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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-05-16 20:35:52 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2021-05-16 20:35:52 +0200 |
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Spannung
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diff --git a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex new file mode 100644 index 0000000..37c2ec2 --- /dev/null +++ b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex @@ -0,0 +1,118 @@ +\section{Einleitung\label{spannung:section:Einleitung}} +In diesem Kapitel geht es darum die Matrix im dreidimensionalen Spannungszustand genauer zu untersuchen. +In der Geotechnik wendet man solche Matrizen an, um Spannungen im Boden zu berechnen. +Mit diesen Grundlagen dimensioniert man beispielsweise Böschungen, Fundationen, Dämme und Tunnels. +Ebenfalls benötigt man diese Matrix, um aus Versuchen Kennzahlen über den anstehenden Boden zu gewinnen. +Besonderes Augenmerk liegt dabei auf dem Oedometer - Versuch. + +Bei dieser Untersuchung der zugehörigen Berechnungen hat man es mit Vektoren, Matrizen und Tensoren zu tun. +Um die mathematische Untersuchung vorzunehmen, beschäftigt man sich zuerst mit den spezifischen Gegebenheiten und Voraussetzungen. +Ebenfalls gilt es ein paar wichtige Begriffe und deren mathematischen Zeichen einzuführen, +damit sich den Berechnungen schlüssig folgen lässt. + +In diesem Kapitel hat man es insbesondere mit Spannungen und Dehnungen zu tun. +Mit einer Spannung ist hier jedoch keine elektrische Spannung gemeint, +sondern eine Kraft geteilt durch Fläche. + +\section{Einführung wichtige Begriffe\label{spannung:section:Wichtige Begriffe}} +\[ +l_0 += +\text{Ausgangslänge [\si{\meter}]} +\] +\[ +\Delta l += +\text{Längenänderung nach Kraftauftrag [\si{\meter}]} +\] +\[ +\Delta b += +\text{Längenänderung in Querrichtung nach Kraftauftrag [\si{\meter}]} +\] +\[ +\varepsilon += +\text{Dehnung [$-$]} +\] +\[ +\sigma += +\text{Spannung [\si{\kilo\pascal}]} +\] +\[ +E += +\text{Elastizitätsmodul [\si{\kilo\pascal}]} +\] +\[ +\nu += +\text{Querdehnungszahl; Poissonzahl [$-$]} +\] +\[ +F += +\text{Kraft [\si{\kilo\newton}]} +\] +\[ +A += +\text{Fläche [\si{\meter\squared}]} +\] +\[ +t += +\text{Tiefe [\si{\meter}]} +\] +\[ +s += +\text{Setzung, Absenkung [m]} +\] + +Beziehungen +\[ +\varepsilon += +\frac{\Delta l}{l_0} +\] +\[ +\varepsilon_q += +\frac{\Delta b}{l_0} += +\varepsilon\cdot\nu +\] +\[ +\sigma += +\frac{N}{A} +\] +\[ +F += +\int_{A} \sigma dA +\] +\[ +\varepsilon^{\prime} += +\frac{1}{l_0} +\] + +\section{Einführung wichtige Begriffe\label{spannung:section:Tensoren}} +Tensoren wurden als erstes in der Elastizitätstheorie eingesetzt. (Quelle Herr Müller) +In der Elastizitätstheorie geht es darum viele verschiedene Komponenten zu beschreiben. +Mit einer Matrix oder einem Vektor kann man dies nicht mehr bewerkstelligen. +Wenn man den dreidimensionalen Spannungszustand abbilden möchte, müsste man mehrere Vektoren haben. +Deshalb wurden 1840 von Rowan Hamilton Tensoren in die Mathematik eingeführt. +Woldemar Voigt hat den Begriff in die moderne Bedeutung von Skalar, Matrix und Vektor verallgemeinert. +Albert Einstein hat Tensoren zudem in der allgemeinen Relativitätstheorie benutzt. +Tensor sind eine Stufe höher als Matrizen. Matrizen sind 2. Stufe. +Da Tensoren eine Stufe höher sind, kann man auch Matrizen, Vektoren und Skalare als Tensoren bezeichnen. +Der Nachteil von den Tensoren ist, dass man die gewohnten Rechenregeln, die man bei Vektoren oder Matrizen kennt, +nicht darauf anwenden kann. Man ist deshalb bestrebt die Tensoren als Vektoren und Matrizen darzustellen, +damit man die gewohnten Rechenregeln darauf anwenden kann. (Quelle Wikipedia) +In der vorliegenden Arbeit sind bereits alle Tensoren als Matrizen 2. Stufe abgebildet. +Trotzdem kann man diese Matrizen wie vorher beschrieben als Tensor bezeichnen. +Da diese als Matrizen abgebildet sind, dürfen wir die bekannten Rechenregeln auf unsere Tensoren anwenden.
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