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authorNao Pross <np@0hm.ch>2021-06-20 19:11:28 +0200
committerNao Pross <np@0hm.ch>2021-06-20 19:11:28 +0200
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-rw-r--r--buch/papers/spannung/teil0.tex108
1 files changed, 67 insertions, 41 deletions
diff --git a/buch/papers/spannung/teil0.tex b/buch/papers/spannung/teil0.tex
index 2f4d23b..ffc9009 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil0.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex
@@ -1,56 +1,82 @@
-\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Spannungsausbreitung}}
-\rhead{Spannungsausbreitung}
-Anhand untenstehendem Bild kann ein einfaches Beispiel betrachtet werden.
-Es gibt eine Flächenlast (Kraft), diese wird auf den Boden abgetragen.
-Diese Last muss dann vom Boden aufgenommen werden.
-Im Boden entsteht nebst der Eigenspannung eine weitere Spannung durch diese Last (Zusatzspannung).
-Diese Zusatzspannung $\sigma$ ist abhängig von $(x,y,t)$.
-Je nach dem, wo man sich im Boden befindet variert die Spannung.
-Mit der Tiefe wird die Zusatzspannung geringer.
-Die Ausbreitung der Zusatzspannung im Boden hat die Form einer Zwiebel.
-Durch Untersuchung der Spannung an verschiedenen Punkten im Boden, kann man eine Funktion abtragen.
-Dasselbe macht man auch mit der Dehnung. Es zeigt sich, dass die Form der beiden Funktionen gleich ist.
-Dies erklärt sich dadurch, dass die Spannung und die Dehnung proportional zueinander sind.
-\begin{figure}
- \centering
- \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild4.png}
- \caption{Ausbreitung der Spannung im Boden}
- \label{fig:Bild4}
-\end{figure}
+\section{Der Spannungszustand\label{spannung:section:Der Spannungsustand}}
+\rhead{Der Spannungszustand}
+Ein Spannungszustand ist durch alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken, definiert (siehe Abbildung 1.4).
+Änderungen der äusseren Kräfte verändern die inneren Spannungszustände im Material.
+Um alle Spannungen eines Punktes darstellen zu können, wird ein infinitesimales Bodenelement in Form eines Würfels modellhaft vorgestellt.
+Man spricht auch von einem Elementarwürfel, da dieser elementar klein ist.
\begin{figure}
\centering
- \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild5.png}
- \caption{Funktionen Spannung und Dehnung}
- \label{fig:Bild5}
+ \includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild2.png}
+ \caption{Infinitesimales Bodenelement mit den 9 Spannungen}
+ \label{fig:Bild2}
\end{figure}
-Anhand eines etwas schwierigeren Beispiels sieht man,
-dass die Spannungsausbreitung nicht immer ganz einfach ist.
-Man hat hier eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen wurde.
-Was aber immer noch gilt ist, dass die Spannung $\sigma$ von drei Variablen abhängig ist $(x,y,t)$.
-Ansätze um die Spannungsausbreitung zu berechnen gibt es je nach Bodentyp verschiedene.
+Es werden jeweils drei Seiten dieses Würfels betrachtet, wobei die drei gegenüberliegenden Seiten im Betrag die selben Spannungen aufweisen,
+sodass der Elementarwürfel im Gleichgewicht ist.
+Wäre dieses Gleichgewicht nicht vorhanden, käme es zu Verschiebungen und Drehungen.
+Das infinitesimale Bodenteilchen hat die Koordinaten $1$, $2$, $3$.
+Veränderungen der Normalspannungen können durch Schubspannungen kompensiert werden und umgekehrt.
+So sind insgesamt neun verschiedene Spannungen möglich, wobei drei Normal- und sechs Schubspannungen sind.
+Normalspannungen wirken normal (mit rechtem Winkel) zur angreifenden Fläche und Schubspannungen parallel zur angreifenden Fläche.
+Alle Beträge dieser neun Spannungen am Elementarwürfel bilden den Spannungszustand.
+Daraus können die äquivalenten Dehnungen $\varepsilon$ mit Hilfe des Hook'schen Gesetz berechnet werden.
+Daher gibt es auch den entsprechenden Dehnungszustand.
+
+
+\section{Spannungszustand\label{spannung:section:Spannungsustand}}
+\rhead{Spannungszustand}
+Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung 1.5).
+Das Hook'sche Gesetz beschreibt genau diesen 1D Spannungszustand.
+Nach Hooke gilt:
+\[
+F
+\sim
+\Delta l
+.
+\]
+Teilt man beide Seiten durch die Konstanten $A$ und $l_0$, erhält man
+\[
+\frac{F}{A}
+=
+\sigma
+\sim
+\varepsilon
+=
+\frac{\Delta l}{l_0}
+\]
+und somit
+\[
+\sigma
+\sim
+\varepsilon
+,
+\]
+mit
+\begin{align*}
+ l_0 &= \text{Länge zu Beginn [\si{\meter}]} \\
+ A &= \text{Fläche [\si{\meter\squared}].}
+\end{align*}
+Diese Beziehung gilt bei linear-elastischen Materialien, welche reversible Verformungen zulassen.
+Es ist praktisch die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine absolute Längenänderung $\Delta l$.
\begin{figure}
\centering
- \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild3.png}
- \caption{Beispiel Lastauftrag auf Boden}
- \label{fig:Bild3}
+ \includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild1.png}
+ \caption{1D Spannungszustand aus einer quaderförmigen Bodenprobe}
+ \label{fig:Bild1}
\end{figure}
-
-Die Spannungsausbreitung ist uns jedoch gegeben, es geht nicht darum, dies genauer zu untersuchen.
-Durch die Spannungsausbreitung und das Elastizitätsmodul kann man eine Dehnung berechnen.
-Anhand dieser Dehnung kann man mit einem Integral wiederum die Setzung berechnen.
+Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ als Proportionalitätskonstante lässt sich der eindimensionale Fall mit
\[
-\varepsilon
+\sigma
=
-\frac{\sigma}{E}
+E\cdot\varepsilon
\]
+beschreiben.
+Im Falle, dass $E$ nicht konstant ist, kann dieser näherungsweise durch
\[
-s
+E
=
-\int_{0}^{\infty}\varepsilon\enspace dt
+\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}
\]
-Die Setzung zu bestimmen ist in der Geotechnik sehr wichtig.
-Besonders ungleichmässige Setzungen können bei Bauwerken Probleme ergeben.
-Es gilt also die Bauwerke so zu dimensionieren, dass es verträgliche Setzungen gibt. \ No newline at end of file
+ausgedrückt werden. \ No newline at end of file