Review crystal classes subsection and fix typos

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index 8c655e2..922afd9 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -32,9 +32,9 @@ Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigens
 Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind.
 Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter \( G \) ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
 \[
-    \vec{Q}_i(G) = G + \vec{a}_i,
+    \vec{Q}(G) = G + \vec{a},
 \]
-wobei der Vektor \(\vec{a}_i\) ein Grundvektor sein muss.
+wobei der Vektor \(\vec{a}\) ein Grundvektor sein muss.
 Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination der Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) erlaubt sind oder kurz, um \(\vec{r}\).
 Verschiebungen um \(\vec{r}\) bewirken demnach keine Veränderungen, solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 
@@ -77,7 +77,7 @@ Verschiebungen um \(\vec{r}\) bewirken demnach keine Veränderungen, solange wir
  \end{itemize}  
  Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
  Wir beginnen, indem wir die Länge \(Q\) der Translation \(\vec{Q}\) mit jener von \(\vec{Q}'\) vergleichen.
- Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass \(Q = Q' + 2x\).
+ Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass \(Q' = Q + 2x\).
  Ist \(\vec{Q}\) ein Grundvektor so muss \(Q'\) ein ganzes vielfaches von \(Q\) sein.
  Also
  \[
@@ -107,15 +107,12 @@ ein.
 \end{figure}
 
 \subsection{Kristallklassen}
-Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
-Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
-\footnote{Alle \(17\) möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt} 
-nur auf genau \(32\) Arten punktsymmetrisch sein können.
-Diese \(32\) möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
-Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
-welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
+Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind\footnote{Alle 17 möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt}.
+Mit weiteren ähnlichen \"Uberlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum nur auf genau 32 Arten punktsymmetrisch sein können.
+Diese 32 möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
+Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nach dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich mit der Klassifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
 Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
-Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei \(5\) Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden.  
+Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei die gestrichelte Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden.
 
 
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