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path: root/buch/papers/spannung/teil3.tex
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authorNao Pross <np@0hm.ch>2021-07-04 14:11:40 +0200
committerNao Pross <np@0hm.ch>2021-07-04 14:11:40 +0200
commit35213932009e78a2332b54678b5be21ad9f9e8a4 (patch)
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-rw-r--r--buch/papers/spannung/teil3.tex25
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diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index 8d99733..3e456c3 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -14,29 +14,31 @@ Folglich gilt:
Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht.
Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden.
Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung
-\[
+\begin{equation}
p
=
\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}
+\label{spannung:Invariante_p}
,
-\]
+\end{equation}
welche als arithmetisches Mittel aller Normalspannungen im infinitesimalen Würfel definiert ist.
Die zweite Invariante ist die deviatorische Spannung
-\[
+\begin{equation}
q
=
\sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}}
+\label{spannung:Invariante_q}
.
-\]
+\end{equation}
Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik}] aufgezeigt.
-Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung (Nr) als
+Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_p} als
\[
p
=
\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
\]
vereinfacht werden.
-Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung (Nr) als
+Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_q}als
\[
q
=
@@ -44,7 +46,7 @@ q
\]
vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten.
-Die Invarianten können mit der Spannungsformel (Nr..xxx) berechnet werden.
+Die Invarianten können mit der Spannungsformel \eqref{spannung:Spannungsgleichung} berechnet werden.
Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren.
Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten.
So ergibt sich
@@ -81,7 +83,7 @@ Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglich
Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$ kann mit einer Verzerrung verglichen werden.
Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
-\[
+\begin{equation}
\begin{pmatrix}
q\\
p
@@ -95,11 +97,12 @@ Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
\varepsilon_{s}\\
\varepsilon_{v}
\end{pmatrix}
-\]
-(sollte nummeriert sein) vereinfachen.
+\label{spannung:Matrixschreibweise}
+\end{equation}
+vereinfachen.
Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden.
-Mit dieser Formel lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
+Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.