Merge remote-tracking branch 'upstream/master'

5 files changed, 38 insertions, 32 deletions

diff --git a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
index 0cb1433..b1588ff 100644
--- a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
+++ b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
@@ -29,7 +29,7 @@ Belastet man den Boden mit einer Spannung
 so wird diese in den Boden geleitet und von diesem kompensiert.
 Im Boden entstehen unterschiedlich hohe Zusatzspannungen.
 Diese Zusatzspannung breitet sich räumlich im Boden aus.
-Im Falle einer konstanten Flächenlast $\sigma$ (siehe Abbildung 1.1) breitet sich die Zusatzspannung zwiebelartig aus.
+Im Falle einer konstanten Flächenlast $\sigma$ siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild4} breitet sich die Zusatzspannung zwiebelartig aus.
 
 \begin{figure}
 	\centering
@@ -38,7 +38,7 @@ Im Falle einer konstanten Flächenlast $\sigma$ (siehe Abbildung 1.1) breitet si
 	\label{fig:Bild4}
 \end{figure}
 
-Mit der Tiefe $t$ nimmt diese permanent ab (siehe Abbildung 1.2).
+Mit der Tiefe $t$ nimmt diese permanent ab (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild5}).
 Wie diese Geometrie der Ausbreitung ist, kann durch viele Modelle und Ansätze näherungsweise beschrieben werden.
 Diese Zusatzspannung $\sigma$ ist im Wesentlichen abhängig von $(x,y,t)$.
 Je nach Modell werden noch andere Parameter berücksichtigt.
@@ -74,7 +74,7 @@ berechnet werden mit:
 \end{align*}
 Diese Zusammenhänge sind wie erwähnt unter anderem im  Lehrbuch [\cite{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik}] beschrieben.
 In der praktischen Geotechnik wird man allerdings weitaus schwierigere Situationen antreffen.
-Ein Beispiel wäre eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen ist (siehe Abbildung 1.3).
+Ein Beispiel wäre eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen ist (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild3}).
 Die Ausbreitung der Zusatzspannung $\sigma(x,y,t)$ würde hier deutlich komplizierter ausfallen.
 Dies bedeutet auch eine komplexere Setzung der Bodenoberfläche infolge einer Flächenlast $\sigma$.
 Aus allen zusätzlichen Spannungen müssen die adäquaten Dehnungen mit Hilfe einer Spannungsgleichung berechnet werden.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil0.tex b/buch/papers/spannung/teil0.tex
index ffc9009..7647252 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil0.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Der Spannungszustand\label{spannung:section:Der Spannungsustand}}
 \rhead{Der Spannungszustand}
-Ein Spannungszustand ist durch alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken, definiert (siehe Abbildung 1.4).
+Ein Spannungszustand ist durch alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken, definiert (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild2}).
 Änderungen der äusseren Kräfte verändern die inneren Spannungszustände im Material.
 Um alle Spannungen eines Punktes darstellen zu können, wird ein infinitesimales Bodenelement in Form eines Würfels modellhaft vorgestellt.
 Man spricht auch von einem Elementarwürfel, da dieser elementar klein ist.
@@ -27,7 +27,7 @@ Daher gibt es auch den entsprechenden Dehnungszustand.
 \section{Spannungszustand\label{spannung:section:Spannungsustand}}
 \rhead{Spannungszustand}
 
-Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung 1.5).
+Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild1}).
 Das Hook'sche Gesetz beschreibt genau diesen 1D Spannungszustand.
 Nach Hooke gilt:
 \[
diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex
index 921d2b8..6326eab 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil2.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex
@@ -155,6 +155,17 @@ Die allgemeine Spannungsgleichung lautet nun:
 \overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
 .
 \]
+
+Als Indexnotation
+\[
+\sigma_{ij}
+=
+\sum_{k=1}^3
+\sum_{l=1}^3
+C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl}
+\]
+kann dies ebenfalls geschrieben werden.
+
 Die Konstanten $C$ werden nun nach dem Hook'schen Gesetz mit Hilfe des Elastizitätsmoduls $E$ definiert.
 Da dieser Modul durch die eindimensionale Betrachtung definiert ist,
 muss für die dreidimensionale Betrachtung eine weitere Kennzahl eingeführt werden.
@@ -208,17 +219,8 @@ definiert ist. Trägt man die Konstanten in die Matrix ein, ergibt sich
 	\varepsilon_{32} \\
 	\varepsilon_{33}
 \end{pmatrix}
-,
-\]
-welche ebenfalls als Indexnotation mit
-\[
-\sigma_{ij}
-=
-\sum_{k=1}^3
-\sum_{l=1}^3
-C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl}
+.
 \]
-ausgedrückt werden kann.
 Die Normalspannung $\sigma_{22}$ lässt sich exemplarisch als
 \[
 \sigma_{22}
@@ -308,7 +310,7 @@ und entsprechend
 =
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
-	& \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	                 & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
 	\text{sym}       &                  & \varepsilon_{33}
 \end{pmatrix}
 \qquad
@@ -397,8 +399,8 @@ Somit lässt sich die reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit
 \]
 beschreiben.
 Die Konstanten $C$ werden wieder nach dem Hook'schen Gesetz definiert.
-Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist:
-\[
+Dies ergibt die Spannungsformel, welche weit möglichst vereinfacht ist:
+\begin{equation}
 \begin{pmatrix}
 	\sigma_{11}\\
 	\sigma_{22}\\
@@ -426,7 +428,8 @@ Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist:
 	\varepsilon_{12}
 \end{pmatrix}
 .
-\]
+\label{spannung:Spannungsgleichung}
+\end{equation}
 
 Im Elastizitätstensor fallen zwei $3\times3$ Blöcke auf, welche nur Einträge mit $0$ haben. Der Tensor besagt also,
 dass diese jeweiligen Dehnungen keinen Einfluss auf unsere Spannung haben.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index 8d99733..3e456c3 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -14,29 +14,31 @@ Folglich gilt:
 Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht.
 Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden.
 Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung
-\[
+\begin{equation}
 p
 =
 \frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}
+\label{spannung:Invariante_p}
 ,
-\]
+\end{equation}
 welche als arithmetisches Mittel aller Normalspannungen im infinitesimalen Würfel definiert ist.
 Die zweite Invariante ist die deviatorische Spannung
-\[
+\begin{equation}
 q
 =
 \sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}}
+\label{spannung:Invariante_q}
 .
-\]
+\end{equation}
 Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik}] aufgezeigt.
-Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung (Nr) als
+Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_p} als
 \[
 p
 =
 \frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
 \]
 vereinfacht werden.
-Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung (Nr) als
+Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_q}als
 \[
 q
 =
@@ -44,7 +46,7 @@ q
 \]
 vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten.
 
-Die Invarianten können mit der Spannungsformel (Nr..xxx) berechnet werden.
+Die Invarianten können mit der Spannungsformel \eqref{spannung:Spannungsgleichung} berechnet werden.
 Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren.
 Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten.
 So ergibt sich
@@ -81,7 +83,7 @@ Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglich
 Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$  kann mit einer Verzerrung verglichen werden.
 
 Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
-\[
+\begin{equation}
 \begin{pmatrix}
 	q\\
 	p
@@ -95,11 +97,12 @@ Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
 	\varepsilon_{s}\\
 	\varepsilon_{v}
 \end{pmatrix}
-\]
-(sollte nummeriert sein) vereinfachen.
+\label{spannung:Matrixschreibweise}
+\end{equation}
+vereinfachen.
 Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
 Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden.
 
-Mit dieser Formel lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
+Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
 Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
 Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex
index d524f13..2f2e4ce 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil4.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex
@@ -34,7 +34,7 @@ Die Spannung $\sigma_{11}$ wird durch die aufgebrachte Kraft mit
 \frac{F}{A}
 \]
 und die Dehnung $\varepsilon_{11}$ jeweils mit den entsprechenden Setzungen berechnet.
-Diese Randbedingungen können in die vereinfachte Gleichung (Nrxxx) eingesetzt werden.
+Diese Randbedingungen können in die vereinfachte Gleichung \eqref{spannung:Matrixschreibweise} eingesetzt werden.
 Diese lautet nun:
 \[
 \begin{pmatrix}
@@ -67,7 +67,7 @@ und
 berechnen.
 Mit diesen Gleichungen hat man das Gleichungssystem um $E_{OED}$ und $\sigma_{33}$ zu berechnen.
 Die Poisson-Zahl muss als Kennwert gemäss der Bodenklasse gewählt werden.
-Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung 1.7).
+Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung~\ref{spannung:DiagrammOedometer-Versuch}).
 Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark.
 Mit diesem ermittelten $E_{OED}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen.