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index d3ccb4e..23b1411 100644
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+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -2,8 +2,8 @@
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
 ursprünglichen griechischen Wort
 \(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
-\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ``ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
-verhältnismässig''} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
+\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
+verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
 locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
 präzise Bedeutung.
 \begin{definition}[Symmetrie]
@@ -109,7 +109,7 @@ der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
 	D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
 		= \left\{
 				\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
-			\right\}.
+		\right\}.
 \]
 Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden
 Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
@@ -121,10 +121,12 @@ Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
 Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
 \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus]
 	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
-	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass
-	für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man
-	sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass
-	\(H\) eine Darstellung von \(G\) ist.
+	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
+	Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
+	eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
+	\(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man sagt, dass der Homomorphismus
+	\(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass \(H\) eine Darstellung von
+	\(G\) ist.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
 	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
@@ -137,8 +139,8 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
 	\]
 	definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
 	\(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
-	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann zwar überprüfen, dass
-	\(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
+	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
 \end{beispiel}
 \begin{beispiel}
 	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
@@ -153,9 +155,10 @@ der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine
 Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt
 verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die
 unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda =
-\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation
-gehören.  Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt,
-nennt man Punktsymmetrie.
+\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\), \(\vec{v}\in E_\lambda \implies \Phi \vec{v}
+= \lambda\vec{v}\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation gehören.
+Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
+Punktsymmetrie.
 \begin{definition}[Punktgruppe]
 	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
 	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
@@ -164,15 +167,16 @@ nennt man Punktsymmetrie.
 Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
 eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
 nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
-Objekt \(x\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q\) hat, wenn es
-die Gleichung 
+Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
+hat, wenn es die Gleichung 
 \[
-	Q(x) = Q(x + a),
+	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
 \]
 für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
 Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
 zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
 dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
 
+% \subsection{Sch\"onflies notation} 
 
 % vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de: