Teil1+Teil0

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 % einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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+%%
 \section{Teil 0\label{erdbeben:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
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+\rhead{Erdbeben}
+\section{Erdbebenmessung}
+\subsection{Was ist ein Erdbeben}
+Fabio
+\subsection{Funktion eines Seismograph}
+Um ein Erdbeben kenntlich zu machen, werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet. 
+Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, bleibt die gekoppelte Masse stehen aber das Gehäuse schwingt mit.
+Relativbewegung des Bodens kann damit als Auslenkung im Zeitverlauf gemessen werden.
+In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. 
+Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen mit eine Gehäuse, an dem zwei Federn und eine Masse befestigt ist. 
+Ein Sensor unter der Masse misst die Position, bzw. die Auslenkung der Feder und der Masse.
+Dies bedeutet unser Seismograph kann nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. 
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Apperatur}
+ \caption{Aufbau des Seismographen mit Gehäuse, Masse, Federn und Sensor}
+ \end{center}
+\end{figure}
+
+\subsection{Ziel}
+Unser Seismograph misst nur die Position der Masse über die Zeit. 
+Wir wollen jedoch die Beschleunigung $a(t)$ des Boden bzw. die Kraft $f(t)$ welche auf das Gehäuse wirkt bestimmten.  
+Anhand dieser Beschleunigung bzw. der Krafteinwirkung durch die Bodenbewegung wird später das Bauwerk bemessen.
+Dies bedeutet, die für uns interessante Grösse $f(t)$ wird nicht durch einen Sensor erfasst. 
+Jedoch können wir durch zweifaches ableiten der Positionsmessung $s(t)$ die Beschleunigung der Masse berechnen. 
+Das heisst: Die Messung ist zweifach Integriert die Kraft $f(t)$ + der Eigendynamik der Masse.
+Um die Bewegung der Masse zu berechnen, müssen wir Gleichungen für unser System finden.
+
+\subsection{Systemgleichung}
+Im Fall unseres Seismographen, kann die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. 
+Diese lautet:
+\begin{equation}
+m\ddot s + 2k \dot s + Ds = f
+\end{equation}
+mit den Konstanten $m$ = Masse, $k$ = Dämpfungskonstante und $D$  = Federkonstante.
+Um diese nun in die Systemmatrix umzuwandeln, wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung substituiert:
+\[ {x_1}=s \qquad
+{x_2}=\dot s,  \qquad\]
+Somit entstehen die Gleichungenür die Position $s(t)$ der Masse :
+\[ \dot {x_1} = {x_2}\] 
+und
+\[ \dot x_2 = -\frac{D}{m} {x_1} -\frac{2k}{m} {x_2} + \frac{f} {m} \] für die Geschwindigkeit $v(t)$ der Masse.
+
+Diese können wir nun in der Form
+\[ {x_3}=-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \]
+auch als Matrix-Vektor-Gleichung darstellen.
+Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. 
+Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen System. 
+Dabei muss unterschieden werden, um welche Beschleunigung es sich handelt. 
+Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). 
+In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbebenanregung gleich kommt. 
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2}  \end{array}\right) = \left(
+ \begin{array}{ccc} 	
+0 & 1& 0 \\ 
+- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
+\end{array}\right)  \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \\ {s_3} \end{array}\right).
+\end{equation}
+
+Durch Rücksubstituion ergibt sich:
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} s(t) \\ v(t) \end{array}\right) = \left(
+ \begin{array}{ccc} 	
+0 & 1& 0 \\ 
+- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
+\end{array}\right)  \left(\begin{array}{c} s(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right).
+\end{equation}
+Wir wissen nicht wie sich die Kraft verhält. 
+Deshalb treffen wir die Annahme, das sich die Kraft über die Beobachtungszeit nicht verändert. 
+Diese unzutreffende Annahme wird später durch einen grossen Systemfehler kompensiert. 
+Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile mit Nullen gefüllt, denn genau diese Werte wollen wir. 
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