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path: root/buch/papers/clifford
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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-07-12 17:13:08 +0200
committerGitHub <noreply@github.com>2021-07-12 17:13:08 +0200
commit6a94117f288e728f95db111498475f88138ac2c9 (patch)
treeec13abe3efc4840815834e48ab2fe46fed65eff0 /buch/papers/clifford
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Vergessenes Kapitel DiracMatrizen hinzugefügt
Diffstat (limited to 'buch/papers/clifford')
-rw-r--r--buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex7
-rw-r--r--buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex108
-rw-r--r--buch/papers/clifford/main.tex2
3 files changed, 109 insertions, 8 deletions
diff --git a/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex
deleted file mode 100644
index 6417bb3..0000000
--- a/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex
+++ /dev/null
@@ -1,7 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Dirac-Matrizen}
-\rhead{Dirac-Matrizen}
diff --git a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex
new file mode 100644
index 0000000..9392285
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex
@@ -0,0 +1,108 @@
+%
+% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Pauli-Matrizen}
+\rhead{Pauli-Matrizen}
+
+Was ist der beste Weg um einen Computeralgorithmus für die Rechenoperationen in der Clifford-Algebra zu erstellen? Man könnte versuchen ein textueller Rechner zu implementieren der für die Elemente $\mathbf{e}_i$ hartkodierte Vereinfachungen ausführt
+\begin{beispiel}
+ der Algorithmus weiss, dass er $a\mathbf{e}_1\cdot b\mathbf{e}_1$ zu $ab\cdot1$ vereinfachen kann
+ \begin{align}
+ 3\mathbf{e}_1 \cdot 2\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 \Rightarrow 6 + 3\mathbf{e}_2
+ \end{align}
+\end{beispiel}
+Dies ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schnellere Alternative, welche für die dreidimensionale Clifford-Algebra verwendet werden können und alle Operationen aus der Clifford-Algebra gleich wie die Matrixoperationen ausführen lassen.
+\begin{definition} \label{def:defPauli}
+ vier Pauli-Matrizen ($\mathbf{e}_0$ = Skalare)
+ \begin{align}
+ \mathbf{e}_0 = E =
+ \begin{pmatrix}
+ 1 & 0 \\
+ 0 & 1
+ \end{pmatrix}\quad
+ \mathbf{e}_1 =
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & 1 \\
+ 1 & 0
+ \end{pmatrix}\quad
+ \mathbf{e}_2 =
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & -j \\
+ j & 0
+ \end{pmatrix}\quad
+ \mathbf{e}_3 =
+ \begin{pmatrix}
+ 1 & 0 \\
+ 0 & -1
+ \end{pmatrix}\quad
+ \end{align}
+ durch normale Matrizenmultiplikation lassen sich die restlichen Basiselemente der dreidimensionalen Clifford-Algebra herleiten
+ \begin{align}
+ \mathbf{e}_{12} =
+ \begin{pmatrix}
+ j & 0 \\
+ 0 & -j
+ \end{pmatrix}\quad
+ \mathbf{e}_{23} =
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & j \\
+ j & 0
+ \end{pmatrix}\quad
+ \mathbf{e}_{31} =
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & 1 \\
+ -1 & 0
+ \end{pmatrix}\quad
+ \mathbf{e}_{123} =
+ \begin{pmatrix}
+ j & 0 \\
+ 0 & j
+ \end{pmatrix}\quad
+ \end{align}
+\end{definition}
+Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford-Algebra für die Basiselemente definiert hat.
+\begin{align}
+ \mathbf{e}_1^2 &= \mathbf{e}_0 =
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & 1 \\
+ 1 & 0
+ \end{pmatrix}^2 =
+ \begin{pmatrix}
+ 1 & 0 \\
+ 0 & 1
+ \end{pmatrix}\\
+ \mathbf{e}_{12}^2 &= -\mathbf{e}_0 =
+ \begin{pmatrix}
+ j & 0 \\
+ 0 & -j
+ \end{pmatrix}^2 =
+ \begin{pmatrix}
+ -1 & 0 \\
+ 0 & -1
+ \end{pmatrix}
+\end{align}
+Man kann bei der Definition \ref{def:defPauli} sehen, dass alle Matrizen linear unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass wenn man die Matrizen der Basiselemente normal addiert und zu einer grossen Matrix zusammenfasst und anschliessend wieder herausgelesen werden können.
+\begin{definition}
+ Multivektor mit Pauli-Matrizen
+ \begin{align}
+ M &= a_0\mathbf{e}_0 + a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_3 + a_{12}\mathbf{e}_{12} + a_{23}\mathbf{e}_{23} + a_{31}\mathbf{e}_{31} + a_{123}\mathbf{e}_{123}\\
+ M &=
+ \begin{pmatrix}
+ (a_0+a_3) + (a_{12}+a_{123})j & (a_1+a_{31})+(-a_2+a_{23})j \\
+ (a_1-a_{31})+(a_2+a_{23})j & (a_0-a_3)+(-a_{12}+a_{123})j
+ \end{pmatrix}
+ \end{align}
+\end{definition}
+\begin{beispiel}
+ \begin{align}
+ M &= \begin{pmatrix}
+ 1 & 0 \\
+ 0 & 0
+ \end{pmatrix}\\
+ &\Rightarrow a_0 + a_3 = 1 \land a_0 - a_3 = 0\\
+ &\Rightarrow a_0 = 0.5 \land a_3 = 0.5\\
+ M &= 0.5 \mathbf{e}_0 + 0.5 \mathbf{e}_3
+ \end{align}
+\end{beispiel} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/main.tex b/buch/papers/clifford/main.tex
index 46d04bd..ec44963 100644
--- a/buch/papers/clifford/main.tex
+++ b/buch/papers/clifford/main.tex
@@ -15,7 +15,7 @@
\input{papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex}
\input{papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex}
\input{papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex}
-\input{papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex}
+\input{papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex}
\input{papers/clifford/7_Reflektion.tex}
\input{papers/clifford/8_Rotation.tex}
\input{papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex}