aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/papers/ifs/teil2.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorAlain <mceagle117@gmail.com>2021-06-13 15:59:24 +0200
committerAlain <mceagle117@gmail.com>2021-06-13 15:59:24 +0200
commit99d2ddf90c75e83fc8ee82f5d0145a17db9a6338 (patch)
treef3354dac8303e998c15fc8c9eb515e018943ba03 /buch/papers/ifs/teil2.tex
parentBarnsley Farn & Kompression bsp (diff)
downloadSeminarMatrizen-99d2ddf90c75e83fc8ee82f5d0145a17db9a6338.tar.gz
SeminarMatrizen-99d2ddf90c75e83fc8ee82f5d0145a17db9a6338.zip
minor changes, refernezen
Diffstat (limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')
-rw-r--r--buch/papers/ifs/teil2.tex20
1 files changed, 10 insertions, 10 deletions
diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index d25004f..143317a 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -9,10 +9,10 @@
Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale machen kann.
Zur Veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck.
\begin{figure}
- \label{ifs:sierpinski10}
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski}
\caption{Sierpinski-Dreieck}
+ \label{ifs:sierpinski10}
\end{figure}
Wenn man das Dreieck genau anschaut, erkennt man schnell, dass es aus drei kleineren Kopien seiner selbst besteht.
Es ist also ein Selbstähnliches Konstrukt.
@@ -71,8 +71,7 @@ Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an, entsteht also wie
X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X)
\end{align*}
Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck.
-\begin{figure}
- \label{ifs:sierpconst}
+\begin{figure}
\centering
\subfigure[]{
\label{ifs:sierpconsta}
@@ -88,6 +87,7 @@ Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktion
\includegraphics[width=0.25\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski6}}
\caption{Konstruktion eines Sierpinski-Dreiecks mit einem Schwarzen Quadrat als Start\\
(a) 1. Iteration (b) 2. Iteration (c) 3. Iteration (d) 5. Iteration}
+ \label{ifs:sierpconst}
\end{figure}
Im Beispiel der Abbildung \ref{ifs:sierpconst} sehen wir, wie das Bild nach jeder Iteration dem Sierpinski-Dreieck ähnlicher wird.
Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Iterationen gegen null.
@@ -95,7 +95,7 @@ Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Itera
\subsection{Iterierte Funktionensysteme
\label{ifs:subsection:bonorum}}
In diesem Unterkapitel wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern.
-TODO TEXT
+
$S_1,...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
\begin{align}
@@ -185,26 +185,26 @@ Sie verkleinert und dreht das gesamte Bild und stellt es auf das Ende des Stiels
$S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten Links ab.
$S_4$ Spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab.
-Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn noch eine weitere Methode ein, um IFS auszuführen.
+Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn \cite{ifs:barnsleyfern} noch eine weitere Methode ein, um IFS auszuführen.
Bis jetzt wurde immer davon gesprochen, die Transformationen auf die gesamte Menge anzuwenden.
Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist diese Methode ziemlich rechenintensiv.
-Eine Alternative ist das Chaos-Game.
+Eine Alternative ist das Chaosspiel \cite{ifs:chaos}.
Bei dieser Methode werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt.
Der Startpunkt kann dabei ein beliebiger Punkt in $E$ sein.
Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation, welche zufällig gewählt wurde, angewendet.
-Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, dass nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaos-Game gewichtet.
+Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, dass nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaosspiel gewichtet.
Die Gewichtung erfolgt über den Anteil der Gesamtmasse.
Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt.
-\begin{figure}
- \label{ifs:farn}
+\begin{figure}
\centering
\makebox[\textwidth][c]{
\includegraphics[width=1.4\textwidth]{papers/ifs/images/farn}}
\caption{Barnsley-Farn}
+ \label{ifs:farn}
\end{figure}
\begin{figure}
- \label{ifs:farncolor}
\centering
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor}
\caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn}
+ \label{ifs:farncolor}
\end{figure}