Verbesserungen & Bilder

-Verbesserung von Herrn Müller hinzugefügt (Weiss aber nicht ob "Sätze" überall gut & Kapitel Komplexe Zahlen doch nicht verschoben)
-Bilder hinzugefügt (noch nicht in Buch included)
-Graphiken mit Tikz erstellt
-Weitere Beispiele hinzugefügt

1 files changed, 22 insertions, 14 deletions

diff --git a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex
index 9392285..318d04b 100644
--- a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex
+++ b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex
@@ -6,16 +6,16 @@
 \section{Pauli-Matrizen}
 \rhead{Pauli-Matrizen}
 
-Was ist der beste Weg um einen Computeralgorithmus für die Rechenoperationen in der Clifford-Algebra zu erstellen? Man könnte versuchen ein textueller Rechner zu implementieren der für die Elemente $\mathbf{e}_i$ hartkodierte Vereinfachungen ausführt 
+Was ist der beste Weg um einen Computeralgorithmus für die Rechenoperationen in der Clifford-Algebra zu erstellen? Man könnte versuchen einen textuellen Rechner zu implementieren der für die Elemente $\mathbf{e}_i$ hartkodierte Vereinfachungen ausführt 
 \begin{beispiel}
-	der Algorithmus weiss, dass er $a\mathbf{e}_1\cdot b\mathbf{e}_1$ zu $ab\cdot1$ vereinfachen kann
+	Der Algorithmus weiss, dass er $a\mathbf{e}_1\cdot b\mathbf{e}_1$ zu $ab\cdot1$ vereinfachen kann
 	\begin{align}
 		3\mathbf{e}_1 \cdot 2\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 \Rightarrow 6 + 3\mathbf{e}_2
 	\end{align}
 \end{beispiel}
 Dies ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schnellere Alternative, welche für die dreidimensionale Clifford-Algebra verwendet werden können und alle Operationen aus der Clifford-Algebra gleich wie die Matrixoperationen ausführen lassen.
 \begin{definition} \label{def:defPauli}
-	vier Pauli-Matrizen ($\mathbf{e}_0$ = Skalare)
+	Die Matrizen
 	\begin{align}
 		\mathbf{e}_0 = E = 
 		\begin{pmatrix}
@@ -38,7 +38,11 @@ Dies ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schn
 			0 & -1
 		\end{pmatrix}\quad	
 	\end{align}
-	durch normale Matrizenmultiplikation lassen sich die restlichen Basiselemente der dreidimensionalen Clifford-Algebra herleiten
+	heissen Pauli-Matrizen ($\mathbf{e}_0$ = Skalare)
+\end{definition}
+Die Matrix-Multiplikationen der Pauli-Matrizen führt auf die gleichen algebraischen Relationen, wie die Multiplikation der Elemente $\mathbf{e}_0, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$. So lassen sich auch die restlichen Elemente der Clifford-Algebra herleiten.
+\begin{definition} \label{def:defPauli2}
+	Die Bivektoren und Trivektoren hergeleitet durch die Pauli-Matrizen
 	\begin{align}
 		\mathbf{e}_{12} =  
 		\begin{pmatrix}
@@ -64,7 +68,7 @@ Dies ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schn
 \end{definition}
 Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford-Algebra für die Basiselemente definiert hat.
 \begin{align}
-	\mathbf{e}_1^2 &= \mathbf{e}_0 =
+	\mathbf{e}_1^2 &=
 	\begin{pmatrix}
 		0 & 1 \\
 		1 & 0
@@ -72,8 +76,8 @@ Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford-
 	\begin{pmatrix}
 		1 & 0 \\
 		0 & 1
-	\end{pmatrix}\\
-	\mathbf{e}_{12}^2 &= -\mathbf{e}_0 =
+	\end{pmatrix}= \mathbf{e}_0 \\
+	\mathbf{e}_{12}^2 &=
 	\begin{pmatrix}
 		j & 0 \\
 		0 & -j
@@ -81,9 +85,9 @@ Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford-
 	\begin{pmatrix}
 		-1 & 0 \\
 		0 & -1
-	\end{pmatrix}
+	\end{pmatrix} = -\mathbf{e}_0 
 \end{align}
-Man kann bei der Definition \ref{def:defPauli} sehen, dass alle Matrizen linear unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass wenn man die Matrizen der Basiselemente normal addiert und zu einer grossen Matrix zusammenfasst und anschliessend wieder herausgelesen werden können.
+Man kann bei den Definitionen \ref{def:defPauli} und \ref{def:defPauli2} sehen, dass alle Matrizen linear unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass wenn man die Matrizen der Basiselemente normal addiert und zu einer Matrix zusammenfasst, kann man anschliessend die einzelnen Anteile der Basiselemente wieder herausgelesen.
 \begin{definition}
 	Multivektor mit Pauli-Matrizen
 	\begin{align}
@@ -95,14 +99,18 @@ Man kann bei der Definition \ref{def:defPauli} sehen, dass alle Matrizen linear
 		\end{pmatrix}  
 	\end{align}
 \end{definition}
+Die Anteile treten zudem immer paarweise auf und können somit immer je durch zwei Gleichungen bestimmt werden.
 \begin{beispiel}
+	Bestimmung der Anteile der Basiselemente
 	\begin{align}
-		M &= \begin{pmatrix}
+		M &= 
+		\begin{pmatrix}
 			1 & 0 \\
 			0 & 0
 		\end{pmatrix}\\
-		&\Rightarrow a_0 + a_3 = 1 \land a_0 - a_3 = 0\\
-		&\Rightarrow a_0 = 0.5 \land a_3 = 0.5\\
-		M &= 0.5 \mathbf{e}_0 + 0.5 \mathbf{e}_3
+		&\Rightarrow a_0 + a_3 = 1 \enspace\land\enspace a_0 - a_3 = 0\\
+		&\Rightarrow a_0 = \dfrac{1}{2} \enspace\land\enspace a_3 = \dfrac{1}{2}\\
+		M &= \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_0+ \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_3
 	\end{align}
-\end{beispiel}
\ No newline at end of file
+\end{beispiel}
+Die Clifford-Algebra bei der Darstellung durch Matrizen kein Ausnahmefall. Es lässt sich theoretisch jede algebraische Struktur durch Matrizen darstellen.
\ No newline at end of file