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diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM b/buch/papers/multiplikation/code/MM
index f07985f..d52dda4 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/code/MM
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM.c b/buch/papers/multiplikation/code/MM.c
index 04c4dab..a897d4f 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/code/MM.c
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM.c
@@ -31,7 +31,7 @@ int main() {
 	run_algo(strassen, "strassen",0);

 

 	run_algo(MM, "MM", 0);

-  // run_algo(winograd, "winograd", 0);

+  run_algo(winograd, "winograd", 0);

   run_algo_cblas(0);

 

 	return 0;

diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py
index 626b82d..47bd6ab 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py
@@ -132,6 +132,10 @@ def winograd2(A, B):
     return C
         
 def test_perfomance(n):
+    
+    import mkl
+    mkl.set_num_threads(1)
+    
     t_mm = []
     t_mm_dc = []
     t_mm_strassen = []
@@ -144,21 +148,21 @@ def test_perfomance(n):
         # A = np.random.randint(-100, 100,(i, i))
         # B = np.random.randint(-100, 100,(i, i))
 
-        start = time.time()
-        C3 = strassen(A, B)
-        t_mm_strassen.append(time.time() - start)
+        # start = time.time()
+        # C3 = strassen(A, B)
+        # t_mm_strassen.append(time.time() - start)
 
-        start = time.time()
-        C1 = MM(A, B)
-        t_mm.append(time.time() - start)
+        # start = time.time()
+        # C1 = MM(A, B)
+        # t_mm.append(time.time() - start)
 
-        start = time.time()
-        C2 = MM_dc(A, B)
-        t_mm_dc.append(time.time() - start)
+        # start = time.time()
+        # C2 = MM_dc(A, B)
+        # t_mm_dc.append(time.time() - start)
 
-        start = time.time()
-        C4 = winograd2(A, B)
-        t_wino.append(time.time() - start)
+        # start = time.time()
+        # C4 = winograd2(A, B)
+        # t_wino.append(time.time() - start)
 
         start = time.time()
         C = A@B
@@ -169,22 +173,23 @@ def test_perfomance(n):
     plt.rc('axes', labelsize=23)
     plt.rc('xtick', labelsize=23)
     plt.rc('ytick', labelsize=23)
-    plt.plot(n, t_mm, label='Standard', lw=5)
-    plt.plot(n, t_mm_dc, label='Divide and conquer', lw=5)
-    plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5)
-    plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5)
+    # plt.plot(n, t_mm, label='Standard', lw=5)
+    # plt.plot(n, t_mm_dc, label='Divide and conquer', lw=5)
+    # plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5)
+    # plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5)
     plt.plot(n, t_np, label='NumPy A@B', lw=5)
+    # plt.xscale('log', base=2)
     plt.legend()
     plt.xlabel("n")
     plt.ylabel("time (s)")
-    plt.grid(True)
+    plt.grid(True, which="both", ls="-")
     plt.tight_layout()
     # plt.yscale('log')
     plt.legend(fontsize=19)
-    plt.savefig('meas_' + str(max(n))+ '.pdf')
-    arr = np.array([n, t_mm, t_mm_dc, t_mm_strassen, t_wino, t_np])
-    np.savetxt('meas_' + str(max(n))+ '.txt',arr)    
-    return arr
+    # plt.savefig('meas_' + str(max(n))+ '.pdf')
+    # arr = np.array([n, t_mm, t_mm_dc, t_mm_strassen, t_wino, t_np])
+    # np.savetxt('meas_' + str(max(n))+ '.txt',arr)    
+    return t_np
 
 
 def plot(num):
@@ -198,10 +203,11 @@ def plot(num):
     plt.plot(n, t_mm, label='3 For Loops', lw=5)
     plt.plot(n, t_mm_dc, label='Divide and Conquer', lw=5)
     plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5)
-    # plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5)
+    plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5)
     plt.plot(n, t_np, label='NumPy A@B', lw=5)
     plt.legend()
     plt.xlabel("n")
+    # plt.yscale('log', base=10)
     plt.ylabel("time (s)")
     plt.grid(True)
     plt.tight_layout()
@@ -211,8 +217,9 @@ def plot(num):
     return arr
 
 def plot_c_res(ave, num):
+    
     MM = np.loadtxt("meas/MM.txt", delimiter=',')
-    # winograd = np.loadtxt("meas/winograd.txt", delimiter=',')
+    winograd = np.loadtxt("meas/winograd.txt", delimiter=',')
     blas = np.loadtxt("meas/blas.txt", delimiter=',')
     MM_dc = np.loadtxt("meas/MM_dc.txt", delimiter=',')
     strassen = np.loadtxt("meas/strassen.txt", delimiter=',')
@@ -232,10 +239,10 @@ def plot_c_res(ave, num):
     strassen_t = np.mean(strassen_t.reshape(-1,ave),axis=1)
     strassen_n = np.mean(strassen_n.reshape(-1,ave),axis=1)
     
-    # winograd_t = winograd[:,0] 
-    # winograd_n = winograd[:,1] 
-    # winograd_t = np.mean(winograd_t.reshape(-1,ave),axis=1)
-    # winograd_n = np.mean(winograd_n.reshape(-1,ave),axis=1)
+    winograd_t = winograd[:,0] 
+    winograd_n = winograd[:,1] 
+    winograd_t = np.mean(winograd_t.reshape(-1,ave),axis=1)
+    winograd_n = np.mean(winograd_n.reshape(-1,ave),axis=1)
     
     blas_t = blas[:,0] 
     blas_n = blas[:,1] 
@@ -255,7 +262,7 @@ def plot_c_res(ave, num):
     plt.rc('xtick', labelsize=23)
     plt.rc('ytick', labelsize=23)
     plt.plot(MM_n, MM_t, label='3 For Loops', lw=5)
-    # plt.plot(winograd_n, winograd_t, label='Winograd MM', lw=5)
+    plt.plot(winograd_n, winograd_t, label='Winograd MM', lw=5)
     plt.plot(blas_n, blas_t, label='Blas', lw=5)
     plt.plot(strassen_n, strassen_t, label='Strassen', lw=5)
     plt.plot(MM_dc_n, MM_dc_t, label='Divide and Conquer', lw=5)
@@ -275,22 +282,22 @@ def plot_c_res(ave, num):
 
 # test%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 if __name__ == '__main__':
-    plot_c_res(1, 4096)
+    # plot_c_res(1, 4096)
 
  
-    # plot(8)    
-    # n = np.logspace(1,10,10,base=2,dtype=(np.int))
+    # arr = plot(1024)    
+    n = np.logspace(1,12,12,base=2,dtype=(np.int))
     # n = np.arange(1,50,2)  
-    A = np.random.randint(-10, 10, (5,3))
-    B = np.random.randint(-10, 10, (3,5))
+    # A = np.random.randint(-10, 6, (5,3))
+    # B = np.random.randint(-10, 6, (3,5))
 
-    C = winograd2(A, B)
-    C_test = A@B
-    print(C)
-    print(C_test)
+    # C = winograd2(A, B)
+    # C_test = A@B
+    # print(C)
+    # print(C_test)
     # print(np.equal(C, C_test))
 
-    # t_np = test_perfomance(n)
+    t_np = test_perfomance(n)
     # C = strassen(A, B)
     # C_test = A@B
     
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h b/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h
index 13df55d..14389fc 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h
@@ -1,97 +1,97 @@
-/* Seminar Matrizen, autogenerated File, Michael Schmid, 30/05/2021, 22:00:57 */ 
+/* Seminar Matrizen, autogenerated File, Michael Schmid, 02/08/2021, 22:48:43 */ 
  
 #include <stdint.h> 
 const int A0[][2] = 
   {
-    {-15,68},
-    {49,86}
+    {75,47},
+    {-41,-24}
   };
 const int B0[][2] = 
   {
-    {33,73},
-    {38,-76}
+    {-53,-95},
+    {-93,30}
   };
 const double dB0[][2] = 
   {
-    {33,73},
-    {38,-76}
+    {-53,-95},
+    {-93,30}
   };
 const double dA0[][2] = 
   {
-    {-15,68},
-    {49,86}
+    {75,47},
+    {-41,-24}
   };
 const int A1[][4] = 
   {
-    {75,-38,-32,-65},
-    {37,74,-31,29},
-    {15,-62,-20,-20},
-    {-31,-35,-89,47}
+    {47,11,-66,8},
+    {36,98,39,82},
+    {-32,12,40,-79},
+    {61,-20,-85,-98}
   };
 const int B1[][4] = 
   {
-    {71,90,78,-98},
-    {4,63,12,-47},
-    {11,-44,75,-69},
-    {95,-15,64,23}
+    {37,75,-53,9},
+    {37,-33,-67,38},
+    {70,39,-93,43},
+    {43,41,23,-4}
   };
 const double dB1[][4] = 
   {
-    {71,90,78,-98},
-    {4,63,12,-47},
-    {11,-44,75,-69},
-    {95,-15,64,23}
+    {37,75,-53,9},
+    {37,-33,-67,38},
+    {70,39,-93,43},
+    {43,41,23,-4}
   };
 const double dA1[][4] = 
   {
-    {75,-38,-32,-65},
-    {37,74,-31,29},
-    {15,-62,-20,-20},
-    {-31,-35,-89,47}
+    {47,11,-66,8},
+    {36,98,39,82},
+    {-32,12,40,-79},
+    {61,-20,-85,-98}
   };
 const int A2[][8] = 
   {
-    {80,42,3,-16,6,55,87,16},
-    {-99,-14,21,-1,-94,-56,91,10},
-    {-47,-55,-59,62,12,-53,87,-65},
-    {-60,94,-67,23,-62,33,-63,-72},
-    {12,-75,16,21,22,-37,1,16},
-    {-100,-99,82,-66,2,64,-13,44},
-    {59,-100,-90,8,36,-24,18,88},
-    {73,-58,75,-100,-19,-29,85,-19}
+    {-54,-87,87,69,52,-21,-86,55},
+    {19,-75,-61,-50,-55,-23,66,-92},
+    {-73,-67,-36,19,84,-11,24,46},
+    {-98,62,-76,57,-100,6,-23,-51},
+    {62,46,1,-64,42,-9,85,-12},
+    {35,-59,-17,-47,78,86,-50,74},
+    {-15,45,33,-59,-9,-81,49,96},
+    {-57,22,-43,7,-30,-45,-5,13}
   };
 const int B2[][8] = 
   {
-    {-61,88,69,49,-53,47,73,45},
-    {16,14,-88,-11,-67,-73,-20,43},
-    {-60,-63,26,32,-29,18,-44,-69},
-    {1,21,21,38,7,-100,-61,-76},
-    {-90,95,-99,88,49,-80,27,-36},
-    {24,-12,-47,-7,29,15,52,37},
-    {-98,-76,29,76,-41,-75,97,79},
-    {62,-90,-35,-14,-30,-42,-95,52}
+    {-71,-82,-80,-78,83,-97,48,-24},
+    {15,75,15,-60,-63,-53,1,-50},
+    {-84,63,67,-2,78,93,-13,95},
+    {61,-26,-88,56,56,27,26,1},
+    {2,54,21,36,9,-41,53,53},
+    {85,-11,42,-51,-6,3,27,97},
+    {10,-2,90,-76,-75,0,8,-37},
+    {10,-64,47,-69,66,-50,89,-66}
   };
 const double dB2[][8] = 
   {
-    {-61,88,69,49,-53,47,73,45},
-    {16,14,-88,-11,-67,-73,-20,43},
-    {-60,-63,26,32,-29,18,-44,-69},
-    {1,21,21,38,7,-100,-61,-76},
-    {-90,95,-99,88,49,-80,27,-36},
-    {24,-12,-47,-7,29,15,52,37},
-    {-98,-76,29,76,-41,-75,97,79},
-    {62,-90,-35,-14,-30,-42,-95,52}
+    {-71,-82,-80,-78,83,-97,48,-24},
+    {15,75,15,-60,-63,-53,1,-50},
+    {-84,63,67,-2,78,93,-13,95},
+    {61,-26,-88,56,56,27,26,1},
+    {2,54,21,36,9,-41,53,53},
+    {85,-11,42,-51,-6,3,27,97},
+    {10,-2,90,-76,-75,0,8,-37},
+    {10,-64,47,-69,66,-50,89,-66}
   };
 const double dA2[][8] = 
   {
-    {80,42,3,-16,6,55,87,16},
-    {-99,-14,21,-1,-94,-56,91,10},
-    {-47,-55,-59,62,12,-53,87,-65},
-    {-60,94,-67,23,-62,33,-63,-72},
-    {12,-75,16,21,22,-37,1,16},
-    {-100,-99,82,-66,2,64,-13,44},
-    {59,-100,-90,8,36,-24,18,88},
-    {73,-58,75,-100,-19,-29,85,-19}
+    {-54,-87,87,69,52,-21,-86,55},
+    {19,-75,-61,-50,-55,-23,66,-92},
+    {-73,-67,-36,19,84,-11,24,46},
+    {-98,62,-76,57,-100,6,-23,-51},
+    {62,46,1,-64,42,-9,85,-12},
+    {35,-59,-17,-47,78,86,-50,74},
+    {-15,45,33,-59,-9,-81,49,96},
+    {-57,22,-43,7,-30,-45,-5,13}
   };
 const int *Ap[3] = {(int*) A0,(int*) A1,(int*) A2}; 
 const int *Bp[3] = {(int*) B0,(int*) B1,(int*) B2}; 
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf
index 547d794..304015a 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt
index 1a0cd5d..13b6312 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt
@@ -1,12 +1,12 @@
 0.000000,2
 0.000000,4
-0.000002,8
-0.000011,16
-0.000080,32
-0.000653,64
-0.005397,128
-0.045147,256
-0.487710,512
-3.964180,1024
-128.863544,2048
-996.370209,4096
+0.000001,8
+0.000010,16
+0.000081,32
+0.000654,64
+0.005556,128
+0.054253,256
+0.487317,512
+4.162845,1024
+125.909034,2048
+1111.312696,4096
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt
index 0d5580a..f6be928 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt
@@ -1,12 +1,12 @@
-0.000006,2
-0.000007,4
-0.000035,8
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+0.000003,2
+0.000002,4
+0.000010,8
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+159.333884,2048
+1147.106865,4096
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt
index 6b7cd0b..c3ec7ec 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt
@@ -2,11 +2,11 @@
 0.000000,4
 0.000001,8
 0.000003,16
-0.000021,32
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+0.074739,512
+0.704748,1024
+6.845095,2048
+55.845038,4096
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+1.955032348632812500e-05 7.224082946777343750e-05 3.829002380371093750e-04 2.558946609497070312e-03 2.043128013610839844e-02 1.361320018768310547e-01 1.089214324951171875e+00 8.553364753723144531e+00
+2.384185791015625000e-05 5.245208740234375000e-06 6.437301635742187500e-06 2.455711364746093750e-05 4.148483276367187500e-05 8.702278137207031250e-05 3.793239593505859375e-04 6.709098815917968750e-04
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.pdf
index 94c3731..b926095 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.pdf
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.txt
index afdb6d5..0fdc18d 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.txt
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_32.txt
@@ -1,6 +1,6 @@
 2.000000000000000000e+00 4.000000000000000000e+00 8.000000000000000000e+00 1.600000000000000000e+01 3.200000000000000000e+01
-1.215934753417968750e-05 5.459785461425781250e-05 3.700256347656250000e-04 3.249406814575195312e-03 1.996850967407226562e-02
-4.529953002929687500e-06 5.650520324707031250e-05 4.577636718750000000e-04 4.029273986816406250e-03 2.444481849670410156e-02
-1.311302185058593750e-05 1.165866851806640625e-04 6.275177001953125000e-04 4.323244094848632812e-03 2.624726295471191406e-02
-1.835823059082031250e-05 6.890296936035156250e-05 3.914833068847656250e-04 2.423048019409179688e-03 1.761770248413085938e-02
-1.263618469238281250e-05 5.006790161132812500e-06 5.960464477539062500e-06 1.144409179687500000e-05 3.600120544433593750e-05
+1.239776611328125000e-05 5.507469177246093750e-05 3.802776336669921875e-04 2.795457839965820312e-03 2.073740959167480469e-02
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+1.335144042968750000e-05 1.149177551269531250e-04 6.387233734130859375e-04 4.088878631591796875e-03 2.969408035278320312e-02
+1.955032348632812500e-05 8.058547973632812500e-05 3.998279571533203125e-04 2.514839172363281250e-03 1.842117309570312500e-02
+1.215934753417968750e-05 8.583068847656250000e-06 6.675720214843750000e-06 2.694129943847656250e-05 2.789497375488281250e-05
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf
new file mode 100644
index 0000000..e889d17
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt
new file mode 100644
index 0000000..e69de29
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.pdf
index 3a90949..92af29b 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.pdf
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.txt
index ae6ff9b..b4fc7a1 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.txt
+++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.txt
@@ -1,6 +1,6 @@
 2.000000000000000000e+00 4.000000000000000000e+00 8.000000000000000000e+00 1.600000000000000000e+01 3.200000000000000000e+01 6.400000000000000000e+01
-1.645088195800781250e-05 7.295608520507812500e-05 3.807544708251953125e-04 2.672195434570312500e-03 2.010774612426757812e-02 1.662156581878662109e-01
-7.390975952148437500e-06 7.843971252441406250e-05 4.265308380126953125e-04 3.107070922851562500e-03 2.457642555236816406e-02 2.122807502746582031e-01
-1.931190490722656250e-05 1.568794250488281250e-04 7.593631744384765625e-04 3.937005996704101562e-03 3.596329689025878906e-02 2.131938934326171875e-01
-2.622604370117187500e-05 9.226799011230468750e-05 3.504753112792968750e-04 2.469539642333984375e-03 1.652932167053222656e-02 1.281068325042724609e-01
-1.788139343261718750e-05 7.152557373046875000e-06 6.914138793945312500e-06 1.120567321777343750e-05 2.884864807128906250e-05 6.914138793945312500e-05
+2.145767211914062500e-05 6.175041198730468750e-05 4.422664642333984375e-04 3.235816955566406250e-03 2.289748191833496094e-02 1.855163574218750000e-01
+1.025199890136718750e-05 6.341934204101562500e-05 5.202293395996093750e-04 3.566026687622070312e-03 3.026723861694335938e-02 2.312932014465332031e-01
+2.384185791015625000e-05 1.807212829589843750e-04 6.821155548095703125e-04 4.796504974365234375e-03 2.968001365661621094e-02 2.291278839111328125e-01
+3.504753112792968750e-05 1.106262207031250000e-04 4.322528839111328125e-04 2.696514129638671875e-03 2.188420295715332031e-02 1.477701663970947266e-01
+3.218650817871093750e-05 1.144409179687500000e-05 7.390975952148437500e-06 4.625320434570312500e-05 3.814697265625000000e-05 5.435943603515625000e-05
diff --git a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex
index bc4bfcf..2d0583d 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \rhead{Einleitung}
 
 Die Multiplikation zweier Matrizen ist eine wichtige Operation die in verschiedensten Teilen der Mathematik Anwendung findet.
-Die Beschreibung der Multiplikation aus der Definition 2.10 (\textcolor{blue} {Kein Hyperlink zu einer Definition?)}:
+Die Beschreibung der Multiplikation aus der Definition 2.10:
 
 Eine $m\times n$-Matrix $\mathbf{A}\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ und eine
 $n\times p$-Matrix $\mathbf{B}\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ haben als Produkt
@@ -17,14 +17,8 @@ Koeffizienten
 c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.
 \label{multiplikation:eq:MM}
 \end{equation}
-Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $AB=C$ wie in \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden.
-\begin{figure}
-	\center
-	\includegraphics[]{papers/multiplikation/images/mm_visualisation}
-	\caption{Matrizen Multiplikation}
-	\label{multiplikation:fig:mm_viz}
-\end{figure}
-Im Fall einer Matrizengr\"osse von $2\times 2$
+Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $\mathbf{AB}=\mathbf{C}$ wie in \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden.
+Im Fall einer Matrizengr\"osse von $2\times 2$ kann die Matrixgleichung
 \begin{equation}
   \begin{bmatrix}
 A_{11} & A_{12}\\
@@ -40,7 +34,7 @@ C_{11} & C_{12}\\
 C_{21} & C_{22}
 \end{bmatrix}
 \end{equation}
-kann die Gleichung der einzelnen Terme
+explizt als Gleichung 
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:MM_exp}
 \begin{split}
 C_{11} &= A_{11} \cdot B_{11} + A_{12} \cdot B_{21}\\
@@ -49,4 +43,10 @@ C_{21} &= A_{21} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{21}\\
 C_{22} &= A_{21} \cdot B_{12} + A_{22} \cdot B_{22}
 \end{split}
 \end{equation}
-explizit geschrieben werden.
+der einzelnen Terme geschrieben werden.
+\begin{figure}
+	\center
+	\includegraphics[]{papers/multiplikation/images/mm_visualisation}
+	\caption{Matrizen Multiplikation}
+	\label{multiplikation:fig:mm_viz}
+\end{figure}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf
index dfa2ba4..c29a891 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex
index e3293e4..a415ccb 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex
@@ -39,67 +39,71 @@
 \begin{document}
 
 \begin{tikzpicture}
+
 \begin{axis}[
-    axis lines = left,
+    xmode=log, ymode=log,
+    xmin=1e-0, xmax=5e1,
+    ymin=10e-1, ymax=1e7,
+    grid=both,
+    major grid style={black!50},
     xlabel = $n$ (Data Input),
     ylabel = {$t$ (time)},
     legend pos=north east,
     very thick,
-    ymax = 500,
     yticklabels=\empty,
     xticklabels=\empty,
     scale only axis=true,
   width=12cm, height=6cm,
     ]
 \addplot [
-    domain= 1:20,
+    domain= 1:50,
     samples=100,
     color=red,
 ]
 {1};
 \addlegendentry{$\mathcal{O}(1)$}
 \addplot [
-    domain= 1:20,
+    domain= 1:50,
     samples=100,
     color=green,
 ]
 {x};
 \addlegendentry{$\mathcal{O}(n)$}
 \addplot [
-    domain= 1:20,
+    domain= 1:50,
     samples=100,
     color=blue,
 ]
 {x^2};
-\addlegendentry{$\mathcal{O}(n^2)$}
+\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(n^2\right)$}
 \addplot [
-    domain= 1:10,
+    domain= 1:50,
     samples=100,
     color=purple,
 ]
 {x^3};
-\addlegendentry{$\mathcal{O}(n^3)$}
+\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(n^3\right)$}
 \addplot [
-    domain= 1:10,
+    domain= 1:50,
     samples=100,
     color=black,
 ]
-{exp(x)};
-\addlegendentry{$\mathcal{O}(e^n)$}
+{exp(x) - 1.7};
+\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(e^n\right)$}
 \addplot [
-    domain= 1:20,
+    domain= 1:50,
     samples=100,
     color=orange,
 ]
-{log2(x)};
+{log2(x)+1};
 \addlegendentry{$\mathcal{O}(\log n)$}
 
 \addplot [
-    domain= 1:20,
+    domain= 1:50,
     samples=100,
     color=gray,
 ]
-{x*log2(x)};
+{x*log2(x)+1};
 \addlegendentry{$\mathcal{O}(n \log n)$}
 \end{axis}
 \end{tikzpicture}
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf
new file mode 100644
index 0000000..304015a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_1024.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/meas_1024.pdf
new file mode 100644
index 0000000..70c7ec1
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/meas_1024.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf
index 9899dcb..a30fdaa 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex
index 797772b..5cf39b4 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex
@@ -81,13 +81,13 @@
 	\node at (-3,-10) {$C_{12}=$} ;
 	\node at (-3,-5) {$C_{11}=$} ;
 	
-	\node at (5,-2)  {I};
-	\node at (10,-2)  {II};
-	\node at (15,-2)  {III};
-	\node at (20,-2)  {IV};
-	\node at (25,-2)  {V};
-	\node at (30,-2)  {VI};
-	\node at (35,-2)  {VII};
+	\node at (5,-2)  {P};
+	\node at (10,-2)  {Q};
+	\node at (15,-2)  {R};
+	\node at (20,-2)  {S};
+	\node at (25,-2)  {T};
+	\node at (30,-2)  {U};
+	\node at (35,-2)  {V};
 }
 
 
diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 83be814..6f1486c 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -4,18 +4,18 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\section{L\"osungsmethoden}
-\rhead{L\"osungsmethoden}
+\section{Algorithmen}
+\rhead{Algorithmen}
 
-In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Libraries zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
+In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
 
 \subsection{Standard Algorithmus}
 
-Der Standard Methode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden.
+Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden.
 Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert.
-Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{For j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{For k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
+Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
 
-\begin{algorithm}\caption{Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrix Multiplication}
 	\label{multiplikation:alg:smm}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\begin{algorithmic}[1]
@@ -39,16 +39,18 @@ Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix,
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}(n^3)$
+Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}\left(n^3\right)$
 
 \subsubsection{Divide and Conquer Methode}
 
-F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer} Ans\"atze zu markant besseren Laufzeiten.
-Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}(n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
+F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer}  Ans\"atze \cite{multiplikation:DAC} zu markant besseren Laufzeiten.
+Die Grundidee ist, dass ein Problem in mehrere, meist simplere und kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird.
+Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
 
 Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden.
-Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation, mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
-Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$
+Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
+Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der Gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ aufgeteilt.
+Das Matrizen produklt
 \begin{equation}
 \mathbf{A}\mathbf{B}=
 \begin{bmatrix}
@@ -63,20 +65,18 @@ Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen
 \begin{bmatrix}
 \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\
 \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22}
-\end{bmatrix}
+\end{bmatrix},
 \end{equation}
-aufgeteilt.
-Die Berechnung
 \begin{equation}
 \mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
 \label{multiplikation:eq:MM_block}
 \end{equation}
-ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, wobei hier f\"ur die Multiplikation die Matrizenmultiplikation verwendet wird.
+ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
 
 Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz,
 Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
 Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt.
-\begin{algorithm}\caption{Divide and Conquer Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrix Multiplication}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\label{multiplikation:alg:devide_mm}
 	\begin{algorithmic}
@@ -105,15 +105,11 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} berechnet werden.
-Ohne auf diesen vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit.
+Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algortihmen.
+Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit.
 In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac}
-	\mathcal{T}(n) =
-	\begin{cases}
-	1  & \text{if }  n \leq 2\\
-	8 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  & \text{if }  n > 2
-	\end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}(n^{3})
+	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T}\left (\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}\left (n^{3} \right )
 \end{equation}
 zu einer kubischen Laufzeit.
 Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden.
@@ -122,20 +118,20 @@ In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung
 
 \subsection{Strassen's Algorithmus}
 
-Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen.
-Die Grundlegenden Terme
+Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen von Blockmatrizen.
+Die grundlegenden Terme
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen}
 \begin{split}
-\text{\textbf{P}}   &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}) \\
-\text{\textbf{Q}}  &= (\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}) \cdot \mathbf{B}_{11} \\
-\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot (\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}) \\
-\text{\textbf{S}}  &= \mathbf{A}_{22} \cdot (-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}) \\
-\text{\textbf{T}}   &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}) \cdot \mathbf{B}_{22} \\
-\text{\textbf{U}}  &= (-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}) \\
-\text{\textbf{V}} &= (\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22})
+\text{\textbf{P}}   &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}\right ) \\
+\text{\textbf{Q}}  &= \left(\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \mathbf{B}_{11} \\
+\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot \left(\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}\right ) \\
+\text{\textbf{S}}  &= \mathbf{A}_{22} \cdot \left(-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}\right ) \\
+\text{\textbf{T}}   &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}\right ) \cdot \mathbf{B}_{22} \\
+\text{\textbf{U}}  &= \left(-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}\right ) \\
+\text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right )
 \end{split}
 \end{equation}
-aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\mathbf{C}$
+aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2}
 \begin{split}
 \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\
@@ -144,8 +140,8 @@ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\math
 \mathbf{C}_{22} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{R}} - \text{\textbf{Q}} + \text{\textbf{U}}
 \end{split}
 \end{equation}
-gebraucht.
-\begin{algorithm}\caption{Strassen Matrix Multiplication}
+der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Strassen Matrix Multiplication}
 	\label{multiplikation:alg:strassen}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\begin{algorithmic}
@@ -190,7 +186,11 @@ gebraucht.
 		\EndFunction
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
-Strassens's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
+Strassen's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
+Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ .
+Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die addition welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
+Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$.
+Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf}
@@ -202,17 +202,15 @@ Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen.
 Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen}
 \mathcal{T}(n) =
-\begin{cases}
-1  & \text{if }  n \leq 2\\
-7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  & \text{if }  n > 2
-\end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 7}) = \mathcal{O}(n^{2.8074})
+7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right )
 \end{equation}
-und ist somit schneller als die Standard Methode.
+und ist somit schneller als die Standardmethode.
+Man beachte, dass die Anzahl von Additionen und Subtraktionen gr\"osser und die Anzahl der Multiplikationen kleiner wurde.
 
 \subsection{Winograd's Algorithmus}
 
-Ein weiterer Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}.
-Er zeigte einen neuen Algorithmus f\"ur das
+Einen weiteren Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}.
+Er beschrieb einen neuen Algorithmus f\"ur das
 \begin{equation}
 	\langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i
 \end{equation}
@@ -236,6 +234,7 @@ Das Skalarprodukt ist nun geben mit
 
 Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte.
 Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt.
+
 Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet.
 Dies f\"uhrt zu
 \begin{equation}
@@ -243,10 +242,10 @@ Dies f\"uhrt zu
 \end{equation}
 Multiplikationen.
 Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt.
-Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standard Methode nur die H\"alfte ist.
-Die Implementation kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
+Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
+Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
 
-\begin{algorithm}\caption{Winograd Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograd Matrix Multiplication}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\label{multiplikation:alg:winograd}
 	\begin{algorithmic}
@@ -297,13 +296,170 @@ Die Implementation kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnomm
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-\subsection{Weitere Algorithmen}
+\subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}
+
+die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}  \cite{multiplikation:BLAS}.
+Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. 
+
+\textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt.
+
+\begin{itemize}
+	\item Level 1
+	\begin{itemize}
+		\item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{x}+\mathbf{y}$
+		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n)$ karakteristik 
+	\end{itemize}
+	\item Level 2
+	\begin{itemize}
+		\item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{x}+\beta  \mathbf{y}$
+		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ karakteristik 
+		\end{itemize}
+		\item Level 3
+		\begin{itemize}
+			\item Operationen der Art: $\mathbf{C} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{B}+\beta\mathbf{C}$
+			\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ karakteristik 
+			\end{itemize}
+\end{itemize}
+
+Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren.
+
+
+\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)}
+
+Die \textit{Double-GEMM} \cite{multiplikation:DGEMM} ist definiert als:
+
+\textit{DGEMM  performs one of the matrix-matrix operations}
+$$
+ C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C,
+ $$
+ \textit{where  op( X ) is one of}
+$$
+op( X ) = X  \quad \text{ or } \quad  op( X ) = X^T,
+$$
+ \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A )
+ an m by k matrix,  op( B )  a  k by n matrix and  C an m by n matrix.
+ }
+
+%Die Implementation von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei  $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als
+%\begin{lstlisting}[style=multiplikationC]
+%cblas_dgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans,
+%      m, n, k, 1, A, m , B, k, 0, C, m);
+%\end{lstlisting}
+%definiert.
+
 
-\textcolor{red}{TODO: BLAS}
 
-\section{Implementation}
+\section{Implementation}\label{multiplikation:section:Implementation}
 \rhead{Implementation}
-\textcolor{red}{TODO: messresultate}
+
+Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert.
+\begin{itemize}
+	\item Standard Matrizenmultiplikation
+	\item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation
+	\item Strassen's Matrizenmultiplikation
+	\item Winograd's Matrizenmultiplikation
+	\item \texttt{BLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C}
+	\item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python}
+\end{itemize}
+
+Der Code kann im dazugehörigen \textit{GitHub} Repository gefunden werden.
+Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten.
+In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich.
+Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{multiplikation:tab:pc_config} aufgelistet.
+
+
+\begin{table}
+			 \begin{center}
+					 \begin{tabular}{l l l l l l}
+							 \hline
+							 \hline
+							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{BLAS (\textit{s})} \\
+							 \hline
+							 \multicolumn{6}{c}{} \\
+							 \textbf{32}   & 0.000081 &0.000594 &  0.00047& 0.00010 & 0.000022  \\
+							 \textbf{64}   & 0.00065  & 0.0042&  0.0033& 0.00065& 0.00017 \\
+							 \textbf{128}  & 0.0055   & 0.036&  0.024&  0.0052 & 0.0012 \\
+							 \textbf{256}  & 0.054    & 0.32 & 0.17 &  0.057& 0.010 \\
+							 \textbf{512}  & 0.48     & 2.61 & 1.20 & 0.51 &  0.074\\
+							 \textbf{1024} & 4.16     & 19.92& 8.45  & 4.53 & 0.704 \\
+							 \textbf{2048} & 125.90   & 159.33& 59.26 & 130.62 &  6.84 \\
+							 \textbf{4096} & 1111.31  & 1147.10& 414.64 & 1179.26  &  55.84\\
+							 \multicolumn{6}{c}{} \\
+							 \hline
+							 \hline
+					 \end{tabular}
+			 \end{center}
+			 \caption{Messresultate \texttt{C}}
+			 \label{multiplikation:tab:messung_C}
+	 \end{table}
+	 
+	 
+
+	 \begin{table}
+	 			 \begin{center}
+	 					 \begin{tabular}{l l l l l l}
+	 							 \hline
+	 							 \hline
+	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{\texttt{NumPy}(\textit{s})} \\
+	 							 \hline
+	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
+	 							 \textbf{32}   & 0.0240 &0.0271 &  0.04852& 0.01871 & 4.26e-05  \\
+	 							 \textbf{64}   & 0.186  & 0.265&  0.2204& 0.1530& 0.000118 \\
+	 							 \textbf{128}  & 1.563   & 1.777&  1.447&  1.1947 & 0.000244 \\
+	 							 \textbf{256}  & 11.006    & 13.27 & 9.938 &  8.298& 0.000695 \\
+	 							 \textbf{512}  & 85.476    & 105.397 & 63.961 & 68.36 &  0.00221\\
+	 							 \textbf{1024} & 750.757     & 847.321& 461.494  & 537.374 & 0.0188 \\
+								 \textbf{4096} & -     & - & -  & - & 1.633 \\
+	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
+	 							 \hline
+	 							 \hline
+	 					 \end{tabular}
+	 			 \end{center}
+	 			 \caption{Messresultate \texttt{Python}}
+	 			 \label{multiplikation:tab:messung_Python}
+	 	 \end{table}
+
+		 \begin{table}
+		 			 \begin{center}
+		 					 \begin{tabular}{c c c c}
+		 							 \hline
+		 							 \hline
+		 							 \textbf{CPU} & \textbf{OS} &  \textbf{GPU } & \textbf{Memory }  \\
+		 							 \hline
+		 							 \multicolumn{4}{c}{} \\
+		 							   Intel® Core™ i7-4770K CPU  & Ubuntu 20.04.2 LTS & Radeon RX 570 &  32 GB 1600 MHz   \\
+										 @ 3.50GHz × 8  & 64-bit & &    \\
+		 							 \multicolumn{4}{c}{} \\
+		 							 \hline
+		 							 \hline
+		 					 \end{tabular}
+		 			 \end{center}
+		 			 \caption{Messsystem}
+		 			 \label{multiplikation:tab:pc_config}
+		 	 \end{table}
+
+\begin{figure}
+	\center
+	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/c_meas_4096}
+	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{C}}
+	\label{multiplikation:fig:c_meas_4096}
+\end{figure}
+
+
+\begin{figure}
+	\center
+	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_1024}
+	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}}
+	\label{multiplikation:fig:python}
+\end{figure}
 
 \section{Fazit}
 \rhead{Fazit}
+
+Wie man im Abschnitt\ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
+Einen optimierten Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus.
+
+Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung.
+Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden.
+Denke man an sehr kleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinheiten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}.
+Sobald sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durchführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein.
diff --git a/buch/papers/multiplikation/main.tex b/buch/papers/multiplikation/main.tex
index 8d0a8df..fb1908e 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/main.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/main.tex
@@ -4,6 +4,28 @@
 %
 % (c) 2021 Hochschule Rapperswil
 %
+\definecolor{mygreen}{RGB}{28,172,0} % color values Red, Green, Blue
+\definecolor{mylilas}{RGB}{170,55,241}
+\definecolor{backcolour}{rgb}{0.95,0.95,0.92}
+\lstdefinestyle{multiplikationC}{
+  numbers=left,
+  belowcaptionskip=1\baselineskip,
+  breaklines=true,
+  frame=l,
+  framerule=0pt,
+  framesep=-1pt,
+  xleftmargin=1em,
+  language=C,
+  showstringspaces=false,
+  basicstyle=\ttfamily,
+  keywordstyle=\bfseries\color{green!40!black},
+  commentstyle=\itshape\color{purple!40!black},
+  identifierstyle=\color{blue},
+  stringstyle=\color{red},
+  numberstyle=\ttfamily\tiny,
+  backgroundcolor=\color{backcolour}
+}
+
 \chapter{Schnelle Matrizen Multiplikation\label{chapter:multiplikation}}
 \lhead{FMM}
 \begin{refsection}
diff --git a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex
index b20a791..cd5aaaa 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex
@@ -6,24 +6,24 @@
 \section{Problemstellung}
 \rhead{Problemstellung}
 Dank der breiten Anwendung der Matrizenmultiplikation ist eine effiziente L\"osung dieser Operation von grosser Bedeutung.
-Das Ziel dieses Papers ist verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen.
-Wobei gezielt auf Algorithmen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus L\"osen eingegangen wird.
+Das Ziel dieses Papers ist, verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen.
+Gezielt werden auf Algorithmen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus L\"osen eingegangen.
 
 \subsection{Big $\mathcal{O}$ Notation}
 Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus \cite{multiplikation:bigo}.
-$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt das die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$.
+$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$.
 Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgende Notation verwendet:
 \begin{itemize}
 	\item $f \in \mathcal{O}(1) \rightarrow f$ ist beschr\"ankt
 	\item $f \in \mathcal{O}(n) \rightarrow f$ w\"achst linear
-	\item $f \in \mathcal{O}(n^2) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch
+	\item $f \in \mathcal{O}\left (n^2 \right ) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch
 	\item $f \in \mathcal{O}(\log n) \rightarrow f$ w\"achst logarithmisch
 	\item $f \in \mathcal{O}(n \log n) \rightarrow f$ hat super-lineares Wachstum
-	\item $f \in \mathcal{O}(e^n) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell
+	\item $f \in \mathcal{O}\left (e^n \right ) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell
 	\item usw.
 \end{itemize}
 
-In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die Verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. 
+In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. 
 
 \begin{figure}
 	\center
@@ -33,11 +33,13 @@ In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die Verschiedenen Laufze
 \end{figure}
 
 \subsubsection{Beispiel Algorithmen}
+
+Folgend einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden k\"onnen.
 \paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus}
 
-Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden.
+Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen einfluss auf die Laufzeit.
 
-\begin{algorithm}\caption{}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{}
 	\label{multiplikation:alg:b1}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\begin{algorithmic}
@@ -47,9 +49,10 @@ Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmu
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Wobei Konstanten nicht beachtet werden, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu  $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$.
+Konstanten werden nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu  $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$.
+
 
-\begin{algorithm}\caption{}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{}
 	\label{multiplikation:alg:b2}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\begin{algorithmic}
@@ -63,13 +66,14 @@ Wobei Konstanten nicht beachtet werden, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:
 
 \paragraph{Linearer Algorithmus}
 
-Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares $\mathcal{O}(n)$ Verhalten.
+Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares Verhalten.
+Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}(n)$.
 
-\begin{algorithm}\caption{}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\begin{algorithmic}
 		\label{multiplikation:alg:l1}
-		\Function{L}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n}
+		\Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n}
 		\State $ sum \gets 0$
 		\For{$i = 0,1,2 \dots,n$}
 		\State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $
@@ -83,9 +87,11 @@ Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares $\mathcal{O}(
 
 \paragraph{Quadratischer Algorithmus}
 
-Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches $\mathcal{O}(n^2)$ Verhalten.
+Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten.
+Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchglaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$.
+
 
-\begin{algorithm}[H]\caption{}
+\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
 	\label{multiplikation:alg:q1}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\begin{algorithmic}
diff --git a/buch/papers/multiplikation/references.bib b/buch/papers/multiplikation/references.bib
index 9d76e8e..8815386 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/references.bib
+++ b/buch/papers/multiplikation/references.bib
@@ -63,3 +63,40 @@
 	month = {7},
 	day = {27}
 }
+
+@online{multiplikation:master_theorem,
+	title = {Master theorem (analysis of algorithms)},
+	url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Master_theorem_(analysis_of_algorithms)},
+	date = {2021-07-28},
+	year = {2021},
+	month = {7},
+	day = {28}
+}
+
+
+@online{multiplikation:DAC,
+	title = {Divide-and-conquer algorithm},
+	url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Divide-and-conquer_algorithm},
+	date = {2021-07-28},
+	year = {2021},
+	month = {7},
+	day = {28}
+}
+
+@online{multiplikation:BLAS,
+	title = {BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms)},
+	url = {http://www.netlib.org/blas/},
+	date = {2021-08-01},
+	year = {2021},
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+}
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+@online{multiplikation:DGEMM,
+	title = {DGEMM},
+	url = {http://www.netlib.org/lapack/explore-html/d1/d54/group__double__blas__level3_gaeda3cbd99c8fb834a60a6412878226e1.html#gaeda3cbd99c8fb834a60a6412878226e1},
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