typos

3 files changed, 24 insertions, 24 deletions

diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex
index 327a082..f02aff6 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil1.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex
@@ -11,8 +11,8 @@ Bevor wir die IFS genauer ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an.
 \subsection{Was sind Fraktale?
 \label{ifs:subsection:finibus}}
 Über die genaue Definition von Fraktalen sind sich die Mathematiker noch nicht einig. 
-In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigneschaften welche Kenneth Flaconer in seinem Buch Fractal Geometry beschreibt.
-Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigneschaften erwarten:
+In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigenschaften welche Kenneth Falconer in seinem Buch Fractal Geometry beschreibt.
+Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten:
 \begin{enumerate}
 	\item $F$ hat eine unendlich feine Struktur
 	\item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden.
@@ -24,10 +24,10 @@ Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigneschaften erwarten:
 	\label{ifs:subsection:lilkoch}}
 Diese Eigenschaften möchten wir nun anhand der Koch Kurve näher anschauen.
 In \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Wie man schon erahnen kann, besteht die aus lauter kleineren Kopien von sich selber. 
-Den Konstruktionvorgang sehen wir in \ref{ifs:kochconst}.
+Den Konstruktionsvorgang sehen wir in \ref{ifs:kochconst}.
 Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$.
 Diese wird in ersten Schritt mit vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt.
-In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtilich. 
+In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich. 
 Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt.
 Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist.
 
@@ -63,7 +63,7 @@ Die Länge der Kurve lasst sich einfach berechnen.
 	\Rightarrow \quad
 	\lim_{n\to\infty} a  \left( \frac{4}{3}\right)^n = \infty
 \end{align*}
-In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verglängert. Somit divergiert die Länge gegen Unendlich. 
+In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Somit divergiert die Länge gegen Unendlich. 
 Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen
 \begin{align*}
 	A_0 = 0 , \quad A_1 = \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\
@@ -71,14 +71,14 @@ Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen
 	A_3 = A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1	 
 \end{align*}
 Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist.
-Daraus resultiert eine konvergierende Geometrische Rheie.
+Daraus resultiert eine konvergierende Geometrische Reihe.
 \begin{align*}
 	A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n =  a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \\
 	\lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2
 \end{align*}
 Wie wir sehen ist die Kochkurve ein Konstrukt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang.
-Zu guter letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. 
-Es gibt viele verschidene Arten die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern.
+Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. 
+Es gibt viele verschiedene Arten die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern.
 Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur viele verschiedene Arten.
 In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension.
 \begin{align*}
diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index a3d5ee1..a728340 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \label{ifs:section:teil2}}
 \rhead{Teil 2}
 Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale machen kann.
-Zur veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck.
+Zur Veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck.
 \begin{figure}
 	\label{ifs:sierpinski10}
 	\centering
@@ -19,7 +19,7 @@ Es ist also ein Selbstähnliches Konstrukt.
 Diese Eigenschaft wollen wir uns zunutze machen.
 
 
-Wir definieren das Dreieck mit kantenlänge 1 als Menge $X$.
+Wir definieren das Dreieck mit Kantenlänge 1 als Menge $X$.
 Ausserdem bestimmen wir drei Funktionen, welche die gesamte Menge auf eine ihrer kleineren Kopien abbildet
 \begin{align*}
 	f_1(x,y)
@@ -70,7 +70,7 @@ Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an, entsteht also wie
 \begin{align*}
 	X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X)
 \end{align*}
-Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergeiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck.
+Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck.
 \begin{figure}
 	\label{ifs:sierpconst}
 	\centering
@@ -94,10 +94,10 @@ Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Itera
 
 \subsection{Iterierte Funktionensysteme
 \label{ifs:subsection:bonorum}}
-In diesem Unterkapitel wollen wir die Erkenntniss, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck genereieren können, verallgemeinern.
+In diesem Unterkapitel wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern.
 TODO TEXT
 
-$S_1_...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
+$S_1,...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
 \begin{align}
 	|S_i(x) - S_i(y)| \leq c_i|x - y|
 \end{align}
diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex
index bc848bc..c3e8a65 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil3.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex
@@ -7,12 +7,12 @@
 \label{ifs:section:teil3}}
 \rhead{Fraktale Bildkomprimierung}
 Mit dem Prinzip dieser IFS ist es auch möglich Bilder zu Komprimieren.
-Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch Fractals Everywhere einen wichtigen beitrag zum verständnis von Fraktalen geiefert hat.
+Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch Fractals Everywhere einen wichtigen Beitrag zum Verständnis von Fraktalen geliefert hat.
 Das Ziel ist es ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat.
 In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen.
 
 
-Bis jetzt wurde in Zusammenhnag mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen auf die ganze Menge angewendet werden.
+Bis jetzt wurde in Zusammenhang mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen auf die ganze Menge angewendet werden.
 Dies muss jedoch nicht so sein. 
 Es gibt auch einen Attraktor, wenn die Transformationen nur Teile der Menge auf die ganze Menge abbilden.
 Diese Eigenschaft wollen wir uns in der Fraktalen Bildkompression zunutze machen.
@@ -25,11 +25,11 @@ Doch wie Finden wir die richtigen Affinen Transformationen, welche als IFS das B
 In der Beschreibung des Verfahrens wird sich auf Graustufenbilder bezogen. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert.
 
 In einem ersten Schritt teilen wir das Bild in disjunkte benachbarte $b \times b$ Pixel-Quadrate auf. Diese Blöcke nennen wir Range-Blöcke der Menge $R=\{R_0,R_1,...R_m\}$
-Im nächesten Schritt teilen wir das Bild in alle möglichen $2b \times 2b$ Pixel-Quadrate auf. Diese sind die Domain-Blöcke der Menge $D = \{D_0,D_1,...D_n\}$. 
+Im nächsten Schritt teilen wir das Bild in alle möglichen $2b \times 2b$ Pixel-Quadrate auf. Diese sind die Domain-Blöcke der Menge $D = \{D_0,D_1,...D_n\}$. 
 Im dritten und letzten Schritt wird für jeden Range-Block $R_i$ ein Domain-Block $D_j$ gesucht, welcher ihm am ähnlichsten ist.
 
 \subsubsection{Finden des ähnlichsten $D_j$}
-Zuerst braucen wir die Transformation um ein Element aus $D$ auf ein Element von $R$ Abzubilden.
+Zuerst brauchen wir die Transformation um ein Element aus $D$ auf ein Element von $R$ Abzubilden.
 \begin{align*}
 	T(x,y,z) = 
 	\begin{pmatrix}
@@ -52,15 +52,15 @@ Zuerst braucen wir die Transformation um ein Element aus $D$ auf ein Element von
 Diese Transformation bildet den Pixel $P$ auf Koordinate $(x,y)$ und Graustufe $z$ auf den Pixel $P'$ ab.
 
 Da wir mit Pixeln arbeiten, sind die Transformationen in der Ebene Beschränkt.
-Diese wird durch die Paramenter $a,b,c$ und $d$ bestimmt.
-Mögliche Transfomrationen sind auf folgende Liste Beschränkt:
+Diese wird durch die Parameter $a,b,c$ und $d$ bestimmt.
+Mögliche Transformationen sind auf folgende Liste Beschränkt:
 \begin{itemize}
-	\item Identische Transformation, keine änderung
+	\item Identische Transformation, keine Änderung
 	\item Drehung um 90, 180 oder 270 Grad.
 	\item Spiegelung an der vertikalen, horizontalen und den Diagonalachsen.
 \end{itemize}
 $\alpha$ und $\beta$ verschieben den Pixel an die richtige Stelle.
-Da wir ein $2b \times 2b$ Feld auf ein $b \times b$ Feld abbilden möcheen, müssen wir zuerst $G_j$ um $1/2$ skalieren.
+Da wir ein $2b \times 2b$ Feld auf ein $b \times b$ Feld abbilden möchten, müssen wir zuerst $G_j$ um $1/2$ skalieren.
 Dies erreichen wir, indem wir alle disjunkten $2 \times 2$ px Blöcke mit einem Pixel des Grautones deren Mittelwertes ersetzen.
 Skaliert und transformiert erhalten wir $\tilde{D_j}$
 
@@ -72,8 +72,8 @@ $s$ und $g$ werden mit der linearen Regression ermittelt.
 	s = \frac{cov(f(R_i), f(\tilde{D_j}))}{var(\tilde{D_j})} \\
 	g = E(f(R_i)) - s E(f(\tilde{D_j}))
 \end{align*}
-Mit diesen Parameteren haben wir nun die Transformation vollständig bestimmt.
-Um zu beurteilen ob der Domain-Block $D_j$ mit der gefundenen Transfromation $T$ dem Range-Block $R_i$ genügend ähnlich ist, berechnet man den quadratischen Abstand $e$.
+Mit diesen Parametern haben wir nun die Transformation vollständig bestimmt.
+Um zu beurteilen ob der Domain-Block $D_j$ mit der gefundenen Transformation $T$ dem Range-Block $R_i$ genügend ähnlich ist, berechnet man den quadratischen Abstand $e$.
 \begin{align*}
 	e = d(f(R_i), f(T(D_j)))
 \end{align*}
@@ -89,7 +89,7 @@ In unserem Fall ist dieses ein Bild  $f_0$ derselben Grösse.
 Nun ersetzen wir jedes $R_i$ mit der Transformierten des zugehörigen Domain-Blocks $T(G_j)$.
 Dies wird verkürzt als Operator $W$ geschrieben.
 So erhalten wir ein neues Bild $f_1 = W(f_0)$.
-Dieses Vorgehen führen wir iteriert aus bis wir von $f_n = W(f_{n-1})$ zu $f_{n-1}$ kaum mehr einen unterschied fesstellen. Die Iteration hat nun ihren Fixpunkt, das Bild, erreicht.
+Dieses Vorgehen führen wir iteriert aus bis wir von $f_n = W(f_{n-1})$ zu $f_{n-1}$ kaum mehr einen unterschied feststellen. Die Iteration hat nun ihren Fixpunkt, das Bild, erreicht.
 
 TODO Bilder Beispiel
 TODO Performance und Kompressonsverhältnis