Kapitel 2 überarbeitet

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index 4a2342e..440cc73 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
@@ -181,6 +181,7 @@ Ein Körper $\Bbbk$ zeichnet sich dadurch aus, dass alle ELemente ausser $0$
 invertierbar sind. 
 Diese wichtige Teilmenge wird mit $\Bbbk^* = \Bbbk \setminus\{0\}$ mit
 bezeichnet.
+\label{buch:zahlen:def:bbbk*}
 In dieser Relation sind beliebige Multiplikationen ausführbar, das Element
 $1\in\Bbbk^*$ ist neutrales Element bezüglich der Multiplikation.
 Die Menge $\Bbbk^*$ trägt die Struktur einer Gruppe, siehe dazu auch
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index 9e1d3dc..594b94e 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex
@@ -10,10 +10,13 @@ vorhanden.
 Die Menge der Matrizen $M_n(\Bbbk)$ ist sowohl ein Ring als auch
 ein Vektorraum.
 Man nennt eine {\em $\Bbbk$-Algebra} oder {\em Algebra über $\Bbbk$}
+\index{k-Algebra@$\Bbbk$-Algebra}%
+\index{Algebra}%
 ein Ring $A$, der auch eine $\Bbbk$-Vektorraum ist.
 Die Multiplikation des Ringes muss dazu mit der Skalarmultiplikation
 verträglich sein.
 Dazu müssen Assoziativgesetze
+\index{Assoziativgesetz}
 \[
 \lambda(\mu a) = (\lambda \mu) a
 \qquad\text{und}\qquad
@@ -42,7 +45,8 @@ beinhaltet aber auch das Distributivgesetz.
 $M_n(\Bbbk)$ ist eine Algebra.
 
 \subsubsection{Die Algebra der Funktionen $\Bbbk^X$}
-Sie $X$ eine Menge und $\Bbbk^X$ die Menge aller Funktionen $X\to \Bbbk$.
+Sei $X$ eine Menge und $\Bbbk^X$ die Menge aller Funktionen $X\to \Bbbk$.
+\index{kX@$\Bbbk^X$}%
 Auf $\Bbbk^X$ kann man Addition, Multiplikation mit Skalaren und
 Multiplikation von Funktionen punktweise definieren.
 Für zwei Funktion $f,g\in\Bbbk^X$ und $\lambda\in\Bbbk$ definiert man
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index cb37d05..febf726 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
@@ -8,20 +8,23 @@
 Die kleinste sinnvolle Struktur ist die einer Gruppe.
 Eine solche besteht aus einer Menge $G$ mit einer Verknüpfung,
 die additiv
+\index{additive Verknüpfung}%
 \begin{align*}
-G\times G \to G&: (g,h) = gh
-\intertext{oder multiplikativ }
 G\times G \to G&: (g,h) = g+h
+\intertext{oder multiplikativ }
+G\times G \to G&: (g,h) = gh
 \end{align*}
+\index{multiplikative Verknüpfung}%
 geschrieben werden kann.
 Ein Element $0\in G$ heisst {\em neutrales Element} bezüglich der additiv
+\index{neutrales Element}%
 geschriebenen Verknüpfung falls $0+x=x$ für alle $x\in G$.
 \index{neutrales Element}%
 Ein Element $e\in G$ heisst neutrales Element bezüglich der multiplikativ 
 geschriebneen Verknüpfung, wenn $ex=x$ für alle $x\in G$.
 In den folgenden Definitionen werden wir immer die multiplikative
-Schreibweise verwenden, für Fälle additiv geschriebener siehe auch die
-Beispiele weiter unten.
+Schreibweise verwenden, für Fälle additiv geschriebener Verknüpfungen
+siehe auch die Beispiele weiter unten.
 
 \begin{definition}
 \index{Gruppe}%
@@ -32,24 +35,28 @@ Eigenschaften:
 \begin{enumerate}
 \item
 Die Verknüpfung ist assoziativ: $(ab)c=a(bc)$ für alle $a,b,c\in G$.
+\index{assoziativ}%
 \item
 Es gibt ein neutrales Element $e\in G$
 \item
 Für jedes Element $g\in G$ gibt es ein Element $h\in G$ mit 
 $hg=e$.
 \end{enumerate}
-Das Element $h$ heisst auch das Inverse Element zu $g$.
+Das Element $h$ heisst auch das inverse Element zu $g$.
+\index{inverses Element}%
 \end{definition}
 
 Falls nicht jedes Element invertierbar ist, aber wenigstens ein neutrales
 Element vorhanden ist, spricht man von einem {\em Monoid}.
 \index{Monoid}%
-Hat man nur eine Verknüpfung, spricht man oft von einer {\em Halbruppe}.
+Hat man nur eine Verknüpfung, aber kein neutrales Element,
+spricht man oft von einer {\em Halbruppe}.
 \index{Halbgruppe}%
 
 \begin{definition}
 Eine Gruppe $G$ heisst abelsch, wenn $ab=ba$ für alle $a,b\in G$.
 \end{definition}
+\index{abelsch}%
 
 Additiv geschrieben Gruppen werden immer als abelsch angenommen,
 multiplikativ geschrieben Gruppen können abelsch oder nichtabelsch sein.
@@ -63,7 +70,9 @@ Das additive Inverse eines Elementes $a$ ist $-a$.
 \end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}
-Die von Null verschiedenen Elemente $\Bbbk^*$ eines Zahlekörpers bilden
+Die von Null verschiedenen Elemente $\Bbbk^*=\Bbbk\setminus\{0\}$ (definiert
+auf Seite~\pageref{buch:zahlen:def:bbbk*})
+eines Zahlekörpers bilden
 bezüglich der Multiplikation eine Gruppe mit neutralem Element $1$.
 Das multiplikative Inverse eines Elementes $a\in \Bbbk$ mit $a\ne 0$
 ist $a^{-1}=\frac1{a}$.
@@ -75,7 +84,7 @@ dem Nullvektor als neutralem Element.
 Betrachtet man $\Bbbk^n$ als Gruppe, verliert man die Multiplikation
 mit Skalaren aus den Augen.
 $\Bbbk^n$ als Gruppe zu bezeichnen ist also nicht falsch, man
-verliert dadurch aber 
+verliert dadurch aber den Blick auf die Multiplikation mit Skalaren.
 \end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}
@@ -115,6 +124,7 @@ Ist $G$ eine Gruppe mit neutralem Element $e$, dann gilt
 $xe=x$ für alle $x\in G$
 \item
 Es gibt nur ein neutrales Element.
+\index{neutrales Element}%
 Wenn also $f\in G$ mit $fx=x$ für alle $x\in G$, ist dann folgt $f=e$.
 \item 
 Wenn $hg=e$ gilt, dann auch $gh=e$ und $h$ ist durch $g$ eindeutig bestimmt.
@@ -171,16 +181,22 @@ f = fe = e
 \]
 aus der Eigenschaft~1.
 
-Schliesslich sei $x$ ein beliebiges Inverses von $g$, dann ist
-$xg=e$, dann folgt
+Schliesslich sei $x$ ein beliebiges Inverses von $g$.
+Dann ist $xg=e$ und es folgt
 $x=xe=x(gh)=(xg)h = eh = h$, es gibt also nur ein Inverses von $g$.
 \end{proof}
 
-Diesem Problem sind wir zum Beispiel auch in
+Der Frage, ob Linksinverse und Rechtsinverse übereinstimmen,
+sind wir zum Beispiel bereits in
 Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gleichungssyteme}
-begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist.
-Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe
-bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$.
+begegnet.
+Dort haben wir bereits gezeigt, dass nicht nur $AA^{-1}=I$,
+sondern auch $A^{-1}A=I$.
+Die dabei verwendete Methode war identisch mit dem hier gezeigten
+Beweis.
+Da die invertierbaren Matrizen eine Gruppe bilden, stellt sich
+dieses Resultat jetzt als Spezialfall des
+Satzes~\ref{buch:vektorenmatrizen:satz:gruppenregeln} dar.
 
 \subsubsection{Homomorphismen} \label{buch:gruppen:subsection:homomorphismen}
 Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus,
@@ -231,17 +247,20 @@ e
 ghg^{-1}\in\ker\varphi.
 \]
 Der Kern wird also von der Abbildung $h\mapsto ghg^{-1}$,
-der {\em Konjugation} in sich abgebildet.
+der {\em Konjugation}, in sich abgebildet.
+\index{Konjugation in einer Gruppe}
 
 \begin{definition}
 Eine Untergruppe $H \subset G$ heisst ein {\em Normalteiler},
 geschrieben $H \triangleleft G$
 wenn $gHg^{-1}\subset H$ für jedes $g\in G$.
-\index{Normalteiler}
+\index{Normalteiler}%
 \end{definition}
 
 Die Konjugation selbst ist ebenfalls keine Unbekannte, sie ist uns
-bei der Basistransformationsformel schon begegnet.
+bei der Basistransformationsformel
+\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselabb}
+schon begegnet.
 Die Tatsache, dass $\ker\varphi$ unter Konjugation erhalten bleibt,
 kann man also interpretieren als eine Eigenschaft, die unter
 Basistransformation erhalten bleibt.
@@ -312,7 +331,7 @@ auf einem geeigneten Vektorraum.
 
 \begin{definition}
 \label{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung}
-Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus 
+Eine {\em Darstellung} einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus 
 $G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
 \index{Darstellung}
 \end{definition}
@@ -324,11 +343,12 @@ sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
 Die Einbettungsabbildung $G\hookrightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
 ist damit automatisch eine Darstellung, sie heisst auch die
 {\em reguläre Darstellung} der Gruppe $G$.
-\index{reguläre Darstellung}
+\index{reguläre Darstellung}%
+\index{Darstellung, reguläre}%
 \end{beispiel}
 
 In Kapitel~\ref{buch:chapter:permutationen} wird gezeigt, 
-dass Permutationen einer endlichen eine Gruppe bilden und wie
+dass Permutationen einer endlichen Menge eine Gruppe bilden und wie
 sie durch Matrizen dargestellt werden können.
 
 
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex
index 1fd0373..787b0f5 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex
@@ -25,14 +25,16 @@ dies ist das Hadamard-Produkt.
 
 \begin{definition}
 Das {\em Hadamard-Produkt} zweier Matrizen
+\index{Hadamard-Produkt}%
 $A,B\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ ist definiert als die Matrix
 $A\odot B$ 
 mit den Komponenten
 \[
-(A\odot B)_{ij} = (A)_{ij} (B)_{ij}.
+(A\odot B)_{i\!j} = (A)_{i\!j} (B)_{i\!j}.
 \]
 Wir nennen $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit der Multiplikation $\odot$ 
-auch die Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\Bbbk)$.
+auch die {\em Hadamard-Algebra} $H_{m\times n}(\Bbbk)$.
+\index{Hadamard-Algebra}%
 \end{definition}
 
 Dies ist jedoch nur interessant, wenn $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit diesem
@@ -46,30 +48,30 @@ Es gilt
 \begin{align*}
 A\odot(B\odot C) &= (A\odot B)\odot C
 &&\Leftrightarrow&
-a_{ij}(b_{ij}c_{ij}) &= (a_{ij}b_{ij})c_{ij}
+a_{i\!j}(b_{i\!j}c_{i\!j}) &= (a_{i\!j}b_{i\!j})c_{i\!j}
 \\
 A\odot(B+C) &= A\odot B + A\odot C
 &&\Leftrightarrow&
-a_{ij}(b_{ij}+c_{ij}) &= a_{ij}b_{ij} + a_{ij}c_{ij}
+a_{i\!j}(b_{i\!j}+c_{i\!j}) &= a_{i\!j}b_{i\!j} + a_{i\!j}c_{i\!j}
 \\
 (A+B)\odot C&=A\odot C+B\odot C
 &&\Leftrightarrow&
-(a_{ij}+b_{ij})c_{ij}&=a_{ij}c_{ij} + b_{ij}c_{ij}
+(a_{i\!j}+b_{i\!j})c_{i\!j}&=a_{i\!j}c_{i\!j} + b_{i\!j}c_{i\!j}
 \\
 (\lambda A)\odot B &= \lambda (A\odot B)
 &&\Leftrightarrow&
-(\lambda a_{ij})b_{ij}&=\lambda(a_{ij}b_{ij})
+(\lambda a_{i\!j})b_{i\!j}&=\lambda(a_{i\!j}b_{i\!j})
 \\
 A\odot(\lambda B)&=\lambda(A\odot B)
 &&\Leftrightarrow&
-a_{ij}(\lambda b_{ij})&=\lambda(a_{ij}b_{ij})
+a_{i\!j}(\lambda b_{i\!j})&=\lambda(a_{i\!j}b_{i\!j})
 \end{align*}
 für alle $i,j$.
 
 Das Hadamard-Produkt ist kommutativ, da die Multiplikation in $\Bbbk$
 kommuativ ist.
 Das Hadamard-Produkt kann auch für Matrizen mit Einträgen in einem
-Ring definiert werden, in diesem Fall ist es möglich, dass die entsehende
+Ring definiert werden, in diesem Fall ist es möglich, dass die entstehende
 Algebra nicht kommutativ ist.
 
 Die Hadamard-Algebra hat auch ein Eins-Elemente, nämlich die Matrix,
@@ -77,6 +79,7 @@ die aus lauter Einsen besteht.
 
 \begin{definition}
 Die sogenannte {\em Einsmatrix} $U$ ist die Matrix
+\index{Einsmatrix}
 \[
 U=\begin{pmatrix}
 1&1&\dots&1\\
@@ -106,7 +109,7 @@ Auch die Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\Bbbk)$ kann als Funktionenalgebra
 betrachtet werden.
 Einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\Bbbk)$ ordnet man die Funktion
 \[
-a\colon [m]\times [n] : (i,j) \mapsto a_{ij}
+a\colon [m]\times [n] : (i,j) \mapsto a_{i\!j}
 \]
 zu.
 Dabei gehen die Algebraoperationen von $H_{m\times n}(\Bbbk)$ über
@@ -131,7 +134,7 @@ A=\begin{pmatrix}3&4\\4&5\end{pmatrix}
 B=\begin{pmatrix}-5&4\\4&-3\end{pmatrix}
 \]
 sind inverse Matrizen bezüglich des Matrizenproduktes, also
-$AB=E$.
+$AB=I$.
 Für das Hadamard-Produkt gilt dagegen
 \[
 A\odot B
@@ -141,13 +144,15 @@ A\odot B
  16&-15
 \end{pmatrix}.
 \]
-Die Inverse einer Matrix $A$ Bezüglich des Hadamard-Produktes hat
-die Einträge $a_{ij}^{-1}$.
-Die Matrix $E$ ist bezüglich des gewöhnlichen Matrizenproduktes
+Die Inverse einer Matrix $A$ bezüglich des Hadamard-Produktes hat
+die Einträge $a_{i\!j}^{-1}$.
+Die Matrix $I$ ist bezüglich des gewöhnlichen Matrizenproduktes
 invertierbar, aber sie ist bezüglich des Hadamard-Produktes nicht
 invertierbar.
+Umgekehrt ist die Einsmatrix $U$ invertierbar bezüglich des
+Hadamard-Produktes, aber für $n>1$ nicht für das Matrizenprodukt.
 
-\subsubsection{Einbettung der Hadamard-Algebra ein eine Matrizenalgebra}
+\subsubsection{Einbettung der Hadamard-Algebra in eine Matrizenalgebra}
 Hadamard-Algebren können als Unteralgebren einer Matrizenalgebra
 betrachtet werden.
 Der Operator $\operatorname{diag}$ bildet Vektoren ab in Diagonalmatrizen
@@ -224,36 +229,32 @@ a_{nn}
 Bei dieser Abbildung geht die Hadamard-Multiplikation wieder in
 das gewöhnliche Matrizenprodukt über.
 
-% XXX Faltungsmatrizen und Fouriertheorie
-\subsubsection{Beispiel: Faltung und Fourier-Theorie}
-
-\subsection{Weitere Verknüpfungen
-\label{buch:vektorenmatrizen:subsection:weitere}}
-
 \subsubsection{Transposition}
 Das Hadamard-Produkt verträgt sich mit der Transposition:
+\index{Transposition}%
 \[
 (A\odot B)^t = A^t \odot B^t.
 \]
 Insbesondere ist das Hadamard-Produkt zweier symmetrischer Matrizen auch 
 wieder symmetrisch.
 
-\subsubsection{Frobeniusnorm}
+\subsubsection{Frobenius-Norm}
 Das Hadamard-Produkt in der Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\mathbb{R})$
 nimmt keine Rücksicht auf die Dimensionen einer Matrix und ist nicht
 unterscheidbar von $\mathbb{R}^{m\times n}$ mit dem Hadamard-Produkt.
 Daher darf auch der Begriff einer mit den algebraischen Operationen
-verträglichen Norm nicht von von den Dimensionen abhängen.
+verträglichen Norm nicht von den spezifischen Dimensionen $m$ und $n$ abhängen.
 Dies führt auf die folgende Definition einer Norm.
 
 \begin{definition}
-Die {\em Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}\mathbb{R})$
-mit den Einträgen $(a_{ij})=A$ ist
+Die {\em Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\mathbb{R})$
+\index{Frobenius-Norm}%
+mit den Einträgen $(a_{i\!j})=A$ ist
 \[
 \| A\|_F
 =
 \sqrt{
-\sum_{i,j} a_{ij}^2
+\sum_{i,j} a_{i\!j}^2
 }.
 \]
 Das {\em Frobenius-Skalarprodukt} zweier Matrizen
@@ -262,14 +263,15 @@ ist
 \[
 \langle A,B\rangle_F
 =
-\sum_{i,j} a_{ij} b_{ij}
+\sum_{i,j} a_{i\!j} b_{i\!j}
 =
 \operatorname{Spur} A^t B
 \]
 und es gilt $\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}$.
 \end{definition}
 
-Für komplexe Matrizen muss 
+Für komplexe Matrizen muss die Definition angepasst werden, damit 
+das Skalarprodukt sesquilinear und positiv definit wird.
 
 \begin{definition}
 Die {\em komplexe Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\mathbb{C})$
@@ -278,11 +280,11 @@ ist
 \| A\|
 =
 \sqrt{
-\sum_{i,j} |a_{ij}|^2
+\sum_{i,j} |a_{i\!j}|^2
 }
 =
 \sqrt{
-\sum_{i,u} \overline{a}_{ij} a_{ij}
+\sum_{i,u} \overline{a}_{i\!j} a_{i\!j}
 }
 \]
 das {\em komplexe Frobenius-Skalarprodukt} zweier Matrizen
@@ -290,18 +292,10 @@ $A,B\in H_{m\times n}(\mathbb{C})$ ist das Produkt
 \[
 \langle A,B\rangle_F
 =
-\sum_{i,j}\overline{a}_{ij} b_{ij}
+\sum_{i,j}\overline{a}_{i\!j} b_{i\!j}
 =
 \operatorname{Spur} (A^* B)
 \]
 und es gilt $\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}$.
 \end{definition}
 
-% XXX Frobeniusnorm
-
-\subsubsection{Skalarprodukt}
-
-% XXX Skalarprodukt 
-
-
-
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex
index e1dda6d..1754ce6 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex
@@ -11,10 +11,67 @@ sehr spezielle Algebren, man nennt sie Körper.
 In diesem Abschnitt sollen die wichtigsten Eigenschaften von Körpern
 zusammengetragen werden.
 
+\begin{definition}
+Ein Körper $K$ ist ein additive Gruppe mit einer multiplikativen
+Verknüpfung derart, dass $K^* = K \setminus \{0\}$ eine Gruppe bezüglich
+der Multiplikation ist.
+Ausserdem gelten die Distributivgesetze 
+\[
+(a+b)c = ac+bc
+\qquad a,b,c\in K.
+\]
+\end{definition}
 
-XXX TODO
+Ein Körper ist also ein Ring derart, dass die Einheitengruppe $K^*$ ist.
 
+\begin{beispiel}
+Die Menge $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ mit der Additions- und
+Mutliplikationstabelle
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
++&0&1\\
+\hline
+0&0&1\\
+1&1&0\\
+\hline
+\end{tabular}
+\qquad
+\qquad
+\qquad
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+\cdot&0&1\\
+\hline
+0&0&0\\
+1&0&1\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+ist der kleinste mögliche Körper.
+\end{beispiel}
 
+\begin{beispiel}
+Die Menge der rationalen Funktionen
+\[
+\mathbb{Q}(z)
+=
+\biggl\{
+f(z)
+=
+\frac{p(z)}{q(z)}
+\,
+\bigg|
+\,
+\begin{minipage}{5.5cm}
+\raggedright
+$p(z), q(z)$ sind Polynome mit rationalen Koeffizienten, $q(z)\ne 0$
+\end{minipage}
+\,
+\biggr\}
+\]
+ist ein Körper.
+\end{beispiel}
 
 
 
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
index 28ec606..ba89266 100755
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
@@ -395,7 +395,7 @@ a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\
 a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\\
 \end{pmatrix}
 \]
-mit $a_{ij}\in\Bbbk$.
+mit $a_{i\!j}\in\Bbbk$.
 Die Menge aller $m\times n$-Matrizen wird mit
 \[
 M_{m\times n}(\Bbbk)
@@ -413,7 +413,7 @@ $M_n(\Bbbk) = M_{n\times n}(\Bbbk)$ ab.
 Die $m$-dimensionalen Spaltenvektoren $v\in \Bbbk^m$ sind $m\times 1$-Matrizen
 $v\in M_{n\times 1}(\Bbbk)$, die $n$-dimensionalen Zeilenvetoren $u\in\Bbbk^n$
 sind $1\times n$-Matrizen $v\in M_{1\times n}(\Bbbk)$.
-Eine $m\times n$-Matrix $A$ mit den Koeffizienten $a_{ij}$ besteht aus
+Eine $m\times n$-Matrix $A$ mit den Koeffizienten $a_{i\!j}$ besteht aus
 den $n$ Spaltenvektoren
 \[
 a_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix},\quad
@@ -469,7 +469,7 @@ $n\times l$-Matrix $B\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ haben als Produkt
 eine $m\times l$-Matrix $C=AB\in M_{m\times l}(\Bbbk)$ mit den
 Koeffizienten
 \begin{equation}
-c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.
+c_{i\!j} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.
 \label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:matrixmultiplikation}
 \end{equation}
 \end{definition}
@@ -477,34 +477,34 @@ c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.
 Die Koeffizienten $a_{ik}$ kommen aus der Zeile $i$ von $A$, die Koeffizienten
 $b_{kj}$ stehen in der Spalte $j$ von $B$, die Multiplikationsregel
 \eqref{buch:vektoren-unbd-matrizen:eqn:matrixmultiplikation}
-besagt also, dass das Element $c_{ij}$ entsteht als das Produkt
+besagt also, dass das Element $c_{i\!j}$ entsteht als das Produkt
 der Zeile $i$ von $A$ mit der Spalte $j$ von $C$.
 
 \subsubsection{Einheitsmatrix}
 Welche $m\times m$-Matrix $I\in M_{m}(\Bbbk)$ hat die Eigenschaft, dass
 $IA=A$ für jede beliebige Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$.
-Wir bezeichnen die Einträge von $I$ mit $\delta_{ij}$.
+Wir bezeichnen die Einträge von $I$ mit $\delta_{i\!j}$.
 Die Bedingung $IA=A$ bedeutet
 \[
-a_{ij} = \delta_{i1}a_{1j} + \dots + \delta_{im}a_{mj},
+a_{i\!j} = \delta_{i1}a_{1j} + \dots + \delta_{im}a_{mj},
 \]
-Da auf der linken Seite nur $a_{ij}$ vorkommt, müssen alle Terme auf der
-rechten Seite verschwinden ausser dem Term mit $a_{ij}$, dessen
+Da auf der linken Seite nur $a_{i\!j}$ vorkommt, müssen alle Terme auf der
+rechten Seite verschwinden ausser dem Term mit $a_{i\!j}$, dessen
 Koeffizient $\delta_{ii}=1$ sein muss.
 Die Koeffizienten sind daher
 \[
-\delta_{ij}
+\delta_{i\!j}
 =
 \begin{cases}
 1&\qquad i=j\\
 0&\qquad\text{sonst}
 \end{cases}
 \]
-Die Zahlen $\delta_{ij}$ heissen auch das {\em Kronecker-Symbol} oder
+Die Zahlen $\delta_{i\!j}$ heissen auch das {\em Kronecker-Symbol} oder
 {\em Kronecker-Delta}.
 \index{Kronecker-$\delta$}%
 \index{Kronecker-Symbol}%
-Die Matrix $I$ hat die Einträge $\delta_{ij}$ und heisst die
+Die Matrix $I$ hat die Einträge $\delta_{i\!j}$ und heisst die
 {\em Einheitsmatrix}
 \index{Einheitsmatrix}%
 \[
@@ -608,7 +608,7 @@ das Tableau benötigt, alle Schritte operieren direkt auf den Daten
 des Tableaus.
 
 In jedem Schritt des Algorithmus wird zunächst eine Zeile $i$ und
-Spalte $j$ ausgewählt, das Elemente $a_{ij}$ heisst das {\em Pivotelement}.
+Spalte $j$ ausgewählt, das Elemente $a_{i\!j}$ heisst das {\em Pivotelement}.
 \index{Pivotelement}%
 Die {\em Pivotdivision}
 \index{Pivotdivision}
@@ -617,7 +617,7 @@ Die {\em Pivotdivision}
 \hline
 a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}&b_1   \\[-2pt]
 \vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
-a_{i1}&\dots &{\color{red}a_{ij}}&\dots &a_{in}&b_i   \\[-2pt]
+a_{i1}&\dots &{\color{red}a_{i\!j}}&\dots &a_{in}&b_i   \\[-2pt]
 \vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
 a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
 \hline
@@ -627,7 +627,7 @@ a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
 \hline
 a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}&b_1   \\[-2pt]
 \vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
-{\color{red}\frac{a_{i1}}{a_{ij}}}&\dots &{\color{red}1}&\dots &{\color{red}\frac{a_{in}}{a_{ij}}}&{\color{red}\frac{b_i}{a_{ij}}}\\[-2pt]
+{\color{red}\frac{a_{i1}}{a_{i\!j}}}&\dots &{\color{red}1}&\dots &{\color{red}\frac{a_{in}}{a_{i\!j}}}&{\color{red}\frac{b_i}{a_{i\!j}}}\\[-2pt]
 \vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
 a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
 \hline
@@ -864,7 +864,7 @@ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}&0     &0     &\dots &1     \\
 \end{tabular}
 \]
 Die Vektoren $c_k$ sind die Spaltenvektoren der Matrix $C$ mit den
-Einträgen $c_{ij}$.
+Einträgen $c_{i\!j}$.
 
 Mit den Vektoren $c_k$ können jetzt beliebige inhomogene Gleichungssysteme
 $Ax=b$ gelöst werden.
@@ -1046,7 +1046,7 @@ Die Inverse der $n\times n$-Matrix $A$ ist gegeben durch
 \index{Formel für die inverse Matrix}%
 \index{inverse Matrix, Formel für}%
 \begin{equation}
-(A^{-1})_{ij}
+(A^{-1})_{i\!j}
 =
 \frac{1}{\det(A)}
 \begin{pmatrix}
@@ -1367,9 +1367,10 @@ Basis in die gestrichen umzurechnen gestattet.
 Ist $A$ die Matrix von $A$ in den Basen $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$,
 dann ist Matrix der gleichen Abbildung in den Basen $\mathcal{B}'$
 und $\mathcal{C}'$ gegeben durch die Matrix
-\[
+\begin{equation}
 A' = T_VAT_U^{-1}.
-\]
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselabb}
+\end{equation}
 
 \subsubsection{Umkehrabbbildung}
 Sei $f$ eine umkehrbare lineare Abbildung $U\to V$ und $g\colon V\to U$.
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
index 21b29c2..a91b4ac 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
@@ -13,6 +13,7 @@ Eine ähnliche Situation haben wir bei $M_n(\Bbbk)$ angetroffen.
 $M_n(\Bbbk)$ ist eine zunächst eine Gruppe bezüglich der Addition,
 hat aber auch noch eine Multiplikation, die nicht immer umkehrbar ist.
 Diese Art von Struktur nennt man einen Ring.
+\index{Ring}
 
 \subsubsection{Definition eines Rings}
 
@@ -21,6 +22,7 @@ Diese Art von Struktur nennt man einen Ring.
 Eine Menge $R$ mit einer additiven Operation $+$ mit neutralem Element
 $0$ und einer multiplikativ geschriebenen Operation $\cdot$ heisst ein
 {\em Ring}, wenn folgendes gilt.
+\index{Ring}%
 \begin{enumerate}
 \item
 $R$ ist eine Gruppe bezüglich der Addition.
@@ -56,14 +58,15 @@ kein neutrales Element hat oder beides.
 
 \begin{definition}
 \index{Ring mit Eins}%
-Ein Ring $R$ heisst ein Ring mit Eins, wenn die Multiplikation ein
+Ein Ring $R$ heisst ein {\em Ring mit Eins}, wenn die Multiplikation ein
 neutrales Element hat.
+\index{Ring mit Eins}%
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
 \index{Ring!kommutativ}%
 \index{kommutativer Ring}%
-Ein Ring $R$ heisst kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ
+Ein Ring $R$ heisst {\em kommutativ}, wenn die Multiplikation kommutativ
 ist.
 \end{definition}
 
@@ -93,7 +96,7 @@ für $a,b\in c(\mathbb{Z})$.
 Die Algebra ist kommutativ und hat die konstante Folge 
 $u_n = 1\;\forall n$ als Eins.
 
-Wir betrachten jetzt ein Unterring $c_0(\mathbb{Z})\subset c(\mathbb{Z})$
+Wir betrachten jetzt den Unterring $c_0(\mathbb{Z})\subset c(\mathbb{Z})$
 bestehend aus den Folgen, die nur für endlich viele Folgenglieder von
 $0$ verschieden sind.
 Für eine Folge $a\in c_0(\mathbb{Z})$ gibt es eine Zahl $N$ derart, dass
@@ -138,8 +141,8 @@ Ebenso ist das Produkt dieser Zahlen
 weil Realteil $ac-bd\in\mathbb{Z}$ und der Imaginärteil $ad+bc\in\mathbb{Z}$
 ganze Zahlen sind.
 Die Menge $\mathbb{Z}[i]$ ist also ein kommutative Ring mit Eins, er
-heisst der Ring der ganzen {\em Gaussschen Zahlen}.
-\index{Gausssche Zahlen}%
+heisst der Ring der {\em ganzen Gaussschen Zahlen}.
+\index{ganze Gausssche Zahlen}%
 \end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}
@@ -214,7 +217,7 @@ $U(M_n(\Bbbk))=\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$.
 
 \subsubsection{Nullteiler}
 Ein möglicher Grund, warum ein Element $r\in R$ nicht invertierbar
-ist, kann sein, dass es ein Element $s\in R$ gibt mit $rs=0$.
+ist, kann sein, dass es ein Element $s\in R$ mit $rs=0$ gibt.
 Wäre nämlich $t$ ein inverses Element, dann wäre $0=t0 = t(rs) = (tr)s=s$.
 
 \begin{definition}
@@ -222,6 +225,8 @@ Ein Element $r\in R^*$ heisst ein {\em Nullteiler} in $R$,
 wenn es ein $s\in R^*$ gibt mit $rs=0$
 Ein Ring ohne Nullteiler heisst {\em nullteilerfrei}.
 \end{definition}
+\index{Nullteiler}%
+\index{nullteilerfrei}%
 
 In $\mathbb{R}$ ist man sich gewohnt zu argumentieren, dass wenn ein
 Produkt $ab=0$ ist, dann muss einer der Faktoren $a=0$ oder $b=0$ sein.
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
index dcee937..b249d0d 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
@@ -993,10 +993,14 @@ Beispiel ist die Funktion $f(x)=1/\sqrt{x}$ auf dem Interval $[0,1]$
 \begin{align*}
 \|f\|_1
 &=
-\int_0^1 \frac 1\sqrt{x}\,dx
+\int_0^1 \frac 1{\sqrt{x}}\,dx
 =
-[2\sqrt{x}]_0^1 = 2 < \infty
-&&\Rightarrow& \|f\|_2&<\infty
+[2\sqrt{x}]_0^1
+=
+2
+<
+\infty
+&&\Rightarrow& \|f\|_1&<\infty
 \\
 \|f\|_2^2
 &=
@@ -1006,7 +1010,7 @@ Beispiel ist die Funktion $f(x)=1/\sqrt{x}$ auf dem Interval $[0,1]$
 =
 \lim_{t\to 0} [\log x]_t^1 = \infty
 &&\Rightarrow&
-\|f\|_1 &= \infty.
+\|f\|_2 &= \infty.
 \end{align*}
 Die Vektorräume der integrierbaren und der quadratintegrierbaren Funktionen
 sind also verschieden.
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex
index a2afa37..2ad7b88 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex
@@ -17,9 +17,10 @@ werden.
 Im Laufe der Definition der Vektorräume $\Bbbk^n$ und der
 Operationen für die Matrizen in $M_{m\times n}(\Bbbk)$ haben
 wir eine ganze Reihe von algebraischen Strukturen kennengelernt.
-Nicht immer sind alle Operationen verfügbar, in einem Vektorraum
-gibt es normalerweise kein Produkt.
-Und bei der Konstruktion des Zahlensystems wurde gezeigt, dass
+Nicht immer sind alle Operationen verfügbar, die uns von der Diskussion
+der Zahlenmengen her vertraut sind, zum Beispiel gibt es in einem
+Vektorraum normalerweise kein Produkt.
+Bei der Konstruktion des Zahlensystems wurde gezeigt, dass
 additive oder multiplikative Inverse nicht selbstverständlich
 sind.
 Sinnvolle Mathematik lässt sich aber erst betreiben, wenn zusammen