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authorNao Pross <np@0hm.ch>2021-06-20 19:11:28 +0200
committerNao Pross <np@0hm.ch>2021-06-20 19:11:28 +0200
commit0a850778d935434519f3b3a2a522ee37dcef073b (patch)
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-rw-r--r--buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex934
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new file mode 100644
index 0000000..6ee6cc7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex
@@ -0,0 +1,934 @@
+\documentclass[11pt,aspectratio=169]{beamer}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{lmodern}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage{tikz}
+\usetheme{Hannover}
+
+\begin{document}
+ \author{Joshua Bär und Michael Steiner}
+ \title{Reed-Solomon-Code}
+ \subtitle{}
+ \logo{}
+ \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
+ \date{26.04.2021}
+ \subject{Mathematisches Seminar}
+ %\setbeamercovered{transparent}
+ \setbeamercovered{invisible}
+ \setbeamertemplate{navigation symbols}{}
+ \begin{frame}[plain]
+ \maketitle
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Einführung}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Reed-Solomon-Code:}
+ \begin{itemize}
+ \visible<1->{\item Für Übertragung von Daten}
+ \visible<2->{\item Ermöglicht Korrektur von Übertragungsfehler}
+ \visible<3->{\item Wird verwendet in: CD, QR-Codes, Voyager-Sonde, etc.}
+ \end{itemize}
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Polynom Ansatz}
+ \begin{frame}
+ \begin{itemize}
+ \item Beispiel $2, 1, 5$ versenden und auf 2 Fehler absichern
+ \end{itemize}
+ \end{frame}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Beispiel}
+ Übertragen von
+ ${f}_2=\textcolor{blue}{2}$, ${f}_1=\textcolor{blue}{1}$, ${f}_0=\textcolor{blue}{5}$
+ als $ p(w) = \textcolor{blue}{2}w^2 + \textcolor{blue}{1}w + \textcolor{blue}{5} $.
+
+
+ Versende $ (p(1),p(2),\dots,p(7))$
+ \visible<2->{ = (\textcolor{green}{8},}
+ \only<2>{\textcolor{green}{15},}
+ \only<3>{\textcolor{red}{50},}
+ \only<2>{\textcolor{green}{26},}
+ \only<3>{\textcolor{red}{37},}
+ \visible<2->{\textcolor{green}{41}, \textcolor{green}{60},
+ \textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})}
+ \only<2>{\includegraphics[scale = 1.2]{images/polynom1.pdf}}
+ \only<3>{\includegraphics[scale = 1.2]{images/polynom2.pdf}}
+ \visible<3>{
+ \newline
+ \textcolor{green}{7} Zahlen versenden, um \textcolor{blue}{3} Zahlen gegen \textcolor{red}{2} Fehlern abzusichern.}
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Parameter}
+ \begin{center}
+ \begin{tabular}{ c c c }
+ \hline
+ Nutzlas & Fehler & Versenden \\
+ \hline
+ 3 & 2 & 7 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\
+ 4 & 2 & 8 Werte eines Polynoms vom Grad 3 \\
+\visible<1->{3}&
+\visible<1->{3}&
+\visible<1->{9 Werte eines Polynoms vom Grad 2} \\
+ &&\\
+\visible<1->{$k$} &
+\visible<1->{$t$} &
+\visible<1->{$k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$} \\
+ \hline
+ &&\\
+ &&\\
+ \multicolumn{3}{l} {
+ \visible<1>{Ausserdem können bis zu $2t$ Fehler erkannt werden!}
+ }
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------
+
+\section{Diskrete Fourier Transformation}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Idee}
+ \begin{itemize}
+ \item Fourier-transformieren
+ \item Übertragung
+ \item Rücktransformieren
+ \end{itemize}
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \begin{figure}
+ \only<1>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig1.pdf}
+ }
+ \only<2>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig2.pdf}
+ }
+ \only<3>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig3.pdf}
+ }
+ \only<4>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig4.pdf}
+ }
+ \only<5>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig5.pdf}
+ }
+ \only<6>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig6.pdf}
+ }
+ \only<7>{
+ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig7.pdf}
+ }
+ \end{figure}
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Diskrete Fourier Transformation}
+ \begin{itemize}
+ \item Diskrete Fourier-Transformation gegeben durch:
+ \visible<1->{
+ \[
+ \label{ft_discrete}
+ \hat{c}_{k}
+ = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}
+ {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn}
+ \]}
+ \visible<2->{
+ \item Ersetzte
+ \[
+ w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}
+ \]}
+ \visible<3->{
+ \item Wenn $N$ konstant:
+ \[
+ \hat{c}_{k}=\frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N)
+ \]}
+ \end{itemize}
+ \end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Diskrete Fourier Transformation}
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ \hat{c}_1 \\\hat{c}_2 \\\hat{c}_3 \\ \vdots \\\hat{c}_n
+ \end{pmatrix}
+ = \frac{1}{N}
+ \begin{pmatrix}
+ w^0 & w^0 & w^0 & \dots &w^0 \\
+ w^0 & w^1 &w^2 & \dots &w^{N-1} \\
+ w^0 & w^2 &w^4 & \dots &w^{2(N-1)} \\
+ \vdots & \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\
+ w^0 & w^{1(N-1)}&w^{2(N-1)}& \dots &w^{(N-1)(N-1)} \\
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ \textcolor{blue}{f_0} \\
+ \textcolor{blue}{f_1} \\
+ \textcolor{blue}{f_2} \\
+ \vdots \\
+ 0 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Probleme und Fragen}
+
+ Wie wird der Fehler lokalisiert?
+ \visible<2>{
+ \newline
+ Indem in einem endlichen Körper gerechnet wird.
+ }
+ \end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------
+
+
+\section{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}
+
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<1->{\item Warum endliche Körper?}
+
+ \onslide<2->{\qquad konkrete Zahlen $\rightarrow$ keine Rundungsfehler}
+
+ \onslide<3->{\qquad digitale Fehlerkorrektur}
+
+ %\onslide<4->{\qquad bessere Laufzeit}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<4->{\item Nachricht = Nutzdaten + Fehlerkorrekturteil}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<5->{\item aus Fehlerkorrekturteil die Fehlerstellen finden}
+
+ \onslide<6->{\qquad $\Rightarrow$ gesucht ist ein Lokatorpolynom}
+
+% \vspace{10pt}
+
+% \onslide<1->{\item Im Fehlerfall sollen wir aus der Nachricht ein Lokatorpolynom berechnen können, welches die fehlerhaften Stellen beinhaltet}
+
+% Wir sollten im Fehlerfall in der Lage sein, aus der Nachricht ein Lokatorpolynom zu berechnen, welches die Fehlerhaften Stellen beinhaltet
+
+ \end{itemize}
+
+% TODO
+
+% erklärung und einführung der endlichen körper, was wollen wir erreichen?
+
+% wir versenden im endefekt mehr daten als unsere nachricht umfasst, damit die korrektur sichergestellt werden kann
+
+% sollten wir fehler bekommen, was uns die korrekturstellen mitgeteilt wird, dann ist es unsere aufgabe ein lokatorpolynom zu finden, welches uns verrät, auf welchen zeilen der Fehler aufgetreten ist
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Definition eines Beispiels}
+
+ \begin{itemize}
+
+ \onslide<1->{\item endlicher Körper $q = 11$}
+
+ \onslide<2->{ist eine Primzahl}
+
+ \onslide<3->{beinhaltet die Zahlen $\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<4->{\item Nachrichtenblock $=$ Nutzlast $+$ Fehlerkorrekturstellen}
+
+ \onslide<5->{$n = q - 1 = 10$ Zahlen}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<6->{\item Max.~Fehler $t = 2$}
+
+ \onslide<7->{maximale Anzahl von Fehler, die wir noch korrigieren können}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<8->{\item Nutzlast $k = n -2t = 6$ Zahlen}
+
+ \onslide<9->{Fehlerkorrkturstellen $2t = 4$ Zahlen}
+
+ \onslide<10->{Nachricht $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$}
+
+ \onslide<11->{als Polynom $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$}
+
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Codierung eines Beispiels}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Codierung}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<1->{\item Ansatz aus den komplexen Zahlen mit der diskreten Fouriertransformation}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<2->{\item Eulersche Zahl $\mathrm{e}$ existiert nicht in $\mathbb{F}_{11}$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<3->{\item Wir suchen $a$ so, dass $a^i$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken}
+
+ \onslide<4->{$\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<5->{\item Wir wählen $a = 8$}
+
+ \onslide<6->{$\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1,8,9,6,4,10,3,2,5,7\}$}
+
+ \onslide<7->{$8$ ist eine primitive Einheitswurzel}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<8->{\item $m(8^0) = 4\cdot1 + 7\cdot1 + 2\cdot1 + 5\cdot1 + 8\cdot1 + 1 = 5$}
+
+ \onslide<9->{$\Rightarrow$ \qquad können wir auch als Matrix schreiben}
+
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Codierung}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<1->{\item Übertragungsvektor $v$}
+
+ \onslide<2->{\item $v = A \cdot m$}
+
+ \end{itemize}
+
+ \[
+ \onslide<3->{
+ v = \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& 8^6& 8^7& 8^8& 8^9\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+ 8^0& 8^3& 8^6& 8^9& 8^{12}& 8^{15}& 8^{18}& 8^{21}& 8^{24}& 8^{27}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+ 8^0& 8^8& 8^{16}& 8^{24}& 8^{32}& 8^{40}& 8^{48}& 8^{56}& 8^{64}& 8^{72}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ 1 \\ 8 \\ 5 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\
+ \end{pmatrix}
+ }
+ \]
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<4->{\item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Decodierung ohne Fehler}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Decodierung ohne Fehler}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<1->{\item Der Empfänger erhält den unveränderten Vektor $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<2->{\item Wir suchen die Inverse der Matrix $A$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \end{itemize}
+
+ \begin{columns}[t]
+ \begin{column}{0.55\textwidth}
+ \onslide<3->{ Inverse der Fouriertransformation}
+ \vspace{10pt}
+ \onslide<4->{
+ \[
+ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt
+ \]
+ }
+ \vspace{10pt}
+ \onslide<5->{
+ \[
+ \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega
+ \]
+ }
+ \end{column}
+ \begin{column}{0.45\textwidth}
+ \onslide<6->{Inverse von $a$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<7->{
+ \[
+ 8^{1} \Rightarrow 8^{-1}
+ \]
+ }
+
+ \onslide<8->{Inverse finden wir über den Eulkidischen Algorithmus}
+ \vspace{10pt}
+ \end{column}
+ \end{columns}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Der Euklidische Algorithmus}
+
+ \begin{columns}[t]
+ \begin{column}{0.50\textwidth}
+
+ Recap aus der Vorlesung:
+
+ Gegeben $a \in \mathbb{F}_p$, finde $b = a^{-1} \in \mathbb{F}_p$
+
+ \begin{tabular}{rcl}
+ $a b$ &$\equiv$& $1 \mod p$\\
+ $a b$ &$=$& $1 + n p$\\
+ $a b - n p$ &$=$& $1$\\
+ &&\\
+ $\operatorname{ggT}(a,p)$&$=$& $1$\\
+ $sa + tp$&$=$& $1$\\
+ $b$&$=$&$s$\\
+ $n$&$=$&$-t$
+ \end{tabular}
+
+ \end{column}
+ \begin{column}{0.50\textwidth}
+
+ \begin{center}
+ \onslide<1->{
+ \begin{tabular}{| c | c c | c | r r |}
+ \hline
+ $k$ & $a_i$ & $b_i$ & $q_i$ & $c_i$ & $d_i$\\
+ \hline
+ & & & & $1$& $0$\\
+ $0$& $8$& $11$& $0$& $0$& $1$\\
+ $1$& $11$& $8$& $1$& $1$& $0$\\
+ $2$& $8$& $3$& $2$& $-1$& $1$\\
+ $3$& $3$& $2$& $1$& $3$& $-2$\\
+ $4$& $2$& $1$& $2$& \textcolor<2->{blue}{$-4$}& \textcolor<2->{red}{$3$}\\
+ $5$& $1$& $0$& & $11$& $-8$\\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ }
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \begin{tabular}{rcl}
+ \onslide<3->{$\textcolor{blue}{-4} \cdot 8 + \textcolor{red}{3} \cdot 11$ &$=$& $1$}\\
+ \onslide<4->{$7 \cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$}\\
+ \onslide<5->{$8^{-1}$ &$=$& $7$}
+
+ \end{tabular}
+
+ \end{center}
+
+ \end{column}
+ \end{columns}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Decodierung mit Inverser Matrix}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<1->{\item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+
+ \onslide<2->{\item $m = 1/10 \cdot A^{-1} \cdot v$}
+
+ \onslide<3->{\item $m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v$}
+
+ \end{itemize}
+ \onslide<4->{
+ \[
+ m = 10 \cdot \begin{pmatrix}
+ 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0\\
+ 7^0& 7^1& 7^2& 7^3& 7^4& 7^5& 7^6& 7^7& 7^8& 7^9\\
+ 7^0& 7^2& 7^4& 7^6& 7^8& 7^{10}& 7^{12}& 7^{14}& 7^{16}& 7^{18}\\
+ 7^0& 7^3& 7^6& 7^9& 7^{12}& 7^{15}& 7^{18}& 7^{21}& 7^{24}& 7^{27}\\
+ 7^0& 7^4& 7^8& 7^{12}& 7^{16}& 7^{20}& 7^{24}& 7^{28}& 7^{32}& 7^{36}\\
+ 7^0& 7^5& 7^{10}& 7^{15}& 7^{20}& 7^{25}& 7^{30}& 7^{35}& 7^{40}& 7^{45}\\
+ 7^0& 7^6& 7^{12}& 7^{18}& 7^{24}& 7^{30}& 7^{36}& 7^{42}& 7^{48}& 7^{54}\\
+ 7^0& 7^7& 7^{14}& 7^{21}& 7^{28}& 7^{35}& 7^{42}& 7^{49}& 7^{56}& 7^{63}\\
+ 7^0& 7^8& 7^{16}& 7^{24}& 7^{32}& 7^{40}& 7^{48}& 7^{56}& 7^{64}& 7^{72}\\
+ 7^0& 7^9& 7^{18}& 7^{27}& 7^{36}& 7^{45}& 7^{54}& 7^{63}& 7^{72}& 7^{81}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 5 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 10 \\ 4 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+ }
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<5->{\item $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Decodierung mit Fehler}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Decodierung mit Fehler - Ansatz}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<1->{\item Gesendet: $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+
+ \onslide<2->{\item Empfangen: $w = [5,3,6,\textcolor{red}{8},2,10,2,7,\textcolor{red}{1},4]$}
+
+ \onslide<3->{\item Rücktransformation: $r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{Fehlerinfo}5,4,5,7,6,7]$}
+
+ \end{itemize}
+
+ \onslide<4->{Wie finden wir die Fehler?}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<5->{\item $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$}
+
+ \onslide<6->{\item $r(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + 5X^5 + 4X^4 + 5X^3 + 7X^2 + 6X + 7$}
+
+ %\only<7->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$}
+
+ \onslide<7->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$}
+
+ \end{itemize}
+
+ \begin{center}
+ \onslide<8->{
+ \begin{tabular}{c c c c c c c c c c c}
+ \hline
+ $i$& $0$& $1$& $2$& $3$& $4$& $5$& $6$& $7$& $8$& $9$\\
+ \hline
+ $r(a^{i})$& \onslide<9->{$5$& $3$& $6$& $8$& $2$& $10$& $2$& $7$& $1$& $4$}\\
+ $m(a^{i})$& \onslide<10->{$5$& $3$& $6$& $5$& $2$& $10$& $2$& $7$& $10$& $4$}\\
+ $e(a^{i})$& \onslide<11->{$0$& $0$& $0$& $3$& $0$& $0$& $0$& $0$& $2$& $0$}\\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ }
+ \end{center}
+
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<12->{\item Alle Stellen, die nicht Null sind, sind Fehler}
+ \end{itemize}
+
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Nullstellen des Fehlerpolynoms finden}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<1->{\item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<2->{\item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<3->{\item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<4->{\item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<5->{\item $\operatorname{ggT}$ gibt uns eine Liste der Nullstellen, an denen es keine Fehler gegeben hat}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<6->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9)$}
+
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Nullstellen des Fehlerpolynoms finden}
+
+ \begin{itemize}
+
+ \onslide<1->{\item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<1->{\item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<1->{\item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<1->{\item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+
+ \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<1->{\item $\operatorname{kgV}$ gibt uns eine Liste von aller Nullstellen, die wir in $e$ und $d$ zerlegen können}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<2->{$\operatorname{kgV}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot $
+
+ \qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9) \cdot q(X)$}
+
+ \onslide<3->{$= d(X) \cdot e(X)$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<4->{\item Lokatorpolynom $d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$}
+
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Kennen wir $e(X)$?}
+
+ \begin{itemize}
+
+ \onslide<1->{\item $e(X)$ ist unbekannt auf der Empfängerseite}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<2->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$ \qquad $\rightarrow$ \qquad $m(X)$ ist unbekannt?}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<3->{\item $m$ ist nicht gänzlich unbekannt: $m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?]$
+
+ In den bekannten Stellen liegt auch die Information, wo es Fehler gegeben hat}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<4->{\item Daraus folgt $e(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<5->{\item $f(X) = X^{10} - 1 = X^{10} + 10$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<6->{\item Jetzt können wir den $\operatorname{ggT}$ von $f(X)$ und $e(X)$ berechnen}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Der Euklidische Algorithmus (nochmal)}
+
+ \onslide<1->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X))$ hat den Grad $8$}
+ \onslide<2->{
+ \[
+ \arraycolsep=1.4pt
+ \begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+ X^{10}& & & & & & &+& 10& & & & &:&5X^9&+&7X^8&+& 4X^7&+&10X^6&+&p(X)&=&9X&+&5\\
+ X^{10}&+& 8X^9&+& 3X^8&+&2X^7&+& p(X)& & & & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-9}
+ && 3X^9&+& 8X^8&+& 9X^7&+& p(X)& & & & & & & & & & & & \\
+ && 3X^9&+& 2X^8&+& 9X^7&+& p(X)& & & & & & & & & & & & \\ \cline{3-9}
+ & & & &6X^8&+&0X^7&+&p(X)& & & & & & & & & & & & \\
+ \end{array}
+ \]
+ }
+ \onslide<3->{
+ \[
+ \arraycolsep=1.4pt
+ \begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+ 5X^9&+& 7X^8&+& 4X^7&+& 10X^6&+& p(X)& & & & &:&6X^8&+&0X^7& & & & & & &=&10X&+&3\\
+ 5X^9&+& 0X^8&+& p(X)& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-5}
+ && 7X^8&+& p(X)& & & & & & & & & & & & & & & & \\
+ \end{array}
+ \]
+ }
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<4->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = 6X^8$}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<5->{ $\operatorname{kgV}$ durch den erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen }
+
+ \end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Der Erweiterte Euklidische Algorithmus}
+
+ \begin{center}
+
+ \begin{tabular}{| c | c | c c |}
+ \hline
+ $k$ & $q_i$ & $e_i$ & $f_i$\\
+ \hline
+ & & $0$& $1$\\
+ $0$& $9X + 5$& $1$& $0$\\
+ $1$& $10X + 3$& $9X+5$& $1$\\
+ $2$& & \textcolor<2->{blue}{$2X^2 + 0X + 5$}& $10X + 3$\\
+ \hline
+ \end{tabular}
+
+ \end{center}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \begin{tabular}{ll}
+ \onslide<3->{Somit erhalten wir den Faktor& $d(X) = 2X^2 + 5$\\}
+ \onslide<4->{Faktorisiert erhalten wir& $d(X) = 2(X-5)(X-6)$\\}
+ \onslide<5->{Lokatorpolynom& $d(X) = (X-a^i)(X-a^i)$}
+ \end{tabular}
+
+ \vspace{10pt}
+
+ \onslide<6->{
+ \begin{center}
+ $a^i = 5 \qquad \Rightarrow \qquad i = 3$
+
+ $a^i = 6 \qquad \Rightarrow \qquad i = 8$
+ \end{center}
+ }
+
+ \onslide<7->{$d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Nachricht Rekonstruieren}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \begin{itemize}
+
+ \onslide<1->{\item $w = [5,3,6,\textcolor{red}{8},2,10,2,7,\textcolor{red}{1},4]$}
+
+ \onslide<2->{\item $d(X) = (X-\textcolor<4->{red}{a^3})(X-\textcolor<4->{red}{a^8})$}
+
+ \end{itemize}
+ \onslide<3->{
+ \[
+ \textcolor{gray}{
+ \begin{pmatrix}
+ a^0 \\ a^1 \\ a^2 \\ \textcolor<4->{red}{a^3} \\ a^4 \\ a^5 \\ a^6 \\ a^7 \\ \textcolor<4->{red}{a^8} \\ a^9 \\
+ \end{pmatrix}}
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ \textcolor<4->{red}{8} \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ \textcolor<4->{red}{1} \\ 4 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& 8^6& 8^7& 8^8& 8^9\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+ \textcolor<4->{red}{8^0}& \textcolor<4->{red}{8^3}& \textcolor<4->{red}{8^6}& \textcolor<4->{red}{8^9}& \textcolor<4->{red}{8^{12}}& \textcolor<4->{red}{8^{15}}& \textcolor<4->{red}{8^{18}}& \textcolor<4->{red}{8^{21}}& \textcolor<4->{red}{8^{24}}& \textcolor<4->{red}{8^{27}}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+ \textcolor<4->{red}{8^0}& \textcolor<4->{red}{8^8}& \textcolor<4->{red}{8^{16}}& \textcolor<4->{red}{8^{24}}& \textcolor<4->{red}{8^{32}}& \textcolor<4->{red}{8^{40}}& \textcolor<4->{red}{8^{48}}& \textcolor<4->{red}{8^{56}}& \textcolor<4->{red}{8^{64}}& \textcolor<4->{red}{8^{72}}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+ }
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<5->{\item Fehlerstellen entfernen}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& \textcolor<4->{green}{8^0}& \textcolor<4->{green}{8^0}& \textcolor<4->{green}{8^0}& \textcolor<4->{green}{8^0}\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& \textcolor<4->{green}{8^6}& \textcolor<4->{green}{8^7}& \textcolor<4->{green}{8^8}& \textcolor<4->{green}{8^9}\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& \textcolor<4->{green}{8^{12}}& \textcolor<4->{green}{8^{14}}& \textcolor<4->{green}{8^{16}}& \textcolor<4->{green}{8^{18}}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& \textcolor<4->{green}{8^{24}}& \textcolor<4->{green}{8^{28}}& \textcolor<4->{green}{8^{32}}& \textcolor<4->{green}{8^{36}}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& \textcolor<4->{green}{8^{30}}& \textcolor<4->{green}{8^{35}}& \textcolor<4->{green}{8^{40}}& \textcolor<4->{green}{8^{45}}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& \textcolor<4->{green}{8^{36}}& \textcolor<4->{green}{8^{42}}& \textcolor<4->{green}{8^{48}}& \textcolor<4->{green}{8^{54}}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& \textcolor<4->{green}{8^{42}}& \textcolor<4->{green}{8^{49}}& \textcolor<4->{green}{8^{56}}& \textcolor<4->{green}{8^{63}}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& \textcolor<4->{green}{8^{54}}& \textcolor<4->{green}{8^{63}}& \textcolor<4->{green}{8^{72}}& \textcolor<4->{green}{8^{81}}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor<2->{green}{m_6} \\ \textcolor<2->{green}{m_7} \\ \textcolor<2->{green}{m_8} \\ \textcolor<2->{green}{m_9} \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<3->{\item Nullstellen entfernen}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor<3->{red}{7} \\ \textcolor<3->{red}{4} \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+ \textcolor<3->{red}{8^0}& \textcolor<3->{red}{8^7}& \textcolor<3->{red}{8^{14}}& \textcolor<3->{red}{8^{21}}& \textcolor<3->{red}{8^{28}}& \textcolor<3->{red}{8^{35}}\\
+ \textcolor<3->{red}{8^0}& \textcolor<3->{red}{8^9}& \textcolor<3->{red}{8^{18}}& \textcolor<3->{red}{8^{27}}& \textcolor<3->{red}{8^{36}}& \textcolor<3->{red}{8^{45}}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \vspace{5pt}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<2->{\item Matrix in eine Quadratische Form bringen}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \vspace{5pt}
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<2->{\item Matrix Invertieren}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\
+ 1& 8& 9& 6& 4& 10\\
+ 1& 9& 4& 3& 5& 1\\
+ 1& 4& 5& 9& 3& 1\\
+ 1& 10& 1& 10& 1& 10\\
+ 1& 3& 9& 5& 4& 1\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \begin{center}
+ \onslide<2->{$\Downarrow$}
+ \end{center}
+ \[
+ \onslide<3->{
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 6& 4& 4& 6& 2& 1\\
+ 2& 7& 10& 3& 4& 7\\
+ 1& 8& 9& 8& 3& 4\\
+ 3& 6& 6& 4& 5& 9\\
+ 10& 10& 9& 8& 1& 6\\
+ 1& 9& 6& 4& 7& 6\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+ \end{pmatrix}
+ }
+ \]
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+
+ \[
+ \begin{pmatrix}
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 6& 4& 4& 6& 2& 1\\
+ 2& 7& 10& 3& 4& 7\\
+ 1& 8& 9& 8& 3& 4\\
+ 3& 6& 6& 4& 5& 9\\
+ 10& 10& 9& 8& 1& 6\\
+ 1& 9& 6& 4& 7& 6\\
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ \begin{itemize}
+ \onslide<2->{\item $m = [4,7,2,5,8,1]$}
+ \end{itemize}
+
+ \end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+
+\end{document}