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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-08-23 11:08:17 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2021-08-23 11:08:17 +0200 |
commit | 360f8827052e68fd6c6c4f4fa1b09e1e105cc59f (patch) | |
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-rw-r--r-- | buch/papers/clifford/8_Rotation.tex | 18 |
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diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex index edab9ef..43d8f8a 100644 --- a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex +++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex @@ -10,8 +10,8 @@ Eine Drehung kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das kan \begin{figure} \centering - \includegraphics[width=10cm]{papers/clifford/Bilder/RotSpieg.png} - \caption{Der wesentliche Unterschied zwischen Spiegelung und Drehung ist die Inversion der Orientierung} + \includegraphics[width=10cm]{papers/clifford/images/spiegelung.pdf} + \caption{Der wesentliche Unterschied zwischen Spiegelung und Drehung ist die Umkehrung der Orientierung} \label{BildSpiegRot} \end{figure} @@ -131,23 +131,23 @@ Mithilfe der Formel \eqref{EulerGA} und dem Wissen, dass $\mathbf{e}_{21}= -\mat \end{align} ausführen. Diese wichtige Umstrukturierung können wir wieder in die Vektorproduktformel \eqref{VektorproduktformelGA} einsetzen un erhalten \begin{align} -\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\ -&= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}}. +\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\ +&= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}}. \end{align} Das inverse Vektorprodukt \begin{align} -\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}} +\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}} \end{align} kann durch die selbe Methode vereinfacht werden. Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$ definieren erhalten wir als endgültige Form der Vektorprodukte \begin{align}\label{wuExpo} -\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\enspace\text{und}\\ -\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} &= \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \label{wuExpoInv}. +\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\enspace\text{und}\\ +\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} &= \dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \label{wuExpoInv}. \end{align} \subsubsection{Umstrukturierte Drehungsgleichung} Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein, erhalten wir \begin{align} -\mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}})\mathbf{v}\biggl(\dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}\biggr) +\mathbf{v''} = (|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}})\mathbf{v}\biggl(\dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}\biggr) \end{align} und können durch die Kürzungen der Längen die vereinfachte Drehungsgleichung \begin{align} \label{GAvereinfRot} @@ -193,6 +193,6 @@ kann man sehen, dass nur der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}$ des Vektors \begin{align} \theta = -\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) = \dfrac{\pi}{2} \end{align} - ausgelesen werden. + ausgelesen werden. \qedhere \end{itemize} \end{beispiel}
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