Verbesserungen umgesetzt

- Referenzen zum Teil noch nicht aufgelösst, da Thierry Labels noch nicht in seinem Abschnitt eingefügt.
- Was bedeutet in Ihrer Korrektur «\qeahem « vor dem Abschnitt komplexe Zahlen?
- Die Korrektur: «Nach dem vorherigen Kapitel überrascht wahrscheinlich nicht, dass es möglich ist, mehr…?» am Anfang des Abschnitts komplexe Zahlen verstehe ich nicht ganz. ich habe es aber anderes umgeschrieben…
- Bilder eingefügt und in Textstelle darauf referenziert (darf ich das Bild vom Fifaspiel überhaupt reinnehmen? (copyright))
- Sie scheinen ein gutes Auge für sin \sin Fehler zu haben. Die wären mir nie aufgefallen.
- Das Quaternion verbessert.

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diff --git a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
index aaccd3d..e29885f 100644
--- a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
+++ b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
@@ -6,34 +6,34 @@
 \section{Komplexe Zahlen}
 \rhead{Komplexe Zahlen}
 
-Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Rotationen und Schwingungen gut beschreiben können. Nach dem vorherigen Kapitel überrascht es wahrscheinlich nicht viele, dass es möglich ist komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der zweidimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $\mathbf{g}_n \in G_2^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl 
+Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Drehungen und Schwingungen gut beschreiben können. Nach dem vorherigen Abschnitt ist es nicht überraschend, dass es möglich ist, komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der zweidimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $\mathbf{g}_n \in G_2^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl 
 \begin{align}
-	a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 \mathbf{e}_{12} = \mathbf{g}_n\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R}\\
-	|r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = \mathbf{g}_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R}
+a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 \mathbf{e}_{12} = \mathbf{g}_n\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R}\\
+|r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = \mathbf{g}_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R}
 \end{align}
 kann durch ein Skalar (Grad 0) und einem Bivektor (Grad 2) dargestellt werden, weil $j$ und $\mathbf{e}_{12}$ beide die Eigenschaft
 \begin{align}
-	j^2 = -1\quad \mathbf{e}_{12}^2 = -1
+j^2 = -1\quad\text{und}\quad\mathbf{e}_{12}^2 = -1
 \end{align}
 besitzen. Die Kommutativität
 \begin{align}
-	\begin{split}
-		\mathbf{g}_1\mathbf{g}_2 = \mathbf{g}_2\mathbf{g}_1 \enspace&\Leftrightarrow\enspace (a + b \mathbf{e}_{12})(f + g \mathbf{e}_{12}) = (f + g \mathbf{e}_{12})(a + b \mathbf{e}_{12})\\ &\Leftrightarrow\enspace |\mathbf{g}_1||\mathbf{g}_2|e^{(\theta_{g_1} + \theta_{g_2})\mathbf{e}_{12}} =  |\mathbf{g}_2||\mathbf{g}_1|e^{(\theta_{g_2} + \theta_{g_1})\mathbf{e}_{12}},
-	\end{split}
+\begin{split}
+\mathbf{g}_1\mathbf{g}_2 = \mathbf{g}_2\mathbf{g}_1 \enspace&\Leftrightarrow\enspace (a + b \mathbf{e}_{12})(f + g \mathbf{e}_{12}) = (f + g \mathbf{e}_{12})(a + b \mathbf{e}_{12})\\ &\Leftrightarrow\enspace |\mathbf{g}_1||\mathbf{g}_2|e^{(\theta_{g_1} + \theta_{g_2})\mathbf{e}_{12}} =  |\mathbf{g}_2||\mathbf{g}_1|e^{(\theta_{g_2} + \theta_{g_1})\mathbf{e}_{12}},
+\end{split}
 \end{align}
 welche wir schon von den komplexen Zahlen her kennen, ist dabei eine in der geometrischen Algebra nur selten anzutreffende Eigenschaft. Beispielsweise ist das geometrische Produkt von
 \begin{align}
-	\mathbf{g}_1\mathbf{v}\not= \mathbf{v}\mathbf{g}_1 \quad\Leftrightarrow\quad(a + b \mathbf{e}_{12})(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)\not= (x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)(a + b \mathbf{e}_{12})
+\mathbf{g}_1\mathbf{v}\not= \mathbf{v}\mathbf{g}_1 \quad\Leftrightarrow\quad(a + b \mathbf{e}_{12})(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)\not= (x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)(a + b \mathbf{e}_{12})
 \end{align}
 und auch die im folgenden Kapitel behandelten Quaternionen nicht kommutativ.
 
-Um später die Auswirkung der Quaternionen auf Vektoren besser zu verstehen, möchte ich kurz darauf eingehen, was ein  $\mathbf{g}_n$ für eine Auswirkung auf einen Vektor hat.
+Um später die Auswirkung der Quaternionen auf Vektoren besser zu verstehen, möchten wir kurz darauf eingehen, was ein  $\mathbf{g}_n$ für eine Auswirkung auf einen Vektor hat.
 Wir kennen diesen Effekt schon von den komplexen Zahlen. Wenn eine komplexe Zahl $c_1=a+bj$ mit einer zweiten $c_2=f+gj$ multipliziert wird, dann kann man
 \begin{align}
-	c = c_1\cdot c_2 = (a + bj)(d + ej) = a\cdot(d+ej) + bj\cdot(d+ej)
+c = c_1\cdot c_2 = (a + bj)(d + ej) = \underbrace{a\cdot(d+ej)}_{\displaystyle{a\cdot c_2}} + \underbrace{bj\cdot(d+ej)}_{\displaystyle{b\cdot c_2 \cdot (1\angle 90^\circ)}}
 \end{align}
-so aufteilen. Dabei ist $a\cdot(d+ej)$ die jetzige komplexe Zahl $c_2$ um den Faktor $a$ steckt und $bj\cdot(d+ej)$ die um 90° im Gegenuhrzeigersinn gedrehte Zahl $c_2$ um den Faktor $b$ streckt. Diese Anteile addiert ergeben, dann den um $c_1$ dreh-gestreckten Vektor $c_2$. Der gleiche Effekt hat
+so aufteilen. Dabei ist $a\cdot(d+ej)$ die komplexe Zahl $c_2$ um den Faktor $a$ steckt und $bj\cdot(d+ej)$ die um 90° im Gegenuhrzeigersinn gedrehte Zahl $c_2$ um den Faktor $b$ streckt. Diese Anteile addiert ergeben dann den um $c_1$ drehgestreckten Vektor $c_2$. Den gleichen Effekt hat
 \begin{align}\label{GAdrehstreck}
-	\mathbf{v}' = \mathbf{g}\mathbf{v} = (a + b\mathbf{e}_{12})(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2}) = a(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2}) + b\mathbf{e}_{12}(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2})
+\mathbf{v}' = \mathbf{g}\mathbf{v} = (a + b\mathbf{e}_{12})(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2}) = a(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2}) + b\mathbf{e}_{12}(d\mathbf{e}_{1} + e\mathbf{e}_{2})
 \end{align}
 in der zweidimensionalen geometrischen Algebra. Im Falle der komplexen Zahlen macht es jetzt noch nicht wirklich Sinn in die geometrische Algebra zu wechseln. Die potenziellen Vorteile der geometrischen Algebra werden sich aber erst bei den Quaternionen zeigen.
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