Merge pull request #76 from JODBaer/Baer

Text ergänzt und verbessert & Grafik

14 files changed, 864 insertions, 135 deletions

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex
index 4552bed..179d90d 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex
@@ -1,85 +1,125 @@
 %
 % dtf.tex -- Idee mit DFT
 %
-\section{Übertragung mit Hilfe der Diskrten Fourientransformation
+\section{Übertragung mit Hilfe der Diskrten Fourier-Transformation
 \label{reedsolomon:section:dtf}}
 \rhead{Umwandlung mit DTF}
-Um die Polynominterpolation zu umgehen, gehen wir nun über in die Fourietransformation.
-Dies wird weder eine Erklärung der Forientransorfmation, noch ein genauer gebrauch für den Reed-Solomon-Code. 
-Dieser Abschnitt zeigt nur wie die Fourietransformation auf Fehler reagiert.
-Das ganze zeigen wir mit einem Beispiel einer Übertragung von Zahlen mit Hilfe der Fourietransformation.
+Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunkt, 
+durch die Codierung, auf viele übertragene Werte verteilt werden.
+Die Decodierung ist in der Lage, den ursprünglichen Datenwert zu rekonstruieren,
+sogar wenn einzelne wenige übertragene Werte beschädigt worden sind.
+\par
+Die Fourier-Transformation transformiert einen einzelnen Wert, 
+eine Dirac-Funktion, auf ein Spektrum, welches sich über die ganze Frequenzachse erstreckt.
+Aus der Filtertheorie ist bekannt, dass der ursprüngliche Impuls mehr oder weniger rekonstruierbar ist.
+Forausgestzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren.
+\par
+Es liegt daher nahe zu versuchen, die Fourier-Transformation 
+für Codierung und Decodierung zu verwenden.
 
-\subsection{Diskrete Fourietransformation Zusamenhang
-\label{reedsolomon:subsection:dtfzusamenhang}}
-Mit hilfe der Fourietransformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert,
+\subsection{Beispiel mit Fehlerkorrektur mit Fourier-Transformation
+\label{reedsolomon:subsection:sendbsp}}
+
+Das folgende Beispiel soll zeigen, wie Fehlerkorrektur möglich ist.
+Dieses auf eine Art, die der Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes,
+der später erklärt wird, analog ist.
+\par
+Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen, 32 Fehler erkennen und 16 Fehler rekonstruieren.
+Mit hilfe der Fourier-Transformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert,
 zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. 
 Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden.
 
-\subsubsection{Beispiel einer Übertragung
-\label{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}}
-Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen und nach 32 Fehler abzusicheren,
-16 Fehler erkennen und rekonstruieren.
-
-Dieser Auftrag soll mittels Fouriertransformation bewerkstelligt werden.
-In der Abbildung \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge} sieht man dies Schritt für Schritt,
-und hier werden die einzelne Schritte erklärt:
-\begin{enumerate}[(1)]
- \item Das Signal hat 64 die Daten $k$, hier zufällige Zahlen, welche übertragen werden sollen. 
- Zusätzlich soll nach 16 Fehler $t$, die rekonstruierbar sind abgesichert werden.
- Das macht dann insgesamt $k + 2t = 
- 64 +2 \cdot 16= 96$ Übertragungszahlen.
- (siehe Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen})
- Die 32 Fehlerkorrekturstellen werden als Nullzahlen Übertragen.
- \item Nun werden mittels der diskreten Fourietransformation diese 96 codiert, transformiert.
- Das heisst alle Informationen ist in alle Zahlenvorhanden, auch die Fehlerkorrekturstellen Nullzahlen.
- \item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75.
- Die Fehler können auf den ganzen 96 Übertragungswerten liegen, wie die 75 zeigt.
-Zu Beachten ist auch noch, dass der Fehler um das 20- bis 150-Fache kleiner ist.Die Fehlerskala ist rechts.
- \item Dieses wird nun Empfangen, man kann keine Fehler erkennen, da diese soviel kleiner sind.
- Für das Decodieren wird die Inverse Fourietransformation angewendet, und alle Fehler werden mittransformiert.
- \item Nun sieht man die Fehler im decodierten Signal in den Übertragungszahlen. 
- Von den Übertragungsstellen 64 bis 96 erkennt man, das diese nicht mehr Null sind.
- \item Diese Fehlerkorrekturstellen 64 bis 96, dies definieren wir als Syndrom.
- In diesem Syndrom ist die Fehlerinformation gespeichert und muss nur noch transformiert werden.
- \item Hier sieht man genau wo die Fehler stattgefunden haben. 
- Leider nicht mehr mit der Qualtiätt der Ursprünglichen Fehler, sie sind nur noch 0.6 oder 0.4 gross.
- Obwohl der Fehler um das 20Fache kleiner ist erkennt man im Locator die Fehlerstellen wieder.
- \end{enumerate}
- Nun haben wir mit Hilfe der Fourietransformation die 3 Fehlerstellen durch das Syndrom lokalisiert, 
- jetzt gilt es nur noch diese zu korrigieren und wir haben unser originales Signal wieder.
 \begin{figure}
 	\centering
-	\resizebox{1.1\textwidth}{!}{
+	\resizebox{\textwidth}{!}{
 	\includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/plotfft}
     %\input{papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex}
 	}
-	\caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}}
+	\caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:sendbsp}}
 	\label{fig:sendorder}
 \end{figure}
+In der Abbildung \ref{fig:sendorder} wird eine Übertragung Schritt für Schritt illustriert.
+In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläutert:
+\begin{enumerate}[(1)]
+ \item Das Signal ist mit 64 zufälligrn, ganzzahligen Datenwerten, zwischen 0 und 10.
+ Für die Rekonstruktion werden zusäzlich Datenwert benötigt, wir fügen deshalb 32 Werte hinzu.
+ Diese setzen wir willkürlich auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen
+ \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}.
+ Wir erhalten so einen erweiterten Signalvektor der länge $N =96$.
+ \item Mit der Fourier-Transformation wird der ganze Signalvektor codiert.
+ Dadurch wird jede Informationseinheit auf alle Punkte des Spektrums verteilt.
+ \item Wir dürfen annehmen, dass bei der Übertragung, nur einzelne übertragene Werte durch Fehler,
+ verändert werden.
+ \par 
+ Im Beispiel sind dies die Werte an den Stellen 7, 21 und 75(\textcolor{red}{rote Kurve}),
+ die um einen Betrag verändert werden.
+ Dieser ist bis zu 150-mal kleiner, als die ursprünglichen codierte Werte. 
+ Der Empfänger kennt daher im allgemeinen nicht, ob und wo Übertragungsfehler aufgetreten sind.
+ \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch Inverse Fourier-Transformation vollständig
+ wiederhergestellt werden.
+ Dazu gehören auch die Nullen an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96.
+ \par 
+ Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen, Werte abweichend von Null, auftreten.
+ Somit haben wir bereits Fehler erkannt.
+ \item Die Werte an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96, die nicht mehr Null sind, nennenwir das Syndrom.
+ Im Syndrom steckt nur Information über die Fehler, sie werden durch die Inverse Fourier-Transformation erzeugt.
+ \item Um die Fehler zu rekonstruieren, ann man versuchen, die Information im Syndrom mit Fourier-Transformation zu transformieren.
+ Da das Syndrom nur ein Teil der Fehlerinformation ist, liefert die Fourier-Transformation eine Approximation der Fehler.
+ Diese Approximation der Fehler ist genau genug, um die Fehlerstellen zu localisieren.
+\end{enumerate}
+Im Beispiel haben wir mit dem Syndrom nur etwa ein Drittel der Fehlerinformation, es ist daher zu erwarten, 
+dass die Fehlerwerte auch nur ein drittel so gross sind.
+\par 
+Damit können die Fehler korrigiert und die Orginaldaten wiederhergestellt werden.
+Der Rekonstruktionsauftrag ist damit erfolgreich ausgeführt.
 
-Nun zur Definition der Diskrete Fourietransformation, diese ist definiert als
+\subsection{Fourier-Transformation und Polynome\label{reedsolomon:subsection:ftandpolynom}}
+Im Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:polynomansatz}
+wurden Werte eines Polynoms zur Codierung verwendet.
+Die 7 Übertragungspunkte könnten ein Polynom
+\begin{equation}
+	\textcolor{darkgreen}{p(x)}
+	=
+	\textcolor{blue}{a_0} + \textcolor{blue}{a_1}x + \textcolor{blue}{a_2}x^2 +
+	\textcolor{gray}{a_3}x^3 + \textcolor{gray}{a_4}x^4 + \textcolor{gray}{a_5}x^5 +
+	\textcolor{gray}{a_6}x^6
+\label{reedsolomon:equationpoly}
+\end{equation}
+sechsten Grades bestimmen.
+Durch die Wahl von $\textcolor{gray}{a_3=0}$, $\textcolor{gray}{a_4=0}$, $\textcolor{gray}{a_5=0}$, $\textcolor{gray}{a_6=0}$ 
+erzeugen wir die, für die Fehlerkorrektur,
+nötige Redundanz, ganz analog zum Schritt (1) im Beispiel.
+\par 
+Die Analogie geht aber noch weiter.
+ Schreibt man 
+ \( w =
+ e^{-\frac{2\pi j}{N} k}\)
+ \label{reedsolomon:DFT_summand}, damit wird aus der Formel
  \begin{equation}
 	\hat{c}_{k} 
 	= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}
-	{f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn}.
+	{f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn}
 	,\label{reedsolomon:DFT}
  \end{equation}
- Wenn man nun 
+ für die Diskrte-Fourier-Transformation das Polynom
  \begin{equation}
-	w =
-	e^{-\frac{2\pi j}{N} k}
-	\label{reedsolomon:DFT_summand}
+	q(w)=
+	\frac{{f}_0}{N} + \frac{{f}_1}{N} w^1 + \frac{{f}_2}{N} w^2 + \dots + \frac{{f}_{N-1}}{N} w^{N-1}
+	\label{reedsolomon:DFT_polynom}
  \end{equation}
- ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man
+ Im Beispiel werden aber Werte des des Polynoms $q(w)$ für verschieden 
+ \( w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}, k=1, \dots , k=N-1\) übermittelt.
  \begin{equation}
-	\hat{c}_{k}=
-	\frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N)
-	\label{reedsolomon:DFT_polynom}
+	\textcolor{darkgreen}{q(w)}=
+	\frac{\textcolor{blue}{{f}_0}}{N} + \frac{\textcolor{blue}{{f}_1}}{N} w^1 + \frac{\textcolor{blue}{{f}_2}}{N} w^2 + \dots + 
+	\frac{\textcolor{blue}{{f}_{63}}}{N} w^{63} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{64}}}{N} w^{64} + \textcolor{gray}{\dots} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{N-1}}}{N} w^{N-1}
+	\label{reedsolomon:DFT_polynom2}
  \end{equation}
- was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist.
-Die Polynominterpolation und die Fourietransformation rechnen beide mit reelen Zahlen.
-Wenn die Fehlerabweichung sehr sehr klein ist, erkennt man diese irgendwann nicht mehr.
-Zusätzlich muss mann immer Grenzen bestimmen auf wieviel Stellen gerechnet wird und wie die Fehler erkannt werden im Locator.
-Deshalb haben Mathematiker einen neuen Körper gesucht und ihn in der Endlichkeit gefunden,
+Das syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$.(graue koeffizenten)
+\par
+Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reelen Zahlen.
+Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist um die Fehler zu erkennen und rekonstruieren,
+dann müssen wir von den Reelen-Zahlen weg und zum endlichen Körpern, oder auch Galios-Körper genannt.
+Deshalb haben die Mathematiker einen neuen Körper gesucht und ihn in der Endlichkeit gefunden,
 dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt.
 
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex
index 074df05..ca4f398 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex
@@ -6,8 +6,8 @@
 \section{Einleitung
 \label{reedsolomon:section:einleitung}}
 \rhead{Einleitung}
-Der Reed-Solomon-Code ist entstanden um,
-das Problem der Fehler bei der Datenübertragung, zu lösen.
+Der Reed-Solomon-Code wurde von den beiden Mathematiker Irving S.Reed und Gustave Solomon, im Jahre 1960, entwickelt.
+Dabei haben sie das Problem der Fehler bei der Datenübertragung gelöst.
 In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, 
 Funktion oder Algorithmus des Reed-Solomon-Code erklärt.
 Es wird jedoch nicht auf die technische Umsetzung oder Implementierung eingegangen.
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf
index 80d17d2..b455da5 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf
+++ b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 41e0d4c..2142f88 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -4,61 +4,69 @@
 \section{Idee
 \label{reedsolomon:section:idee}}
 \rhead{Problemstellung}
-Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden,
-und so jeweilige Fehler zu erkennen.
+Um Fehler in einer Datenübertragung zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden,
+    also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweilige einzelne Fehler erkennen.
+Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkennt werden soll und sogar noch das orginal rekonstruiert werden soll,
+dann werden die Daten drei oder vierfach versendet.
 Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet.
-Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise.
 Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, 
-zu Übertragen und Fehler zu erkennen.
-Speziell beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, 
-man kann sogar einige Fehler korrigieren.
+    zu Übertragen und Fehler zu erkennen und zu korrigieren.
 Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht?
 Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren.
-Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wird doppelt und dreifach gesendung), 
-was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. 
-Anwendungen finden sind im Abchnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen}
-\ref{reedsolomon:section:anwendung} beschrieben.
+Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals auffordert.
+Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfach Übertragung.
+In Anwendungen des Reed-Soöomon-Code \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung}
+ist dies vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich.
+Der Reed-Solomon-Code macht dies Übertragung auf eine andere, clevere Weise.
 
 \subsection{Polynom-Ansatz
 \label{reedsolomon:section:polynomansatz}}
 \rhead{Polynom-Ansatz}
-Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden.
-Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten errechnet und diese Punkte dann überträgt.
+Eine zentrale Idee des Reed-Solomon-Code ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. 
+Von dieser Polynomfunktion wird dann eine Anzahl Werte übertragen.
 \begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
-welche uns dann das Polynom 
+    welche übertragen werden sollen. Daraus bilden wir das Polynom
 \begin{equation}
 p(x)
 =
 \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5}
 \label{reedsolomon:equation1}
-\end{equation}
-ergeben.
+\end{equation}.
+\par 
+Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. 
+Bei einer fehlerlosen Übertragung, können wir mit 3 übertragene Werte,
+    das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren.
+Weder erkläre noch erläutere ich die Polynominterpolation,
+    wir brauchen sie als Funktion, die von Punktn ein Polynom errechnet.
+Die koeffizente, des rekonstruierten Polynoms, sind dann unsere gesendten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}.
+Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren?
+Versuchen wir doch mehr Werte zu Übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte.
 Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} 
-dieses \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
-Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, 
-mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, 
-\textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26},
-\textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, 
-\textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$
-Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hat, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren.
-Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen \textcolor{darkgreen}{Werte} übermittelt wurden. 
-Die Farbe blau brauchen wir für die \textcolor{blue}{Daten} welche wir mit der Farbe grün \textcolor{darkgreen}{Übermitteln}.
-\end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}
-Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar.
-Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,in der Abbilbung \ref{fig:polynom} die \textcolor{red}{roten Punkte}).
-Erkennt man diese Fehler, da alle korrekten Punkte auf der Parabel liegen müssen. 
-Die \textcolor{darkgreen}{grünen Punkte} bestimmen die Parabel, und die Fehler können zu den 
-\textcolor{gray}{Orginalpunkte} rekonstruiert werden.
-Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten?
-Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten,
-gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt. \ref{fig:polynom}
-Werden es mehr Fehler kann nur erkannt werden, dass das Polynom nicht stimmt.
-Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden.
-Da andere Polynome oder das Konkurrenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleitet.
-Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} nötig.
-\end{beispiel}
+    dieses 7 Werte \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 .
+In Abbildung \ref{fig:polynom} ist das zu den \textcolor{blue}{Datenpunkten} gehörige Polynom blau dargestellt,
+die \textcolor{darkgreen}{übertragene Werte} des Polynoms sind grün.
+Die grünen Punkte bestimmen die Parabel. 
+Damit können die Fehler erkannt werden, weil die empfangenen Punktenicht auf der Parabel liegen.
+Somit könnendie grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit korrigiert.
+bis zu wivielen Fehler können wir nun korrigieren im Beispiel korrigieren?
+Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt:
+\begin{itemize}
+    \item Bei \textit{1 Fehler} können konkurenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten fehlleiten.
+        Dabei kann aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein.
+        Da 6 übereinstimende grössser als 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden.
+    \item Bei \textit{2 Fehler} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein fehlleitendes Konkurrenzpolynom bilden.
+        Da der zweite Fehler frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}.
+        Nun haben wir, ein originles Polynom mit 5 übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten.
+        Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das original Polynom ist.
+    \item Bei \textit{3 Fehler} kann genau wie bei 2 Fehler, ein Fehler ein fehlleitendes Polynom mit 2 original Punkten bestimmen werden.
+        Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom.
+        Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem Originalen.
+        Das Original Polynom kann nicht mehr gefunden werden.
+    \item Bei \textit{4 Fehler} Es kann noch erkennt weden das Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben.
+        Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden.
+    \item Bei \textit{5 Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und 
+        somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht.
+\end{itemize}
 
 \begin{figure}%[!ht]
 	\centering
@@ -67,27 +75,16 @@ Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Üb
 	\caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}}
 	\label{fig:polynom}
 \end{figure}
-
-\section{Fehlerkorekturstellen bestimmen
-\label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}}
-Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren,
-muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. 
-Die Anzahl \textcolor{blue}{Daten} (ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), die als Polynomkoeffizente $k$ übergeben werden, 
-brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$.
-Für die Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, gehen wir zum Beispiel.
-\begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir  \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkte} senden.
-Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurrenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurrenzpolynom,
-maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. 
-Somit können wir nun bestimmen, dass von den \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkten$u$} bis zu 2 Fehler korrigiert werden können und 4 Übertragungspunkte zusätzlich gesendet werden müssen.
 \end{beispiel}
-Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, doch mit dieser Gleichung
-\begin{equation}
-    \frac{\textcolor{darkgreen}{u}-\textcolor{blue}{k}}{\textcolor{red}{t}}
-    =2
-    \label{reedsolomon:equation2}
-\end{equation}
-zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht.
 
+\section{Anzahl Übertragungswerte bestimmen
+\label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}}
+Um zu bestimmen, wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren,
+    muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. 
+Die Anzahl \textcolor{blue}{Datenwerte}, ergeben die anzahl Polynomkoeffizente $k$ und somit den Grad $k-1$.
+Die Bestimmung der Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, brauchen redundanz.
+Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, 
+    erkennt man almählich ein Muster.
 \begin{table}
     \centering
     \begin{tabular}{ c c | c} 
@@ -104,8 +101,17 @@ zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht.
     \caption{ Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.}
     \label{tab:fehlerkorrekturstellen}
 \end{table}
+Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem Konkurenzierenden.
+Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler 2 übertragungspunkte mehr.
+Wie in der Tabelle ergibt sich diese Übertragungsanzahl
+\begin{equation}
+    \textcolor{darkgreen}{u}=
+    \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t}
+    \label{reedsolomon:equation2}
+\end{equation}.
 
-Ein Nebeneffekt ist, dass dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert.
-Um aus den übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden,
-doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und fehleranfällig.
+Ein Nebeneffekt ist, dass auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert.
+Nun haben wir für jede rekonstruktion des Polynoms, die Polynominterpolation gebraucht.
+Diese Polynoiminterpolation ist leider schwierig und fehleranfällig.
+Deshalb finden wir eine alternative im nächsten Abschnitt.
 
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf
index 4a44333..dc34b2d 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf
+++ b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex
index bb74dfb..77c4dc3 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex
@@ -10,6 +10,7 @@
 \usepackage{filecontents}
 
 
+
 \begin{document}
 \begin{tikzpicture}[]
 
@@ -28,12 +29,13 @@
 		
 		\node(codiert) []    {
 		\begin{tikzpicture}[]
-			\begin{axis}[ title = {\Large {Codiert \space + \space Fehler}},
-				xtick={0,40,60,100}, axis y line*=left]
-				\addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt};
+			% Beschriftung Rechts
+			\begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right,ytick={0}]
+				\addplot[color=white] {0};
 			\end{axis}
-			\begin{axis}[xtick={7,21,75}, axis y line*=right]
-					\addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt};
+
+			\begin{axis}[ title = {\Large {Codiert}}, axis y line*=left]
+				\addplot[color=black!60!green] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt};
 			\end{axis}
 		\end{tikzpicture}}; \\
 		
@@ -46,8 +48,12 @@
 	
 		\node(empfangen) []    {
 		\begin{tikzpicture}
-			\begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}]
-				\addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt};
+			\begin{axis}[title = {\Large {Empfangen \space + \space Fehler}},
+				xtick={0,40,60,100}, axis y line*=left]
+				\addplot[color=black!60!green] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt};
+			\end{axis}
+			\begin{axis}[xtick={7,21,75}, axis y line*=right]
+				\addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt};
 			\end{axis}
 		\end{tikzpicture}};\\
 	
@@ -60,7 +66,12 @@
 	
 		\node(locator) []    {
 		\begin{tikzpicture}
-			\begin{axis}[title = {\Large {Locator}}]
+			% Beschriftung Rechts
+			\begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right, ytick={0.3}];
+				\addplot[color=black!60] {0.3};
+			\end{axis}
+
+			\begin{axis}[title = {\Large {Locator}},axis y line*=left]
 				\addplot[gray] table[col sep=comma] {tikz/locator.txt};
 			\end{axis}
 		\end{tikzpicture}};\\
@@ -74,7 +85,6 @@
 	\node(FFT)  [scale=0.9, above of=IFFT]    {FFT};
 	\draw[-stealth](FFT.north west)--(FFT.north east);
 	
-	\draw[thick, ->,] (codiert)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5);
 	%Arrows
 	\draw[thick, ->] (signal.east) to (codiert.west);
 	\draw[thick, ->] (codiert.south) to (empfangen.north);
@@ -85,10 +95,10 @@
 	
 	%item
 	\node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1};
-	\node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2+3};
-	\node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4};
-	\node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {5};
-	\node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {6};
-	\node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {7};
+	\node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2};
+	\node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {3};
+	\node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {4};
+	\node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {5};
+	\node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {6};
 \end{tikzpicture}	
 \end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex
index 141d2ce..db35734 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex
@@ -1,3 +1,4 @@
+
 \begin{tikzpicture}[]
 
 	%---------------------------------------------------------------
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt
new file mode 100644
index 0000000..4a481d8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt
@@ -0,0 +1,96 @@
+0,284
+1,131.570790435043
+2,41.9840308053375
+3,12.1189172092243
+4,23.8408857476069
+5,69.1793197789512
+6,24.0186013379153
+7,37.3066577242559
+8,18.2010889773887
+9,12.3214904922455
+10,15.6627133315015
+11,24.5237955316204
+12,32.1114345314062
+13,44.9845039238714
+14,13.5324640263625
+15,10.1736266929292
+16,4.58257569495584
+17,23.217268502288
+18,16.5769107917917
+19,6.89948680823017
+20,4.84567134895776
+21,10.4219666223433
+22,43.6179140616243
+23,35.9073375743642
+24,15.0332963783729
+25,21.7594021268945
+26,23.2496572716993
+27,17.9815599423852
+28,11.3577742151117
+29,38.467599433197
+30,28.3035029562577
+31,9.54321919833388
+32,21.377558326432
+33,17.6292439561917
+34,12.6951848921471
+35,20.0667752354841
+36,22.9097309529208
+37,8.78894645948548
+38,13.360682005498
+39,25.1757616314718
+40,38.0357773686457
+41,18.4633287776253
+42,19.0584505869806
+43,10.8631093309173
+44,12.6147770818983
+45,12.5398140021274
+46,34.901983501949
+47,22.3480442021702
+48,6
+49,22.3480442021702
+50,34.901983501949
+51,12.5398140021274
+52,12.6147770818983
+53,10.8631093309173
+54,19.0584505869806
+55,18.4633287776253
+56,38.0357773686457
+57,25.1757616314718
+58,13.360682005498
+59,8.78894645948548
+60,22.9097309529208
+61,20.0667752354841
+62,12.6951848921471
+63,17.6292439561917
+64,21.377558326432
+65,9.54321919833388
+66,28.3035029562577
+67,38.467599433197
+68,11.3577742151117
+69,17.9815599423852
+70,23.2496572716993
+71,21.7594021268945
+72,15.0332963783729
+73,35.9073375743642
+74,43.6179140616243
+75,10.4219666223433
+76,4.84567134895776
+77,6.89948680823017
+78,16.5769107917917
+79,23.217268502288
+80,4.58257569495584
+81,10.1736266929292
+82,13.5324640263625
+83,44.9845039238714
+84,32.1114345314062
+85,24.5237955316204
+86,15.6627133315015
+87,12.3214904922455
+88,18.2010889773887
+89,37.3066577242559
+90,24.0186013379153
+91,69.1793197789512
+92,23.8408857476069
+93,12.1189172092243
+94,41.9840308053375
+95,131.570790435043
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt
new file mode 100644
index 0000000..f6221e6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt
@@ -0,0 +1,96 @@
+0,6.05208333333333
+1,6.02602539785853
+2,0.0261327016093151
+3,5.98927158561317
+4,4.019445724874
+5,0.0247005083663722
+6,4.97798278395618
+7,1.95246440445439
+8,0.974000110512201
+9,2.00528527696027
+10,1.00071804528155
+11,1.97630907888264
+12,0.0232923747656228
+13,6.01302820392331
+14,3.03567381915226
+15,5.02435590137329
+16,7.00526061008995
+17,5.00739608089369
+18,5.02211514480064
+19,4.02175864806658
+20,1.00236543833726
+21,4.98147315261261
+22,8.97728828610336
+23,8.98481304394618
+24,2.98958333333333
+25,1.98491220960989
+26,5.97728835934715
+27,5.98144124907561
+28,4.00163839998525
+29,2.02176249296313
+30,9.02210713874162
+31,1.00742763919872
+32,1.00557258081044
+33,1.02435888848794
+34,2.03577412756745
+35,6.01302820392331
+36,5.97917574041123
+37,0.976310374034338
+38,9.00062625447998
+39,7.00515849238528
+40,6.97396416790894
+41,0.95256880864368
+42,8.97794719866783
+43,9.01850701506487
+44,10.0194409579917
+45,8.98926601525997
+46,7.9866590265379
+47,5.02603060999077
+48,2.05208333333333
+49,4.02603841132848
+50,0.986882897867895
+51,0.0177592928994285
+52,9.01944131204563
+53,3.0185365665612
+54,2.97803642439316
+55,2.95243072164649
+56,4.97396651395488
+57,6.00516695947321
+58,0.0143895905726619
+59,7.97630812771393
+60,5.97917574041123
+61,9.01298821331865
+62,3.03567381915226
+63,4.02435609145793
+64,0.0275599094902563
+65,0.0115837187254191
+66,0.025877761014238
+67,0.0224618032819697
+68,0.04410594689944
+69,0.0474504002669341
+70,0.0227694695500626
+71,0.0271436638090525
+72,0.0104166666666667
+73,0.0271436638090523
+74,0.0227694695500608
+75,0.0474504002669343
+76,0.0441059468994397
+77,0.0224618032819701
+78,0.0258777610142379
+79,0.0115837187254183
+80,0.027559909490256
+81,0.0245124379481793
+82,0.0499782237195209
+83,0.0401432022864265
+84,0.0232923747656228
+85,0.0237974288564099
+86,0.0143895905726624
+87,0.0271745729691685
+88,0.0275599094902567
+89,0.0515501672184983
+90,0.0358255004834542
+91,0.024700508366373
+92,0.0210194725405171
+93,0.0177592928994296
+94,0.0261327016093158
+95,0.0314909067039411
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt
new file mode 100644
index 0000000..38c13b0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt
@@ -0,0 +1,96 @@
+0,284
+1,131.570790435043
+2,41.9840308053375
+3,12.1189172092243
+4,23.8408857476069
+5,69.1793197789512
+6,23.6290258699579
+7,37.3066577242559
+8,18.2010889773887
+9,12.3214904922455
+10,15.6627133315015
+11,24.5237955316204
+12,32.1114345314062
+13,44.9845039238714
+14,13.5324640263625
+15,10.1736266929292
+16,4.58257569495584
+17,23.217268502288
+18,16.5769107917917
+19,6.89948680823017
+20,5.55320238736303
+21,10.4219666223433
+22,43.6179140616243
+23,35.9073375743642
+24,15.0332963783729
+25,21.7594021268945
+26,23.2496572716993
+27,17.9815599423852
+28,11.3577742151117
+29,38.467599433197
+30,28.3035029562577
+31,9.54321919833388
+32,21.377558326432
+33,17.6292439561917
+34,12.6951848921471
+35,20.0667752354841
+36,22.9097309529208
+37,8.78894645948548
+38,13.360682005498
+39,25.1757616314718
+40,38.0357773686457
+41,18.4633287776253
+42,19.0584505869806
+43,10.8631093309173
+44,12.6147770818983
+45,12.5398140021274
+46,34.901983501949
+47,22.3480442021702
+48,6
+49,22.3480442021702
+50,34.901983501949
+51,12.5398140021274
+52,12.6147770818983
+53,10.8631093309173
+54,19.0584505869806
+55,18.4633287776253
+56,38.0357773686457
+57,25.1757616314718
+58,13.360682005498
+59,8.78894645948548
+60,22.9097309529208
+61,20.0667752354841
+62,12.6951848921471
+63,17.6292439561917
+64,21.377558326432
+65,9.54321919833388
+66,28.3035029562577
+67,38.467599433197
+68,11.3577742151117
+69,17.9815599423852
+70,23.2496572716993
+71,21.7594021268945
+72,15.0332963783729
+73,35.9073375743642
+74,44.6135417384784
+75,10.4219666223433
+76,4.84567134895776
+77,6.89948680823017
+78,16.5769107917917
+79,23.217268502288
+80,4.58257569495584
+81,10.1736266929292
+82,13.5324640263625
+83,44.9845039238714
+84,32.1114345314062
+85,24.5237955316204
+86,15.6627133315015
+87,12.3214904922455
+88,18.2010889773887
+89,37.3066577242559
+90,24.0186013379153
+91,69.1793197789512
+92,23.8408857476069
+93,12.1189172092243
+94,41.9840308053375
+95,131.570790435043
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt
new file mode 100644
index 0000000..23f1a83
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt
@@ -0,0 +1,96 @@
+0,0
+1,0
+2,0
+3,0
+4,0
+5,0
+6,2
+7,0
+8,0
+9,0
+10,0
+11,0
+12,0
+13,0
+14,0
+15,0
+16,0
+17,0
+18,0
+19,0
+20,2
+21,0
+22,0
+23,0
+24,0
+25,0
+26,0
+27,0
+28,0
+29,0
+30,0
+31,0
+32,0
+33,0
+34,0
+35,0
+36,0
+37,0
+38,0
+39,0
+40,0
+41,0
+42,0
+43,0
+44,0
+45,0
+46,0
+47,0
+48,0
+49,0
+50,0
+51,0
+52,0
+53,0
+54,0
+55,0
+56,0
+57,0
+58,0
+59,0
+60,0
+61,0
+62,0
+63,0
+64,0
+65,0
+66,0
+67,0
+68,0
+69,0
+70,0
+71,0
+72,0
+73,0
+74,1
+75,0
+76,0
+77,0
+78,0
+79,0
+80,0
+81,0
+82,0
+83,0
+84,0
+85,0
+86,0
+87,0
+88,0
+89,0
+90,0
+91,0
+92,0
+93,0
+94,0
+95,0
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt
new file mode 100644
index 0000000..b28988c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt
@@ -0,0 +1,96 @@
+0,0.0301224340567056
+1,0.141653026854885
+2,0.138226631799377
+3,0.0339903276086929
+4,0.310585462557496
+5,0.551427312631385
+6,0.628514858396814
+7,0.51102386251559
+8,0.275861355940449
+9,0.0502396354182268
+10,0.090185502547573
+11,0.110759344849756
+12,0.0684618905063001
+13,0.0362855426992259
+14,0.0697096919781468
+15,0.109288539370248
+16,0.0923187999496653
+17,0.0512198536768088
+18,0.274192386987782
+19,0.51349614953654
+20,0.633154426602466
+21,0.553283743533942
+22,0.307840573214514
+23,0.0341664350328392
+24,0.140270857957
+25,0.138527177682831
+26,0.029637547736156
+27,0.0816962563186052
+28,0.0944383203811073
+29,0.0263932110686261
+30,0.0585881348402056
+31,0.0737117341599984
+32,0.0239973937701886
+33,0.0464215468420038
+34,0.0616218854220964
+35,0.0221963086695009
+36,0.0390764778127646
+37,0.0537637218396934
+38,0.0208333333333332
+39,0.0343107696069045
+40,0.0483441215964552
+41,0.0198077862118806
+42,0.0311207395968725
+43,0.0444955089373458
+44,0.0190533549944159
+45,0.0290049795038723
+46,0.0417536642697558
+47,0.0185261550443084
+48,0.0277059929762261
+49,0.0398606084144816
+50,0.0181978813094817
+51,0.0271098219177584
+52,0.0386836665079729
+53,0.0180518611046889
+54,0.0272138992557141
+55,0.0381891287148314
+56,0.0180809085252469
+57,0.0281418959420061
+58,0.0384596362516637
+59,0.0182864418432272
+60,0.0302250788423173
+61,0.0397874837986351
+62,0.0186786556701694
+63,0.0342489348284216
+64,0.0429932815348666
+65,0.0192777878591759
+66,0.0422808966931999
+67,0.0506815964680563
+68,0.0201167847752226
+69,0.0615048274405271
+70,0.0744953894508454
+71,0.021246054596492
+72,0.142602265816215
+73,0.273502052865436
+74,0.325309673287599
+75,0.272705389655349
+76,0.149074257381345
+77,0.0247199397628712
+78,0.0680137859566976
+79,0.075388270873485
+80,0.0273637831604903
+81,0.0407867704453274
+82,0.0632964886441949
+83,0.0309749128751093
+84,0.0315202035072035
+85,0.0627625211892184
+86,0.0360843918243497
+87,0.02794920551495
+88,0.0677921493367236
+89,0.0437167157553067
+90,0.0270640150996317
+91,0.0783380025231622
+92,0.0561293738314281
+93,0.0278742033265809
+94,0.0981443889498639
+95,0.0794543457386548
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt
new file mode 100644
index 0000000..c4fa5f8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt
@@ -0,0 +1,96 @@
+0,6
+1,6
+2,0
+3,6
+4,4
+5,0
+6,5
+7,2
+8,1
+9,2
+10,1
+11,2
+12,0
+13,6
+14,3
+15,5
+16,7
+17,5
+18,5
+19,4
+20,1
+21,5
+22,9
+23,9
+24,3
+25,2
+26,6
+27,6
+28,4
+29,2
+30,9
+31,1
+32,1
+33,1
+34,2
+35,6
+36,6
+37,1
+38,9
+39,7
+40,7
+41,1
+42,9
+43,9
+44,10
+45,9
+46,8
+47,5
+48,2
+49,4
+50,1
+51,0
+52,9
+53,3
+54,3
+55,3
+56,5
+57,6
+58,0
+59,8
+60,6
+61,9
+62,3
+63,4
+64,0
+65,0
+66,0
+67,0
+68,0
+69,0
+70,0
+71,0
+72,0
+73,0
+74,0
+75,0
+76,0
+77,0
+78,0
+79,0
+80,0
+81,0
+82,0
+83,0
+84,0
+85,0
+86,0
+87,0
+88,0
+89,0
+90,0
+91,0
+92,0
+93,0
+94,0
+95,0
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt
new file mode 100644
index 0000000..8ca9eed
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt
@@ -0,0 +1,96 @@
+0,0
+1,0
+2,0
+3,0
+4,0
+5,0
+6,0
+7,0
+8,0
+9,0
+10,0
+11,0
+12,0
+13,0
+14,0
+15,0
+16,0
+17,0
+18,0
+19,0
+20,0
+21,0
+22,0
+23,0
+24,0
+25,0
+26,0
+27,0
+28,0
+29,0
+30,0
+31,0
+32,0
+33,0
+34,0
+35,0
+36,0
+37,0
+38,0
+39,0
+40,0
+41,0
+42,0
+43,0
+44,0
+45,0
+46,0
+47,0
+48,0
+49,0
+50,0
+51,0
+52,0
+53,0
+54,0
+55,0
+56,0
+57,0
+58,0
+59,0
+60,0
+61,0
+62,0
+63,0
+64,0.0275599094902563
+65,0.0115837187254191
+66,0.025877761014238
+67,0.0224618032819697
+68,0.04410594689944
+69,0.0474504002669341
+70,0.0227694695500626
+71,0.0271436638090525
+72,0.0104166666666667
+73,0.0271436638090523
+74,0.0227694695500608
+75,0.0474504002669343
+76,0.0441059468994397
+77,0.0224618032819701
+78,0.0258777610142379
+79,0.0115837187254183
+80,0.027559909490256
+81,0.0245124379481793
+82,0.0499782237195209
+83,0.0401432022864265
+84,0.0232923747656228
+85,0.0237974288564099
+86,0.0143895905726624
+87,0.0271745729691685
+88,0.0275599094902567
+89,0.0515501672184983
+90,0.0358255004834542
+91,0.024700508366373
+92,0.0210194725405171
+93,0.0177592928994296
+94,0.0261327016093158
+95,0.0314909067039411