Merge remote-tracking branch 'upstream/master'

15 files changed, 904 insertions, 181 deletions

diff --git a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
new file mode 100644
index 0000000..b1588ff
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
@@ -0,0 +1,89 @@
+\section{Einleitung\label{spannung:section:Einleitung}}
+\rhead{Einleitung}
+Das Hook'sche Gesetz beschreibt die Beziehung von Spannung und Dehnung von linear-elastischen Materialien im Eindimensionalen.
+In diesem Kapitel geht es darum das Hook'sche Gesetz im Dreidimensionalen zu beschreiben.
+Durch variable Krafteinwirkungen entstehen in jedem Punkt des Materials eine Vielzahl an unterschiedlichen Spannungen.
+In jedem erdenklichen Punkt im Dreidimensionalen herrscht daher ein entsprechender individueller Spannungszustand.
+Um das Hook'sche Gesetz für den 3D Spannungszustand formulieren zu können, reichen Skalare nicht aus.
+Darum werden Vektoren, Matrizen und Tensoren zur Hilfe gezogen.
+Mit diesen lässt sich eine Spannungsformel für den 3D Spannungszustand bilden.
+Diese Spannungsformel ist Grundlage für Computerprogramme und geotechnische Versuche, wie der Oedometer-Versuch.
+
+Um die mathematische Untersuchung vorzunehmen, beschäftigt man sich zuerst mit den spezifischen Gegebenheiten und Voraussetzungen.
+Ebenfalls gilt es ein paar wichtige Begriffe und deren mathematischen Zeichen einzuführen.
+In diesem Kapitel gehen wir auch auf die Zusammenhänge von Spannung, Dehnungen und Verformungen an elastischen Materialien ein,
+wie sie in gängigen Lehrbüchern der Mechanik oder der Geotechnik behandelt werden, z.~B.~\cite{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik}.
+
+\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Spannungsausbreitung}}
+\rhead{Spannungsausbreitung}
+Die Geotechnik ist eine Ingenieurdisziplin, bei welcher man Erdbau und den Erdbau tangierende Bauwerke dimensioniert.
+Sie beinhaltet aber auch die statische Beurteilung von Boden und Fels.
+
+Belastet man den Boden mit einer Spannung
+\[
+\sigma
+=
+\frac{F}{A}
+,
+\]
+so wird diese in den Boden geleitet und von diesem kompensiert.
+Im Boden entstehen unterschiedlich hohe Zusatzspannungen.
+Diese Zusatzspannung breitet sich räumlich im Boden aus.
+Im Falle einer konstanten Flächenlast $\sigma$ siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild4} breitet sich die Zusatzspannung zwiebelartig aus.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild4.png}
+	\caption{Ausbreitung der Zusatzspannung im Boden infolge einfacher Flächenlast}
+	\label{fig:Bild4}
+\end{figure}
+
+Mit der Tiefe $t$ nimmt diese permanent ab (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild5}).
+Wie diese Geometrie der Ausbreitung ist, kann durch viele Modelle und Ansätze näherungsweise beschrieben werden.
+Diese Zusatzspannung $\sigma$ ist im Wesentlichen abhängig von $(x,y,t)$.
+Je nach Modell werden noch andere Parameter berücksichtigt.
+Das können beispielsweise jenste Bodenkennwerte oder auch der Wassergehalt sein.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild5.png}
+	\caption{Funktionen der Spannung und Dehnung im Zusammenhang mit der Tiefe}
+	\label{fig:Bild5}
+\end{figure}
+
+Bei jeder dieser Zusatzspannung geht eine entsprechende Zusatzdehnung des Bodens einher, welche eine Setzung bedeutet.
+Im einfachsten Fall kann modellhaft mit
+\[
+\varepsilon
+=
+\frac{\sigma}{E}
+\]
+die Setzung an einem Punkt an der Bodenoberfläche mit
+\[
+s
+=
+\int_{0}^{\infty}\varepsilon\enspace dt
+\]
+berechnet werden mit:
+\begin{align*}
+	\varepsilon &= \text{Dehnung [$-$]}                                     \\
+	     \sigma &= \text{Spannung [\si{\kilo\pascal}]}                      \\
+	          E &= \text{Elastizitätsmodul; Young-Modul [\si{\kilo\pascal}]}\\
+	          t &= \text{Tiefe [\si{\meter}]}                               \\
+	          s &= \text{Setzung, Absenkung [m].}
+\end{align*}
+Diese Zusammenhänge sind wie erwähnt unter anderem im  Lehrbuch [\cite{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik}] beschrieben.
+In der praktischen Geotechnik wird man allerdings weitaus schwierigere Situationen antreffen.
+Ein Beispiel wäre eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen ist (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild3}).
+Die Ausbreitung der Zusatzspannung $\sigma(x,y,t)$ würde hier deutlich komplizierter ausfallen.
+Dies bedeutet auch eine komplexere Setzung der Bodenoberfläche infolge einer Flächenlast $\sigma$.
+Aus allen zusätzlichen Spannungen müssen die adäquaten Dehnungen mit Hilfe einer Spannungsgleichung berechnet werden.
+Diese beruht auf Annahmen nach Hooke auf einem linear-elastischen Boden.
+Generell wird im Ingenieurwesen versucht Phänomene möglichst nach dem Hook'schen Gesetz abbilden zu können.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.45\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild3.png}
+	\caption{Beispiel eines Lastauftrags auf den Boden bei einer komplexeren Situation, welches kompliziertere Spannungsausbreitung zur Folge hat}
+	\label{fig:Bild3}
+\end{figure}
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild1.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild1.png
new file mode 100644
index 0000000..32b627e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild1.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild2.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild2.png
new file mode 100644
index 0000000..d1321a4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild2.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild3.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild3.png
new file mode 100644
index 0000000..8ca72a1
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild3.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild4.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild4.png
new file mode 100644
index 0000000..526ee7b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild4.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild5.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild5.png
new file mode 100644
index 0000000..6ee004d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild5.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png
new file mode 100644
index 0000000..31505bd
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png
new file mode 100644
index 0000000..2c359e6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png
diff --git a/buch/papers/spannung/main.tex b/buch/papers/spannung/main.tex
index 585a423..bbdf730 100644
--- a/buch/papers/spannung/main.tex
+++ b/buch/papers/spannung/main.tex
@@ -4,33 +4,18 @@
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
 \chapter{Thema\label{chapter:spannung}}
-\lhead{Thema}
+\lhead{Dreiachsiger Spannungszustand}
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Adrian Schuler und Thomas Reichlin}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+% TODO Text
 
+\input{papers/spannung/Einleitung.tex}
 \input{papers/spannung/teil0.tex}
 \input{papers/spannung/teil1.tex}
 \input{papers/spannung/teil2.tex}
 \input{papers/spannung/teil3.tex}
+\input{papers/spannung/teil4.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/spannung/references.bib b/buch/papers/spannung/references.bib
index ed5703c..02f8d09 100644
--- a/buch/papers/spannung/references.bib
+++ b/buch/papers/spannung/references.bib
@@ -4,27 +4,46 @@
 % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
 %
 
-@online{spannung:bibtex,
-	title = {BibTeX},
-	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
-	date = {2020-02-06},
-	year = {2020},
-	month = {2},
+@online{spannung:Tensor,
+	title = {Tensor},
+	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Tensor},
+	date = {2021-05-29},
+	year = {2021},
+	month = {5},
 	day = {6}
 }
 
-@book{spannung:numerical-analysis,
-	title = {Numerical Analysis},
-	author = {David Kincaid and Ward Cheney},
-	publisher = {American Mathematical Society},
-	year = {2002},
-	isbn = {978-8-8218-4788-6},
-	inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
-	volume = {2}
+@online{spannung:Voigtsche-Notation,
+	title = {Voigtsche Notation},
+	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Voigtsche_Notation},
+	date = {2021-05-29},
+	year = {2021},
+	month = {5},
+	day = {6}
+}
+
+@book{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik,
+	title = {Grundlagen der Geotechnik},
+	author = {Hans-Henning Schmidt and Roland F. Buchmaier and Carola Vogt-Breyer},
+	publisher = {Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH},
+	year = {2017},
+	isbn = {978-3-658-14930-7},
+	inseries = {Geotechnik nach Eurocode},
+	volume = {5}
+}
+
+@book{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik,
+	title = {Stoffgesetze und numerische Modellierung in der Geotechnik},
+	author = {Carlo Rabaiotti and Alessio Höttges},
+	publisher = {Hochschule Rapperswil},
+	year = {2021},
+	isbn = {},
+	inseries = {},
+	volume = {}
 }
 
 @article{spannung:mendezmueller,
-        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
+        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
         title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
         journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
         year = 2019,
diff --git a/buch/papers/spannung/teil0.tex b/buch/papers/spannung/teil0.tex
index cf47a18..7647252 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil0.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex
@@ -1,22 +1,82 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{spannung:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{spannung:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
+\section{Der Spannungszustand\label{spannung:section:Der Spannungsustand}}
+\rhead{Der Spannungszustand}
+Ein Spannungszustand ist durch alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken, definiert (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild2}).
+Änderungen der äusseren Kräfte verändern die inneren Spannungszustände im Material.
+Um alle Spannungen eines Punktes darstellen zu können, wird ein infinitesimales Bodenelement in Form eines Würfels modellhaft vorgestellt.
+Man spricht auch von einem Elementarwürfel, da dieser elementar klein ist.
 
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild2.png}
+	\caption{Infinitesimales Bodenelement mit den 9 Spannungen}
+	\label{fig:Bild2}
+\end{figure}
 
+Es werden jeweils drei Seiten dieses Würfels betrachtet, wobei die drei gegenüberliegenden Seiten im Betrag die selben Spannungen aufweisen,
+sodass der Elementarwürfel im Gleichgewicht ist.
+Wäre dieses Gleichgewicht nicht vorhanden, käme es zu Verschiebungen und Drehungen.
+Das infinitesimale Bodenteilchen hat die Koordinaten $1$, $2$, $3$.
+Veränderungen der Normalspannungen können durch Schubspannungen kompensiert werden und umgekehrt.
+So sind insgesamt neun verschiedene Spannungen möglich, wobei drei Normal- und sechs Schubspannungen sind.
+Normalspannungen wirken normal (mit rechtem Winkel) zur angreifenden Fläche und Schubspannungen parallel zur angreifenden Fläche.
+Alle Beträge dieser neun Spannungen am Elementarwürfel bilden den Spannungszustand.
+Daraus können die äquivalenten Dehnungen $\varepsilon$ mit Hilfe des Hook'schen Gesetz berechnet werden.
+Daher gibt es auch den entsprechenden Dehnungszustand.
 
+
+\section{Spannungszustand\label{spannung:section:Spannungsustand}}
+\rhead{Spannungszustand}
+
+Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild1}).
+Das Hook'sche Gesetz beschreibt genau diesen 1D Spannungszustand.
+Nach Hooke gilt:
+\[
+F
+\sim
+\Delta l
+.
+\]
+Teilt man beide Seiten durch die Konstanten $A$ und $l_0$, erhält man
+\[
+\frac{F}{A}
+=
+\sigma
+\sim
+\varepsilon
+=
+\frac{\Delta l}{l_0}
+\]
+und somit
+\[
+\sigma
+\sim
+\varepsilon
+,
+\]
+mit
+\begin{align*}
+	l_0 &= \text{Länge zu Beginn [\si{\meter}]} \\
+	  A &= \text{Fläche [\si{\meter\squared}].}
+\end{align*}
+Diese Beziehung gilt bei linear-elastischen Materialien, welche reversible Verformungen zulassen.
+Es ist praktisch die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine absolute Längenänderung $\Delta l$.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild1.png}
+	\caption{1D Spannungszustand aus einer quaderförmigen Bodenprobe}
+	\label{fig:Bild1}
+\end{figure}
+Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ als Proportionalitätskonstante lässt sich der eindimensionale Fall mit
+\[
+\sigma
+=
+E\cdot\varepsilon
+\]
+beschreiben.
+Im Falle, dass $E$ nicht konstant ist, kann dieser näherungsweise durch
+\[
+E
+=
+\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}
+\]
+ausgedrückt werden.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/spannung/teil1.tex b/buch/papers/spannung/teil1.tex
index 95e6f0a..74516c1 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil1.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil1.tex
@@ -1,55 +1,24 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{spannung:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{spannung:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{spannung:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{spannung:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{spannung:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
+\section{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren\label{spannung:section:Skalare,_Vektoren,_Matrizen_und_Tensoren}}
+\rhead{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren}
+Der Begriff Tensor kann als Überbegriff, der mathematischen Objekte Skalar, Vektor und Matrix, betrachtet werden.
+Allerdings sind noch höhere Stufen dieser Objekte beinhaltet.
+Ein Skalar, ein Vektor oder eine Matrix ist daher auch ein Tensor.
+Ein Skalar ist ein Tensor 0. Stufe.
+Mit einem Vektor können mehrere Skalare auf einmal beschrieben werden.
+Ein Vektor hat daher die Stufe 1 und ist höherstufig als ein Skalar.
+Mit einer Matrix können wiederum mehrere Vektoren auf einmal beschrieben werden.
+Eine Matrix hat daher die Stufe 2 und ist noch höherstufig als ein Vektor.
+Versteht man diese Stufen, so versteht man den Sinn des Begriffs Tensor.
 
+Jede Stufe von Tensoren verlangt andere Rechenregeln.
+So zeigt sich auch der Nachteil von Tensoren mit Stufen höher als 2.
+Man ist also bestrebt höherstufige Tensoren mit Skalaren, Vektoren oder Matrizen zu beschreiben.
 
+Der Begriff Tensor wurde 1840 von Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt.
+James Clerk Maxwell hat bereits mit Tensoren operiert, ohne den Begriff Tensor gekannt zu haben.
+Erst Woldemar Voigt hat den Begriff in die moderne Bedeutung von Skalar, Matrix und Vektor verallgemeinert.
+Er hat in der Elastizitätstheorie als erstes Tensoren eingesetzt und beschrieben.
+Auch Albert Einstein hat solche Tensoren eingesetzt,
+um in der Relativitätstheorie die Änderung der 4D Raumzeit beschreiben zu können.
+\cite{spannung:Tensor}
+\cite{spannung:Voigtsche-Notation}
diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex
index 37d3242..6326eab 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil2.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex
@@ -1,40 +1,494 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2 
-\label{spannung:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{spannung:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger_Spannungszustand}}
+\rhead{Dreiachsiger Spannungszustand}
+Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D Spannungszustand unterschiedliche Normal- und Schubspannungen.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png}
+	\caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchen}
+	\label{fig:infinitesimalerWuerfel}
+\end{figure}
+Ein Tensor 0. Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D Spannungszustand beschreiben.
+Um den 3D Spannungszustandes als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2. Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt.
+Die Spannungen sind durch die zwei Indizes
+\[
+i, j\in\left\{1, 2, 3\right\}
+\]
+definiert.
+Daher ergeben sich die neun Spannungen.
+Die nachfolgenden Zusammenhänge sind in \cite{spannung:Voigtsche-Notation} beschrieben.
+Dieser Spannungstensor kann schliesslich mit $3^2$ Einträgen als $3\times3$ Matrix mit
+\[
+\overline{\sigma}
+=
+\sigma_{ij}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
+	\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt werden und beschreibt somit den gesamten Spannungszustand.
+Die Dehnungen wirken in die gleichen Richtungen wie die korrespondierenden Spannungen und sind durch die zwei Indizes
+\[
+k, l\in\left\{1, 2, 3\right\}
+\]
+definiert.
+Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2. Stufe und kann somit auch als $3\times3$ Matrix mit
+\[
+\overline{\varepsilon}
+=
+\varepsilon_{kl}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt werden und beschreibt den gesamten Dehnungszustand.
 
+Der Spannungs- und Dehnungstensor 2. Stufe kann je in einen Tensor 1. Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist.
+Gemäss der Hadamard-Algebra dürfen Zeile um Zeile in eine Spalte notiert werden, sodass es einen Spaltenvektor ergibt.
+So ergibt sich der Spannungsvektor
 
+\[
+\overline{\sigma}
+=
+\sigma_{ij}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
+	\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\sigma}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{12}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{21}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{31}\\
+	\sigma_{32}\\
+	\sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+und Dehnungsvektor
+\[
+\overline{\varepsilon}
+=
+\varepsilon_{kl}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{12} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{21} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} \\
+	\varepsilon_{32} \\
+	\varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Um die Beziehung von Spannung und Dehnung, welche mit Tensoren 2. Stufe ausgedrückt werden, zu beschreiben, wird ein Elastizitätstensor 4. Stufe benötigt.
+Dieser ist im 1D Spannungszustand ein Tensor 0. Stufe und somit ein Skalar, der Elastizitätsmodul $E$.
+
+Dieser Elastizitätstensor 4. Stufe kann als Tensor 2. Stufe, sprich als Matrix, dargestellt werden.
+So wird die Spannungsgleichung stark vereinfacht, da nun eine Matrix auf einen Vektor operiert.
+Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen 9 Dehnungen mit Konstanten erfassen.
+Dies bedeutet um eine von 9 Spannungen berechnen zu können müssen alle 9 Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden.
+Es ergeben sich $9^2$ Einträge, welches mit den 4 Indizes
+\[
+i, j, k, l\in\left\{1, 2, 3\right\}
+,
+\]
+die zueinander verknüpft werden müssen, zu begründen ist.
+Es ergeben sich $3^4$ Einträge, sprich eine $9\times9$ Matrix, welche allgemein
+\[
+\overline{\overline{C}}
+=
+C_{ijkl}
+=
+\begin{pmatrix}
+C_{1111} & C_{1112} & C_{1113} & C_{1121} & C_{1122} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1132} & C_{1133} \\
+C_{1211} & C_{1212} & C_{1213} & C_{1221} & C_{1222} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1232} & C_{1233} \\
+C_{1311} & C_{1312} & C_{1313} & C_{1321} & C_{1322} & C_{1323} & C_{1331} & C_{1332} & C_{1333} \\
+C_{2111} & C_{2112} & C_{2113} & C_{2121} & C_{2122} & C_{2123} & C_{2131} & C_{2132} & C_{2133} \\
+C_{2211} & C_{2212} & C_{2213} & C_{2221} & C_{2222} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2232} & C_{2233} \\
+C_{2311} & C_{2312} & C_{2313} & C_{2321} & C_{2322} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2332} & C_{2333} \\
+C_{3111} & C_{3112} & C_{3113} & C_{3121} & C_{3122} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3132} & C_{3133} \\
+C_{3211} & C_{3212} & C_{3213} & C_{3221} & C_{3222} & C_{3223} & C_{3231} & C_{3232} & C_{3233} \\
+C_{3311} & C_{3312} & C_{3313} & C_{3321} & C_{3322} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3332} & C_{3333}
+\end{pmatrix}
+\]
+geschrieben werden kann.
+Dieser Elastizitätstensor muss für isotrope Materialien zwingend symmetrisch sein.
+Folglich gilt:
+\[
+\overline{\overline{C}}
+=
+\overline{\overline{C}}~^{T}
+.
+\]
+Die allgemeine Spannungsgleichung lautet nun:
+\[
+\vec\sigma
+=
+\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
+.
+\]
+
+Als Indexnotation
+\[
+\sigma_{ij}
+=
+\sum_{k=1}^3
+\sum_{l=1}^3
+C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl}
+\]
+kann dies ebenfalls geschrieben werden.
+
+Die Konstanten $C$ werden nun nach dem Hook'schen Gesetz mit Hilfe des Elastizitätsmoduls $E$ definiert.
+Da dieser Modul durch die eindimensionale Betrachtung definiert ist,
+muss für die dreidimensionale Betrachtung eine weitere Kennzahl eingeführt werden.
+Dies ist die Querdehnungszahl $\nu$ (auch Poisson-Zahl), welche durch
+\[
+\nu
+=
+\frac{\varepsilon_q}{\varepsilon}
+=
+\frac{\Delta b}{b_0}
+\]
+und
+\begin{align*}
+	\varepsilon     &= \text{Längsdehnung [$-$]} \\
+	\varepsilon_q   &= \text{Querdehnung [$-$]}
+\end{align*}
+definiert ist. Trägt man die Konstanten in die Matrix ein, ergibt sich
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{12}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{21}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{31}\\
+	\sigma_{32}\\
+	\sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
+\begin{pmatrix}
+	1-2\nu &          0 &          0 &          0 &    \nu &          0 &          0 &          0 & \nu   \\
+	     0 &\frac{1}{4} &          0 &\frac{1}{4} &      0 &          0 &          0 &          0 & 0     \\
+	     0 &          0 &\frac{1}{4} &          0 &      0 &          0 &\frac{1}{4} &          0 & 0     \\
+	     0 &\frac{1}{4} &          0 &\frac{1}{4} &      0 &          0 &          0 &          0 & 0     \\
+	   \nu &          0 &          0 &          0 & 1-2\nu &          0 &          0 &          0 & \nu   \\
+  	     0 &          0 &          0 &          0 &      0 &\frac{1}{4} &          0 &\frac{1}{4} & 0     \\
+	     0 &          0 &\frac{1}{4} &          0 &      0 &          0 &\frac{1}{4} &          0 & 0     \\
+	     0 &          0 &          0 &          0 &      0 &\frac{1}{4} &          0 &\frac{1}{4} & 0     \\
+	   \nu &          0 &          0 &          0 &    \nu &          0 &          0 &          0 & 1-2\nu
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{12} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{21} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} \\
+	\varepsilon_{32} \\
+	\varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Die Normalspannung $\sigma_{22}$ lässt sich exemplarisch als
+\[
+\sigma_{22}
+=
+\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}+\frac{E}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{22}+\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{33}
+\]
+berechnen.
+
+Man betrachte nun die Eigenschaften des Elastizitätstensors.
+Dieser ist quadratisch und symmetrisch, die verschiedenen Einträge wechseln sich aber miteinander ab.
+Es ergeben sich keine Blöcke mit einheitlichen Einträgen.
+
+Allerdings weiss man, dass im isotropen Boden der Spannungs-, Dehnungs- und daher auch Elastizitätstensor symmetrisch sind.
+Wäre dem nicht so, würde sich das Material je nach Richtung unterschiedlich elastisch verhalten.
+Diese Symmetrie setzt daher voraus, dass
+\[
+\sigma_{12}
+=
+\sigma_{21}
+,
+\qquad
+\sigma_{13}
+=
+\sigma_{31}
+,
+\qquad
+\sigma_{23}
+=
+\sigma_{32}
+\]
+und folglich auch
+\[
+\varepsilon_{12}
+=
+\varepsilon_{21}
+,
+\qquad
+\varepsilon_{13}
+=
+\varepsilon_{31}
+,
+\qquad
+\varepsilon_{23}
+=
+\varepsilon_{32}
+\]
+gilt.
+Diese Eigenschaft wird durch die Voigt'sche Notation \cite{spannung:Voigtsche-Notation} ausgenutzt, um die Gleichung vereinfachen zu können.
+Durch diese Symmetrie gilt
+\[
+\overline{\sigma}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
+	\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
+  	            & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	 \text{sym} &             & \sigma_{33} 
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\sigma}
+=
+\begin{pmatrix}
+    \sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+und entsprechend
+\[
+\overline{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	                 & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\text{sym}       &                  & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+
+Aus den Vereinfachungen der Voigt'schen Notation lassen sich die Spannungs- und Dehnungstensoren als Spaltenvektoren mit je sechs Einträgen darstellen.
+Der Elastizitätstensor kann entsprechend auf eine $6\times6$ Matrix reduziert werden.
+Es lässt sich nun eine reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit
+\[
+\vec{\sigma}
+=
+\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
+\]
+beziehungsweise
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} \\
+	\sigma_{22} \\
+	\sigma_{33} \\
+	\sigma_{23} \\
+	\sigma_{13} \\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\
+	C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\
+	C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\
+	C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\
+	C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312} \\
+	C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+beschreiben.
+Die Spannung $\sigma_{11}$ beispielsweise erhält man, wenn man die sechs Produkte aus den Konstanten $C$ und Dehnungen $\varepsilon$ summiert.
+Die Symmetrieeigenschaft des Elastizitätstensors bleibt auch hier erhalten.
+Somit lässt sich die reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} \\
+	\sigma_{22} \\
+	\sigma_{33} \\
+	\sigma_{23} \\
+	\sigma_{13} \\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	  C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\
+	           & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\
+	           &          & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\ 
+	           &          &          & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\ 
+               &          &          &          & C_{1313} & C_{1312} \\
+    \text{sym} &          &          &          &          & C_{1212} 
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+beschreiben.
+Die Konstanten $C$ werden wieder nach dem Hook'schen Gesetz definiert.
+Dies ergibt die Spannungsformel, welche weit möglichst vereinfacht ist:
+\begin{equation}
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
+\begin{pmatrix}
+	1- 2\nu & \nu     & \nu     & 0           & 0           & 0\\
+	    \nu & 1- 2\nu & \nu     & 0           & 0           & 0\\
+        \nu & \nu     & 1- 2\nu & 0           & 0           & 0\\
+          0 & 0       & 0       & \frac{1}{2} & 0           & 0\\
+          0 & 0       & 0       & 0           & \frac{1}{2} & 0\\
+          0 & 0       & 0       & 0           & 0           & \frac{1}{2}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{22}\\
+	\varepsilon_{33}\\
+	\varepsilon_{23}\\
+	\varepsilon_{13}\\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+.
+\label{spannung:Spannungsgleichung}
+\end{equation}
+
+Im Elastizitätstensor fallen zwei $3\times3$ Blöcke auf, welche nur Einträge mit $0$ haben. Der Tensor besagt also,
+dass diese jeweiligen Dehnungen keinen Einfluss auf unsere Spannung haben.
+Man sieht nun auch ganz gut, dass sich im Vergleich zu der allgemeinen Spannungsgleichung, die Einträge verschoben haben.
+Da nach Voigt zuerst die Normalspannungen und anschliessend die Schubspannungen notiert worden sind, ergeben sich die  $3\times3$ Blöcke.
+
+Man betrachte als Beispiel die Berechnung von $\sigma_{33}$.
+Es ist ersichtlich, dass die Schubdehnungen keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ haben.
+Der Einfluss der zu $\sigma_{33}$ äquivalenten Dehnung $\varepsilon_{33}$ hat den grössten Einfluss.
+Die anderen Normalspannungen $\sigma_{11}$ und $\sigma_{22}$ haben einen unter anderem mit $\nu$ korrigierten Einfluss.
+
+Von  $\overline{\overline{C}}$ bildet man noch die inverse Matrix $\overline{\overline{C}}\mathstrut^{-1}$ um die Gleichung umstellen zu können.
+Dadurch erhält man die Dehnungsgleichung:
+
+\[
+\vec{\varepsilon}
+=
+\overline{\overline{C}}\mathstrut^{-1}\cdot \vec{\sigma}
+\]
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{22}\\
+	\varepsilon_{33}\\
+	\varepsilon_{23}\\
+	\varepsilon_{13}\\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{1}{E}
+\begin{pmatrix}
+	   1 & -\nu & -\nu & 0      & 0      & 0     \\
+	-\nu &    1 & -\nu & 0      & 0      & 0     \\
+	-\nu & -\nu &    1 & 0      & 0      & 0     \\
+ 	   0 &    0 &    0 & 2+2\nu & 0      & 0     \\
+	   0 &    0 &    0 &      0 & 2+2\nu & 0     \\
+	   0 &    0 &    0 &      0 & 0      & 2+2\nu
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Die zwei $3\times3$ Blöcke links unten und rechts oben sind folglich noch vorhanden.
+Um wieder die Einflüsse der Parameter veranschaulichen zu können berechnet man die Dehnung
+\[
+\varepsilon_{22}
+=
+\frac{1}{E}\sigma_{22} - \frac{\nu}{E}\sigma_{11} - \frac{\nu}{E}\sigma_{33}
+=
+\frac{1}{E}\cdot(\sigma_{22}-\nu\cdot\sigma_{11}-\nu\cdot\sigma_{33})
+.
+\]
+Diese hängt wieder am meisten von $\sigma_{22}$ ab.
+Ist die Querdehnung $\nu$ grösser, so wird die Dehnung $\varepsilon_{22}$ reduziert.
+Bei inkompressiblen Medien, bei welchen keine Dehnungen und nur identische Normalspannungen auftreten können, ist folglich $\nu=0.5$.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index ce7d50f..3e456c3 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -1,40 +1,108 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{spannung:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
+\section{Die geotechnischen Invarianten\label{spannung:section:Die geotechnischen Invarianten}}
+\rhead{Die geotechnischen Invarianten}
+In vielen Fällen in der Geotechnik und auch in Versuchen hat man gleichmässige Belastungen über eine grössere Fläche.
+Durch eine solche Belastung auf den Boden, entstehen gleichermassen Spannungen in Richtung $2$ und $3$,
+wenn man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht.
+Folglich gilt:
 
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{spannung:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\[
+\sigma_{22}
+=
+\sigma_{33}
+.
+\]
+Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht.
+Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden.
+Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung
+\begin{equation}
+p
+=
+\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}
+\label{spannung:Invariante_p}
+,
+\end{equation}
+welche als arithmetisches Mittel aller Normalspannungen im infinitesimalen Würfel definiert ist.
+Die zweite Invariante ist die deviatorische Spannung
+\begin{equation}
+q
+=
+\sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}}
+\label{spannung:Invariante_q}
+.
+\end{equation}
+Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik}] aufgezeigt.
+Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_p} als
+\[
+p
+=
+\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
+\]
+vereinfacht werden.
+Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_q}als
+\[
+q
+=
+\sigma_{11}-\sigma_{33}
+\]
+vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten.
 
+Die Invarianten können mit der Spannungsformel \eqref{spannung:Spannungsgleichung} berechnet werden.
+Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren.
+Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten.
+So ergibt sich
+\[
+\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
+=
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{v}}
+\]
+und
+\[
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
+=
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+.
+\]
+Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so mit
+\[
+\varepsilon_{v}
+=
+(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})
+\qquad
+\text{und}
+\qquad
+\varepsilon_{s}
+=
+\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})
+\]
+eingeführt werden, mit
+\begin{align*}
+	\varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\
+	\varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].}
+\end{align*}
+Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglichen werden.
+Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$  kann mit einer Verzerrung verglichen werden.
 
+Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
+\begin{equation}
+\begin{pmatrix}
+	q\\
+	p
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\frac{3E}{2(1+\nu)} &                   0 \\
+	                  0 & \frac{E}{3(1-2\nu)}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{s}\\
+	\varepsilon_{v}
+\end{pmatrix}
+\label{spannung:Matrixschreibweise}
+\end{equation}
+vereinfachen.
+Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
+Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden.
+
+Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
+Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
+Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex
new file mode 100644
index 0000000..2f2e4ce
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+\section{Oedometer-Versuch\label{spannung:section:Oedometer-Versuch}}
+\rhead{Oedometer-Versuch}
+Mit dem Oedometer-Versuch kann der oedometrische Elastizitätsmodul $E_{OED}$ bestimmt werden.
+Dieser beschreibt ebenfalls das Verhältnis zwischen Spannung und Dehnung, allerdings unter anderen Bedingungen.
+Diese Bedingung ist das Verhindern der seitlichen Verformung, sprich der Dehnung in Richtung $1$ und $2$.
+Es wird ein Probeelement mit immer grösseren Gewichten belastet, welche gleichmässig auf das Material drücken.
+Die seitliche Verschiebung des Materials wird durch einen Stahlring verhindert.
+Die Probe wird sich so stetig verdichten.
+Das Volumen nimmt ab und die Dehnung nimmt immer mehr zu.
+Unter diesen Bedingungen wird der oedometrische Elastizitätsmodul mit steigender Dehnung zunehmen.
+
+Da im Boden das umgebende Material ähnlich eine seitliche Verformung verhindert,
+bildet dieser oedometrische Elastizitätsmodul die Realität besser ab, als der gewöhnliche Elastizitätsmodul.
+Durch dieses Verhindern des seitlichen Ausbrechens ist
+\[
+\varepsilon_{22}
+=
+\varepsilon_{33}
+=
+0
+\]
+aber auch
+\[
+\sigma_{22}
+=
+\sigma_{33}
+\neq 0
+.
+\]
+Die Spannung $\sigma_{11}$ wird durch die aufgebrachte Kraft mit
+\[
+\sigma_{11}
+=
+\frac{F}{A}
+\]
+und die Dehnung $\varepsilon_{11}$ jeweils mit den entsprechenden Setzungen berechnet.
+Diese Randbedingungen können in die vereinfachte Gleichung \eqref{spannung:Matrixschreibweise} eingesetzt werden.
+Diese lautet nun:
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}-\sigma_{33} \\
+	\sigma_{11}+2\sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\frac{E_{OED}}{(1+\nu)} &                             0 \\
+                          0 & \frac{E_{OED}}{3(1-2\nu)}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{11}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Daraus lässt sich bei jedem Setzungsgrad der oedometrische Elastitzitätsmodul $E_{OED}$ und die seitlichen Spannungen $\sigma_{33}$ mit den 2 Gleichungen
+\[
+\sigma_{11}-\sigma_{33}
+=
+\frac{E_{OED}}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{11}
+\]
+und
+\[
+\sigma_{11}+2\sigma_{33}
+=
+\frac{E_{OED}}{3(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}
+\]
+berechnen.
+Mit diesen Gleichungen hat man das Gleichungssystem um $E_{OED}$ und $\sigma_{33}$ zu berechnen.
+Die Poisson-Zahl muss als Kennwert gemäss der Bodenklasse gewählt werden.
+Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung~\ref{spannung:DiagrammOedometer-Versuch}).
+Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark.
+Mit diesem ermittelten $E_{OED}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png}
+	\caption{Diagramm Charakteristik verschiedener Elastizitätsmodule bei gleichem Material}
+	\label{fig:DiagrammOedometer-Versuch}
+\end{figure}
\ No newline at end of file