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diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
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--- a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
+++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
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 %
 \section{Rotation}
 \rhead{Rotation}
-Eine Rotation kann man aus zwei, aufeinanderfolgende Reflektionen bilden. Das war für mich zuerst eine verwirrende Aussage, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Reflektion schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Reflektion, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Reflektion invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt in 3D vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zwei mal invertiert wurde.
-\\BILD
 
-\subsection{linearen Algebra}
-In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $SO(n)$ beschrieben. Die SO(2) werden beispielsweise auf diese Weise gebildet.
+Eine Rotation kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das wird für einige zuerst eine verwirrende Aussage sein, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Spiegelung schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Spiegelung, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Spiegelung invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt im Dreidimensionalen vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zweimal invertiert wurde.
+\\(Hier wird noch ein Bild für das Verständnis eingefügt)
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}
+		\draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3);
+		\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
+		\draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$};
+		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
+		\draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(0,2.5) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$};
+		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$};
+		\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,0)--(-2.31, 0.957) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{w}$};
+		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2.828,0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v''}$};
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$};
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{e_2}$};
+		
+		\coordinate (A) at (0,0);
+		\coordinate (B) at (0,2.5);
+		\coordinate (C) at (-2.31, 0.957);
+		\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, draw,  thick, angle radius=1.25cm}}
+		\draw pic ["$\theta$", anglestyle] {angle = B--A--C};
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{Rotation des Vektors $\textbf{v}$ um $2\theta$}
+	\label{BildRotation}
+\end{figure}
+
+\subsection{Linearen Algebra}
+In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $\text{SO}(n)$ beschrieben. Beispielsweise besteht $\text{SO}(2)$  aus den Matrizen
 \begin{align}
 	D = 
 	\begin{pmatrix}
-		cos(\alpha) & sin(\alpha) \\
-		-sin(\alpha) & cos(\alpha) 
-	\end{pmatrix}
+		\cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\
+		-\sin(\alpha) & \cos(\alpha) 
+	\end{pmatrix},\quad
+	\alpha \in [0, 2\pi).
 \end{align}
+Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \text{SO}(n) = \text{SL}_n(\mathbb{R})\enspace \cap \enspace \text{O}(n)$ an. $\text{SL}_n(\mathbb{R})$ beinhaltet die Matrizen mit scherenden Eigenschaften. Diese Drehmatrizen haben die Eigenschaft $D^t D = E \enspace \land \enspace \det(D)=1$. Da $\det(D) = 1$ und nicht $-1$ sein kann fallen alle Spiegelungen aus der Menge heraus. $\det(D) = -1$ bedeutet, dass eine Orientierungsinversion stattfindet.  
+\\(BILD Mengen Spezieller Matrizen von Herrn Müller Präsentation)
 
-\subsection{geometrischen Algebra}
-Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Reflektionen gebildet werden kann, können wir die Rotation einfach herleiten.
-\begin{align} \label{rotGA}
-	v'' = wv'w^{-1} = w(uvu^{-1})w^{-1} 
-\end{align}
-Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese versuchen wir jetzt noch zu verbessern. Dazu leiten wir zuerst die bekannte Polarform her. (Anmerkung: Hier wird eine Rotation auf der $\mathbf{e_{12}}$ Ebene hergeleitet. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e_{ij}}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden)
-\begin{align}
-	\mathbf{w} = |w| \left[\cos(\theta_w) e_1 + \sin(\theta_w) e_2\right]
-\end{align}
-Dabei können wir ausnützen, dass $e_1^2 = 1$ ist. Was nichts ändert wenn wir es einfügen. Zudem klammern wir dann $e_1$ aus. 
+\subsection{Geometrische Algebra}
+Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Spiegelungen gebildet werden kann, können wir die Rotation mit der Formel \eqref{RefGA} einfach herleiten.
+\begin{satz}
+	Eine Rotation 
+	\begin{align} \label{rotGA}
+		\mathbf{v}'' = \mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = \mathbf{w}(\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1})
+	\end{align}
+	lässt sich durch zwei nacheinander auf einen Vektor $\mathbf{v}$ angewendete Spiegelungen beschreiben.
+\end{satz}
+Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese Formel versuchen wir jetzt noch durch Umstrukturierung zu verbessern. 
+\subsubsection{Exponentialform}
+Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{12}$ Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{ij}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden. Für die Herleitung erweitern wir nun als erstes die Polarform
 \begin{align}
-	\mathbf{w} = |w| \left[\cos(\theta_w) e_1 + \sin(\theta_w) e_1e_1e_2\right] 
+	\mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\right)
 \end{align}
-\begin{align} \label{e1ausklammern}
-	\mathbf{w} = |w|e_1\left[\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) e_{12}\right]
+eines Vektors mit $\mathbf{e}_1^2 = 1$ beim Sinus
+\begin{align}\label{e1ausklammern}
+	\mathbf{w} &= |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right), 
 \end{align}
-Durch die Reihenentwicklung ist es uns jetzt möglich den Term in eckigen Klammern mit der e-Funktion zu schreiben.
+um dann $\mathbf{e}_1$
 \begin{align}
-	\mathbf{w} = |w|\mathbf{e_1} e^{\theta_w \mathbf{e_{12}}}
+	\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right) \label{ExponentialGA}
 \end{align}
-Man kann es so interpretieren, dass der Einheitsvektor $e_1$ um die Länge w gestreckt und um $theta_w$ gedreht wird.
-Nun werden wir den Effekt von zwei aneinandergereihten Vektoren $(wu)$ betrachten.
+ausklammern zu können. Die Ähnlichkeit des Klammerausdrucks zu der Eulerschen Formel bei den Komplexen Zahlen ist nun schon gut erkennbar. Versuchen wir nun mithilfe der Reihenentwicklungen
 \begin{align}
-	\mathbf{wu} = |w|\mathbf{e_1} e^{\theta_w \mathbf{e_{12}}}||u||\mathbf{e_1} e^{\theta_u \mathbf{e_{12}}}
-\end{align}
-Um die beiden $\mathbf{e_1}$ zu kürzen, können wir die Reihenfolge des exponential Terms mit $\mathbf{e_1}$ wechseln, indem man bei der Gleichung (\ref{e1ausklammern}), anstatt mit $\mathbf{e_1e_1e_2}$ mit $\mathbf{e_2e_1e_1}$ erweitert. 
-\begin{align} 
-	\mathbf{w} = |w|\left[\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e_2e_1}\right]\mathbf{e_1}
+	\sin(\theta_w)\mathbf{e}_{12}&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n+1}}{(2n+1)!}}\mathbf{e}_{12} =\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots \\
+	\cos(\theta_w)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n}}{(2n)!}} =1-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}-\cdots
 \end{align}
-Da $\mathbf{e_2e_1 = -e_{12}}$ können wir einfach den Winkel negieren.
-Jetzt können wir wieder $e_1e_1 = 1$ kürzen. Die Längen können als Skalare beliebig verschoben werden und die exponential Terme zusammengefasst werden.
+den Zusammenhang auch hier herzustellen. Verwenden wir jetzt noch die Eigenschaft, dass $\mathbf{e}_{12}^2=-1, \enspace\mathbf{e}_{12}^3=-\mathbf{e}_{12}, \dots$, bei dem Klammerausdruck in Formel \eqref{ExponentialGA}
 \begin{align}
-	\mathbf{wu} = |w||u|e^{-\theta_w \mathbf{e_{12}}}\mathbf{e_1}\mathbf{e_1} e^{\theta_u \mathbf{e_{12}}}
+	\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1+\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots\\
+	&= 1 \mathbf{e}_{12}^0+\theta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5+\cdots
+	\label{ExponentialGA2}
 \end{align}
+dann sieht man die Übereinstimmung mit der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion
 \begin{align}
-	\mathbf{wu} = |w||u|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e_{12}}}
+	&e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{n}}{n!}}={\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{0}}{0!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{1}}{1!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{2}}{2!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{3}}{3!}}+\cdots\\
+	&\Rightarrow \mathbf{w} = |w|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = |w|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right).
 \end{align}
-der Term $\mathbf{u^{-1}w^{-1}}$ kann durch die selbe Methode zusammengefasst werden. 
+Man kann die Exponentialform des Vektors ähnlich wie die der komplexen Zahlen interpretieren. Der Einheitsvektor $\mathbf{e}_1$ wird um die Länge $|\mathbf{w}|$ gestreckt und um $\theta_w$ gedreht.
+Bei den komplexen Zahlen würden man vom Punkt 1 anstatt $\mathbf{e}_1$ ausgehen.
+\subsubsection{Vektormultiplikation}
+Nun werden wir das Produkt von zwei Vektoren $\mathbf{wu}$
 \begin{align}
-	\mathbf{u^{-1}w^{-1}} = \dfrac{1}{|w||u|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e_{12}}}
+	\mathbf{wu} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}|\mathbf{u}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
-Dabei definieren wir den Winkel zwischen den Vektoren  $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$. Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung (\ref{rotGA}) ein.
-\begin{align}
-	\mathbf{v''} = |w||u|e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} v \dfrac{1}{|w||u|}e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+so umformen, dass wir eine bessere Darstellung erhalten. Wir tauschen dafür zuerst beim Vektor $\mathbf{w}$ die Reihenfolge von 
+$\mathbf{e}_1$ mit dem Exponentialterm $e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}$, indem wir bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern}, anstatt mit $\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2$ mit $\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1$ erweitern
+\begin{align} 
+	\mathbf{w} &= |\mathbf{w}|\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1\\
+	&= |\mathbf{w}|e^{\theta_w \mathbf{e}_{21}}\mathbf{e}_1\\
+	&= |\mathbf{w}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1
 \end{align}
-HIER DEFINITION/IST WICHTIGE FORMEL
+und umstrukturiert wieder in die Vektorproduktformel einsetzen
 \begin{align}
-	\mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} v e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
-\end{align}
-Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei Teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e_{12}}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht.
-\begin{align} \label{RotAufPerpPar}
-	\mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+	\mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\
+	\mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}}.
 \end{align}
+Der Term $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$
 \begin{align}
-	\mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} \mathbf{v_\perp} e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} \mathbf{v_\parallel} e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+	\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
-Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass die Reihenfolge so vertauscht werden kann. Der Winkel wird dabei beim parallelen Term negiert.
-\begin{align}
-	\mathbf{v''} = \mathbf{v_\perp} e^{-\theta \mathbf{e_{12}}}  e^{\theta \mathbf{e_{12}}} +  \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\theta) \mathbf{e_{12}}} e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+kann durch die selbe Methode zusammengefasst werden.
+Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren  $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$ definieren erhalten wir
+\begin{align}\label{wuExpo}
+	\mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\\
+	\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \label{wuExpoInv}
 \end{align}
+die finale Form der Vektorprodukte.
+\subsubsection{Umstrukturierte Drehungsgleichung}
+Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein
 \begin{align}
-	\mathbf{v''} = \mathbf{v_\perp} +  \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e_{12}}}
+	\mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}) \mathbf{v}( \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}),
 \end{align}
-Man kann an dieser Gleichung sehen, dass nur der parallele Anteil des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e_{12}}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. 
-\\BEISPIEL
+erhalten wir durch die Kürzungen der Längen die vereinfachte Drehungsgleichung
 \begin{align}
-	\begin{split}
-		&\mathbf{v} = 1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2}; \quad \mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e_3}\\ &\mathbf{wu} = 1e^{(-\pi/2) \mathbf{e_{12}}} = 1[\cos(-\pi/2)\mathbf{e_1}+\sin(-\pi/2)\mathbf{e_2}] = -\mathbf{e_2}; \\ &\mathbf{u^{-1}w^{-1}} = 1e^{(\pi/2) \mathbf{e_{12}}} = \mathbf{e_2}
-	\end{split}
+	\mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v e^{\theta \mathbf{e}_{12}}.
+\end{align}
+
+Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei Teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht. Wir bekommen durch Einsetzten nun diese Form
+\begin{align} \label{RotAufPerpPar}
+	\mathbf{v}'' = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\perp} e^{\theta \mathbf{e}_{12}} + e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\parallel} e^{\theta \mathbf{e}_{12}}.
 \end{align}
+Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass die Reihenfolge so umstrukturiert werden kann
 \begin{align}
-	\begin{split}
-		\mathbf{v''} = &\mathbf{(wu)v(u^{-1}w^{-1})} \\ 
-		&-\mathbf{e_2} (1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}) \mathbf{e_2} \\
-		& -1\mathbf{e_2e_1e_2} - 2\mathbf{e_2e_2e_2} - 3\mathbf{e_2e_3e_2} \\
-		& 1\mathbf{e_2e_2e_1} - 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_2e_2e_3} \\
-		& 1\mathbf{e_1} - 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}
-	\end{split}
-\end{align}
-Man sieht, dass sich der Vektor $\mathbf{v_\parallel}$ sich um $2\cdot90^\circ$ gedreht hat und der Vektor $\mathbf{v_\perp}$ unverändert blieb.
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+	\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}  e^{\theta \mathbf{e}_{12}} +  \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\theta) \mathbf{e}_{12}} e^{\theta \mathbf{e}_{12}},
+\end{align}
+dass der Winkel beim parallelen Anteil negiert wird. An der Zusammengefassten Gleichung
+\begin{align}\label{RotParPerp}
+	\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} +  \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e}_{12}}
+\end{align}
+kann man sehen, dass nur der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}$ des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil $\mathbf{v_\perp}$ bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. Zeigen wir nun diese Eigenschaften an einem Beispiel
+\begin{beispiel} 
+	Gegeben sei ein Vektor $\mathbf{v} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3$ mit zur $\mathbf{e}_{12}$-Ebene parallelen Anteil $\mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2$ und senkrechten Anteil $\mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e}_3$. Zusätzlich sind die Spiegelachsen $\mathbf{u} = \mathbf{e}_1$ und $\mathbf{w} = 2\mathbf{e}_2$ gegeben. Gesucht ist der rotierte Vektor $\mathbf{v}''$. Bestimmen wir als erstes das Vektorprodukt $\mathbf{wu}$
+	\begin{align}
+		\mathbf{wu} = (2\mathbf{e}_2)(\mathbf{e}_1) = -2\mathbf{e}_{12}
+	\end{align}
+	und das Produkt der Inversen $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$
+	\begin{align}
+		\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = (\dfrac{\mathbf{e}_1}{1^2})(\dfrac{2\mathbf{e}_2}{2^2}) = \dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12}.
+	\end{align}
+	Der rotierte Vektor $\mathbf{v}''$ können wir nun durch das einsetzten und auflösen der Produkte in die Gleichung \eqref{rotGA}
+	\begin{align}
+		\mathbf{v}'' = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) &= (-2e_{12})(1\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3)(\dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12})\\
+		&= (2\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_{123})(\dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12})\\
+		&= -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3
+	\end{align}
+	finden. Aus dem Resultat $\mathbf{v}''= -1\mathbf{e}_1 + 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3$ können wir bestätigen, dass
+	\begin{itemize}
+		\item die Länge $|\mathbf{v}| = \sqrt{3}$ zur Länge $|\mathbf{v}''|=\sqrt{3}$ gleich blieb.
+		\item sich der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}'' = -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2$ gedreht hat und der senkrechte Anteil $\mathbf{v_\perp}'' = 1\mathbf{e}_3$ unverändert blieb.
+		\item der parallele Teil sich genau um $2\theta=180$° gedreht hat. $\theta$ kann übrigens durch die Umformung des Produkt $\mathbf{wu}$ in die Exponentialschreibweise
+		\begin{align}
+			&\mathbf{wu} = -2\mathbf{e}_{12} = 2(0-1\mathbf{e}_{12})=2(\cos(\dfrac{-\pi}{2} + \sin(\dfrac{-\pi}{2})\mathbf{e}_{12})) = 2e^{(-\pi/2)\mathbf{e}_{12}}
+		\end{align}
+		durch einen Vergleich mir der Formel \eqref{wuExpo}
+		\begin{align}
+			\theta = -(\dfrac{-\pi}{2}) = \dfrac{\pi}{2}
+		\end{align}
+		ausgelesen werden.
+	\end{itemize}
+\end{beispiel}
\ No newline at end of file