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diff --git a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex
index bc4bfcf..ea71d91 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex
@@ -17,14 +17,8 @@ Koeffizienten
 c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.
 \label{multiplikation:eq:MM}
 \end{equation}
-Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $AB=C$ wie in \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden.
-\begin{figure}
-	\center
-	\includegraphics[]{papers/multiplikation/images/mm_visualisation}
-	\caption{Matrizen Multiplikation}
-	\label{multiplikation:fig:mm_viz}
-\end{figure}
-Im Fall einer Matrizengr\"osse von $2\times 2$
+Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $\mathbf{AB}=\mathbf{C}$ wie in \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden.
+Im Fall einer Matrizengr\"osse von $2\times 2$ kann die Matrixgleichung
 \begin{equation}
   \begin{bmatrix}
 A_{11} & A_{12}\\
@@ -40,7 +34,7 @@ C_{11} & C_{12}\\
 C_{21} & C_{22}
 \end{bmatrix}
 \end{equation}
-kann die Gleichung der einzelnen Terme
+explizt als Gleichung 
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:MM_exp}
 \begin{split}
 C_{11} &= A_{11} \cdot B_{11} + A_{12} \cdot B_{21}\\
@@ -49,4 +43,10 @@ C_{21} &= A_{21} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{21}\\
 C_{22} &= A_{21} \cdot B_{12} + A_{22} \cdot B_{22}
 \end{split}
 \end{equation}
-explizit geschrieben werden.
+der einzelnen Terme geschrieben werden.
+\begin{figure}
+	\center
+	\includegraphics[]{papers/multiplikation/images/mm_visualisation}
+	\caption{Matrizen Multiplikation}
+	\label{multiplikation:fig:mm_viz}
+\end{figure}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf
index dfa2ba4..a2599fa 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex
index e3293e4..71826f5 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex
@@ -39,67 +39,73 @@
 \begin{document}
 
 \begin{tikzpicture}
+
 \begin{axis}[
-    axis lines = left,
+    xmode=log,
+   ymode=log,
+   log ticks with fixed point,
     xlabel = $n$ (Data Input),
     ylabel = {$t$ (time)},
     legend pos=north east,
     very thick,
-    ymax = 500,
+    grid=minor,
+    ymax = 100000,
+    ymin = 0.5,
+    xmin = 1,
     yticklabels=\empty,
     xticklabels=\empty,
     scale only axis=true,
   width=12cm, height=6cm,
     ]
 \addplot [
-    domain= 1:20,
+    domain= 1:50,
     samples=100,
     color=red,
 ]
 {1};
 \addlegendentry{$\mathcal{O}(1)$}
 \addplot [
-    domain= 1:20,
+    domain= 1:50,
     samples=100,
     color=green,
 ]
 {x};
 \addlegendentry{$\mathcal{O}(n)$}
 \addplot [
-    domain= 1:20,
+    domain= 1:50,
     samples=100,
     color=blue,
 ]
 {x^2};
-\addlegendentry{$\mathcal{O}(n^2)$}
+\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(n^2\right)$}
 \addplot [
-    domain= 1:10,
+    domain= 1:50,
     samples=100,
     color=purple,
 ]
 {x^3};
-\addlegendentry{$\mathcal{O}(n^3)$}
+\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(n^3\right)$}
 \addplot [
-    domain= 1:10,
+    domain= 1:50,
     samples=100,
     color=black,
 ]
-{exp(x)};
-\addlegendentry{$\mathcal{O}(e^n)$}
+{exp(x) - 1.7};
+\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(e^n\right)$}
 \addplot [
-    domain= 1:20,
+    domain= 1:50,
     samples=100,
     color=orange,
 ]
-{log2(x)};
+{log2(x)+1};
 \addlegendentry{$\mathcal{O}(\log n)$}
 
 \addplot [
-    domain= 1:20,
+    domain= 1:50,
     samples=100,
     color=gray,
 ]
-{x*log2(x)};
+{x*log2(x)+1};
 \addlegendentry{$\mathcal{O}(n \log n)$}
 \end{axis}
 \end{tikzpicture}
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf
index 9899dcb..a30fdaa 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf
diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex
index 797772b..5cf39b4 100644
--- a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex
@@ -81,13 +81,13 @@
 	\node at (-3,-10) {$C_{12}=$} ;
 	\node at (-3,-5) {$C_{11}=$} ;
 	
-	\node at (5,-2)  {I};
-	\node at (10,-2)  {II};
-	\node at (15,-2)  {III};
-	\node at (20,-2)  {IV};
-	\node at (25,-2)  {V};
-	\node at (30,-2)  {VI};
-	\node at (35,-2)  {VII};
+	\node at (5,-2)  {P};
+	\node at (10,-2)  {Q};
+	\node at (15,-2)  {R};
+	\node at (20,-2)  {S};
+	\node at (25,-2)  {T};
+	\node at (30,-2)  {U};
+	\node at (35,-2)  {V};
 }
 
 
diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 83be814..8bdbf2c 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -4,16 +4,16 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\section{L\"osungsmethoden}
-\rhead{L\"osungsmethoden}
+\section{Algorithmen}
+\rhead{Algorithmen}
 
 In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Libraries zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
 
 \subsection{Standard Algorithmus}
 
-Der Standard Methode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden.
+Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden.
 Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert.
-Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{For j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{For k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
+Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
 
 \begin{algorithm}\caption{Matrix Multiplication}
 	\label{multiplikation:alg:smm}
@@ -39,16 +39,18 @@ Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix,
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}(n^3)$
+Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}\left(n^3\right)$
 
 \subsubsection{Divide and Conquer Methode}
 
-F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer} Ans\"atze zu markant besseren Laufzeiten.
-Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}(n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
+F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer}  Ans\"atze \cite{multiplikation:DAC} zu markant besseren Laufzeiten.
+Die Grundidee ist, dass ein Problem in mehrere, meist simplere und kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird.
+Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
 
 Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden.
-Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation, mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
-Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$
+Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
+Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der Gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ aufgeteilt.
+Das Matrizen produklt
 \begin{equation}
 \mathbf{A}\mathbf{B}=
 \begin{bmatrix}
@@ -64,11 +66,9 @@ Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen
 \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\
 \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22}
 \end{bmatrix}
-\end{equation}
-aufgeteilt.
-Die Berechnung
+\end{equation},
 \begin{equation}
-\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
+\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}.
 \label{multiplikation:eq:MM_block}
 \end{equation}
 ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, wobei hier f\"ur die Multiplikation die Matrizenmultiplikation verwendet wird.
@@ -105,15 +105,11 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} berechnet werden.
-Ohne auf diesen vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit.
+Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algortihmen.
+Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit.
 In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac}
-	\mathcal{T}(n) =
-	\begin{cases}
-	1  & \text{if }  n \leq 2\\
-	8 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  & \text{if }  n > 2
-	\end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}(n^{3})
+	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T}\left (\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}\left (n^{3} \right )
 \end{equation}
 zu einer kubischen Laufzeit.
 Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden.
@@ -122,20 +118,20 @@ In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung
 
 \subsection{Strassen's Algorithmus}
 
-Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen.
-Die Grundlegenden Terme
+Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen von Blockmatrizen.
+Die grundlegenden Terme
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen}
 \begin{split}
-\text{\textbf{P}}   &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}) \\
-\text{\textbf{Q}}  &= (\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}) \cdot \mathbf{B}_{11} \\
-\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot (\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}) \\
-\text{\textbf{S}}  &= \mathbf{A}_{22} \cdot (-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}) \\
-\text{\textbf{T}}   &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}) \cdot \mathbf{B}_{22} \\
-\text{\textbf{U}}  &= (-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}) \\
-\text{\textbf{V}} &= (\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22})
+\text{\textbf{P}}   &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}\right ) \\
+\text{\textbf{Q}}  &= \left(\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \mathbf{B}_{11} \\
+\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot \left(\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}\right ) \\
+\text{\textbf{S}}  &= \mathbf{A}_{22} \cdot \left(-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}\right ) \\
+\text{\textbf{T}}   &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}\right ) \cdot \mathbf{B}_{22} \\
+\text{\textbf{U}}  &= \left(-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}\right ) \\
+\text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right )
 \end{split}
 \end{equation}
-aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\mathbf{C}$
+aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke 
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2}
 \begin{split}
 \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\
@@ -144,7 +140,7 @@ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\math
 \mathbf{C}_{22} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{R}} - \text{\textbf{Q}} + \text{\textbf{U}}
 \end{split}
 \end{equation}
-gebraucht.
+der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
 \begin{algorithm}\caption{Strassen Matrix Multiplication}
 	\label{multiplikation:alg:strassen}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
@@ -190,7 +186,11 @@ gebraucht.
 		\EndFunction
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
-Strassens's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
+Strassen's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
+Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . 
+Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die addition welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
+Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$.
+Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.  
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf}
@@ -202,17 +202,14 @@ Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen.
 Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen}
 \mathcal{T}(n) =
-\begin{cases}
-1  & \text{if }  n \leq 2\\
-7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  & \text{if }  n > 2
-\end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 7}) = \mathcal{O}(n^{2.8074})
+7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right )
 \end{equation}
-und ist somit schneller als die Standard Methode.
+und ist somit schneller als die Standardmethode.
 
 \subsection{Winograd's Algorithmus}
 
-Ein weiterer Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}.
-Er zeigte einen neuen Algorithmus f\"ur das
+Einen weiteren Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}.
+Er beschrieb einen neuen Algorithmus f\"ur das
 \begin{equation}
 	\langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i
 \end{equation}
@@ -236,6 +233,7 @@ Das Skalarprodukt ist nun geben mit
 
 Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte.
 Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt.
+
 Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet.
 Dies f\"uhrt zu
 \begin{equation}
@@ -243,8 +241,8 @@ Dies f\"uhrt zu
 \end{equation}
 Multiplikationen.
 Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt.
-Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standard Methode nur die H\"alfte ist.
-Die Implementation kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
+Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
+Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
 
 \begin{algorithm}\caption{Winograd Matrix Multiplication}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
diff --git a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex
index b20a791..fed6a9f 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex
@@ -6,24 +6,24 @@
 \section{Problemstellung}
 \rhead{Problemstellung}
 Dank der breiten Anwendung der Matrizenmultiplikation ist eine effiziente L\"osung dieser Operation von grosser Bedeutung.
-Das Ziel dieses Papers ist verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen.
-Wobei gezielt auf Algorithmen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus L\"osen eingegangen wird.
+Das Ziel dieses Papers ist, verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen.
+Gezielt werden auf Algorithmen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus L\"osen eingegangen.
 
 \subsection{Big $\mathcal{O}$ Notation}
 Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus \cite{multiplikation:bigo}.
-$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt das die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$.
+$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$.
 Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgende Notation verwendet:
 \begin{itemize}
 	\item $f \in \mathcal{O}(1) \rightarrow f$ ist beschr\"ankt
 	\item $f \in \mathcal{O}(n) \rightarrow f$ w\"achst linear
-	\item $f \in \mathcal{O}(n^2) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch
+	\item $f \in \mathcal{O}\left (n^2 \right ) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch
 	\item $f \in \mathcal{O}(\log n) \rightarrow f$ w\"achst logarithmisch
 	\item $f \in \mathcal{O}(n \log n) \rightarrow f$ hat super-lineares Wachstum
-	\item $f \in \mathcal{O}(e^n) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell
+	\item $f \in \mathcal{O}\left (e^n \right ) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell
 	\item usw.
 \end{itemize}
 
-In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die Verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. 
+In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. 
 
 \begin{figure}
 	\center
@@ -33,9 +33,11 @@ In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die Verschiedenen Laufze
 \end{figure}
 
 \subsubsection{Beispiel Algorithmen}
+
+Folgend einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklassen geh\"oren.
 \paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus}
 
-Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden.
+Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen einfluss auf die Laufzeit.
 
 \begin{algorithm}\caption{}
 	\label{multiplikation:alg:b1}
@@ -47,7 +49,7 @@ Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmu
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Wobei Konstanten nicht beachtet werden, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu  $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$.
+Konstanten werden nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu  $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$.
 
 \begin{algorithm}\caption{}
 	\label{multiplikation:alg:b2}
@@ -63,13 +65,14 @@ Wobei Konstanten nicht beachtet werden, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:
 
 \paragraph{Linearer Algorithmus}
 
-Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares $\mathcal{O}(n)$ Verhalten.
+Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares Verhalten.
+Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchgef\"hrt und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}(n)$.
 
 \begin{algorithm}\caption{}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\begin{algorithmic}
 		\label{multiplikation:alg:l1}
-		\Function{L}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n}
+		\Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n}
 		\State $ sum \gets 0$
 		\For{$i = 0,1,2 \dots,n$}
 		\State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $
@@ -83,7 +86,9 @@ Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares $\mathcal{O}(
 
 \paragraph{Quadratischer Algorithmus}
 
-Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches $\mathcal{O}(n^2)$ Verhalten.
+Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten.
+Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchgef\"hrt und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$.
+
 
 \begin{algorithm}[H]\caption{}
 	\label{multiplikation:alg:q1}
diff --git a/buch/papers/multiplikation/references.bib b/buch/papers/multiplikation/references.bib
index 9d76e8e..63cb976 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/references.bib
+++ b/buch/papers/multiplikation/references.bib
@@ -63,3 +63,23 @@
 	month = {7},
 	day = {27}
 }
+
+@online{multiplikation:master_theorem,
+	title = {Master theorem (analysis of algorithms)},
+	url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Master_theorem_(analysis_of_algorithms)},
+	date = {2021-07-28},
+	year = {2021},
+	month = {7},
+	day = {28}
+}
+
+
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