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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 3
+\section{Fraktale Bildkomprimierung
 \label{ifs:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
+\rhead{Fraktale Bildkomprimierung}
+Mit dem Prinzip dieser IFS ist es auch möglich Bilder zu Komprimieren.
+Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch Fractals Everywhere einen wichtigen Beitrag zum Verständnis von Fraktalen geliefert hat.
+Das Ziel ist es ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat.
+In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen.\cite{ifs:Rousseau2012}
+
+
+Bis jetzt wurde in Zusammenhang mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen auf die ganze Menge angewendet werden.
+Dies muss jedoch nicht so sein. 
+Es gibt auch einen Attraktor, wenn die Transformationen nur Teile der Menge auf die ganze Menge abbilden.
+Diese Eigenschaft wollen wir uns in der Fraktalen Bildkompression zunutze machen.
+Sie ermöglicht uns Ähnlichkeiten zwischen kleineren Teilen des Bildes zunutze machen.
+Es ist wohl nicht falsch zu sagen, dass Ähnlichkeiten zur gesamten Menge, wie wir sie zum Beispiel beim Barnsley Farn gesehen haben, bei Bilder aus dem Alltag eher selten anzutreffen sind.
+Doch wie Finden wir die richtigen Affinen Transformationen, welche als IFS das Bild als Attraktor haben?
+
+\subsection{das Kompressionsverfahren
 \label{ifs:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+In der Beschreibung des Verfahrens wird sich auf Graustufenbilder bezogen. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert.
+
+In einem ersten Schritt teilen wir das Bild in disjunkte benachbarte $b \times b$ Pixel-Quadrate auf. Diese Blöcke nennen wir Range-Blöcke der Menge $R=\{R_0,R_1,...R_m\}$
+Im nächsten Schritt teilen wir das Bild in alle möglichen $2b \times 2b$ Pixel-Quadrate auf. Diese sind die Domain-Blöcke der Menge $D = \{D_0,D_1,...D_n\}$. 
+Im dritten und letzten Schritt wird für jeden Range-Block $R_i$ ein Domain-Block $D_j$ gesucht, welcher ihm am ähnlichsten ist.
+
+\subsubsection{Finden des ähnlichsten $D_j$}
+Zuerst brauchen wir die Transformation um ein Element aus $D$ auf ein Element von $R$ Abzubilden.
+\begin{align*}
+	T(x,y,z) = 
+	\begin{pmatrix}
+		a & b & 0 \\
+		c & d & 0 \\
+		0 & 0 & s
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x \\
+		y \\
+		z
+	\end{pmatrix}
+	+
+	\begin{pmatrix}
+		\alpha \\
+		\beta \\
+		g
+	\end{pmatrix}
+\end{align*}
+Diese Transformation bildet den Pixel $P$ auf Koordinate $(x,y)$ und Graustufe $z$ auf den Pixel $P'$ ab.
+
+Da wir mit Pixeln arbeiten, sind die Transformationen in der Ebene Beschränkt.
+Diese wird durch die Parameter $a,b,c$ und $d$ bestimmt.
+Mögliche Transformationen sind auf folgende Liste Beschränkt:
+\begin{itemize}
+	\item Identische Transformation, keine Änderung
+	\item Drehung um 90, 180 oder 270 Grad.
+	\item Spiegelung an der vertikalen, horizontalen und den Diagonalachsen.
+\end{itemize}
+$\alpha$ und $\beta$ verschieben den Pixel an die richtige Stelle.
+Da wir ein $2b \times 2b$ Feld auf ein $b \times b$ Feld abbilden möchten, müssen wir zuerst $G_j$ um $1/2$ skalieren.
+Dies erreichen wir, indem wir alle disjunkten $2 \times 2$ px Blöcke mit einem Pixel des Grautones deren Mittelwertes ersetzen.
+Skaliert und transformiert erhalten wir $\tilde{D_j}$
+
+Die Parameter $s$ und $g$ beschreiben die Änderung des Grautones. $s$ verändert den Kontrast und $g$ verschiebt die Töne auf die richtige Helligkeit. 
+$s$ und $g$ werden mit der linearen Regression ermittelt. 
+\begin{align*}
+	z' = sz + g \\
+	f(\tilde{D_j}) \text{, Funktion um das Bild eins Blockes zu erhalten}  \\
+	s = \frac{cov(f(R_i), f(\tilde{D_j}))}{var(\tilde{D_j})} \\
+	g = E(f(R_i)) - s E(f(\tilde{D_j}))
+\end{align*}
+Mit diesen Parametern haben wir nun die Transformation vollständig bestimmt.
+Um zu beurteilen ob der Domain-Block $D_j$ mit der gefundenen Transformation $T$ dem Range-Block $R_i$ genügend ähnlich ist, berechnet man den quadratischen Abstand $e$.
+\begin{align*}
+	e = d(f(R_i), f(T(D_j)))
+\end{align*}
+Dieser Abstand sollte so klein wie möglich sein.
+Die beste Kombination von $D_j$ und $T_i$ ist also diese, welche den kleinsten Abstand zum Block $R_i$ hat, und somit am ähnlichsten ist.
+
+Am Ende des Verfahrens haben wir also für jeden $R_i$ einen passenden $D_i$ mit der zugehörigen Abbildung $T_i$ gefunden.
+
+\subsubsection{Rekonstruktion des Bildes}
+Mit den Gefundenen Abbildungen lässt sich das Bild generieren.
+Wir beginnen wie schon im letzten Kapitel mit einer beliebigen Startmenge.
+In unserem Fall ist dieses ein Bild  $f_0$ derselben Grösse.
+Nun ersetzen wir jedes $R_i$ mit der Transformierten des zugehörigen Domain-Blocks $T(G_j)$.
+Dies wird verkürzt als Operator $W$ geschrieben.
+So erhalten wir ein neues Bild $f_1 = W(f_0)$.
+Dieses Vorgehen führen wir iteriert aus bis wir von $f_n = W(f_{n-1})$ zu $f_{n-1}$ kaum mehr einen unterschied feststellen. Die Iteration hat nun ihren Fixpunkt, das Bild, erreicht.
+
+\subsubsection{Farbbilder}
+Dieses Verfahren mit Graustufenbilder lässt sich ganz einfach auf Farbbilder erweitern.
+Jeder Pixel eines Farbbildes besteht aus einem Rot, Grün und Blauwert (RGB).
+Teilt man ein Bild in die drei Farbkanäle auf, das heisst, es wird nur noch ein Farbwert benutzt, erhält man drei Bilder, welche wie ein Graustufenbild sind.
+Nun wendet man auf jeden dieser Farbkanalbilder den Algorithmus an, und fügt nach der Rekonstruktion die Kanäle wieder zusammen. 
+
+\subsubsection{Performance des Verfahren}
+Dieser Grundalgorithmus der Fraktalen Bildkompression ist offensichtlich recht langsam und skaliert auch schlecht mit grösseren Bilder.
+Man kann die Laufzeit zwar verbessern indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nie so schnell wie zum Beispiel das jpeg verfahren.
+
+\subsection{Beispiel}
+Kommen wir nun zu einem Beispiel.
+Wir Verwenden dafür den oben beschriebenen Algorithmus.
+Die Range-Blöcke wurden $4\times4$ gewählt und die Dommain dementsprechend $8\times8$.
+Um etwas Zeit bei der Komprimierung zu ersparen, wurden nur disjunkte Domain-Blöcke gebraucht.
+Als erstes Beispiel wählen wir das 360x360px Bild von Rapperswil in Abbildung \ref{ifs:original}.
+Der Algorithmus liefert uns für jeden Range-Block die benötigten Parameter.
+Mit diesen lässt sich das Bild im Anschluss wieder Rekonstruieren.
 
+Als Startbild wird ein mittelgraues 360x360px Bild gewählt, Abbildung \ref{ifs:bild0}.
+Nun lassen wir das IFS laufen.
+Wie wir in Abbildung \ref{ifs:rappirecoa} sehen, ist schon nach der ersten Iteration das Bild schon erkennbar.
+Nach der fünften Iteration , Abbildung \ref{ifs:rappirecoc} gibt es fast keinen Unterschied mehr zur letzten Iteration, wir können die Rekonstruktion beenden.
+\begin{figure}	
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/ifs/images/original}
+	\caption{Original Bild von Rapperswil}
+	\label{ifs:original}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/ifs/images/rapperswil}
+	\caption{Startbild}
+	\label{ifs:bild0}
+\end{figure}
 
+\begin{figure}
+	\centering
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:rappirecoa}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/rapperswil01}}
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:rappirecob}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/rapperswil001}} 
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:rappirecoc}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/rapperswil04}}
+	\caption{(a) 1. Iteration (b) 2. Iteration (c) 5. Iteration}
+		\label{ifs:rappireco}
+\end{figure}