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author | Alain <mceagle117@gmail.com> | 2021-06-06 17:36:05 +0200 |
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committer | Alain <mceagle117@gmail.com> | 2021-06-06 17:36:05 +0200 |
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ifs work
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-rw-r--r-- | buch/papers/ifs/teil2.tex | 26 |
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diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex index a728340..8a7f76f 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil2.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex @@ -105,4 +105,28 @@ für jedes i mit einem $c_i < 1$. Dann existiert eine eindeutige kompakte Menge \begin{equation} F = \bigcup\limits_{i = 1}^{m} S_i(F) \end{equation} -TODO Text +Weiter definieren wir die Transformation S auf kompakte Mengen ohne die leere Menge. +\begin{equation} + S(E) = \bigcup\limits_{i = 1}^m S_i(E) +\end{equation} +Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = S(S^{k-1}(E))$, und für jedes $i$ $S_i(E) \subset E$, gilt +\begin{equation} + F = \bigcap\limits_{k = 1}^{\infty} S^k(E). +\end{equation} +In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausgeführt, gegen eine eindeutige Menge konvergiert. +Dies für jede Startmenge, solange diese ihre Transformierten wieder beinhaltet. +Auf den Beweis wird verzichtet. +\subsection{Beispiel: Barnsley-Farn} +\begin{figure} + \label{ifs:farn} + \centering + \makebox[\textwidth][c]{ + \includegraphics[width=1.4\textwidth]{papers/ifs/images/farn}} + \caption{Barnsley-Farn} +\end{figure} +\begin{figure} + \label{ifs:farncolor} + \centering + \includegraphics[width=0.7\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor} + \caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn} +\end{figure} |