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@@ -14,7 +14,7 @@
 \usepackage{graphicx}
 \usepackage{german}
 
-
+\usepackage{amsmath}
 \pagestyle{myheadings}
 \pagenumbering{arabic}
 
@@ -46,7 +46,7 @@
 
 \section{Kalman Filter}
 \subsection{Geschichte}
-Der Kalman Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. Der Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. Der Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand erraten. Typische Anwendungen des Kalman-Filters sind die Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern und kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor.
+Der Kalman Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. Der Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. Der Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand erraten. Somit unterscheidet er sich von anderen Filtern, seine Schätzungen basieren auf statistischen Grundlagen. Typische Anwendungen des Kalman-Filters sind die Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern und kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor.
 
 \subsection{Wahrscheinlichkeit}
 Der Kalman Filter versucht nichts anderes, als ein geeigneter Wert zwischen zwei Normalverteilungen zu schätzen. Die eine Kurve zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normal- Gauss-Verteilung. Die andere Kurve zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normal-Verteilung. Wie man in am Beispiel dieser zwei Gauss-Verteilungen sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand nicht am selben Punkt. 
@@ -62,20 +62,20 @@ Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen wird nun ein Wert zwischen d
 Wir haben eine Normalverteilung der Vorhersage:
 
 \begin{equation}
-{y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}}
+{y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}}
 \end{equation} 
 und für die Messung:
 
 \begin{equation}
-{y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}.
+{y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}.
 \end{equation} 
 
 Diesen werden nun Multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu Normieren:
 \begin{equation}
-{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} *\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}*{y_2}\,}
+{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}*{y_2}\,}
 \end{equation} 
 
-Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. 
+Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. Sie ist also Gewichtet und die best mögliche Schätzung. 
 
  \begin{figure}[h]
  \begin{center}
@@ -107,24 +107,24 @@ Wollte man einen 2D Seismographen aufbauen, ohne den Pythagroas zu verwenden, ka
 \section{Systemgleichung}
 Da der Kalman Filter zum schätzen des nächsten Zustand verwendet werden kann, wird eine Gleichung welche das System beschreibt. Im Fall unseres Seismographen kann der die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer Erzwungene Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. Diese lautet:
 \begin{equation}
-m* \ddot x + 2k *\dot x + D*x = f
+m\ddot x + 2k \dot x + Dx = f
 \end{equation}
 mit den Konstanten m = Masse, k = Dämpfungskonstante und D  = Federkonstante.
 Um diese nun die Systemmatrix umzuwandeln, wird aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung durch eine Substitution eine DGL erster Ordnung:
 
 \begin{equation}
-{x_1}=x, 
-{x_2}=\dot x, 
-{x_3}=\ddot x \mid Substitution
+{x_1}=x, \qquad
+{x_2}=\dot x,  \qquad
+{x_3}=\ddot x\qquad \mid \quad \text {Substitution}
 \end{equation}
 
 
 \begin{equation}
-m* {x_3}+ 2k*{x_2} + D*{x_1} = f \mid DGL  \:1. Ordnung
+m{x_3}+ 2k{x_2} + D{x_1} = f\qquad \mid \quad \text {DGL 1. Ordnung}
 \end{equation} 
 
 \begin{equation}
-{x_3}=-\frac{D}{m} *{x_1} -\frac{2*k}{m} *{x_2} + \frac{f} {m}  \mid  Nach  \: {x_3} 
+{x_3}=-\frac{D}{m} {x_1} -\frac{2k}{m} {x_2} + \frac{f} {m}  \qquad \mid \quad \text {nach}  \quad{x_3} 
 \end{equation} 
 
 Um die lineare Differentialgleichung in in den Kalman Filter zu Implementieren, muss dieses als Vektor-Gleichung umgewandelt werden. Dafür wird die Gleichung abgeleitet in die Zustände aufgeteilt. Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und äussere Beschleunigung des ganzen System. Dabei muss unterschieden werden. um welche Beschleunigung es sich handelt. Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse bzw. Feder (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äusseren Beschleunigung). In unserem Fall wird die äussere Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbeben Anregung gleich kommt. 
@@ -132,7 +132,7 @@ Um die lineare Differentialgleichung in in den Kalman Filter zu Implementieren,
 \frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2}  \end{array}\right) = \left(
  \begin{array}{ccc} 	
 0 & 1& 0 \\ 
-- \frac{D}{m} &-\frac{2*k}{m} & \frac{1} {m}\\
+- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
 \end{array}\right)  \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \\ {x_3} \end{array}\right).
 \end{equation}
 
@@ -141,7 +141,7 @@ Durch die Rücksubstituion ergibt sich:
 \frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} x(t) \\ v(t) \end{array}\right) = \left(
  \begin{array}{ccc} 	
 0 & 1& 0 \\ 
-- \frac{D}{m} &-\frac{2*k}{m} & \frac{1} {m}\\
+- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
 \end{array}\right)  \left(\begin{array}{c} x(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right).
 \end{equation}
 
@@ -151,14 +151,14 @@ Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Teile mit Nullen bestückt, denn gen
 \section{Kalman Filter}
 Um den Kalman Filter zu starten müssen gewisse Bedingungen definiert werden. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter/Matrizen erläutert und Erklärt, für was sie nützlich sind. 
 \subsection{Anfangsbedingungen}
-\subsubsection*{Anfangszustand x}
+\subsubsection*{Anfangszustand $x$}
 Der Filter muss wissen wie das System startet. in unserem Fall is es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. Zudem erfährt die Apparatur keine äussere Kraft. 
 
 \begin{equation}
 {x_0 }= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)
 \end{equation} 
 
-\subsubsection*{Anfangsfehler / Kovarianzmatrix}
+\subsubsection*{Anfangsfehler / Kovarianzmatrix $P$}
 Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für den Filter eine Kovarianzmatrix eingeführt. In unserem Fall ist der Anfangszustand gut Bekannt und die Matrix kann mit Nullen bestückt werden. Somit ergibt sich für die Kovarianzmatrix
 \begin{equation}
 {P_0 }=
@@ -173,7 +173,7 @@ Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für den Filter eine Kovar
 Wäre auch der Initialzustand fehlerhaft, könnte über die Diagonale die Kovarianz angegeben werden.
 Diese Matrix geht am häufigsten durch den Filter. Sie wird für die Vorhersage und für den Korrekturschritt verwendet und verändert. Für einen gut bekannten Zustandsvektor können kleine Werte eingesetzt werden, für ungenaue Anfangsbedingungen sollten grosse Werte (1 Million) verwendet werden. Bei grossen Werten wird dem Filter die Möglichkeit gegeben, sich schnell einzupendeln. 
 
-\subsubsection*{Dynamikmatrix A}
+\subsubsection*{Dynamikmatrix $A$}
 Die Dynamikmatrix bildet den Kern des Filters. Diese wurde weiter oben Bereits beschrieben. Dabei wollen wird die äussere Kraft des Systems ermitteln.
 Da nichts über die äussere Kraft bekannt ist, können wir annehmen das deren Ableitung 0 ist.
 Die System Vektor-Gleichung lautet daher:
@@ -183,12 +183,12 @@ Die System Vektor-Gleichung lautet daher:
 A = \left(
  \begin{array}{ccc} 	
 0 & 1& 0 \\
-- \frac{D}{m} &-\frac{2*k}{m} & \frac{1} {m}\\
+- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
 0 & 0& 0\\ 
 \end{array}\right)  
 \end{equation} 
 
-\subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix Q}
+\subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix $Q$}
 Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie der Systemzustand vom aktuellen zum nächsten Schritt gehen kann. Dabei wird wieder ein Fehler/Rauschen dazu gerechnet. Bei unserem Modell könnte das Beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein. für uns wäre dies:
 \begin{equation}
 Q = \left(
@@ -201,16 +201,16 @@ Q = \left(
 
 Die Standabweichungen müssten Statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. 
 
-\subsubsection*{Messmatrix H}
+\subsubsection*{Messmatrix $H$}
 Die Messmatrix gibt an, welcher Parameter gemessen werden soll. in unsrem Fall ist es nur die Position der Masse. 
 \begin{equation}
 H= ( \: \: 1 \: \:0 \: \:0 \: \:)
 \end{equation} 
 
-\subsubsection*{Messrauschkovarianz R}
+\subsubsection*{Messrauschkovarianz $R$}
 Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Messesensoren. In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben, welche etwas messen kürzt sich diese einfach zu
 \begin{equation}
-R= ({\sigma_x }^2)\: \: ab.
+R= ({\sigma_x}^2)\: \: ab.
 \end{equation} 
 Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. Für unsere Theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt.
 
@@ -221,7 +221,7 @@ Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird der Filter initialisiert und Versu
 \subsubsection*{Vorhersage}
 Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. Dies funktioniert ganz Trivial mit dem Rechenschritt:
 \begin{equation}
-{x_{t+1}}=A*{x_t}.
+{x_{t+1}}=A\cdot{x_t}.
 \end{equation} 
 
 
@@ -229,7 +229,7 @@ Die Kovarianz $P_{pred}$ wird im nächsten Schritt ebenfalls neu berechnet, da d
 
 
 \begin{equation}
-{P_{pred}}=A*P*A`+Q.
+{P_{pred}}=A\cdot P\cdot A^{\prime}+Q.
 \end{equation}
 
 wird dieser Vorgang wiederholt, schaut der Filter wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner gewählt, ist der Unterschied gross, wird der Filter auch die Kovarianz grösser wählen. Er passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung.
@@ -238,7 +238,7 @@ wird dieser Vorgang wiederholt, schaut der Filter wie genau die letzte Anpassung
 Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für den Filter. Die aktuellen Messwerte $Z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet.
 Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ 
 \begin{equation}
-w=Z-(H*x)
+w=Z-(H\cdot x)
 \end{equation}
 Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. 
 
@@ -265,7 +265,7 @@ Wir möchten mit einer gedämpften harmonischen Schwingung ein einfaches Erdbebe
 Die Gleichung lautet
 
 \begin{equation}
-x(t)=A*e^{t/2}*sin(t).
+x(t)=Ae^{t/2}sin(t).
 \end{equation}
 
 Mit dieser Schwingung können wir ein einachsiger Seismograph simulieren, der eine Ortsverschiebung auf der x-Achse durchführt.