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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-05-16 20:35:52 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2021-05-16 20:35:52 +0200 |
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Spannung
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diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex new file mode 100644 index 0000000..85e9b1b --- /dev/null +++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex @@ -0,0 +1,68 @@ +\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Oedometer - Versuch}} +\rhead{Oedometer - Versuch} +Beim Oedometer - Versucht hat man einen Stahlring mit einer Filterplatte am Boden. +In diesen Stahlring wird eine Bodenprobe eingefüllt. +Anschliessend wir mit einer Platte das Bodenmaterial mit einer ansteigenden Kraft belastet. + +Die Probe wird sich so verdichten. Das Volumen nimmt ab. +Der Stahlring verhindert ein seitliches ausbrechen oder entweichen der Bodenprobe. +Die Dehnung auf der Seite beträgt somit 0. +Mit dem Wert der Kraft und der Fläche lässt sich die Spannung berechnen. +Anhand der Volumenabnahme errechnet man die Dehnung. +Aus diesen Werten lässt sich wiederum das E-Modul bestimmen. +Beim Oedometer Versuch ist das E-Modul als $E_{OED}$ bezeichnet. + +Das $E_{OED}$ hat man speziell in der Geotechnik. +Dies aufgrund der speziellen Situation wo man sich mit dem infinitesimalen Würfel befindet. +Mit dem Stahlring, der verhindert das Material seitlich entweichen kann hat man ganz ähnliche Verhältnisse wie tief im Untergrund. +Auch dort kann das Material bei einer Belastung nicht seitlich entweichen. + +Wichtig ist nochmals zu betonen, dass alle diese beschriebenen Berechnungen ausschliesslich im linear-elastischen Materialverhalten funktionieren. +So ist es auch beim Oedometer - Versuch. +Den Versuch kann man auf einem $\sigma$ und $\varepsilon$ Diagramm abtragen. + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png} + \caption{Diagramm Oedometer - Versuch} + \label{fig:Diagramm Oedometer - Versuch} +\end{figure} + +Bei einem Versuch mit anderem Baumaterial wie beispielsweise Holz nimmt die Dehnung im Laufe des Versuchs stärker zu, obwohl weniger Spannung abgetragen wird. +Bei den meisten Böden ist dies anders. Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark. + +Man kann die Dehnung in unsere vereinfachte Matrix einsetzen. Das E-Modul ersetzt man mit dem $E_{OED}$. + +\[ +\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q} += +\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - 0)}^{\varepsilon_{\nu}} +\] + +\[ +\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p} += +\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\cdot0)}^{\varepsilon_{s}} +\] + +\[ +\begin{pmatrix} + \sigma_{11}-\sigma_{33} \\ + \sigma_{11}+2\sigma_{33} +\end{pmatrix} += +\begin{bmatrix} + \frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\ + 0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)} +\end{bmatrix} +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11}\\ + \varepsilon_{11} +\end{pmatrix} +\] + +An einem geeigneten Punkt, wo man noch im linear-elastischen Materialverhalten ist, kann man nun das $E_{OED}$ abtragen. +Es wird nur ein Delta betrachtet um $E_{OED}$ zu berechnen. +Man darf die Dehnung nicht über den gesamten Verlauf betrachten um $E_{OED}$ zu berechnen. + +Mit diesem ermittelten E-Modul kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen. |