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\subsection{Quadrat von Vektoren}
\subsubsection{Ziel der Multiplikation}
Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen wie in Abbildung \ref{figure:addition}, was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt mag anfänglich unintuitiv wirken.
\begin{figure}[htb]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4);
\draw[blue,thick,->] (0,0)--(3.5,2) node[midway,above,sloped] {$\textbf{a}$};
\draw[red,thick,->] (3.5,2)--(1.5,3.8) node[midway,above,sloped] {$\textbf{b}$};
\draw[black,thick,->] (0,0)--(1.5,3.8)node[midway,above,sloped] {$\textbf{a} +\textbf{b} = \textbf{c} $};
\end{tikzpicture}
\caption{Addition von zwei Vektoren\label{figure:addition}}
\end{figure}
Was soll es schon heissen zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren?
Im Folgenden werden wir versuchen diese Operation ähnlich intuitiv darzustellen.
Um sinnvoll eine neue Operation zwischen zwei Elementen einer Algebra, in diesem Fall sind diese Elemente Vektoren, zu definieren, muss man überlegen, was das Ziel dieser Operation sein soll.
Als grundsätzliches Ziel wird definiert, dass das Quadrat eines Vektor dessen Länge im Quadrat ergibt, da dies auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik,zum Beispiel bei komplexen Zahlen,so definiert ist.
Zusätzlich soll auch das Assoziativgesetz für die Multiplikation von Vektoren gelten, dass heisst wir dürfen ausklammern
\begin{equation}
\label{eq:assoziativ}
\textbf{e}_i(\textbf{e}_j + \textbf{e}_k)
=
\textbf{e}_i\textbf{e}_j + \textbf{e}_i\textbf{e}_k.
\end{equation}
Allerdings gilt das Kommutativgesetz leider, oder wie man sehen wird zum Glück, nur für skalare Elemente
\begin{equation}
\label{eq:kommSkalar}
a\textbf{e}_ib\textbf{e}_j
=
ab\textbf{e}_i\textbf{e}_j \qquad a,b \in \mathbb{R}
\end{equation}
und nicht für Vektoren
\begin{equation}
\label{eq:kommVector}
\textbf{e}_i\textbf{e}_j
\neq
\textbf{e}_j\textbf{e}_i.
\end{equation}
\subsubsection{Quadrieren eines Vektors}
Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors. Zuerst werden die Vektoren als Linearkombinationen geschrieben
\begin{equation}
\textbf{a}^2 =
\left (
\sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i
\right )
\left (
\sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i
\right )
\label{eq:quad_a_1}.
\end{equation}
Das Quadrat kann nun in zwei Summen aufgeteilt werden
\begin{equation}
\textbf{a}^2 =
\textcolor{red}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2\textbf{e}_i^2}
+
\textcolor{blue}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j }
\label{eq:quad_a_2},
\end{equation}
wobei die roten Summe die quadrierten Terme und die blaue Summe die Mischterme beinhaltet. Da $\textbf{e}_i^2 = 1$ gilt, weil das zuvor definierte Ziel des Quadrates eines Vektors dessen Länge ergibt und die Basisvektoren Länge 1 haben, wird dies nun eingesetzt
\begin{equation}
\textbf{a}^2 = \textcolor{cyan}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \textcolor{orange}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j}.
\label{eq:quad_a_3}
\end{equation}
\begin{beispiel}
Das Quadrat des Vektor $a$ in $\mathbb{R}^2$ ist
\begin{equation}
\begin{split}
\textbf{a}^2
&= (a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2)(a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2) \\\
&= \textcolor{red}{a_1^2\textbf{e}_1^2 + a_2^2\textbf{e}_2^2}
+ \textcolor{blue}{a_1\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2} \\\
& = \textcolor{cyan}{a_1^2 + a_2^2} + \textcolor{orange}{a_1b\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2}
\end{split}.
\end{equation}
\end{beispiel}
Die hellblaue Teil ist nun bereits die Länge im Quadrat, also das zuvor definierte Ziel der Multiplikation.
Daraus lässt sich schliessen, dass der restliche Teil dieser Gleichung null ergeben muss
\begin{equation}
\label{eq:Mischterme_Null}
\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j = \textcolor{blue}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots = 0.
\end{equation}
Aus dieser Erkenntnis können weitere Eigenschaften für die Multiplikation hergeleitet werden.
Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_2$ gleich null gesetzt. Somit fallen alle Terme bis auf den blauen weg. Wird dies weiter vereinfacht ergibt sich
\begin{equation}
\begin{split}
a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1) &= 0 \\
a_1a_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 &= -a_1a_2\textbf{e}_2\textbf{e}_1 \\
\textbf{e}_1\textbf{e}_2 &= -\textbf{e}_2\textbf{e}_1.
\end{split}
\end{equation}
\begin{satz}
Die Multiplikation von Vektoren ist antikommutativ, wenn die multiplizierten Vektoren orthogonal sind, es gilt also
\begin{equation}
\textbf{e}_i\textbf{e}_j = -\textbf{e}_j\textbf{e}_i \quad \textrm{für} \quad \textbf{e}_i \perp \textbf{e}_j.
\end{equation}
\end{satz}
Dieses Wissen reicht nun bereits um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen, was in Tabelle \ref{tab:multip_vec} gemacht wurde.
\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c| }
\hline
& $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ & $\dots$ & $\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_{n}$ \\
\hline
$\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_1\textbf{e}_2$ & $\dots$ & $\textbf{e}_1\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_1\textbf{e}_{n}$ \\
\hline
$\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_2$ & 1 & $\dots$ & $\textbf{e}_2\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_2\textbf{e}_{n}$ \\
\hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\
\hline
$\textbf{e}_{n-1}$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_{n-1}$ & $-\textbf{e}_2\textbf{e}_{n-1}$ & $\dots$ & $1$ & $\textbf{e}_{n-1}\textbf{e}_{n}$ \\
\hline
$\textbf{e}_{n}$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_{n}$ & $-\textbf{e}_2\textbf{e}_{n}$ & $\dots$ & $-\textbf{e}_{n-1}\textbf{e}_{n}$ & 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Multiplikationstabelle für Vektoren}
\label{tab:multip_vec}
\end{table}
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