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Verbesserungen & Bilder

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diff --git a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
index c2b3b8c..375c6e7 100644
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+++ b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
@@ -8,20 +8,20 @@
 
 Wie die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, sind die Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen für den dreidimensionalen Raum. Sie haben, wie die komplexen Zahlen, eine dreh-streckende Eigenschaft.
 Sie finden beispielsweise in der Computergraphik und in der Robotik Anwendung.
-Die Quaternionen werden so definiert.
+Die Quaternionen
 \begin{align}
 	q = w + xi + yj + zk \quad w,x,y,z \in \mathbb{R}\enspace q \in \mathbb{H}
 \end{align}
-Eine Drehstreckung wird dabei mit dieser Formel erreicht. 
+können dabei eine Drehstreckung mit dieser Formel erreichen
 \begin{align} \label{QuatRot}
 	\begin{split} 
 		&v'' = qvq^{-1};\quad q,v,q^{-1} \in \mathbb{H}\\
 		&\operatorname{Re}(q) = \operatorname{Re}(q^{-1})\quad \operatorname{Im}(q) = -\operatorname{Im}(q^{-1})
 	\end{split}
 \end{align}
-Man könnte sich nun fragen wieso es drei imaginäre Einheiten $i,j,k$ gibt und nicht zwei, was doch näherliegender wäre. Der Grund liegt darin, weil es in der dritten Dimension 3 Drehachsen gibt, anstatt nur eine. In der geometrischen Algebra ist es leicht herauszufinden wie viele Imaginärteile für jede weitere Dimension existieren. Dabei muss man nur die Anzahl der unabhängigen Bivektoren ermitteln. In der vierten Dimension würden es beispielsweise durch alle Vektorkombinationen von $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4$ insgesamt 8 Bivektoren existieren (Nicht 16, da $\mathbf{e}_{ij} = -\mathbf{e}_{ji}$ nicht unabhängig voneinander sind).
+Auffallend ist hier schon die Ähnlichkeit zu dem Kapitel Rotation. Man könnte sich nun fragen wieso es drei imaginäre Einheiten $i,j,k$ gibt und nicht zwei, was doch näherliegender wäre. Der Grund liegt darin, weil es in der dritten Dimension drei Drehachsen gibt, anstatt nur eine. Wie im Kapitel Rotation beschrieben können wir auch hier die drei Drehungen durch Linearkombinationen von drei Bivektoren beschreiben. In der geometrischen Algebra ist es leicht herauszufinden wie viele Imaginärteile für jede weitere Dimension existieren. Dabei muss man nur die Anzahl der unabhängigen Bivektoren ermitteln. In der vierten Dimension würden es beispielsweise durch alle Vektorkombinationen von $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4$ insgesamt 8 Bivektoren existieren (Nicht 16, da $\mathbf{e}_{ij} = -\mathbf{e}_{ji}$ nicht unabhängig voneinander sind).
 
-Leider haben wir nun bei der Darstellung der Quaternionen ein kleines Problem. Wir bräuchten insgesamt vier Achsen. Drei für die imaginären Einheiten und eine für die reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden eines Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst ineinander umgewandelt werden, um damit zu rechnen, wie man bei $v \in \mathbb{H}$ in der Formel (\ref{QuatRot}) sieht.
+Ohne die geometrische Algebra, haben wir jetzt aber leider ein kleines Problem. Für die Darstellung der Quaternionen bräuchten wir insgesamt vier Achsen. Drei für die imaginären Einheiten und eine für die reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden eines Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst ineinander umgewandelt werden, um damit zu rechnen, wie man bei $v \in \mathbb{H}$ in der Formel (\ref{QuatRot}) sieht.
 
 \subsection{Geometrische Algebra}
 Die geometrische Algebra besitzt die Fähigkeit beide Probleme zu lösen. Die Quaternionen können, wie schon im 2 dimensionalen Fall durch die gerade Grade $G_3^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{H}$ dargestellt werden. Da wir uns jetzt aber in $G_3(\mathbb{R})$ befinden haben wir drei Basisvektoren $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ und können somit drei Bivektoren bilden $\mathbf{e}_{12}, \mathbf{e}_{23}, \mathbf{e}_{31}$.
@@ -33,20 +33,54 @@ Die geometrische Algebra besitzt die Fähigkeit beide Probleme zu lösen. Die Qu
 \end{definition}
 
 Die Probleme werden dadurch gelöst, da wir die Bivektoren im Raum nicht durch einzelne Achsen darstellen müssen, sondern sie als eine orientiere Fläche darstellen können. Anstatt die Vektoren in Quaternionen umzurechnen, können wir jetzt die Vektoren separat im gleichen Raum darstellen. 
-\\BILD VEKTOR, QUATERNION IN G3\\
+\begin{figure}
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}
+		% Koordinatensystem
+		\draw[thin,gray!40] (-3,-2) grid (3,3);
+		\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
+		\draw[<->] (0,-2)--(0,3) node[above]{$a_2$};
+		\draw[<->] (3,3)--(-2,-2) node[left]{$a_3$};
+		
+		% v Vektor
+		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,-1) node[anchor=north]{$\boldsymbol{v}$};
+		
+		% q Quaternion
+		\draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(0.75,0)--(0.75,0.75)--(0,0.75)
+		node[xshift=0.375cm, yshift=-0.5cm, blue]{$x\boldsymbol{e_{12}}$};
+		\draw[->] (0.7,0.55) arc (0:310:0.15);
+		
+		\draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(-1,-1)--(-1,0.71)--(0,1.71)
+		node[xshift=-0.5cm, yshift=-1.5cm, blue]{$y\boldsymbol{e_{23}}$};
+		\draw[->] (-0.1,1.1) arc (0:310:0.15);
+		
+		\draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(-0.71,-0.71)--(0.29,-0.71)--(1,0)
+		node[xshift=-0.7cm, yshift=-0.2cm, blue]{$z\boldsymbol{e_{31}}$};
+		\draw[->] (0,-0.5) arc (0:310:0.15);
+		
+		% Basisvektoren
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{e_1}$};
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north west, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_2}$};
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(-0.71,-0.71) node[anchor=south, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_3}$};
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{Darstellung eines Quaternion $\mathbf{q}$ und eines Vektors $\mathbf{v}$ im selben Raum}
+	\label{BildQuaternionen}
+\end{figure}
 Wie schon im 2 dimensionalen Fall beschreibt ein Bivektor, um wie viel der um 90 grad gedrehte orginale Vektor gestreckt wird. Dabei dreht jeder Bivektor den Vektor um eine andere Achse.
 \\BILD?\\
 In der Computergraphik und Robotik macht eine Drehstreckung aber nicht viel Sinn. Wieso sollte ein Objekt bei einer Drehung zusätzlich noch grösser werden? Darum verwendet man sogenannte Einheitsquaternionen, welche den Betrag $|q|=1$ haben. Sie rotieren die Objekte bzw. Vektoren lediglich.
 \begin{definition}
 	Einheitsquaternionen
 	\begin{align}
-		\mathbf{q} = \cos(\alpha) + sin(\alpha)(x\mathbf{e}_{12} + y\mathbf{e}_{23} + z\mathbf{e}_{31})
+		\mathbf{q} = \cos(\alpha) + sin(\alpha)(\tilde{x}\mathbf{e}_{12} + \tilde{y}\mathbf{e}_{23} + \tilde{z}\mathbf{e}_{31})
 	\end{align}
 \end{definition}
-Dabei ist definiert, dass $x^2+y^2+z^2=1$. Somit beträgt der Betrag von immer $\mathbf{q}$ immer 1.
+Dabei ist definiert, dass $\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2=1$. Somit beträgt der Betrag von $\mathbf{q}$ immer 1.
 \begin{align}
-	|\mathbf{q}| = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2(x^2+y^2+z^2) } = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2} = 1
+	|\mathbf{q}| = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2(\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2) } = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2} = 1
 \end{align}
+Der Winkel $\alpha$ beschreibt dabei, wie im Bild (...) gezeigt den halben Winkel, um welchen der parallelen Anteil $\mathbf{v_{\perp}}$ des Vektors $\mathbf{v}$ zur kombinierten Bivektorebene $sin(\alpha)^2(\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2)$ gedreht wird.
+
 Um einen Vektor zu drehen, verwendet man wieder die gleiche Formel, wie auch schon im zweidimensionalen Fall.
 \begin{align} \label{QuatRotGA}
 	\begin{split} 
@@ -54,9 +88,116 @@ Um einen Vektor zu drehen, verwendet man wieder die gleiche Formel, wie auch sch
 		&\operatorname{Re}(\mathbf{q}) = \operatorname{Re}(\mathbf{q}^{-1});\enspace \operatorname{Im}(\mathbf{q}) = -\operatorname{Im}(\mathbf{q}^-1)
 	\end{split}
 \end{align}
-Es ist wichtig bei Quaternionen für eine reine Drehstreckung mit $q$ und $q^{-1}$ beidseitig zu multiplizieren, sonst werden die senkrechten Anteile zu den Bivektorebenen ebenfalls beeinflusst, wie man im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{RotAufPerpPar}) sehen kann
-\\BEISPIEL DREHUNG 90 grad um zwei Achsen\\
-\\BILD addition Bivektoren zu Beipsiel?\\
+Es ist wichtig bei Quaternionen für eine reine Drehstreckung mit $q$ und $q^{-1}$ beidseitig zu multiplizieren, sonst werden die senkrechten Anteile zu den Bivektorebenen ebenfalls beeinflusst, wie man im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{RotAufPerpPar}) sehen kann.
+\begin{beispiel}
+	Eine Drehung eines Vektors $\mathbf{v}= 1\mathbf{e}_2$ um 90 Grad um die $\mathbf{e}_1$-Achse und danach 90 Grad um die $\mathbf{e}_2$-Achse. Dafür nehmen wir zuerst einen Einheitsquaternion welcher um die Orientierte Ebene $\mathbf{e}_{23}$ um 90 Grad dreht
+	\begin{align}
+		\mathbf{q}_{23} &= \cos(\pi/4) + sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{23}) =  e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{23}} &= 0.71 + 0.71\mathbf{e}_{23}\\
+		\mathbf{q}_{23}^{-1} &&= 0.71 - 0.71\mathbf{e}_{23}
+	\end{align}
+	und danach Einheitsquaternion welcher um die Orientierte Ebene $\mathbf{e}_{31}$ um 90 Grad dreht
+	\begin{align}
+		\mathbf{q}_{31} &= \cos(\pi/4) + sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{31}) =  e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{31}} &= 0.71 + 0.71\mathbf{e}_{31}\\
+		\mathbf{q}_{31}^{-1} &&= 0.71 - 0.71\mathbf{e}_{31}
+	\end{align}
+	Um die vollständige Rotation zu beschreiben können die  Einheitsquaternion multipliziert werden, wobei die Reihenfolge der Ausführung beachtet werden muss
+	\begin{align} \label{FormelBeispielQuaternion}
+		\mathbf{q} &= \mathbf{q}_{31}\mathbf{q}_{23} = (0.71 + 0.71\mathbf{e}_{31})(0.71 + 0.71\mathbf{e}_{23}) &= 0.5 + 0.5\mathbf{e}_{31} + 0.5 \mathbf{e}_{23} + 0.5 \mathbf{e}_{12}\\
+		\mathbf{q}^{-1} &= \mathbf{q}_{23}^{-1}\mathbf{q}_{31}^{-1} = (0.71 - 0.71\mathbf{e}_{23})(0.71 - 0.71\mathbf{e}_{31}) &= 0.5 - 0.5\mathbf{e}_{31} - 0.5 \mathbf{e}_{23} - 0.5 \mathbf{e}_{12}
+	\end{align}
+	Wenn wir nun den Quaternion $\mathbf{q}$ auf den Vektor $\mathbf{v}$ anwenden
+	\begin{align}
+		\mathbf{v}'' = \mathbf{qvq}^{-1} &= (0.5 + 0.5\mathbf{e}_{31} + 0.5 \mathbf{e}_{23} + 0.5 \mathbf{e}_{12})(1\mathbf{e}_2)(0.5 - 0.5\mathbf{e}_{31} - 0.5 \mathbf{e}_{23} - 0.5 \mathbf{e}_{12})\\ 
+		&= (0.5\mathbf{e}_2 + 0.5 \mathbf{e}_{123} - 0.5 \mathbf{e}_3 + 0.5 \mathbf{e}_1)(0.5 - 0.5\mathbf{e}_{31} - 0.5 \mathbf{e}_{23} - 0.5 \mathbf{e}_{12})\\
+		&= (0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25)\mathbf{e}_1 + (0.25 + 0.25 - 0.25 - 0.25)\mathbf{e}_2 +\\ &(-0.25 + 0.25 - 0.25 + 0.25)\mathbf{e}_3 + (0.25 - 0.25 - 0.25 + 0.25)\mathbf{e}_{123}\\
+		&= 1e_1 
+	\end{align}
+	Anders betrachtet könnte man von der Formel \eqref{FormelBeispielQuaternion} sehen, dass der Drehwinkel
+	\begin{align}
+		\alpha = \arccos(w) = \arccos(0.5) = 60°
+	\end{align}
+	und die Ebene der kombinierten Bivektoren wie in Abbildung \ref{BildQuaternionBeispiel2} aussieht.
+	Somit kann man sich ebenfalls Vorstellen, wie der parallele Anteil zur Ebene insgesamt um 120° rotiert wird während der senkrechte Anteil unverändert bleibt
+\end{beispiel}
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}
+		% Koordinatensystem
+		\draw[thin,gray!40] (-3,-2) grid (3,3);
+		\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
+		\draw[<->] (0,-2)--(0,3) node[above]{$a_2$};
+		\draw[<->] (3,3)--(-2,-2) node[left]{$a_3$};
+		
+		% q Quaternion
+		\draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(1.41,0)--(1.41,1.41)--(0,1.41)
+		node[xshift=0.375cm, yshift=-0.5cm, blue]{$x\boldsymbol{e_{12}}$};
+		\draw[->] (1.35, 1.2) arc (0:310:0.15);
+		
+		\draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(-1,-1)--(-1,0.41)--(0,1.41)
+		node[xshift=-0.5cm, yshift=-1.5cm, blue]{$y\boldsymbol{e_{23}}$};
+		\draw[->] (-0.65,-0.5) arc (0:310:0.15);
+		
+		\draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(-1,-1)--(0.41,-1)--(1.41,0)
+		node[xshift=-0.7cm, yshift=-0.2cm, blue]{$z\boldsymbol{e_{31}}$};
+		\draw[->] (0.4,-0.8) arc (0:310:0.15);
+		
+		% Basisvektoren
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(2,0) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{e_1}$};
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,2) node[anchor=north west, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_2}$};
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(-1.41,-1.41) node[anchor=south, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_3}$};
+		
+		% v Vektor
+		\draw[line width=2pt,black,-stealth](-0.05,0)--(-0.05,2) node[anchor=east]{$\boldsymbol{v}$};
+		% v'' Vektor
+		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0.05)--(2,0.05) node[anchor=north]{$\boldsymbol{v}''$};
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{Beispiel für Drehung um 90 Grad je um die $\mathbf{e}_1$- und $\mathbf{e}_2$-Achse.}
+	\label{BildQuaternionBeispiel}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}
+		% q Quaternion
+		\draw[line width=0,fill=blue!40] (-0.75,-1)--(1.5,-0.5)--(0.55,1.35)--(-1.5,1)
+		node[xshift=0.375cm, yshift=-0.5cm, blue]{$\boldsymbol{q}$};
+		\draw[->] (-0.7, 0.5) arc (310:0:0.15);
+		
+		% Koordinatensystem
+		\draw[thin,gray!40] (-3,-2) grid (3,3);
+		\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
+		\draw[<->] (0,-2)--(0,3) node[above]{$a_2$};
+		\draw[<->] (3,3)--(-2,-2) node[left]{$a_3$};
+		
+		% Basisvektoren
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(2,0) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{e_1}$};
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,2) node[anchor=north west, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_2}$};
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(-1.41,-1.41) node[anchor=south, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_3}$};
+		
+		% v Vektor
+		\draw[line width=2pt,black,-stealth](-0.05,0)--(-0.05,2) node[anchor=east]{$\boldsymbol{v}$};
+		% vpar Vektor
+		\draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(-0.33,1.25) node[anchor=east]{$\boldsymbol{v_{\parallel}}$};
+		% vperp Vektor
+		\draw[line width=2pt,green,-stealth](-0.33,1.25)--(0,2) node[anchor=east, xshift = -0.05, yshift = -0.3cm]{$\boldsymbol{v_{\perp}}$};
+		% v'' Vektor
+		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0.05)--(2,0.05) node[anchor=north, xshift = 0.25cm]{$\boldsymbol{v}''$};
+		% vpar'' Vektor
+		\draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1.66,-0.75) node[anchor=east, yshift = -0.2cm, xshift = -0.1cm]{$\boldsymbol{v_{\parallel}''}$};
+		% vperp'' Vektor
+		\draw[line width=2pt,green,-stealth](1.66,-0.75)--(2,0) node[anchor=east, xshift = 0.5cm, yshift = -0.65cm]{$\boldsymbol{v_{\perp}''}$};
+		
+		\coordinate (A) at (0,0);
+		\coordinate (B) at (-0.33,1.25);
+		\coordinate (C) at (1.66,-0.75);
+		\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=2, draw,  thick, angle radius=0.75cm, purple}}
+		\draw pic ["120° $=2\alpha$", anglestyle] {angle = C--A--B};
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{Beim Beispiel wird der parallele Anteil um 120° gedreht während der senkrechte Anteil zur kombinierten Ebene (Bivektoraddition) gleich bleibt}
+	\label{BildQuaternionBeispiel2}
+\end{figure}
+
 \subsection{Interpolation}
 In der Computergrafik wird Interpolation verwendet, um eine flüssige Drehbewegung zu erreichen. Dabei wird die gewünschte Drehbewegungen des Objektes in kleinere aufgeteilt. Man kann dabei mit zwei verschiedenen Systemen arbeiten. 
 \begin{itemize}
diff --git a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex
index 9392285..318d04b 100644
--- a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex
+++ b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex
@@ -6,16 +6,16 @@
 \section{Pauli-Matrizen}
 \rhead{Pauli-Matrizen}
 
-Was ist der beste Weg um einen Computeralgorithmus für die Rechenoperationen in der Clifford-Algebra zu erstellen? Man könnte versuchen ein textueller Rechner zu implementieren der für die Elemente $\mathbf{e}_i$ hartkodierte Vereinfachungen ausführt 
+Was ist der beste Weg um einen Computeralgorithmus für die Rechenoperationen in der Clifford-Algebra zu erstellen? Man könnte versuchen einen textuellen Rechner zu implementieren der für die Elemente $\mathbf{e}_i$ hartkodierte Vereinfachungen ausführt 
 \begin{beispiel}
-	der Algorithmus weiss, dass er $a\mathbf{e}_1\cdot b\mathbf{e}_1$ zu $ab\cdot1$ vereinfachen kann
+	Der Algorithmus weiss, dass er $a\mathbf{e}_1\cdot b\mathbf{e}_1$ zu $ab\cdot1$ vereinfachen kann
 	\begin{align}
 		3\mathbf{e}_1 \cdot 2\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 \Rightarrow 6 + 3\mathbf{e}_2
 	\end{align}
 \end{beispiel}
 Dies ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schnellere Alternative, welche für die dreidimensionale Clifford-Algebra verwendet werden können und alle Operationen aus der Clifford-Algebra gleich wie die Matrixoperationen ausführen lassen.
 \begin{definition} \label{def:defPauli}
-	vier Pauli-Matrizen ($\mathbf{e}_0$ = Skalare)
+	Die Matrizen
 	\begin{align}
 		\mathbf{e}_0 = E = 
 		\begin{pmatrix}
@@ -38,7 +38,11 @@ Dies ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schn
 			0 & -1
 		\end{pmatrix}\quad	
 	\end{align}
-	durch normale Matrizenmultiplikation lassen sich die restlichen Basiselemente der dreidimensionalen Clifford-Algebra herleiten
+	heissen Pauli-Matrizen ($\mathbf{e}_0$ = Skalare)
+\end{definition}
+Die Matrix-Multiplikationen der Pauli-Matrizen führt auf die gleichen algebraischen Relationen, wie die Multiplikation der Elemente $\mathbf{e}_0, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$. So lassen sich auch die restlichen Elemente der Clifford-Algebra herleiten.
+\begin{definition} \label{def:defPauli2}
+	Die Bivektoren und Trivektoren hergeleitet durch die Pauli-Matrizen
 	\begin{align}
 		\mathbf{e}_{12} =  
 		\begin{pmatrix}
@@ -64,7 +68,7 @@ Dies ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schn
 \end{definition}
 Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford-Algebra für die Basiselemente definiert hat.
 \begin{align}
-	\mathbf{e}_1^2 &= \mathbf{e}_0 =
+	\mathbf{e}_1^2 &=
 	\begin{pmatrix}
 		0 & 1 \\
 		1 & 0
@@ -72,8 +76,8 @@ Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford-
 	\begin{pmatrix}
 		1 & 0 \\
 		0 & 1
-	\end{pmatrix}\\
-	\mathbf{e}_{12}^2 &= -\mathbf{e}_0 =
+	\end{pmatrix}= \mathbf{e}_0 \\
+	\mathbf{e}_{12}^2 &=
 	\begin{pmatrix}
 		j & 0 \\
 		0 & -j
@@ -81,9 +85,9 @@ Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford-
 	\begin{pmatrix}
 		-1 & 0 \\
 		0 & -1
-	\end{pmatrix}
+	\end{pmatrix} = -\mathbf{e}_0 
 \end{align}
-Man kann bei der Definition \ref{def:defPauli} sehen, dass alle Matrizen linear unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass wenn man die Matrizen der Basiselemente normal addiert und zu einer grossen Matrix zusammenfasst und anschliessend wieder herausgelesen werden können.
+Man kann bei den Definitionen \ref{def:defPauli} und \ref{def:defPauli2} sehen, dass alle Matrizen linear unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass wenn man die Matrizen der Basiselemente normal addiert und zu einer Matrix zusammenfasst, kann man anschliessend die einzelnen Anteile der Basiselemente wieder herausgelesen.
 \begin{definition}
 	Multivektor mit Pauli-Matrizen
 	\begin{align}
@@ -95,14 +99,18 @@ Man kann bei der Definition \ref{def:defPauli} sehen, dass alle Matrizen linear
 		\end{pmatrix}  
 	\end{align}
 \end{definition}
+Die Anteile treten zudem immer paarweise auf und können somit immer je durch zwei Gleichungen bestimmt werden.
 \begin{beispiel}
+	Bestimmung der Anteile der Basiselemente
 	\begin{align}
-		M &= \begin{pmatrix}
+		M &= 
+		\begin{pmatrix}
 			1 & 0 \\
 			0 & 0
 		\end{pmatrix}\\
-		&\Rightarrow a_0 + a_3 = 1 \land a_0 - a_3 = 0\\
-		&\Rightarrow a_0 = 0.5 \land a_3 = 0.5\\
-		M &= 0.5 \mathbf{e}_0 + 0.5 \mathbf{e}_3
+		&\Rightarrow a_0 + a_3 = 1 \enspace\land\enspace a_0 - a_3 = 0\\
+		&\Rightarrow a_0 = \dfrac{1}{2} \enspace\land\enspace a_3 = \dfrac{1}{2}\\
+		M &= \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_0+ \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_3
 	\end{align}
-\end{beispiel}
\ No newline at end of file
+\end{beispiel}
+Die Clifford-Algebra bei der Darstellung durch Matrizen kein Ausnahmefall. Es lässt sich theoretisch jede algebraische Struktur durch Matrizen darstellen.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
index 1c6d590..6c92711 100644
--- a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
+++ b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
@@ -3,39 +3,69 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Reflexion/ Spiegelung}
-\rhead{Reflexion/ Spiegelung}
+\section{Spiegelung}
+\rhead{Spiegelung}
+
+Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die Geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Reflexion auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}
+		\draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3);
+		\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
+		\draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$};
+		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
+		\draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(0,2.5) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$};
+		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$};
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$};
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$};
+		\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,2)--(2,2) node[xshift=-1cm, yshift=
+		0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\perp u}}$};
+		\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](-2,2)--(0,2) node[xshift=-1cm, yshift=
+		0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\perp u}}$};
+		\draw[line width=1.5pt,purple,-stealth](0,1.5)--(1,1.5) node[xshift=-0.5cm, yshift=-0.25cm]{$\boldsymbol{\hat{n}}$};
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{Spiegelung des Vektors \textbf{v} an Spiegelachse bzw. Vektor \textbf{u}}
+	\label{BildSpiegelung}
+\end{figure}
 
-Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die Geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Reflexion auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. \\HIER BILD
 \subsection{Linearen Algebra}
-Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung wie folgt beschreiben kann.
+Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung an einer Ebene wie folgt beschreiben kann.
 \begin{definition}
-	Spiegelungsgleichung in der linearen Algebra
+	Die Spiegelungsgleichung in der linearen Algebra mit dem Normalenvektor $\mathbf{\hat{n}}$ zur Spiegelebene
 	\begin{equation} \label{RefLinAlg}
-		\mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}}
+		\mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}}
 	\end{equation}
+	Per Definition sind $\mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v_{\perp u}}$. In der geometrischen Algebra verwenden wir aber in den Formeln Vektoren, welche Spiegelachsen repräsentieren.
 \end{definition}
-
-$\mathbf{u}$ repräsentiert die Spiegelachse und $\mathbf{v_{\perp u}}$ senkrecht auf dieser Achse steht und den orthogonalen Anteil von $\mathbf{v}$ zu $\mathbf{u}$ bildet. Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen, mit weiteren Spiegelachsen, anzufügen. Man kann die Abbildung des Vektors auf den gespiegelten Vektor auch als Matrix schreiben, welche aus den Komponenten des zu der Spiegelachse orthonormalen Vektors $\mathbf{\hat{n}}$ besteht.
+Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen, mit weiteren Spiegelachsen, anzufügen. Man kann dafür aber die Abbildung des Vektors auf den gespiegelten Vektor auch als Matrix schreiben, welche aus den Komponenten des Normalenvektors $\mathbf{\hat{n}}$ der Ebene besteht.
 \begin{align} 
 	\mathbf{\hat{n}}\perp \mathbf{u}\quad \land \quad |\mathbf{\hat{n}}| = 1
 \end{align}
 \begin{align} \label{Spiegelmatrizen}
-	Spiegelmatrizen...
+	S = E - 2\dfrac{1}{|\mathbf{n}|^2}\mathbf{nn}^t \enspace\Rightarrow\enspace
+	S_2 = \begin{pmatrix}
+		1-2n_1^2 & -2n_1n_2 \\
+		-2n_1n_2 & 1-2n_2^2
+	\end{pmatrix} \quad
+	S_2 = \begin{pmatrix}
+		1-2n_1^2 & -2n_1n_2 & -2n_1n_3\\
+		-2n_1n_2 & 1-2n_2^2 & -2n_2n_3\\
+		-2n_1n_3 & -2n_2n_3 & 1-2n_3^2\\
+	\end{pmatrix}
 \end{align}
-Diese Matrizen Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S\in \text{O}(n)$ an. Diese haben die Eigenschaft $S^t S = E$, was bedeutet, dass zweimal eine Spiegelung an der selben Achse keinen Effekt hat.
+Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S\in \text{O}(n)$ an. Die Matrizengruppe $\text{O}(n)$ haben die Eigenschaft $S^t S = E$, was bedeutet, dass die Länge und Winkel bei der Abbildung beibehalten bleiben. Zusätzlich sind die Spiegelmatrizen symmetrisch $S^t = S$. Somit liefert zweimal dieselbe Spiegelung wieder die identische Abbildung.
 \subsection{Geometrische Algebra}
-Die Geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen einfach erweitert werden kann.
+Die Geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} für eine Spiegelung eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen erweitert werden kann.
 \begin{definition}
-	Spiegelungsgleichung in der geometrischen Algebra
+	Die Spiegelungsgleichung in der geometrischen Algebra mit der Spiegelachse $\mathbf{u}$
 	\begin{align}\label{RefGA}
 		\mathbf{v}' = \mathbf{uvu}^{-1}
 	\end{align}
 \end{definition}
 
-Die Inverse eines Vektors ist dabei so definiert, dass multipliziert mit sich dem Vektor selbst das neutrale Element 1 ergibt.
+Die Inverse $\mathbf{u}^{-1}$ eines Vektors $\mathbf{u}$ existiert in der geometrischen Algebra und ist dabei so definiert.
 \begin{definition}
-	Inverse eines Vektors
+	Die Inverse multipliziert mit dem Vektor selbst ergibt das neutrale Element 1
 	\begin{align}
 		\mathbf{u}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2} \Rightarrow \mathbf{uu}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}^2}{|\mathbf{u}|^2} = 1
 	\end{align}
@@ -45,5 +75,4 @@ verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, wel
 \begin{align}
 	\mathbf{v'} = \mathbf{\hat{u}v\hat{u}}
 \end{align}
-Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension, wie bei der Definition \eqref{Spiegelmatrizen} ersichtlich, durch andere Matrizen beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da bis auf das Vektorprodukt in der dritten Dimension keine Multiplikation von Vektoren definiert ist. 
-\\BEISPIEL?
\ No newline at end of file
+Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension, wie bei der Definition \eqref{Spiegelmatrizen} ersichtlich, durch andere Matrizen beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da bis auf das Vektorprodukt in der dritten Dimension keine Multiplikation von Vektoren definiert ist. 
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
index 3ef5fbf..4a545ec 100644
--- a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
+++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
@@ -7,86 +7,118 @@
 \rhead{Rotation}
 
 Eine Rotation kann man aus zwei, aufeinanderfolgende Spiegelung bilden. Das war für mich zuerst eine verwirrende Aussage, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Spiegelung schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Spiegelung, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Spiegelung invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt im Dreidimensionalen vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zweimal invertiert wurde.
-\\BILD
+\begin{figure}
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}
+		\draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3);
+		\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
+		\draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$};
+		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
+		\draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(0,2.5) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$};
+		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$};
+		\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,0)--(-2.31, 0.957) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{w}$};
+		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2.828,0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v''}$};
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$};
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{e_2}$};
+		
+		\coordinate (A) at (0,0);
+		\coordinate (B) at (0,2.5);
+		\coordinate (C) at (-2.31, 0.957);
+		\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, draw,  thick, angle radius=1.25cm}}
+		\draw pic ["$\theta$", anglestyle] {angle = B--A--C};
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{Rotation des Vektors $\textbf{v}$ um $2\theta$}
+	\label{BildRotation}
+\end{figure}
 
 \subsection{Linearen Algebra}
-In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $\text{SO}(n)$ beschrieben. Die $\text{SO}(2)$  werden beispielsweise auf diese Weise gebildet.
+In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $\text{SO}(n)$ beschrieben. Beispielsweise besteht $\text{SO}(2)$  aus den Matrizen
 \begin{align}
 	D = 
 	\begin{pmatrix}
 		\cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\
 		-\sin(\alpha) & \cos(\alpha) 
-	\end{pmatrix}
+	\end{pmatrix},\quad
+	\alpha \in [0, 2\pi)
 \end{align}
-Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \text{SO}(n) = \text{SL}_n(\mathbb{R})\enspace \cap \enspace \text{O}(n)$ an. $\text{SL}_n(\mathbb{R})$ beinhaltet die Matrizen mit scherenden Eigenschaften. Diese Drehmatrizen haben die Eigenschaft $D^t D = E \enspace \land \enspace det(D)=1$. Dadurch dass die $det(D) = 1$ und nicht $-1$ sein kann fallen alle Spiegelungen aus der Menge raus. $det(D) = -1$ bedeutet, dass eine Orientierungsinversion stattfindet.  
+Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \text{SO}(n) = \text{SL}_n(\mathbb{R})\enspace \cap \enspace \text{O}(n)$ an. $\text{SL}_n(\mathbb{R})$ beinhaltet die Matrizen mit scherenden Eigenschaften. Diese Drehmatrizen haben die Eigenschaft $D^t D = E \enspace \land \enspace det(D)=1$. Dadurch dass die $det(D) = 1$ und nicht $-1$ sein kann fallen alle Spiegelungen aus der Menge heraus. $det(D) = -1$ bedeutet, dass eine Orientierungsinversion stattfindet.  
 \\BILD Mengen Spezieller Matrizen von Herrn Müller Präsentation
 
 \subsection{Geometrische Algebra}
 Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Spiegelungen gebildet werden kann, können wir die Rotation mit der Formel \eqref{RefGA} einfach herleiten.
-\begin{align} \label{rotGA}
-	\mathbf{v}'' = \mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = \mathbf{w}(\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} 
-\end{align}
+\begin{satz}
+	Eine Rotation lässt sich durch zwei nacheinander angewendete Spiegelungen beschreiben
+	\begin{align} \label{rotGA}
+		\mathbf{v}'' = \mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = \mathbf{w}(\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1})
+	\end{align}
+\end{satz}
 Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese Formel versuchen wir jetzt noch durch Umstrukturierung zu verbessern. 
-\subsubsection{Polarform und Exponentialform}
-Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform her. (Anmerkung: Hier wird eine Rotation auf der $\mathbf{e}_{12}$ Ebene hergeleitet. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{ij}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden). Dafür verwenden wir die Polarform des Vektors.
+\subsubsection{Exponentialform}
+Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{12}$ Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{ij}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden. Für die Herleitung erweitern wir nun als erstes die Polarform eines Vektors
 \begin{align}
 	\mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\right)
 \end{align}
-Dabei können wir ausnützen, dass $\mathbf{e}_1^2 = 1$ ist. Was nichts ändert wenn wir es einfügen. Zudem klammern wir dann $\mathbf{e}_1$ aus. 
+mit $\mathbf{e}_1^2 = 1$ beim Sinus
 \begin{align}\label{e1ausklammern}
-	\mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right)
+	\mathbf{w} &= |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right) 
 \end{align}
+um dann $\mathbf{e}_1$ ausklammern zu können. 
 \begin{align}
-	\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right)
+	\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right) \label{ExponentialGA}
 \end{align}
-Durch die Reihenentwicklung der $\sin$ und $\cos$ Funktionen
+Die Ähnlichkeit des Klammerausdrucks zu der Eulerschen Formel bei den Komplexen Zahlen ist nun schon gut erkennbar. Versuchen wir nun mithilfe der Reihenentwicklung den Zusammenhang auch hier herzustellen.
 \begin{align}
 	\sin(\theta_w)\mathbf{e}_{12}&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n+1}}{(2n+1)!}}\mathbf{e}_{12} =\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots \\
-	cos(\theta_w)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n}}{(2n)!}} =1-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}-\cdots
+	\cos(\theta_w)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n}}{(2n)!}} =1-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}-\cdots
 \end{align}
-ist es uns leicht möglich die $\sin$ und $\cos$ Terme in die Exponentialfunktion umzuwandeln. Dabei verwenden wir zusätzlich noch unsere Erkenntnis, dass $\mathbf{e}_{12}^2=-1, \enspace\mathbf{e}_{12}^3=-\mathbf{e}_{12}, ...$
+Verwenden wir jetzt noch die Eigenschaft, dass $\mathbf{e}_{12}^2=-1, \enspace\mathbf{e}_{12}^3=-\mathbf{e}_{12}, \dots$, bei dem Klammerausdruck in Formel \eqref{ExponentialGA}
 \begin{align}
 	\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1+\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots\\
-	\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1 \mathbf{e}_{12}^0+\theta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5-\cdots\\
+	&= 1 \mathbf{e}_{12}^0+\theta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5+\cdots
+	\label{ExponentialGA2}
 \end{align}
-Aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion folgt nun
+dann sieht man die Übereinstimmung mit der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion.
 \begin{align}
 	&e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{n}}{n!}}={\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{0}}{0!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{1}}{1!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{2}}{2!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{3}}{3!}}+\cdots\\
 	&\Rightarrow \mathbf{w} = |w|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = |w|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right)
 \end{align}
-Man kann es so interpretieren, dass der Einheitsvektor $\mathbf{e}_1$ um die Länge $|\mathbf{w}|$ gestreckt und um $\theta_w$ gedreht wird.
+Man kann die Exponentialform des Vektors ähnlich wie die der komplexen Zahlen interpretieren. Der Einheitsvektor $\mathbf{e}_1$ wird um die Länge $|\mathbf{w}|$ gestreckt und um $\theta_w$ gedreht.
+Bei den komplexen Zahlen würden man vom Punkt 1 anstatt $\mathbf{e}_1$ ausgehen.
 \subsubsection{Vektormultiplikation}
-Nun werden wir den Effekt von zwei aneinandergereihten Vektoren $\mathbf{wu}$ betrachten.
+Nun werden wir das Produkt von zwei Vektoren $\mathbf{wu}$
 \begin{align}
-	\mathbf{wu} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}|u|\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}
+	\mathbf{wu} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}|\mathbf{u}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
-Um die beiden $\mathbf{e}_1$ zu kürzen, können wir die Reihenfolge des Exponentialterms mit $\mathbf{e}_1$ wechseln, indem man bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern}, anstatt mit $\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2$ mit $\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1$ erweitert. 
+so umformen, dass wir eine bessere Darstellung erhalten. Wir tauschen dafür zuerst beim Vektor $\mathbf{w}$ die Reihenfolge von 
+$\mathbf{e}_1$ mit dem Exponentialterm $e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}$, indem wir bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern}, anstatt mit $\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2$ mit $\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1$ erweitern
 \begin{align} 
-	\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1
-\end{align}
-Da $\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1 = -\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2$ können wir einfach den Winkel negieren und $e_1e_1 = 1$ kürzen. Die Längen können als Skalare beliebig verschoben werden und die Exponentialterme zusammengefasst werden.
-\begin{align}
-	\mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}
+	\mathbf{w} &= |\mathbf{w}|\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1\\
+	&= |\mathbf{w}|e^{\theta_w \mathbf{e}_{21}}\mathbf{e}_1\\
+	&= |\mathbf{w}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1
 \end{align}
+und umstrukturiert wieder in die Vektorproduktformel einsetzen
 \begin{align}
+	\mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\
 	\mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
-der Term $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$ kann durch die selbe Methode zusammengefasst werden. 
+Der Term $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$ kann durch die selbe Methode zusammengefasst werden
 \begin{align}
 	\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
-Dabei definieren wir den Winkel zwischen den Vektoren  $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$. 
+Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren  $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$ definieren erhalten wir die finale Form der Vektorprodukte
+\begin{align}
+	\mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\\
+	\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}
+\end{align}
 \subsubsection{Umstrukturierte Drehungsgleichung}
-Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein.
+Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein
 \begin{align}
-	\mathbf{v''} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}
+	\mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}) \mathbf{v}( \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}})
+\end{align}
+erhalten wir durch die Kürzungen der Längen die vereinfachte Drehungsgleichung
+\begin{align}
+	\mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v e^{\theta \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
-\begin{satz}
-	Vereinfachte Drehungsgleichung in Exponentialschreibweise
-	\begin{align}
-		\mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v e^{\theta \mathbf{e}_{12}}
-	\end{align}
-\end{satz}
 
 Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei Teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht.
 \begin{align} \label{RotAufPerpPar}
@@ -102,8 +134,8 @@ Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen,
 \begin{align}
 	\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} +  \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
-Man kann an dieser Gleichung sehen, dass nur der parallele Anteil des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. 
-\begin{beispiel}
+Man kann an dieser Gleichung sehen, dass nur der parallele Anteil des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. Zeigen wir nun diese Eigenschaften an einem Beispiel
+\begin{beispiel} 
 	\begin{align}
 		\begin{split}
 			\mathbf{v} &= 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 \quad \mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e}_3\\ 
@@ -120,5 +152,5 @@ Man kann an dieser Gleichung sehen, dass nur der parallele Anteil des Vektors $\
 			& 1\mathbf{e}_1 - 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3
 		\end{split}
 	\end{align}
-\end{beispiel}
-Man sieht, dass sich der Vektor $\mathbf{v_\parallel}$ sich um $2\cdot90^\circ$ gedreht hat und der Vektor $\mathbf{v_\perp}$ unverändert blieb.
\ No newline at end of file
+	Man sieht, dass sich der Vektor $\mathbf{v_\parallel}$ sich um $2\cdot90^\circ$ gedreht hat und der Vektor $\mathbf{v_\perp}$ unverändert blieb.
+\end{beispiel}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
index 120828b..70107da 100644
--- a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
+++ b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
@@ -6,18 +6,19 @@
 \section{Komplexe Zahlen}
 \rhead{Komplexe Zahlen}
 
-Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Rotationen und Schwingungen gut beschreiben können. Nachdem vorherigen Kapitel überrascht es wahrscheinlich nicht viele, dass es möglich ist komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der 2 Dimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $G_2^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl kann durch ein Skalar (Grad 0) und einem Bivektor (Grad 2) dargestellt werden. Als Abkürzung nehme ich die Bezeichnung $\mathbf{g}_n \in  G_2^+(\mathbb{R})$.
+Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Rotationen und Schwingungen gut beschreiben können. Nach dem vorherigen Kapitel überrascht es wahrscheinlich nicht viele, dass es möglich ist komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der 2 Dimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $\mathbf{g}_n \in G_2^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl kann durch ein Skalar (Grad 0) und einem Bivektor (Grad 2) dargestellt werden
 \begin{align}
-	a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 \mathbf{e}_{12} = \mathbf{g}_n\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R}
+	a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 \mathbf{e}_{12} = \mathbf{g}_n\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R}\\
+	|r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = \mathbf{g}_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R}
 \end{align}
-oder in Polarform.
+weil $j$ und $\mathbf{e}_{12}$ beide die Eigenschaft besitzen quadriert $-1$ zu ergeben
 \begin{align}
-	|r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = \mathbf{g}_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R}
+	j^2 = -1\quad \mathbf{e}_{12}^2 = -1
 \end{align}
 Man beachte, dass wenn wir, wie bei den komplexen Zahlen, Elemente von $G_2^+(\mathbb{R})$ miteinander Multiplizieren, ist es nicht, wie im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{rotGA})beschrieben, eine Multiplikation von zwei $g_n$ mit einem Vektor. Im zweidimensionalen bewirken beide Multiplikationen grundsätzlich das Gleiche (eine Drehstreckung), aber die Multiplikation von mehreren $g_n$ ist kommutativ, wie wir es von den komplexen Zahlen kennen.
 \begin{align}
 	\mathbf{g}_1\mathbf{g}_2 = \mathbf{g}_2\mathbf{g}_1 \quad&\Leftrightarrow\quad (a + b \mathbf{e}_{12})(f + g \mathbf{e}_{12}) = (f + g \mathbf{e}_{12})(a + b \mathbf{e}_{12})\\
-	\mathbf{g}_1\mathbf{v}\mathbf{g}_2\not= \mathbf{g}_2\mathbf{v}\mathbf{g}_1 \quad&\Leftrightarrow\quad(a + b \mathbf{e}_{12})(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)(f + g \mathbf{e}_{12}) \not= (a + b \mathbf{e}_{12})(f + g \mathbf{e}_{12})(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)
+	\mathbf{g}_1\mathbf{v}\not= \mathbf{v}\mathbf{g}_1 \quad&\Leftrightarrow\quad(a + b \mathbf{e}_{12})(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)\not= (x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)(a + b \mathbf{e}_{12})
 \end{align}
 Um später die Auswirkung der Quaternionen besser zu verstehen, möchte ich kurz darauf eingehen, was ein $g_n$ für eine Auswirkung auf einen Vektor hat.
 Wir kennen diesen Effekt schon von den komplexen Zahlen. Wenn eine komplexe Zahl $c_1=a+bj$ mit einer zweiten $c_2=f+gj$ multipliziert wird, dann kann man diese so aufteilen.
diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/GimbalLock.png b/buch/papers/clifford/Bilder/GimbalLock.png
new file mode 100644
index 0000000..733c535
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/Bilder/GimbalLock.png
diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/Links.txt b/buch/papers/clifford/Bilder/Links.txt
new file mode 100644
index 0000000..8e8edfe
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/Bilder/Links.txt
@@ -0,0 +1,3 @@
+MatrizenGruppen: 	Vorlesung 10 Drehmatrizen Müller
+GimbalLock:	https://www.thetechgame.com/News/sid=2444/fifa-12-demo-glitches-causing-youtube-stir/start=10.html
+RotSpieg:		http://www.math.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Veranstaltungen/MaDenken1313/Material/Kap2KonAbb.pdf
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/MatrizenGruppen.png b/buch/papers/clifford/Bilder/MatrizenGruppen.png
new file mode 100644
index 0000000..398de5a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/Bilder/MatrizenGruppen.png
diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.pdf b/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c4c107d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.pdf
diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.png b/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.png
new file mode 100644
index 0000000..27a5eb2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.png
diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/test.png b/buch/papers/clifford/Bilder/test.png
new file mode 100644
index 0000000..1633a2e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/Bilder/test.png
diff --git a/buch/papers/clifford/packages.tex b/buch/papers/clifford/packages.tex
index 8fb4bd9..0d354db 100644
--- a/buch/papers/clifford/packages.tex
+++ b/buch/papers/clifford/packages.tex
@@ -7,3 +7,5 @@
 % if your paper needs special packages, add package commands as in the
 % following example
 %\usepackage{packagename}
+
+\usetikzlibrary{calc,angles,quotes,babel}
\ No newline at end of file