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% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Pauli-Matrizen}
\rhead{Pauli-Matrizen}
Was ist der beste Weg um einen Computeralgorithmus für die Rechenoperationen in der Clifford-Algebra zu erstellen? Man könnte versuchen einen textuellen Rechner zu implementieren der für die Elemente $\mathbf{e}_i$ hartkodierte Vereinfachungen ausführt
\begin{beispiel}
Der Algorithmus weiss, dass er $a\mathbf{e}_1\cdot b\mathbf{e}_1$ zu $ab\cdot1$ vereinfachen kann
\begin{align}
3\mathbf{e}_1 \cdot 2\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 \Rightarrow 6 + 3\mathbf{e}_2
\end{align}
\end{beispiel}
Dies ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schnellere Alternative, welche für die dreidimensionale Clifford-Algebra verwendet werden können und alle Operationen aus der Clifford-Algebra gleich wie die Matrixoperationen ausführen lassen.
\begin{definition} \label{def:defPauli}
Die Matrizen
\begin{align}
\mathbf{e}_0 = E =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\quad
\mathbf{e}_1 =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\quad
\mathbf{e}_2 =
\begin{pmatrix}
0 & -j \\
j & 0
\end{pmatrix}\quad
\mathbf{e}_3 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\quad
\end{align}
heissen Pauli-Matrizen ($\mathbf{e}_0$ = Skalare)
\end{definition}
Die Matrix-Multiplikationen der Pauli-Matrizen führt auf die gleichen algebraischen Relationen, wie die Multiplikation der Elemente $\mathbf{e}_0, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$. So lassen sich auch die restlichen Elemente der Clifford-Algebra herleiten.
\begin{definition} \label{def:defPauli2}
Die Bivektoren und Trivektoren hergeleitet durch die Pauli-Matrizen
\begin{align}
\mathbf{e}_{12} =
\begin{pmatrix}
j & 0 \\
0 & -j
\end{pmatrix}\quad
\mathbf{e}_{23} =
\begin{pmatrix}
0 & j \\
j & 0
\end{pmatrix}\quad
\mathbf{e}_{31} =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\quad
\mathbf{e}_{123} =
\begin{pmatrix}
j & 0 \\
0 & j
\end{pmatrix}\quad
\end{align}
\end{definition}
Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford-Algebra für die Basiselemente definiert hat.
\begin{align}
\mathbf{e}_1^2 &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}^2 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}= \mathbf{e}_0 \\
\mathbf{e}_{12}^2 &=
\begin{pmatrix}
j & 0 \\
0 & -j
\end{pmatrix}^2 =
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} = -\mathbf{e}_0
\end{align}
Man kann bei den Definitionen \ref{def:defPauli} und \ref{def:defPauli2} sehen, dass alle Matrizen linear unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass wenn man die Matrizen der Basiselemente normal addiert und zu einer Matrix zusammenfasst, kann man anschliessend die einzelnen Anteile der Basiselemente wieder herausgelesen.
\begin{definition}
Multivektor mit Pauli-Matrizen
\begin{align}
M &= a_0\mathbf{e}_0 + a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_3 + a_{12}\mathbf{e}_{12} + a_{23}\mathbf{e}_{23} + a_{31}\mathbf{e}_{31} + a_{123}\mathbf{e}_{123}\\
M &=
\begin{pmatrix}
(a_0+a_3) + (a_{12}+a_{123})j & (a_1+a_{31})+(-a_2+a_{23})j \\
(a_1-a_{31})+(a_2+a_{23})j & (a_0-a_3)+(-a_{12}+a_{123})j
\end{pmatrix}
\end{align}
\end{definition}
Die Anteile treten zudem immer paarweise auf und können somit immer je durch zwei Gleichungen bestimmt werden.
\begin{beispiel}
Bestimmung der Anteile der Basiselemente
\begin{align}
M &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}\\
&\Rightarrow a_0 + a_3 = 1 \enspace\land\enspace a_0 - a_3 = 0\\
&\Rightarrow a_0 = \dfrac{1}{2} \enspace\land\enspace a_3 = \dfrac{1}{2}\\
M &= \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_0+ \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_3
\end{align}
\end{beispiel}
Die Clifford-Algebra bei der Darstellung durch Matrizen kein Ausnahmefall. Es lässt sich theoretisch jede algebraische Struktur durch Matrizen darstellen.
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