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path: root/buch/chapters
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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-08-24 17:21:53 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-08-24 17:21:53 +0200
commit13304c02851094180b714d71451f279966fb582f (patch)
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SeminarMatrizen-13304c02851094180b714d71451f279966fb582f.zip
simpliziale Approximation
Diffstat (limited to 'buch/chapters')
-rw-r--r--buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex87
-rw-r--r--buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex11
-rw-r--r--buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex18
-rw-r--r--buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex5
-rw-r--r--buch/chapters/95-homologie/images/Makefile9
-rw-r--r--buch/chapters/95-homologie/images/approx.m77
-rw-r--r--buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdfbin0 -> 32134 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex69
-rw-r--r--buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdfbin17163 -> 17362 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex3
-rw-r--r--buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdfbin11647 -> 11791 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex17
-rw-r--r--buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdfbin16779 -> 17039 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex15
14 files changed, 260 insertions, 51 deletions
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
index 6cf49c2..f720c76 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
@@ -4,9 +4,9 @@ Die Definition der Homologiegruppen $H_k(C)$ als Quotient von
Vektorräumen ist ziemlich abstrakt.
Sie besteht aus Klassen von Zyklen, die sich höchstens um einen
Rand unterscheiden.
-% XXX Verweise auf Visualisierung
Indem wir eine geeignete Basis wählen, können wir konkrete Zyklen
identifizieren, die eine Basis für den Vektorraum $H_k(C)$ bilden.
+Dies soll im Folgenden schrittweise durchgeführt werden.
\begin{figure}
\centering
@@ -47,7 +47,7 @@ Sie ist
\setcounter{MaxMatrixCols}{27}
\partial_1
=
-\tiny
+\footnotesize
\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{pmatrix*}[r]
%1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
@@ -69,32 +69,37 @@ Sie ist
\end{pmatrix*}
\]
Die reduzierte Zeilenstufenform von $\partial_1$ ist
+(Pivotpositionen in {\color{red}rot}, frei wählbare Variablen
+in {\color{darkgreen}grün})
\begin{center}
-\tiny
+%\tiny
+\scriptsize
+%\footnotesize
\setlength\tabcolsep{3pt}
\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
\hline
-&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27\\
+ & 1& 2& 3& 4& 5&{\color{darkgreen}6}& 7&{\color{darkgreen}8}& 9&{\color{darkgreen}10}&11&{\color{darkgreen}12}&{\color{darkgreen}13}&{\color{darkgreen}14}&15&{\color{darkgreen}16}&17&{\color{darkgreen}18}&19&{\color{darkgreen}20}&21&{\color{darkgreen}22}&23&{\color{darkgreen}24}&{\color{darkgreen}25}&26&{\color{darkgreen}27}\\
\hline
- 1&1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
- 2&0& 1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
- 3&0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
- 4&0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
- 5&0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
- 6&0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
- 7&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
- 8&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
- 9&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
-10&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
-11&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 1& 1& 0&-1\\
-12&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 1& 0&-1\\
-13&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1&-1& 0& 1\\
-14&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1\\
-15&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 1&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 2& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 3& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 4& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 5& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 6& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 7& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
+ 8& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 9& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+10& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
+11& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 1& 1& 0&-1\\
+12& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 1& 0&-1\\
+13& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1&-1& 0& 1\\
+14& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1\\
+15& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
\hline
\end{tabular}.
\end{center}
-Daraus kann man die Zyklen wie folgt ablesen:
+Daraus kann man die Zyklen wie folgt ablesen, indem man jeweils
+genau eine frei wählbare Variable auf $1$ setzt:
{
\begin{align*}
z_1
@@ -365,7 +370,7 @@ z_8 % variable 18 = 1
-1\\
0\\
0\\
- 1\\
+-1\\
0\\
0\\
0\\
@@ -569,7 +574,7 @@ Aus den Abbildungen~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} und
\ref{buch:homologie:fig:homoboundaries} kann man auch ablesen,
wie die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ aus den Zyklen von $\mathcal{Z}_1$
linear kombiniert werden können.
-Man erhält so die Beziehungen.
+Man erhält so die Beziehungen
\begin{equation}
\setcounter{MaxMatrixCols}{29}
\setlength\arraycolsep{1pt}
@@ -578,11 +583,11 @@ Man erhält so die Beziehungen.
\partial_2e_2^{(2)} &=& & &z_2& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
\partial_2e_3^{(2)} &=& & & & &z_3& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
\partial_2e_4^{(2)} &=& & & & & & &z_4& & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
-\partial_2e_5^{(2)} &=& & & & & & & &-&z_5& & &+&z_7& & & & & & & & & & & & \\
-\partial_2e_6^{(2)} &=& & & & & & & & & &-&z_6& & &+&z_8& & & & & & & & & & \\
+\partial_2e_5^{(2)} &=& & & & & & & & &z_5& & &+&z_7& & & & & & & & & & & & \\
+\partial_2e_6^{(2)} &=& & & & & & & & & & &z_6& & &+&z_8& & & & & & & & & & \\
\partial_2e_7^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & &z_{10}& & & & & & \\
\partial_2e_8^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &z_{11}& & & & \\
-\partial_2e_9^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &-&z_{12}&+&z_{13}
+\partial_2e_9^{(2)} &=& &\phantom{+}& &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & & &z_{12}&+&z_{13}
\end{array}
\end{equation}
Dies reicht jedoch nicht, um herauszufinden, welche der blauen Dreiecke
@@ -766,31 +771,33 @@ mit Hilfe von Rändern der Zeilen 1--9 kombiniert werden können.
\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1& & & 1&\phantom{-}1& & & \\
\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\
\hline
-% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
-\scriptstyle z_{ 1}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
-\scriptstyle z_{ 2}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
-\scriptstyle z_{ 3}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
-\scriptstyle z_{ 4}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
-\scriptstyle z_{ 5}& & & & & & 1& 1& & & & & & & &-1&-1& & & & & & & & & & & \\
-\scriptstyle z_{ 6}& & & & & & & & & & 1& 1& & & & & &-1&-1& & & & & & & & & \\
-\scriptstyle z_{ 7}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
-\scriptstyle z_{ 8}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
-\scriptstyle z_{ 9}& & & & & & & & 1& 1& & & & & & & 1& 1& & & &-1&-1&-1&-1& & & \\
-\scriptstyle z_{10}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
-\scriptstyle z_{11}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
-\scriptstyle z_{12}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& 1& & &-1&-1\\
-\scriptstyle z_{13}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
+% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
+\scriptstyle z_{ 1}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
+\scriptstyle z_{ 2}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
+\scriptstyle z_{ 3}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
+\scriptstyle z_{ 4}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
+\scriptstyle z_{ 5}'& & & & & & 1& 1& & & & & & & &-1&-1& & & & & & & & & & & \\
+\scriptstyle z_{ 6}'& & & & & & & & & & 1& 1& & & & & &-1&-1& & & & & & & & & \\
+\scriptstyle z_{ 7}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
+\scriptstyle z_{ 8}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
+\scriptstyle z_{ 9}'& & & & & & & & 1& 1& & & & & & & 1& 1& & & &-1&-1&-1&-1& & & \\
+\scriptstyle z_{10}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
+\scriptstyle z_{11}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
+\scriptstyle z_{12}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& 1& & &-1&-1\\
+\scriptstyle z_{13}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Nach Durchführung der Vorwärtsreduktion kann man die Zyklen
ablesen, die nicht für eine Basis von $H_1$ gebraucht werden.
+Die resultierenden Zyklen sind in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses}
+dargestellt.
\label{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf}
-\caption{Repräsentanten für die Reduzierten Klassen aus dem
+\caption{Repräsentanten für die reduzierten Klassen aus dem
Tableau von
Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert},
sie bilden eine Basis der Homologie-Gruppe $H_1$.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex
index 1f61a29..03e389b 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex
@@ -10,7 +10,7 @@ Euler hat für dreidimensionale Polyeder eine Invariante gefunden,
die unabhängig ist von der Triangulation.
\begin{definition}
-\label{buch:homologie:def:eulerchar}
+\label{buch:homologie:def:eulerchar0}
Ist $E$ die Anzahl der Ecken, $K$ die Anzahl der Kanten und $F$
die Anzahl der Flächen eines dreidimensionalen Polyeders $P$, dann
heisst
@@ -32,6 +32,7 @@ Vektorräume $B_k(C)$ und $Z_k(C)$ grösser werden.
Kann man eine Grösse analog zu $\chi(P)$ finden, die sich nicht ändert?
\begin{definition}
+\label{buch:homologie:def:eulerchar}
Sei $C$ ein Kettenkomplex, dann heisst
\[
\chi(C) = \sum_{k=0}^n (-1)^k\dim H_k(C)
@@ -39,6 +40,14 @@ Sei $C$ ein Kettenkomplex, dann heisst
die Euler-Charakteristik von $C$.
\end{definition}
+Die Summe in Definition~\ref{buch:homologie:def:eulerchar} erstreckt
+sich bis zum Index $n$, der Dimension des Simplexes höchster Dimension
+in einem Polyeder.
+Für $k>n$ ist $H_k(C)=0$, es ändert sich also nichts, wenn wir
+die Summe bis $\infty$ erstrecken, da die zusätzlichen Terme alle
+$0$ sind.
+Wir werden dies im folgenden zur Vereinfachung der Notation tun.
+
Die Definition verlangt, dass man erst die Homologiegruppen
berechnen muss, bevor man die Euler-Charakteristik bestimmen
kann.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
index 80daaee..b3b184e 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
@@ -54,6 +54,18 @@ Dimension, die Matrizen $H_k(f)$ sind also relativ klein.
Es ist aber nicht klar, dass beide Berechnungsmethoden für die
Lefshetz-Zahl auf das gleiche Resultat führen müssen.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/95-homologie/images/approximation.pdf}
+\caption{Stückweise lineare Approximation einer Abbildung derart,
+dass die Bildpunkt von Knoten auf Gitterpunkte fallen.
+Die Abbildung wird damit zu einer Abbildung von Polyedern und
+die induzierte Abbildung der Kettenkomplexe lässt sich direkt berechnen.
+Wenn die Auflösung des Gitters klein genug ist, hat die Approximation
+einer Abbildung ohne Fixpunkte immer noch keine Fixpunkte.
+\label{buch:homologie:fig:simplapprox}}
+\end{figure}%
+
\begin{proof}[Beweis]
Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:induzierte-abbildung} wurde gezeigt,
dass die Basis des Komplexes immer so gewählt werden kann, dass für
@@ -78,7 +90,7 @@ werden:
\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B})
\\
&=
-\sum_{k=0} (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}).
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}).
\intertext{Die Abbildung $H_k(f)$ hat $f_{k,Z}$ als Matrix, also ist
die letzte Form gleichbedeutend mit}
&=
@@ -100,6 +112,7 @@ ist $\lambda(f) \ne 0$, dann hat $f$ einen Fixpunkt.
Im Folgenden soll nur ein heuristisches Argument gegeben werden, warum
ein solcher Satz wahr sein könnte.
+
Wenn eine Abbildung keinen Fixpunkt hat, dann ist $f(x) \ne x$ für alle
Punkte von $X$.
Da $X$ kompakt ist, gibt es einen minimalen Abstand $d$ zwischen $f(x)$ und $x$.
@@ -109,6 +122,9 @@ Punkte im selben Simplex oder in einem Nachbarsimplex abgebildet wird.
Indem man nötigenfalls die Triangulation nochmals verfeinert, kann man auch
genügend Platz schaffen, dass man die Abbildung $f$ etwas modifizieren kann,
so dass auch die deformierte Abbildung immer noch diese Eigenschaft hat.
+Die Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:simplapprox} illustriert, wie eine
+Abbildung durch eine andere approximiert werden kann, die die Triangulation
+im Bildraum respektiert.
Die zugehörige Abbildung des Kettenkomplexes der Triangulation hat damit
die Eigenschaft, dass kein Basisvektor auf sich selbst abgebildet wird.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex
index 9874ddd..383c8df 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex
@@ -1,3 +1,8 @@
+%
+% homologieketten.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
\subsection{Homologie eines Kettenkomplexes
\label{buch:subsection:homologie-eines-kettenkomplexes}}
Wegzusammenhang lässt sich untersuchen, indem man in der Triangulation
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile
index 50c2b0d..bc85c55 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile
@@ -4,7 +4,8 @@
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
all: complexbasis.pdf homocycles.pdf homoboundaries.pdf homoclasses.pdf \
- gausshomoex.pdf gausshomobasis.pdf dreieck.pdf polyeder.pdf
+ gausshomoex.pdf gausshomobasis.pdf dreieck.pdf polyeder.pdf \
+ approximation.pdf
dreieck.pdf: dreieck.tex
pdflatex dreieck.tex
@@ -30,3 +31,9 @@ homoclasses.pdf: homoclasses.tex
complexbasis.pdf: complexbasis.tex
pdflatex complexbasis.tex
+approximation.pdf: approximation.tex approx.tex
+ pdflatex approximation.tex
+
+approx.tex: approx.m
+ octave approx.m
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m b/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m
new file mode 100644
index 0000000..0db41c2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m
@@ -0,0 +1,77 @@
+#
+# approx.m
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+x = zeros(7,7);
+y = zeros(7,7);
+
+s = 1.05;
+
+for i = (1:7)
+ winkel = (i-1) * 8.333333 + 20;
+ for j = (1:7)
+ radius = (j-1) * 0.5 + 3;
+ x(i,j) = 1.05 * radius * cosd(winkel);
+ y(i,j) = 1.05 * radius * sind(winkel);
+ endfor
+endfor
+
+X = x;
+Y = y;
+for i = (1:7)
+ for j = (1:7)
+ X(i,j) = round(2 * x(i,j)) / 2;
+ Y(i,j) = round(2 * y(i,j)) / 2;
+ endfor
+endfor
+
+fn = fopen("approx.tex", "w");
+
+
+for i = (1:6)
+ for j = (1:6)
+ winkel = (i-1+0.6666) * 8.33333 + 20;
+ radius = (j-1+0.3333) * 0.5 + 3;
+ fprintf(fn, "\\definecolor{mycolor}{rgb}{%.2f,%.2f,%.2f};\n",
+ (winkel - 20) / 50, 0.8, (radius-3)/3);
+ fprintf(fn, "\\fill[color=mycolor] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- cycle;\n",
+ X(i,j), Y(i,j),
+ X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1),
+ X(i+1,j), Y(i+1,j));
+ winkel = (i-1+0.3333) * 8.33333 + 20;
+ radius = (j-1+0.6666) * 0.5 + 3;
+ fprintf(fn, "\\definecolor{mycolor}{rgb}{%.2f,%.2f,%.2f};\n",
+ (winkel - 20) / 50, 0.8, (radius-3)/3);
+ fprintf(fn, "\\fill[color=mycolor] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- cycle;\n",
+ X(i,j), Y(i,j),
+ X(i,j+1), Y(i,j+1),
+ X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1));
+ endfor
+endfor
+
+linewidth = 0.4;
+
+fprintf(fn, "\\gitter\n");
+
+for i = (1:7)
+ for j = (1:6)
+ fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth,
+ X(i,j), Y(i,j), X(i,j+1), Y(i,j+1));
+ endfor
+endfor
+for i = (1:6)
+ for j = (1:7)
+ fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth,
+ X(i,j), Y(i,j), X(i+1,j), Y(i+1,j));
+ endfor
+endfor
+for i = (1:6)
+ for j = (1:6)
+ fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth,
+ X(i,j), Y(i,j), X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1));
+ endfor
+endfor
+
+fclose(fn)
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf
new file mode 100644
index 0000000..8bdd2e7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex
new file mode 100644
index 0000000..042f0e2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex
@@ -0,0 +1,69 @@
+%
+% approximation.tex -- Approximation einer Abbildung durch eine simpliziale
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1.3}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0}
+\definecolor{darkred}{rgb}{0,0,0}
+
+\def\gitter{
+ \foreach \x in {1,1.5,...,6}{
+ \draw[color=gray] (\x,1) -- (\x,6);
+ \draw[color=gray] (1,\x) -- (6,\x);
+ }
+}
+
+\def\s{1.05}
+
+\def\colorsector{
+ \foreach \r in {3,3.2,...,5.8}{
+ \foreach \a in {20,...,69}{
+ \pgfmathparse{(\a-20)/50}
+ \xdef\rot{\pgfmathresult}
+ \pgfmathparse{(\r-3)/3}
+ \xdef\blau{\pgfmathresult}
+ \definecolor{mycolor}{rgb}{\rot,0.8,\blau}
+ \fill[color=mycolor]
+ (\a:{\s*\r}) -- (\a:{\s*(\r+0.2)}) -- ({\a+1}:{\s*(\r+0.2)}) -- ({\a+1}:{\s*\r}) -- cycle;
+ }
+ }
+}
+
+\begin{scope}[xshift=0cm]
+\colorsector
+\gitter
+\foreach \r in {3,3.5,...,6.0}{
+ \draw[color=black,line width=0.4pt] (20:{\s*\r}) arc (20:70:{\s*\r});
+}
+\foreach \a in {20,28.3333,...,70}{
+ \draw[color=black,line width=0.4pt] (\a:{\s*3}) -- (\a:{\s*6});
+}
+\begin{scope}
+\clip (20:{\s*3}) -- (20:{\s*6}) arc (20:70:{\s*6}) -- (70:{\s*3});
+\foreach \a in {-5,...,5}{
+ \draw[color=black,line width=0.4pt]
+ plot[domain={20+8.33333*\a}:{70+8.3333*\a},samples=100]
+ (\x:{\s*(3+3*(\x-(20+8.3333*\a))/50)});
+}
+\end{scope}
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=5.5cm]
+\input{approx.tex}
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf
index 644f334..fb94ec8 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex
index ef8fd1a..53087fa 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex
@@ -14,7 +14,7 @@
\def\skala{1}
\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-\def\s{0.4}
+\def\s{0.55}
\def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})}
\def\A{\punkt{0}{0}}
@@ -41,6 +41,7 @@
\def\blau#1#2{
\draw[color=blue] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
-- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle;
+ \draw[->,color=blue] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2};
}
\def\gebiet{
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf
index 217ae75..fbbaedd 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex
index e325d9b..4467f08 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
%
-% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+% homoclasses.tex -- template for standalon tikz images
%
% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
%
@@ -11,11 +11,12 @@
\usepackage{csvsimple}
\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
\begin{document}
-\def\skala{1}
+\def\skala{1.4}
\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
\def\s{0.4}
+\def\h{-0.3}
\def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})}
\def\A{\punkt{0}{0}}
@@ -77,25 +78,29 @@
\begin{scope}
\gebiet
\draw[color=darkgreen] \B -- \G -- \J -- \F -- cycle;
-\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_5'$};
+\draw[->,color=darkgreen] \B -- \G;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_5'$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=2cm]
\gebiet
\draw[color=darkgreen] \D -- \I -- \L -- \H -- cycle;
-\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_6'$};
+\draw[->,color=darkgreen] \D -- \I;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_6'$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4cm]
\gebiet
\draw[color=darkgreen] \C -- \L -- \N -- \K -- \M -- \J -- cycle;
-\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_9'$};
+\draw[->,color=darkgreen] \C -- \L;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_9'$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=6cm]
\gebiet
\draw[color=darkgreen] \K -- \N -- \O -- \M -- cycle;
-\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_{12}'$};
+\draw[->,color=darkgreen] \K -- \N;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_{12}'$};
\end{scope}
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf
index 075bb65..b68519e 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex
index 898cac6..8f20a0c 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex
@@ -75,79 +75,92 @@
\begin{scope}
\gebiet
-\draw[color=red] \A -- \B -- \F -- cycle;
+\draw[->,color=red] \A -- \B -- \F -- cycle;
+\draw[->,color=red] \A -- \B;
\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_1$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=2cm]
\gebiet
\draw[color=red] \B -- \C -- \G -- cycle;
+\draw[->,color=red] \B -- \C;
\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_2$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4cm]
\gebiet
\draw[color=red] \C -- \D -- \H -- cycle;
+\draw[->,color=red] \C -- \D;
\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_3$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=6cm]
\gebiet
\draw[color=red] \D -- \E -- \I -- cycle;
+\draw[->,color=red] \D -- \E;
\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_4$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=8cm]
\gebiet
\draw[color=red] \A -- \B -- \G -- \F -- cycle;
+\draw[<-,color=red] \A -- \B;
\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_5$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=10cm]
\gebiet
\draw[color=red] \C -- \D -- \I -- \H -- cycle;
+\draw[<-,color=red] \C -- \D;
\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_6$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=12cm]
\gebiet
\draw[color=red] \A -- \B -- \G -- \J -- \F -- cycle;
+\draw[->,color=red] \A -- \B;
\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_7$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-3cm]
\gebiet
\draw[color=red] \C -- \D -- \I -- \L -- \H -- cycle;
+\draw[->,color=red] \C -- \D;
\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_8$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=2cm,yshift=-3cm]
\gebiet
\draw[color=red] \A -- \B -- \C -- \H -- \L -- \K -- \J -- \F -- cycle;
+\draw[<-,color=red] \A -- \B;
\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_9$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4cm,yshift=-3cm]
\gebiet
\draw[color=red] \J -- \K -- \M -- cycle;
+\draw[->,color=red] \J -- \K;
\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{10}$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=6cm,yshift=-3cm]
\gebiet
\draw[color=red] \A -- \B -- \C -- \H -- \L -- \N -- \K -- \J -- \F -- cycle;
+\draw[->,color=red] \A -- \B;
\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{11}$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=8cm,yshift=-3cm]
\gebiet
\draw[color=red] \J -- \K -- \N -- \M -- cycle;
+\draw[<-,color=red] \J -- \K;
\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{12}$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=10cm,yshift=-3cm]
\gebiet
\draw[color=red] \J -- \K -- \N -- \O -- \M -- cycle;
+\draw[->,color=red] \J -- \K;
\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{13}$};
\end{scope}