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authorNao Pross <np@0hm.ch>2021-05-27 00:55:38 +0200
committerNao Pross <np@0hm.ch>2021-05-27 00:55:38 +0200
commit9644d3426ba9ce0ad9365cb020f8137d733e7854 (patch)
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-rw-r--r--buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex94
1 files changed, 53 insertions, 41 deletions
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 330cf51..a3ccbed 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -10,8 +10,11 @@ präzise Bedeutung.
Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer
bestimmten Operation invariant ist.
\end{definition}
+Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
+einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
+ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.
-\begin{figure}[h]
+\begin{figure}
\centering
\begin{tikzpicture}[
node distance = 2cm,
@@ -65,17 +68,13 @@ präzise Bedeutung.
\subsection{Geometrische Symmetrien}
-Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
-einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
-ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.
-
In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen,
die offensichtlich symmetrisch sind. Zum Beispiel hat das Quadrat Gerade, an
deren gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern. Regelmässige
-Polygone mit \(n\) Seiten sind gute Beispiele, um eine diskrete
+Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete
Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
-einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) sie unverändert lässt.
-Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
+einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert
+lässt. Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für
\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. Dies ist
hoffentlich ausreichend, um die Bedeutung hinter der Notation zu verstehen, die
@@ -92,15 +91,16 @@ Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir
\(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe
\[
C_n = \langle r \rangle
- = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+ = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\},
\]
die zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
-Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).
-
-Die Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
+Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\). Die
+Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer
Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet werden.
+% TODO: more on generators
+
Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
@@ -111,21 +111,53 @@ der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
\right\}.
\]
Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden
-Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
-letzte empfehlen wir, sie an einem 2D-Quadrat auszuprobieren.
+Operationen beinhalten.
+% TODO
+% Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
+% letzte empfehlen wir, sie an einem 2D-Quadrat auszuprobieren.
+
+Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer
+mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im
+Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der
+Spiegelachse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es
+Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
+Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
+Punktsymmetrie.
+\begin{definition}[Punktgruppe]
+ Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
+ einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
+ Punktgruppe ist.
+\end{definition}
+
+\subsection{Algebraische Symmetrien}
Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
-möglich ist, eine nicht kommutative Algebra zu erstellen. Die naheliegende
-Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
-Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
-\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus]
+möglich ist, Gleichungen zu schreiben. Die naheliegende Frage ist dann, könnte
+es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut? Natürlich, ja.
+Um es formaler zu beschreiben, werden wir ein einige Begriffe einführen.
+\begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
\(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). Man sagt, dass der Homomorphismus
- \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass \(H\) eine Darstellung von
- \(G\) ist.
+ \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert.
+\end{definition}
+\begin{beispiel}
+ Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
+ Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
+ komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
+ ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe]
+ Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe
+ auf eine Menge von Matrizen abbildet.
+ \[
+ \Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}).
+ \]
+ Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen
+ Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\).
\end{definition}
\begin{beispiel}
Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
@@ -141,28 +173,8 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
\end{beispiel}
-\begin{beispiel}
- Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
- Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
- komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
- ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
-\end{beispiel}
-Die Symmetrien, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens
-einen Punkt unbesetzt gelassen. Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei
-der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine
-Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt
-verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die
-unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda =
-\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\), \(\vec{v}\in E_\lambda \implies \Phi \vec{v}
-= \lambda\vec{v}\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation gehören.
-Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
-Punktsymmetrie.
-\begin{definition}[Punktgruppe]
- Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
- einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
- Punktgruppe ist.
-\end{definition}
+%% TODO: title / fix continuity
Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie. Von einem mathematischen