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author | Nao Pross <np@0hm.ch> | 2021-07-23 09:20:42 +0200 |
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committer | Nao Pross <np@0hm.ch> | 2021-07-23 09:20:42 +0200 |
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diff --git a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex index d4942e0..bdfb4e8 100644 --- a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex +++ b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex @@ -3,31 +3,81 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Reflektion/ Spiegelung} -\rhead{Reflektion/ Spiegelung} -Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die Geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Reflektion auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. \\HIER BILD -\subsection{linearen Algebra} -Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Reflektion wie folgt beschreiben kann. -\begin{align} \label{RefLinAlg} - \mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}} -\end{align} -Dabei stellt $\mathbf{u}$ die Spiegelachse dar. -Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Reflektionen, mit weiteren Spiegelachsen, anzufügen. Man kann die Abbildung des Vektors auf den Reflektierten Vektor auch als Matrix schreiben, welche aus den Komponenten des zu der Spiegelachse orthonormalen Vektors $\mathbf{\hat{n}}$ besteht. -\\MATRIZEN O(2) und O(3) zeigen\\ -Diese Matrizen gehören der Matrizengruppe $O(n)$ an.... -\subsection{geometrischen Algebra} -Die Geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel (\ref{RefLinAlg}) eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen einfach erweitert werden kann. +\section{Spiegelung} +\rhead{Spiegelung} + +Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Spiegelung auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. +\begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + \draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3); + \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; + \draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$}; + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$}; + \draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(0,2.5) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$}; + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$}; + \draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,2)--(2,2) node[xshift=-1cm, yshift= + 0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\perp u}}$}; + \draw[line width=1.5pt,red,-stealth](-2,2)--(0,2) node[xshift=-1cm, yshift= + 0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\perp u}}$}; + \draw[line width=1.5pt,purple,-stealth](0,1.5)--(1,1.5) node[xshift=-0.5cm, yshift=-0.25cm]{$\boldsymbol{\hat{n}}$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Spiegelung des Vektors \textbf{v} an Spiegelachse bzw. Vektor \textbf{u}} + \label{BildSpiegelung} +\end{figure} + +\subsection{Linearen Algebra} +Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung an einer Ebene wie folgt beschreiben kann. +\begin{definition} + Die Spiegelungsgleichung in der linearen Algebra mit dem Normalenvektor $\mathbf{\hat{n}}$ zur Spiegelebene ist + \begin{equation} \label{RefLinAlg} + \mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}}. + \end{equation} + Per Definition sind $\mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v_{\perp u}}$. In der geometrischen Algebra verwenden wir aber in den Formeln Vektoren, welche Spiegelachsen, nicht Spiegelebenen, repräsentieren. +\end{definition} +Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen mit weiteren Spiegelebenen anzufügen. Man kann diese Abbildung aber auch als Matrix schreiben. Sei $\mathbf{\hat{n}}$ ein Normalenvektor auf die Spiegelungs-Achse bzw. -Ebene, also $\mathbf{\hat{n}}\perp \mathbf{u}$, und sei ausserdem normiert $|\mathbf{\hat{n}}| = 1$, dann kann man die Spiegelung durch die Matrix \begin{align} - \mathbf{v'} = \mathbf{uvu^{-1}} + S = E - 2\dfrac{1}{|\mathbf{n}|^2}\mathbf{nn}^t +\end{align} +beschrieben werden. In der zweiten und dritten Dimension ergibt die Berechnung +\begin{align} \label{Spiegelmatrizen} + S_2 = \begin{pmatrix} + 1-2n_1^2 & -2n_1n_2 \\ + -2n_1n_2 & 1-2n_2^2 + \end{pmatrix} \quad + S_3 = \begin{pmatrix} + 1-2n_1^2 & -2n_1n_2 & -2n_1n_3\\ + -2n_1n_2 & 1-2n_2^2 & -2n_2n_3\\ + -2n_1n_3 & -2n_2n_3 & 1-2n_3^2\\ + \end{pmatrix}. \end{align} -wobei die Inverse eines Vektors so definiert ist, dass multipliziert mit sich selbst das neutrale Element 1 ergibt. +Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S\in \text{O}(n)$ an. Die Matrizengruppe $\text{O}(n)$ haben die Eigenschaft $S^t S = E$, was bedeutet, dass die Länge und Winkel bei der Abbildung beibehalten bleiben. Zusätzlich sind die Spiegelmatrizen symmetrisch, es gilt $S^t = S$. Somit liefert zweimal dieselbe Spiegelung wieder die identische Abbildung, wie man aus \begin{align} - u^{-1} = \dfrac{u}{|u|^2} \Rightarrow uu^{-1} = 1 + S^t S = S^2 = E \end{align} -verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird somit die Formel reduziert zu einer beidseitigen Multiplikation von $\mathbf{\hat{u}}$. +schliessen kann. + +\subsection{Geometrische Algebra} +Um die folgenden Formeln zu verstehen, definieren wir zuerst die Inverse eines Vektors, welche in dieser Form nicht in der linearen Algebra nicht existiert. +\begin{definition} + Die Inverse eines Vektors wird definiert als + \begin{align} + \mathbf{u}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2} \Rightarrow \mathbf{uu}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}^2}{|\mathbf{u}|^2} = 1. + \end{align} + Wie schon aus anderen algebraischen Strukturen bekannt, ergibt ein Element, hier $\mathbf{u}$, multipliziert mit dessen Inversen, hier $\mathbf{u}^{-1}$, das neutrale Element der Struktur, hier 1. +\end{definition} +Die geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} für eine Spiegelung eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen erweitert werden kann. +\begin{definition} + Die Spiegelungsgleichung in der geometrischen Algebra mit der Spiegelachse $\mathbf{u}$ ist definiert als + \begin{align}\label{RefGA} + \mathbf{v}' = \mathbf{uvu}^{-1} + \end{align} +\end{definition} + +verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird die Gleichung zu \begin{align} \mathbf{v'} = \mathbf{\hat{u}v\hat{u}} \end{align} -Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension durch andere Matrizen beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. -Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da keine Multiplikation von Vektoren definiert ist. -\\BEISPIEL?
\ No newline at end of file +vereinfacht. Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension, durch andere Matrizen \eqref{Spiegelmatrizen} beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da bis auf das Vektorprodukt in der dritten Dimension keine Multiplikation von Vektoren definiert ist.
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