\kante{0.5}{1}{13} +\kante{2.5}{1}{14} + +\kante{0}{1.5}{15} +\kante{0.5}{1.5}{16} +\kante{2}{1.5}{17} +\kante{2.5}{1.5}{18} + +\kante{0.5}{2}{19} +\kante{1.5}{2}{20} + +\kante{0}{2.5}{21} +\kante{0.5}{2.5}{22} +\kante{1}{2.5}{23} +\kante{1.5}{2.5}{24} + +\kante{0.5}{3}{25} + +\kante{0}{3.5}{26} +\kante{0.5}{3.5}{27} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..fb94ec8 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex new file mode 100644 index 0000000..53087fa --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex @@ -0,0 +1,115 @@ +% +% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\s{0.55} + +\def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})} +\def\A{\punkt{0}{0}} +\def\B{\punkt{1}{0}} +\def\C{\punkt{2}{0}} +\def\D{\punkt{3}{0}} +\def\E{\punkt{4}{0}} +\def\F{\punkt{0}{1}} +\def\G{\punkt{1}{1}} +\def\H{\punkt{2}{1}} +\def\I{\punkt{3}{1}} +\def\J{\punkt{0}{2}} +\def\K{\punkt{1}{2}} +\def\L{\punkt{2}{2}} +\def\M{\punkt{0}{3}} +\def\N{\punkt{1}{3}} +\def\O{\punkt{0}{4}} + +\def\dreieck#1#2#3{ + \fill[color=gray] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2} + -- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle; +} + +\def\blau#1#2{ + \draw[color=blue] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2} + -- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle; + \draw[->,color=blue] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}; +} + +\def\gebiet{ + \dreieck{0}{0}{1} + \dreieck{1}{0}{2} + \dreieck{2}{0}{3} + \dreieck{3}{0}{4} + \dreieck{0}{1}{5} + \dreieck{2}{1}{6} + \dreieck{0}{2}{7} + \dreieck{1}{2}{8} + \dreieck{0}{3}{9} +} + +\begin{scope} +\gebiet +\blau{0}{0} +\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_1^{(2)}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=3cm] +\gebiet +\blau{1}{0} +\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_2^{(2)}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=6cm] +\gebiet +\blau{2}{0} +\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_3^{(2)}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=9cm] +\gebiet +\blau{3}{0} +\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_4^{(2)}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=2.59cm] +\gebiet +\blau{0}{1} +\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_5^{(2)}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=7.5cm,yshift=2.59cm] +\gebiet +\blau{2}{1} +\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_6^{(2)}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=3cm,yshift=5.19cm] +\gebiet +\blau{0}{2} +\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_7^{(2)}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=6cm,yshift=5.19cm] +\gebiet +\blau{1}{2} +\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_8^{(2)}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=4.5cm,yshift=7.79cm] +\gebiet +\blau{0}{3} +\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_9^{(2)}$}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..fbbaedd --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex new file mode 100644 index 0000000..4467f08 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex @@ -0,0 +1,109 @@ +% +% homoclasses.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1.4} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\def\s{0.4} +\def\h{-0.3} + +\def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})} +\def\A{\punkt{0}{0}} +\def\B{\punkt{1}{0}} +\def\C{\punkt{2}{0}} +\def\D{\punkt{3}{0}} +\def\E{\punkt{4}{0}} +\def\F{\punkt{0}{1}} +\def\G{\punkt{1}{1}} +\def\H{\punkt{2}{1}} +\def\I{\punkt{3}{1}} +\def\J{\punkt{0}{2}} +\def\K{\punkt{1}{2}} +\def\L{\punkt{2}{2}} +\def\M{\punkt{0}{3}} +\def\N{\punkt{1}{3}} +\def\O{\punkt{0}{4}} + +%\def\knoten#1#2#3{ +% \fill[color=white] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3]; +% \node at \punkt{#1}{#2} {$#3$\strut}; +% \draw \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3]; +%} +\def\dreieck#1#2#3{ + \fill[color=gray] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2} + -- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle; +% \node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut}; +% \draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] +% \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}; +% \draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] +% \punkt{#1+1}{#2} -- \punkt{#1}{#2+1}; +% \draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] +% \punkt{#1}{#2+1} -- \punkt{#1}{#2}; +} + +%\def\Dreieck#1#2#3{ +% \fill[color=gray!50] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2} +% -- \punkt{#1+1}{(#2)-1} -- cycle; +% \node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut}; +%} + +%\def\kante#1#2#3{ +% \fill[color=white,opacity=0.8] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.15]; +% \node at \punkt{#1}{#2} {$\scriptstyle #3$}; +%} + +\def\gebiet{ + \dreieck{0}{0}{1} + \dreieck{1}{0}{2} + \dreieck{2}{0}{3} + \dreieck{3}{0}{4} + \dreieck{0}{1}{5} + \dreieck{2}{1}{6} + \dreieck{0}{2}{7} + \dreieck{1}{2}{8} + \dreieck{0}{3}{9} +} + +\begin{scope} +\gebiet +\draw[color=darkgreen] \B -- \G -- \J -- \F -- cycle; +\draw[->,color=darkgreen] \B -- \G; +\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_5'$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=2cm] +\gebiet +\draw[color=darkgreen] \D -- \I -- \L -- \H -- cycle; +\draw[->,color=darkgreen] \D -- \I; +\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_6'$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=4cm] +\gebiet +\draw[color=darkgreen] \C -- \L -- \N -- \K -- \M -- \J -- cycle; +\draw[->,color=darkgreen] \C -- \L; +\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_9'$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=6cm] +\gebiet +\draw[color=darkgreen] \K -- \N -- \O -- \M -- cycle; +\draw[->,color=darkgreen] \K -- \N; +\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_{12}'$}; +\end{scope} + + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..b68519e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex new file mode 100644 index 0000000..8f20a0c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex @@ -0,0 +1,170 @@ +% +% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\s{0.4} + +\def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})} +\def\A{\punkt{0}{0}} +\def\B{\punkt{1}{0}} +\def\C{\punkt{2}{0}} +\def\D{\punkt{3}{0}} +\def\E{\punkt{4}{0}} +\def\F{\punkt{0}{1}} +\def\G{\punkt{1}{1}} +\def\H{\punkt{2}{1}} +\def\I{\punkt{3}{1}} +\def\J{\punkt{0}{2}} +\def\K{\punkt{1}{2}} +\def\L{\punkt{2}{2}} +\def\M{\punkt{0}{3}} +\def\N{\punkt{1}{3}} +\def\O{\punkt{0}{4}} + +%\def\knoten#1#2#3{ +% \fill[color=white] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3]; +% \node at \punkt{#1}{#2} {$#3$\strut}; +% \draw \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3]; +%} +\def\dreieck#1#2#3{ + \fill[color=gray] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2} + -- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle; +% \node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut}; +% \draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] +% \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}; +% \draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] +% \punkt{#1+1}{#2} -- \punkt{#1}{#2+1}; +% \draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] +% \punkt{#1}{#2+1} -- \punkt{#1}{#2}; +} + +%\def\Dreieck#1#2#3{ +% \fill[color=gray!50] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2} +% -- \punkt{#1+1}{(#2)-1} -- cycle; +% \node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut}; +%} + +%\def\kante#1#2#3{ +% \fill[color=white,opacity=0.8] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.15]; +% \node at \punkt{#1}{#2} {$\scriptstyle #3$}; +%} + +\def\gebiet{ + \dreieck{0}{0}{1} + \dreieck{1}{0}{2} + \dreieck{2}{0}{3} + \dreieck{3}{0}{4} + \dreieck{0}{1}{5} + \dreieck{2}{1}{6} + \dreieck{0}{2}{7} + \dreieck{1}{2}{8} + \dreieck{0}{3}{9} +} + +\begin{scope} +\gebiet +\draw[->,color=red] \A -- \B -- \F -- cycle; +\draw[->,color=red] \A -- \B; +\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_1$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=2cm] +\gebiet +\draw[color=red] \B -- \C -- \G -- cycle; +\draw[->,color=red] \B -- \C; +\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_2$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=4cm] +\gebiet +\draw[color=red] \C -- \D -- \H -- cycle; +\draw[->,color=red] \C -- \D; +\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_3$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=6cm] +\gebiet +\draw[color=red] \D -- \E -- \I -- cycle; +\draw[->,color=red] \D -- \E; +\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_4$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=8cm] +\gebiet +\draw[color=red] \A -- \B -- \G -- \F -- cycle; +\draw[<-,color=red] \A -- \B; +\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_5$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=10cm] +\gebiet +\draw[color=red] \C -- \D -- \I -- \H -- cycle; +\draw[<-,color=red] \C -- \D; +\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_6$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=12cm] +\gebiet +\draw[color=red] \A -- \B -- \G -- \J -- \F -- cycle; +\draw[->,color=red] \A -- \B; +\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_7$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-3cm] +\gebiet +\draw[color=red] \C -- \D -- \I -- \L -- \H -- cycle; +\draw[->,color=red] \C -- \D; +\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_8$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=2cm,yshift=-3cm] +\gebiet +\draw[color=red] \A -- \B -- \C -- \H -- \L -- \K -- \J -- \F -- cycle; +\draw[<-,color=red] \A -- \B; +\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_9$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=4cm,yshift=-3cm] +\gebiet +\draw[color=red] \J -- \K -- \M -- cycle; +\draw[->,color=red] \J -- \K; +\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{10}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=6cm,yshift=-3cm] +\gebiet +\draw[color=red] \A -- \B -- \C -- \H -- \L -- \N -- \K -- \J -- \F -- cycle; +\draw[->,color=red] \A -- \B; +\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{11}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=8cm,yshift=-3cm] +\gebiet +\draw[color=red] \J -- \K -- \N -- \M -- cycle; +\draw[<-,color=red] \J -- \K; +\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{12}$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=10cm,yshift=-3cm] +\gebiet +\draw[color=red] \J -- \K -- \N -- \O -- \M -- cycle; +\draw[->,color=red] \J -- \K; +\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{13}$}; +\end{scope} + + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/polyeder.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/polyeder.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3a8ba60 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/polyeder.pdf diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/polyeder.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/polyeder.tex new file mode 100644 index 0000000..9a900cc --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/polyeder.tex @@ -0,0 +1,109 @@ +% +% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +% add image content here +\begin{scope}[xshift=-3.5cm,scale=0.5] +\coordinate (A) at (0,0); +\coordinate (B) at (4,0); +\coordinate (C) at (5,-2); +\coordinate (D) at (8,-1); +\coordinate (E) at (7,1); +\coordinate (F) at (7,3); +\coordinate (G) at (1,3); +\coordinate (H) at (5,4); +\coordinate (I) at (9,5); +\coordinate (J) at (4,7); +\coordinate (K) at (-1,9); +\coordinate (L) at (7,11); +\coordinate (M) at (6,-0.5); + +\fill[color=gray,opacity=0.5] (A)--(B)--(H)--(G)--cycle; +\fill[color=gray,opacity=0.5] (G)--(I)--(K)--cycle; +\fill[color=gray,opacity=0.5] (G)--(L)--(K)--cycle; + +\draw (K)--(G)--(A)--(B)--(D); +\draw (C)--(E); +\draw (G)--(I)--(K); +\draw (G)--(L)--(K); +\draw (B)--(H); +\draw (B)--(F); + +\fill (A) circle[radius=0.1]; +\fill (B) circle[radius=0.1]; +\fill (C) circle[radius=0.1]; +\fill (D) circle[radius=0.1]; +\fill (E) circle[radius=0.1]; +\fill (F) circle[radius=0.1]; +\fill (G) circle[radius=0.1]; +\fill (H) circle[radius=0.1]; +\fill (I) circle[radius=0.1]; +%\fill (J) circle[radius=0.1]; +\fill (K) circle[radius=0.1]; +\fill (L) circle[radius=0.1]; +%\fill (M) circle[radius=0.1]; + +\draw[color=red] (H) circle[radius=0.5]; +\draw[color=red] (J) circle[radius=0.5]; +\draw[color=red] (M) circle[radius=0.5]; +\draw[color=red] ($0.25*(A)+0.25*(B)+0.25*(G)+0.25*(H)$) circle[radius=0.5]; + +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=3.5cm,scale=0.5] +\coordinate (A) at (0,0); +\coordinate (B) at (4,0); +\coordinate (C) at (5,-2); +\coordinate (D) at (8,-1); +\coordinate (E) at (7,1); +\coordinate (F) at (7,3); +\coordinate (G) at (1,3); +\coordinate (H) at (5,4); +\coordinate (I) at (9,5); +\coordinate (J) at (4,7); +\coordinate (K) at (-1,9); +\coordinate (L) at (7,11); +\coordinate (M) at (6,-0.5); + +\fill[color=gray!50] (A)--(B)--(H)--(I)--(J)--(L)--(K)--(G)--cycle; + +\draw (K)--(G)--(A)--(B)--(D); +\draw (C)--(E); +\draw (G)--(I)--(K); +\draw (G)--(L)--(K); +\draw (B)--(H); +\draw (B)--(F); +\draw (H)--(J); +\draw (A)--(H); + +\fill (A) circle[radius=0.1]; +\fill (B) circle[radius=0.1]; +\fill (C) circle[radius=0.1]; +\fill (D) circle[radius=0.1]; +\fill (E) circle[radius=0.1]; +\fill (F) circle[radius=0.1]; +\fill (G) circle[radius=0.1]; +\fill (H) circle[radius=0.1]; +\fill (I) circle[radius=0.1]; +\fill (J) circle[radius=0.1]; +\fill (K) circle[radius=0.1]; +\fill (L) circle[radius=0.1]; +\fill (M) circle[radius=0.1]; + +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.jpg b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0ec168b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.jpg diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0a57e95 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.pdf diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.pov b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.pov new file mode 100644 index 0000000..b110f96 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.pov @@ -0,0 +1,116 @@ +// +// tetraeder.pov +// +// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.169; +#declare O = <0, 0, 0>; +#declare at = 0.02; + +camera { + location <-2, 3, -10> + look_at <0, 0.18, 0> + right 16/9 * x * imagescale + up y * imagescale +} + +//light_source { +// <-14, 20, -50> color White +// area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 +// adaptive 1 +// jitter +//} + +light_source { + <-41, 20, -20> color White + area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + +#declare v1 = <1,1,1>; +#declare v2 = <-1,1,-1>; +#declare farbe = rgbf<0.8,0.8,1.0,0.5>; + +#declare tetraederwinkel = acos(vdot(v1,v2)/(vlength(v1)*vlength(v2))); + +#declare O = < 0, 0, 0 >; +#declare A = < 0, 1, 0 >; +#declare B = < sin(tetraederwinkel), cos(tetraederwinkel), 0>; +#declare C = < sin(tetraederwinkel)*cos(2*pi/3), cos(tetraederwinkel), sin(2*pi/3)>; +#declare D = < sin(tetraederwinkel)*cos(2*pi/3), cos(tetraederwinkel), -sin(2*pi/3)>; + +#macro arrow(from, to, arrowthickness, c) +#declare arrowdirection = vnormalize(to - from); +#declare arrowlength = vlength(to - from); +union { + sphere { + from, 1.0 * arrowthickness + } + cylinder { + from, + from + (arrowlength - 8 * arrowthickness) * arrowdirection, + arrowthickness + } + cone { + from + (arrowlength - 8 * arrowthickness) * arrowdirection, + 2 * arrowthickness, + to - 3 * arrowthickness * arrowdirection, + 0 + } + pigment { + color c + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end + +union { + arrow(B, C, at, White) + arrow(D, C, at, White) + arrow(D, B, at, White) + arrow(B, A, at, White) + arrow(C, A, at, White) + arrow(D, A, at, White) + sphere { A, 4 * at } + sphere { B, 4 * at } + sphere { C, 4 * at } + sphere { D, 4 * at } + pigment { + color White + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} + +mesh { + triangle { A, B, C } + triangle { A, C, D } + triangle { A, D, B } + triangle { B, C, D } + pigment { + color farbe + } +// finish { +// specular 0.9 +// metallic +// } +} diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.tex new file mode 100644 index 0000000..e62770f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.tex @@ -0,0 +1,97 @@ +% +% tetraeder.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{7} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{tetraeder.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\def\knoten#1#2{ + %\fill[color=white,opacity=0.5] #1 circle[radius=0.2]; + \node at #1 {$#2$}; +} + +\knoten{(-2.2,-3.6)}{0}; +\knoten{( 3.3,-1.9)}{1}; +\knoten{(-3.4,-1.2)}{2}; +\knoten{(-0.75,3.6)}{3}; + +\def\s{0.2} + +\def\kante#1#2{ + %\fill[color=white,opacity=0.5] #1 circle[radius=0.2]; + \fill[color=white,opacity=0.5] + ($#1+(-\s,-\s)$) -- + ($#1+(+\s,-\s)$) -- + ($#1+(+\s,+\s)$) -- + ($#1+(-\s,+\s)$) -- cycle; + \node at #1 {$#2$}; +} + +\kante{(0.5,-2.8)}{k_0} +\kante{(-2.8,-2.3)}{k_1} +\kante{(-1.4,0)}{k_2} +\kante{(-0.4,-1.55)}{k_3} +\kante{(1.25,0.95)}{k_4} +\kante{(-2.08,1.1)}{k_5} + +\def\r{0.33} + +\def\flaeche#1#2{ + \fill[color=white,opacity=0.5] + ($#1+({-\r*cos(30)},{-\r*sin(30)})$) -- + ($#1+({\r*cos(30)},{-\r*sin(30)})$) -- + ($#1+(0,{\r})$) -- cycle; + \node at #1 {$#2$}; +} + +\flaeche{(-0.7,-5)}{f_0} +\draw (-0.7,-4.7) -- (-0.7,-3.25); +\draw[->,color=black!70] (-0.7,-3.06) -- (-0.7,-2.5); +\flaeche{(0.2,-0.5)}{f_1} +\flaeche{(-2.3,-0.7)}{f_2} +\coordinate (A) at (1,2.6); +\coordinate (B) at (0,1); + +\flaeche{($1.2*(A)-0.2*(B)$)}{f_3} + +\def\t{0.58} +\pgfmathparse{1-\t} +\xdef\T{\pgfmathresult} +\draw (A) -- ($\t*(A)+\T*(B)$); + +\def\t{0.48} +\pgfmathparse{1-\t} +\xdef\T{\pgfmathresult} +\draw[->,color=black!70] ($\t*(A)+\T*(B)$) -- (B); + + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/induzierteabb.tex b/buch/chapters/95-homologie/induzierteabb.tex new file mode 100644 index 0000000..13591d7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/induzierteabb.tex @@ -0,0 +1,204 @@ +\subsection{Induzierte Abbildung +\label{buch:subsection:induzierte-abbildung}} +Früher haben wurde eine Abbildung $f_*$ zwischen Kettenkomplexen $C_*$ und +$D_*$ so definiert, +dass sie mit den Randoperatoren verträglich sein muss. +Diese Forderung bewirkt, dass sich auch eine lineare Abbildung +\[ +H_k(f) \colon H_k(C) \to H_k(D) +\] +zwischen den Homologiegruppen ergibt, wie wir nun zeigen wollen. + +\subsubsection{Definition der induzierten Abbildung} +Um eine Abbildung von $H_k(C)$ nach $H_k(D)$ zu definieren, müssen wir +zu einem Element von $H_k(C)$ ein Bildelement konstruieren. +Ein Element in $H_k(C)$ ist eine Menge von Zyklen in $Z^C_k$, die sich +nur um einen Rand in $B_k$ unterscheiden. +Wir wählen also einen Zyklus $z\in Z_k$ und bilden ihn auf $f_k(z)$ ab. +Wegen $\partial^D_kf(z)=f\partial^C_kz = f(0) =0 $ ist auch $f_k(z)$ +ein Zyklus. +Wir müssen jetzt aber noch zeigen, dass eine andere Wahl des Zyklus +das gleiche Element in $H_k(D)$ ergibt. +Dazu genügt es zu sehen, dass sich $f(z)$ höchstens um einen Rand +ändert, wenn man $z$ um einen Rand ändert. +Sei also $b\in B^C_k$ ein Rand, es gibt also ein $w\in C_{k+1}$ mit +$\partial^C_{k+1}w=b$. +Dann gilt aber auch +\[ +f_k(z+b) += +f_k(z) + f_k(b) += +f_k(z) + f_k(\partial^C_{k+1}w) += +f_k(z) + \partial^D_{k+1}(f_k(w)). +\] +Der letzte Term ist ein Rand in $D_k$, somit ändert sich $f_k(z)$ nur +um diesen Rand, wenn man $z$ um einen Rand ändert. +$f_k(z)$ und $f_k(z+b)$ führen auf die selbe Homologieklasse. + +\subsubsection{Matrixdarstellung} +In Abschnitt~\ref{buch:subsection:basiswahl} wurde gezeigt, wie man +für die Vektorräume der Zyklen eine Basis derart finden kann, +dass die Ränder von einer Teilmenge der Basis aufgespannt werden. +Eine solche Basis kann man immer erweitern zu einer Basis von $C_k$. +Für das Folgende bezeichnen wir die Vektoren einer solche Basis von $C_k$ +mit +\[ +\{ +b_1,\dots, b_r, +z_1,\dots,z_l, +c_1,\dots,c_s +\}. +\] +wobei die Vektoren die folgende Bedeutung haben: +\begin{center} +\begin{tabular}{|l|l|} +\hline +Vektoren&Bedeutung\\ +\hline +$b_1,\dots,b_r$ & Basis für $B_k(C)$ \\ +$z_1,\dots,z_l$ & zusätzliche Vektoren für eine Basis von $Z_k(C)$ \\ +$c_1,\dots,c_s$ & zusätzliche Vektoren für eine Basis von $C_k$ \\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} + +Wählt man eine Basis dieser Art sowohl in $C_*$ wie auch in $D_*$, +dann kann man die induzierte Abbildung als $3\times 3$-Blockmatrix +schreiben. +Man verwendet dabei, dass $f_k$ die Unterräume $B_k(C)$ und +$Z_k(C)$ in die entsprechenden Unterräume $B_k(D)$ und $Z_k(D)$ +abbildet, also +\[ +f_k(B_k(C)) \subset B_k(D) +\qquad\text{und}\qquad +f_k(Z_k(C)) \subset Z_k(D). +\] +In der Matrixdarstellung äussert sich das darin, dass die Blöcke +links unten zu Null werden. +Die Matrixdarstellung von $f_k$ hat daher die Form +\[ +f_k += +\begin{pmatrix} +f_{k,B} & * & * \\ + 0 & f_{k,Z} & * \\ + 0 & 0 & f_{k,*} +\end{pmatrix}. +\] +Genauso kann man natürlich auch die Randoperatoren in dieser Basis +ausdrücken. +Sie bilden die Zyklen auf $0$ ab und aus den Vektoren $c_1,\dots,c_s$ +werden Ränder. +Die Matrix hat daher die Form +\[ +\partial_k += +\begin{pmatrix} +0& 0 & \Delta_k \\ +0& 0 & 0 \\ +0& 0 & 0 +\end{pmatrix} +\] +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/complexbasis.pdf} +\caption{Basiswahl für den Kettenkomplex $C_k$. +Der Randoperator $\partial_k$ bildet $Z_k$ auf $0$ ab, der blaue +Unterraum, aufgespannt von den Vektoren $c_i$, wird bijektiv auf $B_{k-1}$ +abgebildet. +Eine Basis kann immer so gefunden werden, dass die Vektoren $c_i$ +von $\partial_k$ auf die Basisvektoren von $B_{k-1}$ abgebildet werden. +In dieser Basis ist $\Delta_k$ eine Einheitsmatrix. +\label{buch:homologie:fig:komplexbasis}} +\end{figure}% +Die Bedingung \eqref{buch:komplex:abbildung} für die Komplexabbildung +bekommt jetzt die Matrixform +\begin{equation} +\left. +\begin{aligned} +\partial_k^{D}\circ f_k +&= +\begin{pmatrix} +0&0&\Delta_k^{(D)}\\ +0&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +f_{k,B} & * & * \\ + 0 & f_{k,Z} & * \\ + 0 & 0 & f_{k,*} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +0&0&\Delta_k^{(D)}f_{k,*}\\ +0&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} +\\ +f_{k-1}\circ \partial_k^C +&= +\begin{pmatrix} +f_{k-1,B}& * & * \\ + 0 &f_{k-1,Z}& * \\ + 0 & 0 &f_{k-1,*} +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0&0&\Delta_k^{(C)}\\ +0&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +0&0&f_{k-1,B}\Delta_k^{(C)}\\ +0&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} +\end{aligned} +\right\} +\Rightarrow +\Delta_k^{(D)}f_{k,*} += +f_{k-1,B}\Delta_k^{(C)}. +\label{buch:homologie:matrixform} +\end{equation} +Für die induzierte Abbildung in Homologie ist ausschliesslich der +Block $f_{k,Z}$ notwendig, die Matrix von $H_k(f)$ in der gewählten +Basis von $H_k(C)$ bzw.~$H_k(D)$ ist also genau die Matrix $f_{k,Z}$. + + +Wie Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:komplexbasis} können die +Basisvektoren $c_*$ in $C_k$ so gewählt werden, dass sie vom Randoperator +$\partial_k$ auf die Basisvektoren von $Z_{k-1}$ abgebildet werden. +Bei dieser Wahl wird die Matrix $\Delta_k$ eine Einheitsmatrix. + +\subsubsection{Spur} +Wir betrachten jetzt den Fall einer Selbstabbildung $f_*\colon C_*\to C_*$. +Die Basis soll so gewählt werden, dass $\Delta_k$ eine Einheitsmatrix ist. +Aus~\eqref{buch:homologie:matrixform} kann man ablesen, dass für diese +Basiswahl $f_{k,*}=f_{k-1,B}$ gilt. +Die Matrizen von $f_k$ haben daher die Form +\[ +f_k += +\begin{pmatrix} +f_{k,B} & * & * \\ + 0 & f_{k,Z} & * \\ + 0 & 0 & f_{k-1,B} +\end{pmatrix}. +\] +Entsprechend ist die Spur +\begin{equation} +\operatorname{Spur} f_k += +\operatorname{Spur} f_{k,B} ++ +\operatorname{Spur} f_{k,Z} ++ +\operatorname{Spur} f_{k-1,B}. +\label{buch:homologie:eqn:spur} +\end{equation} + + + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex index 6dd8efb..9787bb2 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex @@ -6,9 +6,107 @@ \section{Kettenkomplexe \label{buch:section:komplex}} \rhead{Kettenkomplexe} +Die algebraische Struktur, die in Abschnitt~\ref{buch:subsection:triangulation} +konstruiert wurde, kann noch etwas abstrakter konstruiert werden. +Es ergibt sich das Konzept eines Kettenkomplexes. +Die Triangulation gibt also Anlass zu einem Kettenkomplex. +So lässt sich zu einem geometrischen Objekt ein algebraisches +Vergleichsobjekt konstruieren. +Im Idealfall lassens ich anschliessend geometrische Eigenschaften mit +algebraischen Rechnungen zum Beispiel in Vektorräumen mit Matrizen +beantworten. -\subsection{Randoperator von Simplexen -\label{buch:subsection:randoperator-von-simplexen}} +\subsection{Definition +\label{buch:subsection:kettenkomplex-definition}} +Die Operation $\partial$, die für Simplizes konstruiert worden ist, +war linear und hat die Eigenschaft $\partial^2$ gehabt. +Diese Eigenschaften reichen bereits für Definition eines Kettenkomplexes. + +\begin{definition} +Eine Folge $C_0,C_1,C_2,\dots$ von Vektorräumen über dem Körper $\Bbbk$ +mit einer Folge von linearen Abbildungen +$\partial_k\colon C_k \to C_{k-1}$, dem {\em Randoperator}, +heisst ein Kettenkomplex, wenn $\partial_{k-1}\partial_k=0$ gilt +für alle $k>0$. +\end{definition} + +Die aus den Triangulationen konstruieren Vektorräme von +Abschnitt~\ref{buch:subsection:triangulation} bilden einen +Kettenkomplex. + +XXX nachrechnen: $\partial^2 = 0$ ? + +\subsection{Abbildungen +\label{buch:subsection:abbildungen}} +Wenn man verschiedene geometrische Objekte mit Hilfe von Triangulationen +vergleichen will, dann muss man auch das Konzept der Abbildungen zwischen +den geometrischen Objekten in die Kettenkomplexe transportieren. + +Eine Abbildung zwischen Kettenkomplexen muss einerseits eine lineare +Abbildung der Vektorräume $C_k$ sein, andererseits muss sich eine +solche Abbildung mit dem Randoperator vertragen. +Wir definieren daher + +\begin{definition} +Eine Abbildung $f_*$ zwischen zwei Kettenkomplexe $(C_*,\partial^C_*)$ und +$(D_*,\partial^D_*)$ heisst eine Abbildung von Kettenkomplexen, wenn +für jedes $k$ +\begin{equation} +\partial^D_k +\circ +f_{k} += +f_{k-1} +\circ +\partial^C_k +\label{buch:komplex:abbildung} +\end{equation} +gilt. +\end{definition} + +Die Beziehung~\eqref{buch:komplex:abbildung} kann übersichtlich als +kommutatives Diagramm dargestellt werden. +\begin{equation} +\begin{tikzcd} +0 + & C_0 \arrow[l, "\partial_0^C" above] + \arrow[d, "f_0"] + & C_1 \arrow[l,"\partial_1^C" above] + \arrow[d, "f_1"] + & C_2 \arrow[l,"\partial_2^C" above] + \arrow[d, "f_2"] + & \dots \arrow[l] + \arrow[l, "\partial_{3}^C" above] + & C_{k-1} + \arrow[l, "\partial_{k-1}^C" above] + \arrow[d, "f_{k-1}"] + & C_{k}\arrow[l, "\partial_{k}^C" above] + \arrow[d, "f_{k}"] + & \dots + \arrow[l,"\partial_{k+1}^C" above] +\\ +0 + & D_0 \arrow[l, "\partial_0^D" above] + & D_1 \arrow[l,"\partial_1^D" above] + & D_2 \arrow[l,"\partial_2^D" above] + & \dots \arrow[l] + \arrow[l, "\partial_{3}^D" above] + & D_{k-1} + \arrow[l, "\partial_{k-1}^D" above] + & D_{k}\arrow[l, "\partial_{k}^D" above] + & \dots + \arrow[l,"\partial_{k+1}^D" above] +\end{tikzcd} +\label{buch:komplex:abbcd} +\end{equation} +Die Relation~\eqref{buch:komplex:abbildung} drückt aus, dass man jeden +den Pfeilen im Diagram~\eqref{buch:komplex:abbcd} folgen kann und +dabei zwischen zwei Vektorräumen unabhängig vom Weg die gleiche Abbildung +resultiert. + +Die Verfeinerung einer Triangulation erzeugt eine solche Abbildung von +Komplexen. + + +% XXX simpliziale Approximation -\subsection{Kettenkomplexe und Morphismen -\label{buch:subsection:kettenkomplex}} diff --git a/buch/chapters/95-homologie/mayervietoris.tex b/buch/chapters/95-homologie/mayervietoris.tex deleted file mode 100644 index 57105f8..0000000 --- a/buch/chapters/95-homologie/mayervietoris.tex +++ /dev/null @@ -1,28 +0,0 @@ -% -% mayervietoris.tex -% -% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule -% -\section{Exaktheit und die Mayer-Vietoris-Folge -\label{buch:section:mayervietoris}} -\rhead{Exaktheit und die Mayer-Vietoris-Folge} -Die Berechnung der Homologie-Gruppen ist zwar im Wesentlichen ein -kombinatorisches Problem, trotzdem ist eher aufwändig. -Oft weiss man, wie sich toplogische Räume aus einfacheren Räumen -zusammensetzen lassen. -Eine Mannigkfaltigkeit zum Beispiel wird durch die Karten -definiert, also zusammenziehbare Teilmengen von $\mathbb{R}^n$, -die die Mannigkfaltigkeit überdecken. -Das Ziel dieses Abschnittes ist, Regeln zusammenzustellen, mit denen -man die Homologie eines solchen zusammengesetzten Raumes aus der -Homologie der einzelnen Teile und aus den ``Verklebungsabbildungen'', -die die Teile verbinden, zu berechnen. - -\subsection{Kurze exakte Folgen von Kettenkomplexen -\label{buch:subsection:exaktefolgen}} - -\subsection{Schlangenlemma und lange exakte Folgen -\label{buch:subsection:schlangenlemma}} - -\subsection{Mayer-Vietoris-Folge -\label{buch:subsection:mayervietoris}} diff --git a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex index 5ca2ca8..3bf1004 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex @@ -1,17 +1,17 @@ % -% simplex.tex -- simplizes und simpliziale Komplexe +% simplex.tex -- simplizes und Polyeder % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Simplexe und simpliziale Komplexe +\section{Simplizes \label{buch:section:simplexe}} -\rhead{Simplexe und simpliziale Komplexe} +\rhead{Simplizes} Die Idee, das Dreieck und seinen Rand zu unterscheiden verlangt, dass wir zunächst Dreiecke und deren höherdimensionale Verallgemeinerungen, die sogenannten Simplizes entwickeln müssen. -\subsection{Simplexe und Rand -\label{buch:subsection:simplexe}} +\subsection{Simplizes und Rand +\label{buch:subsection:simplices}} \subsubsection{Rand eines Dreiecks} Die Inzidenz-Matrix eines Graphen hat einer Kante die beiden Endpunkte @@ -231,8 +231,127 @@ Vorzeichen zu, die Matrix ist \] \end{definition} +\subsection{Polyeder} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/polyeder.pdf} +\caption{Aufbau eines zweidimensionalen Polyeders aus +verschiedenen Simplizes. +Die Schnittmenge zweier Simplizes muss ein Untersimplex beider Simplizes +sein. +Die roten Kreise im linken Bild weisen auf verschiedene Situationen +hin, wo das diese Bedingung nicht erfüllt ist. +In rechten Bild sind zusätzliche Simlizes hinzugefügt worden, um +die Bedingungen eines Polyeders zu erfüllen. +\label{buch:homologie:figure:polyeder}} +\end{figure} +Aus einzelnen Simplizes können jetzt kompliziertere geometrische +Objekte gebaut werden. +Ein Graph ist ein Beispiel für ein geometrisches Objekt, welches +als Vereinigung von 1-Simplizes entsteht. +Die Vereinigung ist aber nicht beliebig, vielmehr ist die Schnittmenge +zweier beliebiger 1-Simplizes immer entweder leer, eine Menge +mit nur einem Vertex oder ein ganzes 1-Simplex. + +Dies reicht aber nicht, wie Abbildung~\ref{buch:homologie:polyeder} +zeigt. +In einem Graphen dürfen sich Kanten nicht in einem inneren Punkt treffen, +sondern nur in Endpunkten. +Verallgemeinert auf höherdimensionale Simplizes kann man dies als die +Bedingung formulieren, dass die Schnittmenge zweier beliebiger +Simplizes immer Untersimplizes beider Simplizes sein müssen. +Wir fassen dies zusammen in der folgenden Definition. + +\begin{definition} +\index{Polyeder}% +\index{Dimension eines Polyeders}% +\index{Polyeder, Dimension eines}% +Ein {\em Polyeder} ist eine Vereingung von endlich vielen Simplizes derart, +dass die Schnittmenge zweier beliebiger Simplizes immer ein Untersimplex +beider Simplizes ist. +Die {\em Dimension} des Polyeders ist die grösste Dimension der darin +enthaltenen Simplizes. +\end{definition} + +Ein Graph ist nach dieser Definition ein eindimensionales Polyeder. +Die Mengen in der Abbildung~\ref{buch:homologie:figure:polyeder} +ist kein Polyeder, kann aber leicht zu einem Polyeder gemacht werden, +indem man einzelne Kanten mit zusätzlichen Punkten unterteilt. +Auch müssen die zweidimensionalen Simplizes aufgeteilt werden. + +Die Abbildung~\ref{buch:homologie:figure:polyeder} zeigt auch, dass +die Darstellung einer Punktmenge als Polyeder nicht eindeutig ist. +Man kann die Kanten und Flächen jederzeit weiter unterteilen, ohne +dass sich die Gestalt der gesamten Menge dadurch ändert. \subsection{Triangulation -\label{buch:subsection:}} +\label{buch:subsection:triangulation}} +Unser Ziel ist, geometrische Objekte besser verstehen zu können. +Dabei sind uns Deformationen ja sogar Knicke egal, es interessiert uns +nur die ``Gestalt'' des Objekts. +Entfernungen zwischen Punkten sind ebenfalls von untergeordneter +Bedeutung, da sie bei Deformation nicht erhalten bleiben. +Der Begriff des ``topologischen Raumes'' fasst diese Ideen mathematisch +präzise ein, eine genaue Definition würde aber an dieser Stelle zu weit +führen. +Stattdessen beschränken wir uns auf eine Klasse von Punktmengen, die man +mit Simplizes beschreiben kann. + +Ein topologischer Raum zeichnet sich durch einen Nachbarschaftsbegriff +von Punkte aus, der erlaubt zu definieren, was eine stetige Abbildung ist. +Ein stetige Abbildungen bildet nahe beeinander liegende Punkte wieder +auf nahe beeinander liegende Punkte ab. +Dass nahe liegende Punkte nicht plötzlich auf weit auseinander liegende +Punkte abgebildet werden gibt die Intuition wieder, dass Deformationen +möglich sein sollen, dass der Raum dabei aber nicht ``reissen'' darf. +Zwei topologische Räume $X$ und $Y$ können daher als ``gleichgestaltig'' +betrachtet werden, wenn es zwei stetige Abbildungen $f\colon X\to Y$ +und $g\colon Y\to X$ gibt, die zu einander invers sein. +Oder wenn sich $X$ stetig auf $Y$ abbilden lässt, so dass auch die +Umkehrabbildung stetig ist. +Eine solche Abbildung heisst ein {\em Homöomorphismus}, die beiden Räume +$X$ und $Y$ heissen {\em homomorph}. + +Eine Kugel ist natürlich kein Polyeder, aber sie kann leicht homöomorph +auf ein dreidimensionales Simplex abgebildet werden. + +\begin{beispiel} +Sei $T$ ein reguläres Tetraeder mit den Ecken auf der dreidimensionalen +Einheitskugel $B^3$. +Für jeden Richtungsvektor $x\ne 0$ sei $l(x)$ Entfernung vom Mittelpunkt des +Tetraeders bis zum Durchstosspunkt einer Geraden durch den Mittelpunkt +mit Richtungsvektor $x$ durch die Oberfläche des Tetraeders. +Dann sind die Abbildungen +\[ +f\colon +T\to B^3 +: +x \mapsto\begin{cases} +\displaystyle +\frac{x}{l(x)}&\quad\text{für $x\ne 0$}\\ +0&\quad\text{für $x=0$} +\end{cases} +\qquad\text{und}\qquad +g\colon +B^3\to T +: +x \mapsto\begin{cases} +l(x) x&\quad\text{für $x\ne 0$}\\ +0&\quad\text{für $x=0$} +\end{cases} +\] +zueinander inverse stetige Abbildungen oder Homöomorphismen. +\end{beispiel} + +Im Folgenden sollen daher nur solche topologischen Räume untersucht werden, +die homöomorph sind zu einem Polyeder. +Man nennt die homöomorphe Abbildung eines Polyeders auf so einen Raum +auch eine Triangulation. +Durch Unterteilung der Simplizes in kleiner Simplizes kann eine solche +Triangulation beliebig verfeinert werden. + + + + |
