Verbesserungen Kapitel 18.1

6 files changed, 114 insertions, 90 deletions

diff --git a/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex
index ac00a33..99e30e0 100644
--- a/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex
+++ b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex
@@ -1,9 +1,9 @@
 \section{Vektoroperationen\label{clifford:section:Vektoroperationen}}
 \rhead{Vektoroperationen}
-\subsection{Vektordarstellung\label{clifford:section:Vektordarstellung}}
+Das grundsätzliche Ziel der geometrischen Algebra ist, die lineare Algebra in eine Algebra mit Multiplikation zu erweitern und dieses Produkt dann geometrisch interpretieren um  geometrische Probleme lösen zu können.
+ \subsection{Vektordarstellung\label{clifford:section:Vektordarstellung}}
 Vektoren können neben der üblichen Spaltendarstellung, auch als Linearkombination aus Basisvektoren
-\begin{equation}
-    \begin{split}
+\begin{align}
     \textbf{a} 
     &=
     \begin{pmatrix} 
@@ -20,7 +20,8 @@ Vektoren können neben der üblichen Spaltendarstellung, auch als Linearkombinat
     + 
     a_n\begin{pmatrix}
     0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1  
-    \end{pmatrix} \\\ 
+    \end{pmatrix},\\
+\intertext{oder auch als}
     &= 
     a_1\textbf{e}_1 
     +
@@ -29,14 +30,12 @@ Vektoren können neben der üblichen Spaltendarstellung, auch als Linearkombinat
     \dots + a_n\textbf{e}_n
     = 
     \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i
-    \qquad
+    \quad
     a_i \in \mathbb{R}
     , \textbf{e}_i \in \mathbb{R}^n
-    \end{split}
-\end{equation}
+\end{align}
 dargestellt werden.
-Diese Basisvektoren werden so gewählt, dass sie orthonormal sind. 
-Um die Darstellung zu vereinfachen werden sie durch $\textbf{e}_1 , \textbf{e}_2, \dots$ ersetzt.
+Diese Basisvektoren werden so gewählt, dass sie orthonormiert sind. 
 \begin{beispiel}
 Eine Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$ könnte wie folgt aussehen
     \begin{equation}
diff --git a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex
index 6c6fb7d..6b4438d 100644
--- a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex
+++ b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex
@@ -1,7 +1,7 @@
 \subsection{Quadrat von Vektoren}
 \subsubsection{Ziel der Multiplikation}
-Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen wie in Abbildung \ref{figure:addition}, was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt mag anfänglich unintuitiv wirken.
-\begin{figure}[htb]
+Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen wie in Abbildung \ref{figure:addition}. Was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt mag anfänglich unintuitiv wirken.
+\begin{figure}[tb]
 	\centering
 		\begin{tikzpicture}
 			\draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4);
@@ -16,31 +16,35 @@ Im Folgenden werden wir versuchen diese Operation ähnlich intuitiv darzustellen
 
 Um sinnvoll eine neue Operation zwischen zwei Elementen einer Algebra, in diesem Fall sind diese Elemente Vektoren, zu definieren, muss man überlegen, was das Ziel dieser Operation sein soll.
  
-Als grundsätzliches Ziel wird definiert, dass das Quadrat eines Vektor dessen Länge im Quadrat ergibt, da dies auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik,zum Beispiel bei komplexen Zahlen,so definiert ist.  
-
-Zusätzlich soll auch das Assoziativgesetz für die Multiplikation von Vektoren gelten, dass heisst wir dürfen ausklammern
+\begin{ziel}
+	\label{clifford:ziel}
+	Der Vektorraum der $n$-dimensionalen Vektoren soll zu einer Algebra so erweitert werden, dass das Quadrat von Vektoren durch die Länge des Vektors ausgedrückt werden kann.
+\end{ziel}
+Zusätzlich soll auch das Assoziativgesetz für die Multiplikation von Vektoren gelten, dass heisst wir dürfen wie in
 \begin{equation}
     \label{eq:assoziativ}
     \textbf{e}_i(\textbf{e}_j + \textbf{e}_k) 
     = 
-    \textbf{e}_i\textbf{e}_j + \textbf{e}_i\textbf{e}_k.
+    \textbf{e}_i\textbf{e}_j + \textbf{e}_i\textbf{e}_k
 \end{equation}
-Allerdings gilt das Kommutativgesetz leider, oder wie man sehen wird zum Glück, nur für skalare Elemente 
+ausklammern.
+Allerdings gilt das Kommutativgesetz leider, oder wie man sehen wird zum Glück, nur für skalare Elemente wie in
 \begin{equation}
     \label{eq:kommSkalar}
     a\textbf{e}_ib\textbf{e}_j 
     = 
     ab\textbf{e}_i\textbf{e}_j \qquad a,b \in \mathbb{R}
 \end{equation}
-und nicht für Vektoren
+aber nicht für Vektoren. Im Allgemeinen wird
 \begin{equation}
     \label{eq:kommVector}
     \textbf{e}_i\textbf{e}_j 
     \neq 
-    \textbf{e}_j\textbf{e}_i.
+    \textbf{e}_j\textbf{e}_i
 \end{equation}
+sein.
 \subsubsection{Quadrieren eines Vektors}
-Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors. Zuerst werden die Vektoren als Linearkombinationen geschrieben
+Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors. Zuerst werden die Vektoren als Linearkombinationen geschrieben:
 \begin{equation}
 	    \textbf{a}^2 = 
 		\left ( 
@@ -51,40 +55,43 @@ Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors. Zuerst werden di
 		\right )
 		\label{eq:quad_a_1}.
 \end{equation}
-Das Quadrat kann nun in zwei Summen aufgeteilt werden
+Das Quadrat kann nun in zwei Summen 
 \begin{equation}
 	\textbf{a}^2 =
 	\textcolor{red}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2\textbf{e}_i^2} 
 	+ 
 	\textcolor{blue}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j } 
-	\label{eq:quad_a_2},
+	\label{eq:quad_a_2}
 \end{equation}
-wobei die roten Summe die quadrierten Terme und die blaue Summe die Mischterme beinhaltet. Da $\textbf{e}_i^2 = 1$ gilt, weil das zuvor definierte Ziel des Quadrates eines Vektors dessen Länge ergibt und die Basisvektoren Länge 1 haben, wird dies nun eingesetzt
+aufgeteilt werden, wobei die roten Summe die quadrierten Terme und die blaue Summe die Mischterme beinhaltet.
+Wie zuvor in \ref{clifford:ziel} definiert, ergibt das Quadrat eines Vektors dessen Länge. Da die Basisvektoren orthonormiert sind muss $\textbf{e}_i^2 = 1$ gelten.
 \begin{equation}
-	\textbf{a}^2 = \textcolor{cyan}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \textcolor{orange}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j}.
+	\textbf{a}^2 = \textcolor{red}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \textcolor{blue}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j}.
 	\label{eq:quad_a_3}
 \end{equation}
 \begin{beispiel}
-Das Quadrat des Vektor $a$ in $\mathbb{R}^2$ ist
+Das Quadrat des Vektor $\textbf{a}$ in $\mathbb{R}^2$ ist
 \begin{equation}
     \begin{split}
     \textbf{a}^2 
     &= (a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2)(a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2) \\\
     &= \textcolor{red}{a_1^2\textbf{e}_1^2 + a_2^2\textbf{e}_2^2} 
     + \textcolor{blue}{a_1\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2}   \\\
-    & = \textcolor{cyan}{a_1^2 + a_2^2} + \textcolor{orange}{a_1b\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2}
-    \end{split}.
+    & = \textcolor{red}{a_1^2 + a_2^2} + \textcolor{blue}{a_1b\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2}.
+    \end{split}
 \end{equation}
 \end{beispiel}
 
-Die hellblaue Teil ist nun bereits die Länge im Quadrat, also das zuvor definierte Ziel der Multiplikation. 
-Daraus lässt sich schliessen, dass der restliche Teil dieser Gleichung null ergeben muss
+Der rote Teil von \ref{eq:quad_a_3} ist nun bereits die Länge im Quadrat, also das zuvor definierte Ziel der Multiplikation. 
+Daraus lässt sich schliessen, dass der restliche Teil dieser Gleichung
 \begin{equation}
     \label{eq:Mischterme_Null}
-    \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j  = \textcolor{blue}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots =  0.
+    \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j  = \textcolor{rot}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots =  0.
 \end{equation}
-Aus dieser Erkenntnis können weitere Eigenschaften für die Multiplikation hergeleitet werden.
-Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_2$ gleich null gesetzt. Somit fallen alle Terme bis auf den blauen weg. Wird dies weiter vereinfacht ergibt sich
+ ergeben muss.
+ Aus dieser Erkenntnis können weitere Eigenschaften für die Multiplikation hergeleitet werden.
+ 
+Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_2$ gleich null gesetzt. Somit fallen alle Terme bis auf den roten weg. Wird dies weiter vereinfacht, ergibt sich
 \begin{equation}
 \begin{split}
     a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1) &= 0 \\
@@ -93,26 +100,22 @@ Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_
 \end{split}
 \end{equation}
 \begin{satz}
-  Die Multiplikation von Vektoren ist antikommutativ, wenn die multiplizierten Vektoren orthogonal sind, es gilt also
+  Die Multiplikation von orthogonalen Vektoren ist antikommutativ
     \begin{equation}
         \textbf{e}_i\textbf{e}_j = -\textbf{e}_j\textbf{e}_i \quad \textrm{für} \quad \textbf{e}_i \perp \textbf{e}_j.
     \end{equation}
 \end{satz}
-Dieses Wissen reicht nun bereits um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen, was in Tabelle \ref{tab:multip_vec} gemacht wurde.
+Dieses Wissen reicht nun bereits, um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen, was in Tabelle \ref{tab:multip_vec} gemacht wurde.
 \begin{table}
 \begin{center}
-\begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c| } 
+\begin{tabular}{ |c|ccccc| } 
  \hline
   & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ & $\dots$ & $\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_{n}$ \\
   \hline
  $\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_1\textbf{e}_2$ & $\dots$ & $\textbf{e}_1\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_1\textbf{e}_{n}$ \\
- \hline
  $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_2$ & 1 & $\dots$ & $\textbf{e}_2\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_2\textbf{e}_{n}$ \\
- \hline
  $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\
- \hline
  $\textbf{e}_{n-1}$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_{n-1}$ & $-\textbf{e}_2\textbf{e}_{n-1}$  & $\dots$ & $1$ & $\textbf{e}_{n-1}\textbf{e}_{n}$ \\
- \hline
  $\textbf{e}_{n}$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_{n}$ & $-\textbf{e}_2\textbf{e}_{n}$  & $\dots$ & $-\textbf{e}_{n-1}\textbf{e}_{n}$ & 1 \\
  \hline
 \end{tabular}
diff --git a/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex
index 0969b89..f8dc837 100644
--- a/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex
+++ b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex
@@ -1,13 +1,14 @@
 \subsection{Multiplikation von Vektoren}
-Was geschieht nun wenn zwei beliebige Vektoren, $u$ und $v$
+Was geschieht nun, wenn zwei beliebige Vektoren
 \begin{equation}
     \textbf{u} = 
     \sum_{i=1}^{n} u_i \textbf{e}_i 
-    \qquad 
+    \quad
+    \intertext{und}
+    \quad
     \textbf{v} = \sum_{i=1}^{n} v_i \textbf{e}_i
 \end{equation}
  miteinander multipliziert werden? 
- 
  Wieder werden die Vektoren zuerst als Linearkombinationen darstellen und danach in zwei Summen aufgeteilt, eine Summe mit quadrierten Termen und eine Summe mit Mischtermen
 \begin{equation}
     \begin{split}
@@ -24,9 +25,9 @@ Was geschieht nun wenn zwei beliebige Vektoren, $u$ und $v$
         + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j,
     \end{split}
 \end{equation}
-wobei die Summe der quadrierten Termen bereits bekannt vorkommen könnte, es ist nämlich das Skalarprodukt von $u$ und $v$. Die Summe der Mischterme bilden etwas neues, dass wir das äussere Produkt von $u$ und $v$ nennen.
+Die Summe der quadrierten Termen ist bereits aus \eqref{eq:quad_a_3}, sie ist nämlich das Skalarprodukt von $u$ und $v$. Die Summe der Mischterme bilden etwas Neues, dass wir das äussere Produkt von $u$ und $v$ nennen.
 \begin{beispiel}
-    Multiplikation von Vektoren in $\mathbb{R}^2$
+    Die Multiplikation von Vektoren in $\mathbb{R}^2$ ergibt
 \begin{equation}
     \begin{split}
         \textbf{u}\textbf{v} 
@@ -44,16 +45,16 @@ wobei die Summe der quadrierten Termen bereits bekannt vorkommen könnte, es ist
         &=  
         \underbrace{(u_1v_1 + u_2v_2)}_{\text{Skalarprodukt}} 
         + 
-        \underbrace{(u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2}_{\text{Äusseres Produkt}}
+        \underbrace{(u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2}_{\text{Äusseres Produkt}}.
     \end{split}
 \end{equation}
 \end{beispiel}
 \subsubsection{Äusseres Produkt}
-Das äussere Produkt von zwei Vektoren wird mit einem $\wedge$ dargestellt
+Das äussere Produkt von zwei Vektoren wird mit einem $\wedge$ dargestellt:
 \begin{equation}
     \textbf{u}\wedge \textbf{v} 
     = 
-    \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
+    \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j .
 \end{equation}
 \begin{beispiel}
 Das äusseres Produkt von zwei Vektoren in $\mathbb{R}^3$ ist
@@ -82,36 +83,36 @@ Das äusseres Produkt von zwei Vektoren in $\mathbb{R}^3$ ist
 \end{equation}
 \end{beispiel}
 
-Im letzten Schritt des Beispiels wurden nun, mit Hilfe der antikommutativität des Produkts, die Vektorprodukte, welche die gleichen Einheitsvektoren beinhalten, zusammengefasst. Dieses Vorgehen kann man auch allgemein anwenden, wie in den Gleichungen \eqref{eq:u_wedge_v}-\eqref{eq:u_wedge_v_5} hergeleitet. Die Summe,
+Im letzten Schritt des Beispiels wurden, mit Hilfe der Antikommutativität des Produkts die Vektorprodukte, welche die gleichen Einheitsvektoren beinhalten, zusammengefasst. Dieses Vorgehen kann man auch allgemein anwenden, wie in den Gleichungen \eqref{eq:u_wedge_v}--\eqref{eq:u_wedge_v_5} geteigt werden soll. Die Summe
 \begin{align}
         \textbf{u}\wedge \textbf{v}
         &= 
         \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  
         u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j,
         \label{eq:u_wedge_v}
-        \intertext{wird in zwei verschiedene Summen aufgeteilt. 
-        	Wobei die linke Summe jeweils den Basisvektor mit dem höheren Index an erster Stelle und die rechte Summe diesen jeweils an zweiter Stelle hat}
+        \intertext{wird in zwei verschiedene Summen}
         \label{eq:u_wedge_v_1}
         &= 
         \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
         + 
-        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\j < i\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j. 
-        \intertext{Nun werden die Indexe der zweiten Summe vertauscht}
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\j < i\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
         \label{eq:u_wedge_v_2}
+        \intertext{aufgeteilt. 
+        	Die linke Summe beinhaltet den Basisvektor mit dem höheren Index an erster Stelle und die rechte Summe diesen jeweils an zweiter Stelle.Nun werden die Indices der zweiten Summe vertauscht, sie wird}
         &= 
         \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
         + 
-        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_j\textbf{e}_i,
-       	\intertext{und diese wird nun mit Hilfe der Antikommutativität umgeformt zu}
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_j\textbf{e}_i.
+       	\intertext{Mit Hilfe der Antikommutativität kann dies umgeformt werden zu}
         &= 
         \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
         - 
         \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_i\textbf{e}_j.
-        \intertext{Nun können die zwei Summen wieder zusammengefasst werden}
+        \intertext{Nun können die zwei Summen wieder}
         \label{eq:u_wedge_v_4}
         &= 
-        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n (u_iv_j -u_jv_i)\textbf{e}_i\textbf{e}_j.
-        \intertext{Der Term in der Summe könnte einem bereits bekannt vorkommen, es ist nämlich die Determinante einer Matrix mit $u$ und $v$ als ihre Spalten}
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n (u_iv_j -u_jv_i)\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+        \intertext{zusammengefasst werden. Der Koeffizient $(u_iv_j - u_jv_i)$ in der Summe ist wohlbekannt, es ist nämlich die Determinante einer $2\times2$ Matrix mit $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$ als ihre Spalten}
         &= 
         \label{eq:u_wedge_v_5}
         \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n \begin{vmatrix} 
@@ -119,7 +120,8 @@ Im letzten Schritt des Beispiels wurden nun, mit Hilfe der antikommutativität d
         u_j & v_j
     \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j.
 \end{align}
-Die Determinante einer Matrix beschreibt die Fläche, welche von den Spaltenvektoren aufgespannt wird, wie in Abbildung \ref{figure:det} dargestellt.
+
+Die Determinante einer $2\times2$ Matrix beschreibt die Fläche, welche von den Spaltenvektoren aufgespannt wird, wie in Abbildung \ref{figure:det} dargestellt.
 \begin{figure}[htb]
 	\centering
 	\begin{minipage}[t]{.45\linewidth}
@@ -151,7 +153,7 @@ Die Determinante einer Matrix beschreibt die Fläche, welche von den Spaltenvekt
 			west]{$\boldsymbol{u}$};
 			\draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
 			\draw[->] (2.15,1.5) arc (0:310:0.3);
-			\draw[black] (2,1.5)--(2.5,3.2) node[anchor = south]{$u\wedge v = \begin{vmatrix} 
+			\draw[black] (2,1.5)--(3.3,3.2) node[anchor = south]{$u\wedge v = \begin{vmatrix} 
 					u_i & v_i \\
 					u_j & v_j
 				\end{vmatrix} e_1e_2 = (u_iv_j - v_iu_j)\textbf{e}_1\textbf{e}_2$};
@@ -166,8 +168,8 @@ Das äussere Produkt besteht nun also aus der Summe
     	u_i & v_i \\
     	u_j & v_j
     \end{vmatrix}\)
-, welche in $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ aufgespannt sind, wie man in \ref{eq:u_wedge_v_5} sieht. 
+, welche in $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ aufgespannt sind, wie man in \eqref{eq:u_wedge_v_5} sieht. 
 Dieses Produkt $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ der Basisvektoren interpretiert man als Umlaufrichtung.
-Wobei die gebildete Fläche in Richtung des ersten Vektors umschritten wird. 
-Dies ist in Abbildung \ref{figure:wedge} dargestellt, wobei bei diesem Beispiel die Umlaufrichtung im Gegenuhrzeigersinn ist, da die Fläche in Richtung u umschritten wird. 
+Die gebildete Fläche wird in Richtung des ersten Vektors umschritten. 
+Dies ist in Abbildung \ref{figure:wedge} dargestellt, wobei bei diesem Beispiel die Umlaufrichtung im Gegenuhrzeigersinn ist, da die Fläche in Richtung $\textbf{u}$ umschritten wird. 
 Diese Fläche mit einer Richtung nennt man in der geometrischen Algebra einen Bivektor, da er eine Art zwei dimensionaler Vektor ist. 
diff --git a/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex
index f18b90d..a9662fc 100644
--- a/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex
+++ b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex
@@ -4,15 +4,26 @@ Die Multiplikation von zwei Vektoren nennt man in der Clifford Algebra das geome
     \textbf{u}\textbf{v} = \textbf{u}\cdot \textbf{v} + \textbf{u} \wedge \textbf{v}.
 \end{equation}
 Dieses Additionszeichen zwischen diesen zwei Produkten mag vielleicht ein wenig eigenartig wirken, da uns das Skalarprodukt ein Skalar und das äussere Produkt einen Bivektor zurück gibt. Was bedeutet es nun also diese beiden Elemente zu addieren?
-Man kann sich die Addition wie bei den komplexen Zahlen vorstellen, wobei die imaginäre Einheit auch nicht explizit zu dem reelen Teil addiert werden kann, sondern die zwei Teile zusammen ein Objekt, eine komplexe Zahl bilden. 
+Man kann sich die Addition wie bei den komplexen Zahlen vorstellen, wobei die imaginäre Einheit auch nicht explizit zu dem reellen Teil addiert werden kann, sondern die zwei Teile zusammen ein Objekt, eine komplexe Zahl bilden. 
 Dieses Objekt, also die Summe von verschiedenen Elemente der Clifford Algebra, wird Multivektor genannt.
 \begin{definition}
-Ein Multivektor besteht aus den verschiedenen Bauteilen, wie zum Beispiel Vektoren, Bivektoren oder Trivektoren (Volumen mit einer Richtung), der Clifford Algebra.
-\begin{equation}
-    M = \sum \left ( \prod a_i\textbf{e}_j \right)
-\end{equation}
+Neben dem eindimensionalen Vektor, dem zweidimensionalen Bivektor gibt es noch höher dimensionale Vektoren, wie zum Beispiel der dreidimensionale Trivektor.
+\end{definition}
+\begin{definition}
+	Für das Produkt von Basisvektoren wird die Notation
+	\begin{equation}
+		e_ie_j = e_{ij}
+	\end{equation}
+	 definiert.
 \end{definition}
-Besteht eine Clifford Algebra aus n Basisvektoren so hat sie n Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $G_n(\mathbb{R})$ beschrieben. Dies wird so geschrieben da man eine neue Algebrastruktur um die Vektoren einführt.
+\begin{definition}
+	Die Linearkombination von Vektoren, Bivektoren und höher dimensionalen Vektoren
+	\begin{equation}
+		M = \sum \left ( \prod a_i\textbf{e}_j \right )
+	\end{equation}
+  bildet einen Multivektor.
+\end{definition}
+Besteht eine Clifford Algebra aus $n$ Basisvektoren so hat sie n Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $G_n(\mathbb{R})$ beschrieben. Dies wird so geschrieben da man eine neue Algebrastruktur um die Vektoren einführt.
 \begin{beispiel}
 Allgemeiner Multivektor in $G_3(\mathbb{R})$
 \begin{equation}
@@ -25,31 +36,25 @@ Allgemeiner Multivektor in $G_3(\mathbb{R})$
     \underbrace{k\textbf{e}_1\textbf{e}_2\textbf{e}_3}_{\text{Trivektorteil}}
 \end{equation}
 \end{beispiel}
-\begin{definition}
-Für das Produkt von Basisvektoren wird folgende Notation definiert
-    \begin{equation}
-        e_ie_j = e_{ij}.
-    \end{equation}
-\end{definition}
-Nun da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $G_n(\mathbb{R})$ erstellt werden. In Tabelle \ref{tab:multip} ist dies für  $G_3(\mathbb{R})$ gemacht.
 \begin{table}
     \label{tab:multip}
     \begin{center}
     \begin{tabular}{ |c|ccc|ccc|c| } 
      \hline
-     1 & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ &$\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$\\
+     $1$ & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ &$\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$\\
      \hline
      $\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$\\
-     $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_{12}$ & 1 & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$\\
-     $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{23}$ & 1 & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_{12}$\\
+     $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_{12}$ & $1$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$\\
+     $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{23}$ & $1$ & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_{12}$\\
      \hline
-     $\textbf{e}_{12}$ & -$\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_1$& $\textbf{e}_{123}$ & -1 & $-\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{13}$ &  $-\textbf{e}_{3}$\\
-     $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{1}$ & $\textbf{e}_{23}$ & -1 & $-\textbf{e}_{12}$ &  $\textbf{e}_{2}$\\
-     $\textbf{e}_{23}$ &  $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & -1 & $-\textbf{e}_{1}$ \\
+     $\textbf{e}_{12}$ & -$\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_1$& $\textbf{e}_{123}$ & $-1$ & $-\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{13}$ &  $-\textbf{e}_{3}$\\
+     $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{1}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-1$ & $-\textbf{e}_{12}$ &  $\textbf{e}_{2}$\\
+     $\textbf{e}_{23}$ &  $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-1$ & $-\textbf{e}_{1}$ \\
      \hline
-     $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-\textbf{e}_{3}$& $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{1}$ & -1 \\
+     $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-\textbf{e}_{3}$& $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{1}$ & $-1$ \\
      \hline
     \end{tabular}
     \end{center}
  	\caption{Multiplikationstabelle für $G_3(\mathbb{R})$}
 \end{table}
+Nun, da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde, können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $G_n(\mathbb{R})$ erstellt werden. In Tabelle \ref{tab:multip} ist dies für  $G_3(\mathbb{R})$ gemacht.
diff --git a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
index 80fb49f..fa5e703 100644
--- a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
+++ b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
@@ -3,21 +3,24 @@ Beide Teile des geometrischen Produktes lassen sich durch trigonometrische Terme
 \begin{equation}
     \textbf{u}\cdot \textbf{v} = |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{\alpha}
 \end{equation}
-beschrieben werden. Wobei $\alpha$ den Winkel zwischen den beiden Vektoren beschreibt.
-\newline
-Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelogram und einer Umlaufrichtung beschrieben wird. Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus Term beschreiben
+beschrieben werden. Wobei $\alpha$ der Winkel zwischen $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$ ist.
+
+Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelogram und einer Umlaufrichtung beschrieben wird. Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus Term
 \begin{equation}
     \textbf{u} \wedge \textbf{v}
     = 
+    \sum_{i<j}
     \begin{vmatrix} 
         u_i & v_i \\
         u_j & v_j
-    \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j  
+    \end{vmatrix}\textbf{b}_i\textbf{b}_j  
     = 
     \underbrace{|u||v|\sin{\alpha}}_{\text{Fläche}}\textbf{e}_i\textbf{e}_j
 \end{equation}
-Wobei die Fläche des Parallelogram auf der von $\textbf{e}_i$ und $\textbf{e}_j$ aufgespannten Ebene liegen.\newline
-Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt vereinen
+beschreiben.
+Wobei die Fläche des Parallelogram auf der von $\textbf{b}_i$ und $\textbf{b}_j$ aufgespannten Ebene liegen.
+
+Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt
 \begin{equation}
     \textbf{u}\textbf{v}
     = 
@@ -26,4 +29,16 @@ Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt vereinen
     |\textbf{u}||\textbf{v}|\sin{(\alpha)} \textbf{e}_i\textbf{e}_j
     = 
     |\textbf{u}||\textbf{v}|(\cos{(\alpha)} + \sin{(\alpha)}\textbf{e}_i\textbf{e}_j)
-\end{equation}
\ No newline at end of file
+\end{equation}
+vereinen.
+Daraus kann geschlussfolgert werden, dass
+\begin{equation}
+	\textbf{u} \textbf{v}=-\textbf{v}\textbf{u} \quad \textrm{für} \quad \textbf{u}\perp \textbf{v} 
+	\label{uperpv}
+\end{equation}
+und
+\begin{equation}
+	\textbf{u} \textbf{v}=\textbf{v}\textbf{u} \quad \textrm{für} \quad \textbf{u} \parallel \textbf{v} 
+	\label{uparallelv}
+\end{equation}
+gilt.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/main.tex b/buch/papers/clifford/main.tex
index 3649b20..70ad72f 100644
--- a/buch/papers/clifford/main.tex
+++ b/buch/papers/clifford/main.tex
@@ -3,8 +3,8 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Clifford Algebra\label{chapter:clifford}}
-\lhead{Clifford Algebra}
+\chapter{Geometrische Algebra\label{chapter:clifford}}
+\lhead{Geometrische Algebra}
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Thierry Schwaller, Marius Baumann}