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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-05-28 15:16:23 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2021-05-28 15:16:23 +0200 |
commit | 389cfc2fe4e685f855981b6f9d1bcdd49eb9e4ce (patch) | |
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Überarbeitungen / Verbesserungen
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diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex index 85e9b1b..60f2518 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil4.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex @@ -1,68 +1,69 @@ -\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Oedometer - Versuch}} -\rhead{Oedometer - Versuch} -Beim Oedometer - Versucht hat man einen Stahlring mit einer Filterplatte am Boden. -In diesen Stahlring wird eine Bodenprobe eingefüllt. -Anschliessend wir mit einer Platte das Bodenmaterial mit einer ansteigenden Kraft belastet. - -Die Probe wird sich so verdichten. Das Volumen nimmt ab. -Der Stahlring verhindert ein seitliches ausbrechen oder entweichen der Bodenprobe. -Die Dehnung auf der Seite beträgt somit 0. -Mit dem Wert der Kraft und der Fläche lässt sich die Spannung berechnen. -Anhand der Volumenabnahme errechnet man die Dehnung. -Aus diesen Werten lässt sich wiederum das E-Modul bestimmen. -Beim Oedometer Versuch ist das E-Modul als $E_{OED}$ bezeichnet. - -Das $E_{OED}$ hat man speziell in der Geotechnik. -Dies aufgrund der speziellen Situation wo man sich mit dem infinitesimalen Würfel befindet. -Mit dem Stahlring, der verhindert das Material seitlich entweichen kann hat man ganz ähnliche Verhältnisse wie tief im Untergrund. -Auch dort kann das Material bei einer Belastung nicht seitlich entweichen. - -Wichtig ist nochmals zu betonen, dass alle diese beschriebenen Berechnungen ausschliesslich im linear-elastischen Materialverhalten funktionieren. -So ist es auch beim Oedometer - Versuch. -Den Versuch kann man auf einem $\sigma$ und $\varepsilon$ Diagramm abtragen. - -\begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png} - \caption{Diagramm Oedometer - Versuch} - \label{fig:Diagramm Oedometer - Versuch} -\end{figure} - -Bei einem Versuch mit anderem Baumaterial wie beispielsweise Holz nimmt die Dehnung im Laufe des Versuchs stärker zu, obwohl weniger Spannung abgetragen wird. -Bei den meisten Böden ist dies anders. Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark. - -Man kann die Dehnung in unsere vereinfachte Matrix einsetzen. Das E-Modul ersetzt man mit dem $E_{OED}$. +\section{Oedometer-Versuch\label{spannung:section:Oedometer-Versuch}} +\rhead{Oedometer-Versuch} +Mit dem Oedometer-Versuch kann der Oedometrische Elastizitätsmodul $E_{OED}$ bestimmt werden. +Dieser beschreibt ebenfalls das Verhältnis zwischen Spannung und Dehnung, allerdings unter anderen Bedingungen. +Diese Bedingung ist das Verhindern der seitlichen Verformung, sprich der Dehnung in Richtung $1$ und $2$. +Es wird ein Probeelement mit immer grösseren Gewichten belastet, welche gleichmässig auf das Material drücken. +Die seitliche Verschiebung des Materials wird durch einen Stahlring verhindert. +Die Probe wird sich so steig verdichten. +Das Volumen nimmt ab und die Dehnung nimmt immer mehr zu. +Unter diesen Bedingungen wird das Oedometrische E-Modul mit steigender Dehnung zunehmen. +Da im Boden das umgebende Material ähnliche eine seitliche Verformung verhindert, +gibt dieser Oedometrische E-Modul die Realität besser als der gewöhnliche E-Modul wieder. +Durch dieses Verhindern des seitlichen Ausbrechens ist \[ -\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q} +\varepsilon_{22} = -\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - 0)}^{\varepsilon_{\nu}} +\varepsilon_{33} += +0 \] - +aber auch \[ -\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p} +\sigma_{22} = -\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\cdot0)}^{\varepsilon_{s}} +\sigma_{33} +\neq 0 \] - +Die Spannung $\sigma_{11}$ wird durch durch die aufgebrachte Kraft mit +\[ +\sigma_{11} += +\frac{F}{A} +\] +und die Dehnung $\varepsilon_{11}$ jeweils mit den entsprechenden Setzungen berechnet. +Diese Randbedingen können in die vereinfachte Gleichung eingesetzt. +Diese lautet nun: \[ \begin{pmatrix} \sigma_{11}-\sigma_{33} \\ \sigma_{11}+2\sigma_{33} \end{pmatrix} = -\begin{bmatrix} +\begin{pmatrix} \frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\ - 0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)} -\end{bmatrix} + 0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)} +\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{11} \end{pmatrix} \] +. -An einem geeigneten Punkt, wo man noch im linear-elastischen Materialverhalten ist, kann man nun das $E_{OED}$ abtragen. -Es wird nur ein Delta betrachtet um $E_{OED}$ zu berechnen. -Man darf die Dehnung nicht über den gesamten Verlauf betrachten um $E_{OED}$ zu berechnen. +Daraus lässt sich bei jedem Setzungsgrad das Oedometrische E-Modul $E_{OED}$ und die seitlichen Spannungen $\sigma_{33}$ mit den 2 Gleichungen -Mit diesem ermittelten E-Modul kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen. +GLEICHUNGEN... + +berechnen. +Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung 1.7). +Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark. +Mit diesem ermittelten $E_{OED}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen. + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png} + \caption{Diagramm Oedometer-Versuch} + \label{fig:Diagramm Oedometer-Versuch} +\end{figure}
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