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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 76b3f72..a124442 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Kristalle}
 %einleitung sollte noch an das ende von der Symmetrie angepasst werden
-Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können. 
+Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können.
 Wir werden uns aber nicht auf sein Äusseres fokussieren, sondern was ihn im Inneren ausmacht.
 Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
 \begin{definition}[Kristall]
@@ -12,20 +12,17 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/lattice}
     \caption{
         Zweidimensionales Kristallgitter.
-        \texttt{TODO: make wider and shorter}
         \label{fig:punktgruppen:lattice}
     }
 \end{figure}
 \subsection{Kristallgitter}
-Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} dargestellt.
-Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in zwei Dimensionen.
-Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
-Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt 
-und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, 
-endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
-Im dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also 
+Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}.
+Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes dargestellt und betrachten dies nur in zwei Dimensionen.
+Die eingezeichneten Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
+Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
+Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor \(\vec{c}\) also
 \[
-    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}   
+    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}
 \]
 erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
 Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben,
@@ -55,7 +52,6 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries}
     \caption{
         Translations und Rotationssymmetrisches Kristallgitter
-        \texttt{TODO: make wider and change color (yellow)}
     }
     \label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
 \end{figure}
@@ -64,49 +60,45 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
  In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
 
  \begin{itemize}
-     \item  $A$ ist unser erster Gitterpunkt. 
+     \item  \(A\) ist unser erster Gitterpunkt. 
 
-     \item  $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, 
-            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der verschobenen Stelle sein muss.
-     \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden.
-            Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. 
-            Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt $A'$ abgedreht wird.
-            An der neuen Position $B$ von $A'$ muss also auch ein Punkt des  Gitters sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
-      \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. 
-            Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden.
-            Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert
-            \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren. 
-            Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
-            auch auf $A'$ an. 
-            Dies dreht $A$ auf einen neuen Punkt.
-     \item $B'$ ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
-            Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet.
+     \item  \(A'\) ist gegeben, weil wir \(A\) mit der Translation \(\vec{Q}\) um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der verschobenen Stelle sein muss.
+     \item \(B\) entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie \(C_\alpha\) auf den Punkt \(A\) anwenden.
+         Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel \(\alpha\). 
+         Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt \(A'\) abgedreht wird.
+         An der neuen Position \(B\) von \(A'\) muss also auch ein Punkt des Gitters sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
+     \item \(B\) ist unser Name für diesen neuen Punkt.
+         Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir \(C_\alpha\) auch auf \(A'\) anwenden.
+         Also wenden wir \(C_\alpha\) invertiert
+         \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.
+         Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
+         auch auf \(A'\) an. 
+         Dies dreht \(A\) auf einen neuen Punkt.
+     \item \(B'\) ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
+         Die Translationssymmetrie zwischen \(B\) und \(B'\) ist hier als \(\vec{Q}'\) bezeichnet.
  \end{itemize}  
  Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
- Wir beginnen, indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen.
- Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass $|Q| = |Q'|+ 2x$.
- Ist $Q$ ein Grundvektor so muss $|Q'|$ ein ganzes vielfaches von $|Q|$ sein. Also 
+ Wir beginnen, indem wir die Länge \(Q\) der Translation \(\vec{Q}\) mit jener von \(\vec{Q}'\) vergleichen.
+ Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass \(Q' = Q + 2x\).
+ Ist \(\vec{Q}\) ein Grundvektor so muss \(Q'\) ein ganzes vielfaches von \(Q\) sein.
+ Also
  \[
-    |Q'| = n|Q| = |Q| + 2x
+    Q' = nQ = Q + 2x
  \]
- Die Strecke $x$ lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel $\alpha$ ausdrücken:
+ Die Strecke \(x\) lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel \(\alpha\) ausdrücken:
  \[
-    n|Q| = |Q| + 2|Q|\sin(\alpha - \pi/2)
+    nQ = Q + 2Q\sin(\alpha - \pi/2)
  \]
- Wir können durch $|Q|$ dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, 
- was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangiert. 
+ Wir können durch \(Q\) dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangiert.
  Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen.
  \[
-     n = 1 - 2\cos\alpha
-     
- \]
- \[
+     n = 1 - 2\cos\alpha \quad\iff\quad
      \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1-n}{2}\right)
  \]
  Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
- \[
+ \(
      \alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\}
- \]
+ \)
 ein.
 
 \begin{figure}
@@ -119,14 +111,14 @@ ein.
 \subsection{Kristallklassen}
 Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
 Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
-nur auf genau $32$ Arten rein punktsymmetrische
+nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische
 \footnote{Werden translationssymmetrien auch mit gezählt beschreibt man die 230 Raumgruppen} 
 Symmetriegruppen bilden können.
-Diese $32$ möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
-Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
+Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
+Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nach dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
 welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
 Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
-Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei die gestrichelten $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. 
+Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. 
 
 
 \subsubsection{Schönflies Notation}
@@ -134,3 +126,4 @@ TODO
 
 
 
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