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authorAlain <mceagle117@gmail.com>2021-06-19 18:17:20 +0200
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+]qn):A^Sc\\ofU:.)Hd+g/5ZNU5A@9R\g/n.F0H[#[g14;hNtGFcqgC[8[o1'!XJBfCZhPV;8/OdDYBO
+0Q]eIi)kN+Bp&X&gEZrM'$$F>h_5EEnurHCPRt*$pK9S'_Tl-osHOL84TC0ae15m:?Ft7.rMh9a`m)CF
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+tA_l8Aqr!Q+@#oPoYm#B(^:aK[&&#]?DZf#.P^k_\\B``RT'..:J;(Yhl\49fltV&_$t+XVb(>R3+?ET
+:p+G+_rCoNn,8-/@=rH*+L)injcDYib!DCFBk<bacZ!HXIEHPSQnaV(+&^H8CffZUZ$`aTIrZ]PYW/l5
+e'gsRIRkaO7_+sgt+VJPnU4@mNnREH<MCC$BTYU%E)E*B_sk=2>t)8AZim4rkZQA8[5SY`5'2Z:m]ToW
+ih;TEMUFLA6j:>3tqK>1[u_`;f+<j))lX"F@?IY%`h@#`P/[<m+d_efb.Jhh9=Q`rPqL'Rs*$6,H(u6l
+Hi&saa,OQBWEGH*,bY[DRLR0LF("&<)6HAr5UF0<PR`$`64/fZV;rdXgkFDPM)]"\XMu#`C68QR]\T)`
+CD5i7o5Om5!!q9E3anV/5aJ!fuYd@]PJt+<7[@P2l6ks%[Un%3_`:9%5t]$kHV10(SgX6'@Vo]NkDpGe
+d`+HP\P;%F+fS]JWHHV7=>lA6Ii28/s8BQg4nsW[FRpg`6Wp7r2*Y39HS2D"*1dS[eGC>Tr5$XZoZKTX
+)gUa;`UDOb0)3:Bm_`Wn.F0HS<%jfG>GZ.g.LM]AkB?@/hY&e0*Teg)mtN?"/4t<%%q=&>[sXpo_`mq#
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+MC1t.J^e=U\<_b,)_q\G7so\_H<%h~>
+
+%AXGEndBitmap
+GR
+GR
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+315 656 L
+-560 656 L
+-560 0 L
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+ RawData flushfile
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+V*'f2"%EHK]]pR/<<3("zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz!70KhG'EoQH9V3:qu'n!]>*h65PO']O4(cZIVEF
+JcFV;nhp64R%hB38T+&K;7\o3#cQBnaIf9$,iU_#khHlcO/m(Y*Q0RJsbFA5b;m=_2Hm;b73_oA;,[GT
+i6a0mR+_k0G+j'UWpW'7.kKpMB+`"7Re:Vl]m):%_Jq]l.ejcZkKkFlke%/]Ji>fEE/7c.qK3,nWG!!N
+,:hQn^L$,,8f#*,BYRoD.m)?"5_*V18YkOdX"Uf>K_<u2bJq^;O@,LnR7^*HU+7/[4CV`?'?st1K_;;i
+>&M1ln#J:#?(G')'('`2)m+'i@_*VCVY]h2X":J@aKn4=MHhmM9YRoD.m).uk_*V18Yid[c"Uf>K_*39
+o&hIQ"('`2)m+I:Q_*VCVY_UDRKe1'W5^I19(>)6`OOb<9`N+n0/>VqA4"[\%?m2X.f\Pqt":Jp,_+kA
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+eFU%a4q4Rp!Bg':-$Z%+k8F$]Xl.],C(=E<n"6g,8>$rks6<\$+dq-?^Q=+,DS$gNLCaE1SlNq_QF=P*
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+\+\T$n&Ac4Kg9iOLfLiB0-<M*U44rY*@L3gu2M7P*SP$,Jedcl6^fH&@[*<"AI@(WuU^7e@dLLH2^fH&
+@[*<"A6)P>HU^7e@dLLF\kZ!.f1r7$o":G<G#J6L"/AX[,B!Ck.>6u(ng;,Bh'2,Qk[MeEokZ!.f1r7$
+og;,Bh'2,Qk[MeH&Z="hKYV;/.XcHg1"UiXK44rYf;[F5f)SrQlfLiB0edcj`kZ!.fZpq:#"h#$pUpYh
+\m_b8s+\f0pO@HIT"h#$pUpYh\%Q]k_+\f0pO@HHUDm'9OcUp:OjZZ?E(=E<n").nM>$rks6<ZJ'je,N
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+
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+%%Pages: 1
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diff --git a/buch/papers/ifs/images/faroe.png b/buch/papers/ifs/images/faroe.png
deleted file mode 100644
index 183702a..0000000
--- a/buch/papers/ifs/images/faroe.png
+++ /dev/null
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/ifs/images/faroe0.PNG b/buch/papers/ifs/images/faroe0.PNG
deleted file mode 100644
index 7396ed3..0000000
--- a/buch/papers/ifs/images/faroe0.PNG
+++ /dev/null
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/ifs/images/faroe1.PNG b/buch/papers/ifs/images/faroe1.PNG
deleted file mode 100644
index b2aff49..0000000
--- a/buch/papers/ifs/images/faroe1.PNG
+++ /dev/null
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/ifs/images/faroe5.PNG b/buch/papers/ifs/images/faroe5.PNG
deleted file mode 100644
index 50f9564..0000000
--- a/buch/papers/ifs/images/faroe5.PNG
+++ /dev/null
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex
index 68e2e44..385abcf 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil1.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex
@@ -17,7 +17,7 @@ Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten:
\item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden.
\item Oftmals hat $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit.
\item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die topologische Dimension
- \item Viele Fraktale lassen sich einfach beschrieben
+ \item Viele Fraktale lassen sich einfach beschrieben TODO
\end{enumerate}
\subsection{Koch Kurve
\label{ifs:subsection:lilkoch}}
@@ -29,6 +29,7 @@ Diese wird in ersten Schritt durch vier gleich langen Streckenabschnitte der Lä
In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich.
Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt.
Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist.
+Man spricht von einer selbstähnlichen Menge, wenn sich diese Menge überdecken lässt mit echten Teilmengen, die zur ganzen Menge ähnlich sind.
\begin{figure}
@@ -61,16 +62,16 @@ Die Länge der Kurve der jeweiligen Iteration lässt sich mit
\Rightarrow \quad
\lim_{n\to\infty} a \left( \frac{4}{3}\right)^n = \infty
\end{align*}
-beschreiben.
+berechnen.
In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Daraus resultiert, dass die Länge gegen $\infty$ divergiert.
Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen
\begin{align*}
- A_0 = 0 \\
- A_1 = \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\
- A_2 = A_1 + 4\left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 \\
- A_3 = A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1
+ A_0 &= 0 \\
+ A_1 &= \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\
+ A_2 &= A_1 + 4\left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 \\
+ A_3 &= A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1.
\end{align*}
Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist.
Die Gesamtfläche ist daher gegeben durch die geometrische Reihe,
@@ -81,7 +82,7 @@ mit dem Grenzwert
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2.
\end{align*}
-Wie wir sehen ist die Koch-Kurve eine Kurve mit endlicher Fläche, aber unendlicher Umfang.
+Wie wir sehen ist die Koch-Kurve ein Objekt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang.
Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve.
diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index 5de3d4b..be3d354 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -65,7 +65,7 @@ Ausserdem bestimmen wir drei Funktionen
\frac{1}{2}
\end{pmatrix},
\end{align*}
-welche die gesamte Menge auf eine ihrer kleineren Kopien abbildet
+welche die gesamte Menge auf eine ihrer kleineren Kopien abbildet.
$f_1$ bildet das Dreieck auf das Teilstück unten links ab, $f_2$ auf das Teilstück unten rechts und $f_3$ auf das obere Teilstück.
Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an
\begin{align*}
@@ -99,31 +99,36 @@ Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert gegen null.
In diesem Abschnitt wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern.
-$S_1,...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
+$S_1,\dots,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
\begin{align}
|S_i(x) - S_i(y)| \leq c_i|x - y|
\end{align}
-für jedes i mit einem $c_i < 1$. Dann existiert eine eindeutige kompakte Menge $F$ für die gilt
+für jedes i mit einem $c_i < 1$.
+Der Banachsche Fixpunktsatz besagt, dass für solche Kontraktionen ein Eindeutiges $A$ existiert, für das $S(A) = A$ gilt.
+Den Beweis kann man in \cite{ifs:Rousseau2012} nachlesen.
+Hat man nicht nur eine sondern mehrere Kontraktionen, dann existiert eine eindeutige kompakte Menge $F$ für die gilt
\begin{equation}
- F = \bigcup\limits_{i = 1}^{m} S_i(F)
+ F = \bigcup\limits_{i = 1}^{m} S_i(F).
\end{equation}
-Weiter definieren wir die Transformation S auf kompakte Mengen ohne die leere Menge.
+Weiter definieren wir die Transformation S auf kompakte Mengen $E$ ohne die leere Menge.
\begin{equation}
S(E) = \bigcup\limits_{i = 1}^m S_i(E)
\end{equation}
Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = S(S^{k-1}(E))$, und für jedes $i$ $S_i(E) \subset E$, gilt
\begin{equation}
F = \bigcap\limits_{k = 1}^{\infty} S^k(E).
+ \label{ifs:ifsForm}
\end{equation}
In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausgeführt, gegen eine eindeutige Menge konvergiert.
Diese Menge ist auch als Attraktor des IFS bekannt.
-Dies für jede Startmenge, solange diese ihre Transformierten wieder beinhaltet.
-Auf den Beweis wird verzichtet.
+Der Beweis für die Existenz eines eindeutigen Attraktors ist in \cite{ifs:fractal-geometry} beschrieben.
+Aus diesem Beweis folgt, dass die Startmenge $E$, anders als in \ref{ifs:ifsForm} beschrieben ist, beliebig sein kann,
\subsection{Beispiel: Barnsley-Farn}
Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein Beispiel eines Fraktal, welches mit einem IFS generiert werden kann.
Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine grosse Ähnlichkeit zum ganzen Farn haben.
-\begin{align*}
- {S_1(x,y)}
+Die vier affinen Transformationen
+\begin{align}
+ & {S_1(x,y)}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
@@ -132,9 +137,9 @@ Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine gross
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
- \end{pmatrix}, \quad
+ \end{pmatrix}, \quad &
{S_2(x,y)}
- =
+ &=
\begin{pmatrix}
0.85 & 0.04 \\
-0.04 & 0.85 \\
@@ -148,7 +153,7 @@ Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine gross
0 \\
1.6
\end{pmatrix}\\
- {S_3(x,y)}
+ & {S_3(x,y)}
=
\begin{pmatrix}
0.2 & -0.26 \\
@@ -162,9 +167,9 @@ Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine gross
\begin{pmatrix}
0 \\
1.6
- \end{pmatrix}, \quad
+ \end{pmatrix}, \quad &
{S_4(x,y)}
- =
+ &=
\begin{pmatrix}
-0.15 & 0.28 \\
0.26 & 0.24 \\
@@ -178,26 +183,44 @@ Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine gross
0 \\
0.44
\end{pmatrix}\\
-\end{align*}
-In der Abbildung \ref{ifs:farncolor} sehen wir die vier Transformationen farblich dargestellt.
-
+ \label{ifs:farnFormel}
+\end{align}
+, welche für die konstruktion des Farns benötigt werden sind in der Abbildung \ref{ifs:farncolor} farblich dargestellt.
+Das gesamte Farnblatt ist in der schwarzen Box.
+Auf diese werden die Transformationen angewendet
$S_1$ erstellt den Stiel des Farnblattes (rot).
Die Transformation bildet das Gesamte Blatt auf die Y-Achse ab.
$S_2$ (grün) erstellt den Hauptteil des Farnes.
Sie verkleinert und dreht das gesamte Bild und stellt es auf das Ende des Stiels aus $S_1$.
$S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten Links ab.
$S_4$ spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab.
-\subsection{Chaosspiel}
-Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn \cite{ifs:barnsleyfern} noch eine weitere Methode ein, um ein IFS zu zeichnen.
+\subsection{Erzeugung eines Bildes mit einem IFS}
+Es gibt zwei verschiedene Methoden um ein Bild mit einem IFS zu erzeugen.
+Die erste Methode ist wahrscheinlich die intuitivste.
+Wir beginnen mit einm Startbild, zum Beispiel ein Schwarzes Quadrat, und bilden dieses mit den affinen Transformationen des IFS ab.
+Das neue Bild, dass entsteht, ist die nächste Iterierte.
+Dieses wird wieder mit den Transformationen abgebildet.
+Wir wiederholen den letzten schritt, bis wir zufrieden mit der neusten Iterierten sind.
+Diesen Vorgang haben wir beim Sierpinski-Dreieck in Abbildung \ref{ifs:sierpconst} gebraucht.
+
+
+Die zweite Methode ist das Chaosspiel \cite{ifs:chaos}.
Bis jetzt wurde immer davon gesprochen, die Transformationen auf die gesamte Menge anzuwenden.
-Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist diese Methode ziemlich rechenintensiv.
-Eine Alternative ist das Chaosspiel \cite{ifs:chaos}.
-Bei dieser Methode werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt.
+Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist die erste Methode ziemlich rechenintensiv.
+Beim Chaosspiel werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt.
Der Startpunkt kann dabei ein beliebiger Punkt in $E$ sein.
Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation, welche zufällig gewählt wurde, angewendet.
-Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, dass nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaosspiel gewichtet.
-Die Gewichtung erfolgt über den Anteil der Gesamtmasse.
-Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt.
+Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaosspiel gewichtet.
+Je mehr eine Transformation kontrahiert, desto weniger Punkte braucht es um die resultierende Teilabbildung darzustellen.
+Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt.
+Wir sehen auch in Abbildung \ref{ifs:farncolor} gut, dass der rote Stiel, $S_1$, einiges weniger Punkte braucht als der grüne Hauptteil des Blattes, $S_2$.
+
+In Abbildung \ref{ifs:farnNoWeight} wurden die vier gleich stark gewichtet.
+Man sieht, dass trotzt gleich vieler Iterationen wie in Abbildung \ref{ifs:farn}, der Farn kaum nicht so gut abgebildet ist.
+
+
+
+
\begin{figure}
\centering
\makebox[\textwidth][c]{
@@ -207,8 +230,8 @@ Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
- \includegraphics[width=0.7\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor}
- \caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn}
+ \includegraphics[width=\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor2}
+ \caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn in unterschiedlichen Farben}
\label{ifs:farncolor}
\end{figure}
\begin{figure}
diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex
index 39a808f..b3dff85 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil3.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex
@@ -9,7 +9,7 @@
Mit dem Prinzip dieser IFS ist es auch möglich Bilder zu Komprimieren.
Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch Fractals Everywhere einen wichtigen Beitrag zum Verständnis von Fraktalen geliefert hat.
Das Ziel ist es ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat.
-In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen.\cite{ifs:Rousseau2012}
+In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen, wie sie in \cite{ifs:Rousseau2012} beschrieben ist.
Bis jetzt wurde in Zusammenhang mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen, welche das IFS bilden, auf die gesamte Menge.
@@ -132,7 +132,9 @@ Nun wendet man auf jeden dieser Farbkanalbilder den Algorithmus an, und fügt na
\subsubsection{Performance des Verfahren}
Dieser Grundalgorithmus der fraktalen Bildkompression ist recht langsam und skaliert auch schlecht für grössere Bilder.
-Man kann die Laufzeit zwar verbessern indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nie so schnell wie zum Beispiel das JPEG-Verfahren.
+Dies resultiert aus eigenen Experimenten.
+Man kann die Laufzeit zwar verbessern indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nicht so schnell wie zum Beispiel das JPEG-Verfahren.
+Es wurden bessere Algorithmen der fraktalen Bildkompression entwickelt, doch auch diese können, vor allem in der Laufzeit, noch nicht mit herkömmlichen Komprimierungsverfahren mithalten.
\subsection{Beispiel}
Wir Verwenden dafür den oben beschriebenen Algorithmus, welcher uns für jeden Range-Block die benötigten Parameter liefert.