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 %
 \section{Nachricht Rekonstruieren
 \label{reedsolomon:section:rekonstruktion}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
+\rhead{Rekonstruktion}
+Im letzten Kapitel haben wir eine Möglichkeit gefunden, wie wir die Fehlerhaften Stellen lokalisieren können.
+Mit diesen Stellen soll es uns nun möglich sein, aus dem fehlerhaften empfangenen Nachrichtenvektor wieder unsere Nachricht zu rekonstruieren.
+Das Lokatorpolynom
+\[
+d(X) = (X - a^3)(X-a^8)
+\]
+markiert dabei diese Fehlerhaften Stellen im Übertragungsvektor
+\[
+w = [5,3,6,8,2,10,2,7,1,4].
+\]
+Als Ausgangslage verwenden wir die Matrix, mit der wir den Nachrichtenvektor ursprünglich codiert haben.
+Unser Ziel ist es wie auch schon im Kapitel X.X (Rekonstuktion ohne Fehler) eine Möglichkeit zu finden, wie wir den Übertragungsvektor decodieren können. 
+Aufgrund der Fehlerstellen müssen wir aber davon ausgehen, das wir nicht mehr den gleichen Weg verfolgen können wie wir im Kapitel X.X angewendet haben.
 
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{reedsolomon:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen.
+\[
+\textcolor{gray}{
+	\begin{pmatrix}
+		a^0 \\ a^1 \\ a^2 \\ \textcolor{red}{a^3} \\ a^4 \\ a^5 \\ a^6 \\ a^7 \\ \textcolor{red}{a^8} \\ a^9 \\
+\end{pmatrix}}
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ \textcolor{red}{8} \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ \textcolor{red}{1} \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	8^6&	8^7&    8^8&	8^9\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+	\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^3}&	\textcolor{red}{8^6}&	\textcolor{red}{8^9}& \textcolor{red}{8^{12}}& \textcolor{red}{8^{15}}& \textcolor{red}{8^{18}}& \textcolor{red}{8^{21}}& \textcolor{red}{8^{24}}& \textcolor{red}{8^{27}}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+	8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+	\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^8}& \textcolor{red}{8^{16}}& \textcolor{red}{8^{24}}& \textcolor{red}{8^{32}}& \textcolor{red}{8^{40}}& \textcolor{red}{8^{48}}& \textcolor{red}{8^{56}}& \textcolor{red}{8^{64}}& \textcolor{red}{8^{72}}\\
+	8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+\end{pmatrix}
+\]
+Die rot markierten Stellen im Übertragungsvektor enthalten Fehler und bringt uns daher kein weiterer Nutzen. 
+Aus diesem Grund werden diese Stellen aus dem Vektor entfernt, was wir hier ohne Probleme machen können, da dieser Code ja über Fehlerkorrekturstellen verfügt, deren Aufgabe es ist, eine bestimmte Anzahl an Fehler kompensieren zu können.
+Die dazugehörigen Zeilen in der Matrix werden ebenfalls entfernt, da die Matrix gleich viele Zeilen wie im Übertragungsvektor aufweisen muss, damit man ihn decodieren kann.
 
+Daraus resultiert
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	8^6&	8^7&    8^8&    8^9\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+	8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+	8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Die Matrix ist jedoch nicht mehr quadratisch, was eine Rekonstruktion durch Inversion ausschliesst. 
+Um die quadratische Form wieder herzustellen müssen wir zwei Spalten aus der Matrix entfernen.
+Wir kennen aber das Resultat aus den letzten vier Spalten, da wir wissen, das die Nachricht aus Nutzdatenteil und Fehlerkorrekturteil besteht, wobei der letzteres bekanntlich aus lauter Nullstellen besteht.
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    \textcolor{green}{8^0}&    \textcolor{green}{8^0}&    \textcolor{green}{8^0}&    \textcolor{green}{8^0}\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	\textcolor{green}{8^6}&	   \textcolor{green}{8^7}&    \textcolor{green}{8^8}&    \textcolor{green}{8^9}\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& \textcolor{green}{8^{12}}& \textcolor{green}{8^{14}}& \textcolor{green}{8^{16}}& \textcolor{green}{8^{18}}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& \textcolor{green}{8^{24}}& \textcolor{green}{8^{28}}& \textcolor{green}{8^{32}}& \textcolor{green}{8^{36}}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& \textcolor{green}{8^{30}}& \textcolor{green}{8^{35}}& \textcolor{green}{8^{40}}& \textcolor{green}{8^{45}}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& \textcolor{green}{8^{36}}& \textcolor{green}{8^{42}}& \textcolor{green}{8^{48}}& \textcolor{green}{8^{54}}\\
+	8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& \textcolor{green}{8^{42}}& \textcolor{green}{8^{49}}& \textcolor{green}{8^{56}}& \textcolor{green}{8^{63}}\\
+	8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& \textcolor{green}{8^{54}}& \textcolor{green}{8^{63}}& \textcolor{green}{8^{72}}& \textcolor{green}{8^{81}}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor{green}{m_6} \\ \textcolor{green}{m_7} \\ \textcolor{green}{m_8} \\ \textcolor{green}{m_9} \\
+\end{pmatrix}
+\]
+Wir nehmen die Entsprechenden Spalten aus der Matrix heraus und erhalten so das Überbestimmte Gleichungssystem
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{red}{4} \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+	\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^7}& \textcolor{red}{8^{14}}& \textcolor{red}{8^{21}}& \textcolor{red}{8^{28}}& \textcolor{red}{8^{35}}\\
+	\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^9}& \textcolor{red}{8^{18}}& \textcolor{red}{8^{27}}& \textcolor{red}{8^{36}}& \textcolor{red}{8^{45}}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Die roten Zeilen können wir aufgrund der Überbestimmtheit ebenfalls entfernen und erhalten so die gesuchte quadratische Matrix
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Nun können wir den Gauss-Algorithmus anwenden um die Matrix zu Invertieren.
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	1&  1& 1&  1& 1&  1\\
+	1&  8& 9&  6& 4& 10\\
+	1&  9& 4&  3& 5&  1\\
+	1&  4& 5&  9& 3&  1\\
+	1& 10& 1& 10& 1& 10\\
+	1&  3& 9&  5& 4&  1\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	6&  4&  4&  6& 2&  1\\
+	2&  7& 10&  3& 4&  7\\
+	1&  8&  9&  8& 3&  4\\
+	3&  6&  6&  4& 5&  9\\
+	10& 10&  9&  8& 1&  6\\
+	1&  9&  6&  4& 7&  6\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+\end{pmatrix}
+\]
+Multiplizieren wir nun aus, erhalten wir unseren Nutzdatenteil
+\[
+m = [4,7,2,5,8,1]
+\]
+zurück, den wir ursprünglich versendet haben.