fix intro Kristalle

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index 18b8395..88e683f 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -1,9 +1,7 @@
 \section{Kristalle}
-% TODO: einleitung sollte noch an das ende von der Symmetrie angepasst werden
-% TODO: sich jeder => paper sprache
-Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können.
-Wir werden uns aber nicht auf sein Äusseres fokussieren, sondern was ihn im Inneren ausmacht.
-Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
+Eine nicht allzu häufig gestellte Frage ist, wie ein Kristall definiert ist.
+Um zu klären, was ein Kristall mit Symmetrien zu tun hat, ist genau diese Frage äusserst relevant. 
+Glücklicherweise ist das Innere eines Kristalles relativ einfach definiert.
 \begin{definition}[Kristall]
     Ein Kristall besteht aus Atomen, welche sich in einem Muster arrangieren, welches sich in drei Dimensionen periodisch wiederholt.
 \end{definition}
@@ -81,8 +79,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
          An der neuen Position \(B\) von \(A'\) muss also auch ein Punkt des Gitters sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
      \item \(B\) ist unser Name für diesen neuen Punkt.
          Da auch die Eigenschaften des Kristallgitters periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir \(C_n\) auch auf \(A'\) anwenden.
-         Also wenden wir \(C_n\) invertiert\footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.} 
-         auch auf \(A'\) an. 
+         Also wenden wir \(C_n^{-1}\) auch auf \(A'\) an. 
          Dies dreht \(A\) auf einen neuen Punkt.
      \item \(B'\) ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
          Die  Translationssymmetrie zwischen \(B\) und \(B'\) ist hier als \(\vec{Q}'\) bezeichnet.