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diff --git a/buch/.gitignore b/buch/.gitignore
index 3c3ac3d..46764b7 100644
--- a/buch/.gitignore
+++ b/buch/.gitignore
@@ -13,4 +13,4 @@ buch*.pdf
 *.toc
 .build/
 *.synctex.gz
-*.DS_Store
\ No newline at end of file
+
diff --git a/buch/Makefile b/buch/Makefile
index 722c177..1cd50dd 100755
--- a/buch/Makefile
+++ b/buch/Makefile
@@ -28,8 +28,19 @@ buch.ind:	buch.idx
 separate:	buch.aux buch.pdf
 	bash splitpapers
 
-numerik.pdf:	
-	pdfjam --outfile numerik.pdf \
+matrizen.pdf:	
+	pdfjam --outfile matrizen.pdf \
 		../cover/front.pdf 1,{} \
 		buch.pdf 1-504 \
 		../cover/back.pdf {},1
+
+tests:	test1.pdf test2.pdf test3.pdf
+
+test1.pdf:	common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben1.tex
+	pdflatex common/test1.tex
+
+test2.pdf:	common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben2.tex
+	pdflatex common/test2.tex
+
+test3.pdf:	common/test-common.tex common/test1.tex aufgaben3.tex
+	pdflatex common/test3.tex
diff --git a/buch/aufgaben1.tex b/buch/aufgaben1.tex
new file mode 100644
index 0000000..9348019
--- /dev/null
+++ b/buch/aufgaben1.tex
@@ -0,0 +1,13 @@
+%
+% aufgaben1.tex -- Aufgaben für Test 1
+%
+% (c) 2012 Prof. Dr. Andreas Mueller, HSR
+%
+
+\item
+\input chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex
+\item
+\input chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
+\item
+\input chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
+
diff --git a/buch/aufgaben2.tex b/buch/aufgaben2.tex
new file mode 100644
index 0000000..dc4fc59
--- /dev/null
+++ b/buch/aufgaben2.tex
@@ -0,0 +1,11 @@
+%
+% aufgaben2.tex -- Aufgaben für Test 2
+%
+% (c) 2021 Prof. Dr. Andreas Mueller, OST
+%
+
+\item
+\input chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4004.tex
+\item
+\input chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex
+
diff --git a/buch/aufgaben3.tex b/buch/aufgaben3.tex
new file mode 100644
index 0000000..23c9153
--- /dev/null
+++ b/buch/aufgaben3.tex
@@ -0,0 +1,7 @@
+%
+% aufgaben3.tex -- Aufgaben für Test 3
+%
+% (c) 2021 Prof. Dr. Andreas Mueller, OST
+%
+\item
+\input chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
index 9848469..cb37d05 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
@@ -182,7 +182,7 @@ begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist.
 Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe
 bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$.
 
-\subsubsection{Homomorphismen}
+\subsubsection{Homomorphismen} \label{buch:gruppen:subsection:homomorphismen}
 Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus,
 dass sie die algebraische Struktur des Vektorraumes respektieren.
 Für eine Abbildung zwischen Gruppen heisst dies, dass die Verknüpfung,
@@ -313,14 +313,14 @@ auf einem geeigneten Vektorraum.
 \begin{definition}
 \label{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung}
 Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus 
-$G\to\operatorname{GL}_(\mathbb{R})$.
+$G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
 \index{Darstellung}
 \end{definition}
 
 \begin{beispiel}
 Die Gruppen $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$,
 $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ oder $\operatorname{SO}(n)$ 
-sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}$.
+sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
 Die Einbettungsabbildung $G\hookrightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
 ist damit automatisch eine Darstellung, sie heisst auch die
 {\em reguläre Darstellung} der Gruppe $G$.
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
index db326f8..0bf3016 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
@@ -431,6 +431,7 @@ zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers von $76415$ und $23205$
 zur Berechnung der Koeffizienten $c_k$ und $d_k$
 Wir schreiben die gefundenen Zahlen in eine Tabelle:
 \begin{center}
+\label{buch:endlichekoerper:beispiel1erweitert}
 \renewcommand{\arraystretch}{1.1}
 \begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
 \hline
@@ -518,6 +519,7 @@ Insbesondere ist der euklidische Algorithmus genauso wie die
 Matrixschreibweise auch für Polynome durchführbar.
 
 \begin{beispiel}
+\label{buch:endlichekoerper:eqn:polynomggt}
 Wir berechnen als Beispiel den grössten gemeinsamen Teiler 
 der Polynome
 \[
@@ -614,4 +616,368 @@ Aus den letzten zwei Zeilen folgt
 $ua-vb = ab/g - ab/g = 0$, wie erwartet.
 \end{beispiel}
 
+%
+% Das kleinste gemeinsame Vielfache
+%
+\subsection{Das kleinste gemeinsame Vielfache
+\label{buch:subsection:daskgv}}
+Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen $a$ und $b$ ist
+\[
+\operatorname{kgV}(a,b)
+=
+\frac{ab}{\operatorname{ggT}(a,b)}.
+\]
+Wir suchen nach einen Algorithmus, mit dem man das kleinste gemeinsame
+Vielfache effizient berechnen kann.
+
+Die Zahlen $a$ und $b$ sind beide Vielfache des grössten gemeinsamen
+Teilers $g=\operatorname{ggT}(a,b)$, es gibt also Zahlen $u$ und $v$ derart,
+dass $a=ug$ und $b=vg$.
+Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von $u$ und $v$ ist, dann ist $tg$ ein
+grösserer gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$.
+Dies kann nicht sein, also müssen $u$ und $v$ teilerfremd sein.
+Das kleinste gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$ ist dann $ugv=av=ub$.
+Die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist also gleichbedeutend
+mit der Bestimmung der Zahlen $u$ und $v$.
+
+Die definierende Eigenschaften von $u$ und $v$ kann man in Matrixform als
+\begin{equation}
+\begin{pmatrix}
+a\\b
+\end{pmatrix}
+=
+\underbrace{
+\begin{pmatrix}
+u&?\\
+v&?
+\end{pmatrix}}_{\displaystyle =K}
+\begin{pmatrix}
+\operatorname{ggT}(a,b)\\ 0
+\end{pmatrix}
+\label{buch:eindlichekoerper:eqn:uvmatrix}
+\end{equation}
+geschrieben werden, wobei wir die Matrixelemente $?$ nicht kennen.
+Diese Elemente müssen wir auch nicht kennen, um $u$ und $v$ zu bestimmen.
+
+Bei der Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers wurde der Vektor auf
+der rechten Seite von~\eqref{buch:eindlichekoerper:eqn:uvmatrix} bereits
+gefunden.
+Die Matrizen $Q(q_i)$, die die einzelne Schritte des euklidischen
+Algorithmus beschreiben, ergeben ihn als
+\[
+\begin{pmatrix}
+\operatorname{ggT}(a,b)\\0
+\end{pmatrix}
+=
+Q(q_n)Q(q_{n-1}) \dots Q(q_1)Q(q_0)
+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}.
+\]
+Indem wir die Matrizen $Q(q_n)$ bis $Q(q_0)$ auf die linke Seite der
+Gleichung schaffen, erhalten wir
+\[
+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}
+=
+Q(q_0)^{-1}
+Q(q_1)^{-1}
+\dots
+Q(q_{n-1})^{-1}
+Q(q_n)^{-1}
+\begin{pmatrix}\operatorname{ggT}(a,b)\\0\end{pmatrix}.
+\]
+Eine mögliche Lösung für die Matrix $K$ in
+\eqref{buch:eindlichekoerper:eqn:uvmatrix}
+ist der die Matrix
+\[
+K
+=
+Q(q_0)^{-1}
+Q(q_1)^{-1}
+\dots
+Q(q_{n-1})^{-1}
+Q(q_n).
+\]
+Insbesondere ist die Matrix $K$ die Inverse der früher gefundenen
+Matrix $Q$.
+
+Die Berechnung der Matrix $K$ als Inverse von $Q$ ist nicht sehr
+effizient.
+Genauso wie es möglich war, das Produkt $Q$ der Matrizen
+$Q(q_k)$ iterativ zu bestimmen, muss es auch eine Rekursionsformel
+für das Produkt der inversen Matrizen $Q(q_k)^{-1}$ geben.
+
+Schreiben wir die gesuchte Matrix 
+\[
+K_k
+=
+Q(q_0)^{-1}\dots Q(q_{k-1})^{-1}
+=
+\begin{pmatrix}
+e_k & e_{k-1}\\
+f_k & f_{k-1}
+\end{pmatrix},
+\]
+dann kann man $K_k$ durch die Rekursion
+\begin{equation}
+K_{k+1}
+=
+K_{k} Q(q_k)^{-1} 
+=
+K_k K(q_k)
+\qquad\text{mit}\qquad
+K_0 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I
+\label{buch:endlichekoerper:eqn:kgvrekursion}
+\end{equation}
+berechnen.
+Die Inverse von $Q(q)$ ist
+\[
+K(q)
+=
+Q(q)^{-1}
+=
+\frac{1}{\det Q(q)}
+\begin{pmatrix}
+q&1\\
+1&0
+\end{pmatrix}
+\quad\text{denn}\quad
+K(q)Q(q)
+=
+\begin{pmatrix}
+q&1\\
+1&0
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+0&1\\
+1&-q
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+1&0\\
+0&1
+\end{pmatrix}.
+\]
+Da die zweite Spalte von $K(q)$ die erste Spalte einer Einheitsmatrix
+ist, wird die zweite Spalte des Produktes $AK(q)$ immer die erste Spalte
+von $A$ sein.
+In $K_{k+1}$ ist daher nur die erste Spalte neu, die zweite Spalte ist
+die erste Spalte von $K_k$.
+
+Aus der Rekursionsformel \eqref{buch:endlichekoerper:eqn:kgvrekursion}
+für die Matrizen $K_k$ kann man jetzt eine Rekursionsbeziehung
+für die Folgen $e_k$ und $f_k$ ablesen, es gilt
+\begin{align*}
+e_{k+1} &= q_ke_k + e_{k-1} \\
+f_{k+1} &= q_kf_k + f_{k-1}
+\end{align*}
+für $k=0,1,\dots ,n$.
+Damit können $e_k$ und $f_k$ gleichzeitig mit den Zahlen $c_k$ und $d_k$
+in einer Tabelle berechnen.
+
+\begin{beispiel}
+Wir erweitern das Beispiel von
+Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:beispiel1erweitert}
+um die beiden Spalten zur Berechnung von $e_k$ und $f_k$:
+\begin{center}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
+\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+k&   a_k&   b_k&    q_k&  r_k&     c_k&     d_k&   e_k&   f_k\\
+\hline
+ &      &      &       &     &       1&       0&     0&     1\\
+0& 76415& 23205&      3& 6800&       0&       1&     1&     0\\
+1& 23205&  6800&      3& 2805&       1&      -3&     3&     1\\
+2&  6800&  2805&      2& 1190&      -3&      10&    10&     3\\
+3&  2805&  1190&      2&  425&       7&     -23&    23&     7\\
+4&  1190&   425&      2&  340&     -17&      56&    56&    17\\
+5&   425&   340&      1&   85&      41&    -135&   135&    41\\
+6&   340&    85&      4&    0&     -58&     191&   191&    58\\
+7&    85&     0&       &     &     273&    -899&   899&   273\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+Der grösste gemeinsame Teiler ist $\operatorname{ggT}(a,b)=85$.
+Aus der letzten Zeile der Tabelle kann man jetzt die Zahlen $u=e_7=899$
+und $v=f_7=273$ ablesen, und tatsächlich ist
+\[
+a=76415 = 899\cdot 85
+\qquad\text{und}\qquad
+b=23205 = 273 \cdot 85.
+\]
+Daraus kann man dann auch das kleinste gemeinsame Vielfache ablesen, es ist
+\[
+\operatorname{kgV}(a,b)
+=
+\operatorname{kgV}(76415,23205)
+=
+\left\{
+\begin{aligned}
+ub
+&=
+899\cdot 23205\\
+va
+&=
+273\cdot 76415
+\end{aligned}
+\right\}
+=
+20861295.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+Der erweiterte Algorithmus kann auch dazu verwendet werden,
+das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Polynome zu berechnen.
+Dies wird zum Beispiel bei der Decodierung des Reed-Solomon-Codes in
+Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon} verwendet.
+
+\subsubsection{Polynome
+\label{buch:endlichekoerper:eqn:polynomkgv}}
+Im Beispiel auf Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:eqn:polynomggt}
+wird der grösste gemeinsame Teiler der Polynome
+\[
+a
+=
+X^4 - 2X^3 -7 X^2 + 8X + 12,
+\qquad
+b = X^4 + X^3 -7X^2 -X + 6
+\]
+berechnet.
+Dies kann jetzt erweitert werden für die Berechnung des kleinsten
+gemeinsamen Vielfachen.
+
+\begin{beispiel}
+Die Berechnungstabelle nur für die Spalten $e_k$ und $f_k$ ergibt
+\begin{center}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
+\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+k&   q_k&  e_k&  f_k\\
+\hline
+ &                 &                           0&                           1\\
+0&                1&                           1&                           0\\
+1&-\frac13X-\frac13&                           1&                           1\\
+2& \frac34X+\frac34&           -\frac13X+\frac23&           -\frac13X-\frac13\\
+ &                 &-\frac14X^2+\frac14X+\frac32&-\frac14X^2-\frac12X+\frac34\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+Daraus kann man ablesen, dass
+\[
+u
+=
+-\frac14X^2+\frac14X+\frac32
+\qquad\text{und}\qquad
+v
+=
+-\frac14X^2-\frac12X+\frac34.
+\]
+Daraus ergibt sich das kleinste gemeinsame Vielfache auf zwei verschiedene Weisen:
+\[
+\operatorname{ggT}(a,b)
+=
+\left\{
+\begin{aligned}
+\textstyle
+(-\frac14X^2+\frac14X+\frac32)&\cdot(X^4 - 2X^3 -7 X^2 + 8X + 12)
+\\
+\textstyle
+(-\frac14X^2-\frac12X+\frac34)&\cdot(X^4 + X^3 -7X^2 -X + 6)
+\end{aligned}
+\right\}
+=
+-\frac14X^6+\frac72X^4-\frac{49}4X^2+9.
+\]
+Die beiden Berechnungsmöglichkeiten stimmen wie erwartet überein.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Anwendung: Decodierung des Reed-Solomon-Codes}
+Der Reed-Solomon-Code verwendet Polynome zur Codierung der Daten,
+dies wird in Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon} im Detail beschrieben.
+Bei der Decodierung muss der Faktor $u$ für zwei gegebene Polynome
+$n(X)$ und $r(X)$ bestimmt werden.
+Allerdings ist das Polynom $r(X)$ nicht vollständig bekannt, nur die 
+ersten paar Koeffizienten sind gegeben.
+Dafür weiss man zusätzlich, wieviele Schritte genau der Euklidische
+Algorithmus braucht.
+Daraus lässt sich genügend Information gewinnen, um die Faktoren $u$
+und $v$ zu bestimmen.
+Das Video \url{https://youtu.be/uOLW43OIZJ0} von Edmund Weitz
+erklärt die Theorie hinter dieser Teilaufgabe anhand von Beispielen.
+
+\begin{beispiel}
+Wir berechnen also die Faktoren $u$ und $v$ für die beiden Polynome
+\begin{align*}
+n(X)
+&=
+X^{12}+12
+\\
+r(X)
+&=
+7 X^{11} + 4 X^{10} + X^9 + 12 X^8 + 2 X^7 + 12 X^6 + w(X)
+\end{align*}
+in $\mathbb{F}_{13}[X]$, wobei $w(X)$ ein unbekanntes Polynom vom Grad $5$ ist. 
+Man weiss zusätzlich noch, dass der euklidische Algorithmus genau drei
+Schritte braucht, es gibt also genau drei Quotienten, die in die
+Berechnung der Zahlen $e_k$ und $f_k$ einfliessen.
+
+Im ersten Schritt des euklidischen Algorithmus ist der Quotient
+$n(X) / r(X)$ zu bestimmen, der Grad $1$ haben muss.
+\begin{align*}
+a_0=n(X)           &= X^{12}+12
+\\
+b_0=r(X)           &= 7 X^{11} + 4 X^{10} + X^9 + 12 X^8 + 2 X^7 + 12 X^6 + \dots
+\\
+q_0                &= 2X+10
+\\
+r_0 = a_0-b_0\cdot q_0 &= 10X^{10} + 5X^9 + 6X^8 + 8X^7 + \dots
+\\
+a_1 &= 7 X^{11} + 4 X^{10} + X^9 + 12 X^8 + 2 X^7 + 12 X^6 + \dots
+\\
+b_1 &= 10X^{10} + 5X^9 + 6X^8 + 8X^7 + \dots
+\\
+q_1 &= 2X+2
+\\
+r_1 = a_1 - b_1q_1 &= 5X^9 + 10 X^8 + \dots
+\\
+a_2 &= 10X^{10} + 5X^9 + 6X^8 + 8X^7 + \dots
+\\
+b_2 &= 5X^9 + 10 X^8 + \dots
+\\
+q_2 &= 2X+10
+\end{align*}
+Aus den Polynomen $q_k$ können jetzt die Faktoren $u$ und $v$
+bestimmt werden:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
+\hline
+k&   q_k&               e_k&        f_k\\
+\hline
+ &      &                 0&          1\\
+0& 2X+10&                 1&          0\\
+1& 2X+2 &             2X+10&          1\\
+2& 2X+10&        4X^2+11X+8&       2X+2\\
+ &      & 8X^3+10X^2+11X+12& 4X^2+11X+8\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+Die Faktorisierung des Polynoms
+\[
+u
+=
+8X^3+10X^2+11X+12
+\]
+kann bestimmt werden, indem man alle Zahlen $1,2,\dots,12\in\mathbb{F}_{13}$
+einsetzt.
+Man findet so die Nullstellen $3$, $4$ und $8$, also muss das Polynom
+$u$ faktorisiert werden können als
+\[
+u=
+8(X-3)(X-4)(X-8)
+=
+8X^3 - 120X^2+544X-768
+=
+8X^3 +10X^2+11X+12.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
 
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
index fbacba6..2f8117e 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
@@ -27,7 +27,7 @@ Primzahlpotenz $p^n$ von Elementen haben und die die Basis wichtiger
 kryptographischer Algorithmen sind.
 
 %
-% Arithmetik module $o$
+% Arithmetik modulo $o$
 %
 \subsection{Arithmetik modulo $p$
 \label{buch:subsection:arithmetik-modulo-p}}
@@ -413,7 +413,7 @@ Elemente.
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics{chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf}
-\caption{Binomialkoeffizienten module $2$ im Pascal-Dreieck.
+\caption{Binomialkoeffizienten modulo $2$ im Pascal-Dreieck.
 Auf den rot hinterlegten Zeilen, die zu Exponenten der Form $2^k$ gehören,
 sind alle Koeffizienten ausser dem ersten und letzten durch $2$ teilbar.
 \label{buch:endliche-koerper:fig:binomial2}}
@@ -423,7 +423,7 @@ sind alle Koeffizienten ausser dem ersten und letzten durch $2$ teilbar.
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics{chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf}
-\caption{Binomialkoeffizienten module $5$ im Pascal-Dreieck.
+\caption{Binomialkoeffizienten modulo $5$ im Pascal-Dreieck.
 Die von $0$ verschiedenen Reste werden durch Farben dargestellt:
 $1=\text{schwarz}$,
 $2=\text{\color{farbe2}rot}$,
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf
index 92be742..0a07c92 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex
index 77ccb57..1856844 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex
@@ -279,6 +279,25 @@
 \dreieck{32}{0}
 \dreieck{32}{32}
 
+\dreieck{33}{0}
+\dreieck{33}{1}
+\dreieck{33}{32}
+\dreieck{33}{33}
+
+\dreieck{34}{0}
+\dreieck{34}{2}
+\dreieck{34}{32}
+\dreieck{34}{34}
+
+\dreieck{35}{0}
+\dreieck{35}{1}
+\dreieck{35}{2}
+\dreieck{35}{3}
+\dreieck{35}{32}
+\dreieck{35}{33}
+\dreieck{35}{34}
+\dreieck{35}{35}
+
 \def\etikett#1#2#3{
 	\node at ({\xs*(-#1+2*#2)},{-\ys*(#1+0.5)}) {$#3$};
 }
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf
index 1b2a813..a4bdf51 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex
index 750b7e0..815e611 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex
@@ -358,6 +358,64 @@
 \dreieck{32}{31}{2}
 \dreieck{32}{32}{1}
 
+\dreieck{33}{0}{1}
+\dreieck{33}{1}{3}
+\dreieck{33}{2}{3}
+\dreieck{33}{3}{1}
+\dreieck{33}{5}{1}
+\dreieck{33}{6}{3}
+\dreieck{33}{7}{3}
+\dreieck{33}{8}{1}
+\dreieck{33}{25}{1}
+\dreieck{33}{26}{3}
+\dreieck{33}{27}{3}
+\dreieck{33}{28}{1}
+\dreieck{33}{30}{1}
+\dreieck{33}{31}{3}
+\dreieck{33}{32}{3}
+\dreieck{33}{33}{1}
+
+\dreieck{34}{0}{1}
+\dreieck{34}{1}{4}
+\dreieck{34}{2}{1}
+\dreieck{34}{3}{4}
+\dreieck{34}{4}{1}
+\dreieck{34}{5}{1}
+\dreieck{34}{6}{4}
+\dreieck{34}{7}{1}
+\dreieck{34}{8}{4}
+\dreieck{34}{9}{1}
+\dreieck{34}{25}{1}
+\dreieck{34}{26}{4}
+\dreieck{34}{27}{1}
+\dreieck{34}{28}{4}
+\dreieck{34}{29}{1}
+\dreieck{34}{30}{1}
+\dreieck{34}{31}{4}
+\dreieck{34}{32}{1}
+\dreieck{34}{33}{4}
+\dreieck{34}{34}{1}
+
+\dreieck{35}{0}{1}
+\dreieck{35}{5}{2}
+\dreieck{35}{10}{1}
+\dreieck{35}{25}{1}
+\dreieck{35}{30}{2}
+\dreieck{35}{35}{1}
+
+\dreieck{36}{0}{1}
+\dreieck{36}{1}{1}
+\dreieck{36}{5}{2}
+\dreieck{36}{6}{2}
+\dreieck{36}{10}{1}
+\dreieck{36}{11}{1}
+\dreieck{36}{25}{1}
+\dreieck{36}{26}{1}
+\dreieck{36}{30}{2}
+\dreieck{36}{31}{2}
+\dreieck{36}{35}{1}
+\dreieck{36}{36}{1}
+
 \def\etikett#1#2#3{
 	\node at ({\xs*(-#1+2*#2)},{-\ys*(#1+0.5)}) {$#3$};
 }
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/rs.maxima b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/rs.maxima
new file mode 100644
index 0000000..9116023
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/rs.maxima
@@ -0,0 +1,29 @@
+n: X^12 + 12;
+r: 7*X^11 + 4*X^10 + X^9 + 12*X^8 + 2*X^7 + 12*X^6;
+
+q0: 2*X+10;
+q1: 2*X+2;
+q2: 2*X+10;
+
+a0: n;
+b0: r;
+r0: expand(a0 - q0 * b0);
+
+a1: b0;
+b1: r0;
+r1: expand(a1 - q1 * b1);
+
+a2: b1;
+b2: r1;
+r2: expand(a2 - q2 * b2);
+
+K: matrix([1,0],[0,1]);
+
+K: expand(K . matrix([q0,1],[1,0]));
+K: expand(K . matrix([q1,1],[1,0]));
+K: expand(K . matrix([q2,1],[1,0]));
+
+u: 8*X^3+10*X^2+11*X+12;
+v: 4*X^2+11*X+8;
+
+factor(u), modulus:13;
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex
index 8a83256..5dea881 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex
@@ -46,7 +46,7 @@ Q(2)Q(1)Q(3)Q(4)
 \begin{pmatrix} 4&-17\\ -11&47 \end{pmatrix}.
 \end{align*}
 Daraus kann man ablesen, dass $s=4$ und $t=-17$, tatsächlich ist
-$4\cdot 47-47\cdot 11=188-187=1$.
+$4\cdot 47-17\cdot 11=188-187=1$.
 Wir schliessen daraus, dass $-17=30\in\mathbb{F}_{47}$ die multiplikative
 Inverse von $b=11$ ist.
 Die Rechnung $11\cdot 30 = 330 = 7\cdot 47 + 1$ zeigt, dass dies
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
index 046ac94..deb15dc 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
@@ -65,19 +65,19 @@ Die Gauss-Tableaux sind
 \begin{align*}
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
-   0 & 1 & 1 & 1 &  0\\
-   1 & 1 & 1 & 1 &  0\\
-   0 & 1 & 1 & 0 &  1\\
+   1 & 1 & 0 & 0 &  0\\
+   0 & 1 & 1 & 1 &  1\\
+   1 & 1 & 1 & 1 &  1\\
+   0 & 1 & 1 & 0 &  0\\
 \hline
 \end{tabular}
 &\to
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
-   0 & 1 & 1 & 1 &  0\\
+   1 & 1 & 0 & 0 &  0\\
+   0 & 1 & 1 & 1 &  1\\
    0 & 0 & 1 & 1 &  1\\
-   0 & 1 & 1 & 0 &  1\\
+   0 & 1 & 1 & 0 &  0\\
 \hline
 \end{tabular}
 %\\
@@ -85,8 +85,8 @@ Die Gauss-Tableaux sind
 \to
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
-   0 & 1 & 1 & 1 &  0\\
+   1 & 1 & 0 & 0 &  0\\
+   0 & 1 & 1 & 1 &  1\\
    0 & 0 & 1 & 1 &  1\\
    0 & 0 & 0 & 1 &  1\\
 \hline
@@ -95,8 +95,8 @@ Die Gauss-Tableaux sind
 \to
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
-   0 & 1 & 1 & 0 &  1\\
+   1 & 1 & 0 & 0 &  0\\
+   0 & 1 & 1 & 0 &  0\\
    0 & 0 & 1 & 0 &  0\\
    0 & 0 & 0 & 1 &  1\\
 \hline
@@ -106,8 +106,8 @@ Die Gauss-Tableaux sind
 \to
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
-   0 & 1 & 0 & 0 &  1\\
+   1 & 1 & 0 & 0 &  0\\
+   0 & 1 & 0 & 0 &  0\\
    0 & 0 & 1 & 0 &  0\\
    0 & 0 & 0 & 1 &  1\\
 \hline
@@ -118,7 +118,7 @@ Die Gauss-Tableaux sind
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
    1 & 0 & 0 & 0 &  0\\
-   0 & 1 & 0 & 0 &  1\\
+   0 & 1 & 0 & 0 &  0\\
    0 & 0 & 1 & 0 &  0\\
    0 & 0 & 0 & 1 &  1\\
 \hline
@@ -128,7 +128,7 @@ In der ersten Zeile stehen die Schritt der Vorwärtsreduktion, in der
 zweiten die Schritte des Rückwärtseinsetzens.
 Als Lösung liest man ab
 \[
-x=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1 \end{pmatrix},
+x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1 \end{pmatrix},
 \]
 die Korrektheit kann man leicht durch Einsetzen überprüfen.
 \item
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
index 28f4d2c..65c18a2 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
@@ -1,10 +1,12 @@
-Das Polynom $m(X)=X^2+X+1$ ist als Polynom in $\mathbb{F}_3[X]$ irreduzibel.
+% !TeX spellcheck = de_CH
+Das Polynom $m(X)=X^2+2X+2$ ist als Polynom in $\mathbb{F}_3[X]$ irreduzibel.
 Dies bedeutet, dass der Ring der Polynome $\mathbb{F}_3[X] / (m(X))$ 
-ein Körper ist, man bezeichnet ihn auch mit $\mathbb{F}_3(\alpha)$,
-wobei man sich $\alpha$ als eine Nullstelle von $m(X)$
+ein Körper ist.
+Man bezeichnet ihn auch mit $\mathbb{F}_3(\alpha)$,
+wobei man sich $\alpha$ als Nullstelle von $m(X)$
 oder als die Matrix
 \[
-\alpha = \begin{pmatrix} 0&2\\1&2\end{pmatrix}
+\alpha = \begin{pmatrix} 0&1\\1&1\end{pmatrix}
 \]
 vorstellen kann.
 \begin{teilaufgaben}
@@ -70,17 +72,30 @@ Die Additions- und Multiplikationstabelle von $\mathbb{F}_3$ ist
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 \item
-Wegen $m(\alpha)=\alpha^2+\alpha+1=0$ folgt $\alpha+1+\alpha^{-1}=0$
-oder $\alpha^{-1} = -\alpha - 1 = 2+2\alpha$.
+Aus $m(\alpha)=\alpha^2+2\alpha+2=0$ folgt
+\begin{align*}
+  \alpha + 2 + 2\alpha^{-1} 
+  &=
+  0
+  \\
+  2\alpha^{-1} 
+  &=
+  2\alpha + 1
+  \\
+  \alpha^{-1}
+  &=
+  \alpha + 2
+  .
+\end{align*}
 Als Matrix kann man
 \[
 \alpha^{-1}
 =
-2\alpha + 2
+\alpha + 2
 =
 \begin{pmatrix}
-0&4\\
-2&4
+0&1\\
+1&1
 \end{pmatrix}
 +
 \begin{pmatrix}
@@ -88,10 +103,10 @@ Als Matrix kann man
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-2&4\\2&2
+2&1\\1&3
 \end{pmatrix}
 \equiv
-\begin{pmatrix}2&1\\2&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}
 \mod 3
 \]
 schreiben und durch Nachrechnen verifizieren dass, tatsächlich gilt
@@ -99,17 +114,17 @@ schreiben und durch Nachrechnen verifizieren dass, tatsächlich gilt
 \alpha\alpha^{-1}
 =
 \begin{pmatrix}
-0&2\\
-1&2
+0&1\\
+1&1
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 2&1\\
-2&0
+1&0
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-4&0\\
-6&1
+1&0\\
+3&1
 \end{pmatrix}
 \equiv
 \begin{pmatrix}
@@ -125,9 +140,11 @@ Im ersten Schritt ist es
 \[
 \arraycolsep=1.4pt
 \begin{array}{rcrcrcrcrcr}
- \llap{$($}X^2&+&X&+&1\rlap{$)$}&\;:&(X&+&1)&=&X = q_1\\
-\llap{$-($}X^2&+&X\rlap{$)$}& &  & &  & &  & & \\ \cline{1-3}
-     & &0&+&1 &\rlap{$\mathstrut = r_1$}\phantom{)}& &  & &  & \\
+  \llap{$($}X^2&+&2X&+&2\rlap{$)$}&\;:&(X&+&1)&=&X + 1 = q_1\\
+ \llap{$-($}X^2&+&X\rlap{$)$}& &  & &  & &  & & \\ \cline{1-3}
+     & &X&+&2 & & &  & &  & \\
+ & & \llap{$-($}X&+&1\rlap{$)$} & &  & &  & & \\ \cline{3-5}
+ & & & &1 &\rlap{$\mathstrut = r_1$}\phantom{)}& &  & & &\\
 \end{array}
 \]
 Die nächste Division ist $(X+1) : 1$, die als Quotient $q_2=X+1$ und den
@@ -152,53 +169,77 @@ Q(q_1)
 0&1\\1&2X+2
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
-0&1\\{\color{red}1}&{\color{red}2X}
+0&1\\1&2X+2
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-{\color{red}1}&{\color{red}2X}\\
-2X&X^2+X+1
+1&2X+2\\
+2X+2&X^2+X+2
 \end{pmatrix}.
 \end{align*}
-Die gesuchten Polynome sind $s=1$ und $t=2X$ und man kann nachrechnen,
+Die gesuchten Polynome sind $s=1$ und $t=2X+2$ und man kann nachrechnen,
 dass
 \begin{align*}
 s\cdot m(X) + t\cdot (X+1)
 &=
-X^2+X+1 + 2X\cdot (X+1)
-=
-X^2+X+1 + 2X^2 + 2X
+X^2+2X+2 + (2X+2)\cdot (X+1)
 \\
-&= 3X^2+3X+1\equiv 1 \mod 3.
+&=
+X^2+2X+2 + 2X^2 + 4X + 2
+\\
+&= 3X^2+6X+1\\
+&\equiv 1 \mod 3.
 \end{align*}
 Natürlich kann man $s$ und $t$ auch mit der erweiterten Tabelle
 finden:
 \begin{center}
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
 \hline
-k&    a_k&b_k& q_k&r_k& c_k&     d_k\\
+k&    a_k&b_k & q_k&r_k& c_k&     d_k\\
 \hline
- &       &   &    &   &   1&       0\\
-0&X^2+X+1&X+1& X  &  1&   0&       1\\
-1&    X+1&  1& X+1&  0&{\color{red}   1}&{\color{red}      2X}\\
-2&      1&  0&    &  0&2X+2& 2X^2+2X\\
+ &        &   &    &   &   1&       0\\
+0&X^2+2X+2&X+1& X+1&  1&   0&       1\\
+1&     X+1&  1& X+1&  0&   1&    2X+2\\
+2&       1&  0&    &  0&2X+2&X^2+2X+2\\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
-In allen Fällen ist also $(1+X)^{-1} = 2X$.
+In allen Fällen ist also $(X+1)^{-1} = 2X+2$.
 \item
-Wegen $m(\alpha)=0$ ist $\alpha^2=-\alpha-1=2\alpha+2$ und damit
+Wegen $m(\alpha)=\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ ist
+$\alpha^2=-2\alpha-2=\alpha+1$ und damit
 \begin{align*}
 \alpha^3
 &=
-\alpha\cdot \alpha^2 = \alpha (2\alpha +2) = 
-2\alpha^2 + 2\alpha
-=
-2(\underbrace{\alpha^2 + \alpha + 1}_{\displaystyle=0} + 2)
-=
-2\cdot 2
+\alpha\cdot \alpha^2 = \alpha (\alpha +1) = 
+\alpha^2 + \alpha
 =
-1.
+2\alpha+1
+.
+\end{align*}
+Die restlichen Potenzen von $\alpha$ sind
+\begin{align*}
+  \alpha^4
+  &=
+  \alpha (2\alpha+1)
+  = 2\alpha^2 + \alpha
+  = 2\alpha + 2 + \alpha = 2
+  \\
+  \alpha^5
+  &=
+  2\alpha
+  \\
+  \alpha^6
+  &=
+  2\alpha^2
+  =
+  2\alpha + 2
+  \\
+  \alpha^7
+  &=
+  2\alpha^2 + 2\alpha
+  =
+  \alpha + 2
 \qedhere
 \end{align*}
 \end{teilaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
index 02429dc..600336c 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
@@ -731,7 +731,7 @@ dass
 sf+tm=1.
 \]
 Reduzieren wir modulo $m$, wird daraus $af=1$ in $\Bbbk[X]/m\Bbbk[X]$.
-Das Polynom $a$, reduziert module $m$, ist also die multiplikative
+Das Polynom $a$, reduziert modulo $m$, ist also die multiplikative
 Inverse von $f$.
 
 Bei der praktischen Durchführung des euklidischen Algorithmus ist der 
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc b/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc
index b15f476..5f30ab5 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc
@@ -12,4 +12,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex			\
 	chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex			\
 	chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex			\
+	chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex			\
+	chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4004.tex			\
+	chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex			\
 	chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
index e769b38..24ea57d 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
@@ -34,8 +34,8 @@ Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben.
 \input{chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex}
 \input{chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex}
 \input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex}
-\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex}
 \input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex}
+%\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex}
 
 \section*{Übungsaufgaben}
 \rhead{Übungsaufgaben}
@@ -44,5 +44,8 @@ Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben.
 \uebungsaufgabe{4001}
 \uebungsaufgabe{4002}
 \uebungsaufgabe{4003}
+\uebungsaufgabe{4004}
+\uebungsaufgabe{4005}
+\uebungsaufgabe{4006}
 \end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex
index d984452..69618a9 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex
@@ -16,6 +16,36 @@ gestreckt werden.
 Gelingt es, eine Basis aus solchen sogenanten {\em Eigenvektoren} zu finden,
 dann kann man die Matrix $A$ durch Basiswechsel in diese Form bringen.
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.pdf}
+\caption{Iterierte Kerne und Bilder einer $3\times 3$-Matrix mit Rang~2.
+Die abnehmend geschachtelten iterierten Bilder
+$\mathcal{J}^1(A) \subset \mathcal{J}^2(A)$
+sind links dargestellt, die zunehmen geschachtelten iterierten Kerne
+$\mathcal{K}^1(A) \subset \mathcal{K}^2(A)$ rechts.
+\label{buch:eigenwerte:img:kernbild}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.pdf}
+\caption{Iterierte Kerne und Bilder einer $3\times 3$-Matrix mit Rang~2.
+Da $\dim\mathcal{J}^2(A)=1$ und $\dim\mathcal{J}^1(A)=2$ ist, muss es
+einen Vektor in $\mathcal{J}^1(A)$ geben, der von $A$ auf $0$ abgebildet
+wird, der also auch im Kern $\mathcal{K}^1(A)$ liegt.
+Daher ist $\mathcal{K}^1(A)$ die Schnittgerade von $\mathcal{J}^1(A)$ und
+$\mathcal{K}^2(A)$.
+Man kann auch gut erkennen, dass
+$\mathbb{R}^3
+=
+\mathcal{K}^1(A)\oplus \mathcal{J}^1(A)
+=
+\mathcal{K}^2(A) \oplus \mathcal{J}^2(A)$
+ist.
+\label{buch:eigenwerte:img:kombiniert}}
+\end{figure}
+
 %
 % Kern und Bild von Matrixpotenzen
 %
@@ -183,6 +213,24 @@ Somit können sich $\mathcal{K}^i(A)$ und $\mathcal{J}^i(A)$ für $i>n$
 nicht mehr ändern.
 \end{proof}
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.pdf}
+\caption{Entwicklung der Dimension von $\dim\mathcal{K}^k(A)$ (grün)
+und $\dim\mathcal{J}^k(A)$ (orange) in Abhängigkeit vom Exponenten $k$.
+Für $k\ge l$ ändern sich die Dimensionen nicht mehr, $A$ eingeschränkt
+auf $\mathcal{J}^l(A)=\mathcal{J}(A)$ ist injektiv.
+\label{buch:eigenwerte:fig:dimjk}}
+\end{figure}
+
+Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:dimjk} zeigt die Abhängigkeit der
+Dimensionen $\dim\mathcal{K}^k(A)$ und $\dim\mathcal{J}^k(A)$ von $k$.
+Die Dimension $\dim\mathcal{J}^k(A)$ nimmt ab bis zu $k=l$, danach ändert
+sie sich nicht mehr und die Einschränkung von $A$ auf $\mathcal{J}^l(A)$ 
+ist injektiv.
+Die Dimension $\dim\mathcal{K}^k(A)$ nimmt zu bis zu $k=l$, danach
+ändert sie sich nicht mehr.
+
 \begin{definition}
 \label{buch:eigenwerte:def:KundJ}
 Die gemäss Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:ketten} identischen Unterräume
@@ -198,6 +246,7 @@ $\mathcal{J}^i(A)$ für $i\ge k$ werden mit
 bezeichnet.
 \end{definition}
 
+
 %
 % Inveriante Unterräume
 %
@@ -369,6 +418,7 @@ Mit vollständiger Induktion folgt, dass $a_{ij}^s=0$ für $i+s>j$.
 Insbesondere ist $A^n=0$, die Matrix $A$ ist nilpotent.
 \end{beispiel}
 
+
 Man kann die Konstruktion der Unterräume $\mathcal{K}^i(A)$ weiter
 dazu verwenden, eine Basis zu finden, in der eine nilpotente Matrix
 eine besonders einfach Form erhält.
@@ -457,6 +507,178 @@ Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:allgnilpotent} kann man in
 $\mathcal{K}(A)$ eine Basis so wählen, dass die Matrix die Blockform
 \eqref{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} erhält.
 
+
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf}
+\caption{Entwicklung der Dimensionen von Kern und Bild von $A^k$ in
+Abhängigkeit von $k$
+\label{buch:eigenwte:fig:jknilp}}
+\end{figure}
+
+\begin{beispiel}
+In der Abbildung~\ref{buch:eigenwte:fig:jknilp} sind die Dimensionen
+von Kern und Bild der Matrix
+\[
+\setcounter{MaxMatrixCols}{12}
+A=\begin{pmatrix}
+0& & & & & & & & & & & \\
+ &0& & & & & & & & & & \\
+ & &0& & & & & & & & & \\
+ & & &0& & & & & & & & \\
+ & & & &0&1& & & & & & \\
+ & & & & &0& & & & & & \\
+ & & & & & &0&1& & & & \\
+ & & & & & & &0&1& & & \\
+ & & & & & & & &0&1& & \\
+ & & & & & & & & &0&1& \\
+ & & & & & & & & & &0&
+\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt.
+Die Matrix $A^k$ ist in den kleinen Quadraten am unteren Rand der Matrix
+symbolisch dargestellt.
+Grüne Spalten bestehen aus lauter Nullen, die zugehörigen
+Standardbasisvektoren werden von diesem $A^k$ auf $0$ abgebildet.
+Die orangen Felder enthalten Einsen, die entsprechenden Standardbasisvektoren
+bilden daher eine Basis des Bildes von $A^k$.
+\end{beispiel}
+
+%
+% Basis für die Jordan-Normalform einer nilpotenten Matrix
+%
+\subsection{Basis für die Normalform einer nilpotenten Matrix bestimmen
+\label{buch:subsection:normalform-einer-nilpotenten-matrix}}
+Die Zerlegung in die invarianten Unterräume $\mathcal{J}^k(f)$ und
+$\mathcal{K}^k(f)$ ermöglichen, eine Basis zu finden, in der die
+Matrix von $f$ die Blockform \eqref{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent}
+hat.
+In diesem Abschnitt soll die Konstruktion einer solchen Basis
+etwas ausführlicher beschrieben werden.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/normalform.pdf}
+\caption{Konstruktion der Basis für die Jordansche Normalform einer
+nilpotenten Matrix.
+Die Vektoren werden in der Reihenfolge von rechts nach links in die
+Matrix gefüllt.
+\label{buch:eigenwerte:fig:normalform}}
+\end{figure}
+
+Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:normalform} illustriert den Prozess
+an einer nilpotenten Matrix $A$ mit $A^3=0$
+Die vertikalen Rechtecke im linken Teil der Abbildung symbolisieren
+die Unterräume $\mathcal{K}^k(A)$.
+Es ist bekannt, dass $\mathcal{K}^k(A) \subset \mathcal{K}^{k+1}(A)$ ist,
+die Einbettung wird in der Abbildung durch graue Rechtecke dargestellt.
+Es sei wieder $l$ der Exponent, für den $\mathcal{K}^l(A)=\Bbbk^n$ wird.
+Da $\mathcal{K}^{l-1}(A)\ne \mathcal{K}^l(A)$ ist, muss es einen
+komplementären Unterraum geben, in dem eine Basis gewählt wird.
+Jeder der Vektoren $b_1,\dots,b_s$ dieser Basis gibt Anlass zu einem
+Block der Form $N_l$, der auf dem Unterraum 
+$\langle b_i,Ab_i,\dots,A^{l-1}b_i\rangle$ operiert.
+In der Abbildung ist $b_i$ durch einen roten Punkt symbolisiert und
+die Bilder $Ab_i,\dots,A^{l-1}b_i$ werden durch blaue Pfeile untereinander
+verbunden.
+
+Der Raum $\mathcal{K}^{l-1}(A)$ enthält dann $\mathcal{K}^{l-2}(A)$ und
+die Vektoren $Ab_1,\dots,Ab_s$.
+Es ist aber möglich, dass diese Vektoren nicht den ganzen Raum
+$\mathcal{K}^{l-1}(A)$ erzeugen.
+In diesem Fall lassen sich die Vektoren mit Hilfe weiterer Vektoren
+$b_{s+1},\dots,b_{s+r}$ zu einer Basisi von $\mathcal{K}^{l-1}(A)$
+ergänzen.
+Wie vorhin gibt jeder der Vektoren $b_{s+i}$ Anlass zu einem Block
+der Form $N_{l-1}$, der auf dem Unterraum
+$\langle b_{s+i},Ab_{s+i}\dots,A^{l-2}b_{s+i}\rangle$
+operiert.
+
+Durch Wiederholung dieses Prozesses können schrittweise Basisvektoren
+$b_i$ erzeugt werden.
+Die Matrix der Abbildung $f$ in der Basis $\{b_i,Ab_i,\dots,A^kb_i\}$
+ist ein Block der Form $N_k$.
+Für $0\le k\le l-1$ sind die Vektoren $A^kb_i$,
+solange sie von $0$ verschieden sind,
+alle nach Konstruktion linear unabhängig, sie bilden eine Basis
+von $\mathcal{K}^l(A)=\mathbb{R}^n$.
+
+\begin{beispiel}
+Die Basis für die Zerlegung der Matrix
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix*}[r]
+  3& 1&-2\\
+-21&-7&14\\
+ -6&-2& 4
+\end{pmatrix*}
+\]
+in Blockform soll nach der oben beschriebenen Methode ermittelt werden.
+Zunächst kann man nachrechnen, dass $A^2=0$ ist.
+Der Kern von $A$ ist der Lösungsraum der Gleichung $Ax=0$, da alle Zeilen
+Vielfache der ersten Zeile sind, recht es zu verlangen, dass die
+Komponenten $x_i$ der Lösung die Gleichung
+\[
+3x_1+x_2-2x_3=0
+\]
+erfüllen.
+Jetzt muss ein Vektor $b_1$ ausserhalb von $\mathbb{L}$ gefunden werden,
+der erste Standardbasisvektor $e_1$ kann dazu verwendet werden.
+Es ist auch klar, dass $Ae_1\ne 0$ ist.
+Wir verwenden daher die beiden Vektoren 
+\[
+b_3=e_1=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}
+,\qquad
+b_2=Ab_3=\begin{pmatrix*}[r] 3\\-21\\-6 \end{pmatrix*},
+\]
+in dieser Basis hat $A$ die Matrix $N_2$.
+Jetzt muss noch ein Basisvektor $b_1$ gefunden werden,
+der in $\ker A=\mathbb{L}$ liegt und so, dass $b_1$ und $b_2$ 
+linear unabhängig sind.
+Die zweite Bedingung kann leicht dadurch sichergestellt werden,
+dass man die erste Komponente von $b_1$ als $0$ wählt.
+Eine mögliche Lösung ist dann
+\[
+b_1=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}
+\]
+Die Matrix 
+\[
+B=\begin{pmatrix*}[r]
+ 0& 1&   3\\
+ 2& 0& -21\\
+ 1& 0&  -6
+\end{pmatrix*}
+\qquad\text{mit Inverser}
+\qquad
+B^{-1}=\begin{pmatrix*}[r]
+0&-\frac23& \frac73\\
+0&-\frac19& \frac29\\
+1& \frac13&-\frac23
+\end{pmatrix*}
+\]
+transformiert die Matrix $A$ auf den Block $N_3$:
+\[
+B^{-1}AB
+=
+B^{-1}\begin{pmatrix*}[r]
+0&0&  3\\
+0&0&-21\\
+0&0& -6
+\end{pmatrix*}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&1\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+N_3.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
 %
 % Begriff des Eigenwertes und Eigenvektors
 %
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile
index db00dac..54b36d5 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile
@@ -3,7 +3,9 @@
 #
 # (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rappersil
 #
-all:	sp.pdf   nilpotent.pdf
+all:	sp.pdf nilpotent.pdf kernbild.pdf kombiniert.pdf \
+	wurzelapprox.pdf wurzel.pdf dimjk.pdf jknilp.pdf \
+	normalform.pdf minmax.pdf
 
 sp.pdf:	sp.tex sppaths.tex
 	pdflatex sp.tex
@@ -14,3 +16,29 @@ sppaths.tex:	spbeispiel.m
 nilpotent.pdf:	nilpotent.tex
 	pdflatex nilpotent.tex
 
+kernbild.pdf:	kernbild.tex bild2.jpg kern2.jpg
+	pdflatex kernbild.tex
+
+kombiniert.pdf:	kombiniert.tex kombiniert.jpg
+	pdflatex kombiniert.tex
+
+wurzelapprox.pdf:	wurzelapprox.tex wa.tex
+	pdflatex wurzelapprox.tex
+
+wa.tex:	wa.m
+	octave wa.m
+
+wurzel.pdf:	wurzel.tex
+	pdflatex wurzel.tex
+
+dimjk.pdf:	dimjk.tex
+	pdflatex dimjk.tex
+
+jknilp.pdf:	jknilp.tex
+	pdflatex jknilp.tex
+
+normalform.pdf:	normalform.tex
+	pdflatex normalform.tex
+
+minmax.pdf:	minmax.tex
+	pdflatex minmax.tex
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild1.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild1.jpg
new file mode 100644
index 0000000..879fae8
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild1.jpg
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild2.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild2.jpg
new file mode 100644
index 0000000..2597c95
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild2.jpg
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.pdf
new file mode 100644
index 0000000..fcfe4da
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.tex
new file mode 100644
index 0000000..28e0f9f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.tex
@@ -0,0 +1,78 @@
+%
+% dimjk.tex -- dimensionen von K^l und J^l
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1.2}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\pfad{
+        ({0*\sx},{6-6}) --
+        ({1*\sx},{6-4.5}) --
+        ({2*\sx},{6-3.5}) --
+        ({3*\sx},{6-2.9}) --
+        ({4*\sx},{6-2.6}) --
+        ({5*\sx},{6-2.4}) --
+        ({8*\sx},{6-2.4})
+}
+\def\sx{1.2}
+
+\fill[color=orange!20] \pfad -- ({6*\sx},6) -- (0,6) -- cycle;
+\fill[color=darkgreen!20] \pfad -- ({6*\sx},0) -- cycle;
+
+\fill[color=orange!40] ({5*\sx},6) rectangle ({8*\sx},{6-2.4});
+\fill[color=darkgreen!40] ({5*\sx},0) rectangle ({8*\sx},{6-2.4});
+
+\draw[color=darkgreen,line width=2pt] ({3*\sx},{6-6}) -- ({3*\sx},{6-2.9});
+\node[color=darkgreen] at ({3*\sx},{6-4.45}) [rotate=90,above] {$\dim\mathcal{K}^k(A)$};
+\draw[color=orange,line width=2pt] ({3*\sx},{6-0}) -- ({3*\sx},{6-2.9});
+\node[color=orange] at ({3*\sx},{6-1.45}) [rotate=90,above] {$\dim\mathcal{J}^k(A)$};
+
+\node[color=orange] at ({6.5*\sx},{6-1.2}) {bijektiv};
+\node[color=darkgreen] at ({6.5*\sx},{6-4.2}) {konstant};
+
+\fill ({0*\sx},{6-6}) circle[radius=0.08];
+\fill ({1*\sx},{6-4.5}) circle[radius=0.08];
+\fill ({2*\sx},{6-3.5}) circle[radius=0.08];
+\fill ({3*\sx},{6-2.9}) circle[radius=0.08];
+\fill ({4*\sx},{6-2.6}) circle[radius=0.08];
+\fill ({5*\sx},{6-2.4}) circle[radius=0.08];
+\fill ({6*\sx},{6-2.4}) circle[radius=0.08];
+\fill ({7*\sx},{6-2.4}) circle[radius=0.08];
+\fill ({8*\sx},{6-2.4}) circle[radius=0.08];
+
+\draw \pfad;
+
+\draw[->] (-0.5,0) -- ({8*\sx+0.5},0) coordinate[label={$k$}];
+\draw[->] (-0.5,6) -- ({8*\sx+0.5},6);
+
+\foreach \x in {0,...,8}{
+        \draw ({\x*\sx},-0.05) -- ({\x*\sx},0.05);
+}
+\foreach \x in {0,...,3}{
+        \node at ({\x*\sx},-0.05) [below] {$\x$};
+}
+\node at ({4*\sx},-0.05) [below] {$\dots\mathstrut$};
+\node at ({5*\sx},-0.05) [below] {$l$};
+\node at ({6*\sx},-0.05) [below] {$l+1$};
+\node at ({7*\sx},-0.05) [below] {$l+2$};
+\node at ({8*\sx},-0.05) [below] {$l+3$};
+
+\node[color=orange] at ({1.2*\sx},5.6)
+	{$\mathcal{J}^k(A)\supset\mathcal{J}^{k+1}(A)$};
+\node[color=darkgreen] at ({1.2*\sx},0.4)
+	{$\mathcal{K}^k(A)\subset\mathcal{K}^{k+1}(A)$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/drei.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/drei.jpg
new file mode 100644
index 0000000..35f9034
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/drei.jpg
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9293263
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.tex
new file mode 100644
index 0000000..e8e8e14
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.tex
@@ -0,0 +1,181 @@
+%
+% jknilp.tex -- Dimensionen von K^l und J^l für nilpotente Matrizen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\s{0.15}
+\def\punkt#1#2{({#1*\s},{#2*\s})}
+
+\def\vektor#1{
+	\fill[color=darkgreen!30] \punkt{#1}{0} rectangle \punkt{(#1+1)}{12};
+}
+\def\feld#1#2{
+	\fill[color=orange!60] ({#1*\s},{(12-#2)*\s}) rectangle
+		({(#1+1)*\s},{(11-#2)*\s});
+}
+
+\def\quadrat#1{
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{12}{12};
+
+	\draw \punkt{0}{11} -- \punkt{2}{11} -- \punkt{2}{9} -- \punkt{4}{9}
+		-- \punkt{4}{6} -- \punkt{12}{6};
+
+	\draw \punkt{1}{12} -- \punkt{1}{10} -- \punkt{3}{10}
+		-- \punkt{3}{8} -- \punkt{6}{8} -- \punkt{6}{0};
+	\node at ({6*\s},0) [below] {#1\strut};
+}
+
+\begin{scope}[xshift=-0.9cm,yshift=-3cm]
+\foreach \n in {0,...,11}{
+	\feld{\n}{\n}
+}
+\quadrat{$A^0=I$}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=1.1cm,yshift=-3cm]
+\vektor{0}
+\vektor{1}
+\vektor{2}
+\vektor{3}
+\vektor{4}
+\vektor{6}
+\feld{5}{4}
+\feld{7}{6}
+\feld{8}{7}
+\feld{9}{8}
+\feld{10}{9}
+\feld{11}{10}
+\quadrat{$A$}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3.1cm,yshift=-3cm]
+\vektor{0}
+\vektor{1}
+\vektor{2}
+\vektor{3}
+\vektor{4}
+\vektor{5}
+\vektor{6}
+\vektor{7}
+\feld{8}{6}
+\feld{9}{7}
+\feld{10}{8}
+\feld{11}{9}
+\quadrat{$A^2$}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=5.1cm,yshift=-3cm]
+\vektor{0}
+\vektor{1}
+\vektor{2}
+\vektor{3}
+\vektor{4}
+\vektor{5}
+\vektor{6}
+\vektor{7}
+\vektor{8}
+\feld{9}{6}
+\feld{10}{7}
+\feld{11}{8}
+\quadrat{$A^3$}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=7.1cm,yshift=-3cm]
+\vektor{0}
+\vektor{1}
+\vektor{2}
+\vektor{3}
+\vektor{4}
+\vektor{5}
+\vektor{6}
+\vektor{7}
+\vektor{8}
+\vektor{9}
+\feld{10}{6}
+\feld{11}{7}
+\quadrat{$A^4$}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=9.1cm,yshift=-3cm]
+\vektor{0}
+\vektor{1}
+\vektor{2}
+\vektor{3}
+\vektor{4}
+\vektor{5}
+\vektor{6}
+\vektor{7}
+\vektor{8}
+\vektor{9}
+\vektor{10}
+\feld{11}{6}
+\quadrat{$A^5$}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=11.1cm,yshift=-3cm]
+\vektor{0}
+\vektor{1}
+\vektor{2}
+\vektor{3}
+\vektor{4}
+\vektor{5}
+\vektor{6}
+\vektor{7}
+\vektor{8}
+\vektor{9}
+\vektor{10}
+\vektor{11}
+\quadrat{$A^6$}
+\end{scope}
+
+\def\pfad{
+	(0,0) -- (2,3) -- (4,4) -- (6,4.5) -- (8,5) -- (10,5.5) -- (12,6)
+}
+
+
+\fill[color=orange!20] \pfad -- (-1,6) -- (-1,0) -- cycle;
+\fill[color=darkgreen!20] \pfad -- (13,6) -- (13,0) -- cycle;
+\draw[line width=1.3pt] \pfad;
+
+\fill (0,0) circle[radius=0.08];
+\fill (2,3) circle[radius=0.08];
+\fill (4,4) circle[radius=0.08];
+\fill (6,4.5) circle[radius=0.08];
+\fill (8,5) circle[radius=0.08];
+\fill (10,5.5) circle[radius=0.08];
+\fill (12,6) circle[radius=0.08];
+
+\foreach \y in {0.5,1,...,5.5}{
+	\draw[line width=0.3pt] (-1.1,\y) -- (13.0,\y);
+}
+\foreach \y in {0,2,4,...,12}{
+	\node at (-1.1,{\y*0.5}) [left] {$\y$};
+}
+\foreach \x in {0,...,6}{
+	\draw ({2*\x},0) -- ({2*\x},-1.2);
+	\node at ({2*\x},-0.6) [above,rotate=90] {$k=\x$};
+}
+
+\draw[->] (-1.1,0) -- (13.4,0) coordinate[label={$k$}];
+\draw[->] (-1.1,6) -- (13.4,6);
+\draw[->] (-1.0,0) -- (-1.0,6.5);
+
+\node[color=darkgreen] at (8,1.95) [above] {$\dim \mathcal{K}^k(A)$};
+\node[color=orange] at (2,4.95) [above] {$\dim \mathcal{J}^k(A)$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern1.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern1.jpg
new file mode 100644
index 0000000..5c99664
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern1.jpg
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern2.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern2.jpg
new file mode 100644
index 0000000..87d18ac
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern2.jpg
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.pdf
new file mode 100644
index 0000000..2a321b2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.tex
new file mode 100644
index 0000000..4eced84
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.tex
@@ -0,0 +1,40 @@
+%
+% kernbild.tex -- Kern und Bild einer Matrix
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.4,0}
+\definecolor{turqoise}{rgb}{0,0.3,0.6}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\begin{scope}[xshift=-3.5cm]
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.8cm]{bild2.jpg}};
+
+\fill[color=white,opacity=0.8] (-3,-2.75) rectangle (-2,-2.3);
+\node[color=orange] at (-2.5,-2.5) {$\mathcal{J}^1(A)$};
+\node at (3.3,0) {$x_1$};
+\node at (0.3,3.2) {$x_3$};
+\node[color=purple] at (2.3,0.6) [rotate=8] {$\mathcal{J}^2(A)$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3.5cm]
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.8cm]{kern2.jpg}};
+\node[color=darkgreen] at (1.8,2.2) [rotate=58] {$\mathcal{K}^1(A)$};
+\fill[color=white,opacity=0.8] (-1.5,0.8) rectangle (-0.5,1.2);
+\node[color=turqoise] at (-1,1) {$\mathcal{K}^2(A)$};
+\node at (3.3,0) {$x_1$};
+\node at (0.3,3.2) {$x_3$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild1.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild1.jpg
new file mode 100644
index 0000000..87e874e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild1.jpg
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild2.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild2.jpg
new file mode 100644
index 0000000..1160b31
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild2.jpg
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.jpg
new file mode 100644
index 0000000..bebc36f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.jpg
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.pdf
new file mode 100644
index 0000000..91cee0b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.tex
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index 0000000..d850c64
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.tex
@@ -0,0 +1,48 @@
+%
+% kombiniert.tex -- Iterierte Kerne und Bilder
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.4,0}
+\definecolor{turqoise}{rgb}{0,0.3,0.6}
+\def\skala{1}
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{7}
+\def\hoehe{7}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=13.8cm]{kombiniert.jpg}};
+
+\node at (6.6,-0.1) {$x_1$};
+\node at (0.3,6.7) {$x_3$};
+
+\node[color=purple] at (4.8,1) [rotate=8] {$\mathcal{J}^2(A)$};
+\node[color=darkgreen] at (3.5,4.6) [rotate=58] {$\mathcal{K}^1(A)$};
+
+\fill[color=white,opacity=0.8] (-2.3,3.8) rectangle (-1.3,4.2);
+\node[color=turqoise] at (-1.8,4) {$\mathcal{K}^2(A)$};
+
+\fill[color=white,opacity=0.8] (2.5,-5.75) rectangle (3.5,-5.3);
+\node[color=orange] at (3,-5.5) {$\mathcal{J}^1(A)$};
+
+%\node at G
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.pdf
new file mode 100644
index 0000000..46ed28a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.tex
new file mode 100644
index 0000000..f661d5b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.tex
@@ -0,0 +1,134 @@
+%
+% minmax.tex -- minimum und maximum
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0}
+
+\def\mittellinie{
+	plot[domain=0:6.2832,samples=400]
+		({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))})
+}
+
+\begin{scope}
+	\fill[color=darkgreen!20]
+		plot[domain=0:6.2832,samples=360]
+			({\x},{sin(180*\x/3.1415)})
+		--
+		plot[domain=6.2832:0,samples=360]
+			({\x},{cos(180*\x/3.1415)})
+		-- cycle;
+	\foreach \x in {0.5,1,...,6}{
+		\draw[color=darkgreen]
+			({\x},{sin(180*\x/3.1415)})
+			--
+			({\x},{cos(180*\x/3.1415)});
+	}
+
+	\node[color=darkgreen] at (2,-0.8) [left] {$|f(x)-g(x)|$};
+	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (2,-0.8) -- (2.5,-0.7);
+
+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] plot[domain=0:6.29,samples=360]
+		({\x},{sin(180*\x/3.1415)});
+	\draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=0:6.29,samples=360]
+		({\x},{cos(180*\x/3.1415)});
+	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;
+	\node[color=purple!50] at (6.2832,0.5) [right] {$\frac12(f(x)+g(x))$};
+
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={below:$x$}];
+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}];
+
+
+	\xdef\x{2}
+	\node[color=blue] at (\x,{sin(180*\x/3.1415)}) [above right] {$f(x)$};
+	\pgfmathparse{2.5*3.14159-\x}
+	\xdef\x{\pgfmathresult}
+	\node[color=red] at (\x,{cos(180*\x/3.1415)}) [above left] {$g(x)$};
+
+\end{scope}
+
+\draw[->,line width=4pt,color=gray!40] ({3.1415-1},-1.3) -- ({3.1415-2.3},-3);
+\draw[->,line width=4pt,color=gray!40] ({3.1415+1},-1.3) -- ({3.1415+2.3},-3);
+
+\node at ({3.1415-1.75},-2.15) [left] {$\frac12(f(x)+g(x))+\frac12|f(x)-g(x)|$};
+\node at ({3.1415+1.75},-2.15) [right] {$\frac12(f(x)+g(x))-\frac12|f(x)-g(x)|$};
+
+\def\s{(-0.1)}
+
+\begin{scope}[xshift=-3.4cm,yshift=-4.6cm]
+	\fill[color=darkgreen!20]
+		\mittellinie
+		--
+		plot[domain=6.2832:0,samples=400]
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})
+		-- cycle;
+	\foreach \x in {0.5,1,...,6}{
+		\draw[color=darkgreen]
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})
+			--
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))});
+	}
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]
+		plot[domain=6.2832:0,samples=400]
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))});
+
+	\node[color=darkgreen] at (2,-0.3) [left] {$|f(x)-g(x)|$};
+	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (2,-0.3) -- (2.5,0.2);
+
+	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;
+	\pgfmathparse{0.75*3.1415+\s}
+	\xdef\x{\pgfmathresult}
+	\node[color=darkgreen] at (\x,{sin(180*\x/3.1415)}) [above right]
+		{$\max(f(x),g(x))$};
+	\node[color=purple!50] at ({1.25*3.1415},-0.7) [below]
+		{$\frac12(f(x)+g(x))$};
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}];
+\end{scope}
+
+
+\begin{scope}[xshift=+3.4cm,yshift=-4.6cm]
+	\fill[color=darkgreen!20]
+		\mittellinie
+		--
+		plot[domain=6.2832:0,samples=400]
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})
+		-- cycle;
+	\foreach \x in {0.5,1,...,6}{
+		\draw[color=darkgreen]
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})
+			--
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))});
+	}
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]
+		plot[domain=6.2832:0,samples=400]
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))});
+
+	\node[color=darkgreen] at (3,0.3) [right] {$|f(x)-g(x)|$};
+	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (3,0.3) -- (2.5,-0.4);
+
+	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;
+	\pgfmathparse{0.75*3.1415-\s}
+	\xdef\x{\pgfmathresult}
+	\node[color=darkgreen] at (\x,{cos(180*\x/3.1415)}) [below left]
+		{$\min(f(x),g(x))$};
+	\node[color=purple!50] at ({0.25*3.1415},0.7) [above right]
+		{$\frac12(f(x)+g(x))$};
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}];
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c5bdb61
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.tex
new file mode 100644
index 0000000..f3cb532
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.tex
@@ -0,0 +1,214 @@
+%
+% normalform.tex -- Normalform einer Matrix ermitteln
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\b{0.025}
+
+\def\s{2.5}
+\def\t{0.7}
+\def\T{0.5}
+
+\fill[color=darkgreen!20]
+	({-3*\s-0.5*\t},{8*\t})
+	--
+	({-3*\s+0.5*\t},{8*\t})
+	--
+	({-2*\s-0.5*\t},{7*\t})
+	--
+	({-2*\s+0.5*\t},{7*\t})
+	--
+	({-1*\s-0.5*\t},{4*\t})
+	--
+	({-1*\s+0.5*\t},{4*\t})
+	--
+	({-0.5*\t},0)
+	--
+	({-3*\s-0.5*\t},{0*\t})
+	-- cycle;
+
+
+\fill[color=white,rounded corners=3pt]
+	({-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({0.5*\t+\b},{\b+0.15});
+\draw[rounded corners=3pt]
+	({-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({0.5*\t+\b},{\b+0.15});
+\node at (0,0) [below] {$\mathcal{K}^0(A)$};
+
+\fill[color=white,rounded corners=3pt]
+	({-1*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t+\b},{4*\t+\b});
+\draw[rounded corners=3pt]
+	({-1*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t+\b},{4*\t+\b});
+\fill[color=blue!20,rounded corners=2pt] 
+	({-1*\s-0.5*\t+\b},{1*\t+\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{3*\t-\b});
+\draw[color=blue!40,rounded corners=2pt] 
+	({-1*\s-0.5*\t+\b},{1*\t+\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{3*\t-\b});
+\fill[color=blue!20,rounded corners=2pt] 
+	({-1*\s-0.5*\t+\b},{3*\t+\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{4*\t-\b});
+\draw[color=blue!40,rounded corners=2pt] 
+	({-1*\s-0.5*\t+\b},{3*\t+\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{4*\t-\b});
+\fill[color=red!20,rounded corners=2pt]
+	({-1*\s-0.5*\t+\b},{\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{1*\t-\b});
+\draw[color=red,rounded corners=2pt]
+	({-1*\s-0.5*\t+\b},{\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{1*\t-\b});
+\fill[color=red] ({-1*\s},{0.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\fill[color=red,opacity=0.5] ({-1*\s},{1.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\fill[color=red,opacity=0.5] ({-1*\s},{2.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\fill[color=red,opacity=0.5] ({-1*\s},{3.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\node at ({-1*\s},0) [below] {$\mathcal{K}^1(A)$};
+
+\fill[color=white,rounded corners=3pt]
+	({-2*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t+\b},{7*\t+\b});
+\draw[rounded corners=3pt]
+	({-2*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t+\b},{7*\t+\b});
+\fill[color=gray!20,rounded corners=2pt]
+	({-2*\s-0.5*\t+\b},{+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{4*\t-\b});
+\draw[color=gray,rounded corners=2pt]
+	({-2*\s-0.5*\t+\b},{+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{4*\t-\b});
+\node[color=black!70] at ({-2*\s},{2*\t}) [rotate=90] {$\mathcal{K}^1(A)$};
+\fill[color=red!20,rounded corners=2pt]
+	({-2*\s-0.5*\t+\b},{4*\t+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{6*\t-\b});
+\draw[color=red,rounded corners=2pt]
+	({-2*\s-0.5*\t+\b},{4*\t+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{6*\t-\b});
+\fill[color=blue!20,rounded corners=2pt] 
+	({-2*\s-0.5*\t+\b},{6*\t+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{7*\t-\b});
+\draw[color=blue!40,rounded corners=2pt] 
+	({-2*\s-0.5*\t+\b},{6*\t+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{7*\t-\b});
+\fill[color=red] ({-2*\s},{4.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\fill[color=red] ({-2*\s},{5.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\fill[color=red,opacity=0.5] ({-2*\s},{6.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\draw[->,color=blue,line width=1.2pt,shorten >= 0.15cm,shorten <= 0.15cm]
+	({-2*\s},{6.5*\t}) -- ({-1*\s},{3.5*\t});
+\draw[->,color=blue,line width=1.2pt,shorten >= 0.15cm,shorten <= 0.15cm]
+	({-2*\s},{5.5*\t}) -- ({-1*\s},{2.5*\t});
+\draw[->,color=blue,line width=1.2pt,shorten >= 0.15cm,shorten <= 0.15cm]
+	({-2*\s},{4.5*\t}) -- ({-1*\s},{1.5*\t});
+\node at ({-2*\s},0) [below] {$\mathcal{K}^2(A)$};
+
+\fill[color=white,rounded corners=3pt]
+	({-3*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t+\b},{8*\t+\b});
+\draw[rounded corners=3pt]
+	({-3*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t+\b},{8*\t+\b});
+\fill[color=gray!20,rounded corners=2pt]
+	({-3*\s-0.5*\t+\b},{+\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t-\b},{7*\t-\b});
+\draw[color=gray,rounded corners=2pt]
+	({-3*\s-0.5*\t+\b},{+\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t-\b},{7*\t-\b});
+\node[color=black!70] at ({-3*\s},{3.5*\t}) [rotate=90] {$\mathcal{K}^2(A)$};
+\fill[color=red!20,rounded corners=2pt]
+	({-3*\s-0.5*\t+\b},{7*\t+\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t-\b},{8*\t-\b});
+\draw[color=red,rounded corners=2pt]
+	({-3*\s-0.5*\t+\b},{7*\t+\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t-\b},{8*\t-\b});
+\fill[color=red] ({-3*\s},{7.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\draw[->,color=blue,line width=1.2pt,shorten >= 0.15cm,shorten <= 0.15cm]
+	({-3*\s},{7.5*\t}) -- ({-2*\s},{6.5*\t});
+\node at ({-3*\s},0) [below] {$\mathcal{K}^3(A)$};
+
+\def\xo{1}
+\def\yo{-1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	({\xo+(#1)*\T},{\yo-(#2)*\T})
+}
+
+\fill[color=red!20] \punkt{0}{0} rectangle \punkt{1}{8};
+\fill[color=red!20] \punkt{2}{0} rectangle \punkt{3}{8};
+\fill[color=red!20] \punkt{4}{0} rectangle \punkt{5}{8};
+\fill[color=red!20] \punkt{7}{0} rectangle \punkt{8}{8};
+
+\fill[color=blue!20] \punkt{2}{1} rectangle \punkt{3}{2};
+\fill[color=blue!20] \punkt{4}{3} rectangle \punkt{5}{4};
+\fill[color=blue!20] \punkt{6}{5} rectangle \punkt{7}{6};
+\fill[color=blue!20] \punkt{7}{6} rectangle \punkt{8}{7};
+
+\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{8};
+
+\draw[color=gray] \punkt{0}{1} -- \punkt{3}{1} -- \punkt{3}{5} -- \punkt{8}{5};
+\draw[color=gray] \punkt{1}{0} -- \punkt{1}{3} -- \punkt{5}{3} -- \punkt{5}{8};
+
+\draw[->,color=red]
+	({-3*\s+0.5*\t+\b},{7.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{7.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+7.5*\T},{\yo});
+
+\draw[->,color=blue]
+	({-2*\s+0.5*\t+\b},{6.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{6.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+6.5*\T},{\yo});
+
+\draw[->,color=blue]
+	({-1*\s+0.5*\t+\b},{3.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{3.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+5.5*\T},{\yo});
+
+\draw[->,color=red]
+	({-2*\s+0.5*\t+\b},{5.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{5.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+4.5*\T},{\yo});
+
+\draw[->,color=red]
+	({-2*\s+0.5*\t+\b},{4.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{4.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+2.5*\T},{\yo});
+
+\draw[->,color=blue]
+	({-1*\s+0.5*\t+\b},{2.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{2.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+3.5*\T},{\yo});
+
+\draw[->,color=red]
+	({-1*\s+0.5*\t+\b},{0.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{0.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+0.5*\T},{\yo});
+
+\draw[->,color=blue]
+	({-1*\s+0.5*\t+\b},{1.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{1.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+1.5*\T},{\yo});
+
+\node at \punkt{0.5}{0.5} {$0$};
+\node at \punkt{1.5}{1.5} {$0$};
+\node at \punkt{2.5}{2.5} {$0$};
+\node at \punkt{3.5}{3.5} {$0$};
+\node at \punkt{4.5}{4.5} {$0$};
+\node at \punkt{5.5}{5.5} {$0$};
+\node at \punkt{6.5}{6.5} {$0$};
+\node at \punkt{7.5}{7.5} {$0$};
+
+\node[color=blue] at \punkt{2.5}{1.5} {$1$};
+\node[color=blue] at \punkt{4.5}{3.5} {$1$};
+\node[color=blue] at \punkt{6.5}{5.5} {$1$};
+\node[color=blue] at \punkt{7.5}{6.5} {$1$};
+
+\node at \punkt{-0.5}{4} [left] {$A=$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/sp.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/sp.pdf
index d4de984..b93b890 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/sp.pdf
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/sp.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wa.m b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wa.m
new file mode 100644
index 0000000..3d6d2c3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wa.m
@@ -0,0 +1,80 @@
+#
+# wa.m -- Wurzelapproximation
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global u;
+global N;
+global t;
+global s;
+
+N = 100;
+n = 10;
+s = 1;
+
+u = zeros(N + 2, n);
+t = (0:N+1)' / N;
+t = t.^2;
+
+for i = (2:n)
+	u(:,i) = u(:,i-1) + 0.5 * (t-u(:,i-1).^2);
+end
+
+u
+
+global f;
+f = fopen("wa.tex", "w");
+fprintf(f, "%%\n");
+fprintf(f, "%% Approximation der Wurzelfunktion\n");
+fprintf(f, "%%\n");
+
+function pfad(i, name)
+	global f;
+	global u;
+	global t;
+	global N;
+	fprintf(f, "\\def\\pfad%s{\n", name);
+	fprintf(f, "(%.4f,%.4f)\n", t(1,1), u(1,i));
+	for j = (2:N+1)
+		fprintf(f, "--(%.4f,%.4f)\n", t(j,1), u(j,i));
+	end
+	fprintf(f, "}\n");
+end
+
+pfad( 1, "a")
+pfad( 2, "b")
+pfad( 3, "c")
+pfad( 4, "d")
+pfad( 5, "e")
+pfad( 6, "f")
+pfad( 7, "g")
+pfad( 8, "h")
+pfad( 9, "i")
+pfad(10, "j")
+
+function fehler(i, name)
+	global f;
+	global u;
+	global t;
+	global N;
+	global s;
+	fprintf(f, "\\def\\fehler%s{\n", name);
+	fprintf(f, "(%.4f,%.4f)\n", t(1,1), s*(sqrt(t(1,1))-u(1,i)));
+	for j = (2:N+2)
+		fprintf(f, "--(%.4f,%.4f)\n", t(j,1), s*(sqrt(t(j,1))-u(j,i)));
+	end
+	fprintf(f, "}\n");
+end
+
+fehler( 1, "a")
+fehler( 2, "b")
+fehler( 3, "c")
+fehler( 4, "d")
+fehler( 5, "e")
+fehler( 6, "f")
+fehler( 7, "g")
+fehler( 8, "h")
+fehler( 9, "i")
+fehler(10, "j")
+
+fclose(f);
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf
new file mode 100644
index 0000000..751cf33
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.tex
new file mode 100644
index 0000000..ca2825a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.tex
@@ -0,0 +1,94 @@
+%
+% wurzel.tex -- Wurzel
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{10}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\a{0.8}
+\def\U{0}
+
+\fill[color=blue!20] (0,\a) rectangle (1.00,1.03);
+\draw[line width=0.4pt] (0,1) -- (1,1) -- (1,0);
+
+\draw[->] (0,{-0.01}) -- (0,{1.06}) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle (1,1);
+\draw[color=blue,line width=1.4pt] plot[domain=0:1.01,samples=100]
+	({\x},{\x*\x});
+\end{scope}
+
+%\draw[color=purple,line width=0.5pt] (0.48,-0.01) -- (1,1);
+%\fill[color=purple] (1,1) circle[radius=0.008];
+
+\node[color=blue] at (0,{\a}) [left] {$a$};
+
+\def\schritt#1#2{
+	\xdef\u{\U}
+	\pgfmathparse{0.5*(\a-\u*\u)}
+	\xdef\d{\pgfmathresult}
+	\pgfmathparse{\u+\d}
+	\xdef\U{\pgfmathresult}
+
+	\fill[color=purple!10] (\u,{\u*\u}) -- (\U,\a) -- (\u,\a) -- cycle;
+
+	\node[color=darkgreen] at (\u,0) [below] {$u_#1$};
+	\draw[color=darkgreen,line width=0.1pt] (\u,0)--(\u,\a);
+
+	\fill[color=darkgreen] (\u,{\u*\u}) circle[radius=0.006];
+
+	\draw[<->,color=darkgreen] (\u,{\u*\u}) -- (\u,\a);
+
+	\draw[color=purple,shorten <= 0.6mm]
+		(\u,{\u*\u}) -- (\U,\a);
+}
+\def\marke#1#2{
+	\node[color=orange] at ({0.5*(\u+\U)},\a) [#2] {$\frac12(a-u_#1^2)$};
+	\draw[<->,color=orange,shorten >= 0mm,shorten <= 0mm]
+		(\u,\a) -- (\U,\a);
+}
+
+\def\hoehe#1{
+	\node[color=darkgreen] at ({\u+0.01},{\a-\d-0.01})
+		[above,rotate=90] {$a-u_#1^2$};
+}
+
+\schritt{0}{1}
+\hoehe{0}
+\marke{0}{above}
+
+\schritt{1}{2}
+\hoehe{1}
+\marke{1}{above}
+\node[color=darkgreen] at (\u,{\u*\u-0.02}) [above left] {$u_1^2$};
+
+\schritt{2}{3}
+\hoehe{2}
+%\marke{2}{right,rotate=90}
+\marke{2}{above}
+\node[color=darkgreen] at (\u,{\u*\u-0.02}) [above left] {$u_2^2$};
+
+\schritt{3}{4}
+
+\draw[color=blue] ({sqrt(\a)},-0.01) -- ({sqrt(\a)},\a);
+\node[color=blue] at ({sqrt(\a)-0.02},0) [below right] {$\sqrt{a}$};
+
+\draw[->] (-0.01,0) -- (1.05,0) coordinate[label={$u$}];
+\node at (1,0) [below] {$1$};
+\node at (0,1) [left] {$1$};
+\draw (1,-0.01) -- (1,0.01);
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf
new file mode 100644
index 0000000..01fa714
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.tex
new file mode 100644
index 0000000..676c7e9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.tex
@@ -0,0 +1,107 @@
+%
+% wurzelapprox.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{5.7}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\input{wa.tex}
+
+\begin{scope}[xshift=-0.63cm]
+
+\draw[->] (-0.01,0) -- (1.05,0) coordinate[label={$t$}];
+
+\begin{scope}
+	\clip (0,0) rectangle (1,1.01);
+	\draw[color=blue,line width=1.6pt] \pfada;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadb;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadc;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadd;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfade;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadf;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadg;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadh;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadi;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadj;
+
+	\draw[color=red,line width=1.6pt]
+		plot[domain=0:1.01,samples=100] ({\x*\x},{\x});
+\end{scope}
+
+\node[color=red] at (0.5,0.707) [above,rotate={atan(0.5)}] {$\sqrt{t}$};
+
+\draw[->] (0,-0.01) -- (0,1.05) coordinate[label={right:$u_n(t)$}];
+
+\foreach \x in {2,4,...,8}{
+	\draw ({0.1*\x},-0.01) -- ({0.1*\x},0.01);
+	\node at ({0.1*\x},-0.01) [below] {0.\x\strut};
+	\draw (-0.01,{0.1*\x}) -- (0.01,{0.1*\x});
+	\node at (-0.01,{0.1*\x}) [left] {0.\x\strut};
+}
+\draw (1,-0.01) -- (1,0.01);
+\node at (1,-0.01) [below] {1.0\strut};
+\node at (0,-0.01) [below] {0\strut};
+
+\draw (-0.01,1) -- (0.01,1);
+\node at (-0.01,1) [left] {1.0\strut};
+
+\node[color=blue] at (1.01,0) [above left] {$u_0(t)$};
+\node[color=blue] at (1,0.51) [below left,rotate={atan(0.5)}] {$u_1(t)$};
+\node[color=blue] at (1,{0.86+0.03}) [below left,rotate={atan(0.86)}] {$u_2(t)$};
+\node[color=blue] at (1,1.00) [below left,rotate={atan(0.5)}] {$u_3(t)$};
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=0.63cm]
+
+\begin{scope}
+	\clip (0,0) rectangle (1,1.01);
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlera;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerb;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerc;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerd;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlere;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerf;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerg;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerh;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehleri;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerj;
+\end{scope}
+
+\draw[->] (0,-0.01) -- (0,1.05) coordinate[label={right:${\color{red}\sqrt{t}}-{\color{blue}u_n(t)}$}];
+\draw[->] (-0.01,0) -- (1.05,0) coordinate[label={$t$}];
+
+\foreach \x in {2,4,...,9}{
+	\draw ({0.1*\x},-0.01) -- ({0.1*\x},0.01);
+	\node at ({0.1*\x},-0.01) [below] {0.\x\strut};
+	\draw (-0.01,{0.1*\x}) -- (0.01,{0.1*\x});
+	\node at (-0.01,{0.1*\x}) [left] {0.\x\strut};
+}
+\draw (1,-0.01) -- (1,0.01);
+\node at (1,-0.01) [below] {1.0\strut};
+\node at (0,-0.01) [below] {0\strut};
+
+\draw (-0.01,1) -- (0.01,1);
+\node at (-0.01,1) [left] {1.0\strut};
+
+\node[color=darkgreen] at (1,1) [below left,rotate={atan(0.5)}] {$n=0$};
+\node[color=darkgreen] at (1,0.5) [above left] {$n=1$};
+\node[color=darkgreen] at (1,0.13) [above left,rotate=-13] {$n=2$};
+\node[color=darkgreen] at (1,0.00) [above left,rotate=-9] {$n=3$};
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex
index c21c403..9169f65 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex
@@ -330,9 +330,259 @@ Es ist das Polynom geringsten Grades über $\Bbbk'$, welches $m(A)=0$ erfüllt.
 
 \subsection{Reelle Normalform
 \label{buch:subsection:reelle-normalform}}
+Wenn eine reelle Matrix $A$ komplexe Eigenwerte hat, ist die Jordansche
+Normalform zwar möglich, aber die zugehörigen Basisvektoren werden ebenfalls
+komplexe Komponenten haben.
+Für eine rein reelle Rechnung ist dies nachteilig, da der Speicheraufwand
+dadurch verdoppelt und der Rechenaufwand für Multiplikationen vervierfacht
+wird.
 
-\subsection{Obere Hessenberg-Form
-\label{buch:subsection:obere-hessenberg-form}}
+Die nicht reellen Eigenwerte von $A$ treten in konjugiert komplexen Paaren
+$\lambda_i$ und $\overline{\lambda}_i$ auf.
+Wir betrachten im Folgenden nur ein einziges Paar $\lambda=a+ib$ und
+$\overline{\lambda}=a-ib$ von konjugiert komplexen Eigenwerten mit
+nur je einem einzigen $n\times n$-Jordan-Block $J$ und $\overline{J}$.
+Ist $\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ die Basis für den Jordan-Block $J$,
+dann kann man die Vektoren
+$\overline{\mathcal{B}}=\{\overline{b}_1,\dots,\overline{b}_n\}$ als Basis für
+$\overline{J}$ verwenden.
+Die vereinigte Basis
+$\mathcal{C} = \mathcal{B}\cup\overline{\mathcal{B}}
+= \{b_1,\dots,b_n,\overline{b}_1,\dots,\overline{b}_n\}$
+erzeugen einen $2n$-dimensionalen Vektorraum,
+der direkte Summe der beiden von $\mathcal{B}$ und $\overline{\mathcal{B}}$
+erzeugen Vektorräume $V=\langle\mathcal{B}\rangle$ und
+$\overline{V}=\langle\overline{\mathcal{B}}\rangle$ ist.
+Es ist also
+\[
+U=\langle \mathcal{C}\rangle
+=
+V\oplus \overline{V}.
+\]
+Wir bezeichnen die lineare Abbildung mit den Jordan-Blöcken
+$J$ und $\overline{J}$ wieder mit $A$.
+
+Auf dem Vektorraum $U$ hat die lineare Abbildung in der Basis
+$\mathcal{C}$ die Matrix
+\[
+A=
+\begin{pmatrix}
+J&0\\
+0&\overline{J}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+\lambda&   1   &       &      &       &&&&&\\
+       &\lambda&   1   &      &       &&&&&\\
+       &       &\lambda&\ddots&       &&&&&\\
+       &       &       &\ddots&   1   &&&&&\\
+       &       &       &      &\lambda&&&&&\\
+&&&& &\overline{\lambda}&1&&     & \\
+&&&& &&\overline{\lambda}&1&     & \\
+&&&& &&&\overline{\lambda} &\dots& \\
+&&&& &&&                   &\dots&1\\
+&&&& &&&                   &&\overline{\lambda}\\
+\end{pmatrix}.
+\]
+
+Die Jordan-Normalform bedeutet, dass
+\[
+\begin{aligned}
+Ab_1&=\lambda b_1           &
+	A\overline{b}_1 &= \overline{\lambda} \overline{b}_1      \\
+Ab_2&=\lambda b_2 + b_1     &
+	A\overline{b}_2 &= \overline{\lambda} \overline{b}_2 +\overline{b_1}\\
+Ab_3&=\lambda b_3 + b_2     &
+	A\overline{b}_3 &= \overline{\lambda} \overline{b}_3 +\overline{b_2}\\
+    &\;\vdots               &
+	                 &\;\vdots \\
+Ab_n&=\lambda b_n + b_{n-1} &
+	A\overline{b}_n &= \overline{\lambda} \overline{b}_n +\overline{b_{n-1}}
+\end{aligned}
+\]
+Für die Linearkombinationen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+c_i &= \frac{b_i+\overline{b}_i}{\sqrt{2}},
+&
+d_i &= \frac{b_i-\overline{b}_i}{i\sqrt{2}}
+\end{aligned}
+\label{buch:eigenwerte:eqn:reellenormalformumrechnung}
+\end{equation}
+folgt dann für $k>1$
+\begin{align*}
+Ac_k
+&=
+\frac{Ab_k+A\overline{b}_k}{2}
+&
+Ad_k
+&=
+\frac{Ab_k-A\overline{b}_k}{2i}
+\\
+&=
+\frac1{\sqrt{2}}(\lambda b_k + b_{k-1}
++ \overline{\lambda}\overline{b}_k + \overline{b}_{k-1})
+&
+&=
+\frac1{i\sqrt{2}}(\lambda b_k + b_{k-1}
+- \overline{\lambda}\overline{b}_k - \overline{b}_{k-1})
+\\
+&=
+\frac1{\sqrt{2}}(\alpha b_k + i\beta b_k + \alpha \overline{b}_k -i\beta \overline{b}_k)
++
+c_{k-1}
+&
+&=
+\frac1{i\sqrt{2}}(
+\alpha b_k + i\beta b_k - \alpha \overline{b}_k +i\beta \overline{b}_k)
++
+d_{k-1}
+\\
+&=
+\alpha
+\frac{b_k+\overline{b}_k}{\sqrt{2}}
++
+i \beta \frac{b_k-\overline{b}_k}{\sqrt{2}}
++
+c_{k-1}
+&
+&=
+\alpha
+\frac{b_k-\overline{b}_k}{i\sqrt{2}}
++
+i \beta \frac{b_k+\overline{b}_k}{i\sqrt{2}}
++
+d_{k-1}
+\\
+&= \alpha c_k -\beta d_k
++
+c_{k-1}
+&
+&= \alpha d_k + \beta c_k
++
+d_{k-1}.
+\end{align*}
+Für $k=1$ fallen die Terme $c_{k-1}$ und $d_{k-1}$ weg.
+In der Basis $\mathcal{D}=\{c_1,d_1,\dots,c_n,d_n\}$ hat die Matrix
+also die {\em reelle Normalform}
+\begin{equation}
+\def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{#1\mathstrut}}
+\def\semp#1{\multicolumn{1}{c|}{#1\mathstrut}}
+A_{\text{reell}}
+=
+\left(
+\begin{array}{cccccccccccc}
+\cline{1-4}
+\temp{\alpha}& \beta&\temp{     1}&     0&\temp{}      &      &      &      &      &      &&\\
+\temp{-\beta}&\alpha&\temp{     0}&     1&\temp{}      &      &      &      &      &      &&\\
+\cline{1-6}
+      &      &\temp{\alpha}& \beta&\temp{     1}&     0&\temp{}      &      &      &      &&\\
+      &      &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{     0}&     1&\temp{}      &      &      &      &&\\
+\cline{3-6}
+      &      &      &      &\temp{\alpha}& \beta&\temp{}      &      &      &      &&\\
+      &      &      &      &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{}      &      &      &      &&\\
+\cline{5-8}
+      &      &      &      &      &      &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{      }&      &&\\
+      &      &      &      &      &      &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{      }&      &&\\
+\cline{7-12}
+      &      &      &      &      &      &      &      &\temp{\alpha}& \beta&\temp{     1}&\semp{     0}\\
+      &      &      &      &      &      &      &      &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{     0}&\semp{     1}\\
+\cline{9-12}
+      &      &      &      &      &      &      &      &      &      &\temp{\alpha}&\semp{ \beta}\\
+      &      &      &      &      &      &      &      &      &      &\temp{-\beta}&\semp{\alpha}\\
+\cline{11-12}
+\end{array}\right).
+\label{buch:eigenwerte:eqn:reellenormalform}
+\end{equation}
+
+Wir bestimmen noch die Transformationsmatrix, die $A$ in die reelle
+Normalform bringt.
+Dazu beachten wir, dass die Vektoren $c_k$ und $d_k$ in der Basis
+$\mathcal{B}$ nur in den Komponenten $k$ und $n+k$ von $0$ verschiedene
+Koordinaten haben, nämlich
+\[
+c_k
+=
+\frac1{\sqrt{2}}
+\left(
+\begin{array}{c}
+\vdots\\ 1 \\ \vdots\\\hline \vdots\\ 1\\\vdots
+\end{array}\right)
+\qquad\text{und}\qquad
+d_k
+=
+\frac1{i\sqrt{2}}
+\left(\begin{array}{c}
+\vdots\\ 1 \\ \vdots\\\hline\vdots\\-1\\\vdots
+\end{array}\right)
+=
+\frac1{\sqrt{2}}
+\left(\begin{array}{c}
+\vdots\\-i \\ \vdots\\\hline \vdots\\ i\\\vdots
+\end{array}\right)
+\]
+gemäss \eqref{buch:eigenwerte:eqn:reellenormalformumrechnung}.
+Die Umrechnung der Koordinaten von der Basis $\mathcal{B}$ in die Basis
+$\mathcal{D}$
+wird daher durch die Matrix
+\[
+S
+=
+\frac{1}{\sqrt{2}}
+\left(\begin{array}{cccccccccc}
+1&-i& &  & &  &     &     & &  \\
+ &  &1&-i& &  &     &     & &  \\
+ &  & &  &1&-i&     &     & &  \\
+ &  & &  & &  &\dots&\dots& &  \\
+ &  & &  & &  &     &     &1&-i\\
+\hline
+1& i& &  & &  &     &     & &  \\
+ &  &1& i& &  &     &     & &  \\
+ &  & &  &1& i&     &     & &  \\
+ &  & &  & &  &\dots&\dots& &  \\
+ &  & &  & &  &     &     &1& i\\
+\end{array}\right)
+\]
+vermittelt.
+Der Nenner $\sqrt{2}$ wurde so gewählt, dass die
+Zeilenvektoren der Matrix $S$ als komplexe Vektoren orthonormiert sind,
+die Matrix $S$ ist daher unitär und hat die Inverse
+\[
+S^{-1}
+=
+S^*
+=
+\frac{1}{\sqrt{2}}
+\left(\begin{array}{ccccc|ccccc}
+ 1&  &  &     &  & 1&  &  &     &  \\
+ i&  &  &     &  &-i&  &  &     &  \\
+  & 1&  &     &  &  & 1&  &     &  \\
+  & i&  &     &  &  &-i&  &     &  \\
+  &  & 1&     &  &  &  & 1&     &  \\
+  &  & i&     &  &  &  &-i&     &  \\
+  &  &  &\dots&  &  &  &  &\dots&  \\
+  &  &  &\dots&  &  &  &  &\dots&  \\
+  &  &  &     & 1&  &  &  &     & 1\\
+  &  &  &     & i&  &  &  &     &-i\\
+\end{array}\right).
+\]
+Insbesondere folgt jetzt
+\[
+A
+=
+S^{-1}A_{\text{reell}}S
+=
+S^*A_{\text{reell}}S
+\qquad\text{und}\qquad
+A_{\text{reell}}
+=
+SAS^{-1}
+=
+SAS^*.
+\]
+
+%\subsection{Obere Hessenberg-Form
+%\label{buch:subsection:obere-hessenberg-form}}
 
 
 
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex
index bdc725f..a36dc33 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex
@@ -3,9 +3,9 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi
 %
-\section{Funktionen einer Matrix
-\label{buch:section:funktionen-einer-matrix}}
-\rhead{Funktionen einer Matrix}
+\section{Analytische Funktionen einer Matrix
+\label{buch:section:analytische-funktionen-einer-matrix}}
+\rhead{Analytische Funktionen einer Matrix}
 Eine zentrale Motivation in der Entwicklung der Eigenwerttheorie
 war das Bestreben, Potenzen $A^k$ auch für grosse $k$ effizient
 zu berechnen.
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex
index 4146505..466b99e 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex
@@ -5,7 +5,798 @@
 % 
 \section{Spektraltheorie
 \label{buch:section:spektraltheorie}}
-% Matrix-Exponentialfunktion
-% Wurzel einer Matrix
-% Beliebige Funktion f(A) für normale Matrizen
+Aufgabe der Spektraltheorie ist, Bedingungen an eine Matrix $A$ und eine
+Funktion $f(z)$ zu finden, unter denen es möglich ist, $f(A)$ auf 
+konsistente Art und Weise zu definieren.
+Weiter müssen Methoden entwickelt werden, mit denen $f(A)$ berechnet
+werden kann.
+Für ein Polynom $p(z)$ ist $p(A)$ durch einsetzen definiert.
+Für Funktionen, die sich nicht durch ein Polynom darstellen lassen,
+muss eine Approximation der Funktion durch Polynome verwendet werden.
+Sei also $p_n(z)$ eine Folge von Polynomen, die als Approximation der
+Funktion $f(z)$ verwendet werden soll.
+Das Ziel ist, $f(A)$ als den Grenzwert der Matrixfolge $p_n(A)$
+zu definieren.
+
+Zunächst ist nicht klar, wie eine solche Folge gewählt werden muss.
+Es muss eine Teilmenge von $K\subset\mathbb{C}$ spezifiziert werden,
+auf der die Funktionenfolge $p_n(z)$ konvergieren muss,
+damit auch die Konvergenz der Matrizenfolge $p_n(A)$ garantiert ist.
+Auch die Art der Konvergenz von $p_n(z)$ auf der Menge $K$ ist noch
+unklar.
+Da der Abstand zweier Matrizen $A$ und $B$ in der Operatornorm
+mit der grössten Abweichung $\|(A-B)v\|$ für Einheitsvektoren $v$
+gemessen wird, ist es einigermassen plausibel, dass
+die grösse Abweichung zwischen zwei Polynomen $|p(z) - q(z)|$ auf
+der Menge $K$ kleine sein muss, wenn $\|p(A)-q(A)\|$ klein 
+sein soll.
+Da die Differenz $p(z)-q(z)$ für beliebige Polynome, die sich nicht
+nur um eine Konstante unterscheiden, mit $z$ über alle Grenzen wächst,
+muss $K$ beschränkt sein.
+Gesucht ist also eine kompakte Menge $K\subset\mathbb{C}$ und eine
+Folge $p_n(z)$ von Polynomen, die auf $K$ gleichmässig gegen $f(z)$
+konvergieren.
+Die Wahl von $K$ muss sicherstellen, dass für jede gleichmässig
+konvergente Folge von Polynomen $p_n(z)$ auch die Matrizenfolge
+$p_n(A)$ konvergiert.
+
+Es wird sich zeigen, dass die Menge $K$ das Spektrum von $A$ ist,
+also eine endliche Teilmenge von $\mathbb{C}$.
+Jede Funktion kann auf so einer Menge durch Polynome exakt wiedergegeben
+werden.
+Es gibt insbesondere Folgen von Polynomen, die eingeschränkt
+auf das Spektrum gleich sind, also $p_n(z)=p_m(z)$ für alle $z\in K$,
+die aber ausserhalb des Spektrums alle verschieden sind.
+Als Beispiel kann die Matrix 
+\[
+N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
+\]
+herangezogen werden.
+Ihr Spektrum ist $\operatorname{Sp}(N)=\{0\}\subset\mathbb{C}$.
+Zwei Polynome stimmen genau dann auf $\operatorname{Sp}(N)$ überein,
+wenn der konstante Koeffizient gleich ist.
+Die Polynome $p(z)=z$ und $q(z)=z^2$ stimmen daher auf dem Spektrum
+überein.
+Für die Matrizen gilt aber $p(N)=N$ und $q(N)=N^2=0$, die Matrizen
+stimmen also nicht überein.
+Es braucht also zusätzliche Bedingungen an die Matrix $A$, die
+sicherstellen, dass $p(A)=0$ ist, wann immer $p(z)=0$ für
+$z\in\operatorname{Sp}(A)$ gilt.
+
+In diesem Abschnitt sollen diese Fragen untersucht werden.
+In Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}
+wird gezeigt, wie sich Funktionen durch Polynome approximieren
+lassen, woraus sich dann Approximationen von $f(A)$ für diagonalisierbare
+Matrizen mit reellen Eigenwerten ergeben.
+
+Der Satz von Stone-Weierstrass, der in
+Abschnitt~\ref{buch:subsetion:stone-weierstrass} dargestellt wird,
+ist ein sehr allgemeines Approximationsresultat, welches nicht nur
+zeigt, dass die Approximation unter sehr natürlichen Voraussetzungen
+beliebig genau möglich ist, sondern uns im komplexen Fall auch
+weitere Einsicht dafür geben kann, welche Voraussetzungen an eine
+komplexe Matrix gestellt werden müssen, damit man damit rechnen kann,
+dass die Approximation zu einer konsistenten Definition von $f(A)$ führt.
+
+%
+% Approximation
+%
+\subsection{Approximation durch Polynome
+\label{buch:subsection:approximation-durch-polynome}}
+Die der Berechnung von $f(A)$ für eine beleibige stetige Funktion,
+die sich nicht als Potenzreihe schreiben lässt, verwendet Approximationen
+von Polynomen.
+Die numerische Mathematik hat eine grosse Menge von solchen
+Approximationsverfahren entwickelt, wovon zwei kurz (ohne Beweise)
+vorgestellt werden sollen.
+
+\subsubsection{Das Legendre-Interpolationspolynom}
+Zu vorgegebenen, verschiedenen Zahlen $z_i\in\mathbb{C}$, $0\le i\le n$,
+die auch die {\em Stützstellen} genannt werden,
+gibt es immer ein Polynom vom Grade $n$, welches in den $z_i$ vorgegebene
+Werte $f(z_i)$ annimmt.
+Ein solches Polynom lässt sich im Prinzip mit Hilfe eines linearen
+Gleichungssystems finden, man kann aber auch direkt eine Lösung
+konstruieren.
+Dazu bildet man erst die Polynome
+\begin{align*}
+l(z) &= (z-z_0)(z-z_1)\dots (z-z_n) \qquad\text{und}
+\\
+l_i(z) &= (z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n).
+\end{align*}
+Darin bedeutet der Hut, dass dieser Term weggelassen werden soll.
+Für $z\ne z_i$ ist $l_i(z)=l(z)/(z-z_i)$.
+Die Polynome
+\[
+k_i(z)
+=
+\frac{l_i(z)}{l_i(z_i)}
+=
+\frac{(z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n)}{(z_i-z_0)\dots \widehat{(z_i-z_i)}\dots (z_i-z_n)}
+\]
+haben die Eigenschaft
+$k_i(z_j)=\delta_{ij}$.
+Damit lässt sich jetzt ein Polynom
+\[
+p(z) = \sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z)}{l_j(z_j)}
+\]
+vom Grad $n$ konstruieren, welches die Werte
+\[
+p(z_i)
+=
+\sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z_i)}{l_j(z_j)}
+=
+\sum_{j=0}^n f(z_j) \delta_{ij}
+=
+f_(z_i)
+\]
+annimmt.
+Das Polynom $p(z)$ heisst das {\em Legendre-Interpolationspolynom}.
+
+Zwar lässt sich also für eine endliche Menge von komplexen Zahlen immer
+ein Polynom finden, welches vorgeschriebene Wert in allen diesen Zahlen
+annimmt, doch ist die Stabilität für grosse $n$ eher beschränkt.
+
+
+\subsubsection{Gleichmassige Approximation mit Bernstein-Polynomen}
+Das Legendre-Interpolationspolynom nimmt in den  Stützstellen die
+verlangten Werte an, aber ausserhalb der Stützstellen ist nicht
+garantiert, dass man eine gute Approximation einer Funktion $f(z)$
+erhält.
+
+Für die Approximation auf einem reellen Interval $[a,b]$ hat
+Sergei Natanowitsch Bernstein ein 
+Dazu werden zuerst die reellen Bernsteinpolynome vom Grad $n$
+durch
+\begin{align*}
+B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i(1-t)^{n-i}.
+\end{align*}
+definiert.
+Als Approximationspolynom für die auf dem Interval 
+$[0,1]$ definierte, stetige Funktion $f(t)$ kann man dann
+\[
+B_n(f)(t)
+=
+\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) f\biggl(\frac{i}{n}\biggr)
+\]
+verwenden.
+Die Polynome $B_n(f)(t)$ konvergieren gleichmässig auf $[0,1]$
+gegen die Funktion $f(t)$.
+Über die Konvergenz ausserhalb des reellen Intervalls wird nichts
+ausgesagt.
+Die Approximation mit Bernstein-Polynomen ist daher nur sinnvoll,
+wenn man weiss, dass die Eigenwerte der Matrix reell sind, was im
+wesentlichen auf diagonalisierbare Matrizen führt.
+
+Für ein anderes Interval $[a,b]$ kann man ein Approximationspolynom
+erhalten, indem man die affine Transformation
+$s\mapsto (s-a)/(b-a)$
+von $[a,b]$ auf $[0,1]$
+verwendet. 
+
+%
+% Der Satz von Stone-Weierstrass
+%
+\subsection{Der Satz von Stone-Weierstrasss
+\label{buch:subsetion:stone-weierstrass}}
+Der Satz von Stone-Weierstrass behandelt im Gegensatz zu den in
+Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}
+besprochenen Approximationsmethoden nicht nur Funktionen von
+reellen Variablen durch Polynome.
+Vielmehr kann das Definitionsgebiet irgend eine abgeschlossene
+und beschränkte Teilmenge eines reellen oder komplexen Vektorraumes
+sein und die Funktionen können Polynome aber auch viel allgemeinere
+Funktionen verwendet werden, wie zum Beispiel die Funktionen
+$x\mapsto \cos nx$ und $x\mapsto \sin nx$ definiert auf dem
+Intervall $[0,2\pi]$.
+In diesem Fall liefert der Satz von Stone-Weierstrass die Aussage,
+dass sich jede stetige periodische Funktion gleichmässig durch
+trigonometrische Polynome approximieren lässt.
+
+Die Aussage des Satz von Stone-Weierstrass über reelle Funktionen
+lässt sich nicht auf komplexe Funktionen erweitern.
+Von besonderem Interesse ist jedoch, dass der Beweis des Satz 
+zeigt, warum solche Aussagen für komplexe Funktionen nicht mehr
+zutreffen.
+Im Falle der Approximation von komplexen Funktionen $f(z)$ durch Polynome
+zwecks Definition von $f(A)$ werden sich daraus Bedingungen an die
+Matrix ableiten lassen, die eine konsistente Definition überhaupt
+erst ermöglichen werden.
+
+\subsubsection{Punkte trennen}
+Aus den konstanten Funktionen lassen sich durch algebraische
+Operationen nur weitere konstante Funktionen erzeugen.
+Die konstanten Funktionen sind also nur dann eine genügend
+reichhaltige Menge, wenn die Menge $K$ nur einen einzigen Punkt
+enthält.
+Damit sich Funktionen approximieren lassen, die in zwei Punkten
+verschiedene Werte haben, muss es auch unter den zur Approximation
+zur Verfügung stehenden Funktionen solche haben, deren Werte sich
+in diesen Punkten unterscheiden.
+Diese Bedingung wird in der folgenden Definition formalisiert.
+
+\begin{definition}
+Sei $K$ eine beliebige Menge und $A$ eine Menge von Funktionen
+$K\to \mathbb{C}$.
+Man sagt, $A$ {\em trennt die Punkte von $K$}, wenn es für jedes Paar
+\index{Punkte trennen}%
+von Punkten $x,y\in K$ eine Funktion $f\in A$ gibt derart, dass
+$f(x)\ne f(y)$.
+\end{definition}
+
+Man kann sich die Funktionen $f$, die gemäss dieser Definition die Punkte
+von $K$ trennen, als eine Art Koordinaten der Punkte in $K$ vorstellen.
+Die Punkte der Teilmenge $K\subset \mathbb{R}^n$ werden zum Beispiel
+von den Koordinatenfunktionen $x\mapsto x_i$ getrennt.
+Wir schreiben für die $i$-Koordinate daher auch als Funktion $x_i(x)=x_i$.
+Zwei verschiedene Punkte $x,y\in K$ unterscheiden sich in mindestens
+einer Koordinate.
+Für diese Koordinate sind dann die Werte der zugehörigen
+Koordinatenfunktion $x_i=x_i(x)\ne x_i(y)=y_i$ verschieden, die
+Funktionen $x_1(x)$ bis $x_n(x)$ trennen also die Punkte.
+
+\begin{beispiel}
+Wir betrachten einen Kreis in der Ebene, also die Menge
+\[
+S^1
+=
+\{(x_1,x_2)\;|\; x_1^2 + x_2^2=1\}
+\]
+$S^1$ ist eine abgeschlossene und beschränkte Menge in $\mathbb{R}^2$.
+Die Funktion $x\mapsto x_1$ trennt die Punkte nicht, denn zu jedem
+Punkt $(x_1,x_2)\in S^2$ gibt es den an der ersten Achse
+gespiegelten Punkt $\sigma(x)=(x_1,-x_2)$, dessen erste Koordinate
+den gleichen Wert hat.
+Ebenso trennt die Koordinatenfunktion $x\mapsto x_2$ die Punkte nicht.
+Die Menge $A=\{ x_1(x), x_2(x)\}$ bestehend aus den beiden
+Koordinatenfunktionen trennt dagegen die Punkte von $S^1$, da die Punkte
+sich immer in mindestens einem Punkt unterscheiden.
+
+Man könnte auch versuchen, den Kreis in Polarkoordinaten zu beschreiben.
+Die Funktion $\varphi(x)$, die jedem Punkt $x\in S^1$ den Polarwinkel
+zuordnet, trennt sicher die Punkte des Kreises.
+Zwei verschiedene Punkte auf dem Kreis haben verschieden Polarwinkel.
+Die Menge $\{\varphi\}$ trennt also die Punkte von $S^1$.
+Allerdings ist die Funktion nicht stetig, was zwar der Definition
+nicht widerspricht aber ein Hindernis für spätere Anwendungen ist.
+\end{beispiel}
+
+
+\subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für reelle Funktionen}
+Die Beispiele von Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}
+haben bezeigt, dass sich reellwertige Funktionen einer reellen
+Variable durch Polynome beliebig genau approximieren lassen.
+Es wurde sogar eine Methode vorgestellt, die eine auf einem Intervall
+gleichmässig konvergente Polynomefolge produziert.
+Die Variable $x\in[a,b]$ trennt natürlich die Punkte, die Algebra der
+Polynome in der Variablen $x$ enthält also sicher Funktionen, die in
+verschiedenen Punkten des Intervalls auch verschiedene Werte annehmen.
+Nicht ganz so selbstverständlich ist aber, dass sich daraus bereits
+ergibt, dass jede beliebige Funktion sich als Polynome in $x$
+approximieren lässt.
+Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes von Stone-Weierstrass.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf}
+\caption{Konstruktion einer monoton wachsenden Approximationsfolge für
+$\sqrt{a}$
+\label{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf}
+\caption{Monoton wachsende Approximation der Funktion $t\mapsto\sqrt{t}$ mit 
+Polynomen $u_n(t)$ nach 
+\eqref{buch:eigenwerte:eqn:wurzelapproximation}
+(links) und der Fehler der Approximation
+(rechts).
+\label{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation}}
+\end{figure}
+
+\begin{satz}[Stone-Weierstrass]
+\label{buch:satz:stone-weierstrass}
+Enthält eine $\mathbb{R}$-Algebra $A$ von stetigen, rellen Funktionen
+auf einer kompakten Menge $K$ die konstanten Funktionen und trennt sie
+Punkte, d.~h.~für zwei verschiedene Punkte $x,y\in K$ gibt es
+immer eine Funktion $f\in A$ mit $f(x)\ne f(y)$, dann ist jede stetige,
+reelle Funktion auf $K$ gleichmässig approximierbar durch Funktionen 
+in $A$.
+\end{satz}
+
+Für den Beweis des Satzes wird ein Hilfsresultat benötigt, welches wir
+zunächst ableiten.
+Es besagt, dass sich die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$
+auf dem Interval $[0,1]$ gleichmässig
+von unten durch Polynome approximieren lässt, die in
+Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation} dargestellt
+sind.
+
+\begin{satz}
+Die rekursiv definierte Folge von Polynomen
+\begin{equation}
+u_{n+1}(t)
+=
+u_n(t) + \frac12(t-u_n(t)^2),
+\qquad
+u_0(t)=0
+\label{buch:eigenwerte:eqn:wurzelapproximation}
+\end{equation}
+ist monoton wachsend und approximiert die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$
+gleichmässig auf dem Intervall $[0,1]$.
+\end{satz}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/minmax.pdf}
+\caption{Graphische Erklärung der
+Identitäten~\eqref{buch:eigenwerte:eqn:minmax} für
+$\max(f(x),g(x))$ und $\min(f(x),g(x))$.
+Die purpurrote Kurve stellt den Mittelwert von $f(x)$ und $g(x)$ dar,
+die vertikalen grünen Linien haben die Länge der Differenz $|f(x)-g(x)|$.
+Das Maximum erhält man, indem man den halben Betrag der Differenz zum
+Mittelwert hinzuaddiert, das Minimum erhält man durch Subtraktion
+der selben Grösse.
+\label{buch:eigenwerte:fig:minmax}}
+\end{figure}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wer konstruieren zunächst das in
+Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}
+visualierte Verfahren, mit dem für jede Zahl $a\in[0,1]$
+die Wurzel $\sqrt{a}$ berechnet werden kann.
+Sei $u < \sqrt{a}$ eine Approximation der Wurzel.
+Die Approximation ist der exakte Wert der Lösung, wenn $a-u^2=0$.
+In jedem anderen Fall muss $u$ um einen Betrag $d$ vergrössert werden.
+Natürlich muss immer noch $u+d<\sqrt{a}$ sein.
+Man kann die maximal zulässige Korrektur $d$ geometrisch abschätzen,
+wie dies in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}
+skizziert ist.
+Die maximale Steigung des Graphen der Funktion $u\mapsto u^2$ ist $2$,
+daher darf man $u$ maximal um die Hälfte der Differenz $a-u^2$ (grün)
+vergrössern, also $d=\frac12(a-u^2)$.
+Die Rekursionsformel
+\[
+u_{n+1} = u_n + d = u_n + \frac12(a-u_n^2)
+\]
+mit dem Startwert $u_0=0$ liefert daher eine 
+Folge, die gegen $\sqrt{a}$ konvergiert.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis des Satzes von Stone-Weierstrass]
+Da $A$ eine Algebra ist, ist mit jeder Funktion $f\in A$ für jedes Polynome
+$p\in\mathbb{R}[X]$ auch $p(f)$ eine Funktion in $A$.
+\begin{enumerate}
+\item Schritt: Für jede Funktion $f\in A$ lässt sich auch $|f|$ durch
+Funktionen in $A$ beliebig genau durch eine monoton wachsende Folge
+von Funktionen approximieren.
+
+Da $A$ eine Algebra ist, ist $f^2\in A$.
+Sei ausserdem $m^2=\sup \{f(x)^2\;|\;x\in K\}$, so dass $f^2/m^2$ eine Funktion
+mit Werten im Intervall $[0,1]$ ist.
+Die Funktionen $f_n(x)=mu_n(f(x)^2/m^2)$ sind ebenfalls in $A$ und
+approximieren gleichmässig $\sqrt{f(x)^2}=|f(x)|$.
+\item Schritt: Für zwei Funktionen $f,g\in A$ gibt es eine monoton wachsende
+Folge, die $\max(f,g)$ gleichmässig beliebig genau approximiert
+und eine monoton fallende Folge, die $\min(f,g)$ gleichmässig beliebig 
+genau approximiert.
+
+
+Diese Folgen können aus der Approximationsfolge für den Betrag einer
+Funktion und den Identitäten
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\max(f,g) &= \frac12(f+g+|f-g|) \\
+\min(f,g) &= \frac12(f+g-|f-g|) 
+\end{aligned}
+\label{buch:eigenwerte:eqn:minmax}
+\end{equation}
+gefunden werden, die in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:minmax}
+graphisch erklärt werden.
+\item Schritt: Zu zwei beliebigen Punkten $x,y\in K$ und Werten
+$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gibt es immer eine Funktion in $A$,
+die in den Punkten $x,y$ die vorgegebenen Werte $\alpha$ bzw.~$\beta$
+annimmt.
+Da $A$ die Punkte trennt, gibt es eine Funktion $f_0$ mit $f_0(x)\ne f_0(y)$.
+Dann ist die Funktion
+\[
+f(t)
+=
+\beta + \frac{f_0(t)-f_0(y)}{f_0(x)-f_0(y)}(\alpha-\beta)
+\]
+wohldefiniert und nimmt die verlangten Werte an.
+\item Schritt: Zu jeder stetigen Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$, jedem
+Punkt $x\in K$ und jedem $\varepsilon>0$ gibt es eine Funktion $g\in A$ derart,
+dass $g(x)=f(x)$ und $g(y) \le f(y)+\varepsilon$ für alle $y\in K$.
+
+Zu jedem $z\in K$ gibt es eine Funktion in $A$ mit
+$h_z(x)=f(x)$ und $h_z(z) \le f(z)+\frac12\varepsilon$.
+Wegen der Stetigkeit von $h_z$ gibt es eine Umgebung $V_z$ von $z$, in der
+immer noch gilt $h_z(y)\le f(y)+\varepsilon$ für $y\in V_z$.
+Wegen der Kompaktheit von $K$ kann man endlich viele Punkte $z_i$ wählen
+derart, dass die $V_{z_i}$ immer noch $K$ überdecken.
+Dann erfüllt die Funktion
+\(
+g(z) = \inf h_{z_i}
+\)
+die Bedingungen $g(x) = f(x)$ und für $z\in V_{z_i}$
+\[
+g(z) = \inf_{j} h_{z_j}(z) \le h_{z_i}(z) \le f(z)+\varepsilon.
+\]
+Ausserdem ist $g(z)$ nach dem zweiten Schritt beliebig genau durch
+Funktionen in $A$ approximierbar.
+\item Schritt: Jede stetige Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$ kann
+beliebig genau durch Funktionen in $A$ approximiert werden.
+Sei $\varepsilon > 0$.
+
+Nach dem vierten Schritt gibt es für jedes $y\in K$ eine Funktion $g_y$
+derart, dass $g_y(y)=f(y)$  und $g_y(x) \le f(x) + \varepsilon$ für
+$x\in K$.
+Da $g_y$ stetig ist, gilt ausserdem $g_y(x) \ge f(x) -\varepsilon$ in
+einer Umgebung $U_y$ von $y$.
+Da $K$ kompakt ist, kann man endlich viele $y_i$ derart, dass die $U_{y_i}$
+immer noch ganz $K$ überdecken.
+Die Funktion $g=\sup g_{y_i}$ erfüllt dann überall $g(x) \le f(x)+\varepsilon$,
+weil jede der Funktionen $g_y$ diese Ungleichung erfüllt.
+Ausserdem gilt für $x\in V_{x_j}$
+\[
+g(x) = \sup_i g_{x_i}(x) \ge g_{x_j}(x) \ge f(x)-\varepsilon.
+\]
+Somit ist
+\[
+|f(x)-g(x)| \le \varepsilon.
+\]
+Damit ist $f(x)$ beliebig nahe an der Funktion $g(x)$, die sich 
+beliebig genau durch Funktionen aus $A$ approximieren lässt.
+\qedhere
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+Im ersten Schritt des Beweises ist ganz entscheidend, dass man die
+Betragsfunktion konstruieren kann.
+Daraus leiten sich dann alle folgenden Konstruktionen ab.
+
+\subsubsection{Anwendung auf symmetrische und hermitesche Matrizen}
+Für symmetrische und hermitesche Matrizen $A$ ist bekannt, dass die
+Eigenwerte reell sind, also das Spektrum $\operatorname{A}\subset\mathbb{R}$
+ist.
+Für eine Funktion $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ lässt sich nach dem
+Satz~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} immer eine Folge $p_n$ von
+approximierenden Polynomen in $x$ finden, die auf $\operatorname{Sp}(A)$
+gleichmässig konvergiert.
+Die Matrix $f(A)$ kann dann definiert werden also der Grenzwert
+\[
+f(A) = \lim_{n\to\infty} p_n(A).
+\]
+Da diese Matrizen auch diagonalisierbar sind, kann man eine Basis
+aus Eigenvektoren verwenden.
+Die Wirkung von $p_n(A)$ auf einem Eigenvektor $v$ zum Eigenwert $\lambda$
+ist
+\[
+p_n(A)v
+=
+(a_kA^k + a_{k-1}A^{k-1}+\dots +a_2A^2+a_1A+a_0I)v
+=
+(a_k\lambda^k + a_{k-1}\lambda^{k-1}+\dots + a_2\lambda^2 + a_1\lambda + a_0)v
+=
+p_n(\lambda)v.
+\]
+Im Grenzwert wirkt $f(A)$ daher durch Multiplikation eines Eigenvektors
+mit $f(\lambda)$, die Matrix $f(A)$ hat in der genannten Basis die
+Diagonalform
+\[
+A=\begin{pmatrix}
+\lambda_1&         &      &         \\
+         &\lambda_2&      &         \\
+         &         &\ddots&         \\
+         &         &      &\lambda_n
+\end{pmatrix}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+f(A)=\begin{pmatrix}
+f(\lambda_1)&            &      &            \\
+            &f(\lambda_2)&      &            \\
+            &            &\ddots&            \\
+            &            &      &f(\lambda_n)
+\end{pmatrix}.
+\]
+
+\begin{satz}
+\label{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz}
+Ist $A$ symmetrische oder selbstadjungiert Matrix und $f$ eine Funktion
+auf dem Spektrum $\operatorname{Sp}(A)$ von $A$.
+Dann gibt es genau eine Matrix $f(A)$, die Grenzwert jeder beliebigen
+Folge $p_n(A)$ für Polynomfolgen, die $\operatorname{Sp}(A)$ gleichmässig
+gegen $f$ konvergieren.
+\end{satz}
+
+\subsubsection{Unmöglichkeit der Approximation von $z\mapsto \overline{z}$
+in $\mathbb{C}[z]$}
+Der Satz~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} von Stone-Weierstrass für
+reelle Funktionen gilt nicht für komplexe Funktionen.
+In diesem Abschnitt zeigen wir, dass sich die Funktion $z\mapsto\overline{z}$
+auf der Einheitskreisscheibe $K=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|\le 1\}$ nicht
+gleichmässig durch Polynome $p(z)$ mit komplexen Koeffizienten approximieren
+lässt.
+
+Wäre eine solche Approximation möglich, dann könnte man $\overline{z}$
+auch durch eine Potenzreihe
+\[
+\overline{z}
+=
+\sum_{k=0}^\infty a_kz^k
+\]
+darstellen.
+Das Wegintegral beider Seiten über den Pfad $\gamma(t) = e^{it}$
+in der komplexen Ebene ist
+\begin{align*}
+\oint_\gamma z^k\,dz
+&=
+\int_0^{2\pi} e^{ikt} ie^{it}\,dt
+=
+i\int_0^{2\pi} e^{it(k+1)}\,dt
+=
+i\biggl[ \frac{1}{i(k+1)} e^{it(k+1)}\biggr]_0^{2\pi}
+=
+0
+\\
+\oint_\gamma
+\sum_{k=0}^\infty a_kz^k
+\,dz
+&=
+\sum_{k=0}^\infty a_k \oint_\gamma z^k\,dz
+=
+\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot 0
+=
+0
+\\
+\oint_\gamma \overline{z}\,dz
+&=
+\int_0^{2\pi} e^{it} ie^{it}\,dt
+=
+i\int_0^{2\pi} \,dt = 2\pi i,
+\end{align*}
+dabei wurde $\overline{\gamma}(t)=e^{-it}$ verwendet.
+Insbesondere widersprechen sich die beiden Integrale.
+Die ursprüngliche Annahmen, $\overline{z}$ lasse sich durch Polynome
+gleichmässig approximieren, muss daher verworfen werden.
+
+\subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Funktionen}
+Der Satz von Stone-Weierstrass kann nach dem vorangegangene Abschnitt
+also nicht gelten.
+Um den Beweis des Satzes~\ref{buch:satz:stone-weierstrass}
+auf komplexe Zahlen zu übertragen, muss im ersten Schritt ein Weg
+gefunden werden, den Betrag einer Funktion zu approximieren.
+
+Im reellen Fall geschah dies, indem zunächst eine Polynom-Approximation
+für die Quadratwurzel konstruiert wurde, die dann auf das Quadrat einer
+Funktion angewendet wurde.
+Der Betrag einer komplexen Zahl $z$ ist aber nicht allein aus $z$
+berechenbar, man braucht in irgend einer Form Zugang zu Real-
+und Imaginärteil.
+Zum Beispiel kann man Real- und Imaginärteil als
+$\Re z= \frac12(z+\overline{z})$ und $\Im z = \frac12(z-\overline{z})$
+bestimmen.
+Kenntnis von Real- und Imaginärteil ist als gleichbedeutend mit
+der Kenntnis der komplex Konjugierten $\overline{z}$.
+Der Betrag lässt sich daraus als $|z|^2 = z\overline{z}$ finden.
+Beide Beispiele zeigen, dass man den im Beweis benötigten Betrag
+nur dann bestimmen kann, wenn mit jeder Funktion aus $A$ auch die
+komplex konjugierte Funktion zur Verfügung steht.
+
+\begin{satz}[Stone-Weierstrass]
+Enthält eine $\mathbb{C}$-Algebra $A$ von stetigen, komplexwertigen
+Funktionen auf einer kompakten Menge $K$ die konstanten Funktionen,
+trennt sie Punkte und ist ausserdem mit jeder Funktion $f\in A$ auch
+die komplex konjugiert Funktion $\overline{f}\in A$,
+dann lässt sich jede stetige, komplexwertige Funktion 
+auf $K$ gleichmässig durch Funktionen aus $A$ approximieren.
+\end{satz}
+
+Mit Hilfe der konjugiert komplexen Funktion lässt sich immer eine
+Approximation für die Betragsfunktion finden, so dass sich der
+Beweis des reellen Satzes von Stone-Weierstrass übertragen lässt.
+
+%
+% Normale Matrizen
+%
+\subsection{Normale Matrizen
+\label{buch:subsection:normale-matrizen}}
+Aus dem Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Matrizen kann man
+jetzt einen Spektralsätze für eine etwas grössere Klasse von Matrizen
+ableiten, als im Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz}
+möglich war.
+Der Satz besagt, dass für eine beliebige Funktion $f$ auf dem Spektrum
+$\operatorname{Sp}(A)$ eine Folge von auf $\operatorname{Sp}(A)$
+gleichmässig konvergenten, approximierenden Polynomen
+$p_n(z,\overline{z})$ gefunden werden kann.
+Doch wie soll jetzt aus dieser Polynomfolge ein Kandidat von $f(A)$
+gefunden werden?
+
+Zunächst stellt sich die Frage, was für die Variable $\overline{z}$ 
+eingesetzt werden soll.
+$1\times 1$-Matrizen sind notwendigerweise diagonal, also muss 
+man in diesem Fall die Matrix $\overline{A}$ für die Variable
+$\overline{z}$ eingesetzt werden.
+Dies erklärt aber noch nicht, wie für $n\times n$-Matrizen
+vorzugehen ist, wenn $n>1$ ist.
+
+Die Notwendigkeit, die Variable $\overline{z}$ hinzuzunehmen
+ergab sich aus der Anforderung, dass der Betrag aus $|z|^2=z\overline{z}$
+konstruiert werden können muss.
+Insbesondere muss beim Einsetzen eine Matrix entstehen, die nur 
+positive Eigenwerte hat.
+Für eine beliebige komplexe $n\times n$-Matrix $A$ ist aber
+$A\overline{A}$ nicht notwendigerweise positiv, wie das Beispiel
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+A\overline{A}
+=
+\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+-1&0\\
+ 0&-1
+\end{pmatrix}
+=
+-I
+\]
+zeigt.
+Eine positive Matrix entsteht dagegen immer, wenn man statt
+$A$ die Adjungierte $A^*=\overline{A}^t$ verwendet.
+
+Die Substitution von $A$ für $z$ und $A^*$ für $\overline{z}$
+in einem Polynom $p(z,\overline{z})$ ist nicht unbedingt eindeutig.
+Schon das Polynom $p(z,\overline{z})=z\overline{z}$ kann man auch
+als $\overline{z}z$ schreiben.
+Damit die Substition eindeutig wird, muss man also fordern, dass
+$AA^* = A^*A$ ist.
+
+\begin{definition}
+Eine Matrix $A\in M_n(\mathbb{C})$ heisst {\em normal}, wenn $AA^*=A^*A$ gilt.
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Beispiele normaler Matrizen}
+
+\begin{enumerate}
+\item
+Hermitesche und Antihermitesche Matrizen sind normal, denn solche
+Matrizen erfüllen $A^*=\pm A$ und damit
+\(
+AA^* = \pm A^2 = A^*A.
+\)
+\item
+Symmetrische und antisymmetrische Matrizen sind normal,
+denn aus $A=A^t$ folgt $A^*=\overline{A}^t$ und damit
+\begin{align*}
+AA^* &=  A\overline{A}^t = 
+\\
+A^*A &=
+\end{align*}
+\item
+Unitäre Matrizen $U$ sind normal, das $UU^*=I=U^*U$ gilt.
+\item
+Orthogonale Matrizen sind normal wegen $O(n) = U(n) \cap M_n(\mathbb{R})$.
+\end{enumerate}
+
+Jede Matrix lässt sich durch Wahl einer geeigneten Basis in Jordansche 
+Normalform bringen.
+Allerdings sind Jordan-Blöcke keine normalen Matrizen, wie der folgende
+Satz zeigt.
+
+\begin{satz}
+Eine Dreiecksmatrix ist genau dann normal, wenn sie diagonal ist.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Sei $A$ eine obere Dreiecksmatrix, das Argument für eine untere Dreiecksmatrix
+funktioniert gleich.
+Wir berechnen ein Diagonalelement für beide Produkte $AA^*$ und $A^*A$.
+Dazu brauchen wir die Matrixelemente von $A$ und $A^*$.
+Bezeichnen wir die Matrixelemente von $A$ mit $a_{ij}$, dann hat $A^*$
+die Matrixelemente $(A^*)_{ij}=\overline{a}_{ji}$.
+Damit kann man die Diagonalelemente der Produkte als
+\begin{align*}
+(AA^*)_{ii}
+&=
+\sum_{j=1}^n a_{ij}\overline{a}_{ij}
+=
+\sum_{j=i}^n |a_{ij}|^2
+\\
+(A^*A)_{ii}
+&=
+\sum_{j=1}^n \overline{a}_{ji}a_{ji}
+=
+\sum_{j=1}^i |a_{ji}|^2
+\end{align*}
+ausrechnen.
+Der obere Ausdruck ist die quadrierte Länge der Zeile $i$ der Matrix $A$,
+der untere ist die quadrierte Länge der Spalte $i$.
+Da die Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist, hat die erste Spalte höchstens
+ein einziges von $0$ verschiedenes Element.
+Daher kann auch die erste Zeile höchstens dieses eine Elemente haben.
+Die Matrix hat daher Blockstruktur mit einem $1\times 1$-Block in der
+linken obere Ecke und einem  $n-1$-dimensionalen Block für den Rest.
+Durch Wiederholen des Arguments für den $(n-1)\times (n-1)$-Block 
+kann man so schrittweise schliessen, dass die Matrix $A$ diagonal sein muss.
+\end{proof}
+
+
+\begin{satz}
+Sind $A$ und $B$ normale Matrizen und $AB^*=B^*A$, dann sind auch $A+B$
+und $AB$ normal.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst folgt aus $AB^*=B^*A$ auch
+$A^*B = (B^*A)^* = (AB^*)^* = BA^*$.
+Der Beweis erfolgt durch Nachrechnen:
+\begin{align*}
+(A+B)(A+B)^*
+&=
+AA^* + AB^* + BA^*+BB^*
+\\
+(A+B)^*(A+B)
+&=
+A^*A + A^*B + B^*A + B^*B
+\end{align*}
+Die ersten und letzten Terme auf der rechten Seite stimmen überein, weil
+$A$ und $B$ normal sind.
+Die gemischten Terme stimmen überein wegen der Vertauschbarkeit von
+$A$ und $B^*$.
+
+Für das Produkt rechnet man
+\begin{align*}
+(AB)(AB)^*
+&= ABB^*A^* = AB^*BA^*
+= B^*AA^*B
+=
+B^*A^*AB
+=
+(AB)^*(AB),
+\end{align*}
+was zeigt, dass auch $AB$ normal ist.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Äquivalente Bedingungen}
+Es gibt eine grosse Zahl äquivalenter Eigenschaften für normale Matrizen.
+Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
+\begin{enumerate}
+\item
+Die Matrix $A$ ist mit einer unitären Matrix diagonalisierbar
+\item
+Es gibt eine orthonormale Basis von Eigenvektoren von $A$ für $\mathbb{C}^n$
+\item
+Für jeden Vektor $x\in\mathbb{C}^n$ gilt $\|Ax\|=\|A^*x\|$
+\item
+Die Forbenius-Norm der Matrix $A$ kann mit den Eigenwerten $\lambda_i$
+von $A$ berechnet werden:
+$\operatorname{Spur}(A^*A) = \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2$
+\item
+Der hermitesche Teil $\frac12(A+A^*)$ und der antihermitesche Teil
+$\frac12(A-A^*)$ von $A$ vertauschen.
+\item
+$A^*$ ist ein Polynom vom Grad $n-1$ in $A$.
+\item
+Es gibt eine unitäre Matrix $U$ derart, dass $A^*=AU$
+\item
+Es gibt eine Polarzerlegugn $A=UP$ mit einer unitären Matrix $U$ und
+einer postiv semidefiniten Matrix $P$, die untereinander vertauschen.
+\item
+Es gibt eine Matrix $N$ mit verschiedenen Eigenwerten, mit denen $A$
+vertauscht.
+\item
+Wenn $A$ die (absteigend geordneten) singulärwerte $\sigma_i$ und
+die absteigend geordneten Eigenwerte $\lambda_i$ hat,
+dann it $\sigma_i=|\lambda_i|$.
+\end{enumerate}
+
+
+
 
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex
index 2fab61a..dd82067 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex
@@ -2,7 +2,7 @@ Verwenden Sie die Matrixdarstellung komplexer Zahlen, um $i^i$ zu
 berechnen.
 
 \begin{hinweis}
-Verwenden Sie die eulersche Formel um $\log J$ zu bestimmen.
+Verwenden Sie die Eulersche Formel um $\log J$ zu bestimmen.
 \end{hinweis}
 
 \begin{loesung}
@@ -14,11 +14,11 @@ Zunächst erinnern wir an die Eulersche Formel
 =
 \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k J^k}{k!}
 =
-\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i}(-1)^i}{(2i)!}\cdot E
+\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i}(-1)^i}{(2i)!}\cdot I
 +
 \sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i+1}(-1)^i}{(2i+1)!}\cdot J
 =
-\cos t\cdot E
+\cos t\cdot I
 +
 \sin t\cdot J.
 \]
@@ -49,7 +49,7 @@ J = \begin{pmatrix}
 Als nächstes müssen wir $J\log J$ berechnen.
 Aus \eqref{4001:logvalue} folgt
 \[
-J\log J = J\cdot \frac{\pi}2J = - \frac{\pi}2 \cdot E.
+J\log J = J\cdot \frac{\pi}2J = - \frac{\pi}2 \cdot I.
 \]
 Darauf ist die Exponentialreihe auszuwerten, also
 \[
@@ -57,7 +57,7 @@ J^J
 =
 \exp (J\log J)
 =
-\exp(-\frac{\pi}2 E)
+\exp(-\frac{\pi}2 I)
 =
 \exp
 \begin{pmatrix}
@@ -70,7 +70,7 @@ e^{-\frac{\pi}2}&0\\
 0&e^{-\frac{\pi}2}
 \end{pmatrix}
 =
-e^{-\frac{\pi}2} E.
+e^{-\frac{\pi}2} I.
 \]
 Als komplexe Zahlen ausgedrückt folgt also $i^i = e^{-\frac{\pi}2}$.
 \end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex
index 3cd9959..b749356 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex
@@ -78,11 +78,11 @@ Ab_1 =
 3b_1
 \]
 ab.
-Diesen  Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-eE)$
+Diesen  Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-2I)$
 bestimmen.
-Die vierte Potenz von $A-2E$ ist
+Die vierte Potenz von $A-2I$ ist
 \begin{equation}
-(A-2E)^4
+(A-2I)^4
 =
 \begin{pmatrix}
    0&  0&  0&  0\\
@@ -108,13 +108,13 @@ b_4
 =
 \begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix}
 \]
-für den Kern $\mathcal{K}(A-2E)$ ablesen.
-Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2E)
-= \mathcal{J}(A-3E)$ sein.
-Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2E$
+für den Kern $\mathcal{K}(A-2I)$ ablesen.
+Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2I)
+= \mathcal{J}(A-3I)$ sein.
+Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2I$
 berechnen, sie ist
 \[
-(A-2E)^4
+(A-2I)^4
 =
 \begin{pmatrix}
     79&  -26&  152& -152\\
@@ -124,7 +124,7 @@ berechnen, sie ist
 \end{pmatrix}.
 \]
 Die Spaltenvektoren lassen sich alle durch die Vektoren $b_2$, $b_3$
-und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2E)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$.
+und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2I)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$.
 
 Indem die Vektoren $b_i$ als Spalten in eine Matrix $T$ schreibt, kann man
 jetzt berechnen, wie die Matrix der linearen Abbildung in dieser neuen
@@ -154,16 +154,16 @@ A_1
 \end{pmatrix}
 \]
 in der rechten unteren Ecke hat den dreifachen Eigenwert $2$, 
-und die Potenzen von $A_1-2E$ sind
+und die Potenzen von $A_1-2I$ sind
 \[
-A_1-2E
+A_1-2I
 \begin{pmatrix}
   -15 &  5&  29\\
   -27 &  9&  51\\
    -3 &  1&   6
 \end{pmatrix}
 ,\qquad
-(A_1-2E)^2
+(A_1-2I)^2
 =
 \begin{pmatrix}
     3 & -1 & -6\\
@@ -171,10 +171,10 @@ A_1-2E
     0 &  0 &  0\\
 \end{pmatrix}
 ,\qquad
-(A_1-2E)^3=0.
+(A_1-2I)^3=0.
 \]
 Für die Jordan-Normalform brauchen wir einen von $0$ verschiedenen
-Vektor im Kern von $(A_1-2E)^2$, zum Beispiel den Vektor mit den
+Vektor im Kern von $(A_1-2I)^2$, zum Beispiel den Vektor mit den
 Komponenten $1,3,1$.
 Man beachte aber, dass diese Komponenten jetzt in der neuen Basis
 $b_2,\dots,b_4$ zu verstehen sind, d.~h.~der Vektor, den wir suchen, ist
@@ -185,7 +185,7 @@ b_1+ 3b_2+b_3
 =
 \begin{pmatrix}1\\3\\1\\2\end{pmatrix}.
 \]
-Jetzt berechnen wir die Bilder von $c_3$ unter $A-2E$:
+Jetzt berechnen wir die Bilder von $c_3$ unter $A-2I$:
 \[
 c_2
 =
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4004.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4004.tex
new file mode 100644
index 0000000..5940b46
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4004.tex
@@ -0,0 +1,72 @@
+Berechnen Sie $\sin At$ für die Matrix
+\[
+A=\begin{pmatrix}
+\omega& 1 \\
+ 0 &\omega
+\end{pmatrix}.
+\]
+Kontrollieren Sie Ihr Resultat, indem Sie den Fall $\omega = 0$ gesondert
+ausrechnen.
+\begin{hinweis}
+Schreiben Sie $A=\omega I + N$ mit einer nilpotenten Matrix.
+\end{hinweis}
+
+\begin{loesung}
+Man muss $At$ in die Potenzreihe
+\[
+\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \dots
+\]
+für die Sinus-Funktion einsetzen.
+Mit der Schreibweise $A=\omega I + N$, wobei $N^2=0$ können die Potenzen etwas
+leichter berechnet werden:
+\begin{align*}
+A^0 &= I
+\\
+A^1 &= \omega I + N
+\\
+A^2 &= \omega^2 I + 2\omega N
+\\
+A^3 &= \omega^3 I + 3\omega^2 N
+\\
+A^4 &= \omega^4 I + 4\omega^3 N
+\\
+&\phantom{a}\vdots
+\\
+A^k &= \omega^k I + k\omega^{k-1} N
+\end{align*}
+Damit kann man jetzt $\sin At$ berechnen:
+\begin{align}
+\sin At
+&=
+At - \frac{A^3t^3}{3!}  + \frac{A^5t^5}{5!} - \frac{A^7t^7}{7!}
+\dots
+\notag
+\\
+&=
+\biggl(
+\omega t  - \frac{\omega^3t^3}{3!} + \frac{\omega^5t^5}{5!} - \frac{\omega^7t^7}{7!}
++\dots
+\biggr)I
++
+\biggl(
+t -\frac{3\omega^2t^3}{3!} + \frac{5\omega^4t^5}{5!} - \frac{7\omega^6t^7}{7!}+\dots
+\biggr)N
+\notag
+\\
+&=
+I\sin\omega t
++tN\biggl(1-\frac{\omega^2t^2}{2!} +\frac{\omega^4t^4}{4!}
+- \frac{\omega^6t^6}{6!}
++\dots\biggr)
+\notag
+\\
+&=I\sin\omega t + tN\cos\omega t.
+\label{4004:resultat}
+\end{align}
+Im Fall $\omega=0$ ist $A=N$ und $A^2=0$, so dass
+\[
+\sin At = tN,
+\]
+dies stimmt mit \eqref{4004:resultat} für $\omega=0$ überein, da
+$\cos\omega t = \cos 0=1$ in diesem Fall.
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex
new file mode 100644
index 0000000..ec76c34
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex
@@ -0,0 +1,151 @@
+Rechnen Sie nach, dass die Matrix
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix}
+2&1&0\\
+0&2&1\\
+1&0&2
+\end{pmatrix}
+\]
+normal ist.
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Berechnen Sie die Eigenwerte, indem Sie das charakteristische Polynom 
+von $A$ und seine Nullstellen bestimmen.
+\item
+Das Polynom
+\[
+p(z,\overline{z})
+=
+\frac{(3-\sqrt{3})z\overline{z}-9(1-\sqrt{3})}{6}
+\]
+hat die Eigenschaft, dass 
+\begin{align*}
+p(\lambda,\lambda) &= |\lambda|
+\end{align*}
+für alle drei Eigenwerte von $A$.
+Verwenden Sie dieses Polynom, um $B=|A|$ zu berechen.
+\item
+Überprüfen Sie Ihr Resultat, indem Sie mit einem Computeralgebra-Programm
+die Eigenwerte von $B$ bestimmen.
+\end{teilaufgaben}
+
+\begin{loesung}
+Die Matrix $A$ ist von der Form $2I+O$ mit $O\in\operatorname{SO}(3)$,
+für solche Matrizen wurde gezeigt, dass sie normal sind.
+Man kann aber auch direkt nachrechnen:
+\begin{align*}
+AA^t
+&=
+\begin{pmatrix}
+2&1&0\\
+0&2&1\\
+1&0&2
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+2&0&1\\
+1&2&0\\
+0&1&2
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+5&2&2\\
+2&5&2\\
+2&2&5
+\end{pmatrix}
+\\
+A^tA
+&=
+\begin{pmatrix}
+2&0&1\\
+1&2&0\\
+0&1&2
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+2&1&0\\
+0&2&1\\
+1&0&2
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+5&2&2\\
+2&5&2\\
+2&2&5
+\end{pmatrix}
+\end{align*}
+Es gilt also $AA^t=A^tA$, die Matrix ist also normal.
+\begin{teilaufgaben}
+\item Das charakteristische Polynom ist
+\begin{align}
+\chi_A(\lambda)
+&=\left|
+\begin{matrix}
+2-\lambda &    1      &      0     \\
+    0     & 2-\lambda &      1     \\
+    1     &    0      & 2-\lambda
+\end{matrix}
+\right|
+=
+(2-\lambda)^3+1
+\label{4005:charpoly}
+\\
+&=-\lambda^3 -6\lambda^2 + 12\lambda +9.
+\notag
+\end{align}
+Mit einem Taschenrechner kann man die Nullstellen finden,
+aber man kann das auch die Form \eqref{4005:charpoly}
+des charakteristischen Polynoms direkt faktorisieren:
+\begin{align*}
+\chi_A(\lambda)
+&=
+(2-\lambda)^3+1
+\\
+&=
+((2-\lambda)+1)
+((2-\lambda)^2 -(2-\lambda)+1)
+\\
+&=
+(3-\lambda)
+(\lambda^2-3\lambda +4-2+\lambda +1)
+\\
+&=
+(3-\lambda)
+(\lambda^2-2\lambda +3)
+\end{align*}
+Daraus kann man bereits einen Eigenwert $\lambda=3$ ablesen,
+die weiteren Eigenwerte sind die Nullstellen des zweiten Faktors, die
+man mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen finden kann:
+\begin{align*}
+\lambda_{\pm}
+&=
+\frac{3\pm\sqrt{9-12}}{2}
+=
+\frac{3}{2} \pm\frac{\sqrt{-3}}{2}
+=
+\frac{3}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}
+\end{align*}
+\item
+Wir müssen $z=A$ und $\overline{z}=A^t$ im Polynom $p(z,\overline{z})$
+substituieren und erhalten
+\begin{align*}
+B
+&=
+\frac{3-\sqrt{3}}6 \begin{pmatrix}5&2&2\\2&5&2\\2&2&5\end{pmatrix}
++\frac{\sqrt{3}-1}{2}I
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+   2.1547005&  0.42264973&  0.42264973 \\
+   0.4226497&  2.15470053&  0.42264973 \\
+   0.4226497&  0.42264973&  2.15470053
+\end{pmatrix}
+\end{align*}
+\item
+Tatsächlich gibt die Berechnung der Eigenwerte
+den einfachen Eigenwert $\mu_0=3=|\lambda_0|$
+und
+den doppelten Eigenwert $\mu_{\pm} = \sqrt{3}=1.7320508=|\lambda_{\pm}|$.
+\qedhere
+\end{teilaufgaben}
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima
new file mode 100644
index 0000000..9c97a2b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima
@@ -0,0 +1,121 @@
+/*
+ * 4006.maxima
+ *
+ * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+
+A: matrix([ a+b*%i,      1,       0,      0 ],
+          [      0, a+b*%i,       0,      0 ],
+          [      0,      0,  a-b*%i,      1 ],
+          [      0,      0,       0, a-b*%i ]);
+
+expand(charpoly(A, x));
+
+S: (1/sqrt(2)) * matrix([ 1, -%i,  0,   0 ],
+                        [ 0,   0,  1, -%i ],
+                        [ 1,  %i,  0,   0 ],
+                        [ 0,   0,  1,  %i ]);
+
+B: expand(invert(S).A.S);
+
+
+C: subst(2, a, B);
+C: subst(3, b, C);
+A: subst(2, a, A);
+A: subst(3, b, A);
+
+U: matrix([ 1, 0, 1, 0 ],
+          [ 0, 1, 1, 2 ],
+          [ 0, 0, 1, 0 ],
+          [ 0, 0, 0, 1 ]);
+V: matrix([ 1, 0, 0, 0 ],
+          [ 0, 1, 0, 0 ],
+          [ 0, 1, 1, 0 ],
+          [ 1, 0, 0, 1 ]);
+T: U.V;
+invert(T);
+
+D: T.C.invert(T);
+
+p: expand(charpoly(D, x));
+
+factor(p);
+
+lambda: 2+3*%i;
+
+Dlambda: ratsimp(expand(D - lambda * identfor(D)));
+rank(Dlambda);
+/* D2: expand(Dlambda.Dlambda); */
+/* rank(D2); */
+
+load(functs);
+
+/*
+E: Dlambda;
+E[1]: (rational(1/E[1,1]))*E[1]$
+E[2]: E[2] - E[2,1] * E[1]$
+E[3]: E[3] - E[3,1] * E[1]$
+E[4]: E[4] - E[4,1] * E[1]$
+E: ratsimp(E)$
+
+E[2]: (rational(1/E[2,2])) * E[2]$
+E[3]: E[3] - E[3,2] * E[2]$
+E[4]: E[4] - E[4,2] * E[2]$
+E: ratsimp(E)$
+
+E[3]: (rational(1/E[3,3])) * E[3]$
+E[4]: E[4] - E[4,3] * E[3]$
+E: ratsimp(E)$
+
+E[2]: E[2] - E[2,3] * E[3]$
+E[1]: E[1] - E[1,3] * E[3]$
+E: ratsimp(E)$
+
+E[1]: E[1] - E[1,2] * E[2]$
+E: ratsimp(E)$
+
+E;
+*/
+
+b1: matrix([1+%i],[2+2*%i],[%i],[1]);
+ratsimp(D.b1 - lambda*b1);
+
+G: Dlambda;
+G: addcol(G, b1);
+G[1]: (rational(1/G[1,1]))*G[1]$
+G[2]: G[2] - G[2,1] * G[1]$
+G[3]: G[3] - G[3,1] * G[1]$
+G[4]: G[4] - G[4,1] * G[1]$
+G: ratsimp(G)$
+
+G[2]: (rational(1/G[2,2])) * G[2]$
+G[3]: G[3] - G[3,2] * G[2]$
+G[4]: G[4] - G[4,2] * G[2]$
+G: ratsimp(G)$
+
+G[3]: (rational(1/G[3,3])) * G[3]$
+G[4]: G[4] - G[4,3] * G[3]$
+G: ratsimp(G)$
+
+G[2]: G[2] - G[2,3] * G[3]$
+G[1]: G[1] - G[1,3] * G[3]$
+G: ratsimp(G)$
+
+G[1]: G[1] - G[1,2] * G[2]$
+G: ratsimp(G)$
+
+G;
+
+b2: matrix([ G[1,5] ], [ G[2,5] ], [ G[3,5] ], [ G[4,5] ]);
+
+expand(D.b2 - lambda * b2 - b1);
+
+c1: 2 * realpart(b1);
+d1: 2 * imagpart(b1);
+c2: 2 * realpart(b2);
+d2: 2 * imagpart(b2);
+
+D.c1 - 2 * c1 + 3 * d1;
+D.d1 - 3 * c1 - 2 * d1;
+D.c2 - 2 * c2 + 3 * d2 - c1;
+D.d2 - 3 * c2 - 2 * d2 - d1;
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
new file mode 100644
index 0000000..7ccc065
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
@@ -0,0 +1,97 @@
+Man findet eine Basis, in der die Matrix
+\[
+A=\begin{pmatrix*}[r]
+ -5&  2&  6&   0\\
+-11& 12& -3& -15\\
+ -7&  0&  9&   4\\
+  0&  5& -7&  -8
+\end{pmatrix*}
+\]
+die relle Normalform bekommt.
+
+\begin{loesung}
+Das charakteristische Polynom der Matrix ist 
+\[
+\chi_{A}(\lambda)
+=
+\lambda^4-8\lambda^3+42\lambda^2-104\lambda+169
+=
+(\lambda^2-4\lambda+13)^2.
+\]
+Es hat die doppelten Nullstellen
+\[
+\lambda_\pm
+=
+2\pm \sqrt{4-13}
+=
+2\pm \sqrt{-9}
+=
+2\pm 3i.
+\]
+Zur Bestimmung der Basis muss man jetzt zunächst den Kern von 
+$A_+=A-\lambda_+I$ bestimmen, zum Beispiel mit Hilfe des Gauss-Algorithmus,
+man findet
+\[
+b_1
+=
+\begin{pmatrix}
+1+i\\
+2+2i\\
+i\\
+1
+\end{pmatrix}.
+\]
+Als nächstes braucht man einen Vektor $b_1\in \ker A_+^2$, der 
+$b_1$ auf $b_1+\lambda_+b_2$ abbildet.
+Durch Lösen des Gleichungssystems $Ab_2-\lambda_+ b_2=b_1$ findet man
+\[
+b_2
+=
+\begin{pmatrix}
+2-i\\3\\2\\0
+\end{pmatrix}
+\qquad\text{und damit weiter}\qquad
+\overline{b}_1
+=
+\begin{pmatrix}
+1-i\\
+2-2i\\
+-i\\
+1
+\end{pmatrix},\quad
+\overline{b}_2
+=
+\begin{pmatrix}
+2+i\\3\\2\\0
+\end{pmatrix}.
+\]
+Als Basis für die reelle Normalform von $A$ kann man jetzt die Vektoren
+\begin{align*}
+c_1
+&=
+b_1+\overline{b}_1 = \begin{pmatrix}2\\4\\0\\2\end{pmatrix},&
+d_1
+&=
+\frac{1}{i}(b_1-\overline{b}_1) = \begin{pmatrix}2\\4\\2\\0\end{pmatrix},&
+c_2
+&=
+b_2+\overline{b}_2 = \begin{pmatrix}4\\6\\4\\0\end{pmatrix},&
+d_2
+&=
+\frac{1}{i}(b_2-\overline{b}_2) = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}
+\end{align*}
+verwenden.
+In dieser Basis hat $A$ die Matrix
+\[
+A'
+=
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 2& 3& 1& 0\\
+-3& 2& 0& 1\\
+ 0& 0& 2& 3\\
+ 0& 0&-3& 2
+\end{pmatrix*},
+\]
+wie man einfach nachrechnen kann.
+\end{loesung}
+
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
index 604e010..748b2e9 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
@@ -111,7 +111,7 @@ Permutationen.
 \end{definition}
 
 Die alternierende Gruppe $A_n$ ist tatsächlich eine Untergruppe.
-Zunächst ist $\operatorname{sign}(e)=(-1)^0=1$, also ist $e\in A_n$.
+Zunächst ist $\operatorname{sgn}(e)=(-1)^0=1$, also ist $e\in A_n$.
 Es wurde schon gezeigt, dass mit jedem Element $\sigma\in A_n$ auch
 das inverse Element $\sigma^{-1}\in A_n$ ist.
 Es muss aber noch sichergestellt werden, dass das Produkt von zwei
@@ -120,17 +120,17 @@ geraden Transpositionen wieder gerade ist:
 \begin{aligned}
 \sigma_1,\sigma_2&\in A_n
 &\Rightarrow&&
-\operatorname{sign}(\sigma_1)
+\operatorname{sgn}(\sigma_1)
 &=
-\operatorname{sign}(\sigma_2)
+\operatorname{sgn}(\sigma_2)
 =
 1
 \\
 &&\Rightarrow&&
-\operatorname{sign}(\sigma_1\sigma_2)
+\operatorname{sgn}(\sigma_1\sigma_2)
 &=
-\operatorname{sign}(\sigma_1)
-\operatorname{sign}(\sigma_2)
+\operatorname{sgn}(\sigma_1)
+\operatorname{sgn}(\sigma_2)
 =
 1\cdot 1=1
 &&\Rightarrow&
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex
index d07db3f..3b1abc1 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex
@@ -7,11 +7,41 @@
 \label{buch:chapter:matrizengruppen}}
 \lhead{Matrizengruppen}
 \rhead{}
+Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen oder
+physikalischen Systemen zu beschreiben.
+Neben diskreten Symmetrien wie zum Beispiel Spiegelungen gehören dazu
+auch kontinuierliche Symmetrien wie Translationen oder Invarianz einer
+phyisikalischen Grösse über die Zeit.
+Solche Symmetrien müssen durch Matrizen beschrieben werden können,
+die auf stetige oder sogar differenzierbare Art von der Zeit abhängen.
+Die Menge der Matrizen, die zur Beschreibung solcher Symmetrien benutzt
+werden, muss also eine zusätzliche Struktur haben, die ermöglicht, 
+sinnvoll über Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Matrizen
+zu sprechen.
+
+Die Menge der Matrizen bilden zunächst eine Gruppe,
+die zusätzliche differenziarbare Struktur macht daraus
+eine sogenannte Lie-Gruppe.
+Die Ableitungen nach einem Parameter liegen in der sogenannten
+Lie-Algebra, einer Matrizen-Algebra mit dem antisymmetrischen
+Lie-Klammer-Produkt $[A,B]=AB-BA$, auch Kommutator genannt.
+Lie-Gruppe und Lie-Algebra sind eng miteinander verknüpft,
+so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Gruppe aus den Eigenschaften
+der Lie-Gruppe aus der Lie-Algebra ableiten lassen.
+Die Verbindung wird hergestellt durch die Exponentialabbildung.
+Ziel dieses Kapitels ist, die Grundzüge dieses interessanten 
+Zusammenhangs darzustellen.
 
 \input{chapters/60-gruppen/symmetrien.tex}
 \input{chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex}
 \input{chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex}
-\input{chapters/60-gruppen/homogen.tex}
-
+%\input{chapters/60-gruppen/homogen.tex}
 
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{6002}
+\uebungsaufgabe{6001}
+\end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile b/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..3ed39e5
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile
@@ -0,0 +1,25 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	phasenraum.pdf kartenkreis.pdf karten.pdf sl2.pdf scherungen.pdf
+
+phasenraum.pdf:	phasenraum.tex
+	pdflatex phasenraum.tex
+
+kartenkreis.pdf:	kartenkreis.tex
+	pdflatex kartenkreis.tex
+
+torus.png:	torus.pov
+	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Otorus.png torus.pov
+
+karten.pdf:	karten.tex torus.png
+	pdflatex karten.tex
+
+sl2.pdf:	sl2.tex 
+	pdflatex sl2.tex
+
+scherungen.pdf:	scherungen.tex 
+	pdflatex scherungen.tex
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg b/buch/chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg
new file mode 100644
index 0000000..bf90a36
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.pdf b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.pdf
new file mode 100644
index 0000000..d769cca
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.pdf
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex
new file mode 100644
index 0000000..c8eb4a3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex
@@ -0,0 +1,112 @@
+%
+% karten.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=10cm]{torus.png}};
+
+\def\s{3}
+
+\node at (-3.5,-0.4) {$U_\alpha$};
+\node at (2.0,-0.4) {$U_\beta$};
+
+\draw[->] (-2,-2.2) -- (-3,-4.3);
+\node at (-2.5,-3.25) [left] {$\varphi_\alpha$};
+
+\draw[->] (1.4,-1.7) -- (3,-4.3);
+\node at (2.5,-3.25) [right] {$\varphi_\beta$};
+
+\begin{scope}[xshift=-4.5cm,yshift=-8cm]
+	\begin{scope}
+		\clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
+		\begin{scope}[xshift=1.8cm,yshift=0.6cm,rotate=30]
+			\fill[color=gray!20]
+				(0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
+			\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
+				\draw[color=darkgreen]
+					({\x*\s},{-0.2*\s})
+					--
+					({\x*\s},{1.2*\s});
+			}
+			\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
+				\draw[color=orange]
+					(0,{\y*\s})
+					--
+					({1*\s},{\y*\s});
+			}
+		\end{scope}
+	\end{scope}
+
+	\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
+		\draw[color=blue,line width=1.4pt]
+			({\x*\s},{-0.2*\s}) -- ({\x*\s},{1.2*\s});
+	}
+	\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
+		\draw[color=red,line width=1.4pt]
+			(0,{\y*\s}) -- ({1*\s},{\y*\s});
+	}
+
+	\draw[->] ({\s*(-0.1)},0) -- ({1.1*\s},0) coordinate[label={$x_1$}];
+	\draw[->] (0,{-0.3*\s}) -- (0,{1.3*\s}) coordinate[label={left:$x_2$}];
+
+	\node at ({1*\s},{1.2*\s}) [above right] {$\mathbb{R}^2$};
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=-8cm]
+	\begin{scope}
+		\clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
+		% x = - [ (sqrt(3)/2)*0.6+(1/2)*0.2 ] = -0.6196
+		% y = - [ (-1/2)*0.6 + (sqrt(3)/2)*0.2 ] = 
+		\begin{scope}[xshift=-1.8588cm,yshift=0.3804cm,rotate=-30]
+			\fill[color=gray!20]
+				(0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
+				\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
+					\draw[color=blue]
+						({\x*\s},{-0.2*\s})
+						--
+						({\x*\s},{1.2*\s});
+				}
+				\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
+					\draw[color=red]
+						(0,{\y*\s})
+						--
+						({1*\s},{\y*\s});
+				}
+		\end{scope}
+	\end{scope}
+
+	\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
+		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]
+			({\x*\s},{-0.2*\s}) -- ({\x*\s},{1.2*\s});
+	}
+	\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
+		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (0,{\y*\s}) -- ({1*\s},{\y*\s});
+	}
+	\draw[->] ({\s*(-0.1)},0) -- ({1.1*\s},0) coordinate[label={$x_1$}];
+	\draw[->] (0,{-0.3*\s}) -- (0,{1.3*\s}) coordinate[label={left:$x_2$}];
+	\node at ({1*\s},{1.2*\s}) [above right] {$\mathbb{R}^2$};
+\end{scope}
+
+\draw[<-,color=white,opacity=0.8,line width=5pt] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5);
+\draw[<-,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5);
+
+\node at (0,-5.9)
+	{$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4619b56
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex
new file mode 100644
index 0000000..4f19937
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex
@@ -0,0 +1,189 @@
+%
+% kartenkreis.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{3}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\fill[color=red!20] (0,-1) rectangle (1.5,1);
+\fill[color=blue!20] (-1.5,-1) rectangle (0,1);
+\fill[color=darkgreen!40,opacity=0.5] (-1,0) rectangle (1,1.5);
+\fill[color=orange!40,opacity=0.5] (-1,-1.5) rectangle (1,0);
+\fill[color=white] (0,0) circle[radius=1];
+
+\fill[color=gray!20]
+	(0,-1.5) -- (0.02,-1.6) -- (0.5,-1.8) -- (0.98,-1.6) -- (1,-1.5)
+	-- cycle;
+\fill[color=gray!20]
+	(0,1.5) -- (0.02,1.6) -- (0.5,1.8) -- (0.98,1.6) -- (1,1.5)
+	-- cycle;
+\fill[color=gray!20]
+	(0,-1.5) -- (-0.02,-1.6) -- (-0.5,-1.8) -- (-0.98,-1.6) -- (-1,-1.5)
+	-- cycle;
+\fill[color=gray!20]
+	(0,1.5) -- (-0.02,1.6) -- (-0.5,1.8) -- (-0.98,1.6) -- (-1,1.5)
+	-- cycle;
+
+\fill[color=gray!20]
+	(1.5,0) -- (1.6,0.02) -- (1.8,0.5) -- (1.6,0.98) -- (1.5,1)
+	-- cycle;
+\fill[color=gray!20]
+	(-1.5,0) -- (-1.6,0.02) -- (-1.8,0.5) -- (-1.6,0.98) -- (-1.5,1)
+	-- cycle;
+\fill[color=gray!20]
+	(1.5,0) -- (1.6,-0.02) -- (1.8,-0.5) -- (1.6,-0.98) -- (1.5,-1)
+	-- cycle;
+\fill[color=gray!20]
+	(-1.5,0) -- (-1.6,-0.02) -- (-1.8,-0.5) -- (-1.6,-0.98) -- (-1.5,-1)
+	-- cycle;
+
+\draw[->] (0.5,-1.8) arc (-180:-90:0.1) arc (-90:0:1.3) arc (0:90:0.1);
+\draw[->] (1.8,0.5) arc (-90:0:0.1) arc (0:90:1.3) arc (90:180:0.1);
+\draw[->] (-0.5,1.8) arc (0:90:0.1) arc (90:180:1.3) arc (180:270:0.1);
+\draw[->] (-1.8,-0.5) arc (90:180:0.1) arc (180:270:1.3) arc (270:360:0.1);
+
+\node at (1.01,1.32)
+	[right] {$\varphi_3\circ \varphi_1^{-1}(y)=\sqrt{1-y^2}$};
+\node at (1.6,1.6) {$\varphi_{31}$};
+
+\node at (1.01,-1.28)
+	[right] {$\varphi_1\circ \varphi_4^{-1}(x)=-\sqrt{1-x^2}$};
+\node at (1.6,-1.6) {$\varphi_{14}$};
+
+\node at (-1.24,1.32)
+	[left] {$\varphi_2\circ\varphi_3^{-1}(x)=\sqrt{1-x^2}$};
+\node at (-1.6,1.6) {$\varphi_{23}$};
+
+\node at (-1.18,-1.28)
+	[left] {$\varphi_4\circ\varphi_2^{-1}(y)=-\sqrt{1-y^2}$};
+\node at (-1.6,-1.6) {$\varphi_{42}$};
+
+
+\foreach \y in {0.1,0.3,...,0.9}{
+	\draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({sqrt(1-\y*\y)},{\y}) -- (1.5,\y);
+	\draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (1.5,-\y);
+	\draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({-sqrt(1-\y*\y)},{\y}) -- (-1.5,\y);
+	\draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({-sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (-1.5,-\y);
+}
+\foreach \x in {0.1,0.3,...,0.9}{
+	\draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},1.5);
+	\draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({-\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},1.5);
+	\draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},-1.5);
+	\draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({-\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},-1.5);
+}
+
+%\draw[color=gray!50,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];
+\draw[color=yellow!30,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];
+\node[color=yellow] at ({1/sqrt(2)},{1/sqrt(2)}) [above right] {$S^1$};
+
+\def\r{1.02}
+
+\begin{scope}
+	\clip (0,-1.1) rectangle (1.1,1.1);
+	\draw[color=red,line width=1.4pt] (-89:\r) arc (-89:89:\r);
+	\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02];
+	\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02];
+\end{scope}
+
+\begin{scope}
+	\clip (-1.1,-1.1) rectangle (0,1.1);
+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] (91:\r) arc (91:269:\r);
+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02];
+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02];
+\end{scope}
+
+\xdef\r{0.98}
+
+\begin{scope} 
+	\clip (-1.1,0) rectangle (1.1,1.1);
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1:\r) arc (1:179:\r);
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (\r,0) circle[radius=0.02];
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02];
+\end{scope}
+
+\begin{scope} 
+	\clip (-1.1,-1.1) rectangle (1.1,0);
+	\draw[color=orange,line width=1.4pt] (181:\r) arc (181:359:\r);
+	\draw[color=orange,line width=1.4pt] (\r,0) circle[radius=0.02];
+	\draw[color=orange,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02];
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=1.5cm]
+	\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$\mathbb{R}$}];
+	\begin{scope}
+		\clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1);
+		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-0.98,0) -- (0.98,0);
+		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-1,0)
+			circle[radius=0.02];
+		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1,0)
+			circle[radius=0.02];
+	\end{scope}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-1.5cm]
+	\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={below:$\mathbb{R}$}];
+	\begin{scope}
+		\clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1);
+		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (-0.98,0) -- (0.98,0);
+		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (-1,0) circle[radius=0.02];
+		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (1,0) circle[radius=0.02];
+	\end{scope}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=1.5cm]
+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$\mathbb{R}$}];
+	\begin{scope}
+		\clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1);
+		\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98);
+		\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02];
+		\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02];
+	\end{scope}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=-1.5cm]
+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={left:$\mathbb{R}$}];
+	\begin{scope}
+		\clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1);
+		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98);
+		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02];
+		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02];
+	\end{scope}
+\end{scope}
+
+\node[color=red] at (23:1) [right] {$U_{x>0}$};
+\node[color=red] at (1.25,0) [right] {$\varphi_1$};
+
+\node[color=blue] at (157:1) [left] {$U_{x<0}$};
+\node[color=blue] at (-1.25,0) [left] {$\varphi_2$};
+
+\node[color=darkgreen] at (115:1) [below right] {$U_{y>0}$};
+\node[color=darkgreen] at (0,1.25) [above] {$\varphi_3$};
+
+\node[color=orange] at (-115:1) [above right] {$U_{y<0}$};
+\node[color=orange] at (0,-1.25) [below] {$\varphi_4$};
+
+\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf b/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf
new file mode 100644
index 0000000..adfb0c6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex
new file mode 100644
index 0000000..2bccc27
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex
@@ -0,0 +1,93 @@
+%
+% phasenraum.tex -- 
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\m{1}
+\def\K{0.444}
+
+\pgfmathparse{sqrt(\K/\m)}
+\xdef\o{\pgfmathresult}
+
+\def\punkt#1#2{ ({#2*cos(#1)},{\o*#2*sin(#1)}) }
+
+\foreach \r in {0.5,1,...,6}{
+	\draw plot[domain=0:359,samples=360]
+			({\r*cos(\x)},{\o*\r*sin(\x)}) -- cycle;
+}
+
+\def\tangente#1#2{
+		\pgfmathparse{#2/\m}
+		\xdef\u{\pgfmathresult}
+
+		\pgfmathparse{-#1*\K}
+		\xdef\v{\pgfmathresult}
+
+		\pgfmathparse{sqrt(\u*\u+\v*\v)}
+		\xdef\l{\pgfmathresult}
+
+		\fill[color=blue] (#1,#2) circle[radius=0.03];
+		\draw[color=blue,line width=0.5pt]
+			({#1-0.2*\u/\l},{#2-0.2*\v/\l})
+			--
+			({#1+0.2*\u/\l},{#2+0.2*\v/\l});
+}
+
+\foreach \x in {-6.25,-5.75,...,6.3}{
+	\foreach \y in {-4.25,-3.75,...,4.3}{
+		\tangente{\x}{\y}
+	}
+}
+
+%\foreach \x in {0.5,1,...,5.5,6}{
+%	\tangente{\x}{0}
+%	\tangente{-\x}{0}
+%	\foreach \y in {0.5,1,...,4}{
+%		\tangente{\x}{\y}
+%		\tangente{-\x}{\y}
+%		\tangente{\x}{-\y}
+%		\tangente{-\x}{-\y}
+%	}
+%}
+%\foreach \y in {0.5,1,...,4}{
+%	\tangente{0}{\y}
+%	\tangente{0}{-\y}
+%}
+
+\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{60}{4} rectangle \punkt{59}{5.8};
+\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{0}{4} rectangle \punkt{18}{4.9};
+
+\draw[->,color=red,line width=1.4pt]
+	plot[domain=0:60,samples=360]
+		({4*cos(\x)},{\o*4*sin(\x)});
+
+\draw[->] (-6.5,0) -- (6.7,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-4.5) -- (0,4.7) coordinate[label={right:$p$}];
+
+\fill[color=red] \punkt{60}{4} circle[radius=0.08];
+\node[color=red] at \punkt{60}{4} [above right]
+	{$\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}$};
+
+\fill[color=red] \punkt{0}{4} circle[radius=0.08];
+\node[color=red] at \punkt{0}{4} [above right]
+	{$\begin{pmatrix}x_0\\0\end{pmatrix}$};
+
+\fill[color=white] (4,0) circle[radius=0.05];
+\node at (3.9,0) [below right] {$x_0$};
+\fill (0,{\o*4}) circle[radius=0.05];
+\node at (0.1,{\o*4+0.05}) [below left] {$\omega x_0$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf b/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c7f4988
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex
new file mode 100644
index 0000000..893bd12
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex
@@ -0,0 +1,157 @@
+%
+% scherungen.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{blau}{rgb}{0,0.8,1}
+\definecolor{blau}{rgb}{0,0.6,0}
+\def\s{1.1}
+
+\begin{scope}[xshift=-4.6cm]
+
+	\fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);
+	\fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,\s) -- (2,{2+\s}) -- (0,2)
+		-- cycle;
+
+	\foreach \x in {-1,...,3}{
+		\draw[color=blau]  (\x,-1) -- (\x,3);
+		\draw[color=blau]  (-1,\x) -- (3,\x);
+	}
+
+	\begin{scope}
+		\clip (-1,-1) rectangle (3,3);
+		\foreach \x in {-1,...,3}{
+			\draw[color=orange] (\x,-1) -- (\x,3);
+			\draw[color=orange] (-1,{\x-0.5*\s}) -- (3,{\x+1.5*\s});
+		}
+	\end{scope}
+
+	\draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];
+
+	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
+	\node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);
+
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (2,\s);
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (0,2);
+
+	\node[color=red] at (2,\s) [below right] {$(1,t)$};
+
+	\node at (0,0) [below right] {$O$};
+	\node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle
+		\begin{aligned}
+		M &= \begin{pmatrix}0&0\\1&0 \end{pmatrix}
+		\\
+		e^{Mt}
+		&=
+		\begin{pmatrix}1&0\\t&1 \end{pmatrix}
+		\end{aligned}
+	$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}
+	\fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);
+	\fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,0) -- ({2+\s},2) -- (\s,2)
+		-- cycle;
+
+	\foreach \x in {-1,...,3}{
+		\draw[color=blau]  (\x,-1) -- (\x,3);
+		\draw[color=blau]  (-1,\x) -- (3,\x);
+	}
+
+	\begin{scope}
+		\clip (-1,-1) rectangle (3,3);
+		\foreach \x in {-1,...,3}{
+			\draw[color=orange] (-1,\x) -- (3,\x);
+			\draw[color=orange] ({\x-0.5*\s},-1) -- ({\x+1.5*\s},3);
+		}
+	\end{scope}
+
+	\draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];
+
+	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
+	\node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);
+
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (2,0);
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (\s,2);
+
+	\node[color=red] at (\s,2) [above left] {$(t,1)$};
+
+	\node at (0,0) [below right] {$O$};
+	
+	\node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle
+		\begin{aligned} N &= \begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix}
+		\\
+		e^{Nt}
+		&=
+		\begin{pmatrix}1&t\\0&1 \end{pmatrix}
+		\end{aligned}
+	$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3.6cm,yshift=0cm]
+	\def\punkt#1#2{({1.6005*(#1)+0.4114*(#2)},{-0.2057*(#1)+0.5719*(#2)})}
+	\fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);
+	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
+		(0,0) -- \punkt{2}{0} -- \punkt{2}{2} -- \punkt{0}{2} -- cycle;
+
+	\foreach \x in {0,...,4}{
+		\draw[color=blau]  (\x,-1) -- (\x,3);
+	}
+	\foreach \y in {-1,...,3}{
+		\draw[color=blau]  (0,\y) -- (4,\y);
+	}
+
+	\begin{scope}
+		\clip (-0,-1) rectangle (4,3);
+		\foreach \x in {-1,...,6}{
+			\draw[color=orange] \punkt{\x}{-3} -- \punkt{\x}{6};
+			\draw[color=orange] \punkt{-3}{\x} -- \punkt{6}{\x};
+		}
+	\end{scope}
+
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];
+
+	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
+	\node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);
+
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- \punkt{2}{0};
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- \punkt{0}{2};
+
+	\node at (0,0) [below right] {$O$};
+	
+	\node at (2,-1.1) [below] {$\displaystyle
+		\begin{aligned} D &= \begin{pmatrix}0.5&0.4\\-0.2&-0.5 \end{pmatrix}
+		\\
+		e^{D\cdot 1}
+		&=
+		\begin{pmatrix}
+			   1.6005 & 0.4114\\
+			  -0.2057 & 0.5719
+		\end{pmatrix}
+		\end{aligned}
+	$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ffc0759
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex
new file mode 100644
index 0000000..0e44aa9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex
@@ -0,0 +1,146 @@
+%
+% sl2.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\begin{scope}[xshift=-4.5cm]
+	\fill[color=blue!20]
+		(1.4,0) -- (0,1.4) -- (-1.4,0) -- (0,-1.4) -- cycle;
+	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
+		(1.96,0) -- (0,1) -- (-1.96,0) -- (0,-1) -- cycle;
+
+	\begin{scope}
+		\clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.3,2.3);
+		\draw[color=darkgreen]
+			plot[domain=-1:1,samples=100]
+				({(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)});
+		\draw[color=darkgreen]
+			plot[domain=-1:1,samples=100]
+				({(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)});
+		\draw[color=darkgreen]
+			plot[domain=-1:1,samples=100]
+				({-(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)});
+		\draw[color=darkgreen]
+			plot[domain=-1:1,samples=100]
+				({-(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)});
+	\end{scope}
+
+	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
+
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);
+
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (1.96,0);
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (0,1);
+	\node at (0,-3.2) 
+		{$\displaystyle
+		\begin{aligned}
+		A&=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+		\\
+		e^{At}
+		&=\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}
+		\end{aligned}
+		$};
+	
+\end{scope}
+
+
+\begin{scope}
+	\fill[color=blue!20]
+		(0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle;
+	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
+		(33:1.4) -- (123:1.4) -- (213:1.4) -- (303:1.4) -- cycle;
+
+	\draw[color=darkgreen] (0,0) circle[radius=1.4];
+
+	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
+
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);
+
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (33:1.4);
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (123:1.4);
+
+	\node at (0,-3.2)
+		{$\displaystyle
+		\begin{aligned}
+		B
+		&=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0 \end{pmatrix}
+		\\
+		e^{Bt}
+		&=
+		\begin{pmatrix}
+		\cos t&-\sin t\\
+		\sin t& \cos t
+		\end{pmatrix}
+		\end{aligned}$};
+\end{scope}
+
+
+\begin{scope}[xshift=4.5cm]
+	\fill[color=blue!20]
+		(0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle;
+	\def\x{0.5}
+	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
+		({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x})
+		--
+		({1.4*sinh(\x},{1.4*cosh(\x)})
+		--
+		({-1.4*cosh(\x)},{-1.4*sinh(\x})
+		--
+		({-1.4*sinh(\x},{-1.4*cosh(\x)})
+		-- cycle;
+
+	\begin{scope}
+	\clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.2,2.2);
+	\draw[color=darkgreen]
+		plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
+	\draw[color=darkgreen]
+		plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)});
+	\draw[color=darkgreen]
+		plot[domain=-1:1,samples=100] ({-1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
+	\draw[color=darkgreen]
+		plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{-1.4*cosh(\x)});
+	\end{scope}
+
+	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
+
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);
+
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)});
+
+	\node at (0,-3.2) {$\displaystyle
+		\begin{aligned}
+		C&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+		\\
+		e^{Ct}
+		&=
+		\begin{pmatrix}
+		\cosh t&\sinh t\\
+		\sinh t&\cosh t
+		\end{pmatrix}
+		\end{aligned}
+		$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.png b/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.png
new file mode 100644
index 0000000..c42440f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.png
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov b/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov
new file mode 100644
index 0000000..3a8e327
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov
@@ -0,0 +1,189 @@
+//
+// diffusion.pov
+//
+// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostscheizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+
+global_settings {
+	assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.034;
+#declare N = 100;
+#declare r = 0.43;
+#declare R = 1;
+
+camera {
+        location <43, 25, -20>
+        look_at <0, -0.01, 0>
+        right 16/9 * x * imagescale
+        up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+        <10, 20, -40> color White
+        area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+        adaptive 1
+        jitter
+}
+
+sky_sphere {
+        pigment {
+                color rgb<1,1,1>
+        }
+}
+
+#macro rotiere(phi, vv)
+	< cos(phi) * vv.x - sin(phi) * vv.z, vv.y, sin(phi) * vv.x + cos(phi) * vv.z >
+#end
+
+#macro punkt(phi,theta)
+	rotiere(phi, < R + r * cos(theta), r * sin(theta), 0 >)
+#end
+
+mesh {
+	#declare phistep = 2 * pi / N;
+	#declare thetastep = 2 * 2 * pi / N;
+	#declare phi = 0;
+	#while (phi < 2 * pi - phistep/2)
+		#declare theta = 0;
+		#while (theta < 2 * pi - thetastep/2)
+			triangle {
+				punkt(phi          , theta            ), 
+				punkt(phi + phistep, theta            ), 
+				punkt(phi + phistep, theta + thetastep)
+			}
+			triangle {
+				punkt(phi          , theta            ), 
+				punkt(phi + phistep, theta + thetastep), 
+				punkt(phi          , theta + thetastep)
+			}
+			#declare theta = theta + thetastep;
+		#end
+		#declare phi = phi + phistep;
+	#end
+	pigment {
+		color Gray
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+
+#declare thetastart = -0.2;
+#declare thetaend = 1.2;
+#declare phistart = 5;
+#declare phiend = 6;
+
+union {
+	#declare thetastep = 0.2;
+	#declare theta = thetastart;
+	#while (theta < thetaend + thetastep/2)
+		#declare phistep = (phiend-phistart)/N;
+		#declare phi = phistart;
+		#while (phi < phiend - phistep/2)
+			sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
+			cylinder {
+				punkt(phi,theta),
+				punkt(phi+phistep,theta),
+				0.01
+			}
+			#declare phi = phi + phistep;
+		#end
+		sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
+		#declare theta = theta + thetastep;
+	#end
+
+	pigment {
+		color Red
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+
+union {
+	#declare phistep = 0.2;
+	#declare phi = phistart;
+	#while (phi < phiend + phistep/2)
+		#declare thetastep = (thetaend-thetastart)/N;
+		#declare theta = thetastart;
+		#while (theta < thetaend - thetastep/2)
+			sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
+			cylinder {
+				punkt(phi,theta),
+				punkt(phi,theta+thetastep),
+				0.01
+			}
+			#declare theta = theta + thetastep;
+		#end
+		sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
+		#declare phi = phi + phistep;
+	#end
+	pigment {
+		color Blue
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+
+#macro punkt2(a,b)
+	punkt(5.6+a*sqrt(3)/2-b/2,0.2+a/2 + b*sqrt(3)/2)
+#end
+
+#declare darkgreen = rgb<0,0.6,0>;
+
+#declare astart = 0;
+#declare aend = 1;
+#declare bstart = -0.2;
+#declare bend = 1.2;
+union {
+	#declare a = astart;
+	#declare astep = 0.2;
+	#while (a < aend + astep/2)
+		#declare b = bstart;
+		#declare bstep = (bend - bstart)/N;
+		#while (b < bend - bstep/2)
+			sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
+			cylinder { punkt2(a,b), punkt2(a,b+bstep), 0.01 }
+			#declare b = b + bstep;
+		#end
+		sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
+		#declare a = a + astep;
+	#end
+	pigment {
+		color darkgreen
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+union {
+	#declare b = bstart;
+	#declare bstep = 0.2;
+	#while (b < bend + bstep/2)
+		#declare a = astart;
+		#declare astep = (aend - astart)/N;
+		#while (a < aend - astep/2)
+			sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
+			cylinder { punkt2(a,b), punkt2(a+astep,b), 0.01 }
+			#declare a = a + astep;
+		#end
+		sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
+		#declare b = b + bstep;
+	#end
+	pigment {
+		color Orange
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
index 69d4b1d..cee8510 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
@@ -6,3 +6,642 @@
 \section{Lie-Algebren
 \label{buch:section:lie-algebren}}
 \rhead{Lie-Algebren}
+Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen
+Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen
+Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können.
+Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer
+Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer 
+Mannigfaltigkeit.
+Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen.
+
+Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven
+innerhalb der Gruppe angesehen werden.
+In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen
+Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass
+der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann.
+Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren
+erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren,
+die sogenannte Lie-Algebra.
+Sie ist charakteristisch für die Gruppe.
+Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ 
+und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die
+Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$
+übereinstimmt.
+
+%
+% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe
+%
+\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe
+\label{buch:section:lie-algebra-einer-matrizengruppe}}
+Zu jedem Tangentialvektor $A$ im Punkt $I$ einer Matrizengruppe gibt es
+eine Einparameteruntergruppe, die mit Hilfe der Exponentialfunktion
+$e^{At}$ konstruiert werden kann.
+Für die folgende Konstruktion arbeiten wir in der Gruppe
+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, in der jede Matrix auch ein
+Tangentialvektor ist.
+Wir werden daraus die Lie-Klammer ableiten und später verifizieren,
+dass diese auch für die Tangentialvektoren der Gruppen
+$\operatorname{SO}(n)$ oder $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ funktioniert.
+
+\subsubsection{Lie-Klammer}
+Zu zwei verschiedenen Tagentialvektoren $A\in M_n(\mathbb{R})$ und
+$B\in M_n(\mathbb{R})$ gibt es zwei verschiedene Einparameteruntergruppen
+$e^{At}$ und $e^{Bt}$.
+Wenn die Matrizen $A$ und $B$ oder die Einparameteruntergruppen 
+$e^{At}$ und $e^{Bt}$ vertauschbar sind, dann stimmen 
+$e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ nicht überein.
+Die zugehörigen Potenzreihen sind:
+\begin{align*}
+e^{At}
+&=
+I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \dots
+\\
+e^{Bt}
+&=
+I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \frac{B^3t^3}{3!} + \dots
+\\
+e^{At}e^{Bt}
+&=
+\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
+\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
+\\
+&=
+I+(A+B)t + \biggl(\frac{A^2}{2!}+AB+\frac{B^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
+\\
+e^{Bt}e^{At}
+&=
+\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
+\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
+\\
+&=
+I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
+\intertext{%
+Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen
+Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden
+sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der
+Einparameteruntergruppe von $A+B$}
+e^{(A+B)t}
+&=
+I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots
+\intertext{Für die Unterschiede finden wir}
+e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t}
+&=
+\biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
++\ldots
+=
+(AB-BA) \frac{t^2}{2} + \ldots
+=
+[A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots
+\\
+e^{Bt}e^{At} - e^{(A+B)t}
+&=
+\biggl(BA-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
++\ldots
+=
+(BA-AB)
+\frac{t^2}{2}
++\ldots
+=
+-[A,B]\frac{t^2}{2}
+\\
+e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At}
+&=
+(AB-BA)t^2+\ldots
+=
+\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots
+\end{align*}
+wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:gruppen:def:kommutator}
+Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix
+$[A,B]=AB-BA$.
+\end{definition}
+
+Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da
+\begin{align*}
+[\lambda A+\mu B,C]
+&=
+\lambda AC+\mu BC-\lambda CA -\mu CB
+=
+\lambda[A,C]+\mu[B,C]
+\\
+[A,\lambda B+\mu C]
+&=
+\lambda AB + \mu AC - \lambda BA - \mu CA
+=
+\lambda[A,B]+\mu[A,C]
+\\
+[A,B]
+&=
+AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A].
+\end{align*}
+Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$
+
+Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied
+zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$.
+Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die
+Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab.
+
+
+\subsubsection{Die Jacobi-Identität}
+Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft:
+\begin{align*}
+[A,[B,C]]
++
+[B,[C,A]]
++
+[C,[A,B]]
+&=
+[A,BC-CB]
++
+[B,CA-AC]
++
+[C,AB-BA]
+\\
+&=\phantom{+}
+ABC-ACB-BCA+CBA
+\\
+&\phantom{=}+
+BCA-BAC-CAB+ACB
+\\
+&\phantom{=}+
+CAB-CBA-ABC+BAC
+\\
+&=0.
+\end{align*}
+Diese Eigenschaft findet man auch bei anderen Strukturen, zum Beispiel
+bei Vektorfeldern, die man als Differentialoperatoren auf Funktionen 
+betrachten kann.
+Man kann dann einen Kommutator $[X,Y]$ für zwei Vektorfelder
+$X$ und $Y$ definieren.
+Dieser Kommutator von Vektorfeldern erfüllt ebenfalls die gleiche
+Identität.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:gruppen:def:jacobi}
+Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum
+erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn 
+\[
+[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0
+\]
+ist für beliebige Vektoren $u,v,w\in V$.
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Lie-Algebra}
+Die Tangentialvektoren einer Lie-Gruppe tragen also mit dem Kommutator
+eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra.
+
+\begin{definition}
+Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt
+\[
+[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v],
+\]
+welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi}
+erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}.
+\end{definition}
+
+Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet.
+$LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$.
+Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$
+ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$.
+Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine
+Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden.
+
+Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden
+sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der
+Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist.
+Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also
+$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$,
+die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist
+$L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$.
+
+
+%
+% Die Lie-Algebra von SO(3)
+%
+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$
+\label{buch:subsection:die-lie-algebra-von-so3}}
+Zur Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehmatrizen gehört die Lie-Algebra
+$\operatorname{so}(3)$ der antisymmetrischen $3\times 3$-Matrizen.
+Solche Matrizen haben die Form
+\[
+\Omega
+=
+\begin{pmatrix}
+    0    & \omega_3&-\omega_2\\
+-\omega_3&   0     & \omega_1\\
+ \omega_2&-\omega_1&    0
+\end{pmatrix}
+\]
+Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional.
+
+Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist
+\[
+(I+t\Omega)
+\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+    1     & t\omega_3&-t\omega_2\\
+-t\omega_3&   1      & t\omega_1\\
+ t\omega_2&-t\omega_1&    1
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\
+x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\
+x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2)
+\end{pmatrix}
+=
+x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x
+=
+x+ tx\times \omega.
+\]
+Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung
+um die Achse $\omega$.
+
+Wir können die Analogie zwischen Matrizen in $\operatorname{so}(3)$ und
+Vektoren in $\mathbb R^3$ noch etwas weiter treiben. Zu jedem Vektor
+in $\mathbb R^3$ konstruieren wir eine Matrix in $\operatorname{so}(3)$
+mit Hilfe der Abbildung
+\[
+\mathbb R^3\to\operatorname{so}(3)
+:
+\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}
+  0 & v_3&-v_1\\
+-v_3&  0 & v_2\\
+ v_1&-v_2&  0
+\end{pmatrix}.
+\]
+Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$
+konstruierten Matrizen $U$ und $V$ ist:
+\begin{align*}
+[U,V]
+&=
+UV-VU
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+  0 & u_3&-u_1\\
+-u_3&  0 & u_2\\
+ u_1&-u_2&  0
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+  0 & v_3&-v_1\\
+-v_3&  0 & v_2\\
+ v_1&-v_2&  0
+\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}
+  0 & v_3&-v_1\\
+-v_3&  0 & v_2\\
+ v_1&-v_2&  0
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+  0 & u_3&-u_1\\
+-u_3&  0 & u_2\\
+ u_1&-u_2&  0
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1
+        & u_1v_2 - u_2v_1
+                & u_3v_2 - u_2v_3
+\\
+u_2v_1 - u_1v_2
+        & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2
+                & u_3v_1 - u_1v_3
+\\
+u_2v_3 - u_3v_2
+        & u_1v_3 - u_3v_1
+                &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+0
+        & u_1v_2 - u_2v_1
+                &-(u_2v_3-u_3v_2)
+\\
+-( u_1v_2 - u_2v_1)
+        & 0
+                & u_3v_1 - u_1v_3
+\\
+u_2v_3 - u_3v_2
+        &-( u_3v_1 - u_1v_3)
+                & 0
+\end{pmatrix}
+\end{align*}
+Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$.
+Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass
+\[
+\vec u\times(\vec v\times w)
++
+\vec v\times(\vec w\times u)
++
+\vec w\times(\vec u\times v)
+=0
+\]
+für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist.
+Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$
+mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird.
+In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation
+$\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der
+Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel
+das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1}
+von Landau und Lifschitz.
+
+Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt
+keine nicht trivialen zweidimensionalen Lie-Algebren.
+Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell:
+es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur
+möglich ist.
+
+Die antisymmetrischen Matrizen
+\[
+\omega_{23}
+=
+\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
+\quad
+\omega_{31}
+=
+\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
+\quad
+\omega_{12}
+=
+\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}
+\]
+haben die Kommutatoren
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+[\omega_{23},\omega_{31}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&1\\
+0&-1&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{12}
+\\
+[\omega_{31},\omega_{12}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&1&0\\
+-1&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{23}
+\\
+[\omega_{12},\omega_{23}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&0&-1\\
+0&0&0\\
+1&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{31}
+\end{aligned}
+\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}
+\end{equation}
+
+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$}
+Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den
+spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$.
+Der Kommutator solcher Matrizen erfüllt
+\[
+\operatorname{Spur}([A,B])
+=
+\operatorname{Spur}(AB-BA)
+=
+\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(BA)
+=
+0,
+\]
+somit ist 
+\[
+\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})
+=
+\{
+A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}(A)=0
+\}
+\]
+mit dem Kommutator eine Lie-Algebra.
+
+%
+% Die Lie-Algebra von U(n)
+%
+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{U}(n)$}
+Die Lie-Gruppe
+\[
+U(n)
+=
+\{
+A\in M_n(\mathbb{C}
+\;|\;
+AA^*=I
+\}
+\]
+heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die
+das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen
+Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen.
+Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$
+derart, dass $\gamma(0)=I$.
+Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf 
+\begin{align*}
+0
+=
+\frac{d}{dt}
+\gamma(t)\gamma(t)^*
+\bigg|_{t=0}
+=
+\dot{\gamma}(0)\gamma(0)^*
++
+\gamma(0)\dot{\gamma}(0)^*
+=
+\dot{\gamma}(0)
++
+\dot{\gamma}(0)^*
+\quad\Rightarrow\quad
+\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*.
+A&=-A^*
+\end{align*}
+Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen
+Matrizen.
+
+Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen
+Matrizen wieder anithermitesch ist:
+\begin{align*}
+[A,B]^*
+&=
+(AB-BA)^*
+=
+B^*A^*-A^*B^*
+=
+BA - AB
+=
+-[B,A].
+\end{align*}
+
+Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$,
+für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$
+oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$.
+Der Realteil von $a_{ii}$ ist
+\[
+\Re a_{ii}
+=
+\frac{a_{ii}+\overline{a}_{ii}}2
+=
+0,
+\]
+die Diagonalelemente einer antihermiteschen Matrix sind daher rein
+imaginär.
+
+
+%
+% Die Lie-Algebra SU(2)
+%
+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$}
+Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den
+spurlosen antihermiteschen Matrizen.
+Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen:
+\[
+A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
+\qquad
+\text{mit}
+\qquad
+\left\{
+\begin{aligned}
+a+d&=0&&\Rightarrow& a=is = -d
+\\
+b^*&=-c
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+Damit hat $A$ die Form
+\begin{align*}
+A=\begin{pmatrix}
+is&u+iv\\
+-u+iv&-is
+\end{pmatrix}
+&=
+s
+\begin{pmatrix}
+i&0\\
+0&-i
+\end{pmatrix}
++
+u
+\begin{pmatrix}
+ 0&1\\
+-1&0
+\end{pmatrix}
++
+v
+\begin{pmatrix}
+0&i\\
+i&0
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+iv\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_1}
++
+iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2}
++
+is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3}
+\end{align*}
+Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren
+\begin{align*}
+[\sigma_1,\sigma_2]
+&=
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+=
+2\begin{pmatrix}i&0\\0&-i \end{pmatrix}
+=
+2i\sigma_3,
+\\
+[\sigma_2,\sigma_3]
+&=
+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
+=
+2
+\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}
+=
+2i\sigma_1.
+\\
+[\sigma_1,\sigma_3]
+&=
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+=
+2i
+\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
+=
+2i\sigma_2,
+\end{align*}
+Bis auf eine Skalierung stimmt dies überein mit den Kommutatorprodukten
+der Matrizen $\omega_{23}$, $\omega_{31}$ und $\omega_{12}$
+in \eqref{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}.
+Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte
+\begin{align*}
+\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_1,-{\textstyle\frac12}i\sigma_2\bigr]
+&=
+-{\textstyle\frac14}[\sigma_1,\sigma_2]
+=
+-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_3
+=
+-{\textstyle\frac12}i\sigma_3
+\\
+\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_2,-{\textstyle\frac12}i\sigma_3\bigr]
+&=
+-{\textstyle\frac14}[\sigma_2,\sigma_3]
+=
+-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_1
+=
+-{\textstyle\frac12}i\sigma_1
+\\
+\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_3,-{\textstyle\frac12}i\sigma_1\bigr]
+&=
+-{\textstyle\frac14}[\sigma_3,\sigma_1]
+=
+-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2
+=
+-{\textstyle\frac12}i\sigma_2
+\end{align*}
+Die lineare Abbildung, die
+\begin{align*}
+\omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\
+\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\
+\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3
+\end{align*}
+abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$
+auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$.
+Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$
+haben also die gleiche Lie-Algebra.
+
+Tatsächlich kann man Hilfe von Quaternionen die Matrix $\operatorname{SU}(2)$
+als Einheitsquaternionen beschreiben und damit eine Darstellung der
+Drehmatrizen in $\operatorname{SO}(3)$ finden.
+Dies wird in Kapitel~\ref{chapter:clifford} dargestellt.
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
index cb1ca84..e92c254 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
@@ -6,3 +6,876 @@
 \section{Lie-Gruppen
 \label{buch:section:lie-gruppen}}
 \rhead{Lie-Gruppen}
+Die in bisherigen Beispielen untersuchten Matrizengruppen zeichnen sich
+durch zusätzliche Eigenschaften aus.
+Die Gruppe
+\[
+\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) 
+=
+\{ A \in M_n(\mathbb{R})\;|\; \det A \ne 0\}
+\]
+besteht aus den Matrizen, deren Determinante nicht $0$ ist.
+Da die Menge der Matrizen mit $\det A=0$ eine abgeschlossene Menge
+in $M_n(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^{n^2}$ ist, ist
+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$,
+sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit.
+Dies gilt jedoch auch für alle anderen Matrizengruppen, die in diesem
+Abschnitt genauer untersucht werden sollen.
+
+\subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen
+\label{buch:subsection:mannigfaltigkeitsstruktur-der-matrizengruppen}}
+Eine Matrizengruppe wird automatsich zu einer Mannigfaltigkeit,
+wenn es gelingt, eine Karte für eine Umgebung des neutralen Elements
+zu finden.
+Dazu muss gezeigt werden, dass sich aus einer solchen Karte für jedes
+andere Gruppenelement eine Karte für eine Umgebung ableiten lässt.
+Sei also $\varphi_e\colon U_e \to \mathbb{R}^N$ eine Karte für die Umgebung
+$U_e\subset G$ von $e\in G$.
+Für $g\in G$ ist dann die Abbildung
+\[
+\varphi_g
+\colon
+U_g
+=
+gU_e
+\to
+\mathbb{R}
+:
+h\mapsto \varphi_e(g^{-1}h)
+\]
+eine Karte für die Umgebung $U_g$ des Gruppenelementes $g$.
+schreibt man $l_{g}$ für  die Abbildung $h\mapsto gh$, dann
+kann man die Kartenabbildung auch $\varphi_g = \varphi_e\circ l_{g^{-1}}$
+schreiben.
+
+\subsubsection{Kartenwechsel}
+Die Kartenwechsel-Abbildungen für zwei Karten $\varphi_{g_1}$
+und $\varphi_{g_2}$ ist die Abbildung
+\[
+\varphi_{g_1,g_2}
+=
+\varphi_{g_1}\circ \varphi_{g_2}^{-1}
+=
+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ (\varphi_e\circ l_{g_2^{-1}})^{-1}
+=
+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2^{-1}}^{-1} \varphi_e^{-1}
+=
+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2}\varphi_e^{-1}
+=
+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}g_2}\varphi_e^{-1}
+\]
+mit der Ableitung
+\[
+D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} D\varphi_e^{-1}
+=
+D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} (D\varphi_e)^{-1}.
+\]
+Die Abbildung $l_{g_1^{-1}g_2}$ ist aber nur die Multiplikation mit
+einer Matrix, also eine lineare Abbildung, so dass der Kartenwechsel
+nichts anderes ist als die Darstellung der Matrix der Linksmultiplikation
+$l_{g_1^{-1}g_2}$ im Koordinatensystem der Karte $U_e$ ist.
+Differenzierbarkeit der Kartenwechsel ist damit sichergestellt,
+die Matrizengruppen sind automatisch differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
+
+Die Konstruktion aller Karten aus einer einzigen Karte für eine
+Umgebung des neutralen Elements zeigt auch, dass es für die Matrizengruppen
+reicht, wenn man die Elemente in einer Umgebung des neutralen
+Elementes parametrisieren kann.
+Dies ist jedoch nicht nur für die Matrizengruppen möglich.
+Wenn eine Gruppe gleichzeitig eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
+ist, dann können Karten über die ganze Gruppe transportiert werden,
+wenn die Multiplikation mit Gruppenelementen eine differenzierbare
+Abbildung ist.
+Solche Gruppen heissen auch Lie-Gruppen gemäss der folgenden Definition.
+
+\begin{definition}
+\index{Lie-Gruppe}%
+Eine {\em Lie-Gruppe} ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare
+Mannigfaltigkeit ist derart, dass die Abbildungen
+\begin{align*}
+G\times G \to G &: (g_1,g_2)\mapsto g_1g_2
+\\
+G\to G &: g \mapsto g^{-1}
+\end{align*}
+differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind.
+\end{definition}
+
+Die Abstraktheit dieser Definition täuscht etwas über die 
+Tatsache hinweg, dass sich mit Hilfe der Darstellungstheorie
+jede beliebige Lie-Gruppe als Untermannigfaltigkeit einer 
+Matrizengruppe verstehen lässt.
+Das Studium der Matrizengruppen erlaubt uns daher ohne grosse
+Einschränkungen ein Verständnis für die Theorie der Lie-Gruppen
+zu entwickeln.
+
+\subsubsection{Tangentialvektoren und die Exponentialabbildung}
+Die Matrizengruppen sind alle in der
+$n^2$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+enthalten.
+Diffferenzierbare Kurven $\gamma(t)$ in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+haben daher in jedem Punkt Tangentialvektoren, die als Matrizen in
+$M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können.
+Wenn $\gamma(t)$ die Matrixelemente $\gamma_{ij}(t)$ hat, dann ist der
+Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$ durch
+\[
+\frac{d}{dt}
+\gamma(t)
+=
+\begin{pmatrix}
+\dot{\gamma}_{11}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{1n}(t)\\
+\vdots              &\ddots&\vdots              \\
+\dot{\gamma}_{n1}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{nn}(t)
+\end{pmatrix}
+\]
+gegeben.
+
+Im Allgemeinen kann man Tangentialvektoren in verschiedenen Punkten
+einer Mannigfaltigkeit nicht miteinander vergleichen.
+Die Multiplikation $l_g$, die den Punkt $e$ in den Punkt $g$ verschiebt,
+transportiert auch die Tangentialvektoren im Punkt $e$ in 
+Tangentialvektoren im Punkt $g$.
+
+\begin{aufgabe}
+Gibt es eine Kurve $\gamma(t)\in\mathbb{GL}_n(\mathbb{R})$ mit
+$\gamma(0)=e$ derart, dass der Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$
+für $t>0$ derselbe ist wie der Tangentialvektor im Punkt $e$, transportiert
+durch Matrixmultiplikation mit $\gamma(t)$?
+\end{aufgabe}
+
+Eine solche Kurve muss die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt}\gamma(t)
+=
+\gamma(t)\cdot A
+\label{buch:gruppen:eqn:expdgl}
+\end{equation}
+erfüllen, wobei $A\in M_n(\mathbb{R})$ der gegebene Tangentialvektor
+in $e=I$ ist.
+
+Die Matrixexponentialfunktion
+\[
+e^{At}
+=
+1+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\frac{A^4t^4}{4!}+\dots
+\]
+liefert eine Einparametergruppe
+$\mathbb{R}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ mit der Ableitung
+\[
+\frac{d}{dt} e^{At}
+=
+\lim_{h\to 0} \frac{e^{A(t+h)}-e^{At}}{h}
+=
+\lim_{h\to 0} e^{At}\frac{e^{Ah}-I}{h}
+=
+e^{At} A.
+\]
+Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}.
+
+\subsection{Drehungen in der Ebene
+\label{buch:gruppen:drehungen2d}}
+Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien
+des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
+als Mannigfaltigkeit erkannt wurde.
+Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix
+beschrieben werden kann.
+
+\subsubsection{Die Untergruppe
+$\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$}
+Drehungen der Ebene können in einer orthonormierten Basis durch
+Matrizen der Form
+\[
+D_{\alpha}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha&-\sin\alpha\\
+\sin\alpha& \cos\alpha
+\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt werden.
+Wir bezeichnen die Menge der Drehmatrizen in der Ebene mit
+$\operatorname{SO}(2)\subset\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
+Die Abbildung
+\[
+D_{\bullet}
+\colon
+\mathbb{R}\to \operatorname{SO}(2)
+:
+\alpha \mapsto D_{\alpha}
+\]
+hat die Eigenschaften
+\begin{align*}
+D_{\alpha+\beta}&= D_{\alpha}D_{\beta}
+\\
+D_0&=I
+\\
+D_{2k\pi}&=I\qquad \forall k\in\mathbb{Z}.
+\end{align*}
+Daraus folgt zum Beispiel, dass $D_{\bullet}$ eine $2\pi$-periodische
+Funktion ist.
+$D_{\bullet}$ bildet die Menge der Winkel $[0,2\pi)$ bijektiv auf
+die Menge der Drehmatrizen in der Ebene ab.
+
+Für jedes Intervall $(a,b)\subset\mathbb{R}$ mit Länge
+$b-a < 2\pi$ ist die Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ umkehrbar,
+die Umkehrung kann als Karte verwendet werden.
+Zwei verschiedene Karten $\alpha_1\colon U_1\to\mathbb{R}$ und
+$\alpha_2\colon U_2\to\mathbb{R}$ bilden die Elemente $g\in U_1\cap U_2$
+in Winkel $\alpha_1(g)$ und $\alpha_2(g)$ ab, für die 
+$D_{\alpha_1(g)}=D_{\alpha_2(g)}$ gilt.
+Dies ist gleichbedeutend damit, dass $\alpha_1(g)=\alpha_2(g)+2\pi k$
+mit $k\in \mathbb{Z}$.
+In einem Intervall in $U_1\cap U_2$ muss $k$ konstant sein.
+Die Kartenwechselabblidung ist also nur die Addition eines Vielfachen
+von $2\pi$, mit der identischen Abbildung als Ableitung.
+Diese Karten führen also auf besonders einfache Kartenwechselabbildungen.
+
+\subsubsection{Die Untergruppe $S^1\subset\mathbb{C}$}
+Ein alternatives Bild für die Drehungen der Ebene kann man in der komplexen
+Ebene $\mathbb{C}$ erhalten.
+Die Multiplikation mit der komplexen Zahl $e^{i\alpha}$ beschreibt eine
+Drehung der komplexen Ebene um den Winkel $\alpha$.
+Die Zahlen der Form $e^{i\alpha}$ haben den Betrag $1$ und die Abbildung
+\[
+f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{C}:\alpha \mapsto e^{i\alpha}
+\]
+hat die Eigenschaften
+\begin{align*}
+f(\alpha+\beta) &= f(\alpha)f(\beta)
+\\
+f(0)&=1
+\\
+f(2\pi k)&=1\qquad\forall k\in\mathbb{Z},
+\end{align*}
+die zu den Eigenschaften der Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ 
+analog sind.
+
+Jede komplexe Zahl $z$ vom Betrag $1$ kann geschrieben werden in der Form
+$z=e^{i\alpha}$, die Abbildung $f$ ist also eine Parametrisierung des
+Einheitskreises in der Ebene.
+Wir bezeichen $S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ die komplexen Zahlen vom
+Betrag $1$.
+$S^1$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, da für jede Zahl
+$z,w\in S^1$ gilt
+$|z^{-1}|=1$ und $|zw|=1$ und damit $z^{-1}\in S^1$ und $zw\in S^1$.
+
+Zu einer komplexen Zahl $z\in S^1$ gibt es einen bis auf Vielfache
+von $2\pi$ eindeutigen Winkel $\alpha(z)$ derart, dass $e^{i\alpha(z)}=z$.
+Damit kann man jetzt die Abbildung
+\[
+\varphi
+\colon
+S^1\to \operatorname{SO}(2)
+:
+z\mapsto  D_{\alpha(z)}
+\]
+konstruieren.
+Da $D_{\alpha}$ $2\pi$-periodisch ist, geben um Vielfache
+von $2\pi$ verschiedene Wahlen von $\alpha(z)$ die gleiche
+Matrix $D_{\alpha(z)}$, die Abbildung $\varphi$ ist daher
+wohldefiniert.
+$\varphi$ erfüllt ausserdem die Bedingungen
+\begin{align*}
+\varphi(z_1z_2)
+&=
+D_{\alpha(z_1z_2)}
+=
+D_{\alpha(z_1)+\alpha(z_2)}
+=
+D_{\alpha(z_1)}D_{\alpha(z_2)}
+=
+\varphi(z_1)\varphi(z_2)
+\\
+\varphi(1)
+&=
+D_{\alpha(1)}
+=
+D_0
+=
+I
+\end{align*}
+Die Abbildung $\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $S^1$
+in die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$.
+Die Menge der Drehmatrizen in der Ebene kann also mit dem Einheitskreis
+in der komplexen Ebene identifiziert werden.
+
+\subsubsection{Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$}
+Da die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$ eine eindimensionale Gruppe
+ist, kann jede Kurve $\gamma(t)$ durch den Drehwinkel $\alpha(t)$
+mit $\gamma(t) = D_{\alpha(t)}$ beschrieben werden.
+Die Ableitung in $M_2(\mathbb{R})$ ist
+\begin{align*}
+\frac{d}{dt} \gamma(t)
+&=
+\frac{d}{d\alpha}
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\
+\sin\alpha(t) &   \cos\alpha(t)
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\frac{d\alpha}{dt}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+-\sin\alpha(t)&-\cos\alpha(t)\\
+ \cos\alpha(t)&-\sin\alpha(t)
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\dot{\alpha}(t)
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\
+\sin\alpha(t) &   \cos\alpha(t)
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+0&-1\\
+1&0
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\dot{\alpha}(t)
+=
+D_{\alpha(t)}J\cdot\dot{\alpha}(t).
+\end{align*}
+Alle Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$ im Punkt $D_\alpha$
+entstehen aus $J$ durch Drehung mit der Matrix $D_\alpha$ und Skalierung
+mit $\dot{\alpha}(t)$.
+
+%
+% Isometrien von R^n
+%
+\subsection{Isometrien von $\mathbb{R}^n$
+\label{buch:gruppen:isometrien}}
+
+\subsubsection{Skalarprodukt}
+Lineare Abbildungen des Raumes $\mathbb{R}^n$ können durch
+$n\times n$-Matrizen beschrieben werden.
+Die Matrizen, die das Standardskalarprodukt $\mathbb{R}^n$ erhalten,
+bilden eine Gruppe, die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden soll.
+Eine Matrix $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt, wenn
+für jedes beliebige Paar $x,y$ von Vektoren gilt
+$\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$.
+Das Standardskalarprodukt kann mit dem Matrixprodukt ausgedrückt werden:
+\[
+\langle Ax,Ay\rangle
+=
+(Ax)^tAy
+=
+x^tA^tAy
+=
+x^ty
+=
+\langle x,y\rangle
+\]
+für jedes Paar von Vektoren $x,y\in\mathbb{R}$.
+
+Mit dem Skalarprodukt kann man auch die Matrixelemente einer Matrix
+einer Abbildung $f$ in der Standardbasis bestimmen.
+Das Skalarprodukt $\langle e_i, v\rangle$ ist die Länge der Projektion
+des Vektors $v$ auf die Richtung $e_i$.
+Die Komponenten von $Ae_j$ sind daher $a_{ij}=\langle e_i,f(e_j)\rangle$.
+Die Matrix $A$ der Abbildung $f$ hat also die Matrixelemente
+$a_{ij}=e_i^tAe_j$.
+
+\subsubsection{Die orthogonale Gruppe $\operatorname{O}(n)$}
+Die Matrixelemente von $A^tA$ sind
+$\langle A^tAe_i, e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}$
+sind diejenigen der Einheitsmatrix,
+die Matrix $A$ erfüllt $AA^t=I$ oder $A^{-1}=A^t$.
+Dies sind die {\em orthogonalen} Matrizen.
+Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der isometrischen Abbildungen besteht
+daher aus den Matrizen
+\[
+\operatorname{O}(n)
+=
+\{ A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; AA^t=I\}.
+\]
+Die Matrixgleichung $AA^t=I$ liefert $n(n+1)/2$ unabhängige Bedingungen,
+die die orthogonalen Matrizen innerhalb der $n^2$-dimensionalen
+Menge $M_n(\mathbb{R})$ auszeichnen.
+Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der orthogonalen Matrizen hat daher
+die Dimension
+\[
+n^2 - \frac{n(n+1)}{2}
+=
+\frac{2n^2-n^2-n}{2}
+=
+\frac{n(n-1)}2.
+\]
+Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $O(2)$ eindimensional.
+
+\subsubsection{Tangentialvektoren}
+Die orthogonalen Matrizen bilden eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
+von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, nicht jede Matrix $M_n(\mathbb{R})$ 
+kann also ein Tangentialvektor von $O(n)$ sein.
+Um herauszufinden, welche Matrizen als Tangentialvektoren in Frage
+kommen, betrachten wir eine Kurve $\gamma\colon\mathbb{R}\to O(n)$
+von orthogonalen Matrizen mit $\gamma(0)=I$.
+Orthogonal bedeutet 
+\[
+\begin{aligned}
+&&
+0
+&=
+\frac{d}{dt}I
+=
+\frac{d}{dt}
+(\gamma(t)^t\gamma(t))
+=
+\dot{\gamma}(t)^t\gamma(t))
++
+\gamma(t)^t\dot{\gamma}(t))
+\\
+&\Rightarrow&
+0
+&=
+\dot{\gamma}(0)^t \cdot I + I\cdot \dot{\gamma(0)}
+=
+\dot{\gamma}(0)^t + \dot{\gamma}(0)
+=
+A^t+A=0
+\\
+&\Rightarrow&
+A^t&=-A
+\end{aligned}
+\]
+Die Tangentialvektoren von $\operatorname{O}(n)$ sind also genau
+die antisymmetrischen Matrizen.
+
+Für $n=2$ sind alle antisymmetrischen Matrizen Vielfache der Matrix
+$J$, wie in Abschnitt~\ref{buch:gruppen:drehungen2d}
+gezeigt wurde.
+
+Für jedes Paar $i<j$ ist die Matrix $A_{ij}$ mit den Matrixelementen
+$(A_{ij})_{ij}=-1$ und $(A_{ij})_{ji}=1$
+antisymmetrisch.
+Für $n=2$ ist $A_{12}=J$.
+Die $n(n-1)/2$ Matrizen $A_{ij}$ bilden eine Basis des
+$n(n-1)/2$-dimensionale Tangentialraumes von $\operatorname{O}(n)$.
+
+Tangentialvektoren in einem anderen Punkt $g\in\operatorname{O}(n)$
+haben die Form $gA$, wobei $A$ eine antisymmetrische Matrix ist.
+Diese Matrizen sind nur noch in speziellen Fällen antisymmetrisch,
+zum Beispiel im Punkt $-I\in\operatorname{O}(n)$.
+
+\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(n)$}
+Die Gruppe $\operatorname{O}(n)$ enhält auch Isometrien, die
+die Orientierung des Raumes umkehren, wie zum Beispiel Spiegelungen.
+Wegen $\det (AA^t)=\det A\det A^t = (\det A)^2=1$ kann die Determinante
+einer orthogonalen Matrix nur $\pm 1$ sein.
+Orientierungserhaltende Isometrien haben Determinante $1$.
+
+Die Gruppe
+\[
+\operatorname{SO}(n)
+=
+\{A\in\operatorname{O}(n)\;|\; \det A=1\}
+\]
+heisst die {\em spezielle orthogonale Gruppe}.
+Die Dimension der Gruppe $\operatorname{O}(n)$ ist $n(n-1)/2$.
+
+\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$}
+Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehungen des dreidimensionalen
+Raumes hat die Dimension $3(3-1)/2=3$.
+Eine Drehung wird festgelegt durch die Richtung der Drehachse und den
+Drehwinkel.
+Die Richtung der Drehachse ist ein Einheitsvektor, also ein Punkt
+auf der zweidimensionalen Kugel.
+Der Drehwinkel ist der dritte Parameter.
+
+Drehungen mit kleinen Drehwinkeln können zusammengesetzt werden
+aus den Matrizen
+\begin{align*}
+D_{x,\alpha}
+&=
+\begin{pmatrix}
+1&0&0\\
+0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\
+0&\sin\alpha& \cos\alpha
+\end{pmatrix},
+&
+D_{y,\beta}
+&=
+\begin{pmatrix}
+ \cos\beta&0&\sin\beta\\
+      0    &1&     0    \\
+-\sin\beta&0&\cos\beta
+\end{pmatrix},
+&
+D_{z,\gamma}
+&=
+\begin{pmatrix}
+\cos\gamma&-\sin\gamma&0\\
+\sin\gamma& \cos\gamma&0\\
+    0     &     0     &1
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+e^{A_{23}t}
+&
+&=
+e^{-A_{13}t}
+&
+&=
+e^{A_{21}t}
+\end{align*}
+die Drehungen um die Koordinatenachsen um den Winkel $\alpha$
+beschreiben.
+Auch die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ können als die
+drei Koordinaten der Mannigkfaltigkeit $\operatorname{SO}(3)$
+angesehen werden.
+
+%
+% Spezielle lineare Gruppe
+%
+\subsection{Volumenerhaltende Abbildungen und
+die Gruppe $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
+\label{buch:gruppen:sl}}
+Die Elemente der Gruppe $SO(n)$ erhalten Längen, Winkel und die
+Orientierung, also auch das Volumen.
+Es gibt aber volumenerhaltende Abbildungen, die Längen oder Winkel
+nicht notwendigerweise erhalten.
+Matrizen $A\in M_n(\mathbb{R})$, die das Volumen erhalten,
+haben die Determinante $\det A=1$.
+Wegen $\det(AB)=\det A\det B$ ist das Produkt zweier Matrizen mit
+Determinante $1$ wieder eine solche, sie bilden daher eine Gruppe.
+
+\begin{definition}
+Die volumenerhaltenden Abbildungen bilden die Gruppe
+\[
+\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})
+=
+\{
+A\in M_n(\mathbb{R})
+\;|\;
+\det (A) = 1
+\}
+\]
+sie heisst die {\em spezielle lineare Gruppe}.
+\end{definition}
+
+Wir wollen jetzt die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
+bestimmen.
+Dazu sei $A(t)$ eine Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
+mit $A(0)=I$.
+Für alle $t\in\mathbb{R}$ ist $\det A(t)=1$, daher ist die Ableitung
+\[
+\frac{d}{dt} \det A(t) = 0
+\quad\text{an der Stelle $t=0$.}
+\]
+Für $n=2$ ist
+\begin{align*}
+A(t)
+&=
+\begin{pmatrix}
+a(t)&b(t)\\
+c(t)&d(t)
+\end{pmatrix}
+\in
+\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{dt}
+\det A(t)\bigg|_{t=0}
+&=
+\dot{a}(0) d(0)+a(0)\dot{d}(0)
+-
+\dot{b}(0) c(0)-b(0)\dot{c}(0)
+\\
+&&&&
+&=
+\dot{a}(0) + \dot{d}(0)
+\\
+&&&&
+&=
+\operatorname{Spur}\frac{dA}{dt}.
+\end{align*}
+Dies gilt nicht nur im Falle $n=2$, sondern ganz allgemein für beliebige
+$n\times n$-Matrizen.
+
+\begin{satz}
+Ist $A(t)$ eine differenzierbare Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{B})$
+mit $A(0)=I$, dann ist $\operatorname{Spur}\dot{A}(0)=0$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Entwicklung der Determinante von $A$ nach der ersten Spalte ist
+\[
+\det A(t) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
+\]
+Die Ableitung nach $t$ ist
+\[
+\frac{d}{dt} \det A(t)
+=
+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \dot{a}_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
++
+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \frac{d}{dt}\det A_{i1}(t).
+\]
+An der Stelle $t=0$ enthält $\det A_{i1}(0)$ für $i\ne 1$
+eine Nullzeile, der einzige nichtverschwindende Term in der ersten
+Summe ist daher der erste.
+In der zweiten Summe ist das einzige nicht verschwindende $a_{i1}(0)$
+jenes für $i=1$, somit ist die Ableitung von $\det A(t)$
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} \det A(t)
+=
+\dot{a}_{11}(t) \det A_{11}(t).
++
+\frac{d}{dt}\det A_{11}(t)
+=
+\dot{a}_{11}(0) 
++
+\frac{d}{dt}\det A_{11}(t).
+\label{buch:gruppen:eqn:detspur}
+\end{equation}
+Die Beziehung \eqref{buch:gruppen:eqn:detspur} kann für einen Beweis mit
+vollständiger Induktion verwendet werden.
+
+Die Induktionsverankerung für $n=1$ besagt, dass $\det A(t)=a_{11}(t)$
+genau dann konstant $=1$ ist, wenn $\dot{a}_{11}(0)=\operatorname{Spur}A(0)$
+ist.
+Unter der Induktionsannahme, dass für eine $(n-1)\times(n-1)$-Matrix
+$\tilde{A}(t)$ mit $\tilde{A}(0)=I$ die Ableitung der Determinante
+\[
+\frac{d}{dt}\tilde{A}(0)
+=
+\operatorname{Spur}\dot{\tilde{A}}(0)
+\]
+ist, folgt jetzt mit
+\eqref{buch:gruppen:eqn:detspur}, dass
+\[
+\frac{d}{dt}A(0)
+=
+\dot{a}_{11}(0)
++
+\frac{d}{dt} \det A_{11}(t)\bigg|_{t=0}
+=
+\dot{a}_{11}(0)
++
+\operatorname{Spur}\dot{A}_{11}(0)
+=
+\operatorname{Spur}\dot{A}(0).
+\]
+Damit folgt jetzt die Behauptung für alle $n$.
+\end{proof}
+
+\begin{beispiel}
+Die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ sind 
+die spurlosen Matrizen
+\[
+A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
+\quad\Rightarrow\quad
+\operatorname{Spur}A=a+d=0
+\quad\Rightarrow\quad
+A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}.
+\]
+Der Tangentialraum ist also dreidimensional.
+Als Basis könnte man die folgenden Vektoren verwenden:
+\begin{align*}
+A
+&=
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+&&\Rightarrow&
+e^{At}
+&=
+\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}
+\\
+B
+&=
+\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
+&&\Rightarrow&
+e^{Bt}
+&=
+\begin{pmatrix}
+\cos t & -\sin t\\
+\sin t &  \cos t
+\end{pmatrix}
+\\
+C
+&=
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+&&\Rightarrow&
+e^{Ct}
+&=
+I + Ct + \frac{C^2t^2}{2!} + \frac{C^3t^3}{3!} + \frac{C^4t^4}{4!}+\dots
+\\
+&&&&
+&=
+I\biggl(1 + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!}+\dots \biggr)
++
+C\biggl(t + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!}+\dots \biggr)
+\\
+&&&&
+&=
+I\cosh t + C \sinh t
+=
+\begin{pmatrix}
+\cosh t & \sinh t\\
+\sinh t & \cosh t
+\end{pmatrix},
+\end{align*}
+wobei in der Auswertung der Potenzreihe für $e^{Ct}$ verwendet wurde,
+dass $C^2=I$.
+
+Die Matrizen $e^{At}$ Streckungen der einen Koordinatenachse und
+Stauchungen der anderen derart, dass das Volumen erhalten bleibt.
+Die Matrizen $e^{Bt}$ sind Drehmatrizen, die Längen und Winkel und
+damit erst recht den Flächeninhalt erhalten.
+Die Matrizen der Form $e^{Ct}$ haben die Vektoren $(1,\pm1)$ als
+Eigenvektoren:
+\begin{align*}
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+&\mapsto
+e^{Ct}
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+=
+(\cosh t +\sinh t)
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+=
+\biggl(
+\frac{e^t+e^{-t}}2
++
+\frac{e^t-e^{-t}}2
+\biggr)
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+=
+e^t
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+\\
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+&\mapsto
+e^{Ct}
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+=
+(\cosh t -\sinh t)
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+=
+\biggl(
+\frac{e^t+e^{-t}}2
+-
+\frac{e^t-e^{-t}}2
+\biggr)
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+=
+e^{-t}
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+\end{align*}
+Die Matrizen $e^{Ct}$ strecken die Richtung $(1,1)$ um $e^t$ und
+die dazu orthogonale Richtung $(1,-1)$ um den Faktor $e^{-t}$.
+Dies ist die gegenüber $e^{At}$ um $45^\circ$ verdrehte Situation,
+auch diese Matrizen sind flächenerhaltend.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf}
+\caption{Tangentialvektoren und die davon erzeugen Einparameteruntergruppen
+für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden
+linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$.
+In allen drei Fällen wird ein blauer Rhombus mit den Ecken in den
+Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zu
+zum roten Viereck verzerrt, der Flächeninhalt bleibt aber erhalten.
+In den beiden Fällen $B$ und $C$ stellen die grünen Kurven die Bahnen
+der Bilder der Standardbasisvektoren dar.
+\label{buch:gruppen:fig:sl2}}
+\end{figure}%
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf}
+\caption{Weitere Matrizen mit Spur $0$ und ihre Wirkung 
+Die inken beiden Beispiele $M$ und $N$ sind nilpotente Matrizen,
+die zugehörigen Einparameter-Untergruppen beschreiben Schwerungen.
+\label{buch:gruppen:fig:scherungen}}
+\end{figure}
+\end{beispiel}
+
+%
+% Die Gruppe SU(2)
+%
+\subsection{Die Gruppe $\operatorname{SU}(2)$
+\label{buch:gruppen:su2}}
+Die Menge der Matrizen
+\[
+\operatorname{SU}(2)
+=
+\left\{
+\left.
+A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}
+\;\right|\;
+a,b,c,d\in\mathbb{C},\det(A)=1, AA^*=I
+\right\}
+\]
+heisst die {\em spezielle unitäre Gruppe}.
+Wegen $\det(AB)=\det(A)\det(B)=1$ und $(AB)^*AB=B^*A^*AB=B^*B=I$ ist 
+$\operatorname{SU}(2)$ eine Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$.
+Die Bedingungen $\det A=1$ und $AA^*=I$ schränken die möglichen Werte
+von $a$ und $b$ weiter ein.
+Aus 
+\[
+A^*
+=
+\begin{pmatrix}
+\overline{a}&\overline{c}\\
+\overline{b}&\overline{d}
+\end{pmatrix}
+\]
+und den Bedingungen führen die Gleichungen
+\[
+\begin{aligned}
+a\overline{a}+b\overline{b}&=1
+&&\Rightarrow&|a|^2+|b|^2&=1
+\\
+a\overline{c}+b\overline{d}&=0
+&&\Rightarrow&
+\frac{a}{b}&=-\frac{\overline{d}}{\overline{c}}
+\\
+c\overline{a}+d\overline{b}&=0
+&&\Rightarrow&
+\frac{c}{d}&=-\frac{\overline{b}}{\overline{a}}
+\\
+c\overline{c}+d\overline{d}&=1&&\Rightarrow&|c|^2+|d|^2&=1
+\\
+ad-bc&=1
+\end{aligned}
+\]
+Aus der zweiten Gleichung kann man ableiten, dass es eine Zahl $t\in\mathbb{C}$
+gibt derart, dass $c=-t\overline{b}$ und $d=t\overline{a}$.
+Damit wird die Bedingung an die Determinante zu
+\[
+1
+=
+ad-bc = at\overline{a} - b(-t\overline{b})
+=
+t(|a|^2+|b|^2)
+=
+t,
+\]
+also muss die Matrix $A$ die Form haben
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix}
+a&b\\
+-\overline{b}&\overline{a}
+\end{pmatrix}
+\qquad\text{mit}\quad |a|^2+|b|^2=1.
+\]
+Schreibt man $a=a_1+ia_2$ und $b=b_1+ib_2$ mit rellen $a_i$ und $b_i$,
+dann besteht $SU(2)$  aus den Matrizen der Form
+\[
+A=
+\begin{pmatrix}
+ a_1+ia_2&b_1+ib_2\\
+-b_1+ib_2&a_1-ia_2
+\end{pmatrix}
+\]
+mit der zusätzlichen Bedingung
+\[
+|a|^2+|b|^2
+=
+a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 = 1.
+\]
+Die Matrizen von $\operatorname{SU}(2)$ stehen daher in einer
+eins-zu-eins-Beziehung zu den Vektoren $(a_1,a_2,b_1,b_2)\in\mathbb{R}^4$
+eines vierdimensionalen reellen Vektorraums mit Länge $1$.
+Geometrisch betrachtet ist also $\operatorname{SU}(2)$ eine dreidmensionalen
+Kugel, die in einem vierdimensionalen Raum eingebettet ist.
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
index 8d5c0e0..7364c85 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
@@ -7,4 +7,719 @@
 \section{Symmetrien
 \label{buch:section:symmetrien}}
 \rhead{Symmetrien}
+Der geometrische Begriff der Symmetrie meint die Eigenschaft eines
+geometrischen Objektes, dass es bei einer Bewegung auf sich selbst
+abgebildet wird.
+Das Wort stammt aus dem altgriechischen, wo es {\em Gleichmass}
+bedeutet.
+Spiegelsymmetrische Objekte zeichnen sich zum Beispiel dadurch aus,
+dass Messungen von Strecken die gleichen Werte ergeben wie die Messungen
+der entsprechenden gespiegelten Strecken (siehe auch
+Abbildung~\ref{buch:lie:bild:castlehoward}, was die Herkunft des
+Begriffs verständlich macht.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg}
+\caption{Das Castle Howard in Yorkshire war in dieser ausgeprägt symmetrischen
+Form geplant, wurde dann aber in modifizeirter Form gebaut.
+Messungen zwischen Punkten in der rechten Hälfte des Bildes
+ergeben die gleichen Werte wie Messungen entsprechenden Strecken
+in der linken Hälfte, was den Begriff Symmetrie rechtfertigt.
+\label{buch:lie:bild:castlehoward}}
+\end{figure}
+In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie daher auch eine erweiterte
+Bedeutung gegeben.
+Jede Transformation eines Systems, welche bestimmte Grössen nicht
+verändert, wird als Symmetrie bezeichnet.
+Die Gesetze der Physik sind typischerweise unabhängig davon, wo man den
+den Nullpunkt der Zeit oder das räumlichen Koordinatensystems ansetzt,
+eine Transformation des Zeitnullpunktes oder des Ursprungs des
+Koordinatensystems ändert daher die Bewegungsgleichungen nicht, sie ist
+eine Symmetrie des Systems.
+
+Umgekehrt kann man fragen, welche Symmetrien ein System hat.
+Da sich Symmetrien zusammensetzen und umkehren lassen, kann man in davon
+ausgehen, dass die Symmetrietransformationen eine Gruppe bilden.
+Besonders interessant ist dies im Falle von Transformationen, die
+durch Matrizen beschrieben weren.
+Eine unter der Symmetrie erhaltene Eigenschaft definiert so eine
+Untergruppe der Gruppe $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ der
+invertierbaren Matrizen.
+Die erhaltenen Eigenschaften definieren eine Menge von Gleichungen,
+denen die Elemente der Untergruppe genügen müssen.
+Als Lösungsmenge einer Gleichung erhält die Untergruppe damit eine
+zusätzliche geometrische Struktur, man nennt sie eine differenzierbare
+Mannigfaltigkeit.
+Dieser Begriff wird im Abschnitt~\ref{buch:subsection:mannigfaltigkeit}
+eingeführt.
+Es wird sich zum Beispiel zeigen, dass die Menge der Drehungen der
+Ebene mit den Punkten eines Kreises parametrisieren lassen,
+die Lösungen der Gleichung $x^2+y^2=1$ sind.
+
+Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare
+Mannigfaltigkeit ist.
+Die Existenz von geometrischen Konzepten wie Tangentialvektoren
+ermöglicht zusätzliche Werkzeuge, mit denen diese Gruppe untersucht
+und verstanden werden können.
+Ziel dieses Abschnitts ist, die Grundlagen für diese Untersuchung zu
+schaffen, die dann im Abschnitt~\ref{buch:section:lie-algebren}
+durchgeführt werden soll.
+
+\subsection{Algebraische Symmetrien
+\label{buch:subsection:algebraische-symmetrien}}
+Mit Matrizen lassen sich Symmetrien in einem geometrischen Problem
+oder in einem physikalischen System beschreiben.
+Man denkt dabei gerne zuerst an geometrische Symmetrien wie die
+Symmetrie unter Punktspiegelung oder die Spiegelung an der $x_1$-$x_2$-Ebene,
+wie sie zum Beispiel durch die Abbildungen
+\[
+\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 : x\mapsto -x
+\qquad\text{oder}\qquad
+\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 :
+\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}-x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt werden.
+Beide haben zunächst die Eigenschaft, dass Längen und Winkel und damit
+das Skalarprodukt erhalten sind.
+Diese Eigenschaft allein erlaubt aber noch nicht, die beiden Transformationen
+zu unterscheiden.
+Die Punktspiegelung zeichnet sich dadurch aus, das alle Geraden und alle
+Ebenen durch den Ursprung auf sich selbst abgebildet werden.
+Dies funktioniert für die Ebenenspiegelung nicht, dort bleibt nur die
+Spiegelungsebene (die $x_1$-$x_2$-Ebene im vorliegenden Fall) und
+ihre Normale erhalten.
+Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie solche Symmetriedefinitionen
+auf algebraische Bedingungen an die Matrixelemente führen.
+
+Zu jeder Abbildung $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, unter der 
+ein geometrisches Objekt in $\mathbb{R}^n$ symmetrisch ist, können wir
+sofort weitere Abbildungen angeben, die ebenfalls Symmetrien sind.
+Zum Beispiel sind die iterierten Abbildungen $f\circ f$, $f\circ f\circ f$
+u.~s.~w., die wir auch $f^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ schreiben werden,
+ebenfalls Symmetrien.
+Wenn die Symmetrie auch umkehrbar ist, dann gilt dies sogar für alle
+$n\in\mathbb{Z}$.
+Wir erhalten so eine Abbildung
+$\varphi\colon \mathbb{Z}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}):n\mapsto f^n$
+mit den Eigenschaften $\varphi(0)=f^0 = I$ und
+$\varphi(n+m)=f^{n+m}=f^n\circ f^m = \varphi(n)\circ\varphi(m)$.
+$\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $\mathbb{Z}$ in die Gruppe
+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
+Wir nennen dies eine {\em diskrete Symmetrie}.
+
+\subsection{Kontinuierliche Symmetrien
+\label{buch:subsection:kontinuierliche-symmetrien}}
+Von besonderem Interesse sind kontinuierliche Symmetrien.
+Dies sind Abbildungen eines Systems, die von einem Parameter
+abhängen.
+Zum Beispiel können wir Drehungen der Ebene $\mathbb{R}^2$ um den
+Winkel $\alpha$ durch Matrizen 
+\[
+D_{\alpha}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha&-\sin\alpha\\
+\sin\alpha& \cos\alpha
+\end{pmatrix}
+\]
+beschrieben werden.
+Ein Kreis um den Nullpunkt bleibt unter jeder dieser Drehungen invariant.
+Im Gegensatz dazu sind alle $3n$-Ecke mit Schwerpunkt $0$ nur invariant
+unter der einen Drehung $D_{\frac{2\pi}3}$ invariant.
+Die kleinste Menge, die einen vorgegebenen Punkt enthält und unter
+allen Drehungen $D_\alpha$ invariant ist, ist immer ein Kreis um
+den Nullpunkt.
+
+\begin{definition}
+Ein Homomorphismus $\varphi\colon\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in die allgemeine lineare Gruppe
+heisst eine {\em Einparameter-Untergruppe} von
+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
+\end{definition}
+
+Die Abbildung 
+\[
+\varphi
+\colon
+\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})
+:
+\alpha \mapsto
+D_{\alpha}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha&-\sin\alpha\\
+\sin\alpha& \cos\alpha
+\end{pmatrix}
+\]
+ist also eine Einparameter-Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
+
+\subsubsection{Der harmonische Oszillator}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf}
+\caption{Die Lösungen der
+Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
+im Phasenraum sind Ellipsen mit Halbachsenverhältnis $\omega^{-1}$.
+\label{chapter:gruppen:fig:phasenraum}}
+\end{figure}
+Eine Masse $m$ verbunden mit einer Feder mit der Federkonstanten $K$
+schwingt um die Ruhelage $x=0$ entsprechend der Differentialgleichung
+\[
+m\frac{d^2}{dt^2} x(t) =  -Kx(t).
+\]
+Die Kreisfrequenz der Schwingung ist
+\[
+\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}.
+\]
+Das System kann als zweidimensionales System im Phasenraum mit den 
+Koordinaten $x_1=x$ und $x_2=p=m\dot{x}$ beschrieben werden.
+Die zweidimensionale Differentialgleichung ist
+\begin{equation}
+\left.
+\begin{aligned}
+\dot{x}(t) &= \frac{1}{m}p(t)\\
+\dot{p}(t) &= -Kx(t) 
+\end{aligned}
+\quad
+\right\}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac{d}{dt}
+\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&\frac{1}{m}\\
+-K&0
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}.
+\label{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
+\end{equation}
+Die Lösung der Differentialgleichung für die Anfangsbedingung $x(0)=1$ und
+$p(0)=0$ ist
+\[
+x(t)
+=
+\cos \omega t
+\qquad\Rightarrow\qquad
+p(t)
+=
+-\omega \sin\omega t,
+\]
+die Lösung zur Anfangsbedingung $x(0)=0$ und $p(0)=1$ ist
+\[
+x(t) = \frac{1}{\omega} \sin\omega t,
+\qquad
+p(t) = \cos \omega t.
+\]
+In Matrixform kann man die allgemeine Lösung zur Anfangsbedingun $x(0)=x_0$
+und $p(0)=p_0$
+\begin{equation}
+\begin{pmatrix}
+x(t)\\
+p(t)
+\end{pmatrix}
+=
+\underbrace{
+\begin{pmatrix}
+ \cos \omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\
+-\omega \sin\omega t & \cos\omega t
+\end{pmatrix}
+}_{\displaystyle =\Phi_t}
+\begin{pmatrix}x_0\\p_0\end{pmatrix}
+\label{buch:gruppen:eqn:phi}
+\end{equation}
+schreiben.
+Die Matrizen $\Phi_t$ bilden eine Einparameter-Untergruppe von
+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, da
+\begin{align*}
+\Phi_s\Phi_t
+&=
+\begin{pmatrix}
+ \cos\omega s & \frac{1}{\omega} \sin\omega s \\
+-\omega \sin\omega s & \cos\omega s
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+ \cos\omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\
+-\omega \sin\omega t & \cos\omega t
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+\cos\omega s \cos\omega t - \sin\omega s \sin\omega t 
+& \frac{1}{\omega} ( \cos\omega s \sin\omega t + \sin\omega s \cos \omega t)
+\\
+-\omega (\sin\omega s \cos\omega t + \cos\omega s \sin\omega t )
+& \cos\omega s \cos\omega t -\sin\omega s \sin\omega t 
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+ \cos\omega(s+t) & \frac{1}{\omega}\sin\omega(s+t) \\
+-\omega \sin\omega(s+t) & \cos\omega(s+t)
+\end{pmatrix}
+=
+\Phi_{s+t}
+\end{align*}
+gilt.
+Die Lösungen der 
+Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
+sind in Abbildung~\ref{chapter:gruppen:fig:phasenraum}
+Die Matrizen $\Phi_t$ beschreiben eine kontinuierliche Symmetrie
+des Differentialgleichungssystems, welches den harmonischen Oszillator
+beschreibt.
+
+\subsubsection{Fluss einer Differentialgleichung}
+Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils
+Matrizen in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
+Der Grund dafür ist, dass die
+Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
+linear ist.
+Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$
+die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch
+Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also
+aus der Formel
+\[
+\Phi_t (\lambda x_1 + \mu x_2) = \lambda \Phi_t x_1 + \mu \Phi_t x_2.
+\]
+Dies zeigt, dass $\Phi_t$ für jedes $t$ eine lineare Abbildung sein muss.
+
+Für eine beliebige Differentialgleichung kann man immer noch eine Abbildung
+$\Phi$ konstruieren, die aber nicht mehr linear ist.
+Sei dazu die Differentialgleichung erster Ordnung
+\begin{equation}
+\frac{dx}{dt}
+=
+f(t,x)
+\qquad\text{mit}\qquad
+f\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
+\label{buch:gruppen:eqn:dgl}
+\end{equation}
+gegeben.
+Für jeden Anfangswert $x_0\in\mathbb{R}^n$ kann man mindestens für eine
+gewisse Zeit $t <\varepsilon$ eine Lösung $x(t,x_0)$ finden mit $x(t,x_0)=x_0$.
+Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist auch
+bekannt, dass $x(t,x_0)$ mindestens in der Nähe von $x_0$ differenzierbar von
+$x_0$ abhängt.
+Dies erlaubt eine Abbildung
+\[
+\Phi\colon \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
+:
+(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0)
+\]
+zu definieren, die sowohl von $t$ als auch von $x_0$ differenzierbar
+abhängt.
+Aus der Definition folgt unmittelbar, dass $\Phi_0(x_0)=x_0$ ist, dass
+also $\Phi_0$ die identische Abbildung von $\mathbb{R}^n$ ist.
+
+Aus der Definition lässt sich auch ableiten, dass
+$\Phi_{s+t}=\Phi_s\circ\Phi_t$ gilt.
+$\Phi_t(x_0)=x(t,x_0)$ ist der Endpunkt der Bahn, die bei $x_0$ beginnt
+und sich während der Zeit $t$ entwickelt.
+$\Phi_s(x(t,x_0))$ ist dann der Endpunkt der Bahn, die bei $x(t,x_0)$ 
+beginnt und sich während der Zeit $s$ entwickelt.
+Somit ist $\Phi_s\circ \Phi_t(x_0)$ der Endpunkt der Bahn, die bei
+$x_0$ beginnt und sich über die Zeit $s+t$ entwickelt.
+In Formeln bedeutet dies
+\[
+\Phi_{s+t} = \Phi_s\circ \Phi_t.
+\]
+Die Abbildung $t\mapsto \Phi_t$ ist also wieder ein Homomorphismus
+von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in eine Gruppe von differenzierbaren
+Abbildungen $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$.
+
+\begin{definition}
+Die Abbildung
+\[
+\Phi\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n
+:
+(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0)
+\]
+heisst der {\em Fluss} der Differentialgleichung
+\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl},
+wenn für jedes $x_0\in\mathbb{R}^n$ die Kurve $t\mapsto \Phi_t(x_0)$
+eine Lösung der Differentialgleichung ist mit Anfangsbedingung $x_0$.
+\end{definition}
+
+Die Abbildung $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} ist also
+der Fluss der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators.
+
+\subsection{Mannigfaltigkeiten
+\label{buch:subsection:mannigfaltigkeit}}
+Eine Differentialgleichung der Form~\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl}
+stellt einen Zusammenhang her zwischen einem Punkt $x$ und der
+Tangentialrichtung einer Bahnkurve $f(t,x)$.
+Die Ableitung liefert die lineare Näherung der Bahkurve
+\[
+x(t_0+h) = x(t_0) + h f(t_0,x_0) + o(h)
+\]
+für $h$ in einer kleinen Umgebung von $0$.
+Das funktioniert auch, weil $f(t_0,x_0)$ selbst ein Vektor von
+$\mathbb{R}^n$ ist, in dem die Bahnkurve verläuft.
+
+Diese Idee funktioniert nicht mehr zum Beispiel für eine
+Differentialgleichung auf einer Kugeloberfläche, weil alle Punkte
+$x(t_0)+hf(t_0,x_0)$ für alle $h\ne 0$ nicht mehr auf der Kugeloberfläche
+liegen.
+Physikalisch äussert sich das ein einer zusätzlichen Kraft, die nötig
+ist, die Bahn auf der Kugeloberfläche zu halten.
+Diese Kraft stellt zum Beispiel sicher, dass die Vektoren $f(t,x)$ für
+Punkte $x$ auf der Kugeloberfläche immer tangential an die Kugel sind.
+Trotzdem ist der Tangentialvektor oder der Geschwindigkeitsvektor 
+nicht mehr ein Objekt, welches als Teil der Kugeloberfläche definiert
+werden kann, er kann nur definiert werden, wenn man sich die Kugel als
+in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen kann.
+
+Um die Idee der Differentialgleichung auf einer beliebigen Fläche
+konsistent zu machen ist daher notwendig, die Idee einer Tagentialrichtung
+auf eine Art zu definieren, die nicht von der Einbettung der Fläche
+in den $n$-dimensionalen Raum abhängig ist.
+Das in diesem Abschnitt entwickelte Konzept der {\em Mannigfaltigkeit}
+löst dieses Problem.
+
+\subsubsection{Karten}
+Die Navigation auf der Erdoberfläche verwendet das Koordinatensystem
+der geographischen Länge und Breite.
+Dieses Koordinatensystem funktioniert gut, solange man sich nicht an
+den geographischen Polen befindet, denn deren Koordinaten sind
+nicht mehr eindeutig.
+Alle Punkte mit geographischer Breite $90^\circ$ und beliebiger 
+geographischer Länge beschreiben den Nordpol.
+Auch die Ableitung funktioniert dort nicht mehr.
+Bewegt man sich mit konstanter Geschwindigkeit über den Nordpol,
+springt die Ableitung der geographischen Breite von einem positiven
+Wert auf einen negativen Wert, sie kann also nicht differenzierbar sein.
+Diese Einschränkungen sind in der Praxis nur ein geringes Problem dar,
+da die meisten Reisen nicht über die Pole erfolgen.
+
+Der Polarforscher, der in unmittelbarer Umgebung des Poles arbeitet,
+kann das Problem lösen, indem er eine lokale Karte für das Gebiet
+um den Pol erstellt.
+Dafür kann er beliebige Koordinaten verwenden, zum Beispiel auch
+ein kartesisches Koordinatensystem, er muss nur eine Methode haben,
+wie er seine Koordinaten wieder auf geographische Länge und Breite
+umrechnen will.
+Und wenn er über Geschwindigkeiten kommunizieren will, dann muss
+er auch Ableitungen von Kurven in seinem kartesischen Koordinatensystem
+umrechnen können auf die Kugelkoordinaten.
+Dazu muss seine Umrechnungsformel von kartesischen Koordinaten
+auf Kugelkoordinaten differenzierbar sein.
+
+Diese Idee wird durch das Konzept der Mannigfaltigkeit verallgemeinert.
+Eine $n$-dimensionale {\em Mannigfaltigkeit} ist eine Menge $M$ von Punkten,
+die lokal, also in der Umgebung eines Punktes, mit möglicherweise mehreren
+verschiedenen Koordinatensystemen versehen werden kann.
+Ein Koordinatensystem ist eine umkehrbare Abbildung einer offenen Teilmenge
+$U\subset M$ in den Raum $\mathbb{R}^n$.
+Die Komponenten dieser Abbildung heissen die {\em Koordinaten}.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/karten.pdf}
+\caption{Karten
+$\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to \mathbb{R}^2$
+und
+$\varphi_\beta\colon U_\beta\to \mathbb{R}^2$
+auf einem Torus.
+Auf dem Überschneidungsgebiet $\varphi_\alpha^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)$
+ist der Kartenwechsel $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$ wohldefiniert
+und muss differnzierbar sein, wenn eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
+entstehen soll.
+\label{buch:gruppen:fig:karten}}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}
+Eine Karte auf $M$ ist eine umkehrbare Abbildung
+$\varphi\colon U\to \mathbb{R}^n$ (siehe auch
+Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:karten}).
+Ein differenzierbarer Atlas ist eine Familie von Karten $\varphi_\alpha$
+derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$
+überdecken, und dass die Kartenwechsel Abbildungen
+\[
+\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}
+\colon
+\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)
+\to
+\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)
+\]
+als Abbildung von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar
+ist.
+Eine {$n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine
+Menge $M$ mit einem differenzierbaren Atlas.
+\end{definition}
+
+Karten und Atlanten regeln also nur, wie sich verschiedene lokale
+Koordinatensysteme ineinander umrechnen lassen.
+
+\begin{beispiel}
+$M=\mathbb{R}^n$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit denn 
+die identische Abbildung $M\to \mathbb{R}^n$ ist eine Karte und ein
+Atlas von $M$.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf}
+\caption{Karten für die Kreislinie $S^1\subset\mathbb{R}^2$.
+\label{buch:gruppen:fig:kartenkreis}}
+\end{figure}
+Die Kreislinie in in der Ebene ist eine $1$-dimensionale Mannigfaltigkeit.
+Natürlich kann sie nicht mit einer einzigen Karte beschrieben werden,
+da es keine umkehrbaren Abbildungen zwischen $\mathbb{R}$ und der Kreislinie
+gibt.
+Die Projektionen auf die einzelnen Koordinaten liefern die folgenden
+vier Karten:
+\begin{align*}
+\varphi_1&\colon U_{x>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\} \to\mathbb{R}
+:
+(x,y) \mapsto y
+\\
+\varphi_2&\colon U_{x<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\} \to\mathbb{R}
+:
+(x,y) \mapsto y
+\\
+\varphi_3&\colon U_{y>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\} \to\mathbb{R}
+:
+(x,y) \mapsto x
+\\
+\varphi_4&\colon U_{y<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\} \to\mathbb{R}
+:
+(x,y) \mapsto x
+\end{align*}
+Die Werte der Kartenabbildungen sind genau die $x$- und $y$-Koordinaten
+auf der in den Raum $\mathbb{R}^2$ eingebetteten Kreislinie.
+
+Für $\varphi_1$ und $\varphi_2$ sind die Definitionsgebiete disjunkt,
+hier gibt es also keine Notwendigkeit, Koordinatenumrechnungen vornehmen
+zu können.
+Dasselbe gilt für $\varphi_3$ und $\varphi_4$.
+
+Die nichtleeren Schnittmengen der verschiedenen Kartengebiete beschreiben
+jeweils die Punkte der Kreislinie in einem Quadranten.
+Die Umrechnung zwischen den Koordinaten und ihre Ableitung
+ist je nach Quadrant durch
+\begin{align*}
+&\text{1.~Quadrant}&
+\varphi_{31}
+&=
+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-y^2\mathstrut}
+&
+D\varphi_{31}
+&=
+-\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
+\\
+&\text{2.~Quadrant}&
+\varphi_{24}
+&=
+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-x^2\mathstrut}
+&
+D\varphi_{24}
+&=
+-\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
+\\
+&\text{3.~Quadrant}&
+\varphi_{42}
+&=
+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto-\sqrt{1-y^2\mathstrut}
+&
+D\varphi_{42}
+&=
+\phantom{-}\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
+\\
+&\text{4.~Quadrant}&
+\varphi_{14}
+&=
+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto-\sqrt{1-x^2\mathstrut}
+&
+D\varphi_{14}
+&=
+\phantom{-}\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
+\end{align*}
+gegeben.
+Diese Abbildungen sind im offenen Intervall $(-1,1)$ differenzierbar,
+Schwierigkeiten mit der Ableitungen ergeben sich nur an den Stellen
+$x=\pm1$ und $y=\pm 1$, die in einem Überschneidungsgebiet von Karten
+nicht vorkommen können.
+Somit bilden die vier Karten einen differenzierbaren Atlas für
+die Kreislinie (Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}).
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Ganz analog zum vorangegangenen Beispiel über die Kreisline lässt sich
+für eine $n$-di\-men\-sio\-nale Sphäre
+\[
+S^n = \{ (x_1,\dots,x_{n+1})\;|\; x_0^2+\dots+x_n^2=1\}
+\]
+immer ein Atlas aus $2^{n+1}$ Karten mit den Koordinatenabbildungen
+\[
+\varphi_{i,\pm}
+\colon
+U_{i,\pm}
+=
+\{p\in S^n\;|\; \pm x_i >0\}
+\to
+\mathbb{R}^n
+:
+p\mapsto (x_1,\dots,\hat{x}_i,\dots,x_{n+1})
+\]
+konstruieren, der $S^n$ zu einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit macht.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Tangentialraum}
+Mit Hilfe einer Karte $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb{R}^n$
+kann das Geschehen in einer Mannigfaltigkeit in den vertrauten 
+$n$-dimensionalen Raum $\mathbb{B}^n$ transportiert werden. 
+Eine Kurve $\gamma\colon \mathbb{R}\to M$, die so parametrisiert sein
+soll, dass $\gamma(t)\in U_\alpha$ für $t$ in einer Umgebung $I$ von $0$ ist,
+wird von der Karte in eine Kurve
+$\gamma_\alpha=\varphi_\alpha\circ\gamma\colon I\to \mathbb{R}^n$ 
+abgebildet,
+deren Tangentialvektor wieder ein Vektor in $\mathbb{R}^n$ ist.
+
+Eine zweite Karte $\varphi_\beta$ führt auf eine andere Kurve
+mit der Parametrisierung
+$\gamma_\beta=\varphi_\beta\circ\gamma\colon I \to \mathbb{R}^n$ 
+und einem anderen Tangentialvektor.
+Die beiden Tangentialvektoren können aber mit der Ableitung der
+Koordinatenwechsel-Abbildung
+$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\colon
+\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \mathbb{R}^n$
+ineinander umgerechnet werden.
+Aus
+\[
+\gamma_\beta
+=
+\varphi_\beta\circ \gamma
+=
+(
+\varphi_\beta
+\circ
+\varphi_\alpha^{-1}
+)
+\circ
+\varphi_\alpha\circ\gamma
+=
+\varphi_{\beta\alpha}
+\circ
+\varphi_\alpha\circ\gamma
+=
+\varphi_{\beta\alpha}\circ\gamma_\alpha
+\]
+folgt durch Ableitung nach dem Kurvenparameter $t$, dass
+\[
+\frac{d}{dt}\gamma_\beta(t)
+=
+D\varphi_{\beta\alpha}
+\cdot
+\frac{d}{dt}\gamma_\alpha(t).
+\]
+Die Ableitung $D\varphi_{\beta\alpha}$ von $\varphi_{\beta\alpha}$ 
+an der Stelle $\gamma_\alpha(t)$ berechnet also aus dem Tangentialvektor
+einer Kurve in der Karte $\varphi_\alpha$ den Tangentialvektor der
+Kurve in der Karte $\varphi_\beta$.
+
+Die Forderung nach Differenzierbarkeit der Kartenwechselabbildungen
+$\varphi_{\beta\alpha}$ stellt also nur sicher, dass die Beschreibung
+eines Systemes mit Differentialgleichungen in verschiedenen
+Koordinatensystemen auf die gleichen Lösungskurven in der
+Mannigfaltigkeit führt.
+Insbesondere ist die Verwendung von Karten ist also nur ein Werkzeug,
+mit dem die Unmöglichkeit einer globalen Besschreibung einer
+Mannigfaltigkeit $M$ mit einem einzigen globalen Koordinatensystem
+ohne Singularitäten umgangen werden kann.
+
+\begin{beispiel}
+Das Beispiel des Kreises in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
+zeigt, dass die Tangentialvektoren je nach Karte sehr verschieden
+aussehen können.
+Der Tangentialvektor der Kurve $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ im Punkt
+$\gamma(t)$ ist $\dot{y}(t)$ in den Karten $\varphi_1$ und $\varphi_2$ 
+und $\dot{x}(t)$ in den Karten $\varphi_3$ und $\varphi_4$.
+
+Die spezielle Kurve $\gamma(t) = (\cos t,\sin t)$ hat in einem Punkt
+$t\in (0,\frac{\pi}2)$.
+in der Karte $\varphi_1$ den Tangentialvektor $\dot{y}(t)=\cos t$,
+in der Karte $\varphi_3$ aber den Tangentialvektor $\dot{x}=-\sin t$.
+Die Ableitung des Kartenwechsels in diesem Punkt ist die $1\times 1$-Matrix
+\[
+D\varphi_{31}(\gamma(t))
+=
+-\frac{y(t)}{\sqrt{1-y(t)^2}}
+=
+-\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin^2 t}}
+=
+-\frac{\sin t}{\cos t}
+=
+-\tan t.
+\]
+Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch
+\[
+\dot{x}(t)
+=
+D\varphi_{31}(\gamma(t)) 
+\dot{y}(t)
+\]
+wird für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu
+\[
+D\varphi_{31}(\gamma(t)) 
+\cdot
+\dot{y}(t)
+=
+-\tan t\cdot \cos t
+=
+-\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \cos t
+=
+-\sin t
+=
+\dot{x}(t).
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+Betrachtet man die Kreislinie als Kurve in $\mathbb{R}^2$,
+dann ist der Tangentialvektor durch
+$\dot{\gamma}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ gegeben.
+Da die Karten Projektionen auf die $x$- bzw.~$y$-Achsen sind,
+entsteht der Tangentialvektor in der Karte durch Projektion
+von $(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ auf die entsprechende Komponente.
+
+Die Tangentialvektoren in zwei verschiedenen Punkten der Kurve können
+im Allgemeinen nicht miteinander verglichen werden.
+Darüber hinweg hilft auch die Tatsache nicht, dass die Kreislinie
+in den Vektorraum $\mathbb{R}^2$ eingebettet sind, wo sich Vektoren
+durch Translation miteinander vergleichen lassen.
+Ein nichtverschwindender Tangentialvektor im Punkt $(1,0)$ hat, 
+betrachtet als Vektor in $\mathbb{R}^2$ verschwindende $x$-Komponente,
+für Tangentialvektoren im Inneren eines Quadranten ist dies nicht
+der Fall.
+
+Eine Möglichkeit, einen Tangentialvektor in $(1,0)$ mit einem
+Tangentialvektor im Punkt $(\cos t,\sin t)$ zu vergleichen, besteht
+darin, den Vektor um den Winkel $t$ zu drehen.
+Dies ist möglich, weil die Kreislinie eine kontinuierliche Symmetrie,
+nämlich die Drehung um den Winkel $t$ hat, die es erlaubt, den Punkt $(1,0)$
+in den Punkt $(\cos t,\sin t)$ abzubilden.
+Erst diese Symmetrie ermöglicht den Vergleich.
+Dieser Ansatz ist für alle Matrizen erfolgreich, wie wir später sehen werden.
+
+Ein weiterer Ansatz, Tangentialvektoren zu vergleichen, ist die Idee, 
+einen sogenannten Zusammenhang zu definieren, eine Vorschrift, wie
+Tangentialvektoren infinitesimal entlang von Kurven in der Mannigfaltigkeit
+transportiert werden können.
+Auf einer sogenannten {\em Riemannschen Mannigfaltigkeit} ist zusätzlich
+zur Mannigfaltigkeitsstruktur die Längenmessung definiert.
+Sie kann dazu verwendet werden, den Transport von Vektoren entlang einer
+Kurve so zu definieren, dass dabei Längen und Winkel erhalten bleiben.
+Dieser Ansatz ist die Basis der Theorie der Krümmung sogenannter
+Riemannscher Mannigfaltigkeiten.
+
+\subsection{Der Satz von Noether
+\label{buch:subsection:noether}}
+
+
+
+
+
+
 
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex
new file mode 100644
index 0000000..2acf6f6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex
@@ -0,0 +1,233 @@
+Eine Drehung eines Vektors $\vec{x}$ der Ebene $\mathbb{R}^2$
+um den Winkel $\alpha$ gefolgt von einer Translation um $\vec{t}$
+ist gegeben durch $D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$.
+Darauf lässt sich jedoch die Theorie der Matrizengruppen nicht
+darauf anwenden, weil die Operation nicht die Form einer Matrixmultiplikation
+schreiben.
+Die Drehung und Translation kann in eine Matrix zusammengefasst werden,
+indem zunächst die Ebene mit
+\[
+\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3
+:
+\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}
+\qquad\text{oder in Vektorschreibweise }\qquad
+\vec{x}\mapsto\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
+\]
+in den dreidimensionalen Raum eingebettet wird.
+Die Drehung und Verschiebung kann damit in der Form
+\[
+\begin{pmatrix}D_\alpha\vec{x}+\vec{t}\\1
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}D_\alpha&\vec{t}\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
+\]
+als Matrizenoperation geschrieben werden.
+Die Gruppe der Drehungen und Verschiebungen der Ebene ist daher
+die Gruppe
+\[
+G
+=
+\left\{
+\left.
+A
+=
+\begin{pmatrix}
+D_\alpha&\vec{t}\\
+0&1
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha & -\sin\alpha & t_x \\
+\sin\alpha &  \cos\alpha & t_y \\
+     0     &       0     &  1
+\end{pmatrix}
+\;
+\right|
+\;
+\alpha\in\mathbb{R},\vec{t}\in\mathbb{R}^2
+\right\}
+\]
+Wir kürzen die Elemente von $G$ auch als $(\alpha,\vec{t})$ ab.
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Verifizieren Sie, dass das Produkt zweier solcher Matrizen 
+$(\alpha_1,\vec{t}_1)$ und $(\alpha_2,\vec{t}_2)$
+wieder die selbe Form $(\alpha,\vec{t})$ hat und berechnen Sie
+$\alpha$ und $\vec{t}_j$.
+\item
+Bestimmen Sie das inverse Element zu $(\alpha,\vec{t}) \in G$.
+\item
+Die Elemente der Gruppe $G$ sind parametrisiert durch den Winkel $\alpha$
+und die Translationskomponenten $t_x$ und $t_y$.
+Rechnen Sie nach, dass
+\[
+\alpha\mapsto \begin{pmatrix} D_{\alpha}&0\\0&1\end{pmatrix},
+\quad
+t_x\mapsto
+\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix},
+\qquad
+t_y\mapsto
+\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
+\]
+Einparameteruntergruppen von $G$ sind.
+\item
+Berechnen Sie die Tangentialvektoren $D$, $X$ und $Y$,
+die zu den Einparameteruntergruppen von c) gehören.
+\item
+Berechnen Sie die Lie-Klammer für alle Paare von Tangentialvektoren.
+\end{teilaufgaben}
+
+\begin{loesung}
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Die Wirkung beider Gruppenelemente auf dem Vektor $\vec{x}$ ist
+\begin{align*}
+\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}&\vec{t}_2\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
+&=
+\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2\\1\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+D_{\alpha_1}(D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2)+\vec{t}_1\\1
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+D_{\alpha_1}D_{\alpha_2}\vec{x} + D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\1
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+D_{\alpha_1+\alpha_2}&D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\
+0&1
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}.
+\end{align*}
+Das Produkt in der Gruppe $G$ kann daher
+\[
+(\alpha_1,\vec{t}_1) (\alpha_2,\vec{t}_2)
+=
+(\alpha_1+\alpha_2,\vec{t}_1+D_{\alpha_1}\vec{t}_2)
+\]
+geschrieben werden.
+\item
+Die Inverse der Abbildung $\vec{x}\mapsto \vec{y}=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$
+kann gefunden werden, indem man auf der rechten Seite nach $\vec{x}$
+auflöst:
+\begin{align*}
+\vec{y}&=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}
+&&\Rightarrow&
+D_{\alpha}^{-1}( \vec{y}-\vec{t}) &= \vec{x}
+\\
+&&&& \vec{x} &= D_{-\alpha}\vec{y} + (-D_{-\alpha}\vec{t})
+\end{align*}
+Die Inverse von $(\alpha,\vec{t})$ ist also $(-\alpha,-D_{-\alpha}\vec{t})$.
+\item
+Da $D_\alpha$ eine Einparameteruntergruppe von $\operatorname{SO}(2)$ ist,
+ist $\alpha\mapsto (D_\alpha,0)$ ebenfalls eine Einparameteruntergruppe.
+Für die beiden anderen gilt
+\[
+\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}\\0\end{pmatrix}\biggr)
+\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)
+=
+\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}+t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)
+\quad\text{und}\quad
+\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}\end{pmatrix}\biggr)
+\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y2}\end{pmatrix}\biggr)
+=
+\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}+t_{y2}\end{pmatrix}\biggr),
+\]
+also sind dies auch Einparameteruntergruppen.
+\item
+Die Ableitungen sind
+\begin{align*}
+D
+&=
+\frac{d}{d\alpha}\begin{pmatrix}D_\alpha&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{\alpha=0}
+=
+\begin{pmatrix}J&0\\0&0\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&-1&0\\
+1& 0&0\\
+0& 0&0
+\end{pmatrix}
+\\
+X
+&=
+\frac{d}{dt_x}
+\left.
+\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
+\right|_{t_x=0}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0&1\\
+0&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+&
+Y
+&=
+\frac{d}{dt_y}
+\left.
+\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
+\right|_{t_y=0}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&1\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+\end{align*}
+\item
+Die Vertauschungsrelationen sind
+\begin{align*}
+[D,X]
+&=
+DX-XD
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&1\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+Y
+\\
+[D,Y]
+&=
+DY-YD
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0&-1\\
+0&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+-X
+\\
+[X,Y]
+&=
+XY-YX
+=
+0-0=0
+\qedhere
+\end{align*}
+\end{teilaufgaben}
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex
new file mode 100644
index 0000000..14fbe2b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex
@@ -0,0 +1,162 @@
+Die Elemente der Gruppe $G$ der Translationen und Streckungen von
+$\mathbb{R}$ kann durch Paare $(\lambda,t)\in\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}$
+beschrieben werden,
+wobei $\lambda$ durch Streckung und $t$ durch Translation wirkt:
+\[
+(\lambda,t)\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}: x\mapsto \lambda x+t.
+\]
+Dies ist allerdings noch keine Untergruppe einer Matrizengruppe.
+Dazu bettet man $\mathbb{R}$ mit Hilfe der Abbildung
+\[
+\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 : x\mapsto \begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}
+\]
+in $\mathbb{R}^2$ ein.
+Die Wirkung von $(\lambda,t)$ ist dann
+\[
+\begin{pmatrix}(\lambda,t)\cdot x\\1\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix} \lambda x + t\\1\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}.
+\]
+Die Wirkung des Paares $(\lambda,t)$ kann also mit Hilfe einer 
+$2\times 2$-Matrix beschrieben werden.
+Die Abbildung
+\[
+G\to \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})
+:
+(\lambda,t)
+\mapsto
+\begin{pmatrix}\lambda&t\\0&1\end{pmatrix}
+\]
+bettet die Gruppe $G$ in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ ein.
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Berechnen Sie das Produkt $g_1g_2$ zweier Elemente
+$g_j=(\lambda_j,t_j)$.
+\item 
+Bestimmen Sie das inverse Elemente von $(\lambda,t)$ in $G$.
+\item
+Der sogenannte Kommutator zweier Elemente ist $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}$,
+berechnen Sie den Kommutator für die Gruppenelemente von a).
+\item
+Rechnen Sie nach, dass
+\[
+s\mapsto \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}
+,\qquad
+t\mapsto \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}
+\]
+Einparameteruntergruppen von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ sind.
+\item
+Berechnen Sie die Tangentialvektoren $S$ und $T$ dieser beiden
+Einparameteruntergruppen.
+\item
+Berechnen Sie den Kommutator $[S,T]$
+\end{teilaufgaben}
+
+\begin{loesung}
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Die beiden Gruppenelemente wirken auf $x$ nach
+\[
+(\lambda_1,t_1)
+(\lambda_2,t_2)
+\cdot
+x
+=
+(\lambda_1,t_1)(\lambda_2x+t_2)
+=
+\lambda_1(\lambda_2x+t_2)+t_1)
+=
+\lambda_1\lambda_2 x + (\lambda_1t_2+t_1),
+\]
+also ist $g_1g_2=(\lambda_1\lambda_2,\lambda_1t_2+t_1)$.
+\item
+Die Inverse von $(\lambda,t)$ kann erhalten werden, indem man die
+Abbildung $x\mapsto y=\lambda x +t$ nach $x$ auflöst:
+\[
+y=\lambda x+t
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\lambda^{-1}(y-t)
+=
+\lambda^{-1}y - \lambda^{-1}t.
+\]
+Daraus liest man ab, dass $(\lambda,t)^{-1}=(\lambda^{-1},-\lambda^{-1}t)$
+ist.
+\item
+Mit Hilfe der Identität $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}=g_1g_2(g_2g_1)^{-1}$
+kann man den Kommutator leichter berechnen
+\begin{align*}
+g_1g_2&=(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2)
+\\
+g_2g_1&= (\lambda_2\lambda_1,t_2+\lambda_2t_1)
+\\
+(g_2g_1)^{-1}
+&=
+(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1},
+	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
+\\
+g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}
+&=
+(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2)
+(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1},
+	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
+\\
+&=(1,t_1+\lambda_1t_2 + \lambda_1\lambda_2(
+	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
+)
+\\
+&=(1, t_1+\lambda_1t_2 - t_2 -\lambda_2t_1)
+=
+(1,(1-\lambda_2)(t_1-t_2)).
+\end{align*}
+Der Kommutator ist also das neutrale Element, wenn $\lambda_2=1$ ist.
+\item
+Dies ist am einfachsten in der Matrixform nachzurechnen:
+\begin{align*}
+\begin{pmatrix} e^{s_1}&0\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} e^{s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}
+&=
+\begin{pmatrix}e^{s_1+s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}
+&
+\begin{pmatrix} 1&t_1\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} 1&t_2\\0&1\end{pmatrix}
+&=
+\begin{pmatrix} 1&t_1+t_2\\0&1\end{pmatrix}
+\end{align*}
+\item
+Die Tangentialvektoren werden erhalten durch ableiten der
+Matrixdarstellung nach dem Parameter
+\begin{align*}
+S
+&=
+\frac{d}{ds} \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{s=0}
+=
+\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
+\\
+T
+&=
+\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{t=0}
+=
+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
+\end{align*}
+\item Der Kommutator ist
+\[
+[S,T]
+=
+\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
+=
+T.
+\qedhere
+\]
+\end{teilaufgaben}
+\end{loesung}
+
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/Makefile.inc b/buch/chapters/70-graphen/Makefile.inc
index d8fe742..2a7d9a6 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/70-graphen/Makefile.inc
@@ -7,5 +7,6 @@
 CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/70-graphen/beschreibung.tex				\
 	chapters/70-graphen/spektral.tex				\
+	chapters/70-graphen/waerme.tex					\
 	chapters/70-graphen/wavelets.tex				\
 	chapters/70-graphen/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex b/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex
index 25cfcc0..a0f46da 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex
@@ -401,7 +401,7 @@ Sie hat für $i\ne j$ die Einträge
 \\
 &=\text{Anzahl der Kanten, die $i$ mit $j$ verbinden}
 \\
-&=a_{ij}
+&=a_{ij}.
 \end{align*}
 Die Adjazenzmatrix eines Graphen lässt sich also aus der
 Inzidenzmatrix berechnen.
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex b/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex
index b6e02c9..6def393 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/chapter.tex
@@ -65,5 +65,6 @@ Basis zur Beschreibung von Funktionen auf dem Graphen.
 
 \input{chapters/70-graphen/beschreibung.tex}
 \input{chapters/70-graphen/spektral.tex}
+\input{chapters/70-graphen/waerme.tex}
 \input{chapters/70-graphen/wavelets.tex}
 
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile b/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile
index b42cbae..5db54c8 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile
@@ -3,11 +3,14 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	peterson.pdf adjazenzu.pdf adjazenzd.pdf kreis.pdf
+all:	peterson.pdf adjazenzu.pdf adjazenzd.pdf kreis.pdf fundamental.pdf \
+	petersonchrind.pdf nine.pdf gh.pdf
 
 peterson.pdf:	peterson.tex
 	pdflatex peterson.tex
 
+petersonchrind.pdf:	petersonchrind.tex
+	pdflatex petersonchrind.tex
 adjazenzu.pdf:	adjazenzu.tex
 	pdflatex adjazenzu.tex
 
@@ -17,3 +20,12 @@ adjazenzd.pdf:	adjazenzd.tex
 kreis.pdf:	kreis.tex
 	pdflatex kreis.tex
 
+fundamental.pdf:	fundamental.tex
+	pdflatex fundamental.tex
+
+nine.pdf:	nine.tex
+	pdflatex nine.tex
+
+gh.pdf:	gh.tex
+	pdflatex gh.tex
+
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.pdf b/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.pdf
new file mode 100644
index 0000000..66b82ca
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.pdf
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.tex b/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.tex
new file mode 100644
index 0000000..b7fe9c4
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.tex
@@ -0,0 +1,54 @@
+%
+% fundamental.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\begin{scope}[xshift=-4.6cm]
+	\draw[color=red,line width=2pt] (1.8,0) -- (1.8,2);
+	\draw[color=red,line width=2pt] (0,0) -- (4,0);
+	\node at (1.8,0) [below] {$i$};
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
+
+	\node at (2,-2.3) [below] {Standarbasis};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}
+	\draw[color=red,line width=1.4pt] 
+		plot[domain=0:360,samples=100] ({\x/90},{2*sin(\x)});
+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] 
+		plot[domain=0:360,samples=100] ({\x/90},{2*cos(\x)});
+	\node[color=blue] at (1,-1) {$\Re f_i$};
+	\node[color=red] at (2,1) {$\Im f_i$};
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
+	\node at (2,-2.3) [below] {Eigenbasis};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=4.6cm]
+	\foreach \t in {0.02,0.05,0.1,0.2,0.5}{
+		\draw[color=red,line width=1.0pt]
+			plot[domain=-1.8:2.2,samples=100]
+				({\x+1.8},{exp(-\x*\x/(4*\t))/(sqrt(4*3.1415*\t))});
+	}
+	\fill[color=red] (1.8,0) circle[radius=0.08];
+	\node at (1.8,0) [below] {$\xi$};
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
+	\node at (2,-2.3) [below] {Fundamentallösung};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/gh.pdf b/buch/chapters/70-graphen/images/gh.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c6e48d7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/gh.pdf
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/gh.tex b/buch/chapters/70-graphen/images/gh.tex
new file mode 100644
index 0000000..fcceb5f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/gh.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+%
+% gh.tex -- Lokalsierungsfunktionen für Wavelets auf einem Graphen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\kurve#1#2{
+	\draw[color=#2,line width=1.4pt]
+		plot[domain=0:6.3,samples=400]
+			({\x},{7*\x*exp(-(\x/#1)*(\x/#1))/#1});
+}
+
+\begin{scope}
+
+\draw[->] (-0.1,0) -- (6.6,0) coordinate[label={$\lambda$}];
+
+\kurve{1}{red}
+\foreach \k in {0,...,4}{
+	\pgfmathparse{0.30*exp(ln(2)*\k)}
+	\xdef\l{\pgfmathresult}
+	\kurve{\l}{blue}
+}
+
+\node[color=red] at ({0.7*1},3) [above] {$g(\lambda)$};
+\node[color=blue] at ({0.7*0.3*16},3) [above] {$g_i(\lambda)$};
+
+\draw[->] (0,-0.1) -- (0,3.3);
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=7cm]
+
+\draw[->] (-0.1,0) -- (6.6,0) coordinate[label={$\lambda$}];
+
+\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]
+	plot[domain=0:6.3,samples=100] 
+		({\x},{3*exp(-(\x/0.5)*(\x/0.5)});
+
+\draw[->] (0,-0.1) -- (0,3.3) coordinate[label={right:$\color{darkgreen}h(\lambda)$}];
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/nine.pdf b/buch/chapters/70-graphen/images/nine.pdf
new file mode 100644
index 0000000..2ae9f68
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/nine.pdf
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/nine.tex b/buch/chapters/70-graphen/images/nine.tex
new file mode 100644
index 0000000..f214c1e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/nine.tex
@@ -0,0 +1,67 @@
+%
+% nine.tex -- Nine node graph to illustrate Wilf's theorem
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\def\kante#1#2{
+        \draw[shorten >= 0.2cm,shorten <= 0.2cm] (#1) -- (#2);
+}
+\def\knoten#1#2{
+                \fill[color=#2!30] (#1) circle[radius=0.2];
+                \draw[color=#2] (#1) circle[radius=0.2];
+                \draw (#1) circle[radius=0.2];
+}
+\def\R{1.5}
+\definecolor{rot}{rgb}{1,0,0}
+\definecolor{gruen}{rgb}{0,0.6,0}
+\definecolor{blau}{rgb}{0,0,1}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\coordinate (A) at (0:\R);
+\coordinate (B) at (40:\R);
+\coordinate (C) at (80:\R);
+\coordinate (D) at (120:\R);
+\coordinate (E) at (160:\R);
+\coordinate (F) at (200:\R);
+\coordinate (G) at (240:\R);
+\coordinate (H) at (280:\R);
+\coordinate (I) at (320:\R);
+
+\knoten{A}{rot}
+\knoten{B}{blau}
+\knoten{C}{gruen}
+\knoten{D}{blau}
+\knoten{E}{rot}
+\knoten{F}{blau}
+\knoten{G}{rot}
+\knoten{H}{gruen}
+\knoten{I}{blau}
+
+\kante{A}{B}
+\kante{B}{C}
+\kante{C}{D}
+\kante{D}{E}
+\kante{E}{F}
+\kante{F}{G}
+\kante{G}{H}
+\kante{H}{I}
+\kante{I}{A}
+
+\kante{A}{C}
+\kante{A}{D}
+\kante{D}{G}
+
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/petersonchrind.pdf b/buch/chapters/70-graphen/images/petersonchrind.pdf
new file mode 100644
index 0000000..23ef6e9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/petersonchrind.pdf
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/petersonchrind.tex b/buch/chapters/70-graphen/images/petersonchrind.tex
new file mode 100644
index 0000000..4ae9f39
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/petersonchrind.tex
@@ -0,0 +1,142 @@
+%
+% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\Ra{2}
+\def\Ri{1}
+\def\e{1.0}
+\def\r{0.2}
+
+\begin{scope}[xshift=-3.5cm]
+
+\definecolor{rot}{rgb}{0.8,0,0.8}
+\definecolor{gruen}{rgb}{0.2,0.6,0.2}
+\definecolor{blau}{rgb}{1,0.6,0.2}
+
+\coordinate (PA) at ({\Ri*sin(0*72)},{\e*\Ri*cos(0*72)});
+\coordinate (PB) at ({\Ri*sin(1*72)},{\e*\Ri*cos(1*72)});
+\coordinate (PC) at ({\Ri*sin(2*72)},{\e*\Ri*cos(2*72)});
+\coordinate (PD) at ({\Ri*sin(3*72)},{\e*\Ri*cos(3*72)});
+\coordinate (PE) at ({\Ri*sin(4*72)},{\e*\Ri*cos(4*72)});
+
+\coordinate (QA) at ({\Ra*sin(0*72)},{\e*\Ra*cos(0*72)});
+\coordinate (QB) at ({\Ra*sin(1*72)},{\e*\Ra*cos(1*72)});
+\coordinate (QC) at ({\Ra*sin(2*72)},{\e*\Ra*cos(2*72)});
+\coordinate (QD) at ({\Ra*sin(3*72)},{\e*\Ra*cos(3*72)});
+\coordinate (QE) at ({\Ra*sin(4*72)},{\e*\Ra*cos(4*72)});
+
+\draw (PA)--(PC)--(PE)--(PB)--(PD)--cycle;
+\draw (QA)--(QB)--(QC)--(QD)--(QE)--cycle;
+\draw (PA)--(QA);
+\draw (PB)--(QB);
+\draw (PC)--(QC);
+\draw (PD)--(QD);
+\draw (PE)--(QE);
+
+\fill[color=blau] (PA) circle[radius=\r];
+\fill[color=rot] (PB) circle[radius=\r];
+\fill[color=rot] (PC) circle[radius=\r];
+\fill[color=gruen] (PD) circle[radius=\r];
+\fill[color=gruen] (PE) circle[radius=\r];
+
+\fill[color=rot] (QA) circle[radius=\r];
+\fill[color=blau] (QB) circle[radius=\r];
+\fill[color=gruen] (QC) circle[radius=\r];
+\fill[color=rot] (QD) circle[radius=\r];
+\fill[color=blau] (QE) circle[radius=\r];
+
+\draw (PA) circle[radius=\r];
+\draw (PB) circle[radius=\r];
+\draw (PC) circle[radius=\r];
+\draw (PD) circle[radius=\r];
+\draw (PE) circle[radius=\r];
+
+\draw (QA) circle[radius=\r];
+\draw (QB) circle[radius=\r];
+\draw (QC) circle[radius=\r];
+\draw (QD) circle[radius=\r];
+\draw (QE) circle[radius=\r];
+
+\node at (0,{-\Ra}) [below] {$\operatorname{chr}P=3\mathstrut$};
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3.5cm]
+\definecolor{rot}{rgb}{0.8,0,0.8}
+\definecolor{gruen}{rgb}{0.2,0.6,0.2}
+\definecolor{blau}{rgb}{1,0.6,0.2}
+\definecolor{gelb}{rgb}{0,0,1}
+
+\coordinate (PA) at ({\Ri*sin(0*72)},{\e*\Ri*cos(0*72)});
+\coordinate (PB) at ({\Ri*sin(1*72)},{\e*\Ri*cos(1*72)});
+\coordinate (PC) at ({\Ri*sin(2*72)},{\e*\Ri*cos(2*72)});
+\coordinate (PD) at ({\Ri*sin(3*72)},{\e*\Ri*cos(3*72)});
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+
+\coordinate (QA) at ({\Ra*sin(0*72)},{\e*\Ra*cos(0*72)});
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+
+\draw (PA)--(PC)--(PE)--(PB)--(PD)--cycle;
+\draw (QA)--(QB)--(QC)--(QD)--(QE)--cycle;
+\draw (PA)--(QA);
+\draw (PB)--(QB);
+\draw (PC)--(QC);
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+\draw (PE)--(QE);
+
+\fill[color=rot] (QA) circle[radius={1.5*\r}];
+\fill[color=rot!40] (QB) circle[radius=\r];
+\fill[color=rot!40] (QE) circle[radius=\r];
+\fill[color=rot!40] (PA) circle[radius=\r];
+
+\fill[color=blau] (PB) circle[radius={1.5*\r}];
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+
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+
+\fill[color=gelb] (QD) circle[radius={1.5*\r}];
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+
+\draw (PA) circle[radius=\r];
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+
+\draw (QA) circle[radius={1.5*\r}];
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+\draw (QE) circle[radius=\r];
+
+\node at (0,{-\Ra}) [below] {$\operatorname{ind}P=4\mathstrut$};
+
+\end{scope}
+
+
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex b/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
index 9349f41..5fb3056 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
@@ -1,8 +1,465 @@
 %
-% spektral.tex
+% spektral.tex -- spektrale Graphentheorie
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Spektrale Graphentheorie
 \label{buch:section:spektrale-graphentheorie}}
 \rhead{Spektrale Graphentheorie}
+Die Adjazenz-Matrix, die Grad-Matrix und damit natürlich auch
+die Laplace-Matrix codieren alle wesentliche Information eines
+ungerichteten Graphen.
+Sie operiert auf Vektoren, die für jeden Knoten des Graphen eine
+Komponente haben.
+Dies eröffnet die Möglichkeit, den Graphen über die linearalgebraischen
+Eigenschaften dieser Matrizen zu studieren.
+Dieser Abschnitt soll diese Idee an dem ziemlich übersichtlichen Beispiel
+der chromatischen Zahl eines Graphen illustrieren.
+
+\subsection{Chromatische Zahl und Unabhängigkeitszahl
+\label{buch:subsection:chromatische-zahl}}
+Der Grad eines Knotens ist ein mass dafür, wie stark ein Graph
+``vernetzt'' ist.
+Je höher der Grad, desto mehr direkte Verbindungen zwischen Knoten gibt es.
+Noch etwas präziser können diese Idee die beiden mit Hilfe der
+chromatischen zahl und der Unabhängigkeitszahl erfasst werden.
+
+\begin{definition}
+Die {\em chromatische Zahl} $\operatorname{chr}G$ eines Graphen $G$ ist
+die minimale Anzahl von Farben, die Einfärben der Knoten eines Graphen
+nötig sind, sodass benachbarte Knoten verschiedene Farben haben.
+\index{chromatische Zahl}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+Eine Menge von Knoten eines Graphen heisst {\em unabhängig}, wenn 
+keine zwei Knoten im Graphen verbunden sind.
+Die {\em Unabhängigkeitszahl} $\operatorname{ind}G$ eines Graphen $G$
+ist die maximale Anzahl Knoten einer unabhängigen Menge.
+\index{Unabhängigkeitszahl}
+\end{definition}
+
+Zwischen der chromatischen Zahl und der Unabhängigkeitszahl eines Graphen
+muss es einen Zusammenhang geben.
+Je mehr Verbingungen es im Graphen gibt, desto grösser wird die chromatische
+Zahl.
+Gleichzeitig wird es schwieriger für Mengen von Knoten, unabhängig zu sein.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:satz:chrind}
+Ist $G$ ein Graph mit $n$ Knoten, dann gilt
+$\operatorname{chr}G\cdot\operatorname{ind}G\ge n$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Eine minimale Färbung des Graphen mit $\operatorname{chr}G$ Farben
+teilt die Knoten in $\operatorname{chr}G$ Mengen $V_f$ von Knoten mit
+gleicher Farbe $f$ ein.
+Da diese Mengen einfarbig sind, sind sie unabhängig, enthalten also
+höchstens so viele Knoten, wie die Unabhängigkeitszahl erlaubt,
+also $|V_f|\le \operatorname{ind}G$.
+Da die Menge aller Knoten die Vereinigung der Mengen $V_f$ ist,
+ist die Gesamtzahl der Knoten 
+\begin{align*}
+V
+&=
+\bigcup_{\text{$f$ eine Farbe}} V_f
+&&\Rightarrow&
+n
+&=
+\sum_{\text{$f$ eine Farbe}} |V_f| 
+\\
+&
+&&&
+&\le
+\sum_{\text{$f$ eine Farbe}} \operatorname{ind}G
+=
+(\text{Anzahl Farben})\cdot \operatorname{ind}G
+=
+\operatorname{chr}G \cdot \operatorname{ind}G.
+\end{align*}
+Damit ist $n\le \operatorname{chr}G\cdot\operatorname{ind}G$ gezeigt.
+\qedhere
+\end{proof}
+
+\begin{beispiel}
+In einem vollständigen Graphen ist jeder Knoten mit jedem anderen verbunden.
+Jede Menge mit zwei oder mehr Knoten kann daher nicht unabhängig sein, die
+Unabhängigkeitszahl ist daher $\operatorname{ind}G=1$.
+Andererseits ist für jeden Knoten eine eigene Farbe nötig, daher ist die
+chromatische Zahl $\operatorname{chr}G=n$.
+Die Ungleichung von Satz~\ref{buch:satz:chrind} ist erfüllt, sogar mit
+Gleichheit.
+Das Beispiel zeigt, dass die Ungleichung nicht ohne zusätzliche Annahmen
+verbessert werden kann.
+\end{beispiel}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/70-graphen/images/petersonchrind.pdf}
+\caption{Chromatische Zahl und Unabhängigkeitszahl des Peterson-Graphen.
+Die chromatische Zahl ist $3$, da der Graph sich mit drei Farben einfärben
+lässt (links).
+Die Unabhängigkeitszahl ist $4$, die vier grösseren Knoten im rechten
+Graphen sind unabhängig.
+Die Farben der kleinen Knoten sind die additive Mischung der Farben
+der grossen Knoten, mit denen sie verbunden sind.
+\label{buch:graphen:fig:chrindpeterson}}
+\end{figure}
+
+\begin{beispiel}
+Der Peterson-Graph $P$ von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:chrindpeterson}
+hat chromatische Zahl $\operatorname{chr}P=3$ und unabhängigkeitszahl
+$\operatorname{ind}P=4$.
+Die Ungleichung von Satz~\ref{buch:satz:chrind} ist erfüllt, sogar als
+Ungleichung: $\operatorname{chr}P\cdot\operatorname{ind}P=3\cdot 4=12>10=n$.
+\end{beispiel}
+
+Nach Definition ist Unabhängigkeitszahl ein Mass für die Grösse einer
+unabhängigen Menge von Punkten.
+Der Beweis von Satz~\ref{buch:satz:chrind} zeigt, dass man sich die
+chromatische Zahl als ein Mass dafür, wieviele solche anabhängige 
+Mengen in einem Graphen untergebracht werden können.
+
+%
+% Chromatische Zahl und maximaler Grad
+%
+\subsection{Chromatische Zahl und maximaler Grad
+\label{buch:subsection:chr-und-maximaler-grad}}
+Wenn kein Knoten mehr als $d$ Nachbarn hat, dann reichen
+$d+1$ Farben immer, um diesen Knoten und seine Nachbarn einzufärben.
+Das heisst aber noch nicht, dass dann auch $d+1$ Farben zur
+Einfärbung des ganzen Graphen reichen.
+Genau dies garantiert jedoch der folgende Satz.
+
+\begin{definition}
+Der maximale Grad
+\(
+\max_{v\in V} \deg(v)
+\)
+wird mit $d$ bezeichnet.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+\label{buch:graphen:satz:chrmaxgrad}
+Ist $G$ ein Graph mit maximalem Grad $d$, dann gilt 
+$\operatorname{chr}G \le d+1$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir führen den Beweis mit Hilfe von vollständiger Induktion nach der
+Anzahl Knoten eines Graphen.
+Ein Graph mit nur einem Knoten hat keine Kanten, der maximale Grad ist
+daher $0$ und $d+1=1$ Farbe reicht auch tatsächlich zur Einfärbung des
+einen Knotens.
+
+Wir nehmen jetzt an, die Behaupt sei für Graphen mit $n-1$ Knoten bereits
+bewiesen, ein Graph $G'$ mit $n-1$ Knoten und maximalem Grad $d'$ erfüllt
+also die Ungleichung $\operatorname{chr}G'\le d'+1$.
+
+Wir wählen jetzt einen beleibigen Knoten $v$ des Graphen $G$ und bilden
+den Graphen $G'$, der aus $G$ entsteht, indem man den Knoten $v$
+entfernt: $G'=G\setminus\{v\}$.
+Der maximale Grad $d'$ von $G'$ kann dabei nicht grösser werden, es ist
+also $d'\le d$.
+Da $G'$ genau $n-1$ Knoten hat, lässt er sich mit höchstens $d'+1\le d+1$
+Farben einfärben.
+Es muss jetzt also nur noch eine Farbe für den Knoten $v$ gefunden werden.
+Da $d$ der maximale Grad ist, hat $v$ höchstens $d$ Nachbarn, die höchstens
+$d$ verschiedene Farben haben können.
+Von den $d+1$ zur Verfügung stehenden Farben bleibt also mindestens eine
+übrig, mit der man den Knoten $v$ einfärben kann.
+Damit ist der Induktionsschritt gelungen und somit der Satz bewiesen.
+\end{proof}
+
+Das Argument im Beweis von Satz~\ref{buch:graphen:satz:chrmaxgrad}
+ist für alle Begriffe anwendbar, die sich bei der Bildung eines 
+Untergraphen auf ``monotone'' Art ändern.
+Die chromatische Zahl eines Untergraphen ist höchstens so gross wie die
+des ganzen Graphen. 
+Dann kann man eine Ungleichung für grosse Graphen schrittweise aus
+entsprechenden Ungleichungen für die kleineren Teilgraphen gewinnen.
+Ziel der folgenden Abschnitte ist zu zeigen, dass sich eine Grösse
+mit ähnlichen Eigenschaften aus dem Eigenwertspektrum der Adjazenzmatrix
+ablesen lässt.
+Daraus ergibt sich dann eine bessere Abschätzung der chromatischen Zahl
+eines Graphen.
+
+%
+% maximaler Eigenwert und maximaler Grad
+%
+\subsection{Maximaler Eigenwert von $A(G)$ und maximaler Grad
+\label{buch:subsection:maximaler-eigenwert}}
+Die Adjazenzmatrix $A(G)$ eines Graphen $G$  mit $n$ Knoten enthält unter
+anderem auch die Information über den Grad eines Knotens.
+Die Summe der Elemente einer Zeile oder einer Spalte ergibt einen Vektor,
+der die Grade der Knoten als Komponenten enthält.
+Ist $U$ ein $n$-dimensionaler Vektor aus lauter Einsen, dann ist
+ist $A(G)U$ ein Spaltenvektor bestehend aus den Zeilensummen der Matrix 
+$A(G)$ und
+$U^tA(G)$ ein Zeilenvektor bestehend aus den Spaltensummen.
+$A(G)U$ ist also der Vektor der Grade der Knoten.
+
+Das Skalarprodukt von $A(G)U$ mit $U$ ist die Summe der Grade.
+Somit ist
+\begin{equation}
+\frac{\langle A(G)U,U\rangle}{\langle U,U\rangle}
+=
+\frac{1}{\langle U,U\rangle}\sum_{v\in V}\deg(v)
+=
+\frac{1}{n}(d_1+\dots+d_n)
+\label{buch:graphen:eqn:AUdavg}
+\end{equation}
+der mittlere Grad, der mit $\overline{d}$ bezeichnet werden soll.
+
+Da $A(G)$ eine symmetrische Matrix ist, ist $A(G)$ diagonalisierbar,
+die Eigenwerte sind also alle reell.
+Es ist ausserdem bekannt, dass der Eigenvektor $f$ zum grössten Eigenwert
+$\alpha_{\text{max}}$ von $A(G)$
+den Bruch
+\[
+\frac{\langle A(G)f,f\rangle}{\langle f,f\rangle}
+\]
+für Vektoren $f\ne 0$ maximiert.
+Aus~\eqref{buch:graphen:eqn:AUdavg} folgt damit, dass
+\begin{equation}
+\overline{d}
+\le
+\alpha_{\text{max}}
+\label{buch:graphen:eqn:dqueramax}
+\end{equation}
+ist.
+
+In Abschnitt~\ref{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen}
+des nächsten Kapitels wird die Perron-Frobenius-Theorie positiver
+Matrizen vorgestellt, welche einer Reihe interessanter Aussagen
+über den betragsgrössten Eigenwert und den zugehörigen Eigenvektor
+macht.
+Die Adjazenz-Matrix ist eine nichtnegative Matrix und $\alpha_{\text{max}}$
+ist der grösste Eigenwert, also genau die Grösse, auf die die
+Sätze~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius}
+und \label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius2}
+anwendbar sind.
+Dazu muss die Matrix allerdings primitiv sein, was gleichbedeutend
+ist damit, dass der Graph zusammenhängend ist.
+Im folgenden soll dies daher jeweils angenommen werden.
+
+\begin{satz}
+Ist $G$ ein zusammenhänger Graph mit $n$ Knoten und maximalem Grad $d$,
+dann gilt
+\[
+\frac1n\sum_{v\in V} \deg(v) 
+=
+\overline{d}
+\le \alpha_{\text{max}} \le d.
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir wissen aus \eqref{buch:graphen:eqn:dqueramax} bereits, dass
+$\overline{d}\le\alpha_{\text{max}}$ gilt, es bleibt also nur noch
+$\alpha_{\text{max}}\le d$ zu beweisen.
+
+Sei $f$ der Eigenvektor zum Eigenwert $\alpha_{\text{max}}$.
+Nach Satz~\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius2}
+ist $f$ ein positiver Vektor mit der Eigenschaft $A(G)f=\alpha_{\text{max}}f$.
+Der Eigenvektor $f$ ist eine Funktion auf den Knoten des Graphen,
+die $v$-Komponente des Vektors $f$ für einen Vertex $v\in V$ ist $f(v)$.
+Die Eigenvektoreigenschaft bedeutet $(A(G)f)(v)=\alpha_{\text{max}} f(v)$.
+Die Adjazenzmatrix $A(G)$ enthält in Zeile $v$ Einsen genau für diejenigen
+Knoten $u\in V$, die zu $v$ benachbart sind.
+Schreiben wir $u\sim v$ für die Nachbarschaftsrelation, dann ist 
+\[
+(A(G)f)(v)
+=
+\sum_{u\sim v} f(u).
+\]
+Die Summe der Komponenten $A(G)f$ kann man erhalten durch Multiplikation
+von $A(G)f$ mit einem Zeilenvektor $U^t$ aus lauter Einsen, also
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\sum_{v\in V}\sum_{u\sim v}f(v)
+&=
+U^tA(G)f
+=
+(U^tA(G))f
+=
+\begin{pmatrix}d_1&d_2&\dots&d_n\end{pmatrix} f
+\\
+&=
+\sum_{v\in V}\deg (v) f(v)
+\le
+\sum_{v\in V}df(v)
+=
+d
+\sum_{v\in V}f(v).
+\end{aligned}
+\label{buch:graphen:eqn:sumkomp}
+\end{equation}
+Andererseits ist $A(G)f=\alpha_{\text{max}}f$, die linke Seite
+von~\eqref{buch:graphen:eqn:sumkomp} ist daher
+\begin{equation}
+\sum_{v\in V}\sum_{u\sim v}f(v)
+=
+U^tA(G)f
+=
+\alpha_{\text{max}}
+U^tf
+=
+\alpha_{\text{max}} \sum_{v\in V}f(v).
+\label{buch:graphen:eqn:sumkomp2}
+\end{equation}
+Die Ungleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:sumkomp}
+und die Gleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:sumkomp2} ergeben zusammen
+die Ungleichung
+\[
+\alpha_{\text{max}} \sum_{v\in V}f(v)
+\le d\sum_{v\in V}f(v)
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\alpha_{\text{max}} \le d,
+\]
+da die Summe der Komponenten des positiven Vektors $f$ nicht verschwinden
+kann.
+Damit ist die Ungleichung bewiesen.
+\end{proof}
+
+%
+% alpha_max eines Untergraphen
+%
+\subsection{$\alpha_{\text{max}}$ eines Untergraphen
+\label{buch:subsection:alphamax-eines-untergraphen}}
+Der grösste Eigenwert $\alpha_{\text{max}}$ ist ein potentieller 
+Anwärter für eine bessere Abschätzung der chromatischen Zahl.
+Bereits früher wurde bemerkt, dass dies auch bedeutet, dass man 
+das Verhalten des grössten Eigenwerts bei einem Übergang zu einem
+Untergraphen verstehen muss.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:graphen:satz:amaxuntergraph}
+Sei $G'$ ein echter Untergraph von $G$ mit Adjazenzmatrix $A(G')$ und
+grösstem Eigenwert $\alpha_{\text{max}}'=\varrho(A(G'))$, dann ist
+$\alpha_{\text{max}}' \le \alpha_{\text{max}}$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Sei $f'$ der positive Eigenvektor zum Eigenwert $\alpha_{\text{max}}'$
+der Matrix $A(G')$.
+$f'$ ist definiert auf der Menge $V'$ der Knoten von $G'$.
+Aus $f'$ lässt sich ein Vektor $g$ mit den Werten
+\[
+g(v)
+=
+\begin{cases}
+f'(v)&\qquad v\in V'\\
+    0&\qquad\text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+konstruieren, der auf ganz $V$ definiert ist.
+
+Die Vektoren $f'$ und $g$ haben die gleichen Komponenten, also ist auch
+$\langle f',f'\rangle = \langle g,g\rangle$.
+Die Matrixelemente von $A(G')$ und $A(G)$ auf gemeinsamen Knoten $u,v\in V'$ 
+erfüllen $A(G')_{uv}\le A(G)_{uv}$, da jede Kante von $G'$ auch in $G$ ist.
+Daher gilt
+\[
+\langle A(G')f',f'\rangle
+\le
+\langle A(G)g,g\rangle,
+\]
+woraus sich die Ungleichung
+\[
+\alpha_{\text{max}}'
+=
+\frac{\langle A(G')f',f'\rangle}{\langle f',f'\rangle}
+=
+\frac{\langle A(G)g,g\rangle}{\langle g,g\rangle}
+\le
+\alpha_{\text{max}}
+\]
+ergibt, da $\alpha_{\text{max}}$ das Maximum von
+$\langle A(G)h,h\rangle/\langle h,h\rangle$ für alle Vektoren $h\ne 0$ ist.
+\end{proof}
+
+%
+% Der Satz von Wilf
+%
+\subsection{Chromatische Zahl und $\alpha_{\text{max}}$: Der Satz von Wilf
+\label{buch:subsection:chr-und-alpha-max}}
+Die in Satz~\ref{buch:graphen:satz:amaxuntergraph} beschriebene
+Eigenschaft von $\alpha_{\text{max}}$ beim Übergang zu einem Untergraphen
+ermöglich jetzt, eine besser Abschätzung für die chromatische Zahl
+zu finden.
+
+\begin{satz}[Wilf]
+\label{buch:graphen:satz:wilf}
+Sie $G$ ein zusammenhängder Graph und $\alpha_{\text{max}}$ der grösste
+Eigenwert seiner Adjazenzmatrix. Dann gilt
+\[
+\operatorname{chr}G\le \alpha_{\text{max}}+1.
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wie der Satz~\ref{buch:graphen:satz:chrmaxgrad} kann auch der Satz von Wilf
+mit Hilfe von vollständiger Induktion über die Anzahl $n$ der Knoten
+bewiesen werden.
+
+Ein Graph mit nur einem Knoten hat die $0$-Matrix als Adjazenzmatrix,
+der maximale Eigenwert ist $\alpha_{\text{max}}=0$, und tatsächlich reicht
+$\alpha_{\text{max}}+1=1$ Farbe, um den einen Knoten einzufärben.
+
+Wir nehmen jetzt an, der Satz sei für Graphen mit $n-1$ Knoten bereits
+beweisen.
+Wir müssen dann zeigen, dass der Satz dann auch für Graphen mit $n$ Knoten
+gilt.
+
+Sei $v\in V$ ein Knoten minimalen Grades und $G'=G\setminus{v}$ der
+Untergraph, der entsteht, wenn der Knoten $v$ entfernt wird.
+Da $G'$ genau $n-1$ Knoten hat, gilt der Satz von Wilf für $G'$
+und daher kann $G'$ mit höchstens
+\[
+\operatorname{chr}G' \le 1 + \alpha_{\text{max}}'
+\]
+Farben eingefärbt werden.
+Nach Satz~\ref{buch:graphen:satz:amaxuntergraph} ist
+$\alpha_{\text{max}}'\le \alpha_{\text{max}}$,
+Also kann $G'$ mit höchstens $\alpha_{\text{max}}+1$ Farben eingefärbt werden.
+
+Da $v$ ein Knoten minimalen Grades ist, ist sein Grad
+$d(v)\le \overline{d}\le \alpha_{\text{max}}$.
+Die Nachbarn von $v$ haben also hächstens $\alpha_{\text{max}}$ verschiedene
+Farben, mit einer weiteren Farbe lässt sich also auch $G$ einfärben.
+Daraus folgt $\operatorname{chr}G\le \alpha_{\text{max}}+1$.
+\end{proof}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/70-graphen/images/nine.pdf}
+\caption{Beispiel für einen Graphen, für den der
+Satz~\ref{buch:graphen:satz:wilf} von Wilf die bessere
+Abschätzung für die chromatische Zahl eines Graphen gibt als der
+maximale Grad.
+\label{buch:graphen:fig:wilfexample}}
+\end{figure}
+
+\begin{beispiel}
+Der Graph in Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:wilfexample} 12 Kanten und 9
+Knoten, daher ist $\overline{d}\le \frac{24}{9}$.
+Der maximale Grad ist $4$ und durch explizite Rechnung mit Hilfe zum Beispiel
+von Octave ergibt, dass $\alpha_{\text{max}}\approx 2.9565$.
+Aus dem Satz von Wilf folgt, dass
+$\operatorname{chr}G\le \alpha_{\text{max}}+1$, und daraus ergibt sich
+$\operatorname{chr}G\le 3$.
+Tatsächlich ist die chromatische Zahl $\operatorname{chr}G=3$, da 
+der Graph mindestens ein Dreieck enthält.
+Der maximale Grad ist 4, somit gibt der
+Satz~\ref{buch:graphen:satz:chrmaxgrad}
+die Schranke 
+$\operatorname{chr}G\le 4+1=5$
+für die chromatische Zahl.
+Der Satz von Wilf ist also eine wesentliche Verbesserung, er liefert in
+diesem Fall den exakten Wert der chromatischen Zahl.
+\end{beispiel}
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/waerme.tex b/buch/chapters/70-graphen/waerme.tex
new file mode 100644
index 0000000..e7fc023
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/70-graphen/waerme.tex
@@ -0,0 +1,184 @@
+%
+% waerme.tex
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Wärmeleitung auf einem Graphen
+\label{buch:section:waermeleitung-auf-einem-graphen}}
+Die Vektoren, auf denen die Laplace-Matrix operiert, können betrachtet
+werden als Funktionen, die jedem Knoten einen Wert zuordnen.
+Eine mögliche physikalische Interpretation davon ist die Temperaturverteilung
+auf dem Graphen.
+Die Kanten zwischen den Knoten erlauben der Wärmeenergie, von einem Knoten
+zu einem anderen zu fliessen.
+Je grösser die Temperaturdifferenz zwischen zwei Knoten ist, desto
+grösser ist der Wärmefluss und desto schneller ändert sich die Temperatur
+der beteiligten Knoten.
+Die zeitliche Änderung der Temperatur $T_i$ im Knoten $i$ ist proportional
+\[
+\frac{dT_i}{dt}
+=
+\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} \kappa (T_j-T_i)
+=
+-
+\kappa
+\biggl(
+d_iT_i
+-
+\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} T_j
+\biggr)
+\]
+Der Term auf der rechten Seite ist genau die Wirkung der 
+Laplace-Matrix auf dem Vektor $T$ der Temperaturen:
+\begin{equation}
+\frac{dT}{dt}
+=
+-\kappa L T.
+\label{buch:graphen:eqn:waermeleitung}
+\end{equation}
+Der Wärmefluss, der durch die
+Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} beschrieben
+wird, codiert ebenfalls wesentliche Informationen über den Graphen.
+Je mehr Kanten es zwischen verschiedenen Teilen eines Graphen gibt,
+desto schneller findet der Wärmeaustausch zwischen diesen Teilen
+statt.
+Die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung liefern also Informationen 
+über den Graphen.
+
+\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren
+\label{buch:subsection:ein-zyklischer-graph}}
+Die Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} 
+ist eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten,
+die mit der Matrixexponentialfunktion gelöst werden.
+Die Lösung ist
+\[
+f(t) = e^{-\kappa Lt}f(0).
+\]
+
+Die Berechnung der Lösung mit der Matrixexponentialreihe ist ziemlich
+ineffizient, da grosse Matrizenprodukte berechnet werden müssen.
+Da die Matrix $L$ symmetrisch ist, gibt es eine Basis aus 
+orthonormierten Eigenvektoren und die Eigenwerte sind reell.
+Wir bezeichnen die Eigenvektoren mit $f_1,\dots,f_n$  und die
+zugehörigen Eigenwerte mit $\lambda_i$.
+Die Funktion $f_i(t)= e^{-\kappa\lambda_it}f_i$ ist dann eine Lösung
+der Wärmeleitungsgleichung, denn die beiden Seiten
+\begin{align*}
+\frac{d}{dt}f_i(t)
+&=
+-\kappa\lambda_ie^{-\kappa\lambda_it}f_i
+=
+-\kappa\lambda_i f_i(t)
+\\
+-\kappa Lf_i(t)
+&=
+-\kappa e^{-\kappa\lambda_it} Lf_i
+=
+-\kappa e^{-\kappa\lambda_it} \lambda_i f_i
+=
+-\kappa \lambda_i f_i(t)
+\end{align*}
+von \eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} stimmen überein.
+
+Eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung zu einer beliebigen
+Anfangstemperaturverteilung $f$ kann durch Linearkombination aus 
+den Lösungen $f_i(t)$ zusammengesetzt werden.
+Dazu ist nötig, $f$ aus den Vektoren $f_i$ linear zu kombinieren.
+Da aber die $f_i$ orthonormiert sind, ist dies besonders einfach,
+die Koeffizienten sind die Skalarprodukte mit den Eigenvektoren:
+\[
+f=\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i.
+\]
+Daraus kann man die allgmeine Lösungsformel
+\begin{equation}
+f(t)
+=
+\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i(t)
+=
+\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle e^{-\kappa\lambda_i t}f_i
+\label{buch:graphen:eqn:eigloesung}
+\end{equation}
+ableiten.
+
+\subsection{Beispiel: Ein zyklischer Graph}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/70-graphen/images/kreis.pdf}
+\caption{Beispiel Graph zur Illustration der verschiedenen Basen auf einem
+Graphen.
+\label{buch:graphen:fig:kreis}}
+\end{figure}
+Wir illustrieren die im folgenden entwickelte Theorie an dem Beispielgraphen
+von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:kreis}.
+Besonders interessant sind die folgenden Funktionen:
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+s_m(k)
+&=
+\sin\frac{2\pi mk}{n}
+\\
+c_m(k)
+&=
+\cos\frac{2\pi mk}{n}
+\end{aligned}
+\;
+\right\}
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+e_m(k)
+=
+e^{2\pi imk/n}
+=
+c_m(k) + is_m(k).
+\]
+Das Skalarprodukt dieser Funktionen ist
+\[
+\langle e_m, e_{m'}\rangle
+=
+\frac1n
+\sum_{k=1}^n
+\overline{e^{2\pi i km/n}}
+e^{2\pi ikm'/n}
+=
+\frac1n
+\sum_{k=1}^n
+e^{\frac{2\pi i}{n}(m'-m)k}
+=
+\delta_{mm'}
+\]
+Die Funktionen bilden daher eine Orthonormalbasis des Raums der
+Funktionen auf $G$.
+Wegen $\overline{e_m} = e_{-m}$ folgt, dass für gerade $n$
+die Funktionen
+\[
+c_0, c_1,s_1,c_2,s_2,\dots c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2}
+\]
+eine orthonormierte Basis.
+
+
+Die Laplace-Matrix kann mit der folgenden Definition zu einer linearen
+Abbildung auf Funktionen auf dem Graphen gemacht werden.
+Sei $f\colon V\to \mathbb{R}$ und $L$ die Laplace-Matrix mit
+Matrixelementen $l_{vv'}$ wobei $v,v'\in V$ ist.
+Dann definieren wir die Funktion $Lf$ durch
+\[
+(Lf)(v)
+=
+\sum_{v'\in V} l_{vv'}f(v').
+\]
+
+\subsection{Standardbasis und Eigenbasis
+\label{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis}}
+Die einfachste Basis, aus der siche Funktionen auf dem Graphen linear
+kombinieren lassen, ist die Standardbasis.
+Sie hat für jeden Knoten $v$ des Graphen eine Basisfunktion mit den Werten
+\[
+e_v\colon V\to\mathbb R:v'\mapsto \begin{cases}
+1\qquad&v=v'\\
+0\qquad&\text{sonst.}
+\end{cases}
+\]
+
+
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
index 0739f14..ef1520e 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
@@ -6,127 +6,327 @@
 \section{Wavelets auf Graphen
 \label{buch:section:wavelets-auf-graphen}}
 \rhead{Wavelets auf Graphen}
-Graphen werden oft verwendet um geometrische Objekte zu approximieren.
-Funktionen auf einem Graphen können dann Approximationen von physikalischen
-Grössen wie zum Beispiel der Temperatur auf dem geometrischen Objekt
-interpretiert werden.
-Verschiedene Basen für die Beschreibung solcher Funktionen sind im Laufe
-der Zeit verwendet worden, doch Wavelets auf einem Graphen sind eine
-neuere Idee, mit der man aus der Laplace-Matrix Basen gewinnen kann,
-die die Idee von langsam sich ausbreitenden Störungen besonders gut
-wiederzugeben in der Lage sind.
-
-In diesem Abschnitt werden erst Funktionen auf einem Graphen genauer
-definiert.
-In Abschnitt~\ref{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis}
-wird die Eigenbasis mit dem Laplace-Operator konstruiert und mit
-der Standarbasis verglichen.
-Schliesslich werden in Abschnitt~\ref{buch:subsection:wavelet-basen}
-verschiedene Wavelet-Basen konstruiert.
-
-\subsection{Funktionen auf einem Graphen und die Laplace-Matrix}
-Sei $G$ ein Graph mit der Knotenmenge $V$.
-Eine Funktion $f$ auf einem Graphen ist eine Funktion $f\colon V\to\mathbb{R}$.
-Funktionen auf $G$ sind also Vektoren, die mit den Knoten $V$ indiziert
-sind.
-
-Es gibt auch ein Skalarprodukt für Funktionen auf dem Graphen.
-Sind $f$ und $g$ zwei Funktionen auf $G$, dann ist das Skalarprodukt
-definiert durch
+In Abschnitt~\ref{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis} wurde
+gezeigt dass die Standardbasis den Zusammenhang zwischen den einzelnen
+Teilen des Graphen völlig ignoriert, während die Eigenbasis Wellen
+beschreibt, die mit vergleichbarer Amplitude sich über den ganzen
+Graphen entsprechen.
+Die Eigenbasis unterdrückt also die ``Individualität'' der einzelnen
+Knoten fast vollständig.
+
+Wenn man einen Standardbasisvektor in einem Knoten $i$
+als Anfangstemperaturverteilung verwendet, erwartet man eine Lösung,
+die für kleine Zeiten $t$ die Energie immer in der Nähe des Knotens $i$
+konzentriert hat.
+Weder die Standardbasis noch die Eigenbasis haben diese Eigenschaft.
+
+\subsection{Vergleich mit der Wärmeleitung auf $\mathbb{R}$}
+Ein ähnliches Phänomen findet man bei der Wärmeausbreitung gemäss
+der partiellen Differentialgleichung
 \[
-\langle f,g\rangle
+\frac{\partial T}{\partial t} = -\kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.
+\]
+Die von Fourier erfundene Methode, die Fourier-Theorie, verwendet die
+Funktionen $e^{ik x}$, die Eigenvektoren der zweiten Ableitung
+$\partial^2/\partial x^2$ sind.
+Diese haben das gleiche Problem, der Betrag von $e^{ikx}$ ist $1$, die
+Entfernung von einem Punkt spielt überhaupt keine Rolle.
+Die Funktion
+\[
+F(x,t)
 =
-\frac{1}{|V|}\sum_{v\in V} \overline{f}(v) g(v)
+\frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}e^{-x^2/4\kappa t}
 \]
-Dies ist das bekannte Skalarprodukt der Vektoren mit Komponenten $f(v)$.
+ist eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit einem Maximum an
+der Stelle $0$.
+Sie heisst die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung.
+Durch Überlagerung von Translaten in eine Funktion
+\begin{equation}
+f(x,t)
+=
+\int_{-\infty}^\infty f(\xi) F(x-\xi,t)\,d\xi
+\label{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung}
+\end{equation}
+kann man die allgemeine Lösung aus Fundamentallösungen zusammensetzen.
+Die Fundamentallösungen $f(x-\xi,t)$ sind für kleine Zeiten immer noch
+deutlich in einer Umgebung von $\xi$ konzentriert.
 
+% XXX Ausbreitung der Fundamentallösung illustrieren
 \begin{figure}
 \centering
-\includegraphics{chapters/70-graphen/images/kreis.pdf}
-\caption{Beispiel Graph zur Illustration der verschiedenen Basen auf einem
-Graphen.
-\label{buch:graphen:fig:kreis}}
+\includegraphics{chapters/70-graphen/images/fundamental.pdf}
+\caption{Vergleich der verschiedenen Funktionenfamilien, mit denen
+Lösungenfunktionen durch Linearkombination erzeugt werden können.
+In der Standarbasis (links) ist es am einfachsten, die Funktionswerte
+abzulesen, in der Eigenbasis (Mitte) kann die zeitliche Entwicklung
+besonders leicht berechnet werden.
+Dazuwischen liegen die Fundamentallösungen (rechts), die eine einigermassen
+übersichtliche Zeitentwicklung haben, die Berechnung der Temperatur an 
+einer Stelle $x$ zur Zeit $t$ ist aber erst durch das Integral
+\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung} gegeben.
+\label{buch:graphen:fig:fundamental}}
 \end{figure}
-\begin{beispiel}
-Wir illustrieren die im folgenden entwickelte Theorie an dem Beispielgraphen
-von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:kreis}.
-Besonders interessant sind die folgenden Funktionen:
-\[
-\left.
-\begin{aligned}
-s_m(k)
-&=
-\sin\frac{2\pi mk}{n}
-\\
-c_m(k)
-&=
-\cos\frac{2\pi mk}{n}
-\end{aligned}
-\;
-\right\}
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-e_m(k)
+
+\subsection{Fundamentallösungen auf einem Graphen}
+Die Wärmeleitungsgleichung auf einem Graphen kann für einen
+Standardbasisvektor mit Hilfe der
+Lösungsformel~\eqref{buch:graphen:eqn:eigloesung}
+gefunden werden.
+Aus physikalischen Gründen ist aber offensichtlich, dass die
+Wärmeenergie Fundamentallösungen $F_i(t)$ für kurze Zeiten $t$
+in der Nähe des Knoten $i$ konzentriert ist.
+Dies ist aber aus der expliziten Formel
+\begin{equation}
+F_i(t)
 =
-e^{2\pi imk/n}
+\sum_{j=1}^n \langle f_j,e_i\rangle e^{-\kappa \lambda_i t} f_j
 =
-c_m(k) + is_m(k).
-\]
-Das Skalarprodukt dieser Funktionen ist
+\sum_{j=1}^n \overline{f}_{ji} e^{-\kappa \lambda_i t},
+\label{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph}
+\end{equation}
+nicht unmittelbar erkennbar.
+
+Man kann aber aus~\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph} ablesen,
+dass für zunehmende Zeit die hohen Frequenzen sehr schnell gedämpft
+werden.
+Die hohen Frequenzen erzeugen also den scharfen Peak für Zeiten nahe
+beim Knoten $i$, die zu kleineren $\lambda_i$ beschreiben die Ausbreitung
+über grössere Distanzen.
+Die Fundamentallösung interpoliert also in einem gewissen Sinne zwischen
+den Extremen der Standardbasis und der Eigenbasis.
+Die ``Interpolation'' geht von der Differentialgleichung aus,
+sie ist nicht einfach nur ein Filter, der die verschiedenen Frequenzen
+auf die gleiche Art bearbeitet.
+
+Gesucht ist eine Methode, eine Familie von Vektoren zu finden,
+aus der sich alle Vektoren linear kombinieren lassen, in der aber
+auch auf die für die Anwendung interessante Längenskala angepasste
+Funktionen gefunden werden können.
+
+\subsection{Wavelets auf einem Graphen}
+Die Fourier-Theorie analysiert Funktionen nach Frequenzen, wobei die 
+zeitliche Position von interessanten Stellen der Funktion in der Phase
+der einzelnen Komponenten verschwindet.
+Die Lokalisierung geht also für viele praktische Zwecke verloren.
+Umgekehrt haben einzelne Ereignisse wie eine $\delta$-Funktion keine
+charakteristische Frequenz, sie sind daher im Frequenzraum überhaupt 
+nicht lokalisierbar.
+Die Darstellung im Frequenzraum und in der Zeit sind also extreme
+Darstellungen, entweder Frequenzlokalisierung oder zeitliche Lokalisierung
+ermöglichen, sich aber gegenseitig ausschliessen.
+
+\subsubsection{Dilatation}
+Eine Wavelet-Basis für die $L^2$-Funktionen auf $\mathbb{R}$ erlaubt
+eine Funktion auf $\mathbb{R}$ auf eine Art zu analysieren, die eine
+ungenaue zeitliche Lokalisierung bei entsprechend ungenauer
+Frequenzbestimmung ermöglicht.
+Ausserdem entstehen die Wavelet-Funktionen aus einer einzigen Funktion
+$\psi(t)$ durch Translation um $b$ und Dilatation mit dem Faktor $a$:
 \[
-\langle e_m, e_{m'}\rangle
+\psi_{a,b}(t)
 =
-\frac1n
-\sum_{k=1}^n
-\overline{e^{2\pi i km/n}}
-e^{2\pi ikm'/n}
+\frac{1}{\sqrt{|a|}} \psi\biggl(\frac{t-b}a\biggr)
 =
-\frac1n
-\sum_{k=1}^n
-e^{\frac{2\pi i}{n}(m'-m)k}
-=
-\delta_{mm'}
+T_bD_a\psi(t)
 \]
-Die Funktionen bilden daher eine Orthonormalbasis des Raums der
-Funktionen auf $G$.
-Wegen $\overline{e_m} = e_{-m}$ folgt, dass für gerade $n$
-die Funktionen
+in der Notation von \cite{buch:mathsem-wavelets}.
+Auf einem Graphen ist so eine Konstruktion grundsätzlich nicht möglich,
+da es darauf weder eine Translations- noch eine Streckungsoperation gibt.
+
+In der Theorie der diskreten Wavelet-Transformation ist es üblich, sich
+auf Zweierpotenzen als Streckungsfaktoren zu beschränken.
+Ein Gitter wird dadurch auf sich selbst abgebildet, aber auf einem
+Graphen gibt es keine Rechtfertigung für diese spezielle Wahl von
+Streckungsfaktoren mehr.
+Es stellt sich daher die Frage, ob man für eine beliebige Menge
+\(
+T= \{ t_1,t_2,\dots\} \}
+\)
+von Streckungsfaktoren eine Familie von Funktionen $\chi_j$ zu finden
+derart, dass man sich die $\chi_j$ in einem gewissen Sinn als aus
+$\chi_0$ durch Dilatation entstanden vorstellen kann.
+
+Die Dilatation kann natürlich nicht von einer echten
+Dilatation im Ortsraum herstammen, aber man kann wenigstens versuchen, die
+Dilatation im Frequenzraum nachzubilden.
+Für Funktionen in $L^2(\mathbb{R})$ entspricht die Dilatation mit dem
+Faktor $a$ im Ortsraum der Dilatation mit dem Faktor $1/a$ im Frequenzraum:
 \[
-c_0, c_1,s_1,c_2,s_2,\dots c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2}
+\widehat{D_af}(\omega) = D_{1/a}\hat{f}(\omega).
 \]
-eine orthonormierte Basis.
-\end{beispiel}
+\cite[Satz~3.14]{buch:mathsem-wavelets}.
+Es bleibt aber das Problem, dass sich auch die Skalierung im Frequenzraum
+nicht durchführen lässt, da auch das Frequenzspektrum des Graphen nur eine
+Menge von reellen Zahlen ohne innere algebraische Struktur ist.
 
+\subsubsection{Mutterwavelets}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/70-graphen/images/gh.pdf}
+\caption{Lokalisierungsfunktion $g(\lambda)$ für die Dilatation (links).
+Die Dilatierten Funktionen $g_i=\tilde{D}_{1/a_i}g$ lokalisieren
+die Frequenzen jeweils um die Frequenzen $a_i$ im Frequenzraum.
+Der Konstante Vektor ist vollständig delokalisiert, die Funktion $h$
+in der rechten Abbildung entfernt die hohen Frequenzen und liefert Funktionen,
+die in der Umgebung eines Knotens wie die Konstante Funktion aussehen.
+\label{buch:graphs:fig:lokalisierung}}
+\end{figure}
+Das Mutter-Wavelet einer Wavelet-Analyse zeichnet definiert, in welchem Mass
+sich Funktionen im Orts- und im Frequenzraum lokalisieren lassen.
+Die Standardbasis der Funktionen auf einem Graphen repräsentieren die
+perfekte örtliche Lokalisierung, Eigenbasis der Laplace-Matrix $L$ repräsentiert
+die perfekte Lokalisierung im Frequenzraum.
+Sei $g(\lambda)\ge 0$ eine Funktion im Frequenzraum, die für  $\lambda\to0$ und
+$\lambda\to\infty$ rasch abfällt mit einem Maximum irgendwo dazwischen
+(Abbildung~\ref{buch:graphs:fig:lokalisierung}).
+Sie kann als eine Lokalisierungsfunktion im Frequenzraum betrachtet werden.
 
-Die Laplace-Matrix kann mit der folgenden Definition zu einer linearen
-Abbildung auf Funktionen auf dem Graphen gemacht werden.
-Sei $f\colon V\to \mathbb{R}$ und $L$ die Laplace-Matrix mit
-Matrixelementen $l_{vv'}$ wobei $v,v'\in V$ ist.
-Dann definieren wir die Funktion $Lf$ durch
-\[
-(Lf)(v)
+Die Matrix $g(L)$ bildet entfernt aus einer Funktion die ganz hohen und 
+die ganz tiefen Frequenz, lokalisiert also die Funktionen im Frequenzraum.
+Die Standardbasisvektoren werden dabei zu Funktionen, die nicht mehr nur
+auf einem Knoten von $0$ verschieden sind, aber immer noch einigermassen
+auf dem Graphen lokalisiert sind.
+Natürlich sind vor allem die Werte auf den Eigenwerten
+$\lambda_0 < \lambda_1\le \dots\le \lambda_n$ der Laplace-Matrix
+von Interesse.
+
+Die Matrix $g(L)$ kann mit Hilfe der Spektraltheorie berechnet werden,
+was im vorliegenden Fall naheliegend ist, weil ja die Eigenvektoren von
+der Laplace-Matrix bereits bekannt sind.
+Die Matrix $\chi^t$ bildet die Standardbasisvektoren in die
+Eigenbasis-Vektoren ab, also in eine Zerlegung im Frequenzraum ab,
+$\chi$ vermittelt die Umkehrabbildung.
+Mit der Spektraltheorie findet man für die Abbildung $g(L)$ die Matrix
+\begin{equation}
+g(L)
 =
-\sum_{v'\in V} l_{vv'}f(v').
-\]
+\chi
+\begin{pmatrix}
+g(\lambda_0)&0&\dots&0\\
+0&g(\lambda_1)&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+0&0&\dots&g(\lambda_n)
+\end{pmatrix}
+\chi^t.
+\label{buch:graphen:eqn:mutterwavelet}
+\end{equation}
 
-\subsection{Standardbasis und Eigenbasis
-\label{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis}}
-Die einfachste Basis, aus der siche Funktionen auf dem Graphen linear
-kombinieren lassen, ist die Standardbasis.
-Sie hat für jeden Knoten $v$ des Graphen eine Basisfunktion mit den Werten
+\subsubsection{Dilatation}
+Die Dilatation um $a$ im Ortsraum wird zu einer Dilatation um $1/a$ im
+Frequenzraum.
+Statt also nach einer echten Dilatation der Spaltenvektoren in $g(L)$
+zu suchen, kann man sich darauf verlegen, Funktionen zu finden, deren
+Spektrum von einer Funktionen lokalisiert worden ist, die eine Dilatation
+von $g$ ist.
+Man wählt daher eine ansteigende Folge $A=(a_1,\dots)$ von Streckungsfaktoren
+und betrachtet anstelle von $g$ die dilatierten Funktionen
+$g_i=\tilde{D}_{1/a_i}g$.
+Die zugehörigen Wavelet-Funktionen auf dem Graphen können wieder mit
+der Formel~\eqref{buch:graphen:eqn:mutterwavelet} berechnet werden,
+man erhält
+\begin{equation}
+\tilde{D}_{1/a_i}g(L)
+=
+g_i(L)
+=
+\chi
+\begin{pmatrix}
+g(a_i\lambda_0)&0&\dots&0\\
+0&g(a_i\lambda_1)&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+0&0&\dots&g(a_i\lambda_n)
+\end{pmatrix}
+\chi^t .
+\end{equation}
+Die Spalten von $g_i(L)$ bilden wieder eine Menge von Funktionen, die
+eine gemäss $g_i$ lokalisiertes Spektrum haben.
+
+\subsubsection{Vater-Wavelet}
+Wegen $g(0)=0$ wird die konstante Funktion, die Eigenvektor zum Eigenwert
+$\lambda_0=0$ ist, von den Abbildungen $g_i(L)$ auf $0$ abgebildet.
+Andererseits ist diese Funktion nicht lokalisiert, man möchte Sie also
+für die Analyse nicht unbedingt verwenden.
+Man wählt daher eine Funktion $h(\lambda)$ mit $h(0)=1$ so, dass
+für $\lambda\to \infty$ der Wert $h(\lambda)$ genügend rasch gegen $0$
+geht.
+Die Matrix $h(L)$ bildet daher den konstanten Vektor nicht auf $0$ ab,
+sondern lokalisiert ihn im Ortsraum.
+Wir erhalten daher in den Spalten von $h(L)$ Vektoren, die um die
+einzelnen Knoten lokalisiert sind.
+
+\subsubsection{Rekonstruktion}
+Die Operatoren $h(L)$ und $g_i(L)$ erzeugen analysieren eine Funktion
+nach den verschiedenen Frequenzen mit den Skalierungsfaktoren $a_i$,
+aber die Rekonstruktion ist noch nicht klar.
+Diese wäre einfacher, wenn die Operatoren zusammen die identische
+Abbildung ergäben, wenn also
 \[
-e_v\colon V\to\mathbb R:v'\mapsto \begin{cases}
-1\qquad&v=v'\\
-0\qquad&\text{sonst.}
-\end{cases}
+h(L) + \sum_{i}g_i(L)=I
 \]
+gelten würde.
+Nach der Spektraltheorie gilt das nur, wenn für alle Eigenwerte
+$\lambda_k$, $k=1,\dots,n$
+\[
+h(\lambda_k) + \sum_ig(a_i\lambda_k)=1
+\]
+gilt.
+Für beleibige Funktionen $g$ und $h$ kann man nicht davon ausgehen,
+aber man kann erwarten.
+Man muss daher zusätzlich verlangen, dass
+\[
+h(\lambda_k) + \sum_{i} g(a_i\lambda_k) > 0
+\]
+ist für alle Eigenwerte $\lambda_k$.
 
+\subsubsection{Frame}
+Die Menge von Vektoren, die in der vorangegangenen Konstruktion gefunden
+wurden, ist zu gross, um eine Basis zu sein.
+Vektoren lassen sich darin auf verschiedene Art darstellen.
+Wir verlangen aber auch keine eindeutige Darstellung, nur eine 
+Darstellung, in der wir die ``dominierenden'' Komponenten in jeder
+Frequenzskala identifizieren können.
 
-\subsection{Wavelet-Basen
-\label{buch:subsection:wavelet-basen}}
-
+\begin{definition}
+\label{buch:graphen:def:frame}
+Ein Frame des Vektorraumes $\mathbb{R}^n$ ist eine Menge
+$F=\{e_k\;|\; k=1,\dots,N\}$ von Vektoren mit der Eigenschaft
+\begin{equation}
+A\|v\|^2
+\le
+\sum_{k=1}^N  |\langle v,e_k\rangle|^2
+\le
+B\|v\|^2
+\label{buch:graphen:eqn:frame}
+\end{equation}
+Die Zahlen $A$  und $B$ heissen die {\em Frame-Konstanten} des Frames.
+\end{definition}
 
+Die oben gefundenen Vektoren, die Spalten Vektoren von $h(L)$ und $g_i(L)$
+bilden daher ein Frame.
+Die Frame-Konstanten kann man unmittelbar ausrechnen.
+Der mittlere Term von \eqref{buch:graphen:eqn:frame} ist 
+\[
+\|h(L) v\|^2
++
+\sum_{i} \|g_i(L)v\|^2,
+\]
+die durch die Funktion
+\[
+f(\lambda)
+=
+h(\lambda)^2 + \sum_i g_i(\lambda)^2
+\]
+abgeschätzt werden kann.
+Die Frame-Konstanten sind daher
+\begin{align*}
+A&=\min_{k} f(\lambda_k)
+&
+&\text{und}&
+B&=\max_{k} f(\lambda_k).
+\end{align*}
+Die Konstruktion hat also ein Frame für die Funktionen auf dem Graphen
+etabliert, die viele Eigenschaften einer Multiskalenanalyse in diese
+wesentlich weniger symmetrische Situation rettet.
 
 
 
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex
index a62d813..50e7fda 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex
@@ -24,15 +24,15 @@ Je nach Ausgang gewinnt oder verliert der Spieler eine Einheit.
 Sei $X$ die Zufallsvariable, die den gewonnen Betrag beschreibt.
 Für eine faire Münze ist die Gewinnerwartung in diesem Spiel natürlich
 $E(X)=0$.
-Wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn $1+e$ ist, dann muss
-die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust $1-e$ sein, und die 
+Wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn $\frac12+e$ ist, dann muss
+die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust $\frac12-e$ sein, und die 
 Gewinnerwartung ist
 \(
 E(X)
 =
 1\cdot P(X=1) + (-1)\cdot P(X=-1)
 =
-1+e + (-1)(1-e)
+\frac12+e + (-1)\biggl(\frac12-e\biggr)
 =
 2e.
 \)
@@ -763,7 +763,7 @@ Eigenwert $1$ finden, die Rechnung mit dem Gauss-Algorithmus liefert
 p=
 \frac{1}{709}
 \begin{pmatrix}
-245\\180\\84
+245\\180\\284
 \end{pmatrix}.
 \]
 Damit kann man jetzt die Gewinnwahrscheinlichkeit im iterierten Spiel
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/aes.tex b/buch/chapters/90-crypto/aes.tex
index 6004dde..acdda22 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/aes.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/aes.tex
@@ -32,4 +32,402 @@ Sicherheit.
 In diesem Abschnitt soll gezeigt werde, wie sich die AES
 spezifizierten Operationen als mit der Arithmetik der
 endlichen Körper beschreiben lassen.
+Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:byte-operationen} werden
+Bytes als Elemente in einem endlichen Körper $\mathbb{F}_{2^8}$
+interpretiert.
+Damit kann dann die sogenannte $S$-Box konstruiert werden und
+es ist leicht zu verstehen, dass sie invertierbar ist.
+Aus den Byte-Operationen können dann Mischoperationen erzeugt
+werden, die Bytes untereinander verknüpfen, die aber auch wieder
+als Operationen in einem endlichen Körper verstanden werden können.
+
+\subsection{Byte-Operationen
+\label{buch:subsection:byte-operationen}}
+Moderne Prozessoren operieren auf Wörtern, die Vielfache von Bytes sind.
+Byte-Operationen sind besonders effizient in Hardware zu realisieren.
+AES verwendet daher als Grundelemente Operationen auf Bytes, die als
+Elemente eines endlichen Körpers $\mathbb{F}_{2^8}$ interpretiert werden.
+
+\subsubsection{Bytes als Elemente von $\mathbb{F}_{2^8}$}
+Das Polynom $m(X)=X^8+X^4+X^3+X+1\in \mathbb{F}_2[X]$ ist irreduzibel,
+somit ist $\mathbb{F}_{2^8} = \mathbb{F}_2[X]/(m)$ ein Körper.
+Die Elemente können dargestellt werden als Polynome, das Byte
+$\texttt{63}_{16}$ bekommt die Form
+\[
+p(X) = p_7X^7 + p_6X^6 + \dots + p_2X^2+p_1X + p_0,
+\]
+sie bestehen daher aus den $8$ Bits $p_7,\dots,p_0$.
+
+Die Interpretation der Bytes als Elemente eines Körpers bedeutet,
+dass jede Multiplikation mit einem nicht verschwindenden Byte 
+invertierbar ist.
+Ausserdem mischen diese Operationen die einzelnen Bits auf einigermassen
+undurchsichtige, aber umkehrbare Art durcheinander, wie dies für ein
+Verschlüsselungsverfahren wünschenswert ist.
+
+\subsubsection{$S$-Box}
+Für die Operation der $S$-Box wird wie folgt zusammengesetzt.
+Zunächst wird ein Byte $x$ durch das zugehörige multiplikative
+inverse Element
+\[
+x\mapsto \bar{x} = \begin{cases}
+x^{-1}&\qquad \text{für $x\in \mathbb{F}_{2^8}^*$}\\
+0     &\qquad \text{für $x=0$}
+\end{cases}
+\]
+ersetzt.
+
+Im zweiten Schritt betrachten wir $\mathbb{F}_{2^8}$ als einen
+$8$-dimensionalen Vektorraum über $\mathbb{F}_2$.
+Einem Polynom $p(X)=p_7X^7 + \dots + p_1X+p_0$ wird der Spaltenvektor
+mit den Komponenten $p_0$ bis $p_7$ zugeordnet.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/90-crypto/images/sbox.pdf}
+\caption{Berechnung der Inversen der Matrix $A$ in der $S$-Box  des
+AES-Algorithmus mit dem Gauss-Algorithmus
+\label{buch:crypto:fig:sbox}}
+\end{figure}
+
+Eine lineare Transformation in diesem Vektorraum kann durch eine
+$8\times 8$-Matrix in $M_8(\mathbb{F}_2)$ betrachtet werden.
+In der $S$-Box wird die Matrix
+\[
+A=
+\begin{pmatrix}
+1&0&0&0&1&1&1&1\\
+1&1&0&0&0&1&1&1\\
+1&1&1&0&0&0&1&1\\
+1&1&1&1&0&0&0&1\\
+1&1&1&1&1&0&0&0\\
+0&1&1&1&1&1&0&0\\
+0&0&1&1&1&1&1&0\\
+0&0&0&1&1&1&1&1
+\end{pmatrix},
+\qquad
+A^{-1}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0&1&0&0&1&0&1\\
+1&0&0&1&0&0&1&0\\
+0&1&0&0&1&0&0&1\\
+1&0&1&0&0&1&0&0\\
+0&1&0&1&0&0&1&0\\
+0&0&1&0&1&0&0&1\\
+1&0&0&1&0&1&0&0\\
+0&1&0&0&1&0&1&0
+\end{pmatrix}
+\]
+verwendet.
+Mit dem Gauss-Algorithmus, schematisch dargestellt in
+Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:sbox}, kann man die Inverse
+bestimmen, die Multiplikation mit $A$ ist also eine invertierbare
+Abbildung.
+
+Der letzte Schritt ist dann wieder eine Addition von
+$q(X)=X^7+X^6+X+1\in \mathbb{F}_{2^8}$, durch Subtraktion
+von $q(X)$ invertiert werden kann.
+Die $S$-Box-Operation kann also bektoriell geschrieben werden also
+\[
+	S(x) = A\overline{x}+q.
+\]
+
+Die Implementation ist möglicherweise mit einer Tabelle am schnellsten,
+es sind ja nur 256 Bytes im Definitionsbereich der $S$-Box-Abbildung
+und ebenso nur 256 möglich Werte.
+
+\subsection{Block-Operationen
+\label{buch:subsection:block-operationen}}
+Die zu verschlüsselnden Daten werden in in Blöcke aufgeteilt, deren
+Länge Vielfache von $32$ bit sind.
+Die kleinste Blockgrösse ist 128\,Bit, die grösste ist 256\,Bit.
+Die Bytes eines Blockes werden dann in einem Rechteck angeordnet
+als
+\begin{equation}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+ b_{0} & b_{4} & b_{8}  & b_{12} & b_{16} & b_{20} & b_{24} & b_{28} \\
+ b_{1} & b_{5} & b_{9}  & b_{13} & b_{17} & b_{21} & b_{25} & b_{29} \\
+ b_{2} & b_{6} & b_{10} & b_{14} & b_{18} & b_{22} & b_{26} & b_{30} \\
+ b_{3} & b_{7} & b_{11} & b_{15} & b_{19} & b_{23} & b_{27} & b_{31} \\
+\hline
+\end{tabular}
+\label{buch:crypto:eqn:block}
+\end{equation}
+für eine Blocklänge von 256\,Bits.
+
+
+
+\subsubsection{Zeilenshift}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/90-crypto/images/shift.pdf}
+\caption{Zeilenshift in einem Block von 256 bits
+\label{buch:crypto:fig:shift}}
+\end{figure}
+Die Verschlüsselung muss sicherstellen, dass die Bytes des Blockes
+untereinander gut gemischt werden.
+Die bisher beschriebenen Operationen operieren immer nur auf einzelnen
+Bytes während
+die im nächsten Abschnitt beschriebene Spalten-Mischoperation
+nur auf Spalten wird.
+Die Zeilenmischoperation permutiert die Zeilen in den vier Zeilen
+eines Blocks zyklisch, die erste Zeile bleibt an Ort, die zweite
+Zeile wird um ein Byte rotiert, die dritte um zwei und die letzte
+um 3 Bytes, wie in Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:zeilenshift}
+dargestellt.
+Diese Operation könnte mit einer Permutationsmatrix beschrieben werden,
+dies wäre jedoch keine effiziente Implementation.
+Der Zeilenschift hat ansonsten keine elegante algebraische Beschreibung.
+
+\subsubsection{Spalten mischen}
+Jede Spalte von \eqref{buch:crypto:eqn:block} kann als Vektor des
+vierdimensionalen Vektorraumes $\mathbb{F}_{2^8}^4$.
+Die Zeilenmischoperation wendet ein lineare Abbildung auf jeden
+Spaltenvektor von~\eqref{buch:crypto:eqn:block}.
+Die Koeffizienten der Matrix sind Elemente von $\mathbb{F}_{2^8}$.
+Die Matrix ist
+\[
+C=\begin{pmatrix}
+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}\\
+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{pmatrix}.
+\]
+Um nachzuprüfen, dass die Matrix $C$ invertierbar ist, könnte man den
+Gauss-Algorithmus verwenden und damit die Inverse berechnen.
+Dazu müsste man die multiplikativen Inversen kennen, was etwas mühsam
+ist.
+Man kann aber aber auch die Determinante bestimmen, dazu braucht man
+nur multiplizieren zu können, was in diesem Fall sehr leicht möglich ist,
+weil kein Überlauf entsteht.
+Dabei hilft es zu beachten, dass die Multiplikation mit $\texttt{02}_{16}$
+nur eine Einbit-Shiftoperation nach links ist.
+Nur die Multiplikation $\texttt{03}_{16}\cdot\texttt{03}_{16}=\text{05}_{16}$
+gibt etwas mehr zu überlegen.
+Mit geeigneten Zeilen-Operationen kann man die Berechnung der Determinante
+von $C$ mit dem Entwicklungssatz etwas vereinfachen.
+Man erhält
+\begin{align*}
+\det(C)
+&=
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
+\\
+&=
+\texttt{02}_{16}
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
++
+\texttt{01}_{16}
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
+\\
+&=
+\texttt{02}_{16}
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
++
+\texttt{01}_{16}
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{00}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
+\\
+&=
+\texttt{02}_{16}
+\left(
+\texttt{02}_{16}
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}\\
+\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
++
+\texttt{01}_{16}
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
+\right)
++
+\texttt{01}_{16}
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{00}_{16}&\texttt{01}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
+\\
+&=
+\texttt{02}_{16}
+(
+\texttt{02}_{16}(\texttt{04}_{16}+\texttt{05}_{16})
++
+(\texttt{06}_{16}+\texttt{03}_{16})
+)
++
+\texttt{03}_{16}\texttt{03}_{16}
+\\
+&=
+\texttt{02}_{16}
+(
+\texttt{02}_{16}
++
+\texttt{05}_{16}
+)
++
+\texttt{05}_{16}
+=
+\texttt{0e}_{16}+\texttt{05}_{16}
+=
+\texttt{0a}_{16}
+\ne 0.
+\end{align*}
+Damit ist gezeigt, dass die Matrix $C$ invertierbar auf den
+Spaltenvektoren wirkt.
+Die Inverse der Matrix kann einmal berechnet und anschliessend
+für die Entschlüsselung verwendet werden.
+
+Alternativ kann man die Multiplikation mit der Matrix $C$ auch
+interpretieren als eine Polynommultiplikation.
+Dazu interpretiert man die Spalten des Blocks als Polynom vom Grad~3
+mit Koeffizienten in $\mathbb{F}_{2^8}$.
+Durch Reduktion mit dem irreduziblen Polynom
+$n(Z)=Z^4+1\in\mathbb{F}_{2^8}[X]$ entsteht aus dem Polynomring
+wieder ein Körper.
+Die Wirkung der Matrix $C$ ist dann nichts anderes als Multiplikation
+mit dem Polynom
+\[
+c(Z) = \texttt{03}_{16}Z^3 + Z^2+Z^1+\texttt{02}_{16},
+\]
+die natürlich ebenfalls umkehrbar ist.
+
+\subsection{Schlüssel
+\label{buch:subsection:schlüssel}}
+Die von den Byte- und Blockoperationen mischen die einzelnen Bits
+der Daten zwar ganz schön durcheinander, aber es wird noch kein
+Schlüsselmaterial eingearbeitet, welches den Prozess einzigartig
+macht.
+
+\subsubsection{Schlüsseladdition}
+Nach jeder Spaltenmischoperation wird ein Rundenschlüssel
+zum Blockhinzuaddiert.
+Beim ersten Mal wird dazu einfach das Schlüsselmaterial verwendet.
+Für die folgenden Runden muss aus diesem Schlüssel neues
+Material, die sogenannten Rundenschlüssel, gewonnen werden.
+
+\subsubsection{Rundenschlüssel}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/90-crypto/images/keys.pdf}
+\caption{Erzeugung der erweiterten Schlüsseldaten aus dem Schlüssel
+$K_0,\dots,K_7$ für Schlüssellänge 256\,bit.
+Die mit $S$ beschrifteten Blöcke wenden die $S$-Box auf jedes einzelne
+Byte an.
+$\pi$ ist die zyklische Vertauschung der Bytes eines Wortes.
+Die Operation $r_i$ ist eine Addition einer Konstanten, die in jeder
+Runde anders ist.
+\label{buch:crypto:fig:keys}}
+\end{figure}
+Die Erzeugung der Rundenschlüssel ist in Abbildung
+\ref{buch:crypto:fig:keys}
+schematisch dargestellt.
+Die Blöcke beschreiben wieder Spaltenvektoren im vierdimensionalen
+Raum $\mathbb{F}_{2^8}^4$.
+Die Blöcke $K_0$ bis $K_7$ stellen den ursprünglichen Schlüssel dar.
+Die Erzeugung eines neuen Blocks Schlüsselmatrial beginnt damit,
+dass der letzte Vektor des vorangegangenblocks drei Operationen
+unterworfen werden.
+\begin{itemize}
+\item
+Die Operation $\pi$ vertauscht die Bytes des Vektors zyklisch:
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\def\s{0.6}
+\begin{scope}
+\draw (0,0) rectangle (\s,{4*\s});
+\foreach \y in {1,...,3}{
+	\draw (0,{\y*\s}) (\s,{\y*\s});
+}
+\node at ({0.5*\s},{0.5*\s}) {$b_3$};
+\node at ({0.5*\s},{1.5*\s}) {$b_2$};
+\node at ({0.5*\s},{2.5*\s}) {$b_1$};
+\node at ({0.5*\s},{3.5*\s}) {$b_0$};
+\end{scope}
+\draw[->] ({1.1*\s},{2*\s}) -- ({4.9*\s},{2*\s});
+\node at ({3*\s},{2*\s}) [above] {$\pi$};
+\begin{scope}[xshift=3cm]
+\draw (0,0) rectangle (\s,{4*\s});
+\foreach \y in {1,...,3}{
+	\draw (0,{\y*\s}) (\s,{\y*\s});
+}
+\node at ({0.5*\s},{0.5*\s}) {$b_0$};
+\node at ({0.5*\s},{1.5*\s}) {$b_3$};
+\node at ({0.5*\s},{2.5*\s}) {$b_2$};
+\node at ({0.5*\s},{3.5*\s}) {$b_1$};
+\end{scope}
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\item
+Die $S$-Operation wendet die $S$-Box auf alle Bytes eines Vektors an.
+\item
+Die $r_i$ Operation addiert in Runde eine Konstante $r_i$ zur $0$-Komponente.
+\end{itemize}
+Die Konstante $r_i$ ist wieder ein einzelnes Byte und es ist daher
+naheliegend, diese Bytes mit Hilfe der Arithmetik in $\mathbb{F}_{2^8}$
+zu erzeugen.
+Man kann daher $r_i$ definieren als
+$(\texttt{02}_{16})^{i-1}\in\mathbb{F}_{2^8}$.
+
+\subsection{Runden}
+Der AES-Verschlüsselungsalgorithmus besteht jetzt darin, die bisher
+definierten Operationen wiederholt anzuwenden.
+Eine einzelne Runde besteht dabei aus folgenden Schritten:
+\begin{enumerate}
+\item Wende die $S$-Box auf alle Bytes des Blocks an.
+\item Führe den Zeilenshift durch.
+\item Mische die Spalten (wird in der letzten Runde)
+\item Erzeuge den nächsten Rundenschlüssel
+\item Addiere den Rundenschlüssel
+\end{enumerate}
+Der AES-Verschlüsselungsalgorithmus beginnt damit, dass der Schlüssel
+zum Datenblock addiert wird.
+Anschliessend werden je nach Blocklänge verschiedene Anzahlen von
+Runden durchgeführt, 10 Runden für 128\,bit, 12 Runden für 192\,bit und
+14 Runden für 256\,bit.
+
+
+
+
 
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/arith.tex b/buch/chapters/90-crypto/arith.tex
index b6f2fd8..dcc31b8 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/arith.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/arith.tex
@@ -6,20 +6,290 @@
 \section{Arithmetik für die Kryptographie
 \label{buch:section:arithmetik-fuer-kryptographie}}
 \rhead{Arithmetik für die Kryptographie}
+Die Algorithmen der mathematischen Kryptographie basieren
+auf den Rechenoperationen in grossen, aber endlichen Körpern.
+Für die Division liefert der euklidische Algorithmus eine
+Methode, der in so vielen Schritten die Inverse findet,
+wie Dividend und Divisor Binärstellen haben.
+Dies ist weitgehend optimal.
+
+Die Division ist umkehrbar, in der Kryptographie strebt man aber an,
+Funktionen zu konstruieren, die nur mit grossem Aufwand umkehrbar sind.
+Eine solche Funktion ist das Potenzieren in einem endlichen Körper.
+Die Berechnung von Potenzen durch wiederholte Multiplikation ist jedoch
+prohibitiv aufwendig, daher ist ein schneller Potenzierungsalgorithmus
+nötig, der in Abschnitt~\ref{buch:subsection:potenzieren} beschrieben
+wird.
+Bei der Verschlüsselung grosser Datenmengen wie zum Beispiel bei
+der Verschlüsselung ganzer Harddisks mit Hilfe des AES-Algorithmus
+kommt es auf die Geschwindigkeit auch der elementarsten Operationen
+in den endlichen Körpern an.
+Solche Methoden werden in den Abschnitten
+\ref{buch:subsection:rechenoperationen-in-fp}
+und
+\ref{buch:subsection:rechenoperatione-in-f2l}
+besprochen.
 
 \subsection{Potenzieren
 \label{buch:subsection:potenzieren}}
-% XXX Divide-and-Conquer Algorithmus
+Wir gehen davon aus, dass wir einen schnellen Algorithmus zur
+Berechnung des Produktes zweier Elemente $a,b$ in einer
+beliebigen Gruppe $G$ haben.
+Die Gruppe $G$ kann die Multiplikation der ganzen oder reellen Zahlen
+sein, dies wird zum Beispiel in Implementation der Potenzfunktion
+verwendet.
+Für kryptographische Anwendungen ist $G$ die multiplikative Gruppe
+eines endlichen Körpers oder eine elliptische Kurve.
+
+Zur Berechnung von $a^k$ sind bei einer naiven Durchführung des
+Algorithmus $k-1$ Multiplikationen nötig, immer sofort gefolgt
+von einer Reduktion $\mod p$ um sicherzustellen, dass die Resultate
+nicht zu gross werden.
+Ist $l$ die Anzahl der Binärstellen von $k$, dann benötigt dieser
+naive Algorithmus $O(2^l)$ Multiplikationen, die Laufzeit wächst
+also exponentiell mit der Bitlänge von $k$ an.
+Der nachfolgend beschriebene Algorithmus reduziert die Laufzeit auf
+die $O(l)$.
+
+Zunächst schreiben wir den Exponenten $k$ in binärer Form als
+\[
+k = k_l2^l + k_{l-1}2^{l-1} + \dots k_22^2+k_12^1 k_02^0.
+\]
+Die Potenz $a^k$ kann dann geschrieben werden als
+\[
+a^k
+=
+a^{k_l2^l} \cdot a^{k_{l-1}2^{l-1}} \cdot \dots \cdot
+a^{k_22^2} \cdot a^{k_12^1} \cdot a^{k_02^0}
+\]
+Nur diejenigen Faktoren tragen etwas bei, für die $k_i\ne 0$ ist.
+Die Potenz kann man daher auch schreiben als
+\[
+a^k
+=
+\prod_{k_i\ne 0} a^{2^i}.
+\]
+Es sind also nur so viele Faktoren zu berücksichtigen, wie $k$ 
+Binärstellen $1$ hat.
+
+Die einzelnen Faktoren $a^{2^i}$ können durch wiederholtes Quadrieren
+erhalten werden:
+\[
+a^{2^i} = a^{2\cdot 2^{i-1}} = (a^{2^{i-1}})^2,
+\]
+also durch maximal $l-1$ Multiplikationen.
+Wenn $k$ keine Ganzzahl ist sondern binäre Nachkommastellen hat, also
+\[
+k=k_l2^l + \dots + k_12^1 + k_02^0 + k_{-1}2^{-1} + k_{-2}2^{-2}+\dots,
+\]
+dann können die Potenzen $a^{2^{-i}}$ durch wiederholtes Wurzelziehen
+\[
+a^{2^{-i}} = a^{\frac12\cdot 2^{-i+1}} = \sqrt{a^{2^{-i+1}}}
+\]
+gefunden werden.
+Die Berechnung der Quadratwurzel lässt sich in Hardware effizient
+implementieren.
+
+\begin{algorithmus}
+Der folgende Algorithmus berechnet $a^k$ in $O(\log_2(k))$
+Multiplikationen
+\begin{enumerate}
+\item Initialisiere $p=1$ und $q=a$
+\item Falls $k$ ungerade ist, setze $p:=p\cdot q$ 
+\item Setze $q:=q^2$ und $k := k/2$, wobei die ganzzahlige Division durch $2$
+am effizientesten als Rechtsshift implementiert werden kann.
+\item Falls $k>0$, fahre weiter bei 2.
+\end{enumerate}
+\end{algorithmus}
+
+\begin{beispiel}
+Die Berechnung von $1.1^{17}$ mit diesem Algorithmus ergibt
+\begin{enumerate}
+\item $p=1$, $q=1.1$
+\item $k$ ist ungerade: $p:=1.1$
+\item $q:=q^2=1.21$, $k := 8$
+\item $k$ ist gerade
+\item $q:=q^2=1.4641$, $k := 4$
+\item $k$ ist gerade
+\item $q:=q^2=2.14358881$, $k := 2$
+\item $k$ ist gerade
+\item $q:=q^2=4.5949729863572161$, $k := 1$
+\item $k$ ist ungerade: $p:=1.1\cdot p = 5.05447028499293771$
+\item $k:=0$
+\end{enumerate}
+Multiplikationen sind nur nötig in den Schritten 3, 5, 7, 9, 10, es
+werden also genau $5$ Multiplikationen ausgeführt.
+\end{beispiel}
 
 \subsection{Rechenoperationen in $\mathbb{F}_p$
 \label{buch:subsection:rechenoperationen-in-fp}}
-% XXX Multiplikation: modulare Reduktion mit jedem Digit
-% XXX Divide-and-Conquer
+Die Multiplikation macht aus zwei Faktoren $a$ und $b$ ein 
+Resultat mit Bitlänge $\log_2 a+\log_2 b$, die Bitlänge wird
+also typischerweise verdoppelt.
+In $\mathbb{F}_p$ muss anschliessend das Resultat $\mod p$
+reduziert werden, so dass die Bitlänge wieder höchstens
+$\log_2p$ ist.
+In folgenden soll gezeigt werden, dass dieser Speicheraufwand 
+für eine Binärimplementation deutlich reduziert werden kann,
+wenn die Reihenfolge der Operationen modifiziert wird.
+
+Für die Multiplikation von $41\cdot 47$ rechnet man im Binärsystem
+\begin{center}
+\begin{tabular}{>{$}r<{$}}
+\texttt{{\color{darkgreen}1}0{\color{red}1}001}\cdot\texttt{101111}\\
+\hline
+\texttt{101111}\\
+\texttt{{\color{red}101111}\phantom{000}}\\
+\texttt{{\color{darkgreen}101111}\phantom{00000}}\\
+\hline
+\texttt{11110000111}\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+In $\mathbb{F}_{53}$ muss im Anschluss Modulo $p=53$ reduziert werden.
+
+Der Speicheraufwand entsteht zunächst dadurch, dass durch die Multiplikation
+mit $2$ die Summanden immer länger werden.
+Man kann den die Sumanden kurz halten, indem man jedesmal, wenn 
+der Summand nach der Multiplikation mit $2$ grösser als $p$ geworden ist,
+$p$ subtrahiert (Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:reduktion}).
+Ebenso kann bei nach jeder Addition das bereits reduzierten zweiten
+Faktors wieder reduziert werden.
+Die Anzahl der nötigen Reduktionsoperationen wird durch diese
+frühzeitig durchgeführten Reduktionen nicht teurer als bei der Durchführung
+des Divisionsalgorithmus.
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\begin{tabular}{>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}}
+\text{Multiplikation mit $2$}&\text{Reduktion?}&\text{reduziert}
+	&\text{Summanden}&\text{Summe}&\text{reduziert}
+\\
+\hline
+\texttt{101111}               &                &\texttt{101111} 
+	&\texttt{101111}&\texttt{101111}&\texttt{101111}
+\\
+\texttt{101111\phantom{0}}    &\texttt{{\color{red}1011110}}&\texttt{101001}
+	&               &               &
+\\
+\texttt{101111\phantom{00}}   &\texttt{0{\color{red}111010}}&\texttt{011101}
+	&               &               &
+\\
+\texttt{101111\phantom{000}}  &\texttt{0001010}&\texttt{000101}
+	&\texttt{000101}&\texttt{110100}&\texttt{110100}
+\\
+\texttt{101111\phantom{0000}} &\texttt{0010100}&\texttt{001010}
+	&               &               &
+\\
+\texttt{101111\phantom{00000}}&\texttt{0101000}&\texttt{010100}
+	&\texttt{010100}&\texttt{{\color{red}1001000}}&\texttt{10011}\rlap{$\mathstrut=19$}
+\end{tabular}
+\end{center}
+\caption{Multiplikation von $41=\texttt{101001}_2$ mit $47=\texttt{101111}_2$,
+Reduktion nach jeder Multiplikation mit $2$: falls das Resultat
+$>p$ ist, wie in den rot markierten Zeilen $p=53=\texttt{110101}_2$
+durchgeführt.
+Bei der Bildung der Summe wird ebenfalls in jedem Schritt falls nötig
+reduziert, angezeigt durch die roten Zahlen in der zweitletzten
+Spalte.
+Die Anzahl der Subtraktionen, die für die Reduktionen nötig sind, ist
+von der selben Grössenordnung wie bei der Durchführung des
+Divisionsalgorithmus.
+\label{buch:crypto:fig:reduktion}}
+\end{figure}
+
+Es ist also möglich, mit gleichem Aufwand an Operationen
+aber mit halbe Speicherplatzbedarf die Multiplikationen in $\mathbb{F}_p$
+durchzuführen.
+Die Platzeinsparung ist besonders bei Implementationen in Hardware 
+hilfreich, wo on-die Speicherplatz teuer sein kann.
 
 \subsection{Rechenoperationen in $\mathbb{F}_{2^l}$
 \label{buch:subsection:rechenoperatione-in-f2l}}
-% XXX Darstellung eines Körpers der Art F_{2^l}
-% XXX Addition (XOR) und Multiplikation
-% XXX Beispiel F_{2^8}
+Von besonderem praktischem Interesse sind die endlichen Körper
+$\mathbb{F}_{2^l}$.
+Die arithmetischen Operationen in diesen Körpern lassen sich besonders
+effizient in Hardware realisieren.
+
+\subsubsection{Zahldarstellung}
+Ein endlicher Körper $\mathbb{F}_{2^l}$ ist definiert durch ein
+irreduzibles Polynom in $\mathbb{F}_2[X]$ vom Grad $2^l$ 
+\[
+m(X)
+=
+X^l + m_{l-1}X^{l-1} + m_{l-2}X^{l-2} + \dots + m_2X^2 + m_1X + m_0
+\]
+gegeben.
+Ein Element in $\mathbb{F}_2[X]/(m)$ kann dargestellt werden durch ein
+Polynom vom Grad $l-1$, also durch
+\[
+a = a_{l-1}X^{l-1} + a_{l-2}X^{l-2} +\dots + a_2X^2 + a_1X + a_0.
+\]
+In einer Maschine kann eine Zahl also als eine Bitfolge der Länge $l$
+dargestellt werden.
+
+\subsubsection{Addition}
+Die Addition in $\mathbb{F}_2$ ist in Hardware besonders leicht zu
+realisieren.
+Die Addition ist die XOR-Operation, die Multiplikation ist die UND-Verknüfung.
+Ausserdem stimmen in $\mathbb{F}_2$ Addition und Subtraktion überein.
+
+Die Addition zweier Polynome erfolgt komponentenweise.
+Die Addition von zwei Elemente von $\mathbb{F}_{2^l}$ kann also
+durch die bitweise XOR-Verknüpfung der Darstellungen der Summanden 
+erfolgen.
+Diese Operation ist in einem einzigen Maschinenzyklus realisierbar.
+Die Subtraktion, die für die Reduktionsoperation module $m(X)$ nötig
+ist, ist mit der Addition identisch.
+
+\subsubsection{Multiplikation}
+Die Multiplikation zweier Polynome benötigt zunächst die Multiplikation
+mit $X$, wodurch der Grad des Polynoms ansteigt und möglicherweise so
+gross wird, dass eine Reduktionsoperation modulo $m(X)$ nötig wird.
+Die Reduktion wird immer dann nötig, wenn der Koeffizient von $X^l$
+nicht $0$ ist.
+Der Koeffizient kann dann zum Verschwinden gebracht werden, indem
+$m(X)$ addiert wird.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/90-crypto/images/schieberegister.pdf}
+\caption{Implementation der Multiplikation mit $X$ in einem 
+endlichen Körper $\mathbb{F}_{2^l}$ mit dem Minimalpolynom
+$m(X) = X^8+X^4+X^3+X^+1$ als Feedback-Schieberegister.
+\label{buch:crypto:fig:schieberegister}}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:schieberegister} wird gezeigt,
+wie die Reduktion erfolgt, wenn die Multiplikation mit $X$, also der
+Shift nach links, einen Überlauf ergibt.
+Das Minimalpolynom $m(X)=X^8+X^4+X^3+X+1$ bedeutet, dass in $\mathbb{F}_{2^l}$
+$X^8=X^4+X^3+X+1$ gilt, so dass man das Überlaufbit durch 
+$X^4+X^3+X+1$ ersetzen und addieren kann.
+
+Ein Produktes $p(X)\cdot q(X)$, wobei $p(X)$ und
+$q(X)$ Repräsentaten von Elementen $\mathbb{F}_{2^l}$ sind, kann jetzt
+wie folgt berechnet werden.
+Mit dem Schieberegister werden die Vielfachen $X^k\cdot p(X)$ 
+für $k=0,\dots,l-1$ berechnet.
+Diejenigen Vielfachen, für die der Koeffizient von $X^k$ in $q(X)$
+von $0$ verschieden ist werden aufsummiert und ergeben das Produkt.
+Der Prozess in Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:multiplikation}
+dargestellt.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/90-crypto/images/multiplikation.pdf}
+\caption{Multiplikation zweier Elemente von $\mathbb{F}_{2^l}$.
+Mit Hilfe des Schieberegisters am linken Rand werden die Produkte 
+$X\cdot p(X)$, $X^2\cdot p(X),\dots,X^7\cdot p(X)$ nach der in
+Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:schieberegister} dargestellten
+Methode berechnet.
+Am rechten Rand werden diejenigen $X^k\cdot p(X)$ aufaddiert,
+für die der $X^k$-Koeffizient von $q(X)$ von $0$ verschieden ist.
+\label{buch:crypto:fig:multiplikation}}
+\end{figure}
+
+
 % XXX Beispiel F einer Oakley-Gruppe
 
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex b/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex
index 43ac8de..d2fcbbf 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex
@@ -20,7 +20,7 @@ In diesem Abschnitt soll dies an einigen Beispielen gezeigt werden.
 \input{chapters/90-crypto/arith.tex}
 \input{chapters/90-crypto/ff.tex}
 \input{chapters/90-crypto/aes.tex}
-\input{chapters/90-crypto/rs.tex}
+%\input{chapters/90-crypto/rs.tex}
 
 \section*{Übungsaufgaben}
 \rhead{Übungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex
index 4ab9c34..535b359 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex
@@ -26,7 +26,7 @@ In der Praxis werden aber $g$ und $a$ Zahlen mit vielen Binärstellen
 sein, die die wiederholte Multiplikation ist daher sicher nicht
 effizient, das Kriterium der einfachen Berechenbarkeit scheint
 also nicht erfüllt.
-Der folgende Algorithmus berechnet die Potenz in $O(\log_2 a$
+Der folgende Algorithmus berechnet die Potenz in $O(\log_2 a)$
 Multiplikationen.
 
 \begin{algorithmus}[Divide-and-conquer]
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/Makefile b/buch/chapters/90-crypto/images/Makefile
index 9480163..f4bed14 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/Makefile
@@ -3,7 +3,8 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	dh.pdf elliptic.pdf
+all:	dh.pdf elliptic.pdf schieberegister.pdf multiplikation.pdf sbox.pdf \
+	shift.pdf keys.pdf
 
 dh.pdf:	dh.tex
 	pdflatex dh.tex
@@ -11,3 +12,18 @@ dh.pdf:	dh.tex
 elliptic.pdf:	elliptic.tex
 	pdflatex elliptic.tex
 
+schieberegister.pdf:	schieberegister.tex
+	pdflatex schieberegister.tex
+
+multiplikation.pdf:	multiplikation.tex
+	pdflatex multiplikation.tex
+
+sbox.pdf:	sbox.tex
+	pdflatex sbox.tex
+
+shift.pdf:	shift.tex
+	pdflatex shift.tex
+
+keys.pdf:	keys.tex
+	pdflatex keys.tex
+
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/dh.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/dh.pdf
index 67b95a5..eede4bd 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/images/dh.pdf
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/dh.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/elliptic.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/elliptic.pdf
index d408f1e..e58639f 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/images/elliptic.pdf
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/elliptic.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/keys.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/keys.pdf
new file mode 100644
index 0000000..2c6b4b9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/keys.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/keys.tex b/buch/chapters/90-crypto/images/keys.tex
new file mode 100644
index 0000000..d556b7c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/keys.tex
@@ -0,0 +1,121 @@
+%
+% keys.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\def\s{0.5}
+\def\punkt#1#2{({(#1)*\s},{(#2)*\s})}
+\def\wort#1#2#3{
+	\fill[color=#3] \punkt{#1}{#2} rectangle \punkt{(#1+1)}{(#2+4)};
+	\draw \punkt{#1}{#2} rectangle \punkt{(#1+1)}{(#2+4)};
+}
+
+\def\summe{
+	\foreach \x in {0,3,...,21}{
+		\draw[->] \punkt{(\x+0.5)}{-0.1} -- \punkt{(\x+0.5)}{-2.1};
+		\draw \punkt{(\x+0.5)}{-2.5} circle[radius={0.3*\s}];
+		\draw \punkt{(\x+0.5-0.2)}{-2.5} 
+			--
+			\punkt{(\x+0.5+0.2)}{-2.5};
+		\draw \punkt{(\x+0.5)}{-2.5+0.2} 
+			--
+			\punkt{(\x+0.5)}{-2.5-0.2};
+		\draw[->] \punkt{(\x+0.5)}{-2.9} -- \punkt{(\x+0.5)}{-4.9};
+	}
+	\foreach \x in {0,3,...,18}{
+		\draw[->] \punkt{(\x+1.1)}{-7} -- \punkt{(\x+2)}{-7}
+			-- \punkt{(\x+2)}{-2.5} -- \punkt{(\x+3.1)}{-2.5};
+	}
+	\fill[color=white]
+		\punkt{(9+1.25)}{-5.5}
+		rectangle
+		\punkt{(9+2.75)}{-4.00};
+	\draw
+		\punkt{(9+1.25)}{-5.5}
+		rectangle
+		\punkt{(9+2.75)}{-4.00};
+	\node at \punkt{(9+2)}{-4.75} {$S$};
+}
+
+\def\blocks#1{
+	\foreach \x in {0,3,...,21}{
+		\wort{\x}{0}{#1}
+	}
+}
+
+\def\schlange#1{
+	\draw[->] \punkt{22.1}{2} -- \punkt{23}{2}
+		-- \punkt{23}{-1.0} -- \punkt{-3}{-1.0}
+		-- \punkt{-3}{-8} -- \punkt{-1}{-8} -- \punkt{-1}{-2.5}
+		-- \punkt{0.1}{-2.5};
+	;
+	\fill[color=white] \punkt{-3.75}{-1.75} rectangle \punkt{-2.25}{-3.25};
+	\draw \punkt{-3.75}{-1.75} rectangle \punkt{-2.25}{-3.25};
+	\node at \punkt{-3}{-2.5} {$\pi$};
+
+	\fill[color=white] \punkt{-3.75}{-3.75} rectangle \punkt{-2.25}{-5.25};
+	\draw \punkt{-3.75}{-3.75} rectangle \punkt{-2.25}{-5.25};
+	\node at \punkt{-3}{-4.5} {$S$};
+
+	\fill[color=white] \punkt{-3.75}{-5.75} rectangle \punkt{-2.25}{-7.25};
+	\draw \punkt{-3.75}{-5.75} rectangle \punkt{-2.25}{-7.25};
+	\node at \punkt{-3}{-6.5} {$r_{#1}$};
+}
+
+\begin{scope}
+	\blocks{blue!20}
+	\foreach \x in {0,...,7}{
+		\node at \punkt{(3*\x+0.5)}{2} {$K_\x$};
+	}
+	\schlange{1}
+	\summe
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-4.5cm]
+	\blocks{darkgreen!20}
+	\foreach \x in {8,...,15}{
+		\node at \punkt{(3*(\x-8)+0.5)}{2} {$K_{\x}$};
+	}
+	\schlange{2}
+	\summe
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-9cm]
+	\blocks{darkgreen!20}
+	\foreach \x in {16,...,23}{
+		\node at \punkt{(3*(\x-16)+0.5)}{2} {$K_{\x}$};
+	}
+	\schlange{3}
+	\summe
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-13.5cm]
+	\blocks{darkgreen!20}
+	\foreach \x in {24,...,31}{
+		\node at \punkt{(3*(\x-24)+0.5)}{2} {$K_{\x}$};
+	}
+	\foreach \x in {0,3,...,21}{
+		\draw[->,color=gray]
+			\punkt{(\x+0.5)}{-0.1} -- \punkt{(\x+0.5)}{-2.1};
+		\node[color=gray] at \punkt{(\x+0.5)}{-2.1} [below] {$\vdots$};
+	}
+	\draw[color=gray] \punkt{22.1}{2} -- \punkt{23}{2}
+		-- \punkt{23}{-1.0} -- \punkt{-3}{-1.0}
+		-- \punkt{-3}{-2.1};
+	\node[color=gray] at \punkt{-3}{-2.1} [below] {$\vdots$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.pdf
new file mode 100644
index 0000000..86345b8
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.tex b/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.tex
new file mode 100644
index 0000000..27c4329
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.tex
@@ -0,0 +1,464 @@
+%
+% multiplikation.tex -- 
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\s{0.45}
+
+\def\punkt#1#2{({#1*\s},{#2*\s})}
+
+\def\pfeile{
+	\foreach \x in {0.5,1.5,...,7.5}{
+		\draw[->,color=blue] \punkt{\x}{-2.1} -- \punkt{(\x-1)}{-3.3};
+	}
+}
+
+\begin{scope}[yshift=0.1cm]
+	\node at \punkt{0}{0.5} [left] {$p(X)=\mathstrut$};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\foreach \x in {0.5,1.5,...,7.5}{
+		\draw[->,color=blue] \punkt{\x}{-0.1} -- \punkt{(\x-1)}{-1.3};
+	}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-1cm]
+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);
+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};
+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};
+
+	\draw[->,color=darkgreen]
+		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+
+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};
+	}
+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+
+	\pfeile
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-3cm]
+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);
+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};
+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};
+
+%	\draw[->,color=darkgreen]
+%		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4}{-0.5} {$\|$};
+
+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};
+	}
+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+
+	\pfeile
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-5cm]
+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);
+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};
+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};
+
+%	\draw[->,color=darkgreen]
+%		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4}{-0.5} {$\|$};
+
+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};
+	}
+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+
+	\pfeile
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-7cm]
+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);
+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};
+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};
+
+	\draw[->,color=darkgreen]
+		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{4}{-0.5} {$\|$};
+
+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};
+	}
+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+
+	\pfeile
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-9cm]
+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);
+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};
+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};
+
+	\draw[->,color=darkgreen]
+		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{4}{-0.5} {$\|$};
+
+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};
+	}
+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+
+	\pfeile
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-11cm]
+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);
+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};
+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{0}};
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+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};
+
+%	\draw[->,color=darkgreen]
+%		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};
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+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4}{-0.5} {$\|$};
+
+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};
+	}
+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{1}};
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+
+	\pfeile
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-13cm]
+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);
+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};
+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};
+
+%	\draw[->,color=darkgreen]
+%		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};
+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4}{-0.5} {$\|$};
+
+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};
+	}
+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{1}};
+
+%	\pfeile
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=9cm]
+
+\begin{scope}[yshift=0.1cm]
+	\draw[->] \punkt{-11.8}{0.5} -- \punkt{-0.1}{0.5};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\draw \punkt{4}{-0.1} -- \punkt{4}{-3};
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{1}};
+\end{scope}
+
+\def\summation#1#2#3#4#5#6#7#8{
+	\draw[->] \punkt{4}{2.3} -- \punkt{4}{1};
+
+	\draw[->] \punkt{-11.8}{0.5} -- \punkt{3.5}{0.5};
+
+	\draw \punkt{4}{0.5} circle[radius=0.2];
+	\draw \punkt{4}{0.20} -- \punkt{4}{0.80};
+	\draw \punkt{3.7}{0.5} -- \punkt{4.3}{0.5};
+
+	\draw[->] \punkt{4}{-0.05} -- \punkt{4}{-0.95};
+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};
+	}
+
+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{#1}};
+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{#2}};
+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{#3}};
+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{#4}};
+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{#5}};
+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{#6}};
+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{#7}};
+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{#8}};
+}
+
+\begin{scope}[yshift=-1.9cm]
+	\summation{1}{0}{0}{1}{0}{1}{0}{1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-3.9cm]
+	\summation{1}{1}{1}{1}{0}{1}{1}{1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-5.9cm]
+	\summation{1}{1}{1}{1}{0}{1}{1}{1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-7.9cm]
+	\summation{0}{1}{1}{0}{0}{1}{0}{0}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-9.9cm]
+	\summation{0}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-11.9cm]
+	\summation{0}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-13.9cm]
+	\summation{0}{0}{1}{1}{0}{1}{1}{0}
+	\node at \punkt{0}{-1.5} [left] {$p(X)\cdot q(X)=\mathstrut$};
+\end{scope}
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=5cm]
+
+\begin{scope}[yshift=2cm]
+	\node at \punkt{0}{0.5} [left] {$q(X)=\mathstrut$};
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+	}
+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};
+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};
+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{1}};
+
+	\draw[->] \punkt{7.5}{-0.1} -- ({7.5*\s},{-1.3});
+	\node at ({7.5*\s},{-1.2}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{1}$};
+
+	\def\y{1.2}
+
+	\draw[->] \punkt{6.5}{-0.1} -- ({6.5*\s},{-1*2-\y-0.1});
+	\node at ({6.5*\s},{-1*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{0}$};
+
+	\draw[->] \punkt{5.5}{-0.1} -- ({5.5*\s},{-2*2-\y-0.1});
+	\node at ({5.5*\s},{-2*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{1}$};
+
+	\draw[->] \punkt{4.5}{-0.1} -- ({4.5*\s},{-3*2-\y-0.1});
+	\node at ({4.5*\s},{-3*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{0}$};
+
+	\draw[->] \punkt{3.5}{-0.1} -- ({3.5*\s},{-4*2-\y-0.1});
+	\node at ({3.5*\s},{-4*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{1}$};
+
+	\draw[->] \punkt{2.5}{-0.1} -- ({2.5*\s},{-5*2-\y-0.1});
+	\node at ({2.5*\s},{-5*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{1}$};
+
+	\draw[->] \punkt{1.5}{-0.1} -- ({1.5*\s},{-6*2-\y-0.1});
+	\node at ({1.5*\s},{-6*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{0}$};
+
+	\draw[->] \punkt{0.5}{-0.1} -- ({0.5*\s},{-7*2-\y-0.1});
+	\node at ({0.5*\s},{-7*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{1}$};
+\end{scope}
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.m b/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.m
new file mode 100644
index 0000000..973ffc9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.m
@@ -0,0 +1,52 @@
+#
+# sbox.m
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+A=[
+1,0,0,0,1,1,1,1;
+1,1,0,0,0,1,1,1;
+1,1,1,0,0,0,1,1;
+1,1,1,1,0,0,0,1;
+1,1,1,1,1,0,0,0;
+0,1,1,1,1,1,0,0;
+0,0,1,1,1,1,1,0;
+0,0,0,1,1,1,1,1;
+]
+
+R = zeros(8,16);
+R(:,1:8) = A;
+R(:,9:16) = eye(8);
+
+for k = (1:5)
+	for i=(k+1:8)
+		pivot = R(i,k);
+		R(i,:) = R(i,:) + pivot * R(k,:);
+	end
+	R = mod(R, 2)
+end
+
+P = [
+1,0,0,0,0,0,0,0;
+0,1,0,0,0,0,0,0;
+0,0,1,0,0,0,0,0;
+0,0,0,1,0,0,0,0;
+0,0,0,0,1,0,0,0;
+0,0,0,0,0,0,0,1;
+0,0,0,0,0,1,0,0;
+0,0,0,0,0,0,1,0;
+]
+
+R = P * R
+
+for k = (8:-1:2)
+	for i = (1:k-1)
+		pivot = R(i,k);
+		R(i,:) = R(i,:) + pivot * R(k,:);
+	end
+	R = mod(R, 2)
+end
+
+B = R(:,9:16)
+
+A * B
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7a5bdf3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.tex b/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.tex
new file mode 100644
index 0000000..41f8812
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.tex
@@ -0,0 +1,241 @@
+%
+% sbox.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\s{0.2}
+\def\punkt#1#2{({#1*\s},{(8-(#2))*\s})}
+
+\definecolor{b}{rgb}{0,0,0}
+\definecolor{w}{rgb}{1,1,1}
+
+\def\feld#1#2#3{
+	\fill[color=#3] \punkt{#1}{#2} rectangle \punkt{(#1+1)}{(#2-1)};
+}
+
+\def\zeile#1#2#3#4#5#6#7#8#9{
+	\feld{0}{#1}{#2}
+	\feld{1}{#1}{#3}
+	\feld{2}{#1}{#4}
+	\feld{3}{#1}{#5}
+	\feld{4}{#1}{#6}
+	\feld{5}{#1}{#7}
+	\feld{6}{#1}{#8}
+	\feld{7}{#1}{#9}
+}
+\def\inverse#1#2#3#4#5#6#7#8#9{
+	\feld{8}{#1}{#2}
+	\feld{9}{#1}{#3}
+	\feld{10}{#1}{#4}
+	\feld{11}{#1}{#5}
+	\feld{12}{#1}{#6}
+	\feld{13}{#1}{#7}
+	\feld{14}{#1}{#8}
+	\feld{15}{#1}{#9}
+}
+\def\rechteck{
+	\draw (0,{1*\s}) rectangle ({16*\s},{(8+1)*\s});
+	\draw ({8*\s},{1*\s}) -- ({8*\s},{(8+1)*\s});
+}
+
+\def\pivot#1#2{
+	\draw[color=red,line width=1.2pt]
+		\punkt{(#1+\inset)}{(#2-\inset)}
+		rectangle
+		\punkt{(#1+1-\inset)}{(#2-1+\inset)};
+}
+\def\inset{0.1}
+\def\cleanup#1#2#3{
+	\pgfmathparse{(#3-#2)/abs(#3-#2)}
+	\xdef\signum{\pgfmathresult}
+	\draw[color=blue!50,line width=1.2pt]
+		\punkt{(#1+\inset)}{#3}
+		--
+		\punkt{(#1+\inset)}{(#2-1+\inset*\signum)}
+		--
+		\punkt{(#1+1-\inset)}{(#2-1+\inset*\signum)}
+		--
+		\punkt{(#1+1-\inset)}{#3}
+	;
+}
+
+\begin{scope}
+	\zeile0bwwwbbbb \inverse0bwwwwwww
+	\zeile1bbwwwbbb \inverse1wbwwwwww
+	\zeile2bbbwwwbb \inverse2wwbwwwww
+	\zeile3bbbbwwwb \inverse3wwwbwwww
+	\zeile4bbbbbwww \inverse4wwwwbwww
+	\zeile5wbbbbbww \inverse5wwwwwbww
+	\zeile6wwbbbbbw \inverse6wwwwwwbw
+	\zeile7wwwbbbbb \inverse7wwwwwwwb
+	\rechteck
+	\pivot{0}{0}
+	\cleanup{0}{1}{7}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=4cm]
+	\draw[->,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]
+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};
+	\zeile0bwwwbbbb \inverse0bwwwwwww
+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww
+	\zeile2wbbwbbww \inverse2bwbwwwww
+	\zeile3wbbbbbbw \inverse3bwwbwwww
+	\zeile4wbbbwbbb \inverse4bwwwbwww
+	\zeile5wbbbbbww \inverse5wwwwwbww
+	\zeile6wwbbbbbw \inverse6wwwwwwbw
+	\zeile7wwwbbbbb \inverse7wwwwwwwb
+	\rechteck
+	\pivot{1}{1}
+	\cleanup{1}{2}{7}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=8cm]
+	\draw[->,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]
+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};
+	\zeile0bwwwbbbb \inverse0bwwwwwww
+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww
+	\zeile2wwbwwbww \inverse2wbbwwwww
+	\zeile3wwbbwbbw \inverse3wbwbwwww
+	\zeile4wwbbbbbb \inverse4wbwwbwww
+	\zeile5wwbbwbww \inverse5bbwwwbww
+	\zeile6wwbbbbbw \inverse6wwwwwwbw
+	\zeile7wwwbbbbb \inverse7wwwwwwwb
+	\rechteck
+	\pivot{2}{2}
+	\cleanup{2}{3}{7}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=12cm,yshift=0cm]
+	\draw[->,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]
+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};
+	\zeile0bwwwbbbb \inverse0bwwwwwww
+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww
+	\zeile2wwbwwbww \inverse2wbbwwwww
+	\zeile3wwwbwwbw \inverse3wwbbwwww
+	\zeile4wwwbbwbb \inverse4wwbwbwww
+	\zeile5wwwbwwww \inverse5bwbwwbww
+	\zeile6wwwbbwbw \inverse6wbbwwwbw
+	\zeile7wwwbbbbb \inverse7wwwwwwwb
+	\rechteck
+	\pivot{3}{3}
+	\cleanup{3}{4}{7}
+	\draw[->,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]
+		\punkt{8}{7} -- \punkt{8}{11};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=12cm,yshift=-2.4cm]
+	\draw[<-,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]
+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};
+	\zeile0bwwwbbbb \inverse0bwwwwwww
+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww
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+	\rechteck
+	\pivot{4}{4}
+	\cleanup{4}{5}{7}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=8cm,yshift=-2.4cm]
+	\draw[<-,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]
+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};
+	\zeile0bwwwbbbb \inverse0bwwwwwww
+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww
+	\zeile2wwbwwbww \inverse2wbbwwwww
+	\zeile3wwwbwwbw \inverse3wwbbwwww
+	\zeile4wwwwbwwb \inverse4wwwbbwww
+	\zeile5wwwwwwbw \inverse5bwwbwbww
+	\zeile6wwwwwwwb \inverse6wbwwbwbw
+	\zeile7wwwwwbww \inverse7wwbwbwwb
+	\rechteck
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=4cm,yshift=-2.4cm]
+	\draw[<-,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]
+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};
+	\zeile0bwwwbbbb \inverse0bwwwwwww
+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww
+	\zeile2wwbwwbww \inverse2wbbwwwww
+	\zeile3wwwbwwbw \inverse3wwbbwwww
+	\zeile4wwwwbwwb \inverse4wwwbbwww
+	\zeile5wwwwwbww \inverse5wwbwbwwb
+	\zeile6wwwwwwbw \inverse6bwwbwbww
+	\zeile7wwwwwwwb \inverse7wbwwbwbw
+	\rechteck
+	\cleanup{7}{7}{-1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-2.4cm]
+	\zeile0bwwwbbbw \inverse0bbwwbwbw
+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww
+	\zeile2wwbwwbww \inverse2wbbwwwww
+	\zeile3wwwbwwbw \inverse3wwbbwwww
+	\zeile4wwwwbwww \inverse4wbwbwwbw
+	\zeile5wwwwwbww \inverse5wwbwbwwb
+	\zeile6wwwwwwbw \inverse6bwwbwbww
+	\zeile7wwwwwwwb \inverse7wbwwbwbw
+	\rechteck
+	\cleanup{6}{6}{-1}
+	\draw[->,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]
+		\punkt{8}{7} -- \punkt{8}{11};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-4.8cm]
+	\zeile0bwwwbbww \inverse0wbwbbbbw
+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww
+	\zeile2wwbwwbww \inverse2wbbwwwww
+	\zeile3wwwbwwww \inverse3bwbwwbww
+	\zeile4wwwwbwww \inverse4wbwbwwbw
+	\zeile5wwwwwbww \inverse5wwbwbwwb
+	\zeile6wwwwwwbw \inverse6bwwbwbww
+	\zeile7wwwwwwwb \inverse7wbwwbwbw
+	\rechteck
+	\cleanup{5}{5}{-1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=4cm,yshift=-4.8cm]
+	\draw[->,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]
+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};
+	\zeile0bwwwbwww \inverse0wbbbwbbb
+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww
+	\zeile2wwbwwwww \inverse2wbwwbwwb
+	\zeile3wwwbwwww \inverse3bwbwwbww
+	\zeile4wwwwbwww \inverse4wbwbwwbw
+	\zeile5wwwwwbww \inverse5wwbwbwwb
+	\zeile6wwwwwwbw \inverse6bwwbwbww
+	\zeile7wwwwwwwb \inverse7wbwwbwbw
+	\rechteck
+	\cleanup{4}{4}{-1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=8cm,yshift=-4.8cm]
+	\draw[->,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]
+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};
+	\zeile0bwwwwwww \inverse0wwbwwbwb
+	\zeile1wbwwwwww \inverse1bwwbwwbw
+	\zeile2wwbwwwww \inverse2wbwwbwwb
+	\zeile3wwwbwwww \inverse3bwbwwbww
+	\zeile4wwwwbwww \inverse4wbwbwwbw
+	\zeile5wwwwwbww \inverse5wwbwbwwb
+	\zeile6wwwwwwbw \inverse6bwwbwbww
+	\zeile7wwwwwwwb \inverse7wbwwbwbw
+	\rechteck
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.pdf
new file mode 100644
index 0000000..30b675b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.tex b/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.tex
new file mode 100644
index 0000000..7c24e52
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.tex
@@ -0,0 +1,120 @@
+%
+% schieberegister.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\s{0.8}
+
+\def\punkt#1#2{({#1*\s},{#2*\s})}
+
+\fill[color=blue!20] \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+
+\node at \punkt{0.5}{1} [above] {$X^7\mathstrut$};
+\node at \punkt{3}{1}   [above] {$+\mathstrut$};
+\node at \punkt{3.5}{1} [above] {$X^4\mathstrut$};
+\node at \punkt{5}{1}   [above] {$+\mathstrut$};
+\node at \punkt{5.5}{1} [above] {$X^2\mathstrut$};
+\node at \punkt{7}{1}   [above] {$+\mathstrut$};
+\node at \punkt{7.5}{1} [above] {$1\mathstrut$};
+
+\node at \punkt{0}{1} [above left] {\llap{$p(X)=\mathstrut$}};
+
+\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};
+\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{1}};
+\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};
+\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{1}};
+
+\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};
+\foreach \x in {1,...,7}{
+	\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};
+}
+
+\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{-3} rectangle \punkt{7}{-2};
+\fill[color=darkgreen!20] \punkt{0}{-4} rectangle \punkt{8}{-3};
+
+\node[color=darkgreen] at \punkt{-1}{-1.5} [left] 
+	{$m(X) = X^8+X^4+X^3+X+1$};
+
+\node[color=darkgreen] at \punkt{-1}{-2.7} [left]
+	{$\underbrace{X^4+X^3+X+1}_{}= X^8=\mathstrut$};
+
+\coordinate (A) at ({-4.15*\s},{-3*\s});
+\coordinate (B) at ({0*\s},{-3.5*\s});
+
+\draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm] (A) to[out=-90,in=180] (B);
+\node[color=red] at \punkt{-3.1}{-3.8} [below] {Feedback};
+
+\node at \punkt{-0.5}{-2.5} {\texttt{1}};
+\node at \punkt{0.5}{-2.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{1.5}{-2.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{2.5}{-2.5} {\texttt{1}};
+\node at \punkt{3.5}{-2.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{4.5}{-2.5} {\texttt{1}};
+\node at \punkt{5.5}{-2.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{6.5}{-2.5} {\texttt{1}};
+\node at \punkt{7.5}{-2.5} {\texttt{0}};
+
+\node[color=darkgreen] at \punkt{0.5}{-3.5} {\texttt{0}};
+\node[color=darkgreen] at \punkt{1.5}{-3.5} {\texttt{0}};
+\node[color=darkgreen] at \punkt{2.5}{-3.5} {\texttt{0}};
+\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-3.5} {\texttt{1}};
+\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-3.5} {\texttt{1}};
+\node[color=darkgreen] at \punkt{5.5}{-3.5} {\texttt{0}};
+\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-3.5} {\texttt{1}};
+\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-3.5} {\texttt{1}};
+
+\draw \punkt{0}{-4} rectangle \punkt{8}{-2};
+\draw \punkt{0}{-3} -- \punkt{8}{-3};
+\foreach \x in {1,...,7}{
+	\draw \punkt{\x}{-4} -- \punkt{\x}{-2};
+}
+
+\foreach \x in {0.5,1.5,...,7.5}{
+	\draw[->,color=blue] \punkt{\x}{-0.1} -- \punkt{(\x-1)}{-1.9};
+}
+
+\draw \punkt{0}{-6} rectangle \punkt{8}{-5};
+\foreach \x in {1,...,7}{
+	\draw \punkt{\x}{-6} -- \punkt{\x}{-5};
+}
+
+\node at \punkt{0.5}{-5.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{1.5}{-5.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{2.5}{-5.5} {\texttt{1}};
+\node at \punkt{3.5}{-5.5} {\texttt{1}};
+\node at \punkt{4.5}{-5.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{5.5}{-5.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{6.5}{-5.5} {\texttt{0}};
+\node at \punkt{7.5}{-5.5} {\texttt{1}};
+
+\node at \punkt{4}{-4.5} {$\|$};
+
+\node at \punkt{10.3}{-3} [left]
+	{$\left.\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}\right\} + = \text{XOR}$};
+
+\draw[<-,shorten >= 0.1cm, shorten <= 0.1cm]
+	\punkt{8.0}{-2.0} arc (-30:30:{2.0*\s});
+\node at \punkt{8.3}{-1} [right] {$\mathstrut \cdot X$};
+
+\node at \punkt{8.1}{-5.5} [right] {$=X\cdot p(X)\mathstrut$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/shift.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/shift.pdf
new file mode 100644
index 0000000..b007378
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/shift.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/shift.tex b/buch/chapters/90-crypto/images/shift.tex
new file mode 100644
index 0000000..bcdf819
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/shift.tex
@@ -0,0 +1,131 @@
+%
+% shift.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\s{0.8}
+\def\punkt#1#2{({#1*\s},{#2*\s})}
+
+\def\feld#1#2#3#4{
+	\fill[color=#3] \punkt{#1}{#2} rectangle \punkt{(#1+1)}{(#2+1)};
+	\node at \punkt{(#1+0.5)}{(#2+0.5)} {$\mathstrut #4$};
+}
+\def\gitter{
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{4};
+	\foreach \x in {1,...,7}{
+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{4};
+	}
+	\foreach \y in {1,...,3}{
+		\draw \punkt{0}{\y} -- \punkt{8}{\y};
+	}
+}
+
+\begin{scope}
+	\feld{0}{3}{red!20}{b_{0}}
+	\feld{0}{2}{red!20}{b_{1}}
+	\feld{0}{1}{red!20}{b_{2}}
+	\feld{0}{0}{red!20}{b_{3}}
+
+	\feld{1}{3}{red!10}{b_{4}}
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+
+	\feld{2}{3}{yellow!20}{b_{8}}
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+
+	\feld{3}{3}{yellow!10}{b_{12}}
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+
+	\feld{4}{3}{darkgreen!20}{b_{16}}
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+
+	\feld{5}{3}{darkgreen!10}{b_{20}}
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+	\feld{5}{1}{darkgreen!10}{b_{22}}
+	\feld{5}{0}{darkgreen!10}{b_{23}}
+
+	\feld{6}{3}{blue!20}{b_{24}}
+	\feld{6}{2}{blue!20}{b_{25}}
+	\feld{6}{1}{blue!20}{b_{26}}
+	\feld{6}{0}{blue!20}{b_{27}}
+
+	\feld{7}{3}{blue!10}{b_{28}}
+	\feld{7}{2}{blue!10}{b_{29}}
+	\feld{7}{1}{blue!10}{b_{30}}
+	\feld{7}{0}{blue!10}{b_{31}}
+
+	\gitter
+
+	\draw[->] \punkt{8.1}{2} -- \punkt{9.3}{2};
+\end{scope}
+
+
+\begin{scope}[xshift=7.5cm]
+
+	\feld{0}{3}{red!20}{b_{0}}
+	\feld{1}{2}{red!20}{b_{1}}
+	\feld{2}{1}{red!20}{b_{2}}
+	\feld{3}{0}{red!20}{b_{3}}
+
+	\feld{1}{3}{red!10}{b_{4}}
+	\feld{2}{2}{red!10}{b_{5}}
+	\feld{3}{1}{red!10}{b_{6}}
+	\feld{4}{0}{red!10}{b_{7}}
+
+	\feld{2}{3}{yellow!20}{b_{8}}
+	\feld{3}{2}{yellow!20}{b_{9}}
+	\feld{4}{1}{yellow!20}{b_{10}}
+	\feld{5}{0}{yellow!20}{b_{11}}
+
+	\feld{3}{3}{yellow!10}{b_{12}}
+	\feld{4}{2}{yellow!10}{b_{13}}
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+	\feld{4}{3}{darkgreen!20}{b_{16}}
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+
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+	\feld{2}{0}{blue!10}{b_{31}}
+
+	\gitter
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/uebungsaufgaben/9001.tex b/buch/chapters/90-crypto/uebungsaufgaben/9001.tex
index 5bf4558..7ed1e57 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/uebungsaufgaben/9001.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/uebungsaufgaben/9001.tex
@@ -6,7 +6,7 @@ Welchen gemeinsamen Schlüssel verwenden $A$ und $B$?
 
 \begin{loesung}
 Der zu verwendende gemeinsame Schlüssel ist
-$g^{ab}=(g^b)^a = y^a\in\mathbb{F}_2027$.
+$g^{ab}=(g^b)^a = y^a\in\mathbb{F}_{2027}$.
 Diese Potenz kann man mit dem Divide-and-Conquer-Algorithmus effizient
 berechnen.
 Die Binärdarstellung des privaten Schlüssels von $A$ ist
diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib
index 2eed953..a5d0201 100644
--- a/buch/chapters/references.bib
+++ b/buch/chapters/references.bib
@@ -21,6 +21,12 @@ abstract = "In this paper, we present Google, a prototype of a large-scale searc
 }
 
 
+@book{buch:mathsem-wavelets,
+	title = {Mathematisches Seminar Wavelets},
+	author = { Andreas M"uller and others },
+	year = {2019},
+}
+
 @book{buch:mathsem-dgl,
 	title = {Mathematisches Seminar Differentialgleichungen},
 	author = { Andreas M"uller and others },
@@ -123,3 +129,13 @@ abstract = "In this paper, we present Google, a prototype of a large-scale searc
 	year = 2021
 }
 
+@book{skript:landaulifschitz1,
+        author = {Landau, L. D. and Lifschitz, E. M.},
+        title = {Mechanik},
+        series = {Lehrbuch der theoretischen Physik},
+        volume = {1},
+        publisher = {Akademie-Verlag},
+        year = {1981},
+        language = {german},
+}
+
diff --git a/buch/common/teilnehmer.tex b/buch/common/teilnehmer.tex
index aeaddd5..4d57f84 100644
--- a/buch/common/teilnehmer.tex
+++ b/buch/common/teilnehmer.tex
@@ -7,21 +7,21 @@
 Joshua Baer,                      % E
 Marius Baumann,                   % E
 Reto Fritsche,                    % E
-Ahmet Güzel%,                      % E
+%Ahmet Güzel%,                      % E
+Alain Keller%,                     % E
 \\
-%Pascal Honegger,                  % I
-Alain Keller,                     % E
+Marc Kühne,			  % B
 Robine Luchsinger,                % B
-Jan Marbach%,                      % E
-\\
-Andrea Mozzin Vellen,             % E
 Naoki Pross,                      % E
-Michael Schmid%,                    % MSE
+Thomas Reichlin%,                  % B
 \\
+Michael Schmid,                    % MSE
 Pascal Andreas Schmid,            % B
-Thierry Schwaller,                % E
-Michael Steiner%,                  % E
+Adrian Schuler%,                   % B
 \\
+Thierry Schwaller,                % E
+Michael Steiner,                  % E
 Tim Tönz,                         % E
-Fabio Viecelli,                   % B
+Fabio Viecelli%,                   % B
+\\
 Lukas Zogg%,                       % B
diff --git a/buch/common/test-common.tex b/buch/common/test-common.tex
new file mode 100644
index 0000000..289e59c
--- /dev/null
+++ b/buch/common/test-common.tex
@@ -0,0 +1,73 @@
+%
+% test.tex -- Gemeinsamer Rahmen für Kurztests
+%
+% (c) 2021 Prof. Dr. Andreas Mueller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{geometry}
+\geometry{papersize={210mm,297mm},total={165mm,260mm}}
+\usepackage{ngerman}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsthm}
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+\usepackage{fancyhdr}
+\usepackage{textcomp}
+\usepackage[all]{xy}
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+\usepackage{alltt}
+\usepackage{verbatim}
+\usepackage{paralist}
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+\usepackage{array}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{caption}
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage{standalone}
+\usepackage{environ}
+\usepackage{tikz}
+\input{../common/linsys.tex}
+\newcounter{beispiel}
+\newenvironment{beispiele}{
+\bgroup\smallskip\parindent0pt\bf Beispiele\egroup
+
+\begin{list}{\arabic{beispiel}.}
+  {\usecounter{beispiel}
+  \setlength{\labelsep}{5mm}
+  \setlength{\rightmargin}{0pt}
+}}{\end{list}}
+\newcounter{uebungsaufgabe}
+% environment fuer uebungsaufgaben
+\newenvironment{uebungsaufgaben}{
+\begin{list}{\arabic{uebungsaufgabe}.}
+  {\usecounter{uebungsaufgabe}
+  \setlength{\labelwidth}{2cm}
+  \setlength{\leftmargin}{0pt}
+  \setlength{\labelsep}{5mm}
+  \setlength{\rightmargin}{0pt}
+  \setlength{\itemindent}{0pt}
+}}{\end{list}\vfill\pagebreak}
+\newenvironment{teilaufgaben}{
+\begin{enumerate}
+\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
+}{\end{enumerate}}
+% Loesung
+\NewEnviron{loesung}{%
+\begin{proof}[Lösung]%
+\renewcommand{\qedsymbol}{$\bigcirc$}
+\BODY
+\end{proof}}
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+\BODY
+}
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+\RenewEnviron{diskussion}{\relax}
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+\renewcommand{\qedsymbol}{}
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+
diff --git a/buch/common/test1.tex b/buch/common/test1.tex
new file mode 100644
index 0000000..1f5a155
--- /dev/null
+++ b/buch/common/test1.tex
@@ -0,0 +1,21 @@
+%
+% test1.tex -- Test 1
+%
+% (c) 2021 Prof. Dr. Andreas Mueller, OST
+%
+\input{common/test-common.tex}
+
+\begin{document}
+{\parindent0pt\hbox to\hsize{%
+Name: \hbox to7cm{\dotfill} Vorname: \dotfill}}
+\vspace{0.5cm}
+
+\section*{Kurztest 1}
+
+\begin{uebungsaufgaben}
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+\input{aufgaben1.tex}
+
+\end{uebungsaufgaben}
+
+\end{document}
diff --git a/buch/common/test2.tex b/buch/common/test2.tex
new file mode 100644
index 0000000..0980e44
--- /dev/null
+++ b/buch/common/test2.tex
@@ -0,0 +1,21 @@
+%
+% test2.tex -- Test 2
+%
+% (c) 2012 Prof. Dr. Andreas Mueller, OST
+%
+\input{common/test-common.tex}
+
+\begin{document}
+{\parindent0pt\hbox to\hsize{%
+Name: \hbox to7cm{\dotfill} Vorname: \dotfill}}
+\vspace{0.5cm}
+
+\section*{Kurztest 2}
+
+\begin{uebungsaufgaben}
+
+\input{aufgaben2.tex}
+
+\end{uebungsaufgaben}
+
+\end{document}
diff --git a/buch/common/test3.tex b/buch/common/test3.tex
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--- /dev/null
+++ b/buch/common/test3.tex
@@ -0,0 +1,21 @@
+%
+% test3.tex -- Test 3
+%
+% (c) 2021 Prof. Dr. Andreas Mueller, OST
+%
+\input{common/test-common.tex}
+
+\begin{document}
+{\parindent0pt\hbox to\hsize{%
+Name: \hbox to7cm{\dotfill} Vorname: \dotfill}}
+\vspace{0.5cm}
+
+\section*{Kurztest 3}
+
+\begin{uebungsaufgaben}
+
+\input{aufgaben3.tex}
+
+\end{uebungsaufgaben}
+
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex b/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex
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index 0000000..0db5617
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex
@@ -0,0 +1,2 @@
+TODO...
+GA [Geometric Algebra i.a.W. Clifford Algebra] provides a unified language for the whole of physics and for much of mathematics and its applications that is conceptually and computationally superior to alternative mathematical systems in many application domains.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
@@ -0,0 +1,61 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Quaternionen}
+\rhead{Quaternionen}
+Wie die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, sind die Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen für den 3 dimensionalen Raum. Sie haben, wie die komplexen Zahlen, eine dreh-streckende Eigenschaft.
+Sie finden beispielsweise in der Computergraphik und in der Robotik Anwendung.
+Die Quaternionen werden so definiert.
+\begin{align}
+	q = w + xi + yj + zk; \quad w,x,y,z \in \mathbb{R};\enspace q \in \mathbb{H}
+\end{align}
+Eine Drehstreckung wird dabei mit dieser Formel erreicht. 
+\begin{align} \label{QuatRot}
+	\begin{split} 
+		&v'' = qvq^{-1};\quad q,v,q^{-1} \in \mathbb{H}\\
+		&Re(q) = Re(q^{-1});\enspace Im(q) = -Im(q^-1)
+	\end{split}
+\end{align}
+Die Quaternionen besitzen im Gegensatz zu dem komplexen Zahlen 3 imaginäre Einheiten $i,j,k$. Wieso 3? Weil es in der dritten Dimension 3 Drehachsen gibt, anstatt nur eine. Nun haben wir ein kleines Problem. Wie sollen wir die Quaternionen darstellen? Wir bräuchten 4 Achsen für die 3 Imaginären Einheiten und die eine reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden eines Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst ineinander umgewandelt werden, um damit zu rechnen, wie man bei $v$ in der Formel (\ref{QuatRot}) sieht.
+
+\subsection{geometrischen Algebra}
+Die geometrische Algebra besitzt die Fähigkeit beide Probleme zu lösen. Die Quaternionen können, wie schon im 2 dimensionalen Fall durch die gerade Grade $\mathbb{G}_3^+ \cong \mathbb{H}$ dargestellt werden. Da wir uns jetzt aber in $\mathbb{G}_3$ befinden haben wir 3 Basisvektoren $e_1, e_2, e_3$ und können somit 3 Bivektoren bilden $e_{12}, e_{23}, e_{31}$.
+\begin{align}
+	\mathbf{q} = w + x\mathbf{e_{12}} + y\mathbf{e_{23}} + z\mathbf{e_{31}}; \quad w,x,y,z \in \mathbb{R};\enspace q \in \mathbb{G}_3^+
+\end{align}
+Die Probleme werden dadurch gelöst, da wir die Bivektoren im Raum nicht durch einzelne Achsen darstellen müssen, sondern sie als eine orientiere Fläche darstellen können. Anstatt die Vektoren in Quaternionen umzurechnen, können wir jetzt die Vektoren separat im gleichen Raum darstellen. 
+\\BILD VEKTOR, QUATERNION IN G3\\
+Wie schon im 2 dimensionalen Fall beschreibt ein Bivektor, um wie viel der um 90 grad gedrehte orginale Vektor gestreckt wird. Dabei dreht jeder Bivektor den Vektor um eine andere Achse.
+\\BILD?\\
+In der Computergraphik und Robotik macht eine Drehstreckung aber nicht viel Sinn. Wieso sollte ein Objekt bei einer Drehung zusätzlich noch grösser werden? Darum verwendet man sogenannte Einheitsquaternion, welche den Betrag $|q|=1$ haben. Sie rotieren die Objekte bzw. Vektoren lediglich.
+\begin{align}
+	\mathbf{q} = \cos(\alpha) + sin(\alpha)(x\mathbf{e_{12}} + y\mathbf{e_{23}} + z\mathbf{e_{31}})
+\end{align}
+wobei definiert ist, dass $x^2+y^2+z^2=1$. Somit beträgt der Betrag immer 1.
+\begin{align}
+	|q| = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2(x^2+y^2+z^2) } = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2} = 1
+\end{align}
+Man verwendet um einen Vektor zu drehen wieder die gleiche Formel, wie auch schon im 2 dimensionalen Fall.
+\begin{align} \label{QuatRot}
+	\begin{split} 
+		&v'' = qvq^{-1}\\
+		&Re(q) = Re(q^{-1});\enspace Im(q) = -Im(q^-1)
+	\end{split}
+\end{align}
+Es ist wichtig bei Quaternionen für eine reine Drehstreckung mit $q$ und $q^{-1}$ beidseitig zu multiplizieren, sonst werden die senkrechten Anteile zu den Bivektorebenen ebenfalls beeinflusst, wie man im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{RotAufPerpPar}) sehen kann
+
+\subsection{Gimbal-Lock und Interpolation}
+
+\subsection{Fazit}
+andere Darstellungsweise. Besser für Verständnis => komplexe Zahlen erscheinen ähnlicher zu Quaternionen? Eine Sprache für alle Geometrische Probleme
+
+
+\begin{tikzpicture}
+	\draw[thin,gray!40] (-3,-3) grid (3,3);
+	\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$x$};
+	\draw[<->] (0,-3)--(0,3) node[above]{$y$};
+	\draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(1,1) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{u}$};
+	\draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(-1,-1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{-u}$};
+\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex
new file mode 100644
index 0000000..88a5789
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex
@@ -0,0 +1,71 @@
+\section{Vektoroperationen\label{clifford:section:Vektoroperationen}}
+\rhead{Vektoroperationen}
+\subsection{Vektordarstellung\label{clifford:section:Vektordarstellung}}
+Vektoren können neben der üblichen Darstellung, auch als Linearkombination aus Basisvektoren dargestellt werden
+\begin{equation}
+    \begin{split}
+    \textbf{a} 
+    &=
+    \begin{pmatrix} 
+    a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n   
+    \end{pmatrix} 
+    =
+    a_1 \begin{pmatrix}
+    1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0  
+    \end{pmatrix} 
+    + 
+    a_2\begin{pmatrix} 
+    0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0  
+    \end{pmatrix} + \dots 
+    + 
+    a_n\begin{pmatrix}
+    0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1  
+    \end{pmatrix} \\\ 
+    &= 
+    a_1\textbf{e}_1 
+    +
+    a_2\textbf{e}_2
+    + 
+    \dots + a_n\textbf{e}_n
+    = 
+    \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i
+    \qquad
+    a_i \in \mathbb{R}
+    , \textbf{e}_i \in \mathbb{R}^n.
+    \end{split}
+\end{equation}
+Diese Basisvektoren sollen orthonormal sein und um die Darstellung zu vereinfachen werden sie durch $\textbf{e}_1 , \textbf{e}_2, ...$ ersetzt.
+\begin{beispiel}
+Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$
+    \begin{equation}
+        \begin{pmatrix} 
+        42 \\ 2 \\ 1291 \\ 4    
+        \end{pmatrix} 
+        = 
+        42 \begin{pmatrix}
+        1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 
+        \end{pmatrix} 
+        +
+        2 \begin{pmatrix} 
+        0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 
+        \end{pmatrix}
+        +
+        1291 
+        \begin{pmatrix} 
+        0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 
+        \end{pmatrix} 
+        +
+        4 \begin{pmatrix} 
+        0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 
+        \end{pmatrix} 
+        = 
+        42\textbf{e}_1
+        + 
+        2\textbf{e}_2
+        + 
+        1291\textbf{e}_3
+        + 
+        4\textbf{e}_4
+    \end{equation}
+\end{beispiel}
+Wobei Beispiel für einen vier dimensionalen Vektor ist, dies kann selbstverständlich für beliebig viele Dimensionen nach demselben Schema erweitert werden.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex
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index 0000000..cfb05d6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex
@@ -0,0 +1,110 @@
+\subsection{Quadrat von Vektoren}
+Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen, was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt mag anfänglich unintuitiv wirken. 
+Was soll es schon heissen zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren? 
+\newline
+Im Folgenden werden wir versuchen diese Operation ähnlich intuitiv darzustellen.
+\newline
+Um sinnvoll eine neue Operation zwischen zwei Elementen einer Algebra, in diesem Fall Vektoren, zu definieren, muss man überlegen, was das Ziel dieser Operation ist. 
+Als grundsätzliches Ziel wird definiert, dass das Quadrat eines Vektor dessen Länge im Quadrat ergibt, da dies auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik,zum Beispiel bei komplexen Zahlen, auch so definiert ist.  
+\newline 
+Zusätzlich wollen wir auch das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz für Skalare beibehalten. Wobei das Kommutativgesetz leider, oder wie man sehen wird zum Glück, in der geometrischen Algebra im generellen nicht mehr gilt. Das heisst wir dürfen ausklammern \ref{eq:assoziativ} und die Position von Skalaren im Produkt ändern \ref{eq:kommSkalar}, allerdings nicht die Position der Vektoren \ref{eq:kommVector}.
+\begin{equation}
+    \label{eq:assoziativ}
+    \textbf{e}_i(\textbf{e}_j + \textbf{e}_k) 
+    = 
+    \textbf{e}_i\textbf{e}_j + \textbf{e}_i\textbf{e}_k 
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    \label{eq:kommSkalar}
+    a\textbf{e}_ib\textbf{e}_j 
+    = 
+    ab\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    \label{eq:kommVector}
+    \textbf{e}_i\textbf{e}_j 
+    \neq 
+    \textbf{e}_j\textbf{e}_i
+\end{equation}
+Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors.
+\begin{align}
+    \textbf{a}^2 &= 
+    \left ( 
+    \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i 
+    \right ) 
+    \left ( 
+    \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i 
+    \right )
+    \label{eq:quad_a_1}
+    \\
+    &= 
+    \textcolor{red}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2\textbf{e}_i^2} 
+    + 
+    \textcolor{blue}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j } 
+    \label{eq:quad_a_2}
+    \\
+    &= \textcolor{cyan}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \textcolor{orange}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j}.
+    \label{eq:quad_a_3}
+\end{align}
+
+\begin{beispiel}
+Quadrat eines Vektors in $\mathbb{R}^2$
+\begin{equation}
+    \begin{split}
+    \textbf{a}^2 
+    &= (a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2)(a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2) \\\
+    &= \textcolor{red}{a_1^2\textbf{e}_1^2 + a_2^2\textbf{e}_2^2} 
+    + \textcolor{blue}{a_1\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2}   \\\
+    & = \textcolor{cyan}{a_1^2 + a_2^2} + \textcolor{orange}{a_1b\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2}
+    \end{split}
+\end{equation}
+
+\end{beispiel}
+Der Vektor wird in \ref{eq:quad_a_1} als Linearkombination geschrieben.
+Das Quadrat kann, wie in \ref{eq:quad_a_2} gezeigt, in zwei Summen aufteilen werden , wobei die roten Summe die quadrierten Terme und die blaue Summe die Mischterme beinhaltet. 
+\newline
+Da $\textbf{e}_i^2 = 1$ gilt, da zuvor vorausgesetzt wurde, dass man mit orthonormalen Einheitsvektoren arbeitet, wird dies nun eingesetzt ergibt sich \ref{eq:quad_a_3}
+\newline
+Die hellblaue Teil ist nun bereits Länge im Quadrat eines Vektors, also das Ziel der Multiplikation. 
+Daher muss der restliche Teil dieser Gleichung null ergeben. 
+Aus dieser Erkenntnis leiten wir in \ref{eq:Mischterme_Null} weitere Eigenschaften für die Multiplikation her.
+\begin{equation}
+    \label{eq:Mischterme_Null}
+    \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j  = \textcolor{blue}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots =  0
+\end{equation}
+Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_2$ gleich null gesetzt. Somit fallen alle Terme bis auf den blauen weg. Wird dies weiter vereinfacht ergibt sich
+\begin{equation}
+\begin{split}
+    a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1) &= 0 \\
+    a_1a_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 &= -a_1a_2\textbf{e}_2\textbf{e}_1 \\
+    \textbf{e}_1\textbf{e}_2 &= -\textbf{e}_2\textbf{e}_1.
+\end{split}
+\end{equation}
+\begin{satz}
+    Die Multiplikation von Vektoren ist antikommutativ, wenn die multiplizierten Vektoren orthogonal sind.
+    \begin{equation}
+        \textbf{e}_i\textbf{e}_j = -\textbf{e}_j\textbf{e}_i \qquad \textbf{e}_i \perp \textbf{e}_j
+    \end{equation}
+\end{satz}
+Dieses Wissen reicht nun bereits um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen, was in \ref{tab:multip_vec} gemacht wurde.
+\begin{table}
+\caption{Multiplikationstabelle für Vektoren}
+\label{tab:multip_vec}
+\begin{center}
+\begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c| } 
+ \hline
+  & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ & $\dots$ & $\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_{n}$ \\
+  \hline
+ $\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_1\textbf{e}_2$ & $\dots$ & $\textbf{e}_1\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_1\textbf{e}_{n}$ \\
+ \hline
+ $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_2$ & 1 & $\dots$ & $\textbf{e}_2\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_2\textbf{e}_{n}$ \\
+ \hline
+ $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\
+ \hline
+ $\textbf{e}_{n-1}$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_{n-1}$ & $-\textbf{e}_2\textbf{e}_{n-1}$  & $\dots$ & $1$ & $\textbf{e}_{n-1}\textbf{e}_{n}$ \\
+ \hline
+ $\textbf{e}_{n}$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_{n}$ & $-\textbf{e}_2\textbf{e}_{n}$  & $\dots$ & $-\textbf{e}_{n-1}\textbf{e}_{n}$ & 1 \\
+ \hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{table}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex
new file mode 100644
index 0000000..841dde4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex
@@ -0,0 +1,175 @@
+\subsection{Multiplikation von Vektoren}
+Was geschieht nun wenn zwei beliebige Vektoren,$u$ und $v$, miteinander multipliziert werden?
+\begin{equation}
+    \textbf{u} = 
+    \sum_{i=1}^{n} u_i \textbf{e}_i 
+    \qquad 
+    \textbf{v} = \sum_{i=1}^{n} v_i \textbf{e}_i
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    \begin{split}
+        \textbf{u}\textbf{v} 
+        =
+        \left ( 
+        \sum_{i=1}^{n} u_i \textbf{e}_i
+        \right ) 
+        \left ( 
+        \sum_{i=1}^{n} v_i \textbf{e}_i
+        \right) 
+        = 
+        \sum_{i=1}^n u_iv_i\underbrace{\textbf{e}_i^2}_{1} 
+        + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
+    \end{split}
+\end{equation}
+\begin{beispiel}
+    Multiplikation von Vektoren in $\mathbb{R}^2$
+\end{beispiel}
+\begin{equation}
+    \begin{split}
+        \textbf{u}\textbf{v} 
+        &= 
+        (u_1\textbf{e}_1 + u_2\textbf{e}_2)(v_1\textbf{e}_1 + v_2\textbf{e}_2) 
+        = 
+        u_1v_1\textbf{e}_1^2
+        + 
+        u_2v_2\textbf{e}_2^2 
+        + 
+        u_1v_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 
+        +  
+        u_2v_1\underbrace{\textbf{e}_2\textbf{e}_1}_{-\textbf{e}_1\textbf{e}_2}
+        \\\ 
+        &=  
+        \underbrace{(u_1v_1 + u_2v_2)}_{\text{Skalarprodukt}} 
+        + 
+        \underbrace{(u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2}_{\text{Äusseres Produkt}}
+    \end{split}
+\end{equation}
+Der linke Teil dieser Multiplikation ergibt das Skalarprodukt der zwei Vektoren, der rechte Term ergibt etwas neues das sich das äussere Produkt der zwei Vektoren nennt.
+\subsubsection{Äusseres Produkt}
+Das äussere Produkt von zwei Vektoren wird mit einem $\wedge$ dargestellt
+\begin{equation}
+    \textbf{u}\wedge \textbf{v} 
+    = 
+    \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
+\end{equation}
+\begin{beispiel}
+Äusseres Produkt von zwei Vektoren in $\mathbb{R}^3$
+\end{beispiel}
+\begin{equation}
+    \begin{split}
+        u \wedge v 
+        &= 
+        u_1v_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 
+        + 
+        u_1v_3\textbf{e}_1\textbf{e}_3 
+        + 
+        u_2v_2\textbf{e}_2\textbf{e}_3 
+        + 
+        u_2v_1\textbf{e}_2\textbf{e}_1 
+        + 
+        u_3v_1\textbf{e}_3\textbf{e}_1 
+        +
+        u_3v_2\textbf{e}_3\textbf{e}_2 \\\ 
+        &= 
+        (u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2 
+        + 
+        (u_1v_3 - v_3u_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_3 
+        + 
+        (u_2v_3 - u_3v_2)\textbf{e}_2\textbf{e}_3
+    \end{split}
+\end{equation}
+Im letzten Schritt des Beispiels wurden nun, mit Hilfe der antikommutativität des Produkts, die Vektorprodukte, welche die gleichen Einheitsvektoren beinhalten, zusammengefasst. Dieses Vorgehen kann man auch allgemein anwenden, wie in den Gleichungen \ref{eq:u_wedge_v}-\ref{eq:u_wedge_v_5} hergeleitet.
+\begin{align}
+        \textbf{u}\wedge \textbf{v}
+        &= 
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  
+        u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
+        \label{eq:u_wedge_v}
+        \\
+        \label{eq:u_wedge_v_1}
+        &= 
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
+        + 
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\j < i\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
+        \\
+        \label{eq:u_wedge_v_2}
+        &= 
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
+        + 
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_j\textbf{e}_i
+        \\
+        \label{eq:u_wedge_v_3}
+        &= 
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
+        - 
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+        \\
+        \label{eq:u_wedge_v_4}
+        &= 
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n (u_iv_j -u_jv_i)\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+        \\
+        \label{eq:u_wedge_v_5}
+        &= 
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n \begin{vmatrix} 
+        u_i & v_i \\
+        u_j & v_j
+    \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+\end{align}
+Die Summe aus \ref{eq:u_wedge_v_1} wird in \ref{eq:u_wedge_v} in zwei verschiedene Summen aufgeteilt. 
+Wobei die linke Summe jeweils den Basisvektor mit dem höheren Index an erster Stelle und die rechte Summe diesen jeweils an zweiter Stelle hat. 
+\newline
+Bei \ref{eq:u_wedge_v_2} werden die Indexe der zweiten Summe vertauscht, damit man nun bei beiden Teilen die gleiche Summe hat.
+Danach werden in \ref{eq:u_wedge_v_3}, mit Hilfe der Antikommutativität, die Einheitsvektoren der zweiten Summe vertauscht.
+\newline
+Nun können die Summen, wie in \ref{eq:u_wedge_v_4} wieder in eine Summe zusammengefasst werden.
+\newline
+Der Term in der Klammer in \ref{eq:u_wedge_v_4} kann auch als Determinante einer 2x2 Matrix dargestellt werden, was in \ref{eq:u_wedge_v_5} gemacht wird.
+\newline
+Die Determinante einer Matrix beschreibt welche von den Spaltenvektoren aufgespannt wird, wie in Abbildung \ref{figure:det} dargestellt.
+\begin{figure}
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+  \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4);
+  \draw[<->] (0,0)--(4,0) ;
+  \draw[<->] (0,0)--(0,4) ;
+  \draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2);
+  \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north
+  west]{$\boldsymbol{u}$};
+  \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
+  \draw[black] (2,1.5)--(-0.5,2.5) node[anchor = east]{$\begin{vmatrix} 
+        u_i & v_i \\
+        u_j & v_j
+    \end{vmatrix} = u_iv_j - v_iu_j$};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Geometrische Interpretation der Determinante einer 2x2 Matrix\label{figure:det}}
+\end{figure}
+\newline
+Das äussere Produkt besteht nun also aus der Summe 
+    $\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n$
+    von Flächen 
+    $\begin{vmatrix} 
+        u_i & v_i \\
+        u_j & v_j
+    \end{vmatrix}$, welche in $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ aufgespannt sind, wie man in \ref{eq:u_wedge_v_5} sieht. 
+Dieses Produkt $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ der Basisvektoren interpretiert man als Umlaufrichtung.
+Wobei die gebildete Fläche in Richtung des ersten Vektors umschritten wird. 
+Dies ist in \ref{figure:wedge} dargestellt, wobei bei diesem Beispiel die Umlaufrichtung im Gegenuhrzeigersinn ist, da die Fläche in Richtung u umschritten wird. 
+Diese Fläche mit einer Richtung nennt man in der geometrischen Algebra einen Bivektor, da er eine Art zwei dimensionaler Vektor ist. 
+\begin{figure}
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+  \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4);
+  \draw[<->] (0,0)--(4,0) node[right]{$x$};
+  \draw[<->] (0,0)--(0,4) node[above]{$y$};
+  \draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2);
+  \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north
+  west]{$\boldsymbol{u}$};
+  \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
+ \draw[->] (2.15,1.5) arc (0:310:0.3);
+  \draw[black] (2,1.5)--(-0.5,2.5) node[anchor = east]{$u\wedge v = \begin{vmatrix} 
+        u_i & v_i \\
+        u_j & v_j
+    \end{vmatrix} e_1e_2 = (u_iv_j - v_iu_j)\textbf{e}_1\textbf{e}_2$};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Geometrische Interpretation des äusseren Produkt in $\mathbb{R}^2$\label{figure:wedge}}
+\end{figure}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex
new file mode 100644
index 0000000..a19e983
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+\subsection{Geometrisches Produkt}
+Die Multiplikation von zwei Vektoren nennt man in der Clifford Algebra das geometrische Produkt, dieses können wir nun als Summe aus dem Skalar- und dem äusseren Produkt darstellen
+\begin{equation}
+    \textbf{u}\textbf{v} = \textbf{u}\cdot \textbf{v} + \textbf{u} \wedge \textbf{v}.
+\end{equation}
+Dieses Additionszeichen zwischen diesen zwei Produkten mag vielleicht ein wenig eigenartig wirken, da uns das Skalarprodukt ein Skalar und das äussere Produkt einen Bivektor zurück gibt. Was bedeutet es nun also diese beiden Elemente zu addieren?
+Man kann sich die Addition wie bei den komplexen Zahlen vorstellen, wobei die imaginäre Einheit auch nicht explizit zu dem reelen Teil addiert werden kann, sondern die zwei Teile zusammen ein Objekt, eine komplexe Zahl bilden. 
+Dieses Objekt, also die Summe von verschiedenen Elemente der Clifford Algebra, wird Multivektor genannt.
+\begin{definition}
+Ein Multivektor besteht aus den verschiedenen Bauteilen, wie zum Beispiel Vektoren, Bivektoren oder Trivektoren (Volumen mit einer Richtung), der Clifford Algebra.
+\begin{equation}
+    M = \sum \left ( \prod a_i\textbf{e}_j \right)
+\end{equation}
+\end{definition}
+Besteht eine Clifford Algebra aus n Basisvektoren so hat sie n Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $\mathbb{G}^n$ beschrieben. 
+\begin{beispiel}
+Allgemeiner Multivektor in $\mathbb{G}^3$
+\begin{equation}
+    M = a 
+    + 
+    \underbrace{b\textbf{e}_1 + c\textbf{e}_2 + d\textbf{e}_3}_{\text{Vektorteil}} 
+    +
+    \underbrace{f\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + g\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + h\textbf{e}_2\textbf{e}_3 }_{\text{Bivektorteil}} 
+    +   
+    \underbrace{k\textbf{e}_1\textbf{e}_2\textbf{e}_3}_{\text{Trivektorteil}}
+\end{equation}
+\end{beispiel}
+\begin{definition}
+Um das Produkt von Basisvektoren in Zukunft darzustellen wird folgende Notation definiert
+    \begin{equation}
+        e_ie_j = e_{ij}
+    \end{equation}
+\end{definition}
+Nun da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $\mathbb{G}^n$ erstellt werden. In \ref{tab:multip} ist dies für  $\mathbb{G}^3$ gemacht.
+\begin{table}
+    \caption{Multiplikationstabelle für $\mathbb{G^3}$}
+    \label{tab:multip}
+    \begin{center}
+    \begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c|c|c| } 
+     \hline
+     1 & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ &$\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$\\
+     \hline
+     $\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$\\
+     \hline
+     $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_{12}$ & 1 & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$\\
+     \hline
+     $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{23}$ & 1 & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_{12}$\\
+     \hline
+     $\textbf{e}_{12}$ & -$\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_1$& $\textbf{e}_{123}$ & -1 & $-\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{13}$ &  $-\textbf{e}_{3}$\\
+     \hline
+     $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{1}$ & $\textbf{e}_{23}$ & -1 & $-\textbf{e}_{12}$ &  $\textbf{e}_{2}$\\
+     \hline
+     $\textbf{e}_{23}$ &  $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & -1 & $-\textbf{e}_{1}$ \\
+     \hline
+     $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-\textbf{e}_{3}$& $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{1}$ & -1 \\
+     \hline
+    \end{tabular}
+    \end{center}
+\end{table}
diff --git a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
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index 0000000..80fb49f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
@@ -0,0 +1,29 @@
+\subsection{Polare Darstellung des geometrischen Produktes}
+Beide Teile des geometrischen Produktes lassen sich durch trigonometrische Terme beschreiben. Das Skalarprodukt kann als 
+\begin{equation}
+    \textbf{u}\cdot \textbf{v} = |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{\alpha}
+\end{equation}
+beschrieben werden. Wobei $\alpha$ den Winkel zwischen den beiden Vektoren beschreibt.
+\newline
+Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelogram und einer Umlaufrichtung beschrieben wird. Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus Term beschreiben
+\begin{equation}
+    \textbf{u} \wedge \textbf{v}
+    = 
+    \begin{vmatrix} 
+        u_i & v_i \\
+        u_j & v_j
+    \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j  
+    = 
+    \underbrace{|u||v|\sin{\alpha}}_{\text{Fläche}}\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+\end{equation}
+Wobei die Fläche des Parallelogram auf der von $\textbf{e}_i$ und $\textbf{e}_j$ aufgespannten Ebene liegen.\newline
+Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt vereinen
+\begin{equation}
+    \textbf{u}\textbf{v}
+    = 
+    |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{(\alpha)} 
+    + 
+    |\textbf{u}||\textbf{v}|\sin{(\alpha)} \textbf{e}_i\textbf{e}_j
+    = 
+    |\textbf{u}||\textbf{v}|(\cos{(\alpha)} + \sin{(\alpha)}\textbf{e}_i\textbf{e}_j)
+\end{equation}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex
new file mode 100644
index 0000000..6417bb3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex
@@ -0,0 +1,7 @@
+%
+% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
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+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Dirac-Matrizen}
+\rhead{Dirac-Matrizen}
diff --git a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
new file mode 100644
index 0000000..d4942e0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
@@ -0,0 +1,33 @@
+%
+% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Reflektion/ Spiegelung}
+\rhead{Reflektion/ Spiegelung}
+Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die Geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Reflektion auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. \\HIER BILD
+\subsection{linearen Algebra}
+Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Reflektion wie folgt beschreiben kann.
+\begin{align} \label{RefLinAlg}
+	\mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}}
+\end{align}
+Dabei stellt $\mathbf{u}$ die Spiegelachse dar.
+Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Reflektionen, mit weiteren Spiegelachsen, anzufügen. Man kann die Abbildung des Vektors auf den Reflektierten Vektor auch als Matrix schreiben, welche aus den Komponenten des zu der Spiegelachse orthonormalen Vektors $\mathbf{\hat{n}}$ besteht.
+\\MATRIZEN O(2) und O(3) zeigen\\
+Diese Matrizen gehören der Matrizengruppe $O(n)$ an....
+\subsection{geometrischen Algebra}
+Die Geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel (\ref{RefLinAlg}) eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen einfach erweitert werden kann.
+\begin{align}
+	\mathbf{v'} = \mathbf{uvu^{-1}}
+\end{align}
+wobei die Inverse eines Vektors so definiert ist, dass multipliziert mit sich selbst das neutrale Element 1 ergibt.
+\begin{align}
+	u^{-1} = \dfrac{u}{|u|^2} \Rightarrow uu^{-1} = 1
+\end{align}
+verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird somit die Formel reduziert zu einer beidseitigen Multiplikation von $\mathbf{\hat{u}}$.
+\begin{align}
+	\mathbf{v'} = \mathbf{\hat{u}v\hat{u}}
+\end{align}
+Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension durch andere Matrizen beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise.
+Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da keine Multiplikation von Vektoren definiert ist. 
+\\BEISPIEL?
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
new file mode 100644
index 0000000..c2928bf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
@@ -0,0 +1,100 @@
+%
+% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
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+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Rotation}
+\rhead{Rotation}
+Eine Rotation kann man aus zwei, aufeinanderfolgende Reflektionen bilden. Das war für mich zuerst eine verwirrende Aussage, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Reflektion schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Reflektion, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Reflektion invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt in 3D vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zwei mal invertiert wurde.
+\\BILD
+
+\subsection{linearen Algebra}
+In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $SO(n)$ beschrieben. Die SO(2) werden beispielsweise auf diese Weise gebildet.
+\begin{align}
+	D = 
+	\begin{pmatrix}
+		cos(\alpha) & sin(\alpha) \\
+		-sin(\alpha) & cos(\alpha) 
+	\end{pmatrix}
+\end{align}
+
+\subsection{geometrischen Algebra}
+Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Reflektionen gebildet werden kann, können wir die Rotation einfach herleiten.
+\begin{align} \label{rotGA}
+	v'' = wv'w^{-1} = w(uvu^{-1})w^{-1} 
+\end{align}
+Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese versuchen wir jetzt noch zu verbessern. Dazu leiten wir zuerst die bekannte Polarform her. (Anmerkung: Hier wird eine Rotation auf der $\mathbf{e_{12}}$ Ebene hergeleitet. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e_{ij}}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden)
+\begin{align}
+	\mathbf{w} = |w| \left[\cos(\theta_w) e_1 + \sin(\theta_w) e_2\right]
+\end{align}
+Dabei können wir ausnützen, dass $e_1^2 = 1$ ist. Was nichts ändert wenn wir es einfügen. Zudem klammern wir dann $e_1$ aus. 
+\begin{align}
+	\mathbf{w} = |w| \left[\cos(\theta_w) e_1 + \sin(\theta_w) e_1e_1e_2\right] 
+\end{align}
+\begin{align} \label{e1ausklammern}
+	\mathbf{w} = |w|e_1\left[\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) e_{12}\right]
+\end{align}
+Durch die Reihenentwicklung ist es uns jetzt möglich den Term in eckigen Klammern mit der e-Funktion zu schreiben.
+\begin{align}
+	\mathbf{w} = |w|\mathbf{e_1} e^{\theta_w \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Man kann es so interpretieren, dass der Einheitsvektor $e_1$ um die Länge w gestreckt und um $theta_w$ gedreht wird.
+Nun werden wir den Effekt von zwei aneinandergereihten Vektoren $(wu)$ betrachten.
+\begin{align}
+	\mathbf{wu} = |w|\mathbf{e_1} e^{\theta_w \mathbf{e_{12}}}||u||\mathbf{e_1} e^{\theta_u \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Um die beiden $\mathbf{e_1}$ zu kürzen, können wir die Reihenfolge des exponential Terms mit $\mathbf{e_1}$ wechseln, indem man bei der Gleichung (\ref{e1ausklammern}), anstatt mit $\mathbf{e_1e_1e_2}$ mit $\mathbf{e_2e_1e_1}$ erweitert. 
+\begin{align} 
+	\mathbf{w} = |w|\left[\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e_2e_1}\right]\mathbf{e_1}
+\end{align}
+Da $\mathbf{e_2e_1 = -e_{12}}$ können wir einfach den Winkel negieren.
+Jetzt können wir wieder $e_1e_1 = 1$ kürzen. Die Längen können als Skalare beliebig verschoben werden und die exponential Terme zusammengefasst werden.
+\begin{align}
+	\mathbf{wu} = |w||u|e^{-\theta_w \mathbf{e_{12}}}\mathbf{e_1}\mathbf{e_1} e^{\theta_u \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+\begin{align}
+	\mathbf{wu} = |w||u|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+der Term $\mathbf{u^{-1}w^{-1}}$ kann durch die selbe Methode zusammengefasst werden. 
+\begin{align}
+	\mathbf{u^{-1}w^{-1}} = \dfrac{1}{|w||u|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Dabei definieren wir den Winkel zwischen den Vektoren  $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$. Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung (\ref{rotGA}) ein.
+\begin{align}
+	\mathbf{v''} = |w||u|e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} v \dfrac{1}{|w||u|}e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+HIER DEFINITION/IST WICHTIGE FORMEL
+\begin{align}
+	\mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} v e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei Teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e_{12}}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht.
+\begin{align} \label{RotAufPerpPar}
+	\mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+\begin{align}
+	\mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} \mathbf{v_\perp} e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} \mathbf{v_\parallel} e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass die Reihenfolge so vertauscht werden kann. Der Winkel wird dabei beim parallelen Term negiert.
+\begin{align}
+	\mathbf{v''} = \mathbf{v_\perp} e^{-\theta \mathbf{e_{12}}}  e^{\theta \mathbf{e_{12}}} +  \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\theta) \mathbf{e_{12}}} e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+\begin{align}
+	\mathbf{v''} = \mathbf{v_\perp} +  \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Man kann an dieser Gleichung sehen, dass nur der parallele Anteil des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e_{12}}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. 
+\\BEISPIEL
+\begin{align}
+	\begin{split}
+		&\mathbf{v} = 1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2}; \quad \mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e_3}\\ &\mathbf{wu} = 1e^{(-\pi/2) \mathbf{e_{12}}} = 1[\cos(-\pi/2)\mathbf{e_1}+\sin(-\pi/2)\mathbf{e_2}] = -\mathbf{e_2}; \\ &\mathbf{u^{-1}w^{-1}} = 1e^{(\pi/2) \mathbf{e_{12}}} = \mathbf{e_2}
+	\end{split}
+\end{align}
+\begin{align}
+	\begin{split}
+		\mathbf{v''} = &\mathbf{(wu)v(u^{-1}w^{-1})} \\ 
+		&-\mathbf{e_2} (1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}) \mathbf{e_2} \\
+		& -1\mathbf{e_2e_1e_2} - 2\mathbf{e_2e_2e_2} - 3\mathbf{e_2e_3e_2} \\
+		& 1\mathbf{e_2e_2e_1} - 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_2e_2e_3} \\
+		& 1\mathbf{e_1} - 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}
+	\end{split}
+\end{align}
+Man sieht, dass sich der Vektor $\mathbf{v_\parallel}$ sich um $2\cdot90^\circ$ gedreht hat und der Vektor $\mathbf{v_\perp}$ unverändert blieb.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
new file mode 100644
index 0000000..4dbab2c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
@@ -0,0 +1,28 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{komplexe Zahlen}
+\rhead{komplexe Zahlen}
+Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Rotationen und Schwingungen gut beschreiben können. Nachdem vorherigen Kapitel überrascht es wahrscheinlich nicht viele, dass es möglich ist Komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der 2 Dimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $\mathbb{G}_2^+ \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl kann durch ein Skalar (Grade 0) und einem Bivektor (Grade 2) dargestellt werden. Als Abkürzung nehme ich die Bezeichnung $g_n \in  \mathbb{G}_2^+$.
+\begin{align}
+	a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 e_{12} = g_n;\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R}
+\end{align}
+oder in Polarform.
+\begin{align}
+	|r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta e_{12}} = g_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R}
+\end{align}
+Man beachte, dass wenn wir, wie bei den komplexen Zahlen, Elemente von $\mathbb{G}_2^+$ miteinander Multiplizieren, ist es nicht, wie im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{rotGA})beschrieben, eine Multiplikation von zwei $g_n$ mit einem Vektor. Im 2 dimensionalen bewirken beide Multiplikationen grundsätzlich das Gleiche (eine Drehstreckung), aber die Multiplikation von mehreren $g_n$ ist kommutativ, wie wir es von den komplexen zahlen kennen.
+\begin{align}
+	\begin{split}
+		&(a + b \mathbf{e_{12}})(c + d \mathbf{e_{12}}) = (c + d \mathbf{e_{12}})(a + b \mathbf{e_{12}})\\
+		&(a + b \mathbf{e_{12}})(x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2})(c + d \mathbf{e_{12}}) \not= (a + b \mathbf{e_{12}})(c + d \mathbf{e_{12}})(x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2})
+	\end{split}
+\end{align}
+Um später die Auswirkung der Quaternionen besser zu verstehen, möchte ich kurz darauf eingehen, was ein $g_n$ für eine Auswirkung auf einen Vektor hat.
+Wir kennen diesen Effekt schon von den komplexen Zahlen. Wenn eine komplexe Zahl $c_1=a+bj$ mit einer zweiten $c_2=c+dj$ multipliziert wird, dann kann man diese so aufteilen.
+\begin{align}
+	c = (a + bj)(c + dj) = c\cdot(a+bj) + dj\cdot(a+bj)
+\end{align}
+Wobei $c\cdot(a+bj)$ die jetzige komplexe Zahl $c_1$ um den Faktor $c$ steckt und $dj\cdot(a+bj)$ die um 90° im gegenuhrzeigersinn gedrehte Zahl $c_1$ um den Faktor $d$ streckt. Diese Anteile addiert ergeben, dann den um $c_2$ drehgestreckten Vektor $c_1$. Die wirklichen Vorteile der geometrischen Algebra werden sich aber erst bei den Quaternionen zeigen.
diff --git a/buch/papers/clifford/Makefile.inc b/buch/papers/clifford/Makefile.inc
index 7b941b3..8cdd02e 100644
--- a/buch/papers/clifford/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/clifford/Makefile.inc
@@ -3,12 +3,18 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-dependencies-clifford =						\
+dependencies-clifford =							\
 	papers/clifford/packages.tex					\
 	papers/clifford/main.tex					\
-	papers/clifford/references.bib				\
-	papers/clifford/teil0.tex					\
-	papers/clifford/teil1.tex					\
-	papers/clifford/teil2.tex					\
-	papers/clifford/teil3.tex
-
+	papers/clifford/references.bib					\
+	papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex				\
+	papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex				\
+	papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex				\
+	papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex			\
+	papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex			\
+	papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex				\
+	papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex				\
+	papers/clifford/7_Reflektion.tex				\
+	papers/clifford/8_Rotation.tex					\
+	papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex				\
+	papers/clifford/10_Quaternionen.tex
diff --git a/buch/papers/clifford/main.tex b/buch/papers/clifford/main.tex
index 5533c55..46d04bd 100644
--- a/buch/papers/clifford/main.tex
+++ b/buch/papers/clifford/main.tex
@@ -3,34 +3,23 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:clifford}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Clifford Algebra\label{chapter:clifford}}
+\lhead{Clifford Algebra}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Thierry Schwaller, Marius Baumann}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
 
-\input{papers/clifford/teil0.tex}
-\input{papers/clifford/teil1.tex}
-\input{papers/clifford/teil2.tex}
-\input{papers/clifford/teil3.tex}
+\input{papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex}
+\input{papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex}
+\input{papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex}
+\input{papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex}
+\input{papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex}
+\input{papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex}
+\input{papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex}
+\input{papers/clifford/7_Reflektion.tex}
+\input{papers/clifford/8_Rotation.tex}
+\input{papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex}
+\input{papers/clifford/10_Quaternionen.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/clifford/packages.tex b/buch/papers/clifford/packages.tex
index 8abcef1..8fb4bd9 100644
--- a/buch/papers/clifford/packages.tex
+++ b/buch/papers/clifford/packages.tex
@@ -7,4 +7,3 @@
 % if your paper needs special packages, add package commands as in the
 % following example
 %\usepackage{packagename}
-
diff --git a/buch/papers/clifford/papers/clifford/teil0.tex b/buch/papers/clifford/papers/clifford/teil0.tex
new file mode 100644
index 0000000..e69de29
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/papers/clifford/teil0.tex
diff --git a/buch/papers/clifford/teil0.tex b/buch/papers/clifford/teil0.tex
deleted file mode 100644
index ac943f4..0000000
--- a/buch/papers/clifford/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{clifford:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{clifford:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/clifford/teil1.tex b/buch/papers/clifford/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 0674afb..0000000
--- a/buch/papers/clifford/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{clifford:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{clifford:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{clifford:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{clifford:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{clifford:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/clifford/teil2.tex b/buch/papers/clifford/teil2.tex
deleted file mode 100644
index bbcefb0..0000000
--- a/buch/papers/clifford/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2 
-\label{clifford:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{clifford:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/clifford/teil3.tex b/buch/papers/clifford/teil3.tex
deleted file mode 100644
index f50d42d..0000000
--- a/buch/papers/clifford/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{clifford:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{clifford:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg b/buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg
new file mode 100644
index 0000000..d25381e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg
diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..bee3bc0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf
diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex
new file mode 100644
index 0000000..44319c3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex
@@ -0,0 +1,39 @@
+\documentclass{standalone}
+ 
+\usepackage{pgfplots}
+ 
+\pgfplotsset{compat = newest}
+ 
+\begin{document}
+
+
+\begin{tikzpicture}
+
+
+\begin{axis}[
+    xmin = -1, xmax = 4,
+    ymin = -0.5, ymax = 2.50,
+    axis lines = center,
+    xlabel = $\sigma$,
+    ylabel = {$\mu$},
+]
+
+\addplot [
+    domain=-2:5, 
+    samples=200, 
+    color=orange,
+]
+{(1/(2*pi*0.2^2)^0.2)*exp(-(x-2)^2/(2*0.2^2))};
+
+\addplot [
+    domain=-2:5, 
+    samples=200, 
+    color=blue,
+    ]
+    {1/(2*pi*0.5^2)^0.5)*exp(-(x-0.9)^2/(2*0.5^2))};
+
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..e86a403
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf
diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex
new file mode 100644
index 0000000..85455ef
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex
@@ -0,0 +1,47 @@
+\documentclass{standalone}
+ 
+\usepackage{pgfplots}
+ 
+\pgfplotsset{compat = newest}
+ 
+\begin{document}
+
+
+\begin{tikzpicture}
+
+
+\begin{axis}[
+    xmin = -1, xmax = 4,
+    ymin = -0.5, ymax = 2.50,
+    axis lines = center,
+    xlabel = $\sigma$,
+    ylabel = {$\mu$},
+]
+
+\addplot [
+    domain=-2:5, 
+    samples=200, 
+    color=orange,
+]
+{(1/(2*pi*0.2^2)^0.2)*exp(-(x-2)^2/(2*0.2^2))};
+
+\addplot [
+    domain=-2:5, 
+    samples=200, 
+    color=blue,
+    ]
+    {1/(2*pi*0.5^2)^0.5)*exp(-(x-0.9)^2/(2*0.5^2))};
+    
+\addplot [
+    domain=-2:5, 
+    samples=200, 
+    color=red,
+    ]
+    {((1/(2*pi*0.5^2)^0.5)*exp(-(x-0.9)^2/(2*0.5^2))*(1/(2*pi*0.2^2)^0.2)*exp(-(x-2)^2/(2*0.2^2)))/0.1};
+
+
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
index a89f303..0d21f84 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
+++ b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
@@ -3,16 +3,240 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 1
-\label{erdbeben:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
+%
+% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+
+
+
+\section{Kalman Filter}
+\subsection{Geschichte}
+Das Kalman Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. Der Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand errechnen. Typische Anwendungen des Kalman-Filters sind die Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern und kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor.
+
+\subsection{Wahrscheinlichkeit}
+Das Kalman Filter versucht nichts anderes, als ein geeigneter Wert zwischen zwei Normalverteilungen zu schätzen. Die eine Kurve zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normal- Gauss-Verteilung. Die andere Kurve zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normal-Verteilung. Wie man in am Beispiel dieser zwei Gauss-Verteilungen sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand nicht am selben Punkt. 
+
+
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf}
+ \caption{System}
+ \end{center}
+\end{figure}
+
+
+
+Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen, wird nun ein Wert zwischen den beiden Verteilungen gesucht. An diesem Punkt wird nun eine Eigenschaft ausgenutzt. Durch das Multiplizieren zweier Normalverteilungen entsteht eine neue Normalverteilung. 
+
+Wir haben eine Normalverteilung der Vorhersage:
+\begin{equation}
+{y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}}
+\end{equation} 
+und für die Messung:
+
+\begin{equation}
+{y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}.
+\end{equation} 
+
+Diesen werden nun Multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu Normieren:
+\begin{equation}
+{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}*{y_2}\,}
+\end{equation} 
+
+Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. Sie ist also Gewichtet und die best mögliche Schätzung. 
+
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf}
+ \caption{System}
+ \end{center}
+\end{figure}
+
+ 
+Was in 2 Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. Dieses Prinzip mach sich der Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt. 
+
+\subsection{Anwendungsgrenzen}
+Nicht lineare Systeme %Noch nicht Fertig
+
+
+\section{Aufbau}
+Um ein Erdbeben kenntlich zumachen werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet. 
+Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, bleibt die gekoppelte Masse in der regel stehen und das Gehäuse schwingt mit.Relativbewegung des Bodens kann damit als Längenänderung im Zeitverlauf gemessen werden. In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. 
+Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein mechanisch funktioniert. Zudem kann er nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. Würde das System ausgebaut werden, um alle Horizontalbewegungen aufzunehmen, würde der Verwendung des Kalman-Filters zu kompliziert werden. Für zwei Dimensionen (x,y) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein lineares Kalman-Filter implementiert werden. Da das Kalman-Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine Zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei denen die System-Matrix (A) durch die Jacobi-Matrix des System ersetzt wird.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Apperatur}
+ \caption{System}
+ \end{center}
+\end{figure}
+
+
+\subsection{Optionen}
+Wollte man einen 2D Seismographen aufbauen, ohne den Pythagroas zu verwenden, kann dies mit der Annahme, das die Feder sehr lang sind erfolgen. Da sich bei langen Federn die Auslenkungen verkleiner...!!Noch nicht fertig!
+
+\section{Systemgleichung}
+Da das Kalman-Filter zum Schätzen des nächsten Zustand verwendet wird, wird eine Gleichung, welche das System beschreibt. Das Kalman-Filter benötigt eine Beschreibung der Systemdynamik. Im Fall unseres Seismographen, kann die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. Diese lautet:
+\begin{equation}
+m\ddot x + 2k \dot x + Dx = f
+\end{equation}
+mit den Konstanten $m$ = Masse, $k$ = Dämpfungskonstante und $D$  = Federkonstante.
+Um diese nun in die Systemmatrix umzuwandeln, wird aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung durch eine Substitution eine DGL erster Ordnung:
+
+
+\begin{equation}
+{x_1}=x, \qquad
+{x_2}=\dot x,  \qquad
+{x_3}=\ddot x\qquad \mid \quad \text {Substitution}
+\end{equation}
+
+
+\begin{equation}
+m{x_3}+ 2k{x_2} + D{x_1} = f\qquad \mid \quad \text {DGL 1. Ordnung}
+\end{equation} 
+
+\begin{equation}
+{x_3}=-\frac{D}{m} {x_1} -\frac{2k}{m} {x_2} + \frac{f} {m}  \qquad \mid \quad \text {nach}  \quad{x_3} 
+\end{equation} 
+auch als Matrix-Vektor-Gleichung schreiben.
+Hierbei beschreibt die Matrix $A$ die gesamte Systemdynamik in der Form, wie sie ein Kalman-Filter benötigt.
+
+Um die lineare Differentialgleichung in das Kalman-Filter zu implementieren, muss dieses als Vektor-Gleichung umgewandelt werden. Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und äussere Beschleunigung des ganzen System. Dabei muss unterschieden werden. um welche Beschleunigung es sich handelt. Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse bzw. Feder (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbeben Anregung gleich kommt. 
+
+
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2}  \end{array}\right) = \left(
+ \begin{array}{ccc} 	
+0 & 1& 0 \\ 
+- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
+\end{array}\right)  \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \\ {x_3} \end{array}\right).
+\end{equation}
+
+Durch die Rücksubstituion ergibt sich:
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} x(t) \\ v(t) \end{array}\right) = \left(
+ \begin{array}{ccc} 	
+0 & 1& 0 \\ 
+- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
+\end{array}\right)  \left(\begin{array}{c} x(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right).
+\end{equation}
+
+
+Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile später mit Nullen bestückt, denn genau diese Werte wollen wir. 
+
+\section{Kalman Filter}
+Um den Kalman Filter zu starten, müssen gewisse Bedingungen definiert werden. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter/Matrizen erläutert und Erklärt, wofür sie nützlich sind. 
+
+
+\subsection{Anfangsbedingungen}
+\subsubsection*{Anfangszustand $x$}
+Das Filter benötigt eine Anfangsbedingung. In unserem Fall ist es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. Zudem erföhrt die Apparatur keine äussere Kraft.
+
+\begin{equation}
+{x_0 }= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)
+\end{equation} 
+
+\subsubsection*{Anfangsfehler / Kovarianzmatrix $P$}
+Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für den Filter einen Anfangsfehler eingeführt. Auf der Diagonalen werden die Varianzen eingesetzt, in den restlichen Felder stehen die Kovarianzen.
+In unserem Fall ist der Anfangszustand gut bekannt. Wir gehen davon aus, dass das System in Ruhe und in Abwesenheit eines Erdbeben startet, somit kann die Matrix mit Nullen bestückt werden. Somit ergibt sich für die Kovarianzmatrix
+
+\begin{equation}
+{P_0 }=
+\left(
+\begin{array}{ccc} 	
+0 & 0 &0 \\ 
+0 &0 & 0 \\ 
+0 & 0 &0 \\
+\end{array}
+\right).
+\end{equation}
+Diese Matrix beschreibt die Unsicherheit des geschätzten Zustandes und wird sowohl für die Vorhersage als auch die Korrektur benötigt. Sie wird nach jeder Schätzung aktualisiert.. Für einen gut bekannten Zustandsvektor können kleine Werte eingesetzt werden, für ungenaue Anfangsbedingungen sollten grosse Werte (1 Million) verwendet werden. Grosse Werte ermöglichen dem Filter sich schnell einzupendeln. 
+
+
+\subsubsection*{Dynamikmatrix $A$}
+Die Dynamikmatrix bildet den Kern des Filters. Diese wurde weiter oben Bereits beschrieben. Dabei wollen wird die äussere Kraft des Systems ermitteln.
+Da nichts über die äussere Kraft bekannt ist, müssen wir annehmen das deren Ableitung 0 ist.
+Die System Vektor-Gleichung lautet daher:
+
+
+\begin{equation}
+A = \left(
+ \begin{array}{ccc} 	
+0 & 1& 0 \\
+- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
+0 & 0& 0\\ 
+\end{array}\right)  
+\end{equation} 
+
+\subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix $Q$}
+Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie sich der Systemzustand verändert. Kalman-Filter berücksichtigen Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen. Bei unserem Modell könnte das beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein. Für uns wäre dies:
+\begin{equation}
+Q = \left(
+ \begin{array}{ccc} 	
+{\sigma_x }^2& 0& 0 \\ 
+0 & {\sigma_v }^2& 0\\ 
+0 & 0& {\sigma_f }^2\\
+\end{array}\right)  
+\end{equation} 
+
+Die Standabweichungen müssten Statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt, und die Messung. 
+
+\subsubsection*{Messmatrix $H$}
+Die Messmatrix gibt an, welcher Parameter gemessen werden soll. In unserem Fall ist es nur die Position der Massen. 
+
+\[ H = (1, 0, 0) \]
+
+
+\subsubsection*{Messrauschkovarianz $R$}
+Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Positionssensoren. In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben ist dies lediglich:
+\begin{equation}
+R= ({\sigma_x}^2).
+\end{equation} 
+Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. Für unsere Theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt.
+
+\subsection{Fiter Algorithmus}
+Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird der Filter initialisiert und wird den Zustand der Feder vorherzusagen, die Messung zu präzisieren und laufend zu aktualisieren. Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt.
+
+
+\subsubsection*{Vorhersage}
+Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. Dies funktioniert ganz Trivial mit dem Rechenschritt:
+\begin{equation}
+{x_{t+1}}=A\cdot{x_t}.
+\end{equation} 
+
+
+Die Kovarianz $P_{pred}$ wird ebenfalls neu berechnet, da die Unsicherheit im Vorhersage grösser wird als im Aktuellen. Da wir ein mehrdimensionales System haben, kommt noch die Messunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ immer grösser wird. Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix, deren Ableitung und mit dem aktualisierten Anfangsfehler. Dazu wird noch die Messunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung
+
+\begin{equation}
+{P_{pred}}=APA^T+Q.
+\end{equation}
+
+wird dieser Vorgang wiederholt, schaut der Filter wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser. Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung.
+
+\subsubsection*{Messen}
+Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für den Filter. Die aktuellen Messwerte $z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet.
+Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ 
+\begin{equation}
+w=Z-(H\cdot x)
+\end{equation}
+Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. 
+Innovation = Messung - Vorhersage. Dies ist Intuitiv logisch, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte.
+
+Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. 
+
+\subsubsection*{Korrigieren}
+Udpdate
+\section{Anfügen der Schwingung}
+
+Ein Erdbeben breitet sich im Boden wellenartig aus und bringt Objekte, wie zum Beispiel ein Gebäude, in Schwingung.
+Diese Schwingungen pflanzen sich im Gebäude mit gleicher Amplitude, Geschwindigkeit und Beschleunigung in horizontaler und vertikaler Bewegung fort.
+Wir möchten herauszufinden, wie gross die Massenbeschleunigung infolge eines Erdbeben ist.
+Mit Hilfe von fiktiven Sensoren, die eine Ortsveränderung des Gebäude messen, können wir mit Anwendung von Matrizen und dem Kalman-Filter die Beschleunigung berechnen.
+
 \begin{equation}
 \int_a^b x^2\, dx
 =
@@ -21,35 +245,20 @@ voluptatem sequi nesciunt
 \frac{b^3-a^3}3.
 \label{erdbeben:equation1}
 \end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
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-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{erdbeben:subsection:finibus}}
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-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
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-\ref{erdbeben:section:loesung}.
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-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{erdbeben:section:folgerung}.
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-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
+
+\section{Erreger-Schwingung}
+Wir möchten mit einer gedämpften harmonischen Schwingung ein einfaches Erdbeben simulieren, die im Kalman Filter eingespeist wird.
+Die Gleichung lautet
+
+\begin{equation}
+x(t)=Ae^{t/2}sin(t).
+\end{equation}
+
+Mit dieser Schwingung können wir ein einachsiger Seismograph simulieren, der eine Ortsverschiebung auf der x-Achse durchführt.
+Die Dämpfung der Schwingung ist relevant, da das System beim Schwingungsvorgang durch die Federkonstante und der Reibung, Energie verliert.
+
+Die Ergebnisse dieser Schwingung setzen wir in die Messmatrix ein und können den Kalman-Filter starten.
+
+
 
 
diff --git a/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py b/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py
new file mode 100644
index 0000000..bac3b42
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py
@@ -0,0 +1,327 @@
+#!/usr/bin/env python3
+# -*- coding: utf-8 -*-
+"""
+Created on Sun Apr 18 08:58:30 2021
+
+@author: terminator
+"""
+import numpy as np
+from numpy.polynomial import Polynomial as Poly
+
+
+def gen_perm_M(n):
+    '''
+    generating random binary permutation matrix: https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_matrix 
+
+    Parameters
+    ----------
+    n : int
+        size of output matrix.
+
+    Returns
+    -------
+    perm_M : np.ndarray
+        binary permutation matrix.
+
+    '''
+    perm_M=np.zeros((n, n), dtype=int)
+    perm_V=np.random.default_rng().permutation(n)
+    perm_M[perm_V, np.r_[0:n]]=1
+    return perm_M
+
+
+
+def create_linear_code_matrix(n, k, g):
+    '''
+    create generator matrix for linear encoding
+    use this matrix to create code_vector: matrix @ data_vector=code_vector
+
+    Parameters
+    ----------
+    n : int
+        len of code_vector (matrix @ data_vector).
+    k : int
+        len of data_vector.
+    g : numpy.Polynominal
+        polynomina wich defines the the constellations of .
+
+    Returns
+    -------
+    np.ndarray
+        Generator matrix
+
+    '''
+    if n != k+len(g)-1:
+        raise Exception("n, k not compatible with degree of g")
+    rows=[]
+    for i in range(k): #create potences of p
+        row=np.r_[np.zeros(i), g.coef, np.zeros(n-k-i)]
+        rows.append(row)
+    return np.array(rows, dtype=int).T
+
+
+def gf2_inv(M, get_full=False):
+    '''
+    create inverse of matrix M in gf2
+
+    Parameters
+    ----------
+    M : numpy.ndarray
+        input Matrix.
+    get_full : Bool, optional
+        if Ture, return inverse of G with I on the left (if gaussian inversion successful) If True, vaidity is not proven. The default is False.
+
+    Returns
+    -------
+    np.ndarray or None
+        returns inverse if M was not singular in gf2, else None.
+
+    '''
+    size=len(M)
+    G=np.hstack((M, np.eye(size)))
+    G=np.array(G, dtype=int)
+    for n in range(size): #forward reduction
+        if G[n, n] == 0:    #swap line if necessary
+            for i in range(n+1, size):
+                if G[i, n]:
+                    G[i, :], G[n, :] = G[n, :].copy(), G[i, :].copy()   #swap
+            
+        for i in range(n+1, size): #downward reduction
+            if G[i, n]:
+                G[i, :] = G[i, :] ^ G[n, :]
+    #reached buttom_right with pivo 
+    for n in range(size-1, -1, -1):  #backwards
+        for i in range(n):
+            if G[i, n]:
+                G[i, :]= G[i, :] ^ G[n, :]
+                
+
+                    
+    if get_full:
+        return G
+    else:
+        valid=np.sum(np.abs(G[:, :size]-np.eye(size))) == 0  #reduction successfull when eye left on the left of G        
+        if not valid:
+            return None
+        else:
+            return G[:, size:]
+
+def create_rand_bin_M(n, with_inverse=False):
+    '''
+    create random binary matrix
+
+    Parameters
+    ----------
+    n : int
+        size.
+    with_inverse : bool, optional
+        if False, return only random binary matrix.
+        if True, return also inverse of random martix. for this purpose, random matrix will not be singular.
+        The default is False.
+
+    Returns
+    -------
+    M : TYPE
+        if with_inverse is True: return tuple(random_matrix, inverse_of_random_matrix)
+        else: return random_matrix
+
+    '''
+    inv=None
+    while type(inv) == type(None):  #do it until inversion of m is successful wich means det(M)%2 != 0
+        M=np.random.randint(0,2, (n,n))
+        inv=gf2_inv(M)
+    if with_inverse:
+        return(M, inv)
+    else:
+        return M
+    
+def create_syndrome_table(n, g):
+    '''
+    create syndrome table for correcting errors in linear code
+
+    Parameters
+    ----------
+    n : int
+        len of linear-code code_vector.
+    g : numpy.Polinominal
+        generator polynominal used by linear-code-encoder.
+
+    Returns
+    -------
+    list of error_vectors, one per syndrome. 
+        get the corresponding error_vector by using the value represented by your syndrome as index of this list.
+
+    '''
+    zeros=np.zeros(n, dtype=int)
+    syndrome_table=[0 for i in range(n+1)]
+    syndrome_table[0]=zeros #when syndrome = 0, no bit-error to correct
+    for i in range(n):
+        faulty_vector=zeros.copy()
+        faulty_vector[i]=1
+        q, r=divmod(Poly(faulty_vector), g)
+        r=np.r_[r.coef%2, np.zeros(len(g)-len(r))]
+        index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)])
+        syndrome_table[index]=faulty_vector
+    return np.array(syndrome_table)
+        
+    
+def decode_linear_code(c, g, syndrome_table):
+    '''
+    function to decode codeword encoded with linear_code
+
+    Parameters
+    ----------
+    c : list or np.ndarray
+        code_vector.
+    g : numpy.Polynominal
+        generator polynominal, used to create code_vector.
+    syndrome_table : list of error_vectors
+        if codeword contains an error, syndrome_table is used to correct wrong bit.
+
+    Returns
+    -------
+    numpy.ndarray
+        data_vector.
+
+    '''
+    q, r=divmod(Poly(c), g)
+    q=np.r_[q.coef%2, np.zeros(len(c)-len(q)-len(g)+1)]
+    r=np.r_[r.coef%2, np.zeros(len(g)-len(r))]
+    syndrome_index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)])
+    while syndrome_index > 0:
+        c=c ^ syndrome_table[syndrome_index]
+        q, r=divmod(Poly(c), g)
+        q=np.r_[q.coef%2, np.zeros(len(c)-len(q)-len(g)+1)]
+        r=np.r_[r.coef%2, np.zeros(len(g)-len(r))]
+        syndrome_index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)])
+    return np.array(q, dtype=int)
+    
+def encode_linear_code(d, G):
+    '''
+    uses generator matrix G to encode d
+
+    Parameters
+    ----------
+    d : numpy.ndarray
+        data_vector.
+    G : numpy.ndarray
+        generator matrix.
+
+    Returns
+    -------
+    c : numpy.ndarray
+        G @ d.
+
+    '''
+    c=(G @ d)%2
+    return c
+
+def encrypt(d, pub_key, t):
+    '''
+    encrypt data with public key, adding t bit-errors
+
+    Parameters
+    ----------
+    d : numpy.ndarray or list of numpy.ndarray
+        data_vector or list of data vectors to encrypt.
+    pub_key : numpy.ndarray
+        public key matrix used to encrypt data.
+    t : int
+        number of random errors to add to code_vector.
+
+    Returns
+    -------
+    numpy.ndarray or list of numpy.ndarray (depending on d)
+        encrypted data.
+
+    '''
+    if type(d) in (list,):
+        encrypted_list=[encrypt(data, pub_key, t) for data in d]
+        return encrypted_list
+    else:
+        c = np.array((pub_key @ d)%2, dtype=int)
+        
+        indexes_of_errors=np.random.default_rng().permutation(pub_key.shape[0])[:t] #add t random errors to codeword
+        e=np.zeros(pub_key.shape[0], dtype=int)
+        e[indexes_of_errors]=1
+        c=c ^ e
+        return np.array(c, dtype=int)
+
+def decrypt(c, P_inv, linear_code_decoder, S_inv):
+    '''
+    decrypt encrypted message
+
+    Parameters
+    ----------
+    c : numpy.ndarray or list of numpy.ndarray
+        code_vector or list of code_vectors to decrypt.
+    P_inv : numpy.ndarray
+        inverted permutation matrix.
+    linear_code_decoder : function(x)
+        function to use to decode linear code.
+    S_inv : numpy.ndarray
+        inverted random binary matrix.
+
+    Returns
+    -------
+    numpy.ndarray or list of numpy.ndarray (depending on d)
+        decrypted data.
+
+    '''
+    if type(c) in (list,):
+        decrypted_list=[decrypt(codew, P_inv, linear_code_decoder, S_inv) for codew in c]
+        return decrypted_list
+    else:
+        c=np.array(P_inv @ c, dtype=int)%2
+        d=linear_code_decoder(c)
+        d=(S_inv @ d)%2
+        return np.array(d, dtype=int)
+
+def str_to_blocks4(string):
+    blocks=[]
+    for char in string:
+        bits=[int(value) for value in np.binary_repr(ord(char), 8)[::-1]] #lsb @ index 0
+        blocks.append(np.array(bits[:4], dtype=int)) #lower nibble first
+        blocks.append(np.array(bits[4:], dtype=int))
+    return blocks
+
+def blocks4_to_str(blocks):
+    string=''
+    for i in range(0, len(blocks), 2):
+        char=np.sum([b*2**i for i, b in enumerate(blocks[i])]) + \
+            np.sum([b*2**(i+4) for i, b in enumerate(blocks[i+1])])
+        string+=chr(char)
+    return string
+
+if __name__ == '__main__':
+
+    #shared attributes:
+    n=7
+    k=4
+    t=1
+    
+    #private key(s):
+    g=Poly([1,1,0,1])  #generator polynom for 7/4 linear code (from table, 1.0 + 1.0·x¹ + 0.0·x² + 1.0·x³)
+    P_M=gen_perm_M(n)    #create permutation matrix
+    G_M=create_linear_code_matrix(n, k, g)  #linear code generator matrix
+    S_M, S_inv=create_rand_bin_M(k, True) #random binary matrix and its inverse
+    P_M_inv=P_M.T #inverse permutation matrix
+    
+    syndrome_table=create_syndrome_table(n, g) #part of linear-code decoder
+    linear_code_decoder=lambda c:decode_linear_code(c, g, syndrome_table)
+    
+    #public key:
+    pub_key=(P_M @ G_M @ S_M)%2
+    
+    
+    msg_tx='Hello World?'
+    
+    blocks_tx=str_to_blocks4(msg_tx)
+    encrypted=encrypt(blocks_tx, pub_key, t)
+    
+    blocks_rx=decrypt(encrypted, P_M_inv, linear_code_decoder, S_inv)
+    msg_rx=blocks4_to_str(blocks_rx)
+    
+    print(f'msg_rx: {msg_rx}')
+        
+        
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
index 7c6e70d..b6a76c1 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
@@ -3,12 +3,12 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-dependencies-punktgruppen =						\
-	papers/punktgruppen/packages.tex					\
-	papers/punktgruppen/main.tex					\
-	papers/punktgruppen/references.bib				\
-	papers/punktgruppen/teil0.tex					\
-	papers/punktgruppen/teil1.tex					\
-	papers/punktgruppen/teil2.tex					\
-	papers/punktgruppen/teil3.tex
+dependencies-punktgruppen =	\
+	papers/punktgruppen/packages.tex \
+	papers/punktgruppen/main.tex \
+	papers/punktgruppen/intro.tex \
+	papers/punktgruppen/symmetry.tex \
+	papers/punktgruppen/crystals.tex \
+	papers/punktgruppen/piezo.tex \
+	papers/punktgruppen/references.bib
 
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
new file mode 100644
index 0000000..6de2bca
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -0,0 +1,16 @@
+\section{Kristalle}
+Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können. 
+Wir werden uns aber nicht auf sein Äusseres fokussieren, sondern was ihn im Inneren ausmacht.
+Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
+\begin{definition}[Kristall]
+    Ein Kristall besteht aus Atomen, welche sich in einem Muster arrangieren, welches sich in drei Dimensionen periodisch wiederholt.
+\end{definition}
+
+
+Ein Zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattce-grid}.
+Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Muster eines einzelnen XgrauenX Punktes gewählt in nur Zwei Dimensionen.
+Die eingezeichneten Vektoren a und b sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
+Dadurch können von einem einzelnen XGrauenX Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattce-grid} können mit einer ganzzahligen Linearkombination von a und b alle anderen Gitterpunkte des Kristalles erreicht werden.
+Ein Kristallgitter kann eindeutig mit a und b und deren winkeln beschrieben werden weswegen a und b auch Gitterparameter genannt werden.
+Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor also FRMEL FÜR TRANSLATIONSVEKTOR  erreicht werden.
+Da sich das Ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch die Eigenschaften eines Gitterpunktes Periodisch mit eiem
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex
new file mode 100644
index 0000000..10dea79
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex
@@ -0,0 +1,10 @@
+\section{Einleitung}
+Es gibt viele möglichkeiten sich in Kristallen zu verlieren.
+Auch wen man nur die Mathematischen möglichkeiten in betracht zieht, hat man noch viel zu viele Möglichkeiten sich mit kristallen zu beschäftigen.
+In diesem Articel ist daher der Fokus "nur" auf die Symmetrie gelegt.
+Im Abschitt über Symmetrien werden wir sehen, wie eine Symmetrie eines Objektes weit 
+2.ter versuch:
+Die Kristallographie ist ein grosses Thema, Symmetrien auch. 
+Für beide bestehen schon bewährte Mathematische Modelle und Definitionen.
+Die
+
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/main.tex b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
index fc91913..d88e221 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/main.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
@@ -3,34 +3,19 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:punktgruppen}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Crystal M\rotatebox[origin=c]{180}{a}th\label{chapter:punktgruppen}}
+\lhead{Crystal M\rotatebox[origin=c]{180}{a}th}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Tim T\"onz, Naoki Pross}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+\input{papers/punktgruppen/intro}
+\input{papers/punktgruppen/symmetry}
+\input{papers/punktgruppen/crystals}
+\input{papers/punktgruppen/piezo}
 
-\input{papers/punktgruppen/teil0.tex}
-\input{papers/punktgruppen/teil1.tex}
-\input{papers/punktgruppen/teil2.tex}
-\input{papers/punktgruppen/teil3.tex}
+\nocite{punktgruppen:pinter-algebra}
+\nocite{punktgruppen:sands-crystal}
+\nocite{punktgruppen:lang-elt2}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/packages.tex b/buch/papers/punktgruppen/packages.tex
index 971bcfe..a6efdbf 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/packages.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/packages.tex
@@ -4,7 +4,4 @@
 % (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-% if your paper needs special packages, add package commands as in the
-% following example
-%\usepackage{packagename}
-
+\usepackage{dsfont}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
new file mode 100644
index 0000000..7ee4174
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -0,0 +1 @@
+\section{Piezoelektrizit\"at}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/references.bib b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
index aa7eb14..9edb8bd 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/references.bib
+++ b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
@@ -4,32 +4,32 @@
 % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
 %
 
-@online{punktgruppen:bibtex,
-	title = {BibTeX},
-	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
-	date = {2020-02-06},
-	year = {2020},
-	month = {2},
-	day = {6}
+@book{punktgruppen:pinter-algebra,
+	title = {A Book of Abstract Algebra},
+	author = {Charles C. Pinter},
+	publisher = {Dover Publications Inc.; 2. Edition},
+	year = {2010},
+	month = {1},
+	day = {10},
+	isbn = {978-0-486-47417-5},
+	inseries = {Dover Books on Mathematics},
 }
 
-@book{punktgruppen:numerical-analysis,
-	title = {Numerical Analysis},
-	author = {David Kincaid and Ward Cheney},
-	publisher = {American Mathematical Society},
-	year = {2002},
-	isbn = {978-8-8218-4788-6},
-	inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
-	volume = {2}
+@book{punktgruppen:sands-crystal,
+	title = {Introduction to Crystallography},
+	author = {Donald E. Sands},
+	publisher = {Dover Publications Inc.},
+	year = {1993},
+	isbn = {978-0-486-67839-9},
+	inseries = {Dover Books on Science},
 }
 
-@article{punktgruppen:mendezmueller,
-        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
-        title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
-        journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
-        year = 2019,
-        volume = 47,
-        pages = {607--627},
-        url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
+@book{punktgruppen:lang-elt2,
+	title = {Elektrotechnik 2},
+	author = {Hans-Dieter Lang},
+	publisher = {Fachhochschule Ostschweiz Rapperswil},
+	year = {2020},
+	month = {2},
+	inseries = {Vorlesungsskript zum Modul ELT},
 }
 
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
new file mode 100644
index 0000000..db05ff5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -0,0 +1,182 @@
+\section{Symmetrie}
+Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
+ursprünglichen griechischen Wort
+\(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
+\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
+verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
+locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
+präzise Bedeutung.
+\begin{definition}[Symmetrie]
+	Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer
+	bestimmten Operation invariant ist.
+\end{definition}
+
+Wenn der Leser noch nicht mit der Gruppentheorie in Berührung gekommen ist, ist
+vielleicht nicht ganz klar, was eine Operation ist, aber die Definition sollte
+trotzdem Sinn machen. Die Formalisierung dieser Idee wird bald kommen, aber
+zunächst wollen wir eine Intuition aufbauen.
+
+\begin{figure}[h]
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}[
+			node distance = 2cm,
+			shapetheme/.style = {
+				very thick, draw = black, fill = magenta!20!white,
+				minimum size = 2cm,
+			},
+			line/.style = {thick, draw = darkgray},
+			axis/.style = {line, dashed},
+			dot/.style = {
+				circle, draw = darkgray, fill = darkgray,
+				minimum size = 1mm, inner sep = 0, outer sep = 0,
+			},
+		]
+
+		\node[
+			shapetheme,
+			rectangle
+		] (R) {};
+		\node[dot] at (R) {};
+		\draw[axis] (R) ++(-1.5, 0) to ++(3, 0) node[right] {\(\sigma\)};
+
+		\node[
+			shapetheme,
+			regular polygon,
+			regular polygon sides = 5,
+			right = of R,
+		] (Ps) {};
+		\node[dot] (P) at (Ps) {};
+		\draw[line, dotted] (P) to ++(18:1.5);
+		\draw[line, dotted] (P) to ++(90:1.5);
+		\draw[line, ->] (P) ++(18:1.2) 
+			arc (18:90:1.2) node[midway, above right] {\(r, 72^\circ\)};
+
+		\node[
+			shapetheme,
+			circle, right = of P
+		] (Cs) {};
+		\node[dot] (C) at (Cs) {};
+		\draw[line, dotted] (C) to ++(1.5,0);
+		\draw[line, dotted] (C) to ++(60:1.5);
+		\draw[line, ->] (C) ++(1.2,0)
+			arc (0:60:1.2) node[midway, above right] {\(r, \alpha\)};
+
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{
+		Beispiele für geometrisch symmetrische Formen.
+		\label{fig:punktgruppen:geometry-example}
+	}
+\end{figure}
+
+Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
+einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
+ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.  In Abbildung
+\ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die
+offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat ein Quadrat viele Achsen, um
+die es gedreht werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.  Regelmässige
+Polygone mit \(n\) Seiten sind gute Beispiele, um eine diskrete
+Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
+einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) sie unverändert lässt.
+Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
+Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für
+\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.  Dies ist
+hoffentlich ausreichend, um die Bedeutung hinter der Notation zu verstehen, die
+nun eingeführt wird.
+
+\begin{definition}[Symmetriegruppe]
+	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
+	Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\)
+	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
+	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+\end{definition}
+
+Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir
+\(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe
+\[
+	C_n = \langle r \rangle
+		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+		= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},
+\]
+die Zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
+Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).  Die
+Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
+Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer
+Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet werden.  Die
+Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
+\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
+der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
+\[
+	D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
+		= \left\{
+				\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
+		\right\}.
+\]
+Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden
+Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
+letzte empfehlen wir, sie an einem 2D-Quadrat auszuprobieren.
+
+Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
+möglich ist, eine nicht kommutative Algebra zu erstellen. Die naheliegende
+Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
+Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
+\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus]
+	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
+	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
+	Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
+	eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
+	\(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man sagt, dass der Homomorphismus
+	\(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass \(H\) eine Darstellung von
+	\(G\) ist.
+\end{definition}
+\begin{beispiel}
+	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
+	Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar. Die mit der Matrix 
+	\[
+		\Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
+			\cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
+			\sin(2\pi k/n) &  \cos(2\pi k/n)
+		\end{pmatrix}
+	\]
+	definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
+	\(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
+	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
+	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+\end{beispiel}
+\begin{beispiel}
+	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
+	Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
+	komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
+	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
+\end{beispiel}
+
+Die Symmetrien, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens
+einen Punkt unbesetzt gelassen. Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei
+der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine
+Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt
+verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die
+unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda =
+\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\), \(\vec{v}\in E_\lambda \implies \Phi \vec{v}
+= \lambda\vec{v}\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation gehören.
+Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
+Punktsymmetrie.
+\begin{definition}[Punktgruppe]
+	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
+	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
+	Punktgruppe ist.
+\end{definition}
+Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
+eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
+nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
+Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
+hat, wenn es die Gleichung 
+\[
+	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
+\]
+für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
+Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
+zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
+dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
+
+% \subsection{Sch\"onflies notation} 
+
+% vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de:
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/teil0.tex b/buch/papers/punktgruppen/teil0.tex
deleted file mode 100644
index 5a8278e..0000000
--- a/buch/papers/punktgruppen/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{punktgruppen:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{punktgruppen:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/teil1.tex b/buch/papers/punktgruppen/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 228af33..0000000
--- a/buch/papers/punktgruppen/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{punktgruppen:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{punktgruppen:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{punktgruppen:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{punktgruppen:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{punktgruppen:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/teil2.tex b/buch/papers/punktgruppen/teil2.tex
deleted file mode 100644
index b48e785..0000000
--- a/buch/papers/punktgruppen/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2 
-\label{punktgruppen:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{punktgruppen:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/teil3.tex b/buch/papers/punktgruppen/teil3.tex
deleted file mode 100644
index 94abd74..0000000
--- a/buch/papers/punktgruppen/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{punktgruppen:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{punktgruppen:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/.gitignor b/buch/papers/reedsolomon/.gitignor
new file mode 100644
index 0000000..52a02ac
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/.gitignor
@@ -0,0 +1,24 @@
+RS.aux
+RS.bbl
+RS.bib
+RS.blg
+RS.idx
+RS.ilg
+RS.ind
+RS.log
+RS.out
+RS.pdf
+RS.run.xml
+RS.toc
+*.aux
+*.lof
+*.log
+*.lot
+*.fls
+*.out
+*.toc
+*.fmt
+*.fot
+*.cb
+*.cb2
+.*.lb
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/README.txt b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/README.txt
new file mode 100644
index 0000000..4d0620f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/README.txt
@@ -0,0 +1 @@
+Dies ist die Presentation des Reed-Solomon-Code
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.aux b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.aux
new file mode 100644
index 0000000..065ba66
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.aux
@@ -0,0 +1,146 @@
+\relax 
+\providecommand\hyper@newdestlabel[2]{}
+\providecommand\HyperFirstAtBeginDocument{\AtBeginDocument}
+\HyperFirstAtBeginDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
+\global\let\oldcontentsline\contentsline
+\gdef\contentsline#1#2#3#4{\oldcontentsline{#1}{#2}{#3}}
+\global\let\oldnewlabel\newlabel
+\gdef\newlabel#1#2{\newlabelxx{#1}#2}
+\gdef\newlabelxx#1#2#3#4#5#6{\oldnewlabel{#1}{{#2}{#3}}}
+\AtEndDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
+\let\contentsline\oldcontentsline
+\let\newlabel\oldnewlabel
+\fi}
+\fi}
+\global\let\hyper@last\relax 
+\gdef\HyperFirstAtBeginDocument#1{#1}
+\providecommand*\HyPL@Entry[1]{}
+\bbl@beforestart
+\catcode `"\active 
+\HyPL@Entry{0<</P(1)>>}
+\babel@aux{ngerman}{}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{1}{1/1}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {1}{1}}}
+\HyPL@Entry{1<</P(2)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {1}{Einführung}{2}{0}{1}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {1}{1}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {1}{1}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {1}{Einführung}{2}{Einführung}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {1}{0}{1}{2/4}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {2}{4}}}
+\HyPL@Entry{4<</P(3)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {2}{Polynom Ansatz}{5}{0}{2}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {2}{4}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {2}{4}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {2}{Polynom Ansatz}{5}{Polynom Ansatz}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {2}{0}{1}{5/5}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {5}{5}}}
+\HyPL@Entry{5<</P(4)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {2}{0}{2}{6/8}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {6}{8}}}
+\HyPL@Entry{8<</P(5)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {2}{0}{3}{9/12}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {9}{12}}}
+\HyPL@Entry{12<</P(6)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {3}{Diskrete Fourier Transformation}{13}{0}{3}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {5}{12}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {5}{12}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {3}{Diskrete Fourier Transformation}{13}{Diskrete Fourier Transformation}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{1}{13/13}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {13}{13}}}
+\HyPL@Entry{13<</P(7)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{2}{14/20}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {14}{20}}}
+\HyPL@Entry{20<</P(8)>>}
+\@writefile{snm}{\beamer@slide {ft_discrete}{21}}
+\newlabel{ft_discrete}{{8}{21}{Diskrete Fourier Transformation}{Doc-Start}{}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{3}{21/23}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {21}{23}}}
+\HyPL@Entry{23<</P(9)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{4}{24/24}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {24}{24}}}
+\HyPL@Entry{24<</P(10)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{5}{25/26}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {25}{26}}}
+\HyPL@Entry{26<</P(11)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {4}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{27}{0}{4}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {13}{26}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {13}{26}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {4}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{27}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{1}{27/27}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {27}{27}}}
+\HyPL@Entry{27<</P(12)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{2}{28/28}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {28}{28}}}
+\HyPL@Entry{28<</P(13)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {5}{Codierung eines Beispiels}{29}{0}{5}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {27}{28}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {27}{28}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {5}{Codierung eines Beispiels}{29}{Codierung eines Beispiels}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {5}{0}{1}{29/29}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {29}{29}}}
+\HyPL@Entry{29<</P(14)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {5}{0}{2}{30/30}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {30}{30}}}
+\HyPL@Entry{30<</P(15)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {6}{Decodierung ohne Fehler}{31}{0}{6}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {29}{30}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {29}{30}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {6}{Decodierung ohne Fehler}{31}{Decodierung ohne Fehler}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {6}{0}{1}{31/31}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {31}{31}}}
+\HyPL@Entry{31<</P(16)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {6}{0}{2}{32/34}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {32}{34}}}
+\HyPL@Entry{34<</P(17)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {6}{0}{3}{35/35}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {35}{35}}}
+\HyPL@Entry{35<</P(18)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {7}{Decodierung mit Fehler}{36}{0}{7}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {31}{35}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {31}{35}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {7}{Decodierung mit Fehler}{36}{Decodierung mit Fehler}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{1}{36/36}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {36}{36}}}
+\HyPL@Entry{36<</P(19)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{2}{37/37}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {37}{37}}}
+\HyPL@Entry{37<</P(20)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{3}{38/38}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {38}{38}}}
+\HyPL@Entry{38<</P(21)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{4}{39/39}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {39}{39}}}
+\HyPL@Entry{39<</P(22)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{5}{40/40}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {40}{40}}}
+\HyPL@Entry{40<</P(23)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {7}{0}{6}{41/42}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {41}{42}}}
+\HyPL@Entry{42<</P(24)>>}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {8}{Nachricht Rekonstruieren}{43}{0}{8}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {36}{42}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {36}{42}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {8}{Nachricht Rekonstruieren}{43}{Nachricht Rekonstruieren}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{1}{43/46}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {43}{46}}}
+\HyPL@Entry{46<</P(25)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{2}{47/49}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {47}{49}}}
+\HyPL@Entry{49<</P(26)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{3}{50/51}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {50}{51}}}
+\HyPL@Entry{51<</P(27)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{4}{52/52}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {52}{52}}}
+\HyPL@Entry{52<</P(28)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{5}{53/53}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {53}{53}}}
+\HyPL@Entry{53<</P(29)>>}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {8}{0}{6}{54/54}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {54}{54}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@partpages {1}{54}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {43}{54}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {43}{54}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@documentpages {54}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\gdef \inserttotalframenumber {29}}}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.log b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.log
new file mode 100644
index 0000000..6042adc
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.log
@@ -0,0 +1,1252 @@
+This is XeTeX, Version 3.14159265-2.6-0.999991 (TeX Live 2019/W32TeX) (preloaded format=xelatex 2019.10.25)  23 APR 2021 10:48
+entering extended mode
+ restricted \write18 enabled.
+ %&-line parsing enabled.
+**RS.tex
+(./RS.tex
+LaTeX2e <2019-10-01> patch level 1
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamer.cls
+Document Class: beamer 2019/09/29 v3.57 A class for typesetting presentations
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasemodes.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+Package: etoolbox 2019/09/21 v2.5h e-TeX tools for LaTeX (JAW)
+\etb@tempcnta=\count80
+)
+\beamer@tempbox=\box27
+\beamer@tempcount=\count81
+\c@beamerpauses=\count82
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasedecode.sty
+\beamer@slideinframe=\count83
+\beamer@minimum=\count84
+\beamer@decode@box=\box28
+)
+\beamer@commentbox=\box29
+\beamer@modecount=\count85
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifpdf.sty
+Package: ifpdf 2018/09/07 v3.3 Provides the ifpdf switch
+)
+\headdp=\dimen102
+\footheight=\dimen103
+\sidebarheight=\dimen104
+\beamer@tempdim=\dimen105
+\beamer@finalheight=\dimen106
+\beamer@animht=\dimen107
+\beamer@animdp=\dimen108
+\beamer@animwd=\dimen109
+\beamer@leftmargin=\dimen110
+\beamer@rightmargin=\dimen111
+\beamer@leftsidebar=\dimen112
+\beamer@rightsidebar=\dimen113
+\beamer@boxsize=\dimen114
+\beamer@vboxoffset=\dimen115
+\beamer@descdefault=\dimen116
+\beamer@descriptionwidth=\dimen117
+\beamer@lastskip=\skip41
+\beamer@areabox=\box30
+\beamer@animcurrent=\box31
+\beamer@animshowbox=\box32
+\beamer@sectionbox=\box33
+\beamer@logobox=\box34
+\beamer@linebox=\box35
+\beamer@sectioncount=\count86
+\beamer@subsubsectionmax=\count87
+\beamer@subsectionmax=\count88
+\beamer@sectionmax=\count89
+\beamer@totalheads=\count90
+\beamer@headcounter=\count91
+\beamer@partstartpage=\count92
+\beamer@sectionstartpage=\count93
+\beamer@subsectionstartpage=\count94
+\beamer@animationtempa=\count95
+\beamer@animationtempb=\count96
+\beamer@xpos=\count97
+\beamer@ypos=\count98
+\beamer@ypos@offset=\count99
+\beamer@showpartnumber=\count100
+\beamer@currentsubsection=\count101
+\beamer@coveringdepth=\count102
+\beamer@sectionadjust=\count103
+\beamer@tocsectionnumber=\count104
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseoptions.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 2014/10/28 v1.15 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks14
+))
+\beamer@paperwidth=\skip42
+\beamer@paperheight=\skip43
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+Package: geometry 2018/04/16 v5.8 Page Geometry
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifvtex.sty
+Package: ifvtex 2016/05/16 v1.6 Detect VTeX and its facilities (HO)
+Package ifvtex Info: VTeX not detected.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty
+Package: ifxetex 2010/09/12 v0.6 Provides ifxetex conditional
+)
+\Gm@cnth=\count105
+\Gm@cntv=\count106
+\c@Gm@tempcnt=\count107
+\Gm@bindingoffset=\dimen118
+\Gm@wd@mp=\dimen119
+\Gm@odd@mp=\dimen120
+\Gm@even@mp=\dimen121
+\Gm@layoutwidth=\dimen122
+\Gm@layoutheight=\dimen123
+\Gm@layouthoffset=\dimen124
+\Gm@layoutvoffset=\dimen125
+\Gm@dimlist=\toks15
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/size11.clo
+File: size11.clo 2019/08/27 v1.4j Standard LaTeX file (size option)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 2017/06/01 v1.1a Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2019/10/08 v1.3c Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration
+)
+Package graphics Info: Driver file: xetex.def on input line 105.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/xetex.def
+File: xetex.def 2017/06/24 v5.0h Graphics/color driver for xetex
+))
+\Gin@req@height=\dimen126
+\Gin@req@width=\dimen127
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex
+\pgfutil@everybye=\toks16
+\pgfutil@tempdima=\dimen128
+\pgfutil@tempdimb=\dimen129
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def
+\pgfutil@abb=\box36
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/ms/everyshi.sty
+Package: everyshi 2001/05/15 v3.00 EveryShipout Package (MS)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex)
+Package: pgfrcs 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
+Package: pgfsys 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
+\pgfkeys@pathtoks=\toks17
+\pgfkeys@temptoks=\toks18
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex
+\pgfkeys@tmptoks=\toks19
+))
+\pgf@x=\dimen130
+\pgf@y=\dimen131
+\pgf@xa=\dimen132
+\pgf@ya=\dimen133
+\pgf@xb=\dimen134
+\pgf@yb=\dimen135
+\pgf@xc=\dimen136
+\pgf@yc=\dimen137
+\pgf@xd=\dimen138
+\pgf@yd=\dimen139
+\w@pgf@writea=\write3
+\r@pgf@reada=\read1
+\c@pgf@counta=\count108
+\c@pgf@countb=\count109
+\c@pgf@countc=\count110
+\c@pgf@countd=\count111
+\t@pgf@toka=\toks20
+\t@pgf@tokb=\toks21
+\t@pgf@tokc=\toks22
+\pgf@sys@id@count=\count112
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg
+File: pgf.cfg 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+Driver file for pgf: pgfsys-xetex.def
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-xetex.def
+File: pgfsys-xetex.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-dvipdfmx.def
+File: pgfsys-dvipdfmx.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def
+File: pgfsys-common-pdf.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+\pgfsys@objnum=\count113
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
+File: pgfsyssoftpath.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfsyssoftpath@smallbuffer@items=\count114
+\pgfsyssoftpath@bigbuffer@items=\count115
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
+File: pgfsysprotocol.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+Package: xcolor 2016/05/11 v2.12 LaTeX color extensions (UK)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
+File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration
+)
+Package xcolor Info: Driver file: xetex.def on input line 225.
+Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1348.
+Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1364.
+Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1366.
+Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1367.
+Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1368.
+Package xcolor Info: Model `HSB' substituted by `hsb' on input line 1369.
+Package xcolor Info: Model `Gray' substituted by `gray' on input line 1370.
+Package xcolor Info: Model `wave' substituted by `hsb' on input line 1371.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
+Package: pgfcore 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex
+\pgfmath@dimen=\dimen140
+\pgfmath@count=\count116
+\pgfmath@box=\box37
+\pgfmath@toks=\toks23
+\pgfmath@stack@operand=\toks24
+\pgfmath@stack@operation=\toks25
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric
+.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.t
+ex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.co
+de.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithm
+etics.code.tex)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex
+\c@pgfmathroundto@lastzeros=\count117
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex
+File: pgfcorepoints.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@picminx=\dimen141
+\pgf@picmaxx=\dimen142
+\pgf@picminy=\dimen143
+\pgf@picmaxy=\dimen144
+\pgf@pathminx=\dimen145
+\pgf@pathmaxx=\dimen146
+\pgf@pathminy=\dimen147
+\pgf@pathmaxy=\dimen148
+\pgf@xx=\dimen149
+\pgf@xy=\dimen150
+\pgf@yx=\dimen151
+\pgf@yy=\dimen152
+\pgf@zx=\dimen153
+\pgf@zy=\dimen154
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.cod
+e.tex
+File: pgfcorepathconstruct.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@path@lastx=\dimen155
+\pgf@path@lasty=\dimen156
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.te
+x
+File: pgfcorepathusage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@shorten@end@additional=\dimen157
+\pgf@shorten@start@additional=\dimen158
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex
+File: pgfcorescopes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfpic=\box38
+\pgf@hbox=\box39
+\pgf@layerbox@main=\box40
+\pgf@picture@serial@count=\count118
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code
+.tex
+File: pgfcoregraphicstate.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgflinewidth=\dimen159
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.c
+ode.tex
+File: pgfcoretransformations.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@pt@x=\dimen160
+\pgf@pt@y=\dimen161
+\pgf@pt@temp=\dimen162
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex
+File: pgfcorequick.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex
+File: pgfcoreobjects.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.co
+de.tex
+File: pgfcorepathprocessing.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex
+File: pgfcorearrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfarrowsep=\dimen163
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex
+File: pgfcoreshade.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@max=\dimen164
+\pgf@sys@shading@range@num=\count119
+\pgf@shadingcount=\count120
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex
+File: pgfcoreimage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex
+File: pgfcoreexternal.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfexternal@startupbox=\box41
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex
+File: pgfcorelayers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code
+.tex
+File: pgfcoretransparency.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex
+File: pgfcorepatterns.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex
+File: pgfcorerdf.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/xxcolor.sty
+Package: xxcolor 2003/10/24 ver 0.1
+\XC@nummixins=\count121
+\XC@countmixins=\count122
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/atbegshi.sty
+Package: atbegshi 2016/06/09 v1.18 At begin shipout hook (HO)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/infwarerr.sty
+Package: infwarerr 2016/05/16 v1.4 Providing info/warning/error messages (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ltxcmds.sty
+Package: ltxcmds 2016/05/16 v1.23 LaTeX kernel commands for general use (HO)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+Package: hyperref 2019/09/28 v7.00a Hypertext links for LaTeX
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-hyperref.sty
+Package: hobsub-hyperref 2016/05/16 v1.14 Bundle oberdiek, subset hyperref (HO)
+
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-generic.sty
+Package: hobsub-generic 2016/05/16 v1.14 Bundle oberdiek, subset generic (HO)
+Package: hobsub 2016/05/16 v1.14 Construct package bundles (HO)
+Package hobsub Info: Skipping package `infwarerr' (already loaded).
+Package hobsub Info: Skipping package `ltxcmds' (already loaded).
+Package: ifluatex 2016/05/16 v1.4 Provides the ifluatex switch (HO)
+Package ifluatex Info: LuaTeX not detected.
+Package hobsub Info: Skipping package `ifvtex' (already loaded).
+Package: intcalc 2016/05/16 v1.2 Expandable calculations with integers (HO)
+Package hobsub Info: Skipping package `ifpdf' (already loaded).
+Package: etexcmds 2016/05/16 v1.6 Avoid name clashes with e-TeX commands (HO)
+Package: kvsetkeys 2016/05/16 v1.17 Key value parser (HO)
+Package: kvdefinekeys 2016/05/16 v1.4 Define keys (HO)
+Package: pdftexcmds 2019/07/25 v0.30 Utility functions of pdfTeX for LuaTeX (HO
+)
+Package pdftexcmds Info: LuaTeX not detected.
+Package pdftexcmds Info: pdfTeX >= 1.30 not detected.
+Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available.
+Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available.
+Package pdftexcmds Info: \pdfdraftmode not found.
+Package: pdfescape 2016/05/16 v1.14 Implements pdfTeX's escape features (HO)
+Package: bigintcalc 2016/05/16 v1.4 Expandable calculations on big integers (HO
+)
+Package: bitset 2016/05/16 v1.2 Handle bit-vector datatype (HO)
+Package: uniquecounter 2016/05/16 v1.3 Provide unlimited unique counter (HO)
+)
+Package hobsub Info: Skipping package `hobsub' (already loaded).
+Package: letltxmacro 2016/05/16 v1.5 Let assignment for LaTeX macros (HO)
+Package: hopatch 2016/05/16 v1.3 Wrapper for package hooks (HO)
+Package: xcolor-patch 2016/05/16 xcolor patch
+Package: atveryend 2016/05/16 v1.9 Hooks at the very end of document (HO)
+Package hobsub Info: Skipping package `atbegshi' (already loaded).
+Package: refcount 2016/05/16 v3.5 Data extraction from label references (HO)
+Package: hycolor 2016/05/16 v1.8 Color options for hyperref/bookmark (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/auxhook.sty
+Package: auxhook 2016/05/16 v1.4 Hooks for auxiliary files (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
+Package: kvoptions 2016/05/16 v3.12 Key value format for package options (HO)
+)
+\@linkdim=\dimen165
+\Hy@linkcounter=\count123
+\Hy@pagecounter=\count124
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+File: pd1enc.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+)
+\Hy@SavedSpaceFactor=\count125
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/hyperref.cfg
+File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+)
+Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 4414.
+Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 4414.
+Package hyperref Info: Option `implicit' set `false' on input line 4414.
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4540.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4545.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4548.
+Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 4555.
+Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 4560.
+Package hyperref Info: Implicit mode OFF; no redefinition of LaTeX internals.
+Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 4793.
+\c@Hy@tempcnt=\count126
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+\Urlmuskip=\muskip10
+Package: url 2013/09/16  ver 3.4  Verb mode for urls, etc.
+)
+LaTeX Info: Redefining \url on input line 5152.
+\XeTeXLinkMargin=\dimen166
+\Fld@menulength=\count127
+\Field@Width=\dimen167
+\Fld@charsize=\dimen168
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 6423.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 6428.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 6431.
+Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 6438.
+Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 6443.
+Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 6448.
+Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 6453.
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 6493.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 6497.
+\Hy@abspage=\count128
+
+
+Package hyperref Message: Stopped early.
+
+)
+Package hyperref Info: Driver (autodetected): hxetex.
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hxetex.def
+File: hxetex.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref driver for XeTeX
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def
+File: puenc.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref: PDF Unicode definition (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/stringenc.sty
+Package: stringenc 2016/05/16 v1.11 Convert strings between diff. encodings (HO
+)
+)
+\pdfm@box=\box42
+\c@Hy@AnnotLevel=\count129
+\HyField@AnnotCount=\count130
+\Fld@listcount=\count131
+\c@bookmark@seq@number=\count132
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/rerunfilecheck.sty
+Package: rerunfilecheck 2016/05/16 v1.8 Rerun checks for auxiliary files (HO)
+Package uniquecounter Info: New unique counter `rerunfilecheck' on input line 2
+82.
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/se-ascii-print.def
+File: se-ascii-print.def 2016/05/16 v1.11 stringenc: Printable ASCII characters
+
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaserequires.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasecompatibility.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasefont.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support
+\@emptytoks=\toks26
+\symAMSa=\mathgroup4
+\symAMSb=\mathgroup5
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \hbar on input line 98.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106.
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/sansmathaccent/sansmathaccent.sty
+Package: sansmathaccent 2013/03/28
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/filehook/filehook.sty
+Package: filehook 2019/10/03 v0.6 Hooks for input files
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetranslator.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator.sty
+Package: translator 2019-05-31 v1.12a Easy translation of strings in LaTeX
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasemisc.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetwoscreens.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseoverlay.sty
+\beamer@argscount=\count133
+\beamer@lastskipcover=\skip44
+\beamer@trivlistdepth=\count134
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetitle.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasesection.sty
+\c@lecture=\count135
+\c@part=\count136
+\c@section=\count137
+\c@subsection=\count138
+\c@subsubsection=\count139
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseframe.sty
+\beamer@framebox=\box43
+\beamer@frametitlebox=\box44
+\beamer@zoombox=\box45
+\beamer@zoomcount=\count140
+\beamer@zoomframecount=\count141
+\beamer@frametextheight=\dimen169
+\c@subsectionslide=\count142
+\beamer@frametopskip=\skip45
+\beamer@framebottomskip=\skip46
+\beamer@frametopskipautobreak=\skip47
+\beamer@framebottomskipautobreak=\skip48
+\beamer@envbody=\toks27
+\framewidth=\dimen170
+\c@framenumber=\count143
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseverbatim.sty
+\beamer@verbatimfileout=\write4
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseframesize.sty
+\beamer@splitbox=\box46
+\beamer@autobreakcount=\count144
+\beamer@autobreaklastheight=\dimen171
+\beamer@frametitletoks=\toks28
+\beamer@framesubtitletoks=\toks29
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseframecomponents.sty
+\beamer@footins=\box47
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasecolor.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasenotes.sty
+\beamer@frameboxcopy=\box48
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetoc.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetemplates.sty
+\beamer@sbttoks=\toks30
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseauxtemplates.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseboxes.sty
+\bmb@box=\box49
+\bmb@colorbox=\box50
+\bmb@boxshadow=\box51
+\bmb@boxshadowball=\box52
+\bmb@boxshadowballlarge=\box53
+\bmb@temp=\dimen172
+\bmb@dima=\dimen173
+\bmb@dimb=\dimen174
+\bmb@prevheight=\dimen175
+)
+\beamer@blockheadheight=\dimen176
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaselocalstructure.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/tools/enumerate.sty
+Package: enumerate 2015/07/23 v3.00 enumerate extensions (DPC)
+\@enLab=\toks31
+)
+\c@figure=\count145
+\c@table=\count146
+\abovecaptionskip=\skip49
+\belowcaptionskip=\skip50
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasenavigation.sty
+\beamer@section@min@dim=\dimen177
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetheorems.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2019/04/01 v2.17c AMS math features
+\@mathmargin=\skip51
+
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01 AMS text
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions
+\@emptytoks=\toks32
+\ex@=\dimen178
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols
+\pmbraise@=\dimen179
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 2016/03/08 v2.02 operator names
+)
+\inf@bad=\count147
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 227.
+\uproot@=\count148
+\leftroot@=\count149
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 389.
+\classnum@=\count150
+\DOTSCASE@=\count151
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 486.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 489.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 610.
+\Mathstrutbox@=\box54
+\strutbox@=\box55
+\big@size=\dimen180
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 733.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 734.
+\macc@depth=\count152
+\c@MaxMatrixCols=\count153
+\dotsspace@=\muskip11
+\c@parentequation=\count154
+\dspbrk@lvl=\count155
+\tag@help=\toks33
+\row@=\count156
+\column@=\count157
+\maxfields@=\count158
+\andhelp@=\toks34
+\eqnshift@=\dimen181
+\alignsep@=\dimen182
+\tagshift@=\dimen183
+\tagwidth@=\dimen184
+\totwidth@=\dimen185
+\lineht@=\dimen186
+\@envbody=\toks35
+\multlinegap=\skip52
+\multlinetaggap=\skip53
+\mathdisplay@stack=\toks36
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2855.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2856.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+Package: amsthm 2017/10/31 v2.20.4
+\thm@style=\toks37
+\thm@bodyfont=\toks38
+\thm@headfont=\toks39
+\thm@notefont=\toks40
+\thm@headpunct=\toks41
+\thm@preskip=\skip54
+\thm@postskip=\skip55
+\thm@headsep=\skip56
+\dth@everypar=\toks42
+)
+\c@theorem=\count159
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasethemes.sty))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerthemedefault.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerfontthemedefault.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamercolorthemedefault.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerinnerthemedefault.sty
+\beamer@dima=\dimen187
+\beamer@dimb=\dimen188
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerouterthemedefault.sty)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+Package: inputenc 2018/08/11 v1.3c Input encoding file
+\inpenc@prehook=\toks43
+\inpenc@posthook=\toks44
+
+
+Package inputenc Warning: inputenc package ignored with utf8 based engines.
+
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+Package: fontenc 2018/08/11 v2.0j Standard LaTeX package
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/t1enc.def
+File: t1enc.def 2018/08/11 v2.0j Standard LaTeX file
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 48.
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for T1+lmss on input line 1
+05.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/t1lmss.fd
+File: t1lmss.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/lmodern.sty
+Package: lmodern 2009/10/30 v1.6 Latin Modern Fonts
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/m/n --> OT1/lmr/m/n on input line 22.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `normal'
+(Font)                  OML/cmm/m/it --> OML/lmm/m/it on input line 23.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `normal'
+(Font)                  OMS/cmsy/m/n --> OMS/lmsy/m/n on input line 24.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal'
+(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/lmex/m/n on input line 25.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 26.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
+(Font)                  OML/cmm/b/it --> OML/lmm/b/it on input line 27.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
+(Font)                  OMS/cmsy/b/n --> OMS/lmsy/b/n on input line 28.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
+(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/lmex/m/n on input line 29.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 31.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmss/m/n --> OT1/lmss/m/n on input line 32.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/m/it --> OT1/lmr/m/it on input line 33.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmtt/m/n --> OT1/lmtt/m/n on input line 34.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 35.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmss/bx/n --> OT1/lmss/bx/n on input line 36.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/it --> OT1/lmr/bx/it on input line 37.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmtt/m/n --> OT1/lmtt/m/n on input line 38.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2019/10/15 3.35 The Babel package
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/switch.def
+File: switch.def 2019/10/15 3.35 Babel switching mechanism
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel-german/ngerman.ldf
+Language: ngerman 2018/12/08 v2.11 German support for babel (post-1996 orthogra
+phy)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel-german/ngermanb.ldf
+Language: ngermanb 2018/12/08 v2.11 German support for babel (post-1996 orthogr
+aphy)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.def
+File: babel.def 2019/10/15 3.35 Babel common definitions
+\babel@savecnt=\count160
+\U@D=\dimen189
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/xebabel.def
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def))
+LaTeX Info: Redefining \textlatin on input line 2185.
+\bbl@dirlevel=\count161
+)
+Package babel Info: Making " an active character on input line 121.
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+Package: pgf 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.tex
+File: pgfmoduleshapes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfnodeparttextbox=\box56
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex
+File: pgfmoduleplot.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.st
+y
+Package: pgfcomp-version-0-65 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@nodesepstart=\dimen190
+\pgf@nodesepend=\dimen191
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.st
+y
+Package: pgfcomp-version-1-18 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
+Package: pgffor 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex)
+\pgffor@iter=\dimen192
+\pgffor@skip=\dimen193
+\pgffor@stack=\toks45
+\pgffor@toks=\toks46
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
+Package: tikz 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.co
+de.tex
+File: pgflibraryplothandlers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@plot@mark@count=\count162
+\pgfplotmarksize=\dimen194
+)
+\tikz@lastx=\dimen195
+\tikz@lasty=\dimen196
+\tikz@lastxsaved=\dimen197
+\tikz@lastysaved=\dimen198
+\tikz@lastmovetox=\dimen199
+\tikz@lastmovetoy=\dimen256
+\tikzleveldistance=\dimen257
+\tikzsiblingdistance=\dimen258
+\tikz@figbox=\box57
+\tikz@figbox@bg=\box58
+\tikz@tempbox=\box59
+\tikz@tempbox@bg=\box60
+\tikztreelevel=\count163
+\tikznumberofchildren=\count164
+\tikznumberofcurrentchild=\count165
+\tikz@fig@count=\count166
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex
+File: pgfmodulematrix.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfmatrixcurrentrow=\count167
+\pgfmatrixcurrentcolumn=\count168
+\pgf@matrix@numberofcolumns=\count169
+)
+\tikz@expandcount=\count170
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarytopaths.code.tex
+File: tikzlibrarytopaths.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerthemeHannover.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerouterthemesidebar.sty
+\beamer@sidebarwidth=\dimen259
+\beamer@headheight=\dimen260
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamercolorthemeseahorse.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerinnerthemecircles.sty))
+(./RS.aux)
+\openout1 = `RS.aux'.
+
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for TU/lmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for PU/pdf/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+
+*geometry* driver: auto-detecting
+*geometry* detected driver: xetex
+*geometry* verbose mode - [ preamble ] result:
+* driver: xetex
+* paper: custom
+* layout: <same size as paper>
+* layoutoffset:(h,v)=(0.0pt,0.0pt)
+* modes: includehead includefoot 
+* h-part:(L,W,R)=(59.22636pt, 381.79135pt, 14.22636pt)
+* v-part:(T,H,B)=(0.0pt, 256.0748pt, 0.0pt)
+* \paperwidth=455.24408pt
+* \paperheight=256.0748pt
+* \textwidth=381.79135pt
+* \textheight=227.62207pt
+* \oddsidemargin=-13.04362pt
+* \evensidemargin=-13.04362pt
+* \topmargin=-72.26999pt
+* \headheight=14.22636pt
+* \headsep=0.0pt
+* \topskip=11.0pt
+* \footskip=14.22636pt
+* \marginparwidth=4.0pt
+* \marginparsep=10.0pt
+* \columnsep=10.0pt
+* \skip\footins=10.0pt plus 4.0pt minus 2.0pt
+* \hoffset=0.0pt
+* \voffset=0.0pt
+* \mag=1000
+* \@twocolumnfalse
+* \@twosidefalse
+* \@mparswitchfalse
+* \@reversemarginfalse
+* (1in=72.27pt=25.4mm, 1cm=28.453pt)
+
+ABD: EveryShipout initializing macros
+\AtBeginShipoutBox=\box61
+Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 9.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/nameref.sty
+Package: nameref 2019/09/16 v2.46 Cross-referencing by name of section
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/gettitlestring.sty
+Package: gettitlestring 2016/05/16 v1.5 Cleanup title references (HO)
+)
+\c@section@level=\count171
+)
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 9.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 9.
+LaTeX Info: Redefining \nameref on input line 9.
+ (./RS.out) (./RS.out)
+\@outlinefile=\write5
+\openout5 = `RS.out'.
+
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font)                  OT1/lmr/m/n --> OT1/cmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font)                  OT1/lmr/bx/n --> OT1/cmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmss/m/n --> OT1/lmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmss/bx/n --> OT1/lmss/bx/n on input line 9.
+\symnumbers=\mathgroup6
+\sympureletters=\mathgroup7
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathrm' in version `normal'
+(Font)                  OT1/lmss/m/n --> T1/lmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathbf on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
+(Font)                  OT1/lmr/bx/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/lmr/bx/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathsf on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal'
+(Font)                  OT1/lmss/m/n --> T1/lmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/lmss/bx/n --> T1/lmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathit on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
+(Font)                  OT1/lmr/m/it --> T1/lmss/m/it on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font)                  OT1/lmr/bx/it --> T1/lmss/m/it on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathtt on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal'
+(Font)                  OT1/lmtt/m/n --> T1/lmtt/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font)                  OT1/lmtt/m/n --> T1/lmtt/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `numbers' in version `bold'
+(Font)                  T1/lmss/m/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `pureletters' in version `bold'
+(Font)                  T1/lmss/m/it --> T1/lmss/bx/it on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathrm' in version `bold'
+(Font)                  OT1/lmss/bx/n --> T1/lmr/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font)                  T1/lmss/bx/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font)                  T1/lmss/m/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font)                  T1/lmss/m/it --> T1/lmss/bx/it on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font)                  T1/lmtt/m/n --> T1/lmtt/bx/n on input line 9.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-basic-dictionary-En
+glish.dict
+Dictionary: translator-basic-dictionary, Language: English 
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-bibliography-dictio
+nary-English.dict
+Dictionary: translator-bibliography-dictionary, Language: English 
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-environment-diction
+ary-English.dict
+Dictionary: translator-environment-dictionary, Language: English 
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-months-dictionary-E
+nglish.dict
+Dictionary: translator-months-dictionary, Language: English 
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-numbers-dictionary-
+English.dict
+Dictionary: translator-numbers-dictionary, Language: English 
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-theorem-dictionary-
+English.dict
+Dictionary: translator-theorem-dictionary, Language: English 
+) (./RS.nav)
+
+Package hyperref Warning: Option `pdfauthor' has already been used,
+(hyperref)                setting the option has no effect on input line 10.
+
+
+Package hyperref Warning: Option `pdfsubject' has already been used,
+(hyperref)                setting the option has no effect on input line 16.
+
+[1
+
+]
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OT1+lmss on input line 
+32.
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/ot1lmss.fd
+File: ot1lmss.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OML+lmm on input line 3
+2.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/omllmm.fd
+File: omllmm.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OMS+lmsy on input line 
+32.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/omslmsy.fd
+File: omslmsy.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OMX+lmex on input line 
+32.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/omxlmex.fd
+File: omxlmex.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <10.95> on input line 32.
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <8> on input line 32.
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <6> on input line 32.
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+msa on input line 32.
+
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
+File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+msb on input line 32.
+
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
+File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
+)
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/lmss/m/it' in size <10.95> not available
+(Font)              Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 32.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/lmss/m/it' in size <8> not available
+(Font)              Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 32.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/lmss/m/it' in size <6> not available
+(Font)              Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 32.
+ [2
+
+] [3
+
+] [4
+
+] [5
+
+]
+[6
+
+]
+File: images/polynom1.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/polynom1.pdf>
+ [7
+
+]
+File: images/polynom2.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/polynom2.pdf>
+ [8
+
+] [9
+
+] [10
+
+] [11
+
+] [12
+
+] [13
+
+]
+File: images/fig1.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig1.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 124
+ []
+
+[14
+
+]
+File: images/fig2.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig2.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 124
+ []
+
+[15
+
+]
+File: images/fig3.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig3.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 124
+ []
+
+[16
+
+]
+File: images/fig4.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig4.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 124
+ []
+
+[17
+
+]
+File: images/fig5.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig5.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 124
+ []
+
+[18
+
+]
+File: images/fig6.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig6.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 124
+ []
+
+[19
+
+]
+File: images/fig7.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig7.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 124
+ []
+
+[20
+
+] [21
+
+] [22
+
+] [23
+
+] [24
+
+] [25
+
+] [26
+
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+
+]
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for T1+lmr on input line 30
+0.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/t1lmr.fd
+File: t1lmr.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+) [29
+
+] [30
+
+]
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+euf on input line 383
+.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
+File: ueuf.fd 2013/01/14 v3.01 Euler Fraktur
+)
+Overfull \hbox (1.42268pt too wide) detected at line 383
+\U/euf/m/n/10.95 F[]\OT1/lmss/m/n/10.95 (\T1/lmss/m/sl/10.95 F\OT1/lmss/m/n/10.
+95 (\OML/lmm/m/it/10.95 !\OT1/lmss/m/n/10.95 )) = \T1/lmss/m/sl/10.95 f\OT1/lms
+s/m/n/10.95 (\T1/lmss/m/sl/10.95 t\OT1/lmss/m/n/10.95 ) = [] [][] \T1/lmss/m/sl
+/10.95 F\OT1/lmss/m/n/10.95 (\OML/lmm/m/it/10.95 !\OT1/lmss/m/n/10.95 )\T1/lmr/
+m/n/10.95 e[]\T1/lmss/m/sl/10.95 d\OML/lmm/m/it/10.95 !
+ []
+
+[31
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+
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+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
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+(Font)              Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 638.
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+(Font)              Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 638.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/lmss/m/it' in size <7> not available
+(Font)              Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 638.
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+Overfull \hbox (2.91844pt too wide) detected at line 674
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+\openout8 = `RS.snm'.
+
+Package atveryend Info: Empty hook `BeforeClearDocument' on input line 928.
+Package atveryend Info: Empty hook `AfterLastShipout' on input line 928.
+
+(./RS.aux)
+Package atveryend Info: Empty hook `AtVeryEndDocument' on input line 928.
+Package atveryend Info: Executing hook `AtEndAfterFileList' on input line 928.
+Package rerunfilecheck Info: File `RS.out' has not changed.
+(rerunfilecheck)             Checksum: CBEDF1F633104E8EE4EB074E401487DA.
+ ) 
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 24528 strings out of 492483
+ 453801 string characters out of 6132858
+ 557615 words of memory out of 5000000
+ 28488 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 82614 words of font info for 73 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 1348 hyphenation exceptions out of 8191
+ 58i,15n,61p,796b,566s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
+
+Output written on RS.pdf (54 pages).
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+\BOOKMARK [2][]{Outline0.1}{Einführung}{}% 1
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.2}{Polynom\040Ansatz}{}% 2
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.3}{Diskrete\040Fourier\040Transformation}{}% 3
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.4}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{}% 4
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.5}{Codierung\040eines\040Beispiels}{}% 5
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.6}{Decodierung\040ohne\040Fehler}{}% 6
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.7}{Decodierung\040mit\040Fehler}{}% 7
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.8}{Nachricht\040Rekonstruieren}{}% 8
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+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.snm
@@ -0,0 +1 @@
+\beamer@slide {ft_discrete}{21}
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+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.synctex.gz
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+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex
@@ -0,0 +1,934 @@
+\documentclass[11pt,aspectratio=169]{beamer}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{lmodern}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage{tikz}
+\usetheme{Hannover}
+
+\begin{document}
+	\author{Joshua Bär und Michael Steiner}
+	\title{Reed-Solomon-Code}
+	\subtitle{}
+	\logo{}
+	\institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
+	\date{26.04.2021}
+	\subject{Mathematisches Seminar}
+	%\setbeamercovered{transparent}
+	\setbeamercovered{invisible}
+	\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
+	\begin{frame}[plain]
+		\maketitle
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\section{Einführung}
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Reed-Solomon-Code:}
+		\begin{itemize}
+		\visible<1->{\item Für Übertragung von Daten}
+		\visible<2->{\item Ermöglicht Korrektur von Übertragungsfehler}
+		\visible<3->{\item Wird verwendet in: CD, QR-Codes, Voyager-Sonde, etc.}
+		\end{itemize}
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\section{Polynom Ansatz}
+	\begin{frame}
+		\begin{itemize}
+			\item Beispiel $2, 1, 5$ versenden und auf 2 Fehler absichern
+		\end{itemize}
+	\end{frame}
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Beispiel}
+		Übertragen von 
+		${f}_2=\textcolor{blue}{2}$, ${f}_1=\textcolor{blue}{1}$, ${f}_0=\textcolor{blue}{5}$ 
+		als $ p(w) = \textcolor{blue}{2}w^2 + \textcolor{blue}{1}w + \textcolor{blue}{5} $.
+		
+		
+			Versende $ (p(1),p(2),\dots,p(7))$
+			\visible<2->{ = (\textcolor{green}{8},} 
+			\only<2>{\textcolor{green}{15},}
+			\only<3>{\textcolor{red}{50},}
+			\only<2>{\textcolor{green}{26},}
+			\only<3>{\textcolor{red}{37},}
+			\visible<2->{\textcolor{green}{41}, \textcolor{green}{60}, 
+			\textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})}	
+			\only<2>{\includegraphics[scale = 1.2]{images/polynom1.pdf}}
+			\only<3>{\includegraphics[scale = 1.2]{images/polynom2.pdf}}
+			\visible<3>{
+			\newline
+			\textcolor{green}{7} Zahlen versenden, um \textcolor{blue}{3} Zahlen gegen \textcolor{red}{2} Fehlern abzusichern.}
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+	\frametitle{Parameter}
+	\begin{center}
+		\begin{tabular}{ c c c } 
+			\hline
+			Nutzlas & Fehler & Versenden \\
+			\hline 
+			3 & 2 & 7 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\ 
+			4 & 2 & 8 Werte eines Polynoms vom Grad 3 \\
+\visible<1->{3}& 
+\visible<1->{3}& 
+\visible<1->{9 Werte eines Polynoms vom Grad 2} \\ 
+			&&\\
+\visible<1->{$k$} & 
+\visible<1->{$t$} & 
+\visible<1->{$k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$} \\ 
+			\hline
+			&&\\
+			&&\\
+			\multicolumn{3}{l} {
+				\visible<1>{Ausserdem können bis zu $2t$ Fehler erkannt werden!}
+			}
+		\end{tabular}
+	\end{center}	
+	\end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+
+\section{Diskrete Fourier Transformation}
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Idee}
+		\begin{itemize}
+			\item Fourier-transformieren
+			\item Übertragung
+			\item Rücktransformieren
+		\end{itemize}
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\begin{figure}
+			\only<1>{
+			\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig1.pdf}
+			}
+			\only<2>{
+			\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig2.pdf}
+			}
+			\only<3>{
+			\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig3.pdf}
+			}
+			\only<4>{
+			\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig4.pdf}
+			}
+			\only<5>{
+			\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig5.pdf}
+			}
+			\only<6>{
+			\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig6.pdf}
+			}
+			\only<7>{
+			\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig7.pdf}
+			}
+	\end{figure}
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+	\begin{frame}
+	\frametitle{Diskrete Fourier Transformation}
+	\begin{itemize}
+	\item Diskrete Fourier-Transformation gegeben durch:
+	\visible<1->{
+	\[
+	\label{ft_discrete}
+	\hat{c}_{k} 
+	= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}
+	{f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn}
+	\]}
+	\visible<2->{
+	\item Ersetzte
+	\[
+	w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}
+	\]}
+	\visible<3->{
+	\item Wenn $N$ konstant:
+	\[
+	\hat{c}_{k}=\frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N)
+	\]}
+	\end{itemize}
+	\end{frame}	
+
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+	\frametitle{Diskrete Fourier Transformation}
+	\[
+	\begin{pmatrix}
+		\hat{c}_1 \\\hat{c}_2 \\\hat{c}_3 \\ \vdots \\\hat{c}_n
+	\end{pmatrix}
+	= \frac{1}{N}
+	\begin{pmatrix}
+		w^0 & w^0   & w^0  & \dots  &w^0     \\
+		w^0 & w^1   &w^2   & \dots  &w^{N-1}     \\ 
+		w^0 & w^2   &w^4   & \dots  &w^{2(N-1)}  \\ 
+		\vdots   & \vdots     &\vdots     &\ddots  &\vdots       \\
+		w^0 & w^{1(N-1)}&w^{2(N-1)}& \dots  &w^{(N-1)(N-1)}  \\ 
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		\textcolor{blue}{f_0}  	\\
+		\textcolor{blue}{f_1}	\\
+		\textcolor{blue}{f_2}	\\	 
+ 		\vdots  \\
+	 	0  \\ 
+	\end{pmatrix}
+	\]
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Probleme und Fragen}
+		
+			Wie wird der Fehler lokalisiert?
+		\visible<2>{
+			\newline
+			Indem in einem endlichen Körper gerechnet wird.
+		}
+	\end{frame}	
+
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+
+
+\section{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}	
+
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<1->{\item Warum endliche Körper?}
+			
+			\onslide<2->{\qquad konkrete Zahlen $\rightarrow$ keine Rundungsfehler}
+			
+			\onslide<3->{\qquad digitale Fehlerkorrektur}
+			
+			%\onslide<4->{\qquad bessere Laufzeit}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<4->{\item Nachricht = Nutzdaten + Fehlerkorrekturteil}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<5->{\item aus Fehlerkorrekturteil die Fehlerstellen finden}
+			
+			\onslide<6->{\qquad $\Rightarrow$ gesucht ist ein Lokatorpolynom}
+			
+%			\vspace{10pt}
+			
+%			\onslide<1->{\item Im Fehlerfall sollen wir aus der Nachricht ein Lokatorpolynom berechnen können, welches die fehlerhaften Stellen beinhaltet}
+			
+%			Wir sollten im Fehlerfall in der Lage sein, aus der Nachricht ein Lokatorpolynom zu berechnen, welches die Fehlerhaften Stellen beinhaltet
+						
+		\end{itemize}
+		
+%		TODO
+		
+%		erklärung und einführung der endlichen körper, was wollen wir erreichen?
+		
+%		wir versenden im endefekt mehr daten als unsere nachricht umfasst, damit die korrektur sichergestellt werden kann
+		
+%		sollten wir fehler bekommen, was uns die korrekturstellen mitgeteilt wird, dann ist es unsere aufgabe ein lokatorpolynom zu finden, welches uns verrät, auf welchen zeilen der Fehler aufgetreten ist
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Definition eines Beispiels}
+		
+		\begin{itemize}
+			
+			\onslide<1->{\item endlicher Körper $q = 11$}
+			
+			\onslide<2->{ist eine Primzahl}
+
+			\onslide<3->{beinhaltet die Zahlen $\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<4->{\item Nachrichtenblock $=$ Nutzlast $+$ Fehlerkorrekturstellen}
+			
+			\onslide<5->{$n = q - 1 = 10$ Zahlen}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<6->{\item Max.~Fehler $t = 2$}
+			
+			\onslide<7->{maximale Anzahl von Fehler, die wir noch korrigieren können}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<8->{\item Nutzlast $k = n -2t = 6$ Zahlen}
+			
+			\onslide<9->{Fehlerkorrkturstellen $2t = 4$ Zahlen}
+			
+			\onslide<10->{Nachricht $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$}
+			
+			\onslide<11->{als Polynom $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$}
+			
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\section{Codierung eines Beispiels}
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Codierung}
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<1->{\item Ansatz aus den komplexen Zahlen mit der diskreten Fouriertransformation}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<2->{\item Eulersche Zahl $\mathrm{e}$ existiert nicht in $\mathbb{F}_{11}$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<3->{\item Wir suchen $a$ so, dass $a^i$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken}
+			
+			\onslide<4->{$\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<5->{\item Wir wählen $a = 8$}
+			
+			\onslide<6->{$\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1,8,9,6,4,10,3,2,5,7\}$}
+			
+			\onslide<7->{$8$ ist eine primitive Einheitswurzel}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<8->{\item $m(8^0) = 4\cdot1 + 7\cdot1 + 2\cdot1 + 5\cdot1 + 8\cdot1 + 1 = 5$}
+			
+			\onslide<9->{$\Rightarrow$ \qquad können wir auch als Matrix schreiben}
+			
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Codierung}
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<1->{\item Übertragungsvektor $v$}
+			
+			\onslide<2->{\item $v = A \cdot m$}
+			
+		\end{itemize}
+		
+		\[
+		\onslide<3->{
+		v = \begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	8^6&	8^7&    8^8&	8^9\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+			8^0&	8^3&	8^6&	8^9& 8^{12}& 8^{15}& 8^{18}& 8^{21}& 8^{24}& 8^{27}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+			8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+			8^0&	8^8& 8^{16}& 8^{24}& 8^{32}& 8^{40}& 8^{48}& 8^{56}& 8^{64}& 8^{72}\\
+			8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			1 \\ 8 \\ 5 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\
+		\end{pmatrix}
+		}
+		\]
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<4->{\item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\section{Decodierung ohne Fehler}
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Decodierung ohne Fehler}
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<1->{\item Der Empfänger erhält den unveränderten Vektor $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<2->{\item Wir suchen die Inverse der Matrix $A$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+		\end{itemize}
+		
+		\begin{columns}[t]
+		\begin{column}{0.55\textwidth}		
+		\onslide<3->{ Inverse der Fouriertransformation}
+		\vspace{10pt}
+		\onslide<4->{
+		\[
+		F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt
+		\]
+		}
+		\vspace{10pt}
+		\onslide<5->{
+		\[
+		\mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega
+		\]
+		}
+		\end{column}
+		\begin{column}{0.45\textwidth}		
+		\onslide<6->{Inverse von $a$}
+		
+		\vspace{10pt}
+		
+		\onslide<7->{
+		\[
+		8^{1} \Rightarrow 8^{-1}
+		\]
+		}
+	
+		\onslide<8->{Inverse finden wir über den Eulkidischen Algorithmus}
+		\vspace{10pt}
+		\end{column}
+		\end{columns}		
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Der Euklidische Algorithmus}
+	
+	\begin{columns}[t]
+	\begin{column}{0.50\textwidth}	
+	
+	Recap aus der Vorlesung:
+	
+	Gegeben $a \in \mathbb{F}_p$, finde $b = a^{-1} \in \mathbb{F}_p$
+	
+	\begin{tabular}{rcl}
+		$a  b$ &$\equiv$& $1 \mod p$\\
+		$a  b$ &$=$& $1 + n  p$\\
+		$a  b - n  p$ &$=$& $1$\\
+		&&\\
+		$\operatorname{ggT}(a,p)$&$=$& $1$\\
+		$sa + tp$&$=$& $1$\\
+		$b$&$=$&$s$\\
+		$n$&$=$&$-t$
+	\end{tabular}
+	
+	\end{column}
+	\begin{column}{0.50\textwidth}	
+	
+	\begin{center}
+	\onslide<1->{
+	\begin{tabular}{| c | c c | c | r r |}
+		\hline
+		$k$ & $a_i$ & $b_i$ & $q_i$ & $c_i$ & $d_i$\\
+		\hline 
+		& & & & $1$& $0$\\
+		$0$& $8$& $11$& $0$& $0$& $1$\\
+		$1$& $11$& $8$& $1$& $1$& $0$\\
+		$2$& $8$& $3$& $2$& $-1$& $1$\\
+		$3$& $3$& $2$& $1$& $3$& $-2$\\
+		$4$& $2$& $1$& $2$& \textcolor<2->{blue}{$-4$}& \textcolor<2->{red}{$3$}\\
+		$5$& $1$& $0$& & $11$& $-8$\\
+		\hline
+	\end{tabular}	
+	}
+
+	\vspace{10pt}
+	
+	\begin{tabular}{rcl}
+		\onslide<3->{$\textcolor{blue}{-4} \cdot 8 + \textcolor{red}{3} \cdot 11$ &$=$& $1$}\\
+		\onslide<4->{$7 \cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$}\\
+		\onslide<5->{$8^{-1}$ &$=$& $7$}
+		
+	\end{tabular}
+	
+	\end{center}
+	
+	\end{column}
+	\end{columns}
+	
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Decodierung mit Inverser Matrix}	
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<1->{\item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+			
+			\onslide<2->{\item $m = 1/10 \cdot A^{-1} \cdot v$}
+			
+			\onslide<3->{\item $m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v$}
+			
+		\end{itemize}
+		\onslide<4->{
+		\[
+		m = 10 \cdot \begin{pmatrix}
+			7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0\\
+			7^0&	7^1&	7^2&	7^3&	7^4&	7^5&	7^6&	7^7&    7^8&	7^9\\
+			7^0&	7^2&	7^4&	7^6&	7^8& 7^{10}& 7^{12}& 7^{14}& 7^{16}& 7^{18}\\
+			7^0&	7^3&	7^6&	7^9& 7^{12}& 7^{15}& 7^{18}& 7^{21}& 7^{24}& 7^{27}\\
+			7^0&	7^4&	7^8& 7^{12}& 7^{16}& 7^{20}& 7^{24}& 7^{28}& 7^{32}& 7^{36}\\
+			7^0&	7^5& 7^{10}& 7^{15}& 7^{20}& 7^{25}& 7^{30}& 7^{35}& 7^{40}& 7^{45}\\
+			7^0&	7^6& 7^{12}& 7^{18}& 7^{24}& 7^{30}& 7^{36}& 7^{42}& 7^{48}& 7^{54}\\
+			7^0&	7^7& 7^{14}& 7^{21}& 7^{28}& 7^{35}& 7^{42}& 7^{49}& 7^{56}& 7^{63}\\
+			7^0&	7^8& 7^{16}& 7^{24}& 7^{32}& 7^{40}& 7^{48}& 7^{56}& 7^{64}& 7^{72}\\
+			7^0&	7^9& 7^{18}& 7^{27}& 7^{36}& 7^{45}& 7^{54}& 7^{63}& 7^{72}& 7^{81}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 5 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 10 \\ 4 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		}
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<5->{\item $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$}
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+\section{Decodierung mit Fehler}
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Decodierung mit Fehler - Ansatz}	
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<1->{\item Gesendet: $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
+			
+			\onslide<2->{\item Empfangen: $w = [5,3,6,\textcolor{red}{8},2,10,2,7,\textcolor{red}{1},4]$}
+			
+			\onslide<3->{\item Rücktransformation: $r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{Fehlerinfo}5,4,5,7,6,7]$}
+			
+		\end{itemize}
+		
+		\onslide<4->{Wie finden wir die Fehler?}
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<5->{\item $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$}
+			
+			\onslide<6->{\item $r(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + 5X^5 + 4X^4 + 5X^3 + 7X^2 + 6X + 7$}
+			
+			%\only<7->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$}
+			
+			\onslide<7->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$}
+			
+		\end{itemize}	
+
+		\begin{center}
+			\onslide<8->{
+		\begin{tabular}{c c c c c c c c c c c}
+			\hline
+			$i$& $0$& $1$& $2$& $3$& $4$& $5$& $6$& $7$& $8$& $9$\\
+			\hline
+			$r(a^{i})$& \onslide<9->{$5$& $3$& $6$& $8$& $2$& $10$& $2$& $7$& $1$& $4$}\\
+			$m(a^{i})$& \onslide<10->{$5$& $3$& $6$& $5$& $2$& $10$& $2$& $7$& $10$& $4$}\\
+			$e(a^{i})$& \onslide<11->{$0$& $0$& $0$& $3$& $0$& $0$& $0$& $0$& $2$& $0$}\\
+			\hline
+		\end{tabular}	
+			}
+		\end{center}
+	
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<12->{\item Alle Stellen, die nicht Null sind, sind Fehler}
+		\end{itemize}
+		
+
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Nullstellen des Fehlerpolynoms finden}
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<1->{\item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<2->{\item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<3->{\item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<4->{\item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<5->{\item $\operatorname{ggT}$ gibt uns eine Liste der Nullstellen, an denen es keine Fehler gegeben hat}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<6->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9)$}
+				
+		\end{itemize}
+			
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Nullstellen des Fehlerpolynoms finden}
+		
+		\begin{itemize}
+			
+			\onslide<1->{\item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<1->{\item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<1->{\item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<1->{\item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<1->{\item $\operatorname{kgV}$ gibt uns eine Liste von aller Nullstellen, die wir in $e$ und $d$ zerlegen können}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<2->{$\operatorname{kgV}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot $
+			
+			\qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9) \cdot q(X)$}
+			
+			\onslide<3->{$= d(X) \cdot e(X)$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<4->{\item Lokatorpolynom $d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$}
+			
+		\end{itemize}
+	
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Kennen wir $e(X)$?}
+		
+		\begin{itemize}
+			
+			\onslide<1->{\item $e(X)$ ist unbekannt auf der Empfängerseite}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<2->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$ \qquad $\rightarrow$ \qquad $m(X)$ ist unbekannt?}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<3->{\item $m$ ist nicht gänzlich unbekannt: $m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?]$
+			
+			In den bekannten Stellen liegt auch die Information, wo es Fehler gegeben hat}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<4->{\item Daraus folgt $e(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<5->{\item $f(X) = X^{10} - 1 = X^{10} + 10$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\onslide<6->{\item Jetzt können wir den $\operatorname{ggT}$ von $f(X)$ und $e(X)$ berechnen}
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Der Euklidische Algorithmus (nochmal)}
+		
+		\onslide<1->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X))$ hat den Grad $8$}
+		\onslide<2->{
+		\[
+		\arraycolsep=1.4pt
+		\begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+			X^{10}& & & & & & &+& 10& & & & &:&5X^9&+&7X^8&+& 4X^7&+&10X^6&+&p(X)&=&9X&+&5\\
+			X^{10}&+& 8X^9&+& 3X^8&+&2X^7&+& p(X)& &  & & & &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{1-9}
+			&& 3X^9&+& 8X^8&+& 9X^7&+& p(X)& &   & & & & & &   & &  & & \\
+			&& 3X^9&+& 2X^8&+& 9X^7&+& p(X)& &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{3-9}
+			& &    & &6X^8&+&0X^7&+&p(X)& &   & & & & & &   & &  & & \\
+		\end{array}
+		\]
+		}
+		\onslide<3->{
+		\[
+		\arraycolsep=1.4pt
+		\begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+			5X^9&+& 7X^8&+& 4X^7&+& 10X^6&+& p(X)& & & & &:&6X^8&+&0X^7& & & & & & &=&10X&+&3\\
+			5X^9&+& 0X^8&+& p(X)& & & & & &  & & & &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{1-5}
+			&& 7X^8&+& p(X)& & & & & &   & & & & & &   & &  & & \\
+		\end{array}
+		\]
+		}
+		\vspace{10pt}
+		
+		\onslide<4->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = 6X^8$}
+		
+		\vspace{10pt}
+		
+		\onslide<5->{	$\operatorname{kgV}$ durch den erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen	}
+		
+	\end{frame}
+		
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Der Erweiterte Euklidische Algorithmus}
+		
+		\begin{center}
+			
+		\begin{tabular}{| c | c | c c |}
+			\hline
+			$k$ &  $q_i$ & $e_i$ & $f_i$\\
+			\hline 
+			& & $0$& $1$\\
+			$0$& $9X + 5$& $1$& $0$\\
+			$1$& $10X + 3$& $9X+5$& $1$\\
+			$2$& & \textcolor<2->{blue}{$2X^2 + 0X + 5$}& $10X + 3$\\
+			\hline
+		\end{tabular}	
+			
+		\end{center}
+		
+		\vspace{10pt}
+		
+		\begin{tabular}{ll}
+			\onslide<3->{Somit erhalten wir den Faktor& $d(X) = 2X^2 + 5$\\}
+			\onslide<4->{Faktorisiert erhalten wir& $d(X) = 2(X-5)(X-6)$\\}
+			\onslide<5->{Lokatorpolynom& $d(X) = (X-a^i)(X-a^i)$}
+		\end{tabular}
+		
+		\vspace{10pt}
+		
+		\onslide<6->{
+		\begin{center}
+			$a^i = 5 \qquad \Rightarrow \qquad i = 3$
+			
+			$a^i = 6 \qquad \Rightarrow \qquad i = 8$
+		\end{center}
+		}
+
+	\onslide<7->{$d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\section{Nachricht Rekonstruieren}	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\begin{itemize}
+			
+			\onslide<1->{\item $w = [5,3,6,\textcolor{red}{8},2,10,2,7,\textcolor{red}{1},4]$}
+			
+			\onslide<2->{\item $d(X) = (X-\textcolor<4->{red}{a^3})(X-\textcolor<4->{red}{a^8})$}
+			
+		\end{itemize}
+		\onslide<3->{
+		\[
+		\textcolor{gray}{
+		\begin{pmatrix}
+			 a^0 \\ a^1 \\ a^2 \\ \textcolor<4->{red}{a^3} \\ a^4 \\ a^5 \\ a^6 \\ a^7 \\ \textcolor<4->{red}{a^8} \\ a^9 \\
+		\end{pmatrix}}
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ \textcolor<4->{red}{8} \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ \textcolor<4->{red}{1} \\ 4 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	8^6&	8^7&    8^8&	8^9\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+			\textcolor<4->{red}{8^0}&	\textcolor<4->{red}{8^3}&	\textcolor<4->{red}{8^6}&	\textcolor<4->{red}{8^9}& \textcolor<4->{red}{8^{12}}& \textcolor<4->{red}{8^{15}}& \textcolor<4->{red}{8^{18}}& \textcolor<4->{red}{8^{21}}& \textcolor<4->{red}{8^{24}}& \textcolor<4->{red}{8^{27}}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+			8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+			\textcolor<4->{red}{8^0}&	\textcolor<4->{red}{8^8}& \textcolor<4->{red}{8^{16}}& \textcolor<4->{red}{8^{24}}& \textcolor<4->{red}{8^{32}}& \textcolor<4->{red}{8^{40}}& \textcolor<4->{red}{8^{48}}& \textcolor<4->{red}{8^{56}}& \textcolor<4->{red}{8^{64}}& \textcolor<4->{red}{8^{72}}\\
+			8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		}
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<5->{\item Fehlerstellen entfernen}
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}	
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    \textcolor<4->{green}{8^0}&    \textcolor<4->{green}{8^0}&    \textcolor<4->{green}{8^0}&    \textcolor<4->{green}{8^0}\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	\textcolor<4->{green}{8^6}&	 \textcolor<4->{green}{8^7}&     \textcolor<4->{green}{8^8}&	  \textcolor<4->{green}{8^9}\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& \textcolor<4->{green}{8^{12}}& \textcolor<4->{green}{8^{14}}& \textcolor<4->{green}{8^{16}}& \textcolor<4->{green}{8^{18}}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& \textcolor<4->{green}{8^{24}}& \textcolor<4->{green}{8^{28}}& \textcolor<4->{green}{8^{32}}& \textcolor<4->{green}{8^{36}}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& \textcolor<4->{green}{8^{30}}& \textcolor<4->{green}{8^{35}}& \textcolor<4->{green}{8^{40}}& \textcolor<4->{green}{8^{45}}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& \textcolor<4->{green}{8^{36}}& \textcolor<4->{green}{8^{42}}& \textcolor<4->{green}{8^{48}}& \textcolor<4->{green}{8^{54}}\\
+			8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& \textcolor<4->{green}{8^{42}}& \textcolor<4->{green}{8^{49}}& \textcolor<4->{green}{8^{56}}& \textcolor<4->{green}{8^{63}}\\
+			8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& \textcolor<4->{green}{8^{54}}& \textcolor<4->{green}{8^{63}}& \textcolor<4->{green}{8^{72}}& \textcolor<4->{green}{8^{81}}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor<2->{green}{m_6} \\ \textcolor<2->{green}{m_7} \\ \textcolor<2->{green}{m_8} \\ \textcolor<2->{green}{m_9} \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<3->{\item Nullstellen entfernen}
+		\end{itemize}
+	
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor<3->{red}{7} \\ \textcolor<3->{red}{4} \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+			\textcolor<3->{red}{8^0}&	\textcolor<3->{red}{8^7}& \textcolor<3->{red}{8^{14}}& \textcolor<3->{red}{8^{21}}& \textcolor<3->{red}{8^{28}}& \textcolor<3->{red}{8^{35}}\\
+			\textcolor<3->{red}{8^0}&	\textcolor<3->{red}{8^9}& \textcolor<3->{red}{8^{18}}& \textcolor<3->{red}{8^{27}}& \textcolor<3->{red}{8^{36}}& \textcolor<3->{red}{8^{45}}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\vspace{5pt}
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<2->{\item Matrix in eine Quadratische Form bringen}
+		\end{itemize}
+	
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\vspace{5pt}
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<2->{\item Matrix Invertieren}
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			1&  1& 1&  1& 1&  1\\
+			1&  8& 9&  6& 4& 10\\
+			1&  9& 4&  3& 5&  1\\
+			1&  4& 5&  9& 3&  1\\
+			1& 10& 1& 10& 1& 10\\
+			1&  3& 9&  5& 4&  1\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{center}
+			\onslide<2->{$\Downarrow$}
+		\end{center}
+		\[
+		\onslide<3->{
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			 6&  4&  4&  6& 2&  1\\
+			 2&  7& 10&  3& 4&  7\\
+			 1&  8&  9&  8& 3&  4\\
+			 3&  6&  6&  4& 5&  9\\
+			10& 10&  9&  8& 1&  6\\
+			 1&  9&  6&  4& 7&  6\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+		\end{pmatrix}
+		}
+		\]
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			6&  4&  4&  6& 2&  1\\
+			2&  7& 10&  3& 4&  7\\
+			1&  8&  9&  8& 3&  4\\
+			3&  6&  6&  4& 5&  9\\
+			10& 10&  9&  8& 1&  6\\
+			1&  9&  6&  4& 7&  6\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{itemize}
+			\onslide<2->{\item $m = [4,7,2,5,8,1]$}
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+
+\end{document}
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--- /dev/null
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@@ -0,0 +1,9 @@
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+\beamer@sectionintoc {5}{Codierung eines Beispiels}{29}{0}{5}
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+\beamer@sectionintoc {8}{Nachricht Rekonstruieren}{43}{0}{8}
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@@ -0,0 +1,143 @@
+\relax 
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+\HyperFirstAtBeginDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
+\global\let\oldcontentsline\contentsline
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+\global\let\oldnewlabel\newlabel
+\gdef\newlabel#1#2{\newlabelxx{#1}#2}
+\gdef\newlabelxx#1#2#3#4#5#6{\oldnewlabel{#1}{{#2}{#3}}}
+\AtEndDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
+\let\contentsline\oldcontentsline
+\let\newlabel\oldnewlabel
+\fi}
+\fi}
+\global\let\hyper@last\relax 
+\gdef\HyperFirstAtBeginDocument#1{#1}
+\providecommand*\HyPL@Entry[1]{}
+\bbl@beforestart
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+\babel@aux{ngerman}{}
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+\HyPL@Entry{2<</P(3)>>}
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.log
@@ -0,0 +1,1198 @@
+This is XeTeX, Version 3.14159265-2.6-0.999991 (TeX Live 2019/W32TeX) (preloaded format=xelatex 2019.10.25)  24 APR 2021 15:25
+entering extended mode
+ restricted \write18 enabled.
+ %&-line parsing enabled.
+**RS_handout.tex
+(./RS_handout.tex
+LaTeX2e <2019-10-01> patch level 1
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamer.cls
+Document Class: beamer 2019/09/29 v3.57 A class for typesetting presentations
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasemodes.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+Package: etoolbox 2019/09/21 v2.5h e-TeX tools for LaTeX (JAW)
+\etb@tempcnta=\count80
+)
+\beamer@tempbox=\box27
+\beamer@tempcount=\count81
+\c@beamerpauses=\count82
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasedecode.sty
+\beamer@slideinframe=\count83
+\beamer@minimum=\count84
+\beamer@decode@box=\box28
+)
+\beamer@commentbox=\box29
+\beamer@modecount=\count85
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifpdf.sty
+Package: ifpdf 2018/09/07 v3.3 Provides the ifpdf switch
+)
+\headdp=\dimen102
+\footheight=\dimen103
+\sidebarheight=\dimen104
+\beamer@tempdim=\dimen105
+\beamer@finalheight=\dimen106
+\beamer@animht=\dimen107
+\beamer@animdp=\dimen108
+\beamer@animwd=\dimen109
+\beamer@leftmargin=\dimen110
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+\beamer@tocsectionnumber=\count104
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseoptions.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 2014/10/28 v1.15 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks14
+))
+\beamer@paperwidth=\skip42
+\beamer@paperheight=\skip43
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+Package: geometry 2018/04/16 v5.8 Page Geometry
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifvtex.sty
+Package: ifvtex 2016/05/16 v1.6 Detect VTeX and its facilities (HO)
+Package ifvtex Info: VTeX not detected.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty
+Package: ifxetex 2010/09/12 v0.6 Provides ifxetex conditional
+)
+\Gm@cnth=\count105
+\Gm@cntv=\count106
+\c@Gm@tempcnt=\count107
+\Gm@bindingoffset=\dimen118
+\Gm@wd@mp=\dimen119
+\Gm@odd@mp=\dimen120
+\Gm@even@mp=\dimen121
+\Gm@layoutwidth=\dimen122
+\Gm@layoutheight=\dimen123
+\Gm@layouthoffset=\dimen124
+\Gm@layoutvoffset=\dimen125
+\Gm@dimlist=\toks15
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/size11.clo
+File: size11.clo 2019/08/27 v1.4j Standard LaTeX file (size option)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 2017/06/01 v1.1a Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2019/10/08 v1.3c Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration
+)
+Package graphics Info: Driver file: xetex.def on input line 105.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/xetex.def
+File: xetex.def 2017/06/24 v5.0h Graphics/color driver for xetex
+))
+\Gin@req@height=\dimen126
+\Gin@req@width=\dimen127
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex
+\pgfutil@everybye=\toks16
+\pgfutil@tempdima=\dimen128
+\pgfutil@tempdimb=\dimen129
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def
+\pgfutil@abb=\box36
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/ms/everyshi.sty
+Package: everyshi 2001/05/15 v3.00 EveryShipout Package (MS)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex)
+Package: pgfrcs 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
+Package: pgfsys 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
+\pgfkeys@pathtoks=\toks17
+\pgfkeys@temptoks=\toks18
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex
+\pgfkeys@tmptoks=\toks19
+))
+\pgf@x=\dimen130
+\pgf@y=\dimen131
+\pgf@xa=\dimen132
+\pgf@ya=\dimen133
+\pgf@xb=\dimen134
+\pgf@yb=\dimen135
+\pgf@xc=\dimen136
+\pgf@yc=\dimen137
+\pgf@xd=\dimen138
+\pgf@yd=\dimen139
+\w@pgf@writea=\write3
+\r@pgf@reada=\read1
+\c@pgf@counta=\count108
+\c@pgf@countb=\count109
+\c@pgf@countc=\count110
+\c@pgf@countd=\count111
+\t@pgf@toka=\toks20
+\t@pgf@tokb=\toks21
+\t@pgf@tokc=\toks22
+\pgf@sys@id@count=\count112
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg
+File: pgf.cfg 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+Driver file for pgf: pgfsys-xetex.def
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-xetex.def
+File: pgfsys-xetex.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-dvipdfmx.def
+File: pgfsys-dvipdfmx.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def
+File: pgfsys-common-pdf.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+\pgfsys@objnum=\count113
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
+File: pgfsyssoftpath.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfsyssoftpath@smallbuffer@items=\count114
+\pgfsyssoftpath@bigbuffer@items=\count115
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
+File: pgfsysprotocol.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+Package: xcolor 2016/05/11 v2.12 LaTeX color extensions (UK)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
+File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration
+)
+Package xcolor Info: Driver file: xetex.def on input line 225.
+Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1348.
+Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1364.
+Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1366.
+Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1367.
+Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1368.
+Package xcolor Info: Model `HSB' substituted by `hsb' on input line 1369.
+Package xcolor Info: Model `Gray' substituted by `gray' on input line 1370.
+Package xcolor Info: Model `wave' substituted by `hsb' on input line 1371.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
+Package: pgfcore 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex
+\pgfmath@dimen=\dimen140
+\pgfmath@count=\count116
+\pgfmath@box=\box37
+\pgfmath@toks=\toks23
+\pgfmath@stack@operand=\toks24
+\pgfmath@stack@operation=\toks25
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric
+.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.t
+ex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.co
+de.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithm
+etics.code.tex)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex
+\c@pgfmathroundto@lastzeros=\count117
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex
+File: pgfcorepoints.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@picminx=\dimen141
+\pgf@picmaxx=\dimen142
+\pgf@picminy=\dimen143
+\pgf@picmaxy=\dimen144
+\pgf@pathminx=\dimen145
+\pgf@pathmaxx=\dimen146
+\pgf@pathminy=\dimen147
+\pgf@pathmaxy=\dimen148
+\pgf@xx=\dimen149
+\pgf@xy=\dimen150
+\pgf@yx=\dimen151
+\pgf@yy=\dimen152
+\pgf@zx=\dimen153
+\pgf@zy=\dimen154
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.cod
+e.tex
+File: pgfcorepathconstruct.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@path@lastx=\dimen155
+\pgf@path@lasty=\dimen156
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.te
+x
+File: pgfcorepathusage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@shorten@end@additional=\dimen157
+\pgf@shorten@start@additional=\dimen158
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex
+File: pgfcorescopes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfpic=\box38
+\pgf@hbox=\box39
+\pgf@layerbox@main=\box40
+\pgf@picture@serial@count=\count118
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code
+.tex
+File: pgfcoregraphicstate.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgflinewidth=\dimen159
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.c
+ode.tex
+File: pgfcoretransformations.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@pt@x=\dimen160
+\pgf@pt@y=\dimen161
+\pgf@pt@temp=\dimen162
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex
+File: pgfcorequick.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex
+File: pgfcoreobjects.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.co
+de.tex
+File: pgfcorepathprocessing.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex
+File: pgfcorearrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfarrowsep=\dimen163
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex
+File: pgfcoreshade.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@max=\dimen164
+\pgf@sys@shading@range@num=\count119
+\pgf@shadingcount=\count120
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex
+File: pgfcoreimage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex
+File: pgfcoreexternal.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfexternal@startupbox=\box41
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex
+File: pgfcorelayers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code
+.tex
+File: pgfcoretransparency.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex
+File: pgfcorepatterns.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex
+File: pgfcorerdf.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/xxcolor.sty
+Package: xxcolor 2003/10/24 ver 0.1
+\XC@nummixins=\count121
+\XC@countmixins=\count122
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/atbegshi.sty
+Package: atbegshi 2016/06/09 v1.18 At begin shipout hook (HO)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/infwarerr.sty
+Package: infwarerr 2016/05/16 v1.4 Providing info/warning/error messages (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ltxcmds.sty
+Package: ltxcmds 2016/05/16 v1.23 LaTeX kernel commands for general use (HO)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+Package: hyperref 2019/09/28 v7.00a Hypertext links for LaTeX
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-hyperref.sty
+Package: hobsub-hyperref 2016/05/16 v1.14 Bundle oberdiek, subset hyperref (HO)
+
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-generic.sty
+Package: hobsub-generic 2016/05/16 v1.14 Bundle oberdiek, subset generic (HO)
+Package: hobsub 2016/05/16 v1.14 Construct package bundles (HO)
+Package hobsub Info: Skipping package `infwarerr' (already loaded).
+Package hobsub Info: Skipping package `ltxcmds' (already loaded).
+Package: ifluatex 2016/05/16 v1.4 Provides the ifluatex switch (HO)
+Package ifluatex Info: LuaTeX not detected.
+Package hobsub Info: Skipping package `ifvtex' (already loaded).
+Package: intcalc 2016/05/16 v1.2 Expandable calculations with integers (HO)
+Package hobsub Info: Skipping package `ifpdf' (already loaded).
+Package: etexcmds 2016/05/16 v1.6 Avoid name clashes with e-TeX commands (HO)
+Package: kvsetkeys 2016/05/16 v1.17 Key value parser (HO)
+Package: kvdefinekeys 2016/05/16 v1.4 Define keys (HO)
+Package: pdftexcmds 2019/07/25 v0.30 Utility functions of pdfTeX for LuaTeX (HO
+)
+Package pdftexcmds Info: LuaTeX not detected.
+Package pdftexcmds Info: pdfTeX >= 1.30 not detected.
+Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available.
+Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available.
+Package pdftexcmds Info: \pdfdraftmode not found.
+Package: pdfescape 2016/05/16 v1.14 Implements pdfTeX's escape features (HO)
+Package: bigintcalc 2016/05/16 v1.4 Expandable calculations on big integers (HO
+)
+Package: bitset 2016/05/16 v1.2 Handle bit-vector datatype (HO)
+Package: uniquecounter 2016/05/16 v1.3 Provide unlimited unique counter (HO)
+)
+Package hobsub Info: Skipping package `hobsub' (already loaded).
+Package: letltxmacro 2016/05/16 v1.5 Let assignment for LaTeX macros (HO)
+Package: hopatch 2016/05/16 v1.3 Wrapper for package hooks (HO)
+Package: xcolor-patch 2016/05/16 xcolor patch
+Package: atveryend 2016/05/16 v1.9 Hooks at the very end of document (HO)
+Package hobsub Info: Skipping package `atbegshi' (already loaded).
+Package: refcount 2016/05/16 v3.5 Data extraction from label references (HO)
+Package: hycolor 2016/05/16 v1.8 Color options for hyperref/bookmark (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/auxhook.sty
+Package: auxhook 2016/05/16 v1.4 Hooks for auxiliary files (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
+Package: kvoptions 2016/05/16 v3.12 Key value format for package options (HO)
+)
+\@linkdim=\dimen165
+\Hy@linkcounter=\count123
+\Hy@pagecounter=\count124
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+File: pd1enc.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+)
+\Hy@SavedSpaceFactor=\count125
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/hyperref.cfg
+File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+)
+Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 4414.
+Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 4414.
+Package hyperref Info: Option `implicit' set `false' on input line 4414.
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4540.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4545.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4548.
+Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 4555.
+Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 4560.
+Package hyperref Info: Implicit mode OFF; no redefinition of LaTeX internals.
+Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 4793.
+\c@Hy@tempcnt=\count126
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+\Urlmuskip=\muskip10
+Package: url 2013/09/16  ver 3.4  Verb mode for urls, etc.
+)
+LaTeX Info: Redefining \url on input line 5152.
+\XeTeXLinkMargin=\dimen166
+\Fld@menulength=\count127
+\Field@Width=\dimen167
+\Fld@charsize=\dimen168
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 6423.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 6428.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 6431.
+Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 6438.
+Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 6443.
+Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 6448.
+Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 6453.
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 6493.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 6497.
+\Hy@abspage=\count128
+
+
+Package hyperref Message: Stopped early.
+
+)
+Package hyperref Info: Driver (autodetected): hxetex.
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hxetex.def
+File: hxetex.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref driver for XeTeX
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def
+File: puenc.def 2019/09/28 v7.00a Hyperref: PDF Unicode definition (HO)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/stringenc.sty
+Package: stringenc 2016/05/16 v1.11 Convert strings between diff. encodings (HO
+)
+)
+\pdfm@box=\box42
+\c@Hy@AnnotLevel=\count129
+\HyField@AnnotCount=\count130
+\Fld@listcount=\count131
+\c@bookmark@seq@number=\count132
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/rerunfilecheck.sty
+Package: rerunfilecheck 2016/05/16 v1.8 Rerun checks for auxiliary files (HO)
+Package uniquecounter Info: New unique counter `rerunfilecheck' on input line 2
+82.
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/se-ascii-print.def
+File: se-ascii-print.def 2016/05/16 v1.11 stringenc: Printable ASCII characters
+
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaserequires.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasecompatibility.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasefont.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support
+\@emptytoks=\toks26
+\symAMSa=\mathgroup4
+\symAMSb=\mathgroup5
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \hbar on input line 98.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106.
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/sansmathaccent/sansmathaccent.sty
+Package: sansmathaccent 2013/03/28
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/filehook/filehook.sty
+Package: filehook 2019/10/03 v0.6 Hooks for input files
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetranslator.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator.sty
+Package: translator 2019-05-31 v1.12a Easy translation of strings in LaTeX
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasemisc.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetwoscreens.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseoverlay.sty
+\beamer@argscount=\count133
+\beamer@lastskipcover=\skip44
+\beamer@trivlistdepth=\count134
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetitle.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasesection.sty
+\c@lecture=\count135
+\c@part=\count136
+\c@section=\count137
+\c@subsection=\count138
+\c@subsubsection=\count139
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseframe.sty
+\beamer@framebox=\box43
+\beamer@frametitlebox=\box44
+\beamer@zoombox=\box45
+\beamer@zoomcount=\count140
+\beamer@zoomframecount=\count141
+\beamer@frametextheight=\dimen169
+\c@subsectionslide=\count142
+\beamer@frametopskip=\skip45
+\beamer@framebottomskip=\skip46
+\beamer@frametopskipautobreak=\skip47
+\beamer@framebottomskipautobreak=\skip48
+\beamer@envbody=\toks27
+\framewidth=\dimen170
+\c@framenumber=\count143
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseverbatim.sty
+\beamer@verbatimfileout=\write4
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseframesize.sty
+\beamer@splitbox=\box46
+\beamer@autobreakcount=\count144
+\beamer@autobreaklastheight=\dimen171
+\beamer@frametitletoks=\toks28
+\beamer@framesubtitletoks=\toks29
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseframecomponents.sty
+\beamer@footins=\box47
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasecolor.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasenotes.sty
+\beamer@frameboxcopy=\box48
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetoc.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetemplates.sty
+\beamer@sbttoks=\toks30
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseauxtemplates.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaseboxes.sty
+\bmb@box=\box49
+\bmb@colorbox=\box50
+\bmb@boxshadow=\box51
+\bmb@boxshadowball=\box52
+\bmb@boxshadowballlarge=\box53
+\bmb@temp=\dimen172
+\bmb@dima=\dimen173
+\bmb@dimb=\dimen174
+\bmb@prevheight=\dimen175
+)
+\beamer@blockheadheight=\dimen176
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbaselocalstructure.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/tools/enumerate.sty
+Package: enumerate 2015/07/23 v3.00 enumerate extensions (DPC)
+\@enLab=\toks31
+)
+\c@figure=\count145
+\c@table=\count146
+\abovecaptionskip=\skip49
+\belowcaptionskip=\skip50
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasenavigation.sty
+\beamer@section@min@dim=\dimen177
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasetheorems.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2019/04/01 v2.17c AMS math features
+\@mathmargin=\skip51
+
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01 AMS text
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions
+\@emptytoks=\toks32
+\ex@=\dimen178
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols
+\pmbraise@=\dimen179
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 2016/03/08 v2.02 operator names
+)
+\inf@bad=\count147
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 227.
+\uproot@=\count148
+\leftroot@=\count149
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 389.
+\classnum@=\count150
+\DOTSCASE@=\count151
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 486.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 489.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 610.
+\Mathstrutbox@=\box54
+\strutbox@=\box55
+\big@size=\dimen180
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 733.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 734.
+\macc@depth=\count152
+\c@MaxMatrixCols=\count153
+\dotsspace@=\muskip11
+\c@parentequation=\count154
+\dspbrk@lvl=\count155
+\tag@help=\toks33
+\row@=\count156
+\column@=\count157
+\maxfields@=\count158
+\andhelp@=\toks34
+\eqnshift@=\dimen181
+\alignsep@=\dimen182
+\tagshift@=\dimen183
+\tagwidth@=\dimen184
+\totwidth@=\dimen185
+\lineht@=\dimen186
+\@envbody=\toks35
+\multlinegap=\skip52
+\multlinetaggap=\skip53
+\mathdisplay@stack=\toks36
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2855.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2856.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+Package: amsthm 2017/10/31 v2.20.4
+\thm@style=\toks37
+\thm@bodyfont=\toks38
+\thm@headfont=\toks39
+\thm@notefont=\toks40
+\thm@headpunct=\toks41
+\thm@preskip=\skip54
+\thm@postskip=\skip55
+\thm@headsep=\skip56
+\dth@everypar=\toks42
+)
+\c@theorem=\count159
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerbasethemes.sty))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerthemedefault.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerfontthemedefault.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamercolorthemedefault.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerinnerthemedefault.sty
+\beamer@dima=\dimen187
+\beamer@dimb=\dimen188
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerouterthemedefault.sty)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+Package: inputenc 2018/08/11 v1.3c Input encoding file
+\inpenc@prehook=\toks43
+\inpenc@posthook=\toks44
+
+
+Package inputenc Warning: inputenc package ignored with utf8 based engines.
+
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+Package: fontenc 2018/08/11 v2.0j Standard LaTeX package
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/t1enc.def
+File: t1enc.def 2018/08/11 v2.0j Standard LaTeX file
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 48.
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for T1+lmss on input line 1
+05.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/t1lmss.fd
+File: t1lmss.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/lmodern.sty
+Package: lmodern 2009/10/30 v1.6 Latin Modern Fonts
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/m/n --> OT1/lmr/m/n on input line 22.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `normal'
+(Font)                  OML/cmm/m/it --> OML/lmm/m/it on input line 23.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `normal'
+(Font)                  OMS/cmsy/m/n --> OMS/lmsy/m/n on input line 24.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal'
+(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/lmex/m/n on input line 25.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 26.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
+(Font)                  OML/cmm/b/it --> OML/lmm/b/it on input line 27.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
+(Font)                  OMS/cmsy/b/n --> OMS/lmsy/b/n on input line 28.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
+(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/lmex/m/n on input line 29.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 31.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmss/m/n --> OT1/lmss/m/n on input line 32.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/m/it --> OT1/lmr/m/it on input line 33.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmtt/m/n --> OT1/lmtt/m/n on input line 34.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 35.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmss/bx/n --> OT1/lmss/bx/n on input line 36.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/it --> OT1/lmr/bx/it on input line 37.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmtt/m/n --> OT1/lmtt/m/n on input line 38.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2019/10/15 3.35 The Babel package
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/switch.def
+File: switch.def 2019/10/15 3.35 Babel switching mechanism
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel-german/ngerman.ldf
+Language: ngerman 2018/12/08 v2.11 German support for babel (post-1996 orthogra
+phy)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel-german/ngermanb.ldf
+Language: ngermanb 2018/12/08 v2.11 German support for babel (post-1996 orthogr
+aphy)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.def
+File: babel.def 2019/10/15 3.35 Babel common definitions
+\babel@savecnt=\count160
+\U@D=\dimen189
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/xebabel.def
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def))
+LaTeX Info: Redefining \textlatin on input line 2185.
+\bbl@dirlevel=\count161
+)
+Package babel Info: Making " an active character on input line 121.
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+Package: pgf 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.tex
+File: pgfmoduleshapes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfnodeparttextbox=\box56
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex
+File: pgfmoduleplot.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.st
+y
+Package: pgfcomp-version-0-65 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@nodesepstart=\dimen190
+\pgf@nodesepend=\dimen191
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.st
+y
+Package: pgfcomp-version-1-18 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
+Package: pgffor 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex)
+\pgffor@iter=\dimen192
+\pgffor@skip=\dimen193
+\pgffor@stack=\toks45
+\pgffor@toks=\toks46
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
+Package: tikz 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.co
+de.tex
+File: pgflibraryplothandlers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@plot@mark@count=\count162
+\pgfplotmarksize=\dimen194
+)
+\tikz@lastx=\dimen195
+\tikz@lasty=\dimen196
+\tikz@lastxsaved=\dimen197
+\tikz@lastysaved=\dimen198
+\tikz@lastmovetox=\dimen199
+\tikz@lastmovetoy=\dimen256
+\tikzleveldistance=\dimen257
+\tikzsiblingdistance=\dimen258
+\tikz@figbox=\box57
+\tikz@figbox@bg=\box58
+\tikz@tempbox=\box59
+\tikz@tempbox@bg=\box60
+\tikztreelevel=\count163
+\tikznumberofchildren=\count164
+\tikznumberofcurrentchild=\count165
+\tikz@fig@count=\count166
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex
+File: pgfmodulematrix.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfmatrixcurrentrow=\count167
+\pgfmatrixcurrentcolumn=\count168
+\pgf@matrix@numberofcolumns=\count169
+)
+\tikz@expandcount=\count170
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarytopaths.code.tex
+File: tikzlibrarytopaths.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerthemeHannover.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerouterthemesidebar.sty
+\beamer@sidebarwidth=\dimen259
+\beamer@headheight=\dimen260
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamercolorthemeseahorse.sty)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/beamer/beamerinnerthemecircles.sty))
+(./RS_handout.aux)
+\openout1 = `RS_handout.aux'.
+
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for TU/lmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for PU/pdf/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 9.
+
+*geometry* driver: auto-detecting
+*geometry* detected driver: xetex
+*geometry* verbose mode - [ preamble ] result:
+* driver: xetex
+* paper: custom
+* layout: <same size as paper>
+* layoutoffset:(h,v)=(0.0pt,0.0pt)
+* modes: includehead includefoot 
+* h-part:(L,W,R)=(59.22636pt, 381.79135pt, 14.22636pt)
+* v-part:(T,H,B)=(0.0pt, 256.0748pt, 0.0pt)
+* \paperwidth=455.24408pt
+* \paperheight=256.0748pt
+* \textwidth=381.79135pt
+* \textheight=227.62207pt
+* \oddsidemargin=-13.04362pt
+* \evensidemargin=-13.04362pt
+* \topmargin=-72.26999pt
+* \headheight=14.22636pt
+* \headsep=0.0pt
+* \topskip=11.0pt
+* \footskip=14.22636pt
+* \marginparwidth=4.0pt
+* \marginparsep=10.0pt
+* \columnsep=10.0pt
+* \skip\footins=10.0pt plus 4.0pt minus 2.0pt
+* \hoffset=0.0pt
+* \voffset=0.0pt
+* \mag=1000
+* \@twocolumnfalse
+* \@twosidefalse
+* \@mparswitchfalse
+* \@reversemarginfalse
+* (1in=72.27pt=25.4mm, 1cm=28.453pt)
+
+ABD: EveryShipout initializing macros
+\AtBeginShipoutBox=\box61
+Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 9.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/hyperref/nameref.sty
+Package: nameref 2019/09/16 v2.46 Cross-referencing by name of section
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/gettitlestring.sty
+Package: gettitlestring 2016/05/16 v1.5 Cleanup title references (HO)
+)
+\c@section@level=\count171
+)
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 9.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 9.
+LaTeX Info: Redefining \nameref on input line 9.
+
+(./RS_handout.out) (./RS_handout.out)
+\@outlinefile=\write5
+\openout5 = `RS_handout.out'.
+
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font)                  OT1/lmr/m/n --> OT1/cmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font)                  OT1/lmr/bx/n --> OT1/cmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmss/m/n --> OT1/lmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmss/bx/n --> OT1/lmss/bx/n on input line 9.
+\symnumbers=\mathgroup6
+\sympureletters=\mathgroup7
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathrm' in version `normal'
+(Font)                  OT1/lmss/m/n --> T1/lmr/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathbf on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
+(Font)                  OT1/lmr/bx/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/lmr/bx/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathsf on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal'
+(Font)                  OT1/lmss/m/n --> T1/lmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/lmss/bx/n --> T1/lmss/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathit on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
+(Font)                  OT1/lmr/m/it --> T1/lmss/m/it on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font)                  OT1/lmr/bx/it --> T1/lmss/m/it on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathtt on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal'
+(Font)                  OT1/lmtt/m/n --> T1/lmtt/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font)                  OT1/lmtt/m/n --> T1/lmtt/m/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `numbers' in version `bold'
+(Font)                  T1/lmss/m/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `pureletters' in version `bold'
+(Font)                  T1/lmss/m/it --> T1/lmss/bx/it on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathrm' in version `bold'
+(Font)                  OT1/lmss/bx/n --> T1/lmr/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font)                  T1/lmss/bx/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font)                  T1/lmss/m/n --> T1/lmss/bx/n on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font)                  T1/lmss/m/it --> T1/lmss/bx/it on input line 9.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font)                  T1/lmtt/m/n --> T1/lmtt/bx/n on input line 9.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-basic-dictionary-En
+glish.dict
+Dictionary: translator-basic-dictionary, Language: English 
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-bibliography-dictio
+nary-English.dict
+Dictionary: translator-bibliography-dictionary, Language: English 
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-environment-diction
+ary-English.dict
+Dictionary: translator-environment-dictionary, Language: English 
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-months-dictionary-E
+nglish.dict
+Dictionary: translator-months-dictionary, Language: English 
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-numbers-dictionary-
+English.dict
+Dictionary: translator-numbers-dictionary, Language: English 
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/translator/translator-theorem-dictionary-
+English.dict
+Dictionary: translator-theorem-dictionary, Language: English 
+) (./RS_handout.nav)
+
+Package hyperref Warning: Option `pdfauthor' has already been used,
+(hyperref)                setting the option has no effect on input line 10.
+
+
+Package hyperref Warning: Option `pdfsubject' has already been used,
+(hyperref)                setting the option has no effect on input line 16.
+
+[1
+
+]
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OT1+lmss on input line 
+32.
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/ot1lmss.fd
+File: ot1lmss.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OML+lmm on input line 3
+2.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/omllmm.fd
+File: omllmm.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OMS+lmsy on input line 
+32.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/omslmsy.fd
+File: omslmsy.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OMX+lmex on input line 
+32.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/omxlmex.fd
+File: omxlmex.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <10.95> on input line 32.
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <8> on input line 32.
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <6> on input line 32.
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+msa on input line 32.
+
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
+File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+msb on input line 32.
+
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
+File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
+)
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/lmss/m/it' in size <10.95> not available
+(Font)              Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 32.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/lmss/m/it' in size <8> not available
+(Font)              Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 32.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/lmss/m/it' in size <6> not available
+(Font)              Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 32.
+ [2
+
+]
+File: images/polynom2.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/polynom2.pdf>
+ [3
+
+] [4
+
+] [5
+
+]
+File: images/fig1.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig1.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 111
+ []
+
+[6
+
+]
+File: images/fig2.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig2.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 111
+ []
+
+[7
+
+]
+File: images/fig3.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig3.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 111
+ []
+
+[8
+
+]
+File: images/fig4.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig4.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 111
+ []
+
+[9
+
+]
+File: images/fig5.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig5.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 111
+ []
+
+[10
+
+]
+File: images/fig6.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig6.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 111
+ []
+
+[11
+
+]
+File: images/fig7.pdf Graphic file (type pdf)
+<use images/fig7.pdf>
+
+Overfull \vbox (14.63716pt too high) detected at line 111
+ []
+
+[12
+
+] [13
+
+] [14
+
+] [15
+
+] [16
+
+] [17
+
+]
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for T1+lmr on input line 28
+6.
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/lm/t1lmr.fd
+File: t1lmr.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+) [18
+
+] [19
+
+]
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+euf on input line 368
+.
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
+File: ueuf.fd 2013/01/14 v3.01 Euler Fraktur
+) [20
+
+]
+[21
+
+] [22
+
+] [23
+
+] [24
+
+] [25
+
+]
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <14.4> on input line 618.
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <10> on input line 618.
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <7> on input line 618.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/lmss/m/it' in size <14.4> not available
+(Font)              Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 618.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/lmss/m/it' in size <10> not available
+(Font)              Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 618.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/lmss/m/it' in size <7> not available
+(Font)              Font shape `T1/lmss/m/sl' tried instead on input line 618.
+ [26
+
+]
+Overfull \hbox (2.91844pt too wide) detected at line 653
+[]
+ []
+
+[27
+
+] [28
+
+] [29
+
+] [30
+
+] [31
+
+] [32
+
+] [33
+
+] [34
+
+]
+\tf@nav=\write6
+\openout6 = `RS_handout.nav'.
+
+\tf@toc=\write7
+\openout7 = `RS_handout.toc'.
+
+\tf@snm=\write8
+\openout8 = `RS_handout.snm'.
+
+Package atveryend Info: Empty hook `BeforeClearDocument' on input line 907.
+Package atveryend Info: Empty hook `AfterLastShipout' on input line 907.
+ (./RS_handout.aux)
+Package atveryend Info: Empty hook `AtVeryEndDocument' on input line 907.
+Package atveryend Info: Executing hook `AtEndAfterFileList' on input line 907.
+Package rerunfilecheck Info: File `RS_handout.out' has not changed.
+(rerunfilecheck)             Checksum: CBEDF1F633104E8EE4EB074E401487DA.
+ ) 
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 24519 strings out of 492483
+ 453771 string characters out of 6132858
+ 551669 words of memory out of 5000000
+ 28480 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 82614 words of font info for 73 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 1348 hyphenation exceptions out of 8191
+ 58i,15n,61p,804b,549s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
+
+Output written on RS_handout.pdf (34 pages).
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.nav b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.nav
new file mode 100644
index 0000000..b6e8a36
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.nav
@@ -0,0 +1,85 @@
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{1}{1/1}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {1}{1}}
+\headcommand {\beamer@sectionpages {1}{1}}
+\headcommand {\beamer@subsectionpages {1}{1}}
+\headcommand {\sectionentry {1}{Einführung}{2}{Einführung}{0}}
+\headcommand {\slideentry {1}{0}{1}{2/2}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {2}{2}}
+\headcommand {\beamer@sectionpages {2}{2}}
+\headcommand {\beamer@subsectionpages {2}{2}}
+\headcommand {\sectionentry {2}{Polynom Ansatz}{3}{Polynom Ansatz}{0}}
+\headcommand {\slideentry {2}{0}{1}{3/3}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {3}{3}}
+\headcommand {\slideentry {2}{0}{2}{4/4}{}{0}}
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+\headcommand {\beamer@sectionpages {3}{4}}
+\headcommand {\beamer@subsectionpages {3}{4}}
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+\headcommand {\beamer@framepages {5}{5}}
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+\headcommand {\beamer@framepages {6}{12}}
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+\headcommand {\beamer@subsectionpages {5}{15}}
+\headcommand {\sectionentry {4}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{16}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{0}}
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+\headcommand {\slideentry {4}{0}{2}{17/17}{}{0}}
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+\headcommand {\sectionentry {5}{Codierung eines Beispiels}{18}{Codierung eines Beispiels}{0}}
+\headcommand {\slideentry {5}{0}{1}{18/18}{}{0}}
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+\headcommand {\slideentry {6}{0}{1}{20/20}{}{0}}
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+\headcommand {\beamer@subsectionpages {20}{22}}
+\headcommand {\sectionentry {7}{Decodierung mit Fehler}{23}{Decodierung mit Fehler}{0}}
+\headcommand {\slideentry {7}{0}{1}{23/23}{}{0}}
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+\headcommand {\slideentry {7}{0}{2}{24/24}{}{0}}
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+\headcommand {\sectionentry {8}{Nachricht Rekonstruieren}{29}{Nachricht Rekonstruieren}{0}}
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+\headcommand {\beamer@sectionpages {29}{34}}
+\headcommand {\beamer@documentpages {34}}
+\headcommand {\gdef \inserttotalframenumber {28}}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.out b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.out
new file mode 100644
index 0000000..364319e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.out
@@ -0,0 +1,8 @@
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.1}{Einführung}{}% 1
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.2}{Polynom\040Ansatz}{}% 2
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.3}{Diskrete\040Fourier\040Transformation}{}% 3
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.4}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{}% 4
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.5}{Codierung\040eines\040Beispiels}{}% 5
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.6}{Decodierung\040ohne\040Fehler}{}% 6
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.7}{Decodierung\040mit\040Fehler}{}% 7
+\BOOKMARK [2][]{Outline0.8}{Nachricht\040Rekonstruieren}{}% 8
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.pdf b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.pdf
new file mode 100644
index 0000000..382049d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.pdf
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.snm b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.snm
new file mode 100644
index 0000000..1796304
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.snm
@@ -0,0 +1 @@
+\beamer@slide {ft_discrete}{13}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.synctex.gz b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.synctex.gz
new file mode 100644
index 0000000..c28a28a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.synctex.gz
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.tex b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.tex
new file mode 100644
index 0000000..1cbb6ef
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.tex
@@ -0,0 +1,907 @@
+\documentclass[11pt,aspectratio=169]{beamer}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{lmodern}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage{tikz}
+\usetheme{Hannover}
+
+\begin{document}
+	\author{Joshua Bär und Michael Steiner}
+	\title{Reed-Solomon-Code}
+	\subtitle{}
+	\logo{}
+	\institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
+	\date{26.04.2021}
+	\subject{Mathematisches Seminar}
+	%\setbeamercovered{transparent}
+	\setbeamercovered{invisible}
+	\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
+	\begin{frame}[plain]
+		\maketitle
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\section{Einführung}
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Reed-Solomon-Code:}
+		\begin{itemize}
+		\item Für Übertragung von Daten
+		\item Ermöglicht Korrektur von Übertragungsfehler
+		\item Wird verwendet in: CD, QR-Codes, Voyager-Sonde, etc.
+		\end{itemize}
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\section{Polynom Ansatz}
+	\begin{frame}
+		\begin{itemize}
+			\item $2, 1, 5$ versenden und auf 2 Fehler absichern
+		\end{itemize}
+		\frametitle{Beispiel}
+		Übertragen von 
+		${f}_2=\textcolor{blue}{2}$, ${f}_1=\textcolor{blue}{1}$, ${f}_0=\textcolor{blue}{5}$ 
+		als $ p(w) = \textcolor{blue}{2}w^2 + \textcolor{blue}{1}w + \textcolor{blue}{5} $.
+		\newline
+		Versende $ (p(1),p(2),\dots,p(7)) = (\textcolor{green}{8}, 
+		\textcolor{red}{50}, \textcolor{red}{37},
+		\textcolor{green}{41}, \textcolor{green}{60}, 
+		\textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$
+		\includegraphics[scale = 1.2]{images/polynom2.pdf}
+		\newline
+		\textcolor{green}{7} Zahlen versenden, um \textcolor{blue}{3} Zahlen gegen \textcolor{red}{2} Fehlern abzusichern.
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+	\frametitle{Parameter}
+	\begin{center}
+		\begin{tabular}{ c c c } 
+			\hline
+			Nutzlas & Fehler & Versenden \\
+			\hline 
+			3 & 2 & 7 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\ 
+			4 & 2 & 8 Werte eines Polynoms vom Grad 3 \\
+			3& 3& 9 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\ 
+			&&\\
+			$k$ & $t$ & $k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$ \\ 
+			\hline
+			&&\\
+			&&\\
+			\multicolumn{3}{l} {
+			Ausserdem können bis zu $2t$ Fehler erkannt werden!
+			}
+		\end{tabular}
+	\end{center}	
+	\end{frame}
+
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+
+\section{Diskrete Fourier Transformation}
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Idee}
+		\begin{itemize}
+			\item Fourier-transformieren
+			\item Übertragung
+			\item Rücktransformieren
+		\end{itemize}
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\begin{figure}
+			\only<1>{
+			\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig1.pdf}
+			}
+			\only<2>{
+			\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig2.pdf}
+			}
+			\only<3>{
+			\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig3.pdf}
+			}
+			\only<4>{
+			\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig4.pdf}
+			}
+			\only<5>{
+			\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig5.pdf}
+			}
+			\only<6>{
+			\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig6.pdf}
+			}
+			\only<7>{
+			\includegraphics[width=0.9\linewidth]{images/fig7.pdf}
+			}
+	\end{figure}
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+	\begin{frame}
+	\frametitle{Diskrete Fourier Transformation}
+	\begin{itemize}
+	\item Diskrete Fourier-Transformation gegeben durch:
+	
+	\[
+	\label{ft_discrete}
+	\hat{c}_{k} 
+	= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}
+	{f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn}
+	\]
+
+	\item Ersetzte
+	\[
+	w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}
+	\]
+
+	\item Wenn $N$ konstant:
+	\[
+	\hat{c}_{k}=\frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N)
+	\]
+	\end{itemize}
+	\end{frame}	
+
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+	\frametitle{Diskrete Fourier Transformation}
+	\[
+	\begin{pmatrix}
+		\hat{c}_1 \\\hat{c}_2 \\\hat{c}_3 \\ \vdots \\\hat{c}_n
+	\end{pmatrix}
+	= \frac{1}{N}
+	\begin{pmatrix}
+		w^0 & w^0   & w^0  & \dots  &w^0     \\
+		w^0 & w^1   &w^2   & \dots  &w^{N-1}     \\ 
+		w^0 & w^2   &w^4   & \dots  &w^{2(N-1)}  \\ 
+		\vdots   & \vdots     &\vdots     &\ddots  &\vdots       \\
+		w^0 & w^{1(N-1)}&w^{2(N-1)}& \dots  &w^{(N-1)(N-1)}  \\ 
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		\textcolor{blue}{f_0}  	\\
+		\textcolor{blue}{f_1}	\\
+		\textcolor{blue}{f_2}	\\	 
+ 		\vdots  \\
+	 	0  \\ 
+	\end{pmatrix}
+	\]
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Probleme und Fragen}
+		
+			Wie wird der Fehler lokalisiert?
+			\newline
+			Indem in einem endlichen Körper gerechnet wird.
+		
+	\end{frame}	
+
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+
+
+\section{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}	
+
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Warum endliche Körper?
+			
+			\qquad konkrete Zahlen $\rightarrow$ keine Rundungsfehler
+			
+			\qquad digitale Fehlerkorrektur
+			
+			%\onslide<4->{\qquad bessere Laufzeit}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Nachricht = Nutzdaten + Fehlerkorrekturteil
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item aus Fehlerkorrekturteil die Fehlerstellen finden
+			
+			\qquad $\Rightarrow$ gesucht ist ein Lokatorpolynom
+			
+%			\vspace{10pt}
+			
+%			\onslide<1->{\item Im Fehlerfall sollen wir aus der Nachricht ein Lokatorpolynom berechnen können, welches die fehlerhaften Stellen beinhaltet}
+			
+%			Wir sollten im Fehlerfall in der Lage sein, aus der Nachricht ein Lokatorpolynom zu berechnen, welches die Fehlerhaften Stellen beinhaltet
+						
+		\end{itemize}
+		
+%		TODO
+		
+%		erklärung und einführung der endlichen körper, was wollen wir erreichen?
+		
+%		wir versenden im endefekt mehr daten als unsere nachricht umfasst, damit die korrektur sichergestellt werden kann
+		
+%		sollten wir fehler bekommen, was uns die korrekturstellen mitgeteilt wird, dann ist es unsere aufgabe ein lokatorpolynom zu finden, welches uns verrät, auf welchen zeilen der Fehler aufgetreten ist
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Definition eines Beispiels}
+		
+		\begin{itemize}
+			
+			\item endlicher Körper $q = 11$
+			
+			ist eine Primzahl
+
+			beinhaltet die Zahlen $\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Nachrichtenblock $=$ Nutzlast $+$ Fehlerkorrekturstellen
+			
+			$n = q - 1 = 10$ Zahlen
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Max.~Fehler $t = 2$
+			
+			maximale Anzahl von Fehler, die wir noch korrigieren können
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Nutzlast $k = n -2t = 6$ Zahlen
+			
+			Fehlerkorrkturstellen $2t = 4$ Zahlen
+			
+			Nachricht $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$
+			
+			als Polynom $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$
+			
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\section{Codierung eines Beispiels}
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Codierung}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Ansatz aus den komplexen Zahlen mit der diskreten Fouriertransformation
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Eulersche Zahl $\mathrm{e}$ existiert nicht in $\mathbb{F}_{11}$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Wir suchen $a$ so, dass $a^i$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken
+			
+			$\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Wir wählen $a = 8$
+			
+			$\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1,8,9,6,4,10,3,2,5,7\}$
+			
+			$8$ ist eine primitive Einheitswurzel
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $m(8^0) = 4\cdot1 + 7\cdot1 + 2\cdot1 + 5\cdot1 + 8\cdot1 + 1 = 5$
+			
+			$\Rightarrow$ \qquad können wir auch als Matrix schreiben
+			
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Codierung}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Übertragungsvektor $v$
+			
+			\item $v = A \cdot m$
+			
+		\end{itemize}
+		
+		\[
+		v = \begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	8^6&	8^7&    8^8&	8^9\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+			8^0&	8^3&	8^6&	8^9& 8^{12}& 8^{15}& 8^{18}& 8^{21}& 8^{24}& 8^{27}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+			8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+			8^0&	8^8& 8^{16}& 8^{24}& 8^{32}& 8^{40}& 8^{48}& 8^{56}& 8^{64}& 8^{72}\\
+			8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			1 \\ 8 \\ 5 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\section{Decodierung ohne Fehler}
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Decodierung ohne Fehler}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Der Empfänger erhält den unveränderten Vektor $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Wir suchen die Inverse der Matrix $A$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+		\end{itemize}
+		
+		\begin{columns}[t]
+		\begin{column}{0.55\textwidth}		
+		Inverse der Fouriertransformation
+		\vspace{10pt}
+
+		\[
+		F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt
+		\]
+
+		\vspace{10pt}
+
+		\[
+		\mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega
+		\]
+
+		\end{column}
+		\begin{column}{0.45\textwidth}		
+		Inverse von $a$
+		
+		\vspace{10pt}
+		
+		\[
+		8^{1} \Rightarrow 8^{-1}
+		\]
+	
+		Inverse finden wir über den Eulkidischen Algorithmus
+		\vspace{10pt}
+		\end{column}
+		\end{columns}		
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Der Euklidische Algorithmus}
+	
+	\begin{columns}[t]
+	\begin{column}{0.50\textwidth}	
+	
+	Recap aus der Vorlesung:
+	
+	Gegeben $a \in \mathbb{F}_p$, finde $b = a^{-1} \in \mathbb{F}_p$
+	
+	\begin{tabular}{rcl}
+		$a  b$ &$\equiv$& $1 \mod p$\\
+		$a  b$ &$=$& $1 + n  p$\\
+		$a  b - n  p$ &$=$& $1$\\
+		&&\\
+		$\operatorname{ggT}(a,p)$&$=$& $1$\\
+		$sa + tp$&$=$& $1$\\
+		$b$&$=$&$s$\\
+		$n$&$=$&$-t$
+	\end{tabular}
+	
+	\end{column}
+	\begin{column}{0.50\textwidth}	
+	
+	\begin{center}
+
+	\begin{tabular}{| c | c c | c | r r |}
+		\hline
+		$k$ & $a_i$ & $b_i$ & $q_i$ & $c_i$ & $d_i$\\
+		\hline 
+		& & & & $1$& $0$\\
+		$0$& $8$& $11$& $0$& $0$& $1$\\
+		$1$& $11$& $8$& $1$& $1$& $0$\\
+		$2$& $8$& $3$& $2$& $-1$& $1$\\
+		$3$& $3$& $2$& $1$& $3$& $-2$\\
+		$4$& $2$& $1$& $2$& \textcolor{blue}{$-4$}& \textcolor{red}{$3$}\\
+		$5$& $1$& $0$& & $11$& $-8$\\
+		\hline
+	\end{tabular}	
+	
+
+	\vspace{10pt}
+	
+	\begin{tabular}{rcl}
+		$\textcolor{blue}{-4} \cdot 8 + \textcolor{red}{3} \cdot 11$ &$=$& $1$\\
+		$7 \cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$\\
+		$8^{-1}$ &$=$& $7$
+		
+	\end{tabular}
+	
+	\end{center}
+	
+	\end{column}
+	\end{columns}
+	
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Decodierung mit Inverser Matrix}	
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+			
+			\item $m = 1/10 \cdot A^{-1} \cdot v$
+			
+			\item $m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v$
+			
+		\end{itemize}
+
+		\[
+		m = 10 \cdot \begin{pmatrix}
+			7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0\\
+			7^0&	7^1&	7^2&	7^3&	7^4&	7^5&	7^6&	7^7&    7^8&	7^9\\
+			7^0&	7^2&	7^4&	7^6&	7^8& 7^{10}& 7^{12}& 7^{14}& 7^{16}& 7^{18}\\
+			7^0&	7^3&	7^6&	7^9& 7^{12}& 7^{15}& 7^{18}& 7^{21}& 7^{24}& 7^{27}\\
+			7^0&	7^4&	7^8& 7^{12}& 7^{16}& 7^{20}& 7^{24}& 7^{28}& 7^{32}& 7^{36}\\
+			7^0&	7^5& 7^{10}& 7^{15}& 7^{20}& 7^{25}& 7^{30}& 7^{35}& 7^{40}& 7^{45}\\
+			7^0&	7^6& 7^{12}& 7^{18}& 7^{24}& 7^{30}& 7^{36}& 7^{42}& 7^{48}& 7^{54}\\
+			7^0&	7^7& 7^{14}& 7^{21}& 7^{28}& 7^{35}& 7^{42}& 7^{49}& 7^{56}& 7^{63}\\
+			7^0&	7^8& 7^{16}& 7^{24}& 7^{32}& 7^{40}& 7^{48}& 7^{56}& 7^{64}& 7^{72}\\
+			7^0&	7^9& 7^{18}& 7^{27}& 7^{36}& 7^{45}& 7^{54}& 7^{63}& 7^{72}& 7^{81}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 5 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 10 \\ 4 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+\section{Decodierung mit Fehler}
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Decodierung mit Fehler - Ansatz}	
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Gesendet: $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+			
+			\item Empfangen: $w = [5,3,6,\textcolor{red}{8},2,10,2,7,\textcolor{red}{1},4]$
+			
+			\item Rücktransformation: $r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{Fehlerinfo}5,4,5,7,6,7]$
+			
+		\end{itemize}
+		
+		Wie finden wir die Fehler?
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$
+			
+			\item $r(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + 5X^5 + 4X^4 + 5X^3 + 7X^2 + 6X + 7$
+			
+			\item $e(X) = r(X) - m(X)$
+			
+		\end{itemize}	
+
+		\begin{center}
+
+		\begin{tabular}{c c c c c c c c c c c}
+			\hline
+			$i$& $0$& $1$& $2$& $3$& $4$& $5$& $6$& $7$& $8$& $9$\\
+			\hline
+			$r(a^{i})$& $5$& $3$& $6$& $8$& $2$& $10$& $2$& $7$& $1$& $4$\\
+			$m(a^{i})$& $5$& $3$& $6$& $5$& $2$& $10$& $2$& $7$& $10$& $4$\\
+			$e(a^{i})$& $0$& $0$& $0$& $3$& $0$& $0$& $0$& $0$& $2$& $0$\\
+			\hline
+		\end{tabular}	
+
+		\end{center}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Alle Stellen, die nicht Null sind, sind Fehler
+		\end{itemize}
+		
+
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Nullstellen des Fehlerpolynoms finden}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $\operatorname{ggT}$ gibt uns eine Liste der Nullstellen, an denen es keine Fehler gegeben hat
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9)$
+				
+		\end{itemize}
+			
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Nullstellen des Fehlerpolynoms finden}
+		
+		\begin{itemize}
+			
+			\item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $\operatorname{kgV}$ gibt uns eine Liste von aller Nullstellen, die wir in $e$ und $d$ zerlegen können
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			$\operatorname{kgV}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot $
+			
+			\qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9) \cdot q(X)$
+			
+			$= d(X) \cdot e(X)$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Lokatorpolynom $d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$
+			
+		\end{itemize}
+	
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Kennen wir $e(X)$?}
+		
+		\begin{itemize}
+			
+			\item $e(X)$ ist unbekannt auf der Empfängerseite
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $e(X) = r(X) - m(X)$ \qquad $\rightarrow$ \qquad $m(X)$ ist unbekannt?
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $m$ ist nicht gänzlich unbekannt: $m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?]$
+			
+			In den bekannten Stellen liegt auch die Information, wo es Fehler gegeben hat
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Daraus folgt $e(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $f(X) = X^{10} - 1 = X^{10} + 10$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Jetzt können wir den $\operatorname{ggT}$ von $f(X)$ und $e(X)$ berechnen
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Der Euklidische Algorithmus (nochmal)}
+		
+		$\operatorname{ggT}(f(X),e(X))$ hat den Grad $8$
+		
+		\[
+		\arraycolsep=1.4pt
+		\begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+			X^{10}& & & & & & &+& 10& & & & &:&5X^9&+&7X^8&+& 4X^7&+&10X^6&+&p(X)&=&9X&+&5\\
+			X^{10}&+& 8X^9&+& 3X^8&+&2X^7&+& p(X)& &  & & & &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{1-9}
+			&& 3X^9&+& 8X^8&+& 9X^7&+& p(X)& &   & & & & & &   & &  & & \\
+			&& 3X^9&+& 2X^8&+& 9X^7&+& p(X)& &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{3-9}
+			& &    & &6X^8&+&0X^7&+&p(X)& &   & & & & & &   & &  & & \\
+		\end{array}
+		\]
+
+		\[
+		\arraycolsep=1.4pt
+		\begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+			5X^9&+& 7X^8&+& 4X^7&+& 10X^6&+& p(X)& & & & &:&6X^8&+&0X^7& & & & & & &=&10X&+&3\\
+			5X^9&+& 0X^8&+& p(X)& & & & & &  & & & &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{1-5}
+			&& 7X^8&+& p(X)& & & & & &   & & & & & &   & &  & & \\
+		\end{array}
+		\]
+		
+		\vspace{10pt}
+		
+		$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = 6X^8$
+		
+		\vspace{10pt}
+		
+		$\operatorname{kgV}$ durch den erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen
+		
+	\end{frame}
+		
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Der Erweiterte Euklidische Algorithmus}
+		
+		\begin{center}
+			
+		\begin{tabular}{| c | c | c c |}
+			\hline
+			$k$ &  $q_i$ & $e_i$ & $f_i$\\
+			\hline 
+			& & $0$& $1$\\
+			$0$& $9X + 5$& $1$& $0$\\
+			$1$& $10X + 3$& $9X+5$& $1$\\
+			$2$& & \textcolor{blue}{$2X^2 + 0X + 5$}& $10X + 3$\\
+			\hline
+		\end{tabular}	
+			
+		\end{center}
+		
+		\vspace{10pt}
+		
+		\begin{tabular}{ll}
+			Somit erhalten wir den Faktor& $d(X) = 2X^2 + 5$\\
+			Faktorisiert erhalten wir& $d(X) = 2(X-5)(X-6)$\\
+			Lokatorpolynom& $d(X) = (X-a^i)(X-a^i)$
+		\end{tabular}
+		
+		\vspace{10pt}
+		
+		\begin{center}
+			$a^i = 5 \qquad \Rightarrow \qquad i = 3$
+			
+			$a^i = 6 \qquad \Rightarrow \qquad i = 8$
+		\end{center}
+		
+
+	$d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+\section{Nachricht Rekonstruieren}	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\begin{itemize}
+			
+			\item $w = [5,3,6,\textcolor{red}{8},2,10,2,7,\textcolor{red}{1},4]$
+			
+			\item $d(X) = (X-\textcolor{red}{a^3})(X-\textcolor{red}{a^8})$
+			
+		\end{itemize}
+	
+		\[
+		\textcolor{gray}{
+		\begin{pmatrix}
+			 a^0 \\ a^1 \\ a^2 \\ \textcolor{red}{a^3} \\ a^4 \\ a^5 \\ a^6 \\ a^7 \\ \textcolor{red}{a^8} \\ a^9 \\
+		\end{pmatrix}}
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ \textcolor{red}{8} \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ \textcolor{red}{1} \\ 4 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	8^6&	8^7&    8^8&	8^9\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+			\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^3}&	\textcolor{red}{8^6}&	\textcolor{red}{8^9}& \textcolor{red}{8^{12}}& \textcolor{red}{8^{15}}& \textcolor{red}{8^{18}}& \textcolor{red}{8^{21}}& \textcolor{red}{8^{24}}& \textcolor{red}{8^{27}}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+			8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+			\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^8}& \textcolor{red}{8^{16}}& \textcolor{red}{8^{24}}& \textcolor{red}{8^{32}}& \textcolor{red}{8^{40}}& \textcolor{red}{8^{48}}& \textcolor{red}{8^{56}}& \textcolor{red}{8^{64}}& \textcolor{red}{8^{72}}\\
+			8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Fehlerstellen entfernen
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}	
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    \textcolor{green}{8^0}&    \textcolor{green}{8^0}&    \textcolor{green}{8^0}&    \textcolor{green}{8^0}\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	\textcolor{green}{8^6}&	   \textcolor{green}{8^7}&    \textcolor{green}{8^8}&    \textcolor{green}{8^9}\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& \textcolor{green}{8^{12}}& \textcolor{green}{8^{14}}& \textcolor{green}{8^{16}}& \textcolor{green}{8^{18}}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& \textcolor{green}{8^{24}}& \textcolor{green}{8^{28}}& \textcolor{green}{8^{32}}& \textcolor{green}{8^{36}}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& \textcolor{green}{8^{30}}& \textcolor{green}{8^{35}}& \textcolor{green}{8^{40}}& \textcolor{green}{8^{45}}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& \textcolor{green}{8^{36}}& \textcolor{green}{8^{42}}& \textcolor{green}{8^{48}}& \textcolor{green}{8^{54}}\\
+			8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& \textcolor{green}{8^{42}}& \textcolor{green}{8^{49}}& \textcolor{green}{8^{56}}& \textcolor{green}{8^{63}}\\
+			8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& \textcolor{green}{8^{54}}& \textcolor{green}{8^{63}}& \textcolor{green}{8^{72}}& \textcolor{green}{8^{81}}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor{green}{m_6} \\ \textcolor{green}{m_7} \\ \textcolor{green}{m_8} \\ \textcolor{green}{m_9} \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Nullstellen entfernen
+		\end{itemize}
+	
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{red}{4} \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+			\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^7}& \textcolor{red}{8^{14}}& \textcolor{red}{8^{21}}& \textcolor{red}{8^{28}}& \textcolor{red}{8^{35}}\\
+			\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^9}& \textcolor{red}{8^{18}}& \textcolor{red}{8^{27}}& \textcolor{red}{8^{36}}& \textcolor{red}{8^{45}}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\vspace{5pt}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Matrix in eine Quadratische Form bringen
+		\end{itemize}
+	
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\vspace{5pt}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Matrix Invertieren
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			1&  1& 1&  1& 1&  1\\
+			1&  8& 9&  6& 4& 10\\
+			1&  9& 4&  3& 5&  1\\
+			1&  4& 5&  9& 3&  1\\
+			1& 10& 1& 10& 1& 10\\
+			1&  3& 9&  5& 4&  1\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{center}
+			$\Downarrow$
+		\end{center}
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			 6&  4&  4&  6& 2&  1\\
+			 2&  7& 10&  3& 4&  7\\
+			 1&  8&  9&  8& 3&  4\\
+			 3&  6&  6&  4& 5&  9\\
+			10& 10&  9&  8& 1&  6\\
+			 1&  9&  6&  4& 7&  6\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			6&  4&  4&  6& 2&  1\\
+			2&  7& 10&  3& 4&  7\\
+			1&  8&  9&  8& 3&  4\\
+			3&  6&  6&  4& 5&  9\\
+			10& 10&  9&  8& 1&  6\\
+			1&  9&  6&  4& 7&  6\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $m = [4,7,2,5,8,1]$
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.toc b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.toc
new file mode 100644
index 0000000..ce1bdc2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS_handout.toc
@@ -0,0 +1,9 @@
+\babel@toc {ngerman}{}
+\beamer@sectionintoc {1}{Einführung}{2}{0}{1}
+\beamer@sectionintoc {2}{Polynom Ansatz}{3}{0}{2}
+\beamer@sectionintoc {3}{Diskrete Fourier Transformation}{5}{0}{3}
+\beamer@sectionintoc {4}{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}{16}{0}{4}
+\beamer@sectionintoc {5}{Codierung eines Beispiels}{18}{0}{5}
+\beamer@sectionintoc {6}{Decodierung ohne Fehler}{20}{0}{6}
+\beamer@sectionintoc {7}{Decodierung mit Fehler}{23}{0}{7}
+\beamer@sectionintoc {8}{Nachricht Rekonstruieren}{29}{0}{8}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/fig1.pdf b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/fig1.pdf
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/fig1.pdf
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/fig1.svg b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/fig1.svg
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+        /><glyph unicode="2" horiz-adv-x="55.615234" d="M50.3438 8.4531 L50.3438 0 L3.0312 0 Q2.9375 3.1719 4.0469 6.1094 Q5.8594 10.9375 9.8359 15.625 Q13.8125 20.3125 21.3438 26.4688 Q33.0156 36.0312 37.1172 41.625 Q41.2188 47.2188 41.2188 52.2031 Q41.2188 57.4219 37.4766 61.0078 Q33.7344 64.5938 27.7344 64.5938 Q21.3906 64.5938 17.5781 60.7891 Q13.7656 56.9844 13.7188 50.25 L4.6875 51.1719 Q5.6094 61.2812 11.6641 66.5781 Q17.7188 71.875 27.9375 71.875 Q38.2344 71.875 44.2422 66.1641 Q50.25 60.4531 50.25 52 Q50.25 47.7031 48.4922 43.5547 Q46.7344 39.4062 42.6562 34.8125 Q38.5781 30.2188 29.1094 22.2188 Q21.1875 15.5781 18.9453 13.2109 Q16.7031 10.8438 15.2344 8.4531 L50.3438 8.4531 Z"
+        /><glyph unicode="3" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.2031 18.8906 L12.9844 20.0625 Q14.5 12.5938 18.1406 9.2969 Q21.7812 6 27 6 Q33.2031 6 37.4766 10.2969 Q41.75 14.5938 41.75 20.9531 Q41.75 27 37.7969 30.9297 Q33.8438 34.8594 27.7344 34.8594 Q25.25 34.8594 21.5312 33.8906 L22.5156 41.6094 Q23.3906 41.5 23.9219 41.5 Q29.5469 41.5 34.0391 44.4297 Q38.5312 47.3594 38.5312 53.4688 Q38.5312 58.2969 35.2578 61.4766 Q31.9844 64.6562 26.8125 64.6562 Q21.6875 64.6562 18.2656 61.4297 Q14.8438 58.2031 13.875 51.7656 L5.0781 53.3281 Q6.6875 62.1562 12.3984 67.0156 Q18.1094 71.875 26.6094 71.875 Q32.4688 71.875 37.3984 69.3594 Q42.3281 66.8438 44.9453 62.5 Q47.5625 58.1562 47.5625 53.2656 Q47.5625 48.6406 45.0703 44.8281 Q42.5781 41.0156 37.7031 38.7656 Q44.0469 37.3125 47.5625 32.6953 Q51.0781 28.0781 51.0781 21.1406 Q51.0781 11.7656 44.2422 5.25 Q37.4062 -1.2656 26.9531 -1.2656 Q17.5312 -1.2656 11.3047 4.3516 Q5.0781 9.9688 4.2031 18.8906 Z"
+        /><glyph unicode="4" horiz-adv-x="55.615234" d="M32.3281 0 L32.3281 17.1406 L1.2656 17.1406 L1.2656 25.2031 L33.9375 71.5781 L41.1094 71.5781 L41.1094 25.2031 L50.7812 25.2031 L50.7812 17.1406 L41.1094 17.1406 L41.1094 0 L32.3281 0 ZM32.3281 25.2031 L32.3281 57.4688 L9.9062 25.2031 L32.3281 25.2031 Z"
+        /><glyph unicode="5" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.1562 18.75 L13.375 19.5312 Q14.4062 12.7969 18.1406 9.3984 Q21.875 6 27.1562 6 Q33.5 6 37.8906 10.7891 Q42.2812 15.5781 42.2812 23.4844 Q42.2812 31 38.0625 35.3516 Q33.8438 39.7031 27 39.7031 Q22.75 39.7031 19.3359 37.7734 Q15.9219 35.8438 13.9688 32.7656 L5.7188 33.8438 L12.6406 70.6094 L48.25 70.6094 L48.25 62.2031 L19.6719 62.2031 L15.8281 42.9688 Q22.2656 47.4688 29.3438 47.4688 Q38.7188 47.4688 45.1641 40.9688 Q51.6094 34.4688 51.6094 24.2656 Q51.6094 14.5469 45.9531 7.4688 Q39.0625 -1.2188 27.1562 -1.2188 Q17.3906 -1.2188 11.2109 4.25 Q5.0312 9.7188 4.1562 18.75 Z"
+        /><glyph unicode="6" horiz-adv-x="55.615234" d="M49.75 54.0469 L41.0156 53.375 Q39.8438 58.5469 37.7031 60.8906 Q34.125 64.6562 28.9062 64.6562 Q24.7031 64.6562 21.5312 62.3125 Q17.3906 59.2812 14.9922 53.4688 Q12.5938 47.6562 12.5 36.9219 Q15.6719 41.75 20.2656 44.0938 Q24.8594 46.4375 29.8906 46.4375 Q38.6719 46.4375 44.8516 39.9688 Q51.0312 33.5 51.0312 23.25 Q51.0312 16.5 48.125 10.7188 Q45.2188 4.9375 40.1406 1.8594 Q35.0625 -1.2188 28.6094 -1.2188 Q17.625 -1.2188 10.6953 6.8594 Q3.7656 14.9375 3.7656 33.5 Q3.7656 54.25 11.4219 63.6719 Q18.1094 71.875 29.4375 71.875 Q37.8906 71.875 43.2891 67.1406 Q48.6875 62.4062 49.75 54.0469 ZM13.875 23.1875 Q13.875 18.6562 15.7969 14.5078 Q17.7188 10.3594 21.1875 8.1797 Q24.6562 6 28.4688 6 Q34.0312 6 38.0391 10.4922 Q42.0469 14.9844 42.0469 22.7031 Q42.0469 30.125 38.0859 34.3984 Q34.125 38.6719 28.125 38.6719 Q22.1719 38.6719 18.0234 34.3984 Q13.875 30.125 13.875 23.1875 Z"
+        /><glyph unicode="7" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.7344 62.2031 L4.7344 70.6562 L51.0781 70.6562 L51.0781 63.8125 Q44.2344 56.5469 37.5234 44.4844 Q30.8125 32.4219 27.1562 19.6719 Q24.5156 10.6875 23.7812 0 L14.75 0 Q14.8906 8.4531 18.0625 20.4141 Q21.2344 32.375 27.1719 43.4844 Q33.1094 54.5938 39.7969 62.2031 L4.7344 62.2031 Z"
+        /><glyph unicode="8" horiz-adv-x="55.615234" d="M17.6719 38.8125 Q12.2031 40.8281 9.5703 44.5391 Q6.9375 48.25 6.9375 53.4219 Q6.9375 61.2344 12.5547 66.5547 Q18.1719 71.875 27.4844 71.875 Q36.8594 71.875 42.5781 66.4297 Q48.2969 60.9844 48.2969 53.1719 Q48.2969 48.1875 45.6797 44.5078 Q43.0625 40.8281 37.75 38.8125 Q44.3438 36.6719 47.7812 31.8828 Q51.2188 27.0938 51.2188 20.4531 Q51.2188 11.2812 44.7266 5.0312 Q38.2344 -1.2188 27.6406 -1.2188 Q17.0469 -1.2188 10.5469 5.0547 Q4.0469 11.3281 4.0469 20.7031 Q4.0469 27.6875 7.5938 32.3984 Q11.1406 37.1094 17.6719 38.8125 ZM15.9219 53.7188 Q15.9219 48.6406 19.1953 45.4141 Q22.4688 42.1875 27.6875 42.1875 Q32.7656 42.1875 36.0156 45.3828 Q39.2656 48.5781 39.2656 53.2188 Q39.2656 58.0625 35.9141 61.3594 Q32.5625 64.6562 27.5938 64.6562 Q22.5625 64.6562 19.2422 61.4297 Q15.9219 58.2031 15.9219 53.7188 ZM13.0938 20.6562 Q13.0938 16.8906 14.875 13.375 Q16.6562 9.8594 20.1719 7.9297 Q23.6875 6 27.7344 6 Q34.0312 6 38.1328 10.0547 Q42.2344 14.1094 42.2344 20.3594 Q42.2344 26.7031 38.0156 30.8594 Q33.7969 35.0156 27.4375 35.0156 Q21.2344 35.0156 17.1641 30.9141 Q13.0938 26.8125 13.0938 20.6562 Z"
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+        /><glyph unicode="l" horiz-adv-x="27.783203" d="M7.1719 0 L7.1719 71.5781 L20.9062 71.5781 L20.9062 0 L7.1719 0 Z"
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+        /><glyph unicode="7" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.7344 62.2031 L4.7344 70.6562 L51.0781 70.6562 L51.0781 63.8125 Q44.2344 56.5469 37.5234 44.4844 Q30.8125 32.4219 27.1562 19.6719 Q24.5156 10.6875 23.7812 0 L14.75 0 Q14.8906 8.4531 18.0625 20.4141 Q21.2344 32.375 27.1719 43.4844 Q33.1094 54.5938 39.7969 62.2031 L4.7344 62.2031 Z"
+        /><glyph unicode="8" horiz-adv-x="55.615234" d="M17.6719 38.8125 Q12.2031 40.8281 9.5703 44.5391 Q6.9375 48.25 6.9375 53.4219 Q6.9375 61.2344 12.5547 66.5547 Q18.1719 71.875 27.4844 71.875 Q36.8594 71.875 42.5781 66.4297 Q48.2969 60.9844 48.2969 53.1719 Q48.2969 48.1875 45.6797 44.5078 Q43.0625 40.8281 37.75 38.8125 Q44.3438 36.6719 47.7812 31.8828 Q51.2188 27.0938 51.2188 20.4531 Q51.2188 11.2812 44.7266 5.0312 Q38.2344 -1.2188 27.6406 -1.2188 Q17.0469 -1.2188 10.5469 5.0547 Q4.0469 11.3281 4.0469 20.7031 Q4.0469 27.6875 7.5938 32.3984 Q11.1406 37.1094 17.6719 38.8125 ZM15.9219 53.7188 Q15.9219 48.6406 19.1953 45.4141 Q22.4688 42.1875 27.6875 42.1875 Q32.7656 42.1875 36.0156 45.3828 Q39.2656 48.5781 39.2656 53.2188 Q39.2656 58.0625 35.9141 61.3594 Q32.5625 64.6562 27.5938 64.6562 Q22.5625 64.6562 19.2422 61.4297 Q15.9219 58.2031 15.9219 53.7188 ZM13.0938 20.6562 Q13.0938 16.8906 14.875 13.375 Q16.6562 9.8594 20.1719 7.9297 Q23.6875 6 27.7344 6 Q34.0312 6 38.1328 10.0547 Q42.2344 14.1094 42.2344 20.3594 Q42.2344 26.7031 38.0156 30.8594 Q33.7969 35.0156 27.4375 35.0156 Q21.2344 35.0156 17.1641 30.9141 Q13.0938 26.8125 13.0938 20.6562 Z"
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+        /><glyph unicode="r" horiz-adv-x="38.916016" d="M20.3125 0 L6.5938 0 L6.5938 51.8594 L19.3438 51.8594 L19.3438 44.4844 Q22.6094 49.7031 25.2188 51.3672 Q27.8281 53.0312 31.1562 53.0312 Q35.8438 53.0312 40.1875 50.4375 L35.9375 38.4844 Q32.4688 40.7188 29.5 40.7188 Q26.6094 40.7188 24.6094 39.1328 Q22.6094 37.5469 21.4609 33.3984 Q20.3125 29.25 20.3125 16.0156 L20.3125 0 Z"
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+        /><glyph unicode="3" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.2031 18.8906 L12.9844 20.0625 Q14.5 12.5938 18.1406 9.2969 Q21.7812 6 27 6 Q33.2031 6 37.4766 10.2969 Q41.75 14.5938 41.75 20.9531 Q41.75 27 37.7969 30.9297 Q33.8438 34.8594 27.7344 34.8594 Q25.25 34.8594 21.5312 33.8906 L22.5156 41.6094 Q23.3906 41.5 23.9219 41.5 Q29.5469 41.5 34.0391 44.4297 Q38.5312 47.3594 38.5312 53.4688 Q38.5312 58.2969 35.2578 61.4766 Q31.9844 64.6562 26.8125 64.6562 Q21.6875 64.6562 18.2656 61.4297 Q14.8438 58.2031 13.875 51.7656 L5.0781 53.3281 Q6.6875 62.1562 12.3984 67.0156 Q18.1094 71.875 26.6094 71.875 Q32.4688 71.875 37.3984 69.3594 Q42.3281 66.8438 44.9453 62.5 Q47.5625 58.1562 47.5625 53.2656 Q47.5625 48.6406 45.0703 44.8281 Q42.5781 41.0156 37.7031 38.7656 Q44.0469 37.3125 47.5625 32.6953 Q51.0781 28.0781 51.0781 21.1406 Q51.0781 11.7656 44.2422 5.25 Q37.4062 -1.2656 26.9531 -1.2656 Q17.5312 -1.2656 11.3047 4.3516 Q5.0781 9.9688 4.2031 18.8906 Z"
+        /><glyph unicode="4" horiz-adv-x="55.615234" d="M32.3281 0 L32.3281 17.1406 L1.2656 17.1406 L1.2656 25.2031 L33.9375 71.5781 L41.1094 71.5781 L41.1094 25.2031 L50.7812 25.2031 L50.7812 17.1406 L41.1094 17.1406 L41.1094 0 L32.3281 0 ZM32.3281 25.2031 L32.3281 57.4688 L9.9062 25.2031 L32.3281 25.2031 Z"
+        /><glyph unicode="5" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.1562 18.75 L13.375 19.5312 Q14.4062 12.7969 18.1406 9.3984 Q21.875 6 27.1562 6 Q33.5 6 37.8906 10.7891 Q42.2812 15.5781 42.2812 23.4844 Q42.2812 31 38.0625 35.3516 Q33.8438 39.7031 27 39.7031 Q22.75 39.7031 19.3359 37.7734 Q15.9219 35.8438 13.9688 32.7656 L5.7188 33.8438 L12.6406 70.6094 L48.25 70.6094 L48.25 62.2031 L19.6719 62.2031 L15.8281 42.9688 Q22.2656 47.4688 29.3438 47.4688 Q38.7188 47.4688 45.1641 40.9688 Q51.6094 34.4688 51.6094 24.2656 Q51.6094 14.5469 45.9531 7.4688 Q39.0625 -1.2188 27.1562 -1.2188 Q17.3906 -1.2188 11.2109 4.25 Q5.0312 9.7188 4.1562 18.75 Z"
+        /><glyph unicode="6" horiz-adv-x="55.615234" d="M49.75 54.0469 L41.0156 53.375 Q39.8438 58.5469 37.7031 60.8906 Q34.125 64.6562 28.9062 64.6562 Q24.7031 64.6562 21.5312 62.3125 Q17.3906 59.2812 14.9922 53.4688 Q12.5938 47.6562 12.5 36.9219 Q15.6719 41.75 20.2656 44.0938 Q24.8594 46.4375 29.8906 46.4375 Q38.6719 46.4375 44.8516 39.9688 Q51.0312 33.5 51.0312 23.25 Q51.0312 16.5 48.125 10.7188 Q45.2188 4.9375 40.1406 1.8594 Q35.0625 -1.2188 28.6094 -1.2188 Q17.625 -1.2188 10.6953 6.8594 Q3.7656 14.9375 3.7656 33.5 Q3.7656 54.25 11.4219 63.6719 Q18.1094 71.875 29.4375 71.875 Q37.8906 71.875 43.2891 67.1406 Q48.6875 62.4062 49.75 54.0469 ZM13.875 23.1875 Q13.875 18.6562 15.7969 14.5078 Q17.7188 10.3594 21.1875 8.1797 Q24.6562 6 28.4688 6 Q34.0312 6 38.0391 10.4922 Q42.0469 14.9844 42.0469 22.7031 Q42.0469 30.125 38.0859 34.3984 Q34.125 38.6719 28.125 38.6719 Q22.1719 38.6719 18.0234 34.3984 Q13.875 30.125 13.875 23.1875 Z"
+        /><glyph unicode="7" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.7344 62.2031 L4.7344 70.6562 L51.0781 70.6562 L51.0781 63.8125 Q44.2344 56.5469 37.5234 44.4844 Q30.8125 32.4219 27.1562 19.6719 Q24.5156 10.6875 23.7812 0 L14.75 0 Q14.8906 8.4531 18.0625 20.4141 Q21.2344 32.375 27.1719 43.4844 Q33.1094 54.5938 39.7969 62.2031 L4.7344 62.2031 Z"
+        /><glyph unicode="8" horiz-adv-x="55.615234" d="M17.6719 38.8125 Q12.2031 40.8281 9.5703 44.5391 Q6.9375 48.25 6.9375 53.4219 Q6.9375 61.2344 12.5547 66.5547 Q18.1719 71.875 27.4844 71.875 Q36.8594 71.875 42.5781 66.4297 Q48.2969 60.9844 48.2969 53.1719 Q48.2969 48.1875 45.6797 44.5078 Q43.0625 40.8281 37.75 38.8125 Q44.3438 36.6719 47.7812 31.8828 Q51.2188 27.0938 51.2188 20.4531 Q51.2188 11.2812 44.7266 5.0312 Q38.2344 -1.2188 27.6406 -1.2188 Q17.0469 -1.2188 10.5469 5.0547 Q4.0469 11.3281 4.0469 20.7031 Q4.0469 27.6875 7.5938 32.3984 Q11.1406 37.1094 17.6719 38.8125 ZM15.9219 53.7188 Q15.9219 48.6406 19.1953 45.4141 Q22.4688 42.1875 27.6875 42.1875 Q32.7656 42.1875 36.0156 45.3828 Q39.2656 48.5781 39.2656 53.2188 Q39.2656 58.0625 35.9141 61.3594 Q32.5625 64.6562 27.5938 64.6562 Q22.5625 64.6562 19.2422 61.4297 Q15.9219 58.2031 15.9219 53.7188 ZM13.0938 20.6562 Q13.0938 16.8906 14.875 13.375 Q16.6562 9.8594 20.1719 7.9297 Q23.6875 6 27.7344 6 Q34.0312 6 38.1328 10.0547 Q42.2344 14.1094 42.2344 20.3594 Q42.2344 26.7031 38.0156 30.8594 Q33.7969 35.0156 27.4375 35.0156 Q21.2344 35.0156 17.1641 30.9141 Q13.0938 26.8125 13.0938 20.6562 Z"
+        /><glyph unicode="9" horiz-adv-x="55.615234" d="M5.4688 16.5469 L13.9219 17.3281 Q14.9844 11.375 18.0156 8.6875 Q21.0469 6 25.7812 6 Q29.8281 6 32.8828 7.8594 Q35.9375 9.7188 37.8906 12.8203 Q39.8438 15.9219 41.1641 21.1953 Q42.4844 26.4688 42.4844 31.9375 Q42.4844 32.5156 42.4375 33.6875 Q39.7969 29.5 35.2344 26.8828 Q30.6719 24.2656 25.3438 24.2656 Q16.4531 24.2656 10.3047 30.7109 Q4.1562 37.1562 4.1562 47.7031 Q4.1562 58.5938 10.5781 65.2344 Q17 71.875 26.6562 71.875 Q33.6406 71.875 39.4297 68.1172 Q45.2188 64.3594 48.2188 57.3984 Q51.2188 50.4375 51.2188 37.25 Q51.2188 23.5312 48.2422 15.4062 Q45.2656 7.2812 39.3828 3.0312 Q33.5 -1.2188 25.5938 -1.2188 Q17.1875 -1.2188 11.8672 3.4453 Q6.5469 8.1094 5.4688 16.5469 ZM41.4531 48.1406 Q41.4531 55.7188 37.4297 60.1562 Q33.4062 64.5938 27.7344 64.5938 Q21.875 64.5938 17.5312 59.8125 Q13.1875 55.0312 13.1875 47.4062 Q13.1875 40.5781 17.3125 36.3047 Q21.4375 32.0312 27.4844 32.0312 Q33.5938 32.0312 37.5234 36.3047 Q41.4531 40.5781 41.4531 48.1406 Z"
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+        /><glyph unicode="0" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.1562 35.2969 Q4.1562 48 6.7656 55.7422 Q9.375 63.4844 14.5234 67.6797 Q19.6719 71.875 27.4844 71.875 Q33.25 71.875 37.5938 69.5547 Q41.9375 67.2344 44.7734 62.8672 Q47.6094 58.5 49.2188 52.2266 Q50.8281 45.9531 50.8281 35.2969 Q50.8281 22.7031 48.2422 14.9688 Q45.6562 7.2344 40.5078 3.0078 Q35.3594 -1.2188 27.4844 -1.2188 Q17.1406 -1.2188 11.2344 6.2031 Q4.1562 15.1406 4.1562 35.2969 ZM13.1875 35.2969 Q13.1875 17.6719 17.3125 11.8359 Q21.4375 6 27.4844 6 Q33.5469 6 37.6719 11.8594 Q41.7969 17.7188 41.7969 35.2969 Q41.7969 52.9844 37.6719 58.7891 Q33.5469 64.5938 27.3906 64.5938 Q21.3438 64.5938 17.7188 59.4688 Q13.1875 52.9375 13.1875 35.2969 Z"
+        /><glyph unicode="1" horiz-adv-x="55.615234" d="M37.25 0 L28.4688 0 L28.4688 56 Q25.2969 52.9844 20.1406 49.9531 Q14.9844 46.9219 10.8906 45.4062 L10.8906 53.9062 Q18.2656 57.375 23.7812 62.3047 Q29.2969 67.2344 31.5938 71.875 L37.25 71.875 L37.25 0 Z"
+        /><glyph unicode="2" horiz-adv-x="55.615234" d="M50.3438 8.4531 L50.3438 0 L3.0312 0 Q2.9375 3.1719 4.0469 6.1094 Q5.8594 10.9375 9.8359 15.625 Q13.8125 20.3125 21.3438 26.4688 Q33.0156 36.0312 37.1172 41.625 Q41.2188 47.2188 41.2188 52.2031 Q41.2188 57.4219 37.4766 61.0078 Q33.7344 64.5938 27.7344 64.5938 Q21.3906 64.5938 17.5781 60.7891 Q13.7656 56.9844 13.7188 50.25 L4.6875 51.1719 Q5.6094 61.2812 11.6641 66.5781 Q17.7188 71.875 27.9375 71.875 Q38.2344 71.875 44.2422 66.1641 Q50.25 60.4531 50.25 52 Q50.25 47.7031 48.4922 43.5547 Q46.7344 39.4062 42.6562 34.8125 Q38.5781 30.2188 29.1094 22.2188 Q21.1875 15.5781 18.9453 13.2109 Q16.7031 10.8438 15.2344 8.4531 L50.3438 8.4531 Z"
+        /><glyph unicode="3" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.2031 18.8906 L12.9844 20.0625 Q14.5 12.5938 18.1406 9.2969 Q21.7812 6 27 6 Q33.2031 6 37.4766 10.2969 Q41.75 14.5938 41.75 20.9531 Q41.75 27 37.7969 30.9297 Q33.8438 34.8594 27.7344 34.8594 Q25.25 34.8594 21.5312 33.8906 L22.5156 41.6094 Q23.3906 41.5 23.9219 41.5 Q29.5469 41.5 34.0391 44.4297 Q38.5312 47.3594 38.5312 53.4688 Q38.5312 58.2969 35.2578 61.4766 Q31.9844 64.6562 26.8125 64.6562 Q21.6875 64.6562 18.2656 61.4297 Q14.8438 58.2031 13.875 51.7656 L5.0781 53.3281 Q6.6875 62.1562 12.3984 67.0156 Q18.1094 71.875 26.6094 71.875 Q32.4688 71.875 37.3984 69.3594 Q42.3281 66.8438 44.9453 62.5 Q47.5625 58.1562 47.5625 53.2656 Q47.5625 48.6406 45.0703 44.8281 Q42.5781 41.0156 37.7031 38.7656 Q44.0469 37.3125 47.5625 32.6953 Q51.0781 28.0781 51.0781 21.1406 Q51.0781 11.7656 44.2422 5.25 Q37.4062 -1.2656 26.9531 -1.2656 Q17.5312 -1.2656 11.3047 4.3516 Q5.0781 9.9688 4.2031 18.8906 Z"
+        /><glyph unicode="4" horiz-adv-x="55.615234" d="M32.3281 0 L32.3281 17.1406 L1.2656 17.1406 L1.2656 25.2031 L33.9375 71.5781 L41.1094 71.5781 L41.1094 25.2031 L50.7812 25.2031 L50.7812 17.1406 L41.1094 17.1406 L41.1094 0 L32.3281 0 ZM32.3281 25.2031 L32.3281 57.4688 L9.9062 25.2031 L32.3281 25.2031 Z"
+        /><glyph unicode="5" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.1562 18.75 L13.375 19.5312 Q14.4062 12.7969 18.1406 9.3984 Q21.875 6 27.1562 6 Q33.5 6 37.8906 10.7891 Q42.2812 15.5781 42.2812 23.4844 Q42.2812 31 38.0625 35.3516 Q33.8438 39.7031 27 39.7031 Q22.75 39.7031 19.3359 37.7734 Q15.9219 35.8438 13.9688 32.7656 L5.7188 33.8438 L12.6406 70.6094 L48.25 70.6094 L48.25 62.2031 L19.6719 62.2031 L15.8281 42.9688 Q22.2656 47.4688 29.3438 47.4688 Q38.7188 47.4688 45.1641 40.9688 Q51.6094 34.4688 51.6094 24.2656 Q51.6094 14.5469 45.9531 7.4688 Q39.0625 -1.2188 27.1562 -1.2188 Q17.3906 -1.2188 11.2109 4.25 Q5.0312 9.7188 4.1562 18.75 Z"
+        /><glyph unicode="6" horiz-adv-x="55.615234" d="M49.75 54.0469 L41.0156 53.375 Q39.8438 58.5469 37.7031 60.8906 Q34.125 64.6562 28.9062 64.6562 Q24.7031 64.6562 21.5312 62.3125 Q17.3906 59.2812 14.9922 53.4688 Q12.5938 47.6562 12.5 36.9219 Q15.6719 41.75 20.2656 44.0938 Q24.8594 46.4375 29.8906 46.4375 Q38.6719 46.4375 44.8516 39.9688 Q51.0312 33.5 51.0312 23.25 Q51.0312 16.5 48.125 10.7188 Q45.2188 4.9375 40.1406 1.8594 Q35.0625 -1.2188 28.6094 -1.2188 Q17.625 -1.2188 10.6953 6.8594 Q3.7656 14.9375 3.7656 33.5 Q3.7656 54.25 11.4219 63.6719 Q18.1094 71.875 29.4375 71.875 Q37.8906 71.875 43.2891 67.1406 Q48.6875 62.4062 49.75 54.0469 ZM13.875 23.1875 Q13.875 18.6562 15.7969 14.5078 Q17.7188 10.3594 21.1875 8.1797 Q24.6562 6 28.4688 6 Q34.0312 6 38.0391 10.4922 Q42.0469 14.9844 42.0469 22.7031 Q42.0469 30.125 38.0859 34.3984 Q34.125 38.6719 28.125 38.6719 Q22.1719 38.6719 18.0234 34.3984 Q13.875 30.125 13.875 23.1875 Z"
+        /><glyph unicode="7" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.7344 62.2031 L4.7344 70.6562 L51.0781 70.6562 L51.0781 63.8125 Q44.2344 56.5469 37.5234 44.4844 Q30.8125 32.4219 27.1562 19.6719 Q24.5156 10.6875 23.7812 0 L14.75 0 Q14.8906 8.4531 18.0625 20.4141 Q21.2344 32.375 27.1719 43.4844 Q33.1094 54.5938 39.7969 62.2031 L4.7344 62.2031 Z"
+        /><glyph unicode="8" horiz-adv-x="55.615234" d="M17.6719 38.8125 Q12.2031 40.8281 9.5703 44.5391 Q6.9375 48.25 6.9375 53.4219 Q6.9375 61.2344 12.5547 66.5547 Q18.1719 71.875 27.4844 71.875 Q36.8594 71.875 42.5781 66.4297 Q48.2969 60.9844 48.2969 53.1719 Q48.2969 48.1875 45.6797 44.5078 Q43.0625 40.8281 37.75 38.8125 Q44.3438 36.6719 47.7812 31.8828 Q51.2188 27.0938 51.2188 20.4531 Q51.2188 11.2812 44.7266 5.0312 Q38.2344 -1.2188 27.6406 -1.2188 Q17.0469 -1.2188 10.5469 5.0547 Q4.0469 11.3281 4.0469 20.7031 Q4.0469 27.6875 7.5938 32.3984 Q11.1406 37.1094 17.6719 38.8125 ZM15.9219 53.7188 Q15.9219 48.6406 19.1953 45.4141 Q22.4688 42.1875 27.6875 42.1875 Q32.7656 42.1875 36.0156 45.3828 Q39.2656 48.5781 39.2656 53.2188 Q39.2656 58.0625 35.9141 61.3594 Q32.5625 64.6562 27.5938 64.6562 Q22.5625 64.6562 19.2422 61.4297 Q15.9219 58.2031 15.9219 53.7188 ZM13.0938 20.6562 Q13.0938 16.8906 14.875 13.375 Q16.6562 9.8594 20.1719 7.9297 Q23.6875 6 27.7344 6 Q34.0312 6 38.1328 10.0547 Q42.2344 14.1094 42.2344 20.3594 Q42.2344 26.7031 38.0156 30.8594 Q33.7969 35.0156 27.4375 35.0156 Q21.2344 35.0156 17.1641 30.9141 Q13.0938 26.8125 13.0938 20.6562 Z"
+        /><glyph unicode="9" horiz-adv-x="55.615234" d="M5.4688 16.5469 L13.9219 17.3281 Q14.9844 11.375 18.0156 8.6875 Q21.0469 6 25.7812 6 Q29.8281 6 32.8828 7.8594 Q35.9375 9.7188 37.8906 12.8203 Q39.8438 15.9219 41.1641 21.1953 Q42.4844 26.4688 42.4844 31.9375 Q42.4844 32.5156 42.4375 33.6875 Q39.7969 29.5 35.2344 26.8828 Q30.6719 24.2656 25.3438 24.2656 Q16.4531 24.2656 10.3047 30.7109 Q4.1562 37.1562 4.1562 47.7031 Q4.1562 58.5938 10.5781 65.2344 Q17 71.875 26.6562 71.875 Q33.6406 71.875 39.4297 68.1172 Q45.2188 64.3594 48.2188 57.3984 Q51.2188 50.4375 51.2188 37.25 Q51.2188 23.5312 48.2422 15.4062 Q45.2656 7.2812 39.3828 3.0312 Q33.5 -1.2188 25.5938 -1.2188 Q17.1875 -1.2188 11.8672 3.4453 Q6.5469 8.1094 5.4688 16.5469 ZM41.4531 48.1406 Q41.4531 55.7188 37.4297 60.1562 Q33.4062 64.5938 27.7344 64.5938 Q21.875 64.5938 17.5312 59.8125 Q13.1875 55.0312 13.1875 47.4062 Q13.1875 40.5781 17.3125 36.3047 Q21.4375 32.0312 27.4844 32.0312 Q33.5938 32.0312 37.5234 36.3047 Q41.4531 40.5781 41.4531 48.1406 Z"
+      /></font
+      ><font horiz-adv-x="75.0" id="font2"
+      ><font-face ascent="100.53711" descent="21.972656" units-per-em="100" style="font-style:normal; font-family:SansSerif; font-weight:bold;"
+        /><missing-glyph horiz-adv-x="75.0" d="M12.5 0 L12.5 62.5 L62.5 62.5 L62.5 0 L12.5 0 ZM14.0625 1.5625 L60.9375 1.5625 L60.9375 60.9375 L14.0625 60.9375 L14.0625 1.5625 Z"
+        /><glyph unicode="e" horiz-adv-x="55.615234" d="M37.2031 16.5 L50.875 14.2031 Q48.25 6.6875 42.5547 2.7578 Q36.8594 -1.1719 28.3281 -1.1719 Q14.7969 -1.1719 8.2969 7.6719 Q3.1719 14.75 3.1719 25.5312 Q3.1719 38.4219 9.9141 45.7266 Q16.6562 53.0312 26.9531 53.0312 Q38.5312 53.0312 45.2188 45.3906 Q51.9062 37.75 51.6094 21.9688 L17.2344 21.9688 Q17.3906 15.875 20.5625 12.4766 Q23.7344 9.0781 28.4688 9.0781 Q31.6875 9.0781 33.8828 10.8359 Q36.0781 12.5938 37.2031 16.5 ZM37.9844 30.375 Q37.8438 36.3281 34.9141 39.4297 Q31.9844 42.5312 27.7812 42.5312 Q23.2969 42.5312 20.3594 39.2656 Q17.4375 35.9844 17.4844 30.375 L37.9844 30.375 Z"
+        /><glyph unicode="g" horiz-adv-x="61.083984" d="M5.9062 -3.4219 L21.5781 -5.3281 Q21.9688 -8.0625 23.3906 -9.0781 Q25.3438 -10.5469 29.5469 -10.5469 Q34.9062 -10.5469 37.5938 -8.9375 Q39.4062 -7.8594 40.3281 -5.4688 Q40.9688 -3.7656 40.9688 0.8281 L40.9688 8.4062 Q34.8125 0 25.4375 0 Q14.9844 0 8.8906 8.8438 Q4.1094 15.8281 4.1094 26.2188 Q4.1094 39.2656 10.3828 46.1484 Q16.6562 53.0312 25.9844 53.0312 Q35.5938 53.0312 41.8438 44.5781 L41.8438 51.8594 L54.6875 51.8594 L54.6875 5.3281 Q54.6875 -3.8594 53.1719 -8.3984 Q51.6562 -12.9375 48.9219 -15.5234 Q46.1875 -18.1094 41.625 -19.5781 Q37.0625 -21.0469 30.0781 -21.0469 Q16.8906 -21.0469 11.375 -16.5312 Q5.8594 -12.0156 5.8594 -5.0781 Q5.8594 -4.3906 5.9062 -3.4219 ZM18.1719 27 Q18.1719 18.75 21.3672 14.9141 Q24.5625 11.0781 29.25 11.0781 Q34.2812 11.0781 37.75 15.0156 Q41.2188 18.9531 41.2188 26.6562 Q41.2188 34.7188 37.8984 38.625 Q34.5781 42.5312 29.5 42.5312 Q24.5625 42.5312 21.3672 38.6953 Q18.1719 34.8594 18.1719 27 Z"
+        /><glyph unicode="n" horiz-adv-x="61.083984" d="M54.3438 0 L40.625 0 L40.625 26.4688 Q40.625 34.8594 39.75 37.3281 Q38.875 39.7969 36.8906 41.1641 Q34.9062 42.5312 32.125 42.5312 Q28.5625 42.5312 25.7344 40.5781 Q22.9062 38.625 21.8516 35.3984 Q20.7969 32.1719 20.7969 23.4844 L20.7969 0 L7.0781 0 L7.0781 51.8594 L19.8281 51.8594 L19.8281 44.2344 Q26.6094 53.0312 36.9219 53.0312 Q41.4531 53.0312 45.2109 51.3906 Q48.9688 49.75 50.8984 47.2109 Q52.8281 44.6719 53.5859 41.4531 Q54.3438 38.2344 54.3438 32.2344 L54.3438 0 Z"
+        /><glyph unicode="a" horiz-adv-x="55.615234" d="M17.4375 36.0312 L4.9844 38.2812 Q7.0781 45.7969 12.2031 49.4141 Q17.3281 53.0312 27.4375 53.0312 Q36.625 53.0312 41.1172 50.8594 Q45.6094 48.6875 47.4375 45.3438 Q49.2656 42 49.2656 33.0625 L49.125 17.0469 Q49.125 10.2031 49.7812 6.9609 Q50.4375 3.7188 52.25 0 L38.6719 0 Q38.1406 1.375 37.3594 4.0469 Q37.0156 5.2812 36.8594 5.6719 Q33.3438 2.25 29.3438 0.5391 Q25.3438 -1.1719 20.7969 -1.1719 Q12.7969 -1.1719 8.1797 3.1719 Q3.5625 7.5156 3.5625 14.1562 Q3.5625 18.5625 5.6641 22 Q7.7656 25.4375 11.5469 27.2734 Q15.3281 29.1094 22.4688 30.4688 Q32.0781 32.2812 35.7969 33.8438 L35.7969 35.2031 Q35.7969 39.1562 33.8438 40.8438 Q31.8906 42.5312 26.4688 42.5312 Q22.7969 42.5312 20.75 41.0938 Q18.7031 39.6562 17.4375 36.0312 ZM35.7969 24.9062 Q33.1562 24.0312 27.4453 22.8047 Q21.7344 21.5781 19.9688 20.4062 Q17.2812 18.5 17.2812 15.5781 Q17.2812 12.7031 19.4297 10.6016 Q21.5781 8.5 24.9062 8.5 Q28.6094 8.5 31.9844 10.9375 Q34.4688 12.7969 35.25 15.4844 Q35.7969 17.2344 35.7969 22.1719 L35.7969 24.9062 Z"
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+        /><glyph unicode="p" horiz-adv-x="61.083984" d="M6.7812 51.8594 L19.5781 51.8594 L19.5781 44.2344 Q22.0781 48.1406 26.3203 50.5859 Q30.5625 53.0312 35.75 53.0312 Q44.7812 53.0312 51.0781 45.9531 Q57.375 38.875 57.375 26.2188 Q57.375 13.2344 51.0234 6.0312 Q44.6719 -1.1719 35.6406 -1.1719 Q31.3438 -1.1719 27.8516 0.5391 Q24.3594 2.25 20.5156 6.3906 L20.5156 -19.7344 L6.7812 -19.7344 L6.7812 51.8594 ZM20.3594 26.8125 Q20.3594 18.0625 23.8281 13.8906 Q27.2969 9.7188 32.2812 9.7188 Q37.0625 9.7188 40.2344 13.5547 Q43.4062 17.3906 43.4062 26.125 Q43.4062 34.2812 40.1328 38.2344 Q36.8594 42.1875 32.0312 42.1875 Q27 42.1875 23.6797 38.3047 Q20.3594 34.4219 20.3594 26.8125 Z"
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+        /><glyph unicode="8" horiz-adv-x="55.615234" d="M17.6719 38.8125 Q12.2031 40.8281 9.5703 44.5391 Q6.9375 48.25 6.9375 53.4219 Q6.9375 61.2344 12.5547 66.5547 Q18.1719 71.875 27.4844 71.875 Q36.8594 71.875 42.5781 66.4297 Q48.2969 60.9844 48.2969 53.1719 Q48.2969 48.1875 45.6797 44.5078 Q43.0625 40.8281 37.75 38.8125 Q44.3438 36.6719 47.7812 31.8828 Q51.2188 27.0938 51.2188 20.4531 Q51.2188 11.2812 44.7266 5.0312 Q38.2344 -1.2188 27.6406 -1.2188 Q17.0469 -1.2188 10.5469 5.0547 Q4.0469 11.3281 4.0469 20.7031 Q4.0469 27.6875 7.5938 32.3984 Q11.1406 37.1094 17.6719 38.8125 ZM15.9219 53.7188 Q15.9219 48.6406 19.1953 45.4141 Q22.4688 42.1875 27.6875 42.1875 Q32.7656 42.1875 36.0156 45.3828 Q39.2656 48.5781 39.2656 53.2188 Q39.2656 58.0625 35.9141 61.3594 Q32.5625 64.6562 27.5938 64.6562 Q22.5625 64.6562 19.2422 61.4297 Q15.9219 58.2031 15.9219 53.7188 ZM13.0938 20.6562 Q13.0938 16.8906 14.875 13.375 Q16.6562 9.8594 20.1719 7.9297 Q23.6875 6 27.7344 6 Q34.0312 6 38.1328 10.0547 Q42.2344 14.1094 42.2344 20.3594 Q42.2344 26.7031 38.0156 30.8594 Q33.7969 35.0156 27.4375 35.0156 Q21.2344 35.0156 17.1641 30.9141 Q13.0938 26.8125 13.0938 20.6562 Z"
+        /><glyph unicode="9" horiz-adv-x="55.615234" d="M5.4688 16.5469 L13.9219 17.3281 Q14.9844 11.375 18.0156 8.6875 Q21.0469 6 25.7812 6 Q29.8281 6 32.8828 7.8594 Q35.9375 9.7188 37.8906 12.8203 Q39.8438 15.9219 41.1641 21.1953 Q42.4844 26.4688 42.4844 31.9375 Q42.4844 32.5156 42.4375 33.6875 Q39.7969 29.5 35.2344 26.8828 Q30.6719 24.2656 25.3438 24.2656 Q16.4531 24.2656 10.3047 30.7109 Q4.1562 37.1562 4.1562 47.7031 Q4.1562 58.5938 10.5781 65.2344 Q17 71.875 26.6562 71.875 Q33.6406 71.875 39.4297 68.1172 Q45.2188 64.3594 48.2188 57.3984 Q51.2188 50.4375 51.2188 37.25 Q51.2188 23.5312 48.2422 15.4062 Q45.2656 7.2812 39.3828 3.0312 Q33.5 -1.2188 25.5938 -1.2188 Q17.1875 -1.2188 11.8672 3.4453 Q6.5469 8.1094 5.4688 16.5469 ZM41.4531 48.1406 Q41.4531 55.7188 37.4297 60.1562 Q33.4062 64.5938 27.7344 64.5938 Q21.875 64.5938 17.5312 59.8125 Q13.1875 55.0312 13.1875 47.4062 Q13.1875 40.5781 17.3125 36.3047 Q21.4375 32.0312 27.4844 32.0312 Q33.5938 32.0312 37.5234 36.3047 Q41.4531 40.5781 41.4531 48.1406 Z"
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+        /><glyph unicode="m" horiz-adv-x="88.916016" d="M6.1562 51.8594 L18.7969 51.8594 L18.7969 44.7812 Q25.5938 53.0312 34.9688 53.0312 Q39.9375 53.0312 43.6016 50.9766 Q47.2656 48.9219 49.6094 44.7812 Q53.0312 48.9219 56.9844 50.9766 Q60.9375 53.0312 65.4375 53.0312 Q71.1406 53.0312 75.0938 50.7109 Q79.0469 48.3906 81 43.8906 Q82.4219 40.5781 82.4219 33.1562 L82.4219 0 L68.7031 0 L68.7031 29.6406 Q68.7031 37.3594 67.2812 39.5938 Q65.375 42.5312 61.4219 42.5312 Q58.5469 42.5312 56.0078 40.7734 Q53.4688 39.0156 52.3438 35.625 Q51.2188 32.2344 51.2188 24.9062 L51.2188 0 L37.5 0 L37.5 28.4219 Q37.5 35.9844 36.7656 38.1797 Q36.0312 40.375 34.4922 41.4531 Q32.9531 42.5312 30.3281 42.5312 Q27.1562 42.5312 24.6172 40.8203 Q22.0781 39.1094 20.9766 35.8906 Q19.875 32.6719 19.875 25.2031 L19.875 0 L6.1562 0 L6.1562 51.8594 Z"
+        /><glyph unicode="o" horiz-adv-x="61.083984" d="M4 26.6562 Q4 33.5 7.375 39.8984 Q10.75 46.2969 16.9219 49.6641 Q23.0938 53.0312 30.7188 53.0312 Q42.4844 53.0312 50 45.3906 Q57.5156 37.75 57.5156 26.0781 Q57.5156 14.3125 49.9219 6.5703 Q42.3281 -1.1719 30.8125 -1.1719 Q23.6875 -1.1719 17.2188 2.0547 Q10.75 5.2812 7.375 11.5 Q4 17.7188 4 26.6562 ZM18.0625 25.9219 Q18.0625 18.2188 21.7266 14.1172 Q25.3906 10.0156 30.7656 10.0156 Q36.1406 10.0156 39.7734 14.1172 Q43.4062 18.2188 43.4062 26.0312 Q43.4062 33.6406 39.7734 37.7422 Q36.1406 41.8438 30.7656 41.8438 Q25.3906 41.8438 21.7266 37.7422 Q18.0625 33.6406 18.0625 25.9219 Z"
+        /><glyph unicode="r" horiz-adv-x="38.916016" d="M20.3125 0 L6.5938 0 L6.5938 51.8594 L19.3438 51.8594 L19.3438 44.4844 Q22.6094 49.7031 25.2188 51.3672 Q27.8281 53.0312 31.1562 53.0312 Q35.8438 53.0312 40.1875 50.4375 L35.9375 38.4844 Q32.4688 40.7188 29.5 40.7188 Q26.6094 40.7188 24.6094 39.1328 Q22.6094 37.5469 21.4609 33.3984 Q20.3125 29.25 20.3125 16.0156 L20.3125 0 Z"
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+        /><glyph unicode="2" horiz-adv-x="55.615234" d="M50.3438 8.4531 L50.3438 0 L3.0312 0 Q2.9375 3.1719 4.0469 6.1094 Q5.8594 10.9375 9.8359 15.625 Q13.8125 20.3125 21.3438 26.4688 Q33.0156 36.0312 37.1172 41.625 Q41.2188 47.2188 41.2188 52.2031 Q41.2188 57.4219 37.4766 61.0078 Q33.7344 64.5938 27.7344 64.5938 Q21.3906 64.5938 17.5781 60.7891 Q13.7656 56.9844 13.7188 50.25 L4.6875 51.1719 Q5.6094 61.2812 11.6641 66.5781 Q17.7188 71.875 27.9375 71.875 Q38.2344 71.875 44.2422 66.1641 Q50.25 60.4531 50.25 52 Q50.25 47.7031 48.4922 43.5547 Q46.7344 39.4062 42.6562 34.8125 Q38.5781 30.2188 29.1094 22.2188 Q21.1875 15.5781 18.9453 13.2109 Q16.7031 10.8438 15.2344 8.4531 L50.3438 8.4531 Z"
+        /><glyph unicode="3" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.2031 18.8906 L12.9844 20.0625 Q14.5 12.5938 18.1406 9.2969 Q21.7812 6 27 6 Q33.2031 6 37.4766 10.2969 Q41.75 14.5938 41.75 20.9531 Q41.75 27 37.7969 30.9297 Q33.8438 34.8594 27.7344 34.8594 Q25.25 34.8594 21.5312 33.8906 L22.5156 41.6094 Q23.3906 41.5 23.9219 41.5 Q29.5469 41.5 34.0391 44.4297 Q38.5312 47.3594 38.5312 53.4688 Q38.5312 58.2969 35.2578 61.4766 Q31.9844 64.6562 26.8125 64.6562 Q21.6875 64.6562 18.2656 61.4297 Q14.8438 58.2031 13.875 51.7656 L5.0781 53.3281 Q6.6875 62.1562 12.3984 67.0156 Q18.1094 71.875 26.6094 71.875 Q32.4688 71.875 37.3984 69.3594 Q42.3281 66.8438 44.9453 62.5 Q47.5625 58.1562 47.5625 53.2656 Q47.5625 48.6406 45.0703 44.8281 Q42.5781 41.0156 37.7031 38.7656 Q44.0469 37.3125 47.5625 32.6953 Q51.0781 28.0781 51.0781 21.1406 Q51.0781 11.7656 44.2422 5.25 Q37.4062 -1.2656 26.9531 -1.2656 Q17.5312 -1.2656 11.3047 4.3516 Q5.0781 9.9688 4.2031 18.8906 Z"
+        /><glyph unicode="4" horiz-adv-x="55.615234" d="M32.3281 0 L32.3281 17.1406 L1.2656 17.1406 L1.2656 25.2031 L33.9375 71.5781 L41.1094 71.5781 L41.1094 25.2031 L50.7812 25.2031 L50.7812 17.1406 L41.1094 17.1406 L41.1094 0 L32.3281 0 ZM32.3281 25.2031 L32.3281 57.4688 L9.9062 25.2031 L32.3281 25.2031 Z"
+        /><glyph unicode="5" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.1562 18.75 L13.375 19.5312 Q14.4062 12.7969 18.1406 9.3984 Q21.875 6 27.1562 6 Q33.5 6 37.8906 10.7891 Q42.2812 15.5781 42.2812 23.4844 Q42.2812 31 38.0625 35.3516 Q33.8438 39.7031 27 39.7031 Q22.75 39.7031 19.3359 37.7734 Q15.9219 35.8438 13.9688 32.7656 L5.7188 33.8438 L12.6406 70.6094 L48.25 70.6094 L48.25 62.2031 L19.6719 62.2031 L15.8281 42.9688 Q22.2656 47.4688 29.3438 47.4688 Q38.7188 47.4688 45.1641 40.9688 Q51.6094 34.4688 51.6094 24.2656 Q51.6094 14.5469 45.9531 7.4688 Q39.0625 -1.2188 27.1562 -1.2188 Q17.3906 -1.2188 11.2109 4.25 Q5.0312 9.7188 4.1562 18.75 Z"
+        /><glyph unicode="6" horiz-adv-x="55.615234" d="M49.75 54.0469 L41.0156 53.375 Q39.8438 58.5469 37.7031 60.8906 Q34.125 64.6562 28.9062 64.6562 Q24.7031 64.6562 21.5312 62.3125 Q17.3906 59.2812 14.9922 53.4688 Q12.5938 47.6562 12.5 36.9219 Q15.6719 41.75 20.2656 44.0938 Q24.8594 46.4375 29.8906 46.4375 Q38.6719 46.4375 44.8516 39.9688 Q51.0312 33.5 51.0312 23.25 Q51.0312 16.5 48.125 10.7188 Q45.2188 4.9375 40.1406 1.8594 Q35.0625 -1.2188 28.6094 -1.2188 Q17.625 -1.2188 10.6953 6.8594 Q3.7656 14.9375 3.7656 33.5 Q3.7656 54.25 11.4219 63.6719 Q18.1094 71.875 29.4375 71.875 Q37.8906 71.875 43.2891 67.1406 Q48.6875 62.4062 49.75 54.0469 ZM13.875 23.1875 Q13.875 18.6562 15.7969 14.5078 Q17.7188 10.3594 21.1875 8.1797 Q24.6562 6 28.4688 6 Q34.0312 6 38.0391 10.4922 Q42.0469 14.9844 42.0469 22.7031 Q42.0469 30.125 38.0859 34.3984 Q34.125 38.6719 28.125 38.6719 Q22.1719 38.6719 18.0234 34.3984 Q13.875 30.125 13.875 23.1875 Z"
+        /><glyph unicode="7" horiz-adv-x="55.615234" d="M4.7344 62.2031 L4.7344 70.6562 L51.0781 70.6562 L51.0781 63.8125 Q44.2344 56.5469 37.5234 44.4844 Q30.8125 32.4219 27.1562 19.6719 Q24.5156 10.6875 23.7812 0 L14.75 0 Q14.8906 8.4531 18.0625 20.4141 Q21.2344 32.375 27.1719 43.4844 Q33.1094 54.5938 39.7969 62.2031 L4.7344 62.2031 Z"
+        /><glyph unicode="8" horiz-adv-x="55.615234" d="M17.6719 38.8125 Q12.2031 40.8281 9.5703 44.5391 Q6.9375 48.25 6.9375 53.4219 Q6.9375 61.2344 12.5547 66.5547 Q18.1719 71.875 27.4844 71.875 Q36.8594 71.875 42.5781 66.4297 Q48.2969 60.9844 48.2969 53.1719 Q48.2969 48.1875 45.6797 44.5078 Q43.0625 40.8281 37.75 38.8125 Q44.3438 36.6719 47.7812 31.8828 Q51.2188 27.0938 51.2188 20.4531 Q51.2188 11.2812 44.7266 5.0312 Q38.2344 -1.2188 27.6406 -1.2188 Q17.0469 -1.2188 10.5469 5.0547 Q4.0469 11.3281 4.0469 20.7031 Q4.0469 27.6875 7.5938 32.3984 Q11.1406 37.1094 17.6719 38.8125 ZM15.9219 53.7188 Q15.9219 48.6406 19.1953 45.4141 Q22.4688 42.1875 27.6875 42.1875 Q32.7656 42.1875 36.0156 45.3828 Q39.2656 48.5781 39.2656 53.2188 Q39.2656 58.0625 35.9141 61.3594 Q32.5625 64.6562 27.5938 64.6562 Q22.5625 64.6562 19.2422 61.4297 Q15.9219 58.2031 15.9219 53.7188 ZM13.0938 20.6562 Q13.0938 16.8906 14.875 13.375 Q16.6562 9.8594 20.1719 7.9297 Q23.6875 6 27.7344 6 Q34.0312 6 38.1328 10.0547 Q42.2344 14.1094 42.2344 20.3594 Q42.2344 26.7031 38.0156 30.8594 Q33.7969 35.0156 27.4375 35.0156 Q21.2344 35.0156 17.1641 30.9141 Q13.0938 26.8125 13.0938 20.6562 Z"
+        /><glyph unicode="9" horiz-adv-x="55.615234" d="M5.4688 16.5469 L13.9219 17.3281 Q14.9844 11.375 18.0156 8.6875 Q21.0469 6 25.7812 6 Q29.8281 6 32.8828 7.8594 Q35.9375 9.7188 37.8906 12.8203 Q39.8438 15.9219 41.1641 21.1953 Q42.4844 26.4688 42.4844 31.9375 Q42.4844 32.5156 42.4375 33.6875 Q39.7969 29.5 35.2344 26.8828 Q30.6719 24.2656 25.3438 24.2656 Q16.4531 24.2656 10.3047 30.7109 Q4.1562 37.1562 4.1562 47.7031 Q4.1562 58.5938 10.5781 65.2344 Q17 71.875 26.6562 71.875 Q33.6406 71.875 39.4297 68.1172 Q45.2188 64.3594 48.2188 57.3984 Q51.2188 50.4375 51.2188 37.25 Q51.2188 23.5312 48.2422 15.4062 Q45.2656 7.2812 39.3828 3.0312 Q33.5 -1.2188 25.5938 -1.2188 Q17.1875 -1.2188 11.8672 3.4453 Q6.5469 8.1094 5.4688 16.5469 ZM41.4531 48.1406 Q41.4531 55.7188 37.4297 60.1562 Q33.4062 64.5938 27.7344 64.5938 Q21.875 64.5938 17.5312 59.8125 Q13.1875 55.0312 13.1875 47.4062 Q13.1875 40.5781 17.3125 36.3047 Q21.4375 32.0312 27.4844 32.0312 Q33.5938 32.0312 37.5234 36.3047 Q41.4531 40.5781 41.4531 48.1406 Z"
+        /><glyph unicode="." horiz-adv-x="27.783203" d="M9.0781 0 L9.0781 10.0156 L19.0938 10.0156 L19.0938 0 L9.0781 0 Z"
+      /></font
+      ><font horiz-adv-x="75.0" id="font2"
+      ><font-face ascent="100.53711" descent="21.972656" units-per-em="100" style="font-style:normal; font-family:SansSerif; font-weight:bold;"
+        /><missing-glyph horiz-adv-x="75.0" d="M12.5 0 L12.5 62.5 L62.5 62.5 L62.5 0 L12.5 0 ZM14.0625 1.5625 L60.9375 1.5625 L60.9375 60.9375 L14.0625 60.9375 L14.0625 1.5625 Z"
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+    ><text x="-27" xml:space="preserve" y="-4" style="stroke:none;"
+      >Locator</text
+    ></g
+    ><g style="stroke-linecap:butt; fill:rgb(0,114,189); text-rendering:geometricPrecision; image-rendering:optimizeQuality; color-rendering:optimizeQuality; stroke-linejoin:round; stroke:rgb(0,114,189); color-interpolation:linearRGB; stroke-width:0.6667;"
+    ><path d="M73 359.24 L77.5684 304.59 L82.1368 306.269 L86.7053 357.3447 L91.2737 221.8131 L95.8421 103.8006 L100.4105 66.0277 L104.979 123.5983 L109.5474 238.8279 L114.1158 349.3826 L118.6842 329.8091 L123.2526 319.7279 L127.8211 340.4537 L132.3895 356.2201 L136.9579 339.8423 L141.5263 320.4486 L146.0947 328.7638 L150.6632 348.9023 L155.2316 239.6457 L159.8 122.3869 L164.3684 63.7543 L168.9368 102.891 L173.5053 223.1581 L178.0737 357.2585 L182.6421 305.2673 L187.2105 306.1217 L191.7789 359.4776 L196.3474 333.9688 L200.9158 327.7252 L205.4842 361.0673 L210.0526 345.2918 L214.621 337.8813 L219.1895 362.2413 L223.7579 351.2534 L228.3263 343.8053 L232.8947 363.1238 L237.4632 354.8525 L242.0316 347.6558 L246.6 363.7917 L251.1684 357.1877 L255.7368 350.3114 L260.3053 364.2942 L264.8737 358.7508 L269.4421 352.1972 L274.0105 364.6638 L278.5789 359.7876 L283.1474 353.5407 L287.7158 364.9222 L292.2842 360.4241 L296.8526 354.4683 L301.4211 365.083 L305.9895 360.7162 L310.5579 355.045 L315.1263 365.1546 L319.6947 360.6652 L324.2632 355.2873 L328.8316 365.1404 L333.4 360.2105 L337.9684 355.1548 L342.5368 365.0396 L347.1053 359.1897 L351.6737 354.5041 L356.2421 364.8475 L360.8105 357.218 L365.3789 352.9333 L369.9474 364.5539 L374.5158 353.2823 L379.0842 349.166 L383.6526 364.1428 L388.221 343.8626 L392.7895 337.4973 L397.3579 363.5894 L401.9263 304.1249 L406.4948 239.984 L411.0632 214.5983 L415.6316 240.3744 L420.2 300.9536 L424.7684 361.8872 L429.3369 340.6732 L433.9053 337.0598 L438.4737 360.5917 L443.0421 354.0145 L447.6105 342.9847 L452.179 358.8223 L456.7474 358.5551 L461.3158 343.2464 L465.8842 356.3186 L470.4526 360.3049 L475.0211 340.7819 L479.5895 352.5788 L484.1579 360.7386 L488.7263 335.6144 L493.2947 346.4966 L497.8632 360.3416 L502.4316 325.9092 L507 335.0674" style="fill:none; fill-rule:evenodd;"
+    /></g
+  ></g
+></svg
+>
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.aux b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.aux
new file mode 100644
index 0000000..f23e546
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.aux
@@ -0,0 +1 @@
+\relax 
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.log b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.log
new file mode 100644
index 0000000..183eaea
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.log
@@ -0,0 +1,747 @@
+This is XeTeX, Version 3.14159265-2.6-0.999991 (TeX Live 2019/W32TeX) (preloaded format=xelatex 2019.10.25)  21 APR 2021 12:27
+entering extended mode
+ restricted \write18 enabled.
+ %&-line parsing enabled.
+**polynom1.tex
+(./polynom1.tex
+LaTeX2e <2019-10-01> patch level 1
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/standalone/standalone.cls
+Document Class: standalone 2018/03/26 v1.3a Class to compile TeX sub-files stan
+dalone
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/tools/shellesc.sty
+Package: shellesc 2016/06/07 v0.02b unified shell escape interface for LaTeX
+Package shellesc Info: Restricted shell escape enabled on input line 72.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifluatex.sty
+Package: ifluatex 2016/05/16 v1.4 Provides the ifluatex switch (HO)
+Package ifluatex Info: LuaTeX not detected.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifpdf.sty
+Package: ifpdf 2018/09/07 v3.3 Provides the ifpdf switch
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty
+Package: ifxetex 2010/09/12 v0.6 Provides ifxetex conditional
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/xkeyval/xkeyval.sty
+Package: xkeyval 2014/12/03 v2.7a package option processing (HA)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/xkeyval.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/xkvutils.tex
+\XKV@toks=\toks14
+\XKV@tempa@toks=\toks15
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/keyval.tex))
+\XKV@depth=\count80
+File: xkeyval.tex 2014/12/03 v2.7a key=value parser (HA)
+))
+\sa@internal=\count81
+\c@sapage=\count82
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/standalone/standalone.cfg
+File: standalone.cfg 2018/03/26 v1.3a Default configuration file for 'standalon
+e' class
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+Document Class: article 2019/08/27 v1.4j Standard LaTeX document class
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/size10.clo
+File: size10.clo 2019/08/27 v1.4j Standard LaTeX file (size option)
+)
+\c@part=\count83
+\c@section=\count84
+\c@subsection=\count85
+\c@subsubsection=\count86
+\c@paragraph=\count87
+\c@subparagraph=\count88
+\c@figure=\count89
+\c@table=\count90
+\abovecaptionskip=\skip41
+\belowcaptionskip=\skip42
+\bibindent=\dimen102
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex
+\pgfutil@everybye=\toks16
+\pgfutil@tempdima=\dimen103
+\pgfutil@tempdimb=\dimen104
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def
+\pgfutil@abb=\box27
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/ms/everyshi.sty
+Package: everyshi 2001/05/15 v3.00 EveryShipout Package (MS)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex)
+Package: pgfrcs 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))
+Package: pgf 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 2017/06/01 v1.1a Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2019/10/08 v1.3c Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration
+)
+Package graphics Info: Driver file: xetex.def on input line 105.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/xetex.def
+File: xetex.def 2017/06/24 v5.0h Graphics/color driver for xetex
+))
+\Gin@req@height=\dimen105
+\Gin@req@width=\dimen106
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
+Package: pgfsys 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
+\pgfkeys@pathtoks=\toks17
+\pgfkeys@temptoks=\toks18
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex
+\pgfkeys@tmptoks=\toks19
+))
+\pgf@x=\dimen107
+\pgf@y=\dimen108
+\pgf@xa=\dimen109
+\pgf@ya=\dimen110
+\pgf@xb=\dimen111
+\pgf@yb=\dimen112
+\pgf@xc=\dimen113
+\pgf@yc=\dimen114
+\pgf@xd=\dimen115
+\pgf@yd=\dimen116
+\w@pgf@writea=\write3
+\r@pgf@reada=\read1
+\c@pgf@counta=\count91
+\c@pgf@countb=\count92
+\c@pgf@countc=\count93
+\c@pgf@countd=\count94
+\t@pgf@toka=\toks20
+\t@pgf@tokb=\toks21
+\t@pgf@tokc=\toks22
+\pgf@sys@id@count=\count95
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg
+File: pgf.cfg 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+Driver file for pgf: pgfsys-xetex.def
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-xetex.def
+File: pgfsys-xetex.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-dvipdfmx.def
+File: pgfsys-dvipdfmx.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def
+File: pgfsys-common-pdf.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+\pgfsys@objnum=\count96
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
+File: pgfsyssoftpath.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfsyssoftpath@smallbuffer@items=\count97
+\pgfsyssoftpath@bigbuffer@items=\count98
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
+File: pgfsysprotocol.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+Package: xcolor 2016/05/11 v2.12 LaTeX color extensions (UK)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
+File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration
+)
+Package xcolor Info: Driver file: xetex.def on input line 225.
+Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1348.
+Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1364.
+Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1366.
+Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1367.
+Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1368.
+Package xcolor Info: Model `HSB' substituted by `hsb' on input line 1369.
+Package xcolor Info: Model `Gray' substituted by `gray' on input line 1370.
+Package xcolor Info: Model `wave' substituted by `hsb' on input line 1371.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
+Package: pgfcore 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex
+\pgfmath@dimen=\dimen117
+\pgfmath@count=\count99
+\pgfmath@box=\box28
+\pgfmath@toks=\toks23
+\pgfmath@stack@operand=\toks24
+\pgfmath@stack@operation=\toks25
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric
+.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.t
+ex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.co
+de.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithm
+etics.code.tex)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex
+\c@pgfmathroundto@lastzeros=\count100
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex
+File: pgfcorepoints.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@picminx=\dimen118
+\pgf@picmaxx=\dimen119
+\pgf@picminy=\dimen120
+\pgf@picmaxy=\dimen121
+\pgf@pathminx=\dimen122
+\pgf@pathmaxx=\dimen123
+\pgf@pathminy=\dimen124
+\pgf@pathmaxy=\dimen125
+\pgf@xx=\dimen126
+\pgf@xy=\dimen127
+\pgf@yx=\dimen128
+\pgf@yy=\dimen129
+\pgf@zx=\dimen130
+\pgf@zy=\dimen131
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.cod
+e.tex
+File: pgfcorepathconstruct.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@path@lastx=\dimen132
+\pgf@path@lasty=\dimen133
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.te
+x
+File: pgfcorepathusage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@shorten@end@additional=\dimen134
+\pgf@shorten@start@additional=\dimen135
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex
+File: pgfcorescopes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfpic=\box29
+\pgf@hbox=\box30
+\pgf@layerbox@main=\box31
+\pgf@picture@serial@count=\count101
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code
+.tex
+File: pgfcoregraphicstate.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgflinewidth=\dimen136
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.c
+ode.tex
+File: pgfcoretransformations.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@pt@x=\dimen137
+\pgf@pt@y=\dimen138
+\pgf@pt@temp=\dimen139
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex
+File: pgfcorequick.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex
+File: pgfcoreobjects.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.co
+de.tex
+File: pgfcorepathprocessing.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex
+File: pgfcorearrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfarrowsep=\dimen140
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex
+File: pgfcoreshade.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@max=\dimen141
+\pgf@sys@shading@range@num=\count102
+\pgf@shadingcount=\count103
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex
+File: pgfcoreimage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex
+File: pgfcoreexternal.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfexternal@startupbox=\box32
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex
+File: pgfcorelayers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code
+.tex
+File: pgfcoretransparency.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex
+File: pgfcorepatterns.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex
+File: pgfcorerdf.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.te
+x
+File: pgfmoduleshapes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfnodeparttextbox=\box33
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex
+File: pgfmoduleplot.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.st
+y
+Package: pgfcomp-version-0-65 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@nodesepstart=\dimen142
+\pgf@nodesepend=\dimen143
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.st
+y
+Package: pgfcomp-version-1-18 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
+Package: pgffor 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex)
+\pgffor@iter=\dimen144
+\pgffor@skip=\dimen145
+\pgffor@stack=\toks26
+\pgffor@toks=\toks27
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
+Package: tikz 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.co
+de.tex
+File: pgflibraryplothandlers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@plot@mark@count=\count104
+\pgfplotmarksize=\dimen146
+)
+\tikz@lastx=\dimen147
+\tikz@lasty=\dimen148
+\tikz@lastxsaved=\dimen149
+\tikz@lastysaved=\dimen150
+\tikz@lastmovetox=\dimen151
+\tikz@lastmovetoy=\dimen152
+\tikzleveldistance=\dimen153
+\tikzsiblingdistance=\dimen154
+\tikz@figbox=\box34
+\tikz@figbox@bg=\box35
+\tikz@tempbox=\box36
+\tikz@tempbox@bg=\box37
+\tikztreelevel=\count105
+\tikznumberofchildren=\count106
+\tikznumberofcurrentchild=\count107
+\tikz@fig@count=\count108
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex
+File: pgfmodulematrix.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfmatrixcurrentrow=\count109
+\pgfmatrixcurrentcolumn=\count110
+\pgf@matrix@numberofcolumns=\count111
+)
+\tikz@expandcount=\count112
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarytopaths.code.tex
+File: tikzlibrarytopaths.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)))
+\sa@box=\box38
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2019/04/01 v2.17c AMS math features
+\@mathmargin=\skip43
+
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01 AMS text
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions
+\@emptytoks=\toks28
+\ex@=\dimen155
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols
+\pmbraise@=\dimen156
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 2016/03/08 v2.02 operator names
+)
+\inf@bad=\count113
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 227.
+\uproot@=\count114
+\leftroot@=\count115
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 389.
+\classnum@=\count116
+\DOTSCASE@=\count117
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 486.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 489.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 610.
+\Mathstrutbox@=\box39
+\strutbox@=\box40
+\big@size=\dimen157
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 733.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 734.
+\macc@depth=\count118
+\c@MaxMatrixCols=\count119
+\dotsspace@=\muskip10
+\c@parentequation=\count120
+\dspbrk@lvl=\count121
+\tag@help=\toks29
+\row@=\count122
+\column@=\count123
+\maxfields@=\count124
+\andhelp@=\toks30
+\eqnshift@=\dimen158
+\alignsep@=\dimen159
+\tagshift@=\dimen160
+\tagwidth@=\dimen161
+\totwidth@=\dimen162
+\lineht@=\dimen163
+\@envbody=\toks31
+\multlinegap=\skip44
+\multlinetaggap=\skip45
+\mathdisplay@stack=\toks32
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2855.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2856.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/psnfss/times.sty
+Package: times 2005/04/12 PSNFSS-v9.2a (SPQR) 
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/txfonts.sty
+Package: txfonts 2008/01/22 v3.2.1
+LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `operators' on input line 21.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/m/n --> OT1/txr/m/n on input line 21.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/txr/m/n on input line 21.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font)                  OT1/txr/m/n --> OT1/txr/bx/n on input line 22.
+\symitalic=\mathgroup4
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `italic' in version `bold'
+(Font)                  OT1/txr/m/it --> OT1/txr/bx/it on input line 26.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathbf on input line 29.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/txr/bx/n on input line 29.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/txr/bx/n on input line 29.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathit on input line 30.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/m/it --> OT1/txr/m/it on input line 30.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/it --> OT1/txr/m/it on input line 30.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font)                  OT1/txr/m/it --> OT1/txr/bx/it on input line 31.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathsf on input line 40.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmss/m/n --> OT1/txss/m/n on input line 40.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmss/bx/n --> OT1/txss/m/n on input line 40.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/txss/m/n --> OT1/txss/b/n on input line 41.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathtt on input line 50.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmtt/m/n --> OT1/txtt/m/n on input line 50.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmtt/m/n --> OT1/txtt/m/n on input line 50.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font)                  OT1/txtt/m/n --> OT1/txtt/b/n on input line 51.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `letters' on input line 58.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `normal'
+(Font)                  OML/cmm/m/it --> OML/txmi/m/it on input line 58.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
+(Font)                  OML/cmm/b/it --> OML/txmi/m/it on input line 58.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
+(Font)                  OML/txmi/m/it --> OML/txmi/bx/it on input line 59.
+\symlettersA=\mathgroup5
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `lettersA' in version `bold'
+(Font)                  U/txmia/m/it --> U/txmia/bx/it on input line 67.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `symbols' on input line 77.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `normal'
+(Font)                  OMS/cmsy/m/n --> OMS/txsy/m/n on input line 77.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
+(Font)                  OMS/cmsy/b/n --> OMS/txsy/m/n on input line 77.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
+(Font)                  OMS/txsy/m/n --> OMS/txsy/bx/n on input line 78.
+\symAMSa=\mathgroup6
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `AMSa' in version `bold'
+(Font)                  U/txsya/m/n --> U/txsya/bx/n on input line 94.
+\symAMSb=\mathgroup7
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `AMSb' in version `bold'
+(Font)                  U/txsyb/m/n --> U/txsyb/bx/n on input line 103.
+\symsymbolsC=\mathgroup8
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbolsC' in version `bold'
+(Font)                  U/txsyc/m/n --> U/txsyc/bx/n on input line 113.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `largesymbols' on input line 120.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal'
+(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/txex/m/n on input line 120.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
+(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/txex/m/n on input line 120.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
+(Font)                  OMX/txex/m/n --> OMX/txex/bx/n on input line 121.
+\symlargesymbolsA=\mathgroup9
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbolsA' in version `bold'
+(Font)                  U/txexa/m/n --> U/txexa/bx/n on input line 129.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \mathsterling on input line 164.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \hbar on input line 591.
+LaTeX Info: Redefining \not on input line 1043.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgfplots/pgfplots.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.revision.tex)
+Package: pgfplots 2018/03/28 v1.16 Data Visualization (1.16)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotscore.code.tex
+\t@pgfplots@toka=\toks33
+\t@pgfplots@tokb=\toks34
+\t@pgfplots@tokc=\toks35
+\pgfplots@tmpa=\dimen164
+\c@pgfplots@coordindex=\count125
+\c@pgfplots@scanlineindex=\count126
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/sys/pgfplotssysgeneric.code.te
+x))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/libs/pgfplotslibrary.code.tex)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/oldpgfcompatib/pgfplotsoldpgfs
+upp_loader.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfpu.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsutil.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsliststru
+cture.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsliststru
+ctureext.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsarray.co
+de.tex
+\c@pgfplotsarray@tmp=\count127
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsmatrix.c
+ode.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/numtable/pgfplotstableshared.c
+ode.tex
+\c@pgfplotstable@counta=\count128
+\t@pgfplotstable@a=\toks36
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsdeque.co
+de.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsbinary.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsbinary.data.code.
+tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsutil.verb.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/libs/pgflibrarypgfplots.surfsh
+ading.code.tex
+\c@pgfplotslibrarysurf@no=\count129
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/sys/pgflibrarypgfplots.surfsha
+ding.pgfsys-xetex.def
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/sys/pgflibrarypgfplots.surfsha
+ding.pgfsys-dvipdfmx.def
+\c@pgfplotslibrarysurf@streamlen=\count130
+))))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotscolormap.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotscolor.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsstackedplots.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsplothandlers.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsmeshplothandler.code.t
+ex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsmeshplotimage.code.tex
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.scaling.code.tex)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotscoordprocessing.code.t
+ex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.errorbars.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.markers.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsticks.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.paths.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarydecorations.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecorations.code.t
+ex
+\pgfdecoratedcompleteddistance=\dimen165
+\pgfdecoratedremainingdistance=\dimen166
+\pgfdecoratedinputsegmentcompleteddistance=\dimen167
+\pgfdecoratedinputsegmentremainingdistance=\dimen168
+\pgf@decorate@distancetomove=\dimen169
+\pgf@decorate@repeatstate=\count131
+\pgfdecorationsegmentamplitude=\dimen170
+\pgfdecorationsegmentlength=\dimen171
+)
+\tikz@lib@dec@box=\box41
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarydecorations.pathmorphing.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydec
+orations.pathmorphing.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarydecorations.pathreplacing.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydec
+orations.pathreplacing.code.tex))
+\pgfplots@numplots=\count132
+\pgfplots@xmin@reg=\dimen172
+\pgfplots@xmax@reg=\dimen173
+\pgfplots@ymin@reg=\dimen174
+\pgfplots@ymax@reg=\dimen175
+\pgfplots@zmin@reg=\dimen176
+\pgfplots@zmax@reg=\dimen177
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryplotmarks.code.tex
+File: tikzlibraryplotmarks.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.code.
+tex
+File: pgflibraryplotmarks.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/csvsimple/csvsimple.sty
+Package: csvsimple 2019/04/09 version 1.21 LaTeX CSV file processing
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/ifthen.sty
+Package: ifthen 2014/09/29 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+Package: etoolbox 2019/09/21 v2.5h e-TeX tools for LaTeX (JAW)
+\etb@tempcnta=\count133
+)
+\csv@file=\read2
+\c@csvinputline=\count134
+\c@csvrow=\count135
+\c@csvcol=\count136
+\csv@out=\write4
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryarrows.code.tex
+File: tikzlibraryarrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex
+File: pgflibraryarrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\arrowsize=\dimen178
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryintersections.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryintersections.c
+ode.tex
+\pgf@intersect@solutions=\count137
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarymath.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryfpu.code.tex)
+\tikz@math@for@depth=\count138
+\tikz@math@dimen=\dimen179
+\tikz@math@toks=\toks37
+) (./polynom1.aux)
+\openout1 = `polynom1.aux'.
+
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/txmi/m/it on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OML+txmi on input line 
+11.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/omltxmi.fd
+File: omltxmi.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/txsy/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OMS+txsy on input line 
+11.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/omstxsy.fd
+File: omstxsy.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for TU/lmr/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/txex/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OMX+txex on input line 
+11.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/omxtxex.fd
+File: omxtxex.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/txexa/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+txexa on input line 1
+1.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxexa.fd
+File: utxexa.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for TU+txr on input line 11
+.
+LaTeX Font Info:    No file TUtxr.fd. on input line 11.
+
+
+LaTeX Font Warning: Font shape `TU/txr/m/n' undefined
+(Font)              using `TU/lmr/m/n' instead on input line 11.
+
+ABD: EveryShipout initializing macros
+
+Package pgfplots Warning: running in backwards compatibility mode (unsuitable t
+ick labels; missing features). Consider writing \pgfplotsset{compat=1.16} into 
+your preamble.
+ on input line 11.
+
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OT1+txr on input line 2
+6.
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/ot1txr.fd
+File: ot1txr.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+txmia on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxmia.fd
+File: utxmia.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+txsya on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxsya.fd
+File: utxsya.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+txsyb on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxsyb.fd
+File: utxsyb.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+txsyc on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxsyc.fd
+File: utxsyc.fd 2000/12/15 v3.1
+) [1
+
+] (./polynom1.aux)
+
+LaTeX Font Warning: Some font shapes were not available, defaults substituted.
+
+ ) 
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 25076 strings out of 492483
+ 634297 string characters out of 6132858
+ 794987 words of memory out of 5000000
+ 29148 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 13575 words of font info for 45 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 1348 hyphenation exceptions out of 8191
+ 68i,6n,98p,840b,724s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
+
+Output written on polynom1.pdf (1 page).
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.pdf b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..1f632d8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.pdf
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.synctex.gz b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.synctex.gz
new file mode 100644
index 0000000..578f2a3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.synctex.gz
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.tex b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.tex
new file mode 100644
index 0000000..db83daa
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+% polynome1
+%-------------------
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\newcommand{\teiler}{40}
+\begin{document}
+	%Übertragen von den Zahlen 
+	%\textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5} 
+	%als $ p(x) = \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} $.\newline
+	%Versende $ (p(1),p(2),...,p(7)) = (\textcolor{green}{8}, 
+	%	\textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26},
+	%	\textcolor{green}{ 41}, \textcolor{green}{60}, 
+	%	\textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$
+
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+\draw[color=blue, line width=1.4pt] 
+plot[domain=0:8, samples=100]
+	({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler});
+\draw[->] (-0.2,0) -- (8,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-0.2) -- (0,150/\teiler) coordinate[label={right:$p(x)$}];
+\def\punkt#1{
+	\fill[color=green] #1 circle[radius=0.08];
+	\draw #1 circle[radius=0.07];
+}
+\punkt{(1,8/\teiler)}
+\punkt{(2,15/\teiler)}
+\punkt{(3,26/\teiler)}
+\punkt{(4,41/\teiler)}
+\punkt{(5,60/\teiler)}
+\punkt{(6,83/\teiler)}
+\punkt{(7,110/\teiler)}
+%\draw[color=gray,line width=1pt,dashed] 
+%plot[domain=0.5:7, samples=100]
+%({\x},{(0.1958*\x^2-1.2875*\x+3.0417)});
+%\def\erpunkt#1{
+%	\fill[color=red] #1 circle[radius=0.08];
+%	\draw #1 circle[radius=0.07];
+%}
+%\erpunkt{(2,50/\teiler)}
+%\erpunkt{(3,0.9414)}
+%\punkt{(4,41/\teiler)}
+%\punkt{(5,60/\teiler)}
+
+\draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}];
+\draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}];
+
+
+
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.aux b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.aux
new file mode 100644
index 0000000..f23e546
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.aux
@@ -0,0 +1 @@
+\relax 
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.log b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.log
new file mode 100644
index 0000000..169203e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.log
@@ -0,0 +1,747 @@
+This is XeTeX, Version 3.14159265-2.6-0.999991 (TeX Live 2019/W32TeX) (preloaded format=xelatex 2019.10.25)  21 APR 2021 12:28
+entering extended mode
+ restricted \write18 enabled.
+ %&-line parsing enabled.
+**polynom2.tex
+(./polynom2.tex
+LaTeX2e <2019-10-01> patch level 1
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/standalone/standalone.cls
+Document Class: standalone 2018/03/26 v1.3a Class to compile TeX sub-files stan
+dalone
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/tools/shellesc.sty
+Package: shellesc 2016/06/07 v0.02b unified shell escape interface for LaTeX
+Package shellesc Info: Restricted shell escape enabled on input line 72.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifluatex.sty
+Package: ifluatex 2016/05/16 v1.4 Provides the ifluatex switch (HO)
+Package ifluatex Info: LuaTeX not detected.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifpdf.sty
+Package: ifpdf 2018/09/07 v3.3 Provides the ifpdf switch
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty
+Package: ifxetex 2010/09/12 v0.6 Provides ifxetex conditional
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/xkeyval/xkeyval.sty
+Package: xkeyval 2014/12/03 v2.7a package option processing (HA)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/xkeyval.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/xkvutils.tex
+\XKV@toks=\toks14
+\XKV@tempa@toks=\toks15
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/keyval.tex))
+\XKV@depth=\count80
+File: xkeyval.tex 2014/12/03 v2.7a key=value parser (HA)
+))
+\sa@internal=\count81
+\c@sapage=\count82
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/standalone/standalone.cfg
+File: standalone.cfg 2018/03/26 v1.3a Default configuration file for 'standalon
+e' class
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+Document Class: article 2019/08/27 v1.4j Standard LaTeX document class
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/size10.clo
+File: size10.clo 2019/08/27 v1.4j Standard LaTeX file (size option)
+)
+\c@part=\count83
+\c@section=\count84
+\c@subsection=\count85
+\c@subsubsection=\count86
+\c@paragraph=\count87
+\c@subparagraph=\count88
+\c@figure=\count89
+\c@table=\count90
+\abovecaptionskip=\skip41
+\belowcaptionskip=\skip42
+\bibindent=\dimen102
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex
+\pgfutil@everybye=\toks16
+\pgfutil@tempdima=\dimen103
+\pgfutil@tempdimb=\dimen104
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def
+\pgfutil@abb=\box27
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/ms/everyshi.sty
+Package: everyshi 2001/05/15 v3.00 EveryShipout Package (MS)
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex)
+Package: pgfrcs 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))
+Package: pgf 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 2017/06/01 v1.1a Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2019/10/08 v1.3c Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration
+)
+Package graphics Info: Driver file: xetex.def on input line 105.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/xetex.def
+File: xetex.def 2017/06/24 v5.0h Graphics/color driver for xetex
+))
+\Gin@req@height=\dimen105
+\Gin@req@width=\dimen106
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
+Package: pgfsys 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
+\pgfkeys@pathtoks=\toks17
+\pgfkeys@temptoks=\toks18
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex
+\pgfkeys@tmptoks=\toks19
+))
+\pgf@x=\dimen107
+\pgf@y=\dimen108
+\pgf@xa=\dimen109
+\pgf@ya=\dimen110
+\pgf@xb=\dimen111
+\pgf@yb=\dimen112
+\pgf@xc=\dimen113
+\pgf@yc=\dimen114
+\pgf@xd=\dimen115
+\pgf@yd=\dimen116
+\w@pgf@writea=\write3
+\r@pgf@reada=\read1
+\c@pgf@counta=\count91
+\c@pgf@countb=\count92
+\c@pgf@countc=\count93
+\c@pgf@countd=\count94
+\t@pgf@toka=\toks20
+\t@pgf@tokb=\toks21
+\t@pgf@tokc=\toks22
+\pgf@sys@id@count=\count95
+ (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg
+File: pgf.cfg 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+Driver file for pgf: pgfsys-xetex.def
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-xetex.def
+File: pgfsys-xetex.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-dvipdfmx.def
+File: pgfsys-dvipdfmx.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def
+File: pgfsys-common-pdf.def 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+\pgfsys@objnum=\count96
+)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
+File: pgfsyssoftpath.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfsyssoftpath@smallbuffer@items=\count97
+\pgfsyssoftpath@bigbuffer@items=\count98
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
+File: pgfsysprotocol.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+Package: xcolor 2016/05/11 v2.12 LaTeX color extensions (UK)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
+File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration
+)
+Package xcolor Info: Driver file: xetex.def on input line 225.
+Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1348.
+Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1364.
+Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1366.
+Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1367.
+Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1368.
+Package xcolor Info: Model `HSB' substituted by `hsb' on input line 1369.
+Package xcolor Info: Model `Gray' substituted by `gray' on input line 1370.
+Package xcolor Info: Model `wave' substituted by `hsb' on input line 1371.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
+Package: pgfcore 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex
+\pgfmath@dimen=\dimen117
+\pgfmath@count=\count99
+\pgfmath@box=\box28
+\pgfmath@toks=\toks23
+\pgfmath@stack@operand=\toks24
+\pgfmath@stack@operation=\toks25
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric
+.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.t
+ex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.co
+de.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithm
+etics.code.tex)))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex
+\c@pgfmathroundto@lastzeros=\count100
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex
+File: pgfcorepoints.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@picminx=\dimen118
+\pgf@picmaxx=\dimen119
+\pgf@picminy=\dimen120
+\pgf@picmaxy=\dimen121
+\pgf@pathminx=\dimen122
+\pgf@pathmaxx=\dimen123
+\pgf@pathminy=\dimen124
+\pgf@pathmaxy=\dimen125
+\pgf@xx=\dimen126
+\pgf@xy=\dimen127
+\pgf@yx=\dimen128
+\pgf@yy=\dimen129
+\pgf@zx=\dimen130
+\pgf@zy=\dimen131
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.cod
+e.tex
+File: pgfcorepathconstruct.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@path@lastx=\dimen132
+\pgf@path@lasty=\dimen133
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.te
+x
+File: pgfcorepathusage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@shorten@end@additional=\dimen134
+\pgf@shorten@start@additional=\dimen135
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex
+File: pgfcorescopes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfpic=\box29
+\pgf@hbox=\box30
+\pgf@layerbox@main=\box31
+\pgf@picture@serial@count=\count101
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code
+.tex
+File: pgfcoregraphicstate.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgflinewidth=\dimen136
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.c
+ode.tex
+File: pgfcoretransformations.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@pt@x=\dimen137
+\pgf@pt@y=\dimen138
+\pgf@pt@temp=\dimen139
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex
+File: pgfcorequick.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex
+File: pgfcoreobjects.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.co
+de.tex
+File: pgfcorepathprocessing.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex
+File: pgfcorearrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfarrowsep=\dimen140
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex
+File: pgfcoreshade.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@max=\dimen141
+\pgf@sys@shading@range@num=\count102
+\pgf@shadingcount=\count103
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex
+File: pgfcoreimage.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex
+File: pgfcoreexternal.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfexternal@startupbox=\box32
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex
+File: pgfcorelayers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code
+.tex
+File: pgfcoretransparency.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex
+File: pgfcorepatterns.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex
+File: pgfcorerdf.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.te
+x
+File: pgfmoduleshapes.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfnodeparttextbox=\box33
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex
+File: pgfmoduleplot.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.st
+y
+Package: pgfcomp-version-0-65 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@nodesepstart=\dimen142
+\pgf@nodesepend=\dimen143
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.st
+y
+Package: pgfcomp-version-1-18 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
+Package: pgffor 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex)
+\pgffor@iter=\dimen144
+\pgffor@skip=\dimen145
+\pgffor@stack=\toks26
+\pgffor@toks=\toks27
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
+Package: tikz 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.co
+de.tex
+File: pgflibraryplothandlers.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgf@plot@mark@count=\count104
+\pgfplotmarksize=\dimen146
+)
+\tikz@lastx=\dimen147
+\tikz@lasty=\dimen148
+\tikz@lastxsaved=\dimen149
+\tikz@lastysaved=\dimen150
+\tikz@lastmovetox=\dimen151
+\tikz@lastmovetoy=\dimen152
+\tikzleveldistance=\dimen153
+\tikzsiblingdistance=\dimen154
+\tikz@figbox=\box34
+\tikz@figbox@bg=\box35
+\tikz@tempbox=\box36
+\tikz@tempbox@bg=\box37
+\tikztreelevel=\count105
+\tikznumberofchildren=\count106
+\tikznumberofcurrentchild=\count107
+\tikz@fig@count=\count108
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex
+File: pgfmodulematrix.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\pgfmatrixcurrentrow=\count109
+\pgfmatrixcurrentcolumn=\count110
+\pgf@matrix@numberofcolumns=\count111
+)
+\tikz@expandcount=\count112
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarytopaths.code.tex
+File: tikzlibrarytopaths.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+)))
+\sa@box=\box38
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2019/04/01 v2.17c AMS math features
+\@mathmargin=\skip43
+
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01 AMS text
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions
+\@emptytoks=\toks28
+\ex@=\dimen155
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols
+\pmbraise@=\dimen156
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 2016/03/08 v2.02 operator names
+)
+\inf@bad=\count113
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 227.
+\uproot@=\count114
+\leftroot@=\count115
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 389.
+\classnum@=\count116
+\DOTSCASE@=\count117
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 486.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 489.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 610.
+\Mathstrutbox@=\box39
+\strutbox@=\box40
+\big@size=\dimen157
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 733.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 734.
+\macc@depth=\count118
+\c@MaxMatrixCols=\count119
+\dotsspace@=\muskip10
+\c@parentequation=\count120
+\dspbrk@lvl=\count121
+\tag@help=\toks29
+\row@=\count122
+\column@=\count123
+\maxfields@=\count124
+\andhelp@=\toks30
+\eqnshift@=\dimen158
+\alignsep@=\dimen159
+\tagshift@=\dimen160
+\tagwidth@=\dimen161
+\totwidth@=\dimen162
+\lineht@=\dimen163
+\@envbody=\toks31
+\multlinegap=\skip44
+\multlinetaggap=\skip45
+\mathdisplay@stack=\toks32
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2855.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2856.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/psnfss/times.sty
+Package: times 2005/04/12 PSNFSS-v9.2a (SPQR) 
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/txfonts.sty
+Package: txfonts 2008/01/22 v3.2.1
+LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `operators' on input line 21.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/m/n --> OT1/txr/m/n on input line 21.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/txr/m/n on input line 21.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font)                  OT1/txr/m/n --> OT1/txr/bx/n on input line 22.
+\symitalic=\mathgroup4
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `italic' in version `bold'
+(Font)                  OT1/txr/m/it --> OT1/txr/bx/it on input line 26.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathbf on input line 29.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/txr/bx/n on input line 29.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/txr/bx/n on input line 29.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathit on input line 30.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/m/it --> OT1/txr/m/it on input line 30.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/it --> OT1/txr/m/it on input line 30.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font)                  OT1/txr/m/it --> OT1/txr/bx/it on input line 31.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathsf on input line 40.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmss/m/n --> OT1/txss/m/n on input line 40.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmss/bx/n --> OT1/txss/m/n on input line 40.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/txss/m/n --> OT1/txss/b/n on input line 41.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathtt on input line 50.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmtt/m/n --> OT1/txtt/m/n on input line 50.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmtt/m/n --> OT1/txtt/m/n on input line 50.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font)                  OT1/txtt/m/n --> OT1/txtt/b/n on input line 51.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `letters' on input line 58.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `normal'
+(Font)                  OML/cmm/m/it --> OML/txmi/m/it on input line 58.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
+(Font)                  OML/cmm/b/it --> OML/txmi/m/it on input line 58.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
+(Font)                  OML/txmi/m/it --> OML/txmi/bx/it on input line 59.
+\symlettersA=\mathgroup5
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `lettersA' in version `bold'
+(Font)                  U/txmia/m/it --> U/txmia/bx/it on input line 67.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `symbols' on input line 77.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `normal'
+(Font)                  OMS/cmsy/m/n --> OMS/txsy/m/n on input line 77.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
+(Font)                  OMS/cmsy/b/n --> OMS/txsy/m/n on input line 77.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
+(Font)                  OMS/txsy/m/n --> OMS/txsy/bx/n on input line 78.
+\symAMSa=\mathgroup6
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `AMSa' in version `bold'
+(Font)                  U/txsya/m/n --> U/txsya/bx/n on input line 94.
+\symAMSb=\mathgroup7
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `AMSb' in version `bold'
+(Font)                  U/txsyb/m/n --> U/txsyb/bx/n on input line 103.
+\symsymbolsC=\mathgroup8
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbolsC' in version `bold'
+(Font)                  U/txsyc/m/n --> U/txsyc/bx/n on input line 113.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `largesymbols' on input line 120.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal'
+(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/txex/m/n on input line 120.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
+(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/txex/m/n on input line 120.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
+(Font)                  OMX/txex/m/n --> OMX/txex/bx/n on input line 121.
+\symlargesymbolsA=\mathgroup9
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbolsA' in version `bold'
+(Font)                  U/txexa/m/n --> U/txexa/bx/n on input line 129.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \mathsterling on input line 164.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \hbar on input line 591.
+LaTeX Info: Redefining \not on input line 1043.
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/pgfplots/pgfplots.sty
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.revision.tex)
+Package: pgfplots 2018/03/28 v1.16 Data Visualization (1.16)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotscore.code.tex
+\t@pgfplots@toka=\toks33
+\t@pgfplots@tokb=\toks34
+\t@pgfplots@tokc=\toks35
+\pgfplots@tmpa=\dimen164
+\c@pgfplots@coordindex=\count125
+\c@pgfplots@scanlineindex=\count126
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/sys/pgfplotssysgeneric.code.te
+x))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/libs/pgfplotslibrary.code.tex)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/oldpgfcompatib/pgfplotsoldpgfs
+upp_loader.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfpu.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsutil.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsliststru
+cture.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsliststru
+ctureext.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsarray.co
+de.tex
+\c@pgfplotsarray@tmp=\count127
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsmatrix.c
+ode.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/numtable/pgfplotstableshared.c
+ode.tex
+\c@pgfplotstable@counta=\count128
+\t@pgfplotstable@a=\toks36
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsdeque.co
+de.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsbinary.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsbinary.data.code.
+tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsutil.verb.code.te
+x)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/libs/pgflibrarypgfplots.surfsh
+ading.code.tex
+\c@pgfplotslibrarysurf@no=\count129
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/sys/pgflibrarypgfplots.surfsha
+ding.pgfsys-xetex.def
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/sys/pgflibrarypgfplots.surfsha
+ding.pgfsys-dvipdfmx.def
+\c@pgfplotslibrarysurf@streamlen=\count130
+))))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotscolormap.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotscolor.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsstackedplots.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsplothandlers.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsmeshplothandler.code.t
+ex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsmeshplotimage.code.tex
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.scaling.code.tex)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotscoordprocessing.code.t
+ex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.errorbars.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.markers.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsticks.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.paths.code.tex)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarydecorations.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecorations.code.t
+ex
+\pgfdecoratedcompleteddistance=\dimen165
+\pgfdecoratedremainingdistance=\dimen166
+\pgfdecoratedinputsegmentcompleteddistance=\dimen167
+\pgfdecoratedinputsegmentremainingdistance=\dimen168
+\pgf@decorate@distancetomove=\dimen169
+\pgf@decorate@repeatstate=\count131
+\pgfdecorationsegmentamplitude=\dimen170
+\pgfdecorationsegmentlength=\dimen171
+)
+\tikz@lib@dec@box=\box41
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarydecorations.pathmorphing.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydec
+orations.pathmorphing.code.tex))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarydecorations.pathreplacing.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydec
+orations.pathreplacing.code.tex))
+\pgfplots@numplots=\count132
+\pgfplots@xmin@reg=\dimen172
+\pgfplots@xmax@reg=\dimen173
+\pgfplots@ymin@reg=\dimen174
+\pgfplots@ymax@reg=\dimen175
+\pgfplots@zmin@reg=\dimen176
+\pgfplots@zmax@reg=\dimen177
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryplotmarks.code.tex
+File: tikzlibraryplotmarks.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.code.
+tex
+File: pgflibraryplotmarks.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+))) (c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/csvsimple/csvsimple.sty
+Package: csvsimple 2019/04/09 version 1.21 LaTeX CSV file processing
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/base/ifthen.sty
+Package: ifthen 2014/09/29 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+Package: etoolbox 2019/09/21 v2.5h e-TeX tools for LaTeX (JAW)
+\etb@tempcnta=\count133
+)
+\csv@file=\read2
+\c@csvinputline=\count134
+\c@csvrow=\count135
+\c@csvcol=\count136
+\csv@out=\write4
+)
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryarrows.code.tex
+File: tikzlibraryarrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex
+File: pgflibraryarrows.code.tex 2019/08/03 v3.1.4b (3.1.4b)
+\arrowsize=\dimen178
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryintersections.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryintersections.c
+ode.tex
+\pgf@intersect@solutions=\count137
+))
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+brarymath.code.tex
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzli
+braryfpu.code.tex)
+\tikz@math@for@depth=\count138
+\tikz@math@dimen=\dimen179
+\tikz@math@toks=\toks37
+) (./polynom2.aux)
+\openout1 = `polynom2.aux'.
+
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/txmi/m/it on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OML+txmi on input line 
+11.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/omltxmi.fd
+File: omltxmi.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/txsy/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OMS+txsy on input line 
+11.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/omstxsy.fd
+File: omstxsy.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for TU/lmr/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/txex/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OMX+txex on input line 
+11.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/omxtxex.fd
+File: omxtxex.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/txexa/m/n on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+txexa on input line 1
+1.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxexa.fd
+File: utxexa.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 11.
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for TU+txr on input line 11
+.
+LaTeX Font Info:    No file TUtxr.fd. on input line 11.
+
+
+LaTeX Font Warning: Font shape `TU/txr/m/n' undefined
+(Font)              using `TU/lmr/m/n' instead on input line 11.
+
+ABD: EveryShipout initializing macros
+
+Package pgfplots Warning: running in backwards compatibility mode (unsuitable t
+ick labels; missing features). Consider writing \pgfplotsset{compat=1.16} into 
+your preamble.
+ on input line 11.
+
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for OT1+txr on input line 2
+6.
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/ot1txr.fd
+File: ot1txr.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+txmia on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxmia.fd
+File: utxmia.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+txsya on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxsya.fd
+File: utxsya.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+txsyb on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxsyb.fd
+File: utxsyb.fd 2000/12/15 v3.1
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for U+txsyc on input line 2
+6.
+
+(c:/texlive/2019/texmf-dist/tex/latex/txfonts/utxsyc.fd
+File: utxsyc.fd 2000/12/15 v3.1
+) [1
+
+] (./polynom2.aux)
+
+LaTeX Font Warning: Some font shapes were not available, defaults substituted.
+
+ ) 
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 25292 strings out of 492483
+ 638772 string characters out of 6132858
+ 794987 words of memory out of 5000000
+ 29364 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 13575 words of font info for 45 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 1348 hyphenation exceptions out of 8191
+ 68i,6n,98p,840b,724s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
+
+Output written on polynom2.pdf (1 page).
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.pdf b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..05f4ba0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.pdf
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.synctex.gz b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.synctex.gz
new file mode 100644
index 0000000..24859aa
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.synctex.gz
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.tex b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.tex
new file mode 100644
index 0000000..aa792ce
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom2.tex
@@ -0,0 +1,57 @@
+% polynome2
+%-------------------
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\newcommand{\teiler}{40}
+\begin{document}
+	%Übertragen von den Zahlen 
+	%\textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5} 
+	%als $ p(x) = \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} $.\newline
+	%Versende $ (p(1),p(2),...,p(7)) = (\textcolor{green}{8}, 
+	%	\textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26},
+	%	\textcolor{green}{ 41}, \textcolor{green}{60}, 
+	%	\textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$
+	
+	
+	\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+		
+		\draw[color=blue, line width=1.4pt] 
+		plot[domain=0:8, samples=100]
+		({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler});
+		\draw[->] (-0.2,0) -- (8,0) coordinate[label={$x$}];
+		\draw[->] (0,-0.2) -- (0,150/\teiler) coordinate[label={right:$p(x)$}];
+		\def\punkt#1{
+			\fill[color=green] #1 circle[radius=0.08];
+			\draw #1 circle[radius=0.07];
+		}
+		\punkt{(1,8/\teiler)}
+		%\punkt{(2,15/\teiler)}
+		%\punkt{(3,26/\teiler)}
+		\punkt{(4,41/\teiler)}
+		\punkt{(5,60/\teiler)}
+		\punkt{(6,83/\teiler)}
+		\punkt{(7,110/\teiler)}
+		\draw[color=gray,line width=1pt,dashed] 
+		plot[domain=0.5:7, samples=100]
+		({\x},{(0.1958*\x^2-1.2875*\x+3.0417)});
+		\def\erpunkt#1{
+			\fill[color=red] #1 circle[radius=0.08];
+			\draw #1 circle[radius=0.07];
+		}
+		\erpunkt{(2,50/\teiler)}
+		\erpunkt{(3,0.9414)}
+
+		
+		\draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}];
+		\draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}];
+		
+		
+		
+		
+	\end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex
new file mode 100644
index 0000000..262297e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex
@@ -0,0 +1,181 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Codierung eines Beispiels
+\label{reedsolomon:section:codebsp}}
+\rhead{Koerper Festlegen}
+
+Um die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes besser zu verstehen werden wir die einzelnen Probleme und ihre Lösungen anhand eines Beispiels betrachten.
+Da wir in Endlichen Körpern Rechnen werden wir zuerst solch einen Körper festlegen. Dabei müssen wir die \textcolor{red}{Definition 4.6 (wie verweist man auf eine definition?)} berücksichtigen, die besagt, dass nur Primzahlen für endliche Körper in Frage kommen.
+Wir legen für unser Beispiel den endlichen Körper mit $q = 11$ fest.
+Zur Hilfestellung können dazu die beiden Tabellen \ref{reedsolomon:subsection:adtab} und
+\ref{reedsolomon:subsection:mptab} hinzugezogen werden. Diese Tabellen enthalten sämtliche Resultate aller gültigen Operationen \textcolor{red}{(Notiz: nach meinem Wissen gibt es ja nur addition und multiplikation als gültige operationen)}, die in diesem Körper durchgeführt werden können.
+Aus der Definition der Endlichen Körper (ersichtlich auch in den Tabellen) folgt, dass uns nur die Zahlen \[\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\] zur verfügung stehen und somit $11 = 0$ gelten muss.
+
+% OLD TEXT
+%Alle folgenden Berechnungen wurden mit den beiden Restetabellen \ref{reedsolomon:subsection:adtab} und \ref{reedsolomon:subsection:mptab} durchgeführt.
+%Aus den Tabellen folgt auch, dass uns nur die Zahlen \[\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\] zur Verfügung stehen.
+
+% die beiden Restetabellen von F_11
+%\input{papers/reedsolomon/restetabelle1}
+%\input{papers/reedsolomon/restetabelle2}
+
+Anhand der Menge uns zur Verfügung stehenden Zahlen wird auch festgelegt, wie viele Zahlen ein Nachrichtenblock $n$, bestehend aus Nutzdatenteil und Fehlerkorrekturteil, umfassen kann.
+Der Nachrichtenblock im Beispiel besteht aus
+\[
+n = q - 1 = 10 \text{ Zahlen},
+\]
+wobei die null weggelassen wird. Wenn wir versuchen würden, mit der null zu codieren, so stellen wir fest, dass wir wieder null an der gleichen Stelle erhalten und somit wäre die Codierung nicht eindeutig.
+
+% Notes
+%Da bei allen Codes, die codiert werden wird an der gleichen Stelle eine Nullstelle auftreten.
+
+% Old Text
+%Die grösse des endlichen Körpers legt auch fest, wie gross unsere Nachricht $n$ bestehend aus Nutzdatenteil und Fehlerkorrekturteil sein kann und beträgt in unserem Beispiel
+%\[
+%n = q - 1 = 10 \text{ Zahlen}.
+%\]
+
+Im nächsten Schritt bestimmen wir, wie viele Fehler $t$ maximal während der Übertragung auftreten dürfen, damit wir sie noch korrigieren können.
+Unser Beispielcode sollte in der Lage sein
+\[
+t = 2
+\]
+Fehlerstellen korrigieren zu können.
+
+Die Grösse des Nutzdatenteils hängt von der Grösse des Nachrichtenblocks sowie der Anzahl der Fehlerkorrekturstellen ab. Je robuster der Code sein muss, desto weniger Platz für Nutzdaten $k$ bleibt in der Nachricht übrig.
+Bei maximal 2 Fehler können wir noch
+\[
+k = n - 2t = 6\text{ Zahlen}
+\]
+übertragen. 
+
+Zusammenfassend haben wir einen Nachrichtenblock mit der Länge von 10 Zahlen definiert, der 6 Zahlen als Nutzlast beinhaltet und in der Lage ist aus 2 fehlerhafte Stellen im Block die ursprünglichen Nutzdaten zu rekonstruieren. Zudem werden wir im weiteren feststellen, dass dieser Code maximal vier Fehlerstellen erkennen, diese aber nicht rekonstruieren kann.
+
+Wir legen nun die Nachricht
+\[
+m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]
+\]
+fest, die wir gerne an einen Empfänger übertragen möchten, wobei die vorderen vier Stellen für die Fehlerkorrektur zuständig sind.
+Solange diese Stellen vor dem Codieren und nach dem Decodieren den Wert null haben, so ist die Nachricht Fehlerfrei übertragen worden.
+
+Da wir in den folgenden Abschnitten mit Polynomen arbeiten, stellen wir die Nachicht auch noch als Polynom
+\[
+m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1
+\] 
+dar.
+
+% Old Text
+%Die Nachricht können wir auch als Polynom 
+%\[
+%m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1
+%\] 
+%darstellen.
+
+\subsection{Der Ansatz der diskreten Fouriertransformation
+	\label{reedsolomon:subsection:diskFT}}
+
+In einem vorherigen Kapitel \textcolor{red}{(???)} haben wir schon einmal die diskrete Fouriertransformation zum Codieren einer Nachricht verwendet. In den endlichen Körpern wird dies jedoch nicht gelingen, da die Eulerische Zahl $e$ in endlichen Körpern nicht existiert.
+Wir legen deshalb die Zahl $a$ fest. Diese Zahl soll die gleichen aufgaben haben, wie $e^{\frac{j}{2 \pi}}$ in der Diskreten Fouriertransformation, nur mit dem Unterschied, dass $a$ in $\mathbb{F}_{11}$ existiert. Dazu soll $a$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken, um
+\[
+\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}
+\]
+in
+\[
+\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}.
+\]
+umzuschreiben.
+% Old Text
+%Wir suchen also eine Zahl $a$, die in endlichen Körpern existiert und den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken kann.
+%Dazu schreiben wir
+%\[
+%\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}
+%\]
+%um in 
+%\[
+%\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}.
+%\]
+%
+%Wenn wir alle möglichen Werte für $a$ einsetzen, also
+%\begin{align}
+%a = 0 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0\} \\
+%a = 1 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\} \\
+%a = 2 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6\} \\
+%a = 3 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4\} \\
+%a = 4 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 4, 5, 9, 3, 1, 4, 5, 9, 3\} \\
+%a = 5 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 5, 3, 4, 9, 1, 5, 3, 4, 9\} \\
+%a = 6 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2\} \\
+%a = 7 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8\} \\
+%a = 8 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 8, 9, 6, 4, 10, 3, 2, 5, 7\} \\
+%a = 9 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 9, 4, 3, 5, 1, 9, 4, 3, 5\} \\
+%a = 10 : \qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10\}
+%\end{align}
+
+\subsubsection{Die primitiven Einheitswurzeln
+	\label{reedsolomon:subsection:primsqrt}}
+
+Wenn wir jetzt sämtliche Zahlen von $\mathbb{F}_{11}$ in $a$ einsetzen
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c r c l}
+%$a = 0 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0\}$ \\
+$a = 1 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}$ \\
+$a = 2 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6\}$ \\
+$a = 3 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4\}$ \\
+$a = 4 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 4, 5, 9, 3, 1, 4, 5, 9, 3\}$ \\
+$a = 5 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 5, 3, 4, 9, 1, 5, 3, 4, 9\}$ \\
+$a = 6 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2\}$ \\
+$a = 7 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8\}$ \\
+$a = 8 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 8, 9, 6, 4, 10, 3, 2, 5, 7\}$ \\
+$a = 9 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 9, 4, 3, 5, 1, 9, 4, 3, 5\}$ \\
+$a = 10 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10\}$	
+\end{tabular}
+\end{center}
+so fällt uns auf, dass für $a$ die Zahlen $2,6,7,8$ erhalten, die tatsächlich den gesamten Zahlenraum von $\mathbb{F}_{11}$ abbilden. Solche Zahlen werden \em Primitive Einheitswurzel \em genannt. 
+Wenden wir diese Vorgehensweise auch für andere Endliche Körper an, so werden wir sehen, dass wir immer mindestens zwei solcher Einheitswurzel finden werden. Somit ist es uns überlassen, eine dieser Einheitswurzeln auszuwählen, mit der wir weiter rechnen wollen. Für das Beispiel wählen wir die Zahl $a^i = 8$.
+
+\subsubsection{Bildung einer Transformationsmatrix
+	\label{reedsolomon:subsection:transMat}}
+
+Mit der Wahl einer Einheitswurzel ist es uns jetzt möglich, unsere Nachricht zu Codieren. Daraus sollen wir dann einen Übertragungsvektor $v$ erhalten, den wir an den Empfänger schicken können. Für die Codierung müssen wir alle $a^i$ in das Polynom $m(X)$ einsetzen. Da wir $a^i = 8^i$ gewählt haben  ergibt sich daraus 
+%
+%Damit wir unsere Nachricht codieren können, müssen wir $8^i$ in $m(X)$ einsetzen.
+%
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{c}
+		$m(8^0) = 4 \cdot 1^5 + 7 \cdot 1^4 + 2 \cdot 1^3 + 5 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1^1 + 1 = 5$ \\
+		$m(8^1) = 4 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^4 + 2 \cdot 8^3 + 5 \cdot 8^2 + 8 \cdot 8^1 + 1 = 3$ \\
+		\vdots \\
+		$m(8^9) = 4 \cdot 7^5 + 7 \cdot 7^4 + 2 \cdot 7^3 + 5 \cdot 7^2 + 8 \cdot 7^1 + 1 = 4$
+	\end{tabular}
+\end{center}
+unser Übertragungsvektor. Um das ganze noch ein wenig übersichtlicher zu gestalten können wir die Polynome zu einer Matrix zusammenfassen und bildet so unsere Transformationsmatrix $A$.
+
+\subsection{Allgemeine Codierung
+	\label{reedsolomon:subsection:algCod}}
+
+Für die Codierung benötigen wir die Nachricht $m$, die Codiert werden soll sowie die Transformationsmatrix $A$. Daraus erhalten wir den Übertragungsvektor $v$. Setzen wir die Zahlen aus dem Beispiel ein erhalten wir folgende Darstellung.
+\[
+v = A \cdot m \qquad \Rightarrow \qquad v = \begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	8^6&	8^7&    8^8&	8^9\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+	8^0&	8^3&	8^6&	8^9& 8^{12}& 8^{15}& 8^{18}& 8^{21}& 8^{24}& 8^{27}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+	8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+	8^0&	8^8& 8^{16}& 8^{24}& 8^{32}& 8^{40}& 8^{48}& 8^{56}& 8^{64}& 8^{72}\\
+	8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	1 \\ 8 \\ 5 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\
+\end{pmatrix}
+\]
+Für unseren Übertragungsvektor resultiert
+\[
+v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4],
+\]
+den wir jetzt über einen beliebigen Nachrichtenkanal versenden können.
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex
new file mode 100644
index 0000000..feaa027
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex
@@ -0,0 +1,312 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Decodierung: Ansatz mit Fehlerkorrektur
+\label{reedsolomon:section:decmitfehler}}
+\rhead{fehlerhafte rekonstruktion}
+Bisher haben wir die Decodierung unter der Bedingung durchgeführt, dass der Übertragungsvektor fehlerlos versendet und empfangen wurde.
+In der realen Welt müssen wir uns jedoch damit abfinden, dass kein Übertragungskanal garantiert fehlerfrei ist und das wir früher oder später mit Fehlern rechnen müssen.
+Genau für dieses Problem wurden Fehler korrigierende Codes, wie der Reed-Solomon-Code, entwickelt.
+In diesem Abschnitt betrachten wir somit die Idee der Fehlerkorrektur und wie wir diese auf unser Beispiel anwenden können.
+Der Übertragungskanal im Beispiel weisst jetzt den Fehlervektor 
+\[
+u = [0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0]
+\]
+auf.
+
+Senden wir jetzt unser Übertragungsvektor $v$ durch diesen Kanal addiert sich der Fehlervektor $u$ auf unsere Übertragung und wir erhalten 
+\begin{center}
+	
+	\begin{tabular}{c | c r }
+		$v$ & & $[5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$\\
+		$u$ & $+$ & $[0,0,0,3,0,0,0,0,2,0]$\\
+		\hline
+		$w$ & & $[5,3,6,8,2,10,2,7,1,4]$\\
+	\end{tabular}
+	
+	% alternative design
+	%\begin{tabular}{c | c cccccccccccc }
+	%	$v$ & & $[$&$5,$&$3,$&$6,$&$5,$&$2,$&$10,$&$2,$&$7,$&$10,$&$4$&$]$\\
+	%	$u$ & $+$ & $[$&$0,$&$0,$&$0,$&$3,$&$0,$&$0,$&$0,$&$0,$&$2,$&$0$&$]$\\
+	%	\hline
+	%	$w$ & & $[$&$5,$&$3,$&$6,$&$8,$&$2,$&$10,$&$2,$&$7,$&$1,$&$4$&$]$\\
+	%\end{tabular}
+	
+\end{center}
+als neuen, fehlerbehafteten Übertragungsvektor $w$ auf der Empfängerseite.
+% Old Text
+%In diesem Abschnitt gehen wir genauer darauf ein, wie der Reed-Solomon-Code eine solche Feherkorrektur vornimt. 
+%
+%In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem, dass während der Übertragung des Übertragungsvektors von unserem Beispiel 
+%
+%
+%Zu diesem Zweck wurden Fehler korrigierende Codes entwickelt.
+%
+%Dieser Optimalfall kann jedoch mit keinem Übertragungskanal garantiert werden
+%
+%
+%Im zweiten Teil zur Decodierung betrachten wir den Fall, dass unser Übertragungskanal nicht fehlerfrei ist.
+%Wir legen daher den Fehlervektor
+%\[
+%u = [0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0]
+%\]
+%fest, den wir zu unserem Übertragungsvektor als Fehler dazu addieren und somit
+%
+%\begin{center}
+%
+%\begin{tabular}{c | c r }
+%	$v$ & & $[5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$\\
+%	$u$ & $+$ & $[0,0,0,3,0,0,0,0,2,0]$\\
+%	\hline
+%	$w$ & & $[5,3,6,8,2,10,2,7,1,4]$\\
+%\end{tabular}
+%
+%% alternative design
+%%\begin{tabular}{c | c cccccccccccc }
+%%	$v$ & & $[$&$5,$&$3,$&$6,$&$5,$&$2,$&$10,$&$2,$&$7,$&$10,$&$4$&$]$\\
+%%	$u$ & $+$ & $[$&$0,$&$0,$&$0,$&$3,$&$0,$&$0,$&$0,$&$0,$&$2,$&$0$&$]$\\
+%%	\hline
+%%	$w$ & & $[$&$5,$&$3,$&$6,$&$8,$&$2,$&$10,$&$2,$&$7,$&$1,$&$4$&$]$\\
+%%\end{tabular}
+%
+%\end{center}
+%als Übertragungsvektor auf der Empfängerseite erhalten. 
+Wir jetzt als Empfänger wissen jedoch nicht, dass der erhaltene Übertragungsvektor jetzt fehlerbehaftet ist und werden dementsprechend den Ansatz aus Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} anwenden.
+Wir stellen jedoch recht schnell fest, dass am decodierten Nachrichtenblock
+\[
+r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{\text{Syndrom}}5,4,5,7,6,7].
+\]
+etwas nicht in Ordnung ist, denn die vorderen vier Fehlerkorrekturstellen haben nicht mehr den Wert null.
+Der Nachrichtenblock weisst jetzt ein \em Syndrom \em auf, welches anzeigt, dass der Übertragungsvektor fehlerhaft empfangen wurde.
+% Old Text
+%Wenn wir den Übertragungsvektor jetzt Rücktransformieren wie im vorherigen Kapitel erhalten wir
+%\[
+%r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{Fehlerinfo}5,4,5,7,6,7].
+%\]
+Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wie wir daraus den ursprünglich gesendeten Nachrichtenvektor zurückerhalten sollen. Laut der Definition über die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes können wir aus den Fehlerkorrekturstellen ein ``Lokatorpolynom'' berechnen, welches die Information enthält, welche stellen innerhalb des empfangenen Übertragungsvektors fehlerhaft sind.
+
+\subsection{Das Fehlerstellenpolynom $d(X)$
+	\label{reedsolomon:subsection:fehlerpolynom}}
+Bevor wir unser Lokatorpolynom berechnen können, müssen wir zuerst eine Möglichkeit finden, die Fehlerhaften von den Korrekten Stellen im Übertragungsvektor unterscheiden zu können. In einem ersten Versuch könnten wir $d$ berechnen mit
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r c l}
+	$m(X)$ & $=$ & $4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$ \\
+	$r(X)$ & $=$ & $5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + 5X^5 + 4X^4 + 5X^3 + 7X^2 + 6X + 7$ \\
+	$d(X)$ & $=$ & $r(X) - m(X)$.
+\end{tabular}
+\end{center}
+Dies wird uns zwar andere sorgen wegen $m(X)$ bereiten, wir werden werden deshalb erst in Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor} darauf zurückkommen.
+
+Setzen wir jetzt noch unsere Einheitswurzel aus dem Beispiel ein so erhalten wir
+% Old Text
+%\begin{align}
+%	m(X) & = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1 \\
+%	r(X) & = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + 5X^5 + 4X^4 + 5X^3 + 7X^2 + 6X + 7 \\
+%	e(X) & = r(X) - m(X).
+%\end{align}
+%Setzen wir jetzt unsere Einheitswurzel für $X$ ein, so erhalten wir
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c c c c c c c c c c c}
+	\hline
+	$i$& $0$& $1$& $2$& $3$& $4$& $5$& $6$& $7$& $8$& $9$\\
+	\hline
+	$r(a^{i})$& $5$& $3$& $6$& $8$& $2$& $10$& $2$& $7$& $1$& $4$\\
+	$m(a^{i})$& $5$& $3$& $6$& $5$& $2$& $10$& $2$& $7$& $10$& $4$\\
+	$d(a^{i})$& $0$& $0$& $0$& $3$& $0$& $0$& $0$& $0$& $2$& $0$\\
+	\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+und damit die Information, dass allen Stellen, die nicht Null sind, Fehler enthalten. 
+Aus der Tabelle lesen wir, das in unserem Beispiel die Fehler an der Stelle drei und acht zu finden sind.
+
+Für das einfache Bestimmen von Hand mag dies ja noch ausreichen, jedoch können wir mit diesen Stellen nicht das Lokatorpolynom bestimmen, denn dafür bräuchten wir alle Nullstellen, an denen es Fehler gegeben hat (also sozusagen genau das umgekehrte). Um dies zu erreichen wenden wir eine andere Herangehensweise und nehmen uns den Satz von Fermat sowie den kleinsten gemeinsamen Teiler zur Hilfe.
+
+\subsection{Mit dem grössten gemeinsamen Teiler auf Nullstellenjagd
+\label{reedsolomon:subsection:ggT}}
+
+Zuerst betrachten wir mal den Satz von Fermat deren Funktionsweise wir in Abschnitt \ref{buch:section:galoiskoerper} kennengelernt haben. Der besagt, dass für
+\[
+f(X) = X^{q-1} -1 = 0
+\] 
+wobei dies für jedes $q$ gilt. Setzen wir also das $q$ von unserem Beispiel ein
+\[
+f(X) = X^{10}-1 = 0 \qquad \text{für } X = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}
+\]
+und stellen dies als Nullstellenform (\textcolor{red}{richtiger name für die Schreibweise?}) dar. So ergibt sich die Darstellung 
+\[
+f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6)(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9).
+\]
+Zur Überprüfung können wir unsere Einheitswurzel in $a$ einsetzen und werden sehen, dass wir für $f(X) = 0$ erhalten werden.
+
+Wir können jetzt auch $d(X)$ nach der gleichen Überlegung darstellen als 
+\[
+d(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)\textcolor{gray!40}{(X-a^3)}(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6)(X-a^7)\textcolor{gray!40}{(X-a^8)}(X-a^9) \cdot p(x),
+\]
+wobei diese Darstellung nicht mehr alle Nullstellen umfasst wie es noch in $f(X)$ der Fall war. 
+Dies liegt daran, dass wir ja zwei Fehlerstellen (grau markiert) haben, die nicht Null sind. Diese fassen wir zum Restpolynom $p(X)$ (\textcolor{red}{eventuell farblich kennzeichnen?}) zusammen.
+Wenn wir jetzt den grössten gemeinsamen Teiler von $f(X)$ und $d(X)$ berechnen, so erhalten wir mit 
+\[
+\operatorname{ggT}(f(X),d(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)\textcolor{gray!40}{(X-a^3)}(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6)(X-a^7)\textcolor{gray!40}{(X-a^8)}(X-a^9)
+\]
+eine Liste von Nullstellen, an denen es keine Fehler gegeben hat.
+Dies scheint zuerst nicht sehr hilfreich zu sein, da wir für das Lokatorpolynom ja eine Liste der Nullstellen suchen, an denen es Fehler gegeben hat. Aus diesem Grund berechnen wir im nächsten Schritt das kleinste gemeinsame Vielfache von $f(X)$ und $d(X)$. 
+
+%Wir werden auch feststellen, das unsere Bemühungen bisher nicht umsonst waren.  
+
+\subsection{Mit dem kgV fehlerhafte Nullstellen finden
+	\label{reedsolomon:subsection:kgV}}
+
+Das kgV hat nämlich die Eigenschaft sämtliche Nullstellen zu finden, also nicht nur die fehlerhaften sondern auch die korrekten, was in 
+\[
+\operatorname{kgV}(f(X),d(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6)(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9) \cdot q(X).
+\]
+ersichtlich ist.
+Aus dem vorherigen Abschnitt wissen wir auch, dass $d(X)$ alle korrekten Nullstellen beinhaltet. Teilen wir das kgV jetzt auf in 
+\[
+\operatorname{kgV}(f(X),d(X)) = d(X) \cdot l(X)
+\]
+sollten wir für $l(X)$ eine Liste mit allen fehlerhaften Nullstellen erhalten.
+Somit ist 
+\[
+l(X) = (X-a^3)(X-a^8)
+\]
+unser gesuchtes Lokatorpolynom. 
+Es scheint so als müssten wir nur noch an den besagten Stellen den Übertragungsvektor korrigieren und wir währen fertig mit der Fehlerkorrektur.
+Jedoch haben wir noch ein grundlegendes Problem, dass zu beginn aufgetaucht ist, wir aber beiseite geschoben haben. Die Rede ist natürlich vom Nachrichtenvektor $m(X)$, mit dem wir in erster Linie das wichtige Fehlerstellenpolynom $d(X)$ berechnet haben.
+
+\subsection{Der problematische Nachrichtenvektor $m(X)$
+	\label{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor}}
+
+In Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decmitfehler} haben wir
+\[
+d(X) = r(X) - m(X)
+\]
+in Abhängigkeit von $m(X)$ berechnet. 
+Jedoch haben wir ausser acht gelassen, dass $m(X)$ auf der Empfängerseite nicht existiert und somit gänzlich unbekannt ist.
+Es scheint so als würde dieser Lösungsansatz, den wir bisher verfolgt haben, nicht funktioniert.
+Wir könnten uns höchstens noch fragen, ob wir tatsächlich nichts über den Nachrichtenvektor im Beispiel wissen. Wenn wir noch einmal den Vektor betrachten als
+\[
+m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]
+\]
+fällt uns aber auf, dass wir doch etwas über diesen Vektor wissen, nämlich den Wert der ersten 2t (im Beispiel vier) stellen.
+Im Normalfall sollen diese nämlich den Wert null betragen und somit sind nur die letzten k stellen (im Beispiel sechs) für uns unbekannt, dargestellt als
+\[
+m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?].
+\]
+Wie der Zufall es so will liegt an diesen vier Stellen auch die Information, wo die Fehlerstellen liegen. Daher reicht es auch aus
+% darum werden die stellen auch als fehlerkorrekturstellen bezeichnet
+\[
+d(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)
+\]
+so zu berechnen, dass wir die wichtigen vier Stellen kennen, der Rest des Polynoms jedoch im unbekannten Restpolynom $p(X)$ enthalten ist. 
+
+\textcolor{red}{ist das wechseln zwischen 2t,k aus dem allgemeinfall und vier,sechs aus dem beispiel zu verwirrend?}
+
+\subsection{Die Berechnung der Fehlerstellen
+	\label{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor}}
+
+Um die Fehlerstellen zu berechnen wenden wir die gleiche Vorgehensweise wie zuvor an, also zuerst den ggT, danach berechnen wir das kgV um am Ende das Lokatorpolynom zu erhalten.
+
+\subsubsection{Schritt 1: ggT}
+
+Wir berechnen den ggT von $f(X)$ und $d(X)$ mit
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r c l}
+	$f(X)$ & $=$ & $X^{10} - 1 = X^{10} + 10$ \\
+	$d(X)$ & $=$ & $5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)$
+\end{tabular}
+\end{center} 
+%
+%
+%
+%Das einzige Problem was jetzt noch bleibt ist, dass wir $e(X)$ berechnet haben aus
+%\[
+%e(X) = r(X) - m(X),
+%\]
+%wobei $m(X)$ auf der Empfängerseite unbekannt ist.
+%Es sieht danach aus, das wir diesen Lösungsansatz nicht verwenden können, da uns ein entscheidender Teil fehlt.
+%Bei einer näheren Betrachtung von $m(X)$ fällt uns aber auf, dass wir doch etwas über $m(X)$ wissen.
+%Wir kennen nämlich die ersten vier Stellen, da diese für die Fehlerkorrektur zuständig sind und daher Null sein müssen.
+%\[
+%m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?]
+%\]
+%An genau diesen Stellen liegt auch die Information, wo unsere Fehlerstellen liegen, was uns ermöglicht, den Teil von $e(X)$ zu berechnen, der uns auch interessiert.
+%
+%Wir können $e(X)$ also bestimmen als
+%\[
+%e(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)
+%\]
+%wobei $p(X)$ wiederum ein unbekanntes Restpolynom ist und
+%\[
+%f(X) = X^{10} - 1 = X^{10} + 10
+%\]
+%ist können wir so in einer ersten Instanz den grössten gemeinsamen Teiler von $f(X)$ und $e(X)$ berechnen.
+%Dafür nehmen wir uns wiederum den Euklidischen Algorithmus zur Hilfe und berechnen so
+%
+\[
+\arraycolsep=1.4pt
+\begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+	X^{10}& & & & & & &+& 10& & & & &:&5X^9&+&7X^8&+& 4X^7&+&10X^6&+&p(X)&=&9X&+&5\\
+	X^{10}&+& 8X^9&+& 3X^8&+&2X^7&+& p(X)& &  & & & &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{1-9}
+	&& 3X^9&+& 8X^8&+& 9X^7&+& p(X)& &   & & & & & &   & &  & & \\
+	&& 3X^9&+& 2X^8&+& 9X^7&+& p(X)& &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{3-9}
+	& &    & &6X^8&+&0X^7&+&p(X)& &   & & & & & &   & &  & & \\
+\end{array}
+\]
+
+\[
+\arraycolsep=1.4pt
+\begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+	5X^9&+& 7X^8&+& 4X^7&+& 10X^6&+& p(X)& & & & &:&6X^8&+&0X^7& & & & & & &=&10X&+&3\\
+	5X^9&+& 0X^8&+& p(X)& & & & & &  & & & &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{1-5}
+	&& 7X^8&+& p(X)& & & & & &   & & & & & &   & &  & & \\
+\end{array}
+\]
+und erhalten
+\[
+\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = 6X^8.
+\]
+
+\subsubsection{Schritt 2: kgV}
+
+Mit dem Resultat das wir vom ggT erhalten haben können wir jetzt das kgV berechnen. Dazu können wir jetzt den erweiterten Euklidischen Algorithmus verwenden, den wir in Abschnitt \ref{buch:subsection:daskgv} kennengelernt haben.
+%
+%Mit den Resultaten, die wir vom Rechenweg des grössten gemeinsamen Teiler erhalten haben können wir jetzt auch das kleinste Gemeinsame Vielfache berechnen. Eine detailliertere Vorgehensweise findet man in Kapitel ???. 
+%
+%Aus diesem erweiterten Euklidischen Algorithmus erhalten wir 
+\begin{center}
+	
+	\begin{tabular}{| c | c | c c |}
+		\hline
+		$k$ &  $q_i$ & $e_i$ & $f_i$\\
+		\hline 
+		& & $0$& $1$\\
+		$0$& $9X + 5$& $1$& $0$\\
+		$1$& $10X + 3$& $9X+5$& $1$\\
+		$2$& & \textcolor{blue}{$2X^2 + 0X + 5$}& $10X + 3$\\
+		\hline
+	\end{tabular}	
+	
+\end{center}
+Daraus erhalten wir die Faktoren
+\[
+l(X) = 2X^2 + 5 \qquad \rightarrow \qquad l(X) = 2(X-5)(X-6).
+\]
+Unser gesuchtes Lokatorpolynom hat also die Form
+\[
+l(X) = (X-a^i)(X-a^j).
+\]
+Also brauchen wir nur noch $i$ und $j$ zu berechnen und wir haben unsere gesuchten Fehlerstellen.
+Diese bekommen wir recht einfach mit
+\begin{center}
+	$a^i = 5 \qquad \Rightarrow \qquad i = 3$
+	
+	$a^j = 6 \qquad \Rightarrow \qquad j = 8$.
+\end{center}
+Schlussendlich erhalten wir
+\[
+d(X) = (X-a^3)(X-a^8)
+\]
+als unser Lokatorpolynom mit den fehlerhaften Stellen.
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
new file mode 100644
index 0000000..3b709f3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
@@ -0,0 +1,116 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Decodierung: Ansatz ohne Fehler
+\label{reedsolomon:section:decohnefehler}}
+\rhead{fehlerlose rekonstruktion}
+
+In diesem Abschnitt betrachten wie die Überlegung, wie wir auf der Empfängerseite die Nachricht aus dem empfangenen Übertragungsvektor erhalten. Nach einer einfachen Überlegung müssen wir den Übertragungsvektor decodieren, was auf den ersten Blick nicht allzu kompliziert sein sollte, solange wir davon ausgehen können, dass es während der Übertragung keine Fehler gegeben hat. Wir betrachten deshalb den Übertragungskanal als fehlerfrei.
+
+Der Übertragungsvektor empfangen wir also als
+\[
+v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4].
+\]
+% Old Text
+%Im ersten Teil zur Decodierung des Übertragungsvektor betrachten wir den Übertragungskanal als fehlerfrei.
+%Wir erhalten also unseren Übertragungsvektor
+%\[
+%v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4].
+%\]
+Nach einem banalen Ansatz ist die Decodierung die Inverse der Codierung. Dank der Matrixschreibweise lässt sich dies relativ einfach umsetzen.
+% Old Text
+%Gesucht ist nun einen Weg, mit dem wir auf unseren Nachrichtenvektor zurückrechnen können.
+%Ein banaler Ansatz ist das Invertieren der Glechung
+\[
+v = A \cdot m \qquad \Rightarrow \qquad m = A^{-1} \cdot v
+\]
+Nur stellt sich jetzt die Frage, wie wir die Inverse von $A$ berechnen.
+Dazu können wir wiederum den Ansatz der Fouriertransformation uns zur Hilfe nehmen,
+jedoch betrachten wir jetzt deren Inverse.
+Definiert ist sie als
+\[
+F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt \qquad \Rightarrow \qquad \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega.
+\]
+Damit beschäftigen wir uns im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:algdec} weiter, konkret suchen wir momentan aber eine Inverse für unsere primitive Einheitswurzel $a$. 
+\[
+8^1 \qquad \rightarrow \qquad 8^{-1}
+\]
+Mit einem solchen Problem haben wir uns bereits in Abschnitt \ref{buch:section:euklid} befasst und so den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf unseren Fall anwenden können.
+
+% Old Text
+%Im Abschnitt \textcolor{red}{4.1} haben wir den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf unseren Fall anwenden können.
+
+\subsection{Inverse der primitiven Einheitswurzel
+\label{reedsolomon:subsection:invEinh}}
+
+Die Funktionsweise des euklidischen Algorithmus ist im Kapitel \ref{buch:section:euklid} ausführlich beschrieben.
+Für unsere Anwendung wählen wir die Parameter $a = 8$ und $b = 11$ ($\mathbb{F}_{11}$).
+Daraus erhalten wir 
+
+\begin{center}
+
+\begin{tabular}{| c | c c | c | r r |}
+	\hline
+	$k$ & $a_i$ & $b_i$ & $q_i$ & $c_i$ & $d_i$\\
+	\hline 
+	& & & & $1$& $0$\\
+	$0$& $8$& $11$& $0$& $0$& $1$\\
+	$1$& $11$& $8$& $1$& $1$& $0$\\
+	$2$& $8$& $3$& $2$& $-1$& $1$\\
+	$3$& $3$& $2$& $1$& $3$& $-2$\\
+	$4$& $2$& $1$& $2$& \textcolor{blue}{$-4$}& \textcolor{red}{$3$}\\
+	$5$& $1$& $0$& & $11$& $-8$\\
+	\hline
+\end{tabular}
+
+\end{center}
+\begin{center}
+
+\begin{tabular}{rcl}
+	$\textcolor{blue}{-4} \cdot 8 + \textcolor{red}{3} \cdot 11$ &$=$& $1$\\
+	$7 \cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$\\
+	$8^{-1}$ &$=$& $7$
+	
+\end{tabular}
+
+\end{center}
+als Inverse der primitiven Einheitswurzel. Die inverse Transformationsmatrix $A^{-1}$ bilden wir indem wir jetzt die inverse primitive Einheitswurzel anstelle der primitiven Einheitswurzel in die Matrix einsetzen. 
+
+\subsection{Allgemeine Decodierung
+	\label{reedsolomon:subsection:algdec}}
+
+Wir haben jetzt fast alles für eine erfolgreiche Rücktransformation beisammen. Wir haben aber noch nicht alle Aspekte der inversen diskreten Fouriertransformation befolgt, so fehlt uns noch einen Vorfaktor
+\[
+m = \textcolor{red}{s} \cdot A^{-1} \cdot v
+\]
+den wir noch bestimmen müssen. 
+Glücklicherweise lässt der sich analog wie bei der inversen diskreten Fouriertransformation bestimmen und beträgt
+\[
+s = \frac{1}{10}.
+\]
+Da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht können wir $s$ ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ in $\mathbb{F}_{11}$ ergibt. Somit lässt sich der Nachrichtenvektor einfach bestimmen mit
+\[
+m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v \qquad \Rightarrow \qquad m = 10 \cdot \begin{pmatrix}
+	7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0\\
+	7^0&	7^1&	7^2&	7^3&	7^4&	7^5&	7^6&	7^7&    7^8&	7^9\\
+	7^0&	7^2&	7^4&	7^6&	7^8& 7^{10}& 7^{12}& 7^{14}& 7^{16}& 7^{18}\\
+	7^0&	7^3&	7^6&	7^9& 7^{12}& 7^{15}& 7^{18}& 7^{21}& 7^{24}& 7^{27}\\
+	7^0&	7^4&	7^8& 7^{12}& 7^{16}& 7^{20}& 7^{24}& 7^{28}& 7^{32}& 7^{36}\\
+	7^0&	7^5& 7^{10}& 7^{15}& 7^{20}& 7^{25}& 7^{30}& 7^{35}& 7^{40}& 7^{45}\\
+	7^0&	7^6& 7^{12}& 7^{18}& 7^{24}& 7^{30}& 7^{36}& 7^{42}& 7^{48}& 7^{54}\\
+	7^0&	7^7& 7^{14}& 7^{21}& 7^{28}& 7^{35}& 7^{42}& 7^{49}& 7^{56}& 7^{63}\\
+	7^0&	7^8& 7^{16}& 7^{24}& 7^{32}& 7^{40}& 7^{48}& 7^{56}& 7^{64}& 7^{72}\\
+	7^0&	7^9& 7^{18}& 7^{27}& 7^{36}& 7^{45}& 7^{54}& 7^{63}& 7^{72}& 7^{81}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 5 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 10 \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+\]
+und wir erhalten
+\[
+m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]
+\]
+als unsere Nachricht zurück.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex
new file mode 100644
index 0000000..146067a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex
@@ -0,0 +1,23 @@
+%
+% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Reed-Solomon in Endlichen Körpern
+\label{reedsolomon:section:endlichekoerper}}
+\rhead{Problemstellung}
+
+\textcolor{red}{TODO: (warten auf den 1. Teil)}
+
+Das Rechnen in endlichen Körpern bietet einige Vorteile:
+
+\begin{itemize}
+	\item Konkrete Zahlen: In endlichen Körpern gibt es weder rationale noch komplexe Zahlen. Zudem beschränken sich die möglichen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. Somit können wir nur ganze Zahlen als Resultat erhalten.
+	
+	\item Digitale Fehlerkorrektur: lässt sich nur in endlichen Körpern umsetzen. 
+	
+\end{itemize}
+
+Um jetzt eine Nachricht in den endlichen Körpern zu konstruieren legen wir fest, dass diese Nachricht aus einem Nutzdatenteil und einem Fehlerkorrekturteil bestehen muss. Somit ist die zu übertragende Nachricht immer grösser als die Daten, die wir übertragen wollen. Zudem müssen wir einen Weg finden, den Fehlerkorrekturteil so aus den Nutzdaten zu berechnen, dass wir die Nutzdaten auf der Empfängerseite wieder rekonstruieren können, sollte es zu einer fehlerhaften Übertragung kommen.
+
+Nun stellt sich die Frage, wie wir eine fehlerhafte Nachricht korrigieren können, ohne ihren ursprünglichen Inhalt zu kennen. Der Reed-Solomon-Code erzielt dies, indem aus dem Fehlerkorrekturteil ein sogenanntes ``Lokatorpolynom'' generiert werden kann. Dieses Polynom gibt dem Emfänger an, welche Stellen in der Nachricht feherhaft sind. 
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/f.m b/buch/papers/reedsolomon/experiments/f.m
new file mode 100644
index 0000000..6bdc741
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/f.m
@@ -0,0 +1,61 @@
+#
+# f.m -- Reed-Solomon-Visualisierung mit FFT
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+N = 64;
+b = 32;
+l = N + b;
+
+signal = zeros(l,1);
+signal(1:N,1) = round(10 * rand(N,1));
+signal
+
+plot(abs(signal));
+xlim([1, l]);
+title("Signal");
+pause()
+
+codiert = fft(signal)
+
+plot(abs(codiert));
+xlim([1, l]);
+title("Codiert");
+pause()
+
+fehler = zeros(l,1);
+fehler(21,1) = 2;
+fehler(75,1) = 1;
+fehler(7,1) = 2;
+
+plot(fehler);
+xlim([1, l]);
+title("Fehler");
+pause()
+
+empfangen = codiert + fehler;
+
+plot(abs(empfangen));
+xlim([1, l]);
+title("Empfangen");
+pause()
+
+decodiert = ifft(empfangen)
+plot(abs(decodiert));
+xlim([1, l]);
+title("Decodiert");
+pause()
+
+syndrom = decodiert;
+syndrom(1:N,1) = zeros(N,1)
+plot(abs(syndrom));
+xlim([1, l]);
+title("Syndrom");
+pause()
+
+locator = abs(fft(syndrom))
+
+plot(locator);
+xlim([1, l]);
+title("Locator");
+pause()
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex b/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex
new file mode 100644
index 0000000..4e39de5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex
@@ -0,0 +1,19 @@
+%
+% hilfstabellen.tex
+% Autor: Michael Steiner
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{$\mathbb{F}_{11}$ Hilfstabellen
+	\label{reedsolomon:section:hilfstabellen}}
+\rhead{Hilfstabellen}
+
+Um das rechnen  zu erleichtern findet man in diesem Abschnitt die Resultate, die bei der Addition und der Multiplikation in $\mathbb{F}_{11}$ resultieren.
+
+\subsection{Additionstabelle
+	\label{reedsolomon:subsection:adtab}}	
+\input{papers/reedsolomon/restetabelle1.tex}
+
+\subsection{Multiplikationstabelle
+	\label{reedsolomon:subsection:mptab}}
+\input{papers/reedsolomon/restetabelle2.tex}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/main.tex b/buch/papers/reedsolomon/main.tex
index c04be7f..fa20936 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/main.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/main.tex
@@ -3,10 +3,10 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:reedsolomon}}
+\chapter{Reed-Solomon-Code\label{chapter:reedsolomon}}
 \lhead{Thema}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Joshua Bär und Michael Steiner}
 
 Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
 \begin{itemize}
@@ -27,10 +27,25 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
 Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
 \end{itemize}
 
+% Joshua
 \input{papers/reedsolomon/teil0.tex}
 \input{papers/reedsolomon/teil1.tex}
 \input{papers/reedsolomon/teil2.tex}
 \input{papers/reedsolomon/teil3.tex}
 
+% Michael
+\input{papers/reedsolomon/endlichekoerper}
+\input{papers/reedsolomon/codebsp}
+\input{papers/reedsolomon/decohnefehler}
+\input{papers/reedsolomon/decmitfehler}
+\input{papers/reedsolomon/rekonstruktion}
+\input{papers/reedsolomon/nachschlagewerk}
+\input{papers/reedsolomon/hilfstabellen}
+%\input{papers/reedsolomon/anwendungen}		-> geplant
+
+\nocite{reedsolomon:weitz}
+\nocite{reedsolomon:informationkommunikation}
+%\nocite{reedsolomon:mendezmueller}
+
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/nachschlagewerk.tex b/buch/papers/reedsolomon/nachschlagewerk.tex
new file mode 100644
index 0000000..60b857e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/nachschlagewerk.tex
@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Nachschlagewerk
+	\label{reedsolomon:section:nachschlagen}}
+\rhead{nachschlagewerk}
+todo: auflistung von z.b nachrichtenvektor, übertragungsvektor usw. inklusiver erklärung was es ist falls man beim lesen den faden verliert
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/references.bib b/buch/papers/reedsolomon/references.bib
index 38613bd..731bd35 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/references.bib
+++ b/buch/papers/reedsolomon/references.bib
@@ -4,32 +4,22 @@
 % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
 %
 
-@online{reedsolomon:bibtex,
-	title = {BibTeX},
-	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
-	date = {2020-02-06},
-	year = {2020},
-	month = {2},
-	day = {6}
+@online{reedsolomon:weitz,
+	title = {Fehlerkorrektur mit Reed-Solomon-Codes},
+	url = {https://youtu.be/uOLW43OIZJ0},
+	date = {2021-06-10},
+	year = {2021},
+	month = {6},
+	day = {10}
 }
 
-@book{reedsolomon:numerical-analysis,
-	title = {Numerical Analysis},
-	author = {David Kincaid and Ward Cheney},
-	publisher = {American Mathematical Society},
-	year = {2002},
-	isbn = {978-8-8218-4788-6},
-	inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
-	volume = {2}
-}
-
-@article{reedsolomon:mendezmueller,
-        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
-        title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
-        journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
-        year = 2019,
-        volume = 47,
-        pages = {607--627},
-        url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
+@book{reedsolomon:informationkommunikation,
+	title = {Information und Kommunikation},
+	author = {Markus Hufschmid},
+	publisher = {Teubner},
+	year = {2007},
+	isbn = {978-3-8351-0122-7},
+	inseries = {},
+	volume = {1}
 }
 
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
new file mode 100644
index 0000000..89a700f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
@@ -0,0 +1,185 @@
+%
+% rekonstruktion.tex
+% Autor: Michael Steiner
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Nachricht Rekonstruieren
+\label{reedsolomon:section:rekonstruktion}}
+\rhead{Rekonstruktion}
+Im letzten Kapitel haben wir eine Möglichkeit gefunden, wie wir die fehlerhaften Stellen lokalisieren können.
+Mit diesen Stellen soll es uns nun möglich sein, aus dem fehlerhaften empfangenen Nachrichtenvektor wieder unsere Nachricht zu rekonstruieren.
+Das Lokatorpolynom
+\[
+l(X) = (X - a^3)(X-a^8)
+\]
+markiert dabei diese fehlerhaften Stellen im Übertragungsvektor
+\[
+w = [5,3,6,8,2,10,2,7,1,4].
+\]
+Als Ausgangslage verwenden wir die Matrix, mit der wir den Nachrichtenvektor ursprünglich codiert haben.
+Unser Ziel ist es wie auch schon im Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} eine Möglichkeit zu finden, wie wir den Übertragungsvektor decodieren können. 
+Aufgrund der Fehlerstellen müssen wir aber davon ausgehen, das wir nicht mehr den gleichen Weg verfolgen können wie wir im Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} angewendet haben.
+
+Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen.
+\[
+\textcolor{gray}{
+	\begin{pmatrix}
+		a^0 \\ a^1 \\ a^2 \\ \textcolor{red}{a^3} \\ a^4 \\ a^5 \\ a^6 \\ a^7 \\ \textcolor{red}{a^8} \\ a^9 \\
+\end{pmatrix}}
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ \textcolor{red}{8} \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ \textcolor{red}{1} \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	8^6&	8^7&    8^8&	8^9\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+	\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^3}&	\textcolor{red}{8^6}&	\textcolor{red}{8^9}& \textcolor{red}{8^{12}}& \textcolor{red}{8^{15}}& \textcolor{red}{8^{18}}& \textcolor{red}{8^{21}}& \textcolor{red}{8^{24}}& \textcolor{red}{8^{27}}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+	8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+	\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^8}& \textcolor{red}{8^{16}}& \textcolor{red}{8^{24}}& \textcolor{red}{8^{32}}& \textcolor{red}{8^{40}}& \textcolor{red}{8^{48}}& \textcolor{red}{8^{56}}& \textcolor{red}{8^{64}}& \textcolor{red}{8^{72}}\\
+	8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+\end{pmatrix}
+\]
+Die rot markierten Stellen im Übertragungsvektor enthalten Fehler und bringt uns daher kein weiterer Nutzen. 
+Aus diesem Grund werden diese Stellen aus dem Vektor entfernt, was wir hier ohne Probleme machen können, da dieser Code ja über Fehlerkorrekturstellen verfügt, deren Aufgabe es ist, eine bestimmte Anzahl an Fehler kompensieren zu können.
+Die dazugehörigen Zeilen in der Matrix werden ebenfalls entfernt, da die Matrix gleich viele Zeilen wie im Übertragungsvektor aufweisen muss, damit man ihn decodieren kann.
+
+Daraus resultiert
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	8^6&	8^7&    8^8&    8^9\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+	8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+	8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Die Matrix ist jedoch nicht mehr quadratisch, was eine Rekonstruktion durch Inversion ausschliesst. 
+Um die quadratische Form wieder herzustellen müssen wir zwei Spalten aus der Matrix entfernen.
+Wir kennen aber das Resultat aus den letzten vier Spalten, da wir wissen, das die Nachricht aus Nutzdatenteil und Fehlerkorrekturteil besteht, wobei der letzteres bekanntlich aus lauter Nullstellen besteht.
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    \textcolor{darkgreen}{8^0}&    \textcolor{darkgreen}{8^0}&    \textcolor{darkgreen}{8^0}&    \textcolor{darkgreen}{8^0}\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	\textcolor{darkgreen}{8^6}&	   \textcolor{darkgreen}{8^7}&    \textcolor{darkgreen}{8^8}&    \textcolor{darkgreen}{8^9}\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& \textcolor{darkgreen}{8^{12}}& \textcolor{darkgreen}{8^{14}}& \textcolor{darkgreen}{8^{16}}& \textcolor{darkgreen}{8^{18}}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& \textcolor{darkgreen}{8^{24}}& \textcolor{darkgreen}{8^{28}}& \textcolor{darkgreen}{8^{32}}& \textcolor{darkgreen}{8^{36}}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& \textcolor{darkgreen}{8^{30}}& \textcolor{darkgreen}{8^{35}}& \textcolor{darkgreen}{8^{40}}& \textcolor{darkgreen}{8^{45}}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& \textcolor{darkgreen}{8^{36}}& \textcolor{darkgreen}{8^{42}}& \textcolor{darkgreen}{8^{48}}& \textcolor{darkgreen}{8^{54}}\\
+	8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& \textcolor{darkgreen}{8^{42}}& \textcolor{darkgreen}{8^{49}}& \textcolor{darkgreen}{8^{56}}& \textcolor{darkgreen}{8^{63}}\\
+	8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& \textcolor{darkgreen}{8^{54}}& \textcolor{darkgreen}{8^{63}}& \textcolor{darkgreen}{8^{72}}& \textcolor{darkgreen}{8^{81}}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor{darkgreen}{m_6} \\ \textcolor{darkgreen}{m_7} \\ \textcolor{darkgreen}{m_8} \\ \textcolor{darkgreen}{m_9} \\
+\end{pmatrix}
+\]
+Wir nehmen die entsprechenden Spalten aus der Matrix heraus und erhalten so das Überbestimmte Gleichungssystem
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{red}{4} \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+	\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^7}& \textcolor{red}{8^{14}}& \textcolor{red}{8^{21}}& \textcolor{red}{8^{28}}& \textcolor{red}{8^{35}}\\
+	\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^9}& \textcolor{red}{8^{18}}& \textcolor{red}{8^{27}}& \textcolor{red}{8^{36}}& \textcolor{red}{8^{45}}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Die roten Zeilen können wir aufgrund der Überbestimmtheit ebenfalls entfernen und erhalten so die gesuchte quadratische Matrix
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Nun können wir den Gauss-Algorithmus anwenden um die Matrix zu Invertieren.
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	1&  1& 1&  1& 1&  1\\
+	1&  8& 9&  6& 4& 10\\
+	1&  9& 4&  3& 5&  1\\
+	1&  4& 5&  9& 3&  1\\
+	1& 10& 1& 10& 1& 10\\
+	1&  3& 9&  5& 4&  1\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	6&  4&  4&  6& 2&  1\\
+	2&  7& 10&  3& 4&  7\\
+	1&  8&  9&  8& 3&  4\\
+	3&  6&  6&  4& 5&  9\\
+	10& 10&  9&  8& 1&  6\\
+	1&  9&  6&  4& 7&  6\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+\end{pmatrix}
+\]
+Multiplizieren wir nun aus, erhalten wir unseren Nutzdatenteil
+\[
+m = [4,7,2,5,8,1]
+\]
+zurück, den wir ursprünglich versendet haben.
+
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/restetabelle1.tex b/buch/papers/reedsolomon/restetabelle1.tex
new file mode 100644
index 0000000..3969ef2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/restetabelle1.tex
@@ -0,0 +1,176 @@
+% created by Michael Steiner
+%
+% Restetabelle von F_11: Addition
+
+% alternatives design
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+%\hline
+%+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
+%\hline
+%0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
+%1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&0\\
+%2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&0&1\\
+%3&3&4&5&6&7&8&9&10&0&1&2\\
+%4&4&5&6&7&8&9&10&0&1&2&3\\
+%5&5&6&7&8&9&10&0&1&2&3&4\\
+%6&6&7&8&9&10&0&1&2&3&4&5\\
+%7&7&8&9&10&0&1&2&3&4&5&6\\
+%8&8&9&10&0&1&2&3&4&5&6&7\\
+%9&9&10&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
+%10&10&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
+%\hline
+%\end{tabular}
+%\end{center}
+%\end{figure}
+
+\begin{center}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.45]
+\fill[color=gray!40] (0,0) rectangle (18,-1.5);
+\fill[color=gray!40] (0,0) rectangle (1.5,-18);	
+\draw[step = 1.5, gray,very thin] (0,0) grid (18,-18);
+\draw[very thick] (0,0) rectangle (18,-18);
+\draw[very thick] (0,-1.5) -- (18,-1.5);
+\draw[very thick] (1.5,0) -- (1.5,-18);
+\node at (0.75,-0.75) {$+$};
+\foreach \x in {0,...,10}
+	\node at (2.25+\x*1.5,-0.75) {$\x$};
+\foreach \y in {0,...,10}
+	\node at (0.75,-2.25+\y*-1.5) {$\y$};
+% Row 0
+\node at ( 2.25,-2.25) {$0$};
+\node at ( 3.75,-2.25) {$1$};
+\node at ( 5.25,-2.25) {$2$};
+\node at ( 6.75,-2.25) {$3$};
+\node at ( 8.25,-2.25) {$4$};
+\node at ( 9.75,-2.25) {$5$};
+\node at (11.25,-2.25) {$6$};
+\node at (12.75,-2.25) {$7$};
+\node at (14.25,-2.25) {$8$};
+\node at (15.75,-2.25) {$9$};
+\node at (17.25,-2.25) {$10$};
+% Row 1
+\node at ( 2.25,-3.75) {$1$};
+\node at ( 3.75,-3.75) {$2$};
+\node at ( 5.25,-3.75) {$3$};
+\node at ( 6.75,-3.75) {$4$};
+\node at ( 8.25,-3.75) {$5$};
+\node at ( 9.75,-3.75) {$6$};
+\node at (11.25,-3.75) {$7$};
+\node at (12.75,-3.75) {$8$};
+\node at (14.25,-3.75) {$9$};
+\node at (15.75,-3.75) {$10$};
+\node at (17.25,-3.75) {$0$};
+% Row 2
+\node at ( 2.25,-5.25) {$2$};
+\node at ( 3.75,-5.25) {$3$};
+\node at ( 5.25,-5.25) {$4$};
+\node at ( 6.75,-5.25) {$5$};
+\node at ( 8.25,-5.25) {$6$};
+\node at ( 9.75,-5.25) {$7$};
+\node at (11.25,-5.25) {$8$};
+\node at (12.75,-5.25) {$9$};
+\node at (14.25,-5.25) {$10$};
+\node at (15.75,-5.25) {$0$};
+\node at (17.25,-5.25) {$1$};
+% Row 3
+\node at ( 2.25,-6.75) {$3$};
+\node at ( 3.75,-6.75) {$4$};
+\node at ( 5.25,-6.75) {$5$};
+\node at ( 6.75,-6.75) {$6$};
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+\node at (14.25,-6.75) {$0$};
+\node at (15.75,-6.75) {$1$};
+\node at (17.25,-6.75) {$2$};
+% Row 4
+\node at ( 2.25,-8.25) {$4$};
+\node at ( 3.75,-8.25) {$5$};
+\node at ( 5.25,-8.25) {$6$};
+\node at ( 6.75,-8.25) {$7$};
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+\node at ( 9.75,-8.25) {$9$};
+\node at (11.25,-8.25) {$10$};
+\node at (12.75,-8.25) {$0$};
+\node at (14.25,-8.25) {$1$};
+\node at (15.75,-8.25) {$2$};
+\node at (17.25,-8.25) {$3$};
+% Row 5
+\node at ( 2.25,-9.75) {$5$};
+\node at ( 3.75,-9.75) {$6$};
+\node at ( 5.25,-9.75) {$7$};
+\node at ( 6.75,-9.75) {$8$};
+\node at ( 8.25,-9.75) {$9$};
+\node at ( 9.75,-9.75) {$10$};
+\node at (11.25,-9.75) {$0$};
+\node at (12.75,-9.75) {$1$};
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+% Row 6
+\node at ( 2.25,-11.25) {$6$};
+\node at ( 3.75,-11.25) {$7$};
+\node at ( 5.25,-11.25) {$8$};
+\node at ( 6.75,-11.25) {$9$};
+\node at ( 8.25,-11.25) {$10$};
+\node at ( 9.75,-11.25) {$0$};
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+% Row 7
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+\node at ( 3.75,-12.75) {$8$};
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+\node at ( 9.75,-12.75) {$1$};
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+% Row 8
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+% Row 10
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+\end{tikzpicture}
+
+\end{center}
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/restetabelle2.tex
@@ -0,0 +1,176 @@
+% created by Michael Steiner
+%
+% Restetabelle von F_11: Multiplikation
+
+% alternatives design
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+%\hline
+%\cdot&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
+%\hline
+%0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\
+%1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
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+%7&0&7&3&10&6&2&9&5&1&8&4\\
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+%9&0&9&7&5&3&1&10&8&6&4&2\\
+%10&0&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\
+%\hline
+%\end{tabular}
+%\end{center}
+%\end{figure}
+
+\begin{center}
+	
+	\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.45]
+		\fill[color=gray!40] (0,0) rectangle (18,-1.5);
+		\fill[color=gray!40] (0,0) rectangle (1.5,-18);	
+		\draw[step = 1.5, gray,very thin] (0,0) grid (18,-18);
+		\draw[very thick] (0,0) rectangle (18,-18);
+		\draw[very thick] (0,-1.5) -- (18,-1.5);
+		\draw[very thick] (1.5,0) -- (1.5,-18);
+		\node at (0.75,-0.75) {$\cdot$};
+		\foreach \x in {0,...,10}
+		\node at (2.25+\x*1.5,-0.75) {$\x$};
+		\foreach \y in {0,...,10}
+		\node at (0.75,-2.25+\y*-1.5) {$\y$};
+		% Row 0
+		\node at ( 2.25,-2.25) {$0$};
+		\node at ( 3.75,-2.25) {$0$};
+		\node at ( 5.25,-2.25) {$0$};
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+		% Row 1
+		\node at ( 2.25,-3.75) {$0$};
+		\node at ( 3.75,-3.75) {$1$};
+		\node at ( 5.25,-3.75) {$2$};
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+		% Row 2
+		\node at ( 2.25,-5.25) {$0$};
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+		\node at ( 5.25,-5.25) {$4$};
+		\node at ( 6.75,-5.25) {$6$};
+		\node at ( 8.25,-5.25) {$8$};
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+		\node at (11.25,-5.25) {$1$};
+		\node at (12.75,-5.25) {$3$};
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+		% Row 3
+		\node at ( 2.25,-6.75) {$0$};
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+		\node at ( 5.25,-6.75) {$6$};
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+		% Row 4
+		\node at ( 2.25,-8.25) {$0$};
+		\node at ( 3.75,-8.25) {$4$};
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+		\node at ( 2.25,-9.75) {$0$};
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+		% Row 6
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+		% Row 7
+		\node at ( 2.25,-12.75) {$0$};
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+		% Row 8
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+		\node at (12.75,-14.25) {$1$};
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+		% Row 9
+		\node at ( 2.25,-15.75) {$0$};
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+		% Row 10
+		\node at ( 2.25,-17.25) {$0$};
+		\node at ( 3.75,-17.25) {$10$};
+		\node at ( 5.25,-17.25) {$9$};
+		\node at ( 6.75,-17.25) {$8$};
+		\node at ( 8.25,-17.25) {$7$};
+		\node at ( 9.75,-17.25) {$6$};
+		\node at (11.25,-17.25) {$5$};
+		\node at (12.75,-17.25) {$4$};
+		\node at (14.25,-17.25) {$3$};
+		\node at (15.75,-17.25) {$2$};
+		\node at (17.25,-17.25) {$1$};
+	\end{tikzpicture}
+	
+\end{center}
\ No newline at end of file
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new file mode 100644
index 0000000..0cb1433
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
@@ -0,0 +1,89 @@
+\section{Einleitung\label{spannung:section:Einleitung}}
+\rhead{Einleitung}
+Das Hook'sche Gesetz beschreibt die Beziehung von Spannung und Dehnung von linear-elastischen Materialien im Eindimensionalen.
+In diesem Kapitel geht es darum das Hook'sche Gesetz im Dreidimensionalen zu beschreiben.
+Durch variable Krafteinwirkungen entstehen in jedem Punkt des Materials eine Vielzahl an unterschiedlichen Spannungen.
+In jedem erdenklichen Punkt im Dreidimensionalen herrscht daher ein entsprechender individueller Spannungszustand.
+Um das Hook'sche Gesetz für den 3D Spannungszustand formulieren zu können, reichen Skalare nicht aus.
+Darum werden Vektoren, Matrizen und Tensoren zur Hilfe gezogen.
+Mit diesen lässt sich eine Spannungsformel für den 3D Spannungszustand bilden.
+Diese Spannungsformel ist Grundlage für Computerprogramme und geotechnische Versuche, wie der Oedometer-Versuch.
+
+Um die mathematische Untersuchung vorzunehmen, beschäftigt man sich zuerst mit den spezifischen Gegebenheiten und Voraussetzungen.
+Ebenfalls gilt es ein paar wichtige Begriffe und deren mathematischen Zeichen einzuführen.
+In diesem Kapitel gehen wir auch auf die Zusammenhänge von Spannung, Dehnungen und Verformungen an elastischen Materialien ein,
+wie sie in gängigen Lehrbüchern der Mechanik oder der Geotechnik behandelt werden, z.~B.~\cite{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik}.
+
+\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Spannungsausbreitung}}
+\rhead{Spannungsausbreitung}
+Die Geotechnik ist eine Ingenieurdisziplin, bei welcher man Erdbau und den Erdbau tangierende Bauwerke dimensioniert.
+Sie beinhaltet aber auch die statische Beurteilung von Boden und Fels.
+
+Belastet man den Boden mit einer Spannung
+\[
+\sigma
+=
+\frac{F}{A}
+,
+\]
+so wird diese in den Boden geleitet und von diesem kompensiert.
+Im Boden entstehen unterschiedlich hohe Zusatzspannungen.
+Diese Zusatzspannung breitet sich räumlich im Boden aus.
+Im Falle einer konstanten Flächenlast $\sigma$ (siehe Abbildung 1.1) breitet sich die Zusatzspannung zwiebelartig aus.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild4.png}
+	\caption{Ausbreitung der Zusatzspannung im Boden infolge einfacher Flächenlast}
+	\label{fig:Bild4}
+\end{figure}
+
+Mit der Tiefe $t$ nimmt diese permanent ab (siehe Abbildung 1.2).
+Wie diese Geometrie der Ausbreitung ist, kann durch viele Modelle und Ansätze näherungsweise beschrieben werden.
+Diese Zusatzspannung $\sigma$ ist im Wesentlichen abhängig von $(x,y,t)$.
+Je nach Modell werden noch andere Parameter berücksichtigt.
+Das können beispielsweise jenste Bodenkennwerte oder auch der Wassergehalt sein.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild5.png}
+	\caption{Funktionen der Spannung und Dehnung im Zusammenhang mit der Tiefe}
+	\label{fig:Bild5}
+\end{figure}
+
+Bei jeder dieser Zusatzspannung geht eine entsprechende Zusatzdehnung des Bodens einher, welche eine Setzung bedeutet.
+Im einfachsten Fall kann modellhaft mit
+\[
+\varepsilon
+=
+\frac{\sigma}{E}
+\]
+die Setzung an einem Punkt an der Bodenoberfläche mit
+\[
+s
+=
+\int_{0}^{\infty}\varepsilon\enspace dt
+\]
+berechnet werden mit:
+\begin{align*}
+	\varepsilon &= \text{Dehnung [$-$]}                                     \\
+	     \sigma &= \text{Spannung [\si{\kilo\pascal}]}                      \\
+	          E &= \text{Elastizitätsmodul; Young-Modul [\si{\kilo\pascal}]}\\
+	          t &= \text{Tiefe [\si{\meter}]}                               \\
+	          s &= \text{Setzung, Absenkung [m].}
+\end{align*}
+Diese Zusammenhänge sind wie erwähnt unter anderem im  Lehrbuch [\cite{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik}] beschrieben.
+In der praktischen Geotechnik wird man allerdings weitaus schwierigere Situationen antreffen.
+Ein Beispiel wäre eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen ist (siehe Abbildung 1.3).
+Die Ausbreitung der Zusatzspannung $\sigma(x,y,t)$ würde hier deutlich komplizierter ausfallen.
+Dies bedeutet auch eine komplexere Setzung der Bodenoberfläche infolge einer Flächenlast $\sigma$.
+Aus allen zusätzlichen Spannungen müssen die adäquaten Dehnungen mit Hilfe einer Spannungsgleichung berechnet werden.
+Diese beruht auf Annahmen nach Hooke auf einem linear-elastischen Boden.
+Generell wird im Ingenieurwesen versucht Phänomene möglichst nach dem Hook'schen Gesetz abbilden zu können.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.45\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild3.png}
+	\caption{Beispiel eines Lastauftrags auf den Boden bei einer komplexeren Situation, welches kompliziertere Spannungsausbreitung zur Folge hat}
+	\label{fig:Bild3}
+\end{figure}
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild1.png
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new file mode 100644
index 0000000..d1321a4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild2.png
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild3.png
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index 0000000..526ee7b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild4.png
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index 0000000..6ee004d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/Bild5.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png
new file mode 100644
index 0000000..31505bd
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png
new file mode 100644
index 0000000..2c359e6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png
diff --git a/buch/papers/spannung/main.tex b/buch/papers/spannung/main.tex
index b87a4d0..bbdf730 100644
--- a/buch/papers/spannung/main.tex
+++ b/buch/papers/spannung/main.tex
@@ -4,33 +4,18 @@
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
 \chapter{Thema\label{chapter:spannung}}
-\lhead{Thema}
+\lhead{Dreiachsiger Spannungszustand}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Adrian Schuler und Thomas Reichlin}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+% TODO Text
 
+\input{papers/spannung/Einleitung.tex}
 \input{papers/spannung/teil0.tex}
 \input{papers/spannung/teil1.tex}
 \input{papers/spannung/teil2.tex}
 \input{papers/spannung/teil3.tex}
+\input{papers/spannung/teil4.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/spannung/references.bib b/buch/papers/spannung/references.bib
index ed5703c..02f8d09 100644
--- a/buch/papers/spannung/references.bib
+++ b/buch/papers/spannung/references.bib
@@ -4,27 +4,46 @@
 % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
 %
 
-@online{spannung:bibtex,
-	title = {BibTeX},
-	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
-	date = {2020-02-06},
-	year = {2020},
-	month = {2},
+@online{spannung:Tensor,
+	title = {Tensor},
+	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Tensor},
+	date = {2021-05-29},
+	year = {2021},
+	month = {5},
 	day = {6}
 }
 
-@book{spannung:numerical-analysis,
-	title = {Numerical Analysis},
-	author = {David Kincaid and Ward Cheney},
-	publisher = {American Mathematical Society},
-	year = {2002},
-	isbn = {978-8-8218-4788-6},
-	inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
-	volume = {2}
+@online{spannung:Voigtsche-Notation,
+	title = {Voigtsche Notation},
+	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Voigtsche_Notation},
+	date = {2021-05-29},
+	year = {2021},
+	month = {5},
+	day = {6}
+}
+
+@book{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik,
+	title = {Grundlagen der Geotechnik},
+	author = {Hans-Henning Schmidt and Roland F. Buchmaier and Carola Vogt-Breyer},
+	publisher = {Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH},
+	year = {2017},
+	isbn = {978-3-658-14930-7},
+	inseries = {Geotechnik nach Eurocode},
+	volume = {5}
+}
+
+@book{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik,
+	title = {Stoffgesetze und numerische Modellierung in der Geotechnik},
+	author = {Carlo Rabaiotti and Alessio Höttges},
+	publisher = {Hochschule Rapperswil},
+	year = {2021},
+	isbn = {},
+	inseries = {},
+	volume = {}
 }
 
 @article{spannung:mendezmueller,
-        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
+        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
         title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
         journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
         year = 2019,
diff --git a/buch/papers/spannung/teil0.tex b/buch/papers/spannung/teil0.tex
index cf47a18..ffc9009 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil0.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex
@@ -1,22 +1,82 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{spannung:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{spannung:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
+\section{Der Spannungszustand\label{spannung:section:Der Spannungsustand}}
+\rhead{Der Spannungszustand}
+Ein Spannungszustand ist durch alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken, definiert (siehe Abbildung 1.4).
+Änderungen der äusseren Kräfte verändern die inneren Spannungszustände im Material.
+Um alle Spannungen eines Punktes darstellen zu können, wird ein infinitesimales Bodenelement in Form eines Würfels modellhaft vorgestellt.
+Man spricht auch von einem Elementarwürfel, da dieser elementar klein ist.
 
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild2.png}
+	\caption{Infinitesimales Bodenelement mit den 9 Spannungen}
+	\label{fig:Bild2}
+\end{figure}
 
+Es werden jeweils drei Seiten dieses Würfels betrachtet, wobei die drei gegenüberliegenden Seiten im Betrag die selben Spannungen aufweisen,
+sodass der Elementarwürfel im Gleichgewicht ist.
+Wäre dieses Gleichgewicht nicht vorhanden, käme es zu Verschiebungen und Drehungen.
+Das infinitesimale Bodenteilchen hat die Koordinaten $1$, $2$, $3$.
+Veränderungen der Normalspannungen können durch Schubspannungen kompensiert werden und umgekehrt.
+So sind insgesamt neun verschiedene Spannungen möglich, wobei drei Normal- und sechs Schubspannungen sind.
+Normalspannungen wirken normal (mit rechtem Winkel) zur angreifenden Fläche und Schubspannungen parallel zur angreifenden Fläche.
+Alle Beträge dieser neun Spannungen am Elementarwürfel bilden den Spannungszustand.
+Daraus können die äquivalenten Dehnungen $\varepsilon$ mit Hilfe des Hook'schen Gesetz berechnet werden.
+Daher gibt es auch den entsprechenden Dehnungszustand.
 
+
+\section{Spannungszustand\label{spannung:section:Spannungsustand}}
+\rhead{Spannungszustand}
+
+Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung 1.5).
+Das Hook'sche Gesetz beschreibt genau diesen 1D Spannungszustand.
+Nach Hooke gilt:
+\[
+F
+\sim
+\Delta l
+.
+\]
+Teilt man beide Seiten durch die Konstanten $A$ und $l_0$, erhält man
+\[
+\frac{F}{A}
+=
+\sigma
+\sim
+\varepsilon
+=
+\frac{\Delta l}{l_0}
+\]
+und somit
+\[
+\sigma
+\sim
+\varepsilon
+,
+\]
+mit
+\begin{align*}
+	l_0 &= \text{Länge zu Beginn [\si{\meter}]} \\
+	  A &= \text{Fläche [\si{\meter\squared}].}
+\end{align*}
+Diese Beziehung gilt bei linear-elastischen Materialien, welche reversible Verformungen zulassen.
+Es ist praktisch die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine absolute Längenänderung $\Delta l$.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild1.png}
+	\caption{1D Spannungszustand aus einer quaderförmigen Bodenprobe}
+	\label{fig:Bild1}
+\end{figure}
+Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ als Proportionalitätskonstante lässt sich der eindimensionale Fall mit
+\[
+\sigma
+=
+E\cdot\varepsilon
+\]
+beschreiben.
+Im Falle, dass $E$ nicht konstant ist, kann dieser näherungsweise durch
+\[
+E
+=
+\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}
+\]
+ausgedrückt werden.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/spannung/teil1.tex b/buch/papers/spannung/teil1.tex
index 95e6f0a..74516c1 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil1.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil1.tex
@@ -1,55 +1,24 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{spannung:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{spannung:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{spannung:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{spannung:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{spannung:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
+\section{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren\label{spannung:section:Skalare,_Vektoren,_Matrizen_und_Tensoren}}
+\rhead{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren}
+Der Begriff Tensor kann als Überbegriff, der mathematischen Objekte Skalar, Vektor und Matrix, betrachtet werden.
+Allerdings sind noch höhere Stufen dieser Objekte beinhaltet.
+Ein Skalar, ein Vektor oder eine Matrix ist daher auch ein Tensor.
+Ein Skalar ist ein Tensor 0. Stufe.
+Mit einem Vektor können mehrere Skalare auf einmal beschrieben werden.
+Ein Vektor hat daher die Stufe 1 und ist höherstufig als ein Skalar.
+Mit einer Matrix können wiederum mehrere Vektoren auf einmal beschrieben werden.
+Eine Matrix hat daher die Stufe 2 und ist noch höherstufig als ein Vektor.
+Versteht man diese Stufen, so versteht man den Sinn des Begriffs Tensor.
 
+Jede Stufe von Tensoren verlangt andere Rechenregeln.
+So zeigt sich auch der Nachteil von Tensoren mit Stufen höher als 2.
+Man ist also bestrebt höherstufige Tensoren mit Skalaren, Vektoren oder Matrizen zu beschreiben.
 
+Der Begriff Tensor wurde 1840 von Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt.
+James Clerk Maxwell hat bereits mit Tensoren operiert, ohne den Begriff Tensor gekannt zu haben.
+Erst Woldemar Voigt hat den Begriff in die moderne Bedeutung von Skalar, Matrix und Vektor verallgemeinert.
+Er hat in der Elastizitätstheorie als erstes Tensoren eingesetzt und beschrieben.
+Auch Albert Einstein hat solche Tensoren eingesetzt,
+um in der Relativitätstheorie die Änderung der 4D Raumzeit beschreiben zu können.
+\cite{spannung:Tensor}
+\cite{spannung:Voigtsche-Notation}
diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex
index 37d3242..921d2b8 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil2.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex
@@ -1,40 +1,491 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2 
-\label{spannung:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{spannung:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger_Spannungszustand}}
+\rhead{Dreiachsiger Spannungszustand}
+Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D Spannungszustand unterschiedliche Normal- und Schubspannungen.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png}
+	\caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchen}
+	\label{fig:infinitesimalerWuerfel}
+\end{figure}
+Ein Tensor 0. Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D Spannungszustand beschreiben.
+Um den 3D Spannungszustandes als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2. Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt.
+Die Spannungen sind durch die zwei Indizes
+\[
+i, j\in\left\{1, 2, 3\right\}
+\]
+definiert.
+Daher ergeben sich die neun Spannungen.
+Die nachfolgenden Zusammenhänge sind in \cite{spannung:Voigtsche-Notation} beschrieben.
+Dieser Spannungstensor kann schliesslich mit $3^2$ Einträgen als $3\times3$ Matrix mit
+\[
+\overline{\sigma}
+=
+\sigma_{ij}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
+	\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt werden und beschreibt somit den gesamten Spannungszustand.
+Die Dehnungen wirken in die gleichen Richtungen wie die korrespondierenden Spannungen und sind durch die zwei Indizes
+\[
+k, l\in\left\{1, 2, 3\right\}
+\]
+definiert.
+Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2. Stufe und kann somit auch als $3\times3$ Matrix mit
+\[
+\overline{\varepsilon}
+=
+\varepsilon_{kl}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt werden und beschreibt den gesamten Dehnungszustand.
 
+Der Spannungs- und Dehnungstensor 2. Stufe kann je in einen Tensor 1. Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist.
+Gemäss der Hadamard-Algebra dürfen Zeile um Zeile in eine Spalte notiert werden, sodass es einen Spaltenvektor ergibt.
+So ergibt sich der Spannungsvektor
 
+\[
+\overline{\sigma}
+=
+\sigma_{ij}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
+	\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\sigma}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{12}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{21}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{31}\\
+	\sigma_{32}\\
+	\sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+\]
+und Dehnungsvektor
+\[
+\overline{\varepsilon}
+=
+\varepsilon_{kl}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{12} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{21} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} \\
+	\varepsilon_{32} \\
+	\varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Um die Beziehung von Spannung und Dehnung, welche mit Tensoren 2. Stufe ausgedrückt werden, zu beschreiben, wird ein Elastizitätstensor 4. Stufe benötigt.
+Dieser ist im 1D Spannungszustand ein Tensor 0. Stufe und somit ein Skalar, der Elastizitätsmodul $E$.
+
+Dieser Elastizitätstensor 4. Stufe kann als Tensor 2. Stufe, sprich als Matrix, dargestellt werden.
+So wird die Spannungsgleichung stark vereinfacht, da nun eine Matrix auf einen Vektor operiert.
+Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen 9 Dehnungen mit Konstanten erfassen.
+Dies bedeutet um eine von 9 Spannungen berechnen zu können müssen alle 9 Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden.
+Es ergeben sich $9^2$ Einträge, welches mit den 4 Indizes
+\[
+i, j, k, l\in\left\{1, 2, 3\right\}
+,
+\]
+die zueinander verknüpft werden müssen, zu begründen ist.
+Es ergeben sich $3^4$ Einträge, sprich eine $9\times9$ Matrix, welche allgemein
+\[
+\overline{\overline{C}}
+=
+C_{ijkl}
+=
+\begin{pmatrix}
+C_{1111} & C_{1112} & C_{1113} & C_{1121} & C_{1122} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1132} & C_{1133} \\
+C_{1211} & C_{1212} & C_{1213} & C_{1221} & C_{1222} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1232} & C_{1233} \\
+C_{1311} & C_{1312} & C_{1313} & C_{1321} & C_{1322} & C_{1323} & C_{1331} & C_{1332} & C_{1333} \\
+C_{2111} & C_{2112} & C_{2113} & C_{2121} & C_{2122} & C_{2123} & C_{2131} & C_{2132} & C_{2133} \\
+C_{2211} & C_{2212} & C_{2213} & C_{2221} & C_{2222} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2232} & C_{2233} \\
+C_{2311} & C_{2312} & C_{2313} & C_{2321} & C_{2322} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2332} & C_{2333} \\
+C_{3111} & C_{3112} & C_{3113} & C_{3121} & C_{3122} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3132} & C_{3133} \\
+C_{3211} & C_{3212} & C_{3213} & C_{3221} & C_{3222} & C_{3223} & C_{3231} & C_{3232} & C_{3233} \\
+C_{3311} & C_{3312} & C_{3313} & C_{3321} & C_{3322} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3332} & C_{3333}
+\end{pmatrix}
+\]
+geschrieben werden kann.
+Dieser Elastizitätstensor muss für isotrope Materialien zwingend symmetrisch sein.
+Folglich gilt:
+\[
+\overline{\overline{C}}
+=
+\overline{\overline{C}}~^{T}
+.
+\]
+Die allgemeine Spannungsgleichung lautet nun:
+\[
+\vec\sigma
+=
+\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
+.
+\]
+Die Konstanten $C$ werden nun nach dem Hook'schen Gesetz mit Hilfe des Elastizitätsmoduls $E$ definiert.
+Da dieser Modul durch die eindimensionale Betrachtung definiert ist,
+muss für die dreidimensionale Betrachtung eine weitere Kennzahl eingeführt werden.
+Dies ist die Querdehnungszahl $\nu$ (auch Poisson-Zahl), welche durch
+\[
+\nu
+=
+\frac{\varepsilon_q}{\varepsilon}
+=
+\frac{\Delta b}{b_0}
+\]
+und
+\begin{align*}
+	\varepsilon     &= \text{Längsdehnung [$-$]} \\
+	\varepsilon_q   &= \text{Querdehnung [$-$]}
+\end{align*}
+definiert ist. Trägt man die Konstanten in die Matrix ein, ergibt sich
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{12}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{21}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{31}\\
+	\sigma_{32}\\
+	\sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
+\begin{pmatrix}
+	1-2\nu &          0 &          0 &          0 &    \nu &          0 &          0 &          0 & \nu   \\
+	     0 &\frac{1}{4} &          0 &\frac{1}{4} &      0 &          0 &          0 &          0 & 0     \\
+	     0 &          0 &\frac{1}{4} &          0 &      0 &          0 &\frac{1}{4} &          0 & 0     \\
+	     0 &\frac{1}{4} &          0 &\frac{1}{4} &      0 &          0 &          0 &          0 & 0     \\
+	   \nu &          0 &          0 &          0 & 1-2\nu &          0 &          0 &          0 & \nu   \\
+  	     0 &          0 &          0 &          0 &      0 &\frac{1}{4} &          0 &\frac{1}{4} & 0     \\
+	     0 &          0 &\frac{1}{4} &          0 &      0 &          0 &\frac{1}{4} &          0 & 0     \\
+	     0 &          0 &          0 &          0 &      0 &\frac{1}{4} &          0 &\frac{1}{4} & 0     \\
+	   \nu &          0 &          0 &          0 &    \nu &          0 &          0 &          0 & 1-2\nu
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{12} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{21} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} \\
+	\varepsilon_{32} \\
+	\varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+,
+\]
+welche ebenfalls als Indexnotation mit
+\[
+\sigma_{ij}
+=
+\sum_{k=1}^3
+\sum_{l=1}^3
+C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl}
+\]
+ausgedrückt werden kann.
+Die Normalspannung $\sigma_{22}$ lässt sich exemplarisch als
+\[
+\sigma_{22}
+=
+\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}+\frac{E}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{22}+\frac{E\cdot\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{33}
+\]
+berechnen.
+
+Man betrachte nun die Eigenschaften des Elastizitätstensors.
+Dieser ist quadratisch und symmetrisch, die verschiedenen Einträge wechseln sich aber miteinander ab.
+Es ergeben sich keine Blöcke mit einheitlichen Einträgen.
+
+Allerdings weiss man, dass im isotropen Boden der Spannungs-, Dehnungs- und daher auch Elastizitätstensor symmetrisch sind.
+Wäre dem nicht so, würde sich das Material je nach Richtung unterschiedlich elastisch verhalten.
+Diese Symmetrie setzt daher voraus, dass
+\[
+\sigma_{12}
+=
+\sigma_{21}
+,
+\qquad
+\sigma_{13}
+=
+\sigma_{31}
+,
+\qquad
+\sigma_{23}
+=
+\sigma_{32}
+\]
+und folglich auch
+\[
+\varepsilon_{12}
+=
+\varepsilon_{21}
+,
+\qquad
+\varepsilon_{13}
+=
+\varepsilon_{31}
+,
+\qquad
+\varepsilon_{23}
+=
+\varepsilon_{32}
+\]
+gilt.
+Diese Eigenschaft wird durch die Voigt'sche Notation \cite{spannung:Voigtsche-Notation} ausgenutzt, um die Gleichung vereinfachen zu können.
+Durch diese Symmetrie gilt
+\[
+\overline{\sigma}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
+	\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
+  	            & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	 \text{sym} &             & \sigma_{33} 
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\sigma}
+=
+\begin{pmatrix}
+    \sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+und entsprechend
+\[
+\overline{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	& \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\text{sym}       &                  & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+
+Aus den Vereinfachungen der Voigt'schen Notation lassen sich die Spannungs- und Dehnungstensoren als Spaltenvektoren mit je sechs Einträgen darstellen.
+Der Elastizitätstensor kann entsprechend auf eine $6\times6$ Matrix reduziert werden.
+Es lässt sich nun eine reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit
+\[
+\vec{\sigma}
+=
+\overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
+\]
+beziehungsweise
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} \\
+	\sigma_{22} \\
+	\sigma_{33} \\
+	\sigma_{23} \\
+	\sigma_{13} \\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\
+	C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\
+	C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\
+	C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\
+	C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312} \\
+	C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+beschreiben.
+Die Spannung $\sigma_{11}$ beispielsweise erhält man, wenn man die sechs Produkte aus den Konstanten $C$ und Dehnungen $\varepsilon$ summiert.
+Die Symmetrieeigenschaft des Elastizitätstensors bleibt auch hier erhalten.
+Somit lässt sich die reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} \\
+	\sigma_{22} \\
+	\sigma_{33} \\
+	\sigma_{23} \\
+	\sigma_{13} \\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	  C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\
+	           & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\
+	           &          & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\ 
+	           &          &          & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\ 
+               &          &          &          & C_{1313} & C_{1312} \\
+    \text{sym} &          &          &          &          & C_{1212} 
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+beschreiben.
+Die Konstanten $C$ werden wieder nach dem Hook'schen Gesetz definiert.
+Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist:
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
+\begin{pmatrix}
+	1- 2\nu & \nu     & \nu     & 0           & 0           & 0\\
+	    \nu & 1- 2\nu & \nu     & 0           & 0           & 0\\
+        \nu & \nu     & 1- 2\nu & 0           & 0           & 0\\
+          0 & 0       & 0       & \frac{1}{2} & 0           & 0\\
+          0 & 0       & 0       & 0           & \frac{1}{2} & 0\\
+          0 & 0       & 0       & 0           & 0           & \frac{1}{2}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{22}\\
+	\varepsilon_{33}\\
+	\varepsilon_{23}\\
+	\varepsilon_{13}\\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+
+Im Elastizitätstensor fallen zwei $3\times3$ Blöcke auf, welche nur Einträge mit $0$ haben. Der Tensor besagt also,
+dass diese jeweiligen Dehnungen keinen Einfluss auf unsere Spannung haben.
+Man sieht nun auch ganz gut, dass sich im Vergleich zu der allgemeinen Spannungsgleichung, die Einträge verschoben haben.
+Da nach Voigt zuerst die Normalspannungen und anschliessend die Schubspannungen notiert worden sind, ergeben sich die  $3\times3$ Blöcke.
+
+Man betrachte als Beispiel die Berechnung von $\sigma_{33}$.
+Es ist ersichtlich, dass die Schubdehnungen keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ haben.
+Der Einfluss der zu $\sigma_{33}$ äquivalenten Dehnung $\varepsilon_{33}$ hat den grössten Einfluss.
+Die anderen Normalspannungen $\sigma_{11}$ und $\sigma_{22}$ haben einen unter anderem mit $\nu$ korrigierten Einfluss.
+
+Von  $\overline{\overline{C}}$ bildet man noch die inverse Matrix $\overline{\overline{C}}\mathstrut^{-1}$ um die Gleichung umstellen zu können.
+Dadurch erhält man die Dehnungsgleichung:
+
+\[
+\vec{\varepsilon}
+=
+\overline{\overline{C}}\mathstrut^{-1}\cdot \vec{\sigma}
+\]
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{22}\\
+	\varepsilon_{33}\\
+	\varepsilon_{23}\\
+	\varepsilon_{13}\\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{1}{E}
+\begin{pmatrix}
+	   1 & -\nu & -\nu & 0      & 0      & 0     \\
+	-\nu &    1 & -\nu & 0      & 0      & 0     \\
+	-\nu & -\nu &    1 & 0      & 0      & 0     \\
+ 	   0 &    0 &    0 & 2+2\nu & 0      & 0     \\
+	   0 &    0 &    0 &      0 & 2+2\nu & 0     \\
+	   0 &    0 &    0 &      0 & 0      & 2+2\nu
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Die zwei $3\times3$ Blöcke links unten und rechts oben sind folglich noch vorhanden.
+Um wieder die Einflüsse der Parameter veranschaulichen zu können berechnet man die Dehnung
+\[
+\varepsilon_{22}
+=
+\frac{1}{E}\sigma_{22} - \frac{\nu}{E}\sigma_{11} - \frac{\nu}{E}\sigma_{33}
+=
+\frac{1}{E}\cdot(\sigma_{22}-\nu\cdot\sigma_{11}-\nu\cdot\sigma_{33})
+.
+\]
+Diese hängt wieder am meisten von $\sigma_{22}$ ab.
+Ist die Querdehnung $\nu$ grösser, so wird die Dehnung $\varepsilon_{22}$ reduziert.
+Bei inkompressiblen Medien, bei welchen keine Dehnungen und nur identische Normalspannungen auftreten können, ist folglich $\nu=0.5$.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index ce7d50f..8d99733 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -1,40 +1,105 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{spannung:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
+\section{Die geotechnischen Invarianten\label{spannung:section:Die geotechnischen Invarianten}}
+\rhead{Die geotechnischen Invarianten}
+In vielen Fällen in der Geotechnik und auch in Versuchen hat man gleichmässige Belastungen über eine grössere Fläche.
+Durch eine solche Belastung auf den Boden, entstehen gleichermassen Spannungen in Richtung $2$ und $3$,
+wenn man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht.
+Folglich gilt:
 
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{spannung:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\[
+\sigma_{22}
+=
+\sigma_{33}
+.
+\]
+Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht.
+Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden.
+Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung
+\[
+p
+=
+\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}
+,
+\]
+welche als arithmetisches Mittel aller Normalspannungen im infinitesimalen Würfel definiert ist.
+Die zweite Invariante ist die deviatorische Spannung
+\[
+q
+=
+\sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}}
+.
+\]
+Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik}] aufgezeigt.
+Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung (Nr) als
+\[
+p
+=
+\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
+\]
+vereinfacht werden.
+Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung (Nr) als
+\[
+q
+=
+\sigma_{11}-\sigma_{33}
+\]
+vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten.
 
+Die Invarianten können mit der Spannungsformel (Nr..xxx) berechnet werden.
+Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren.
+Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten.
+So ergibt sich
+\[
+\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
+=
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{v}}
+\]
+und
+\[
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
+=
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+.
+\]
+Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so mit
+\[
+\varepsilon_{v}
+=
+(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})
+\qquad
+\text{und}
+\qquad
+\varepsilon_{s}
+=
+\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})
+\]
+eingeführt werden, mit
+\begin{align*}
+	\varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\
+	\varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].}
+\end{align*}
+Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglichen werden.
+Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$  kann mit einer Verzerrung verglichen werden.
 
+Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
+\[
+\begin{pmatrix}
+	q\\
+	p
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\frac{3E}{2(1+\nu)} &                   0 \\
+	                  0 & \frac{E}{3(1-2\nu)}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{s}\\
+	\varepsilon_{v}
+\end{pmatrix}
+\]
+(sollte nummeriert sein) vereinfachen.
+Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
+Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden.
+
+Mit dieser Formel lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
+Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
+Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex
new file mode 100644
index 0000000..d524f13
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+\section{Oedometer-Versuch\label{spannung:section:Oedometer-Versuch}}
+\rhead{Oedometer-Versuch}
+Mit dem Oedometer-Versuch kann der oedometrische Elastizitätsmodul $E_{OED}$ bestimmt werden.
+Dieser beschreibt ebenfalls das Verhältnis zwischen Spannung und Dehnung, allerdings unter anderen Bedingungen.
+Diese Bedingung ist das Verhindern der seitlichen Verformung, sprich der Dehnung in Richtung $1$ und $2$.
+Es wird ein Probeelement mit immer grösseren Gewichten belastet, welche gleichmässig auf das Material drücken.
+Die seitliche Verschiebung des Materials wird durch einen Stahlring verhindert.
+Die Probe wird sich so stetig verdichten.
+Das Volumen nimmt ab und die Dehnung nimmt immer mehr zu.
+Unter diesen Bedingungen wird der oedometrische Elastizitätsmodul mit steigender Dehnung zunehmen.
+
+Da im Boden das umgebende Material ähnlich eine seitliche Verformung verhindert,
+bildet dieser oedometrische Elastizitätsmodul die Realität besser ab, als der gewöhnliche Elastizitätsmodul.
+Durch dieses Verhindern des seitlichen Ausbrechens ist
+\[
+\varepsilon_{22}
+=
+\varepsilon_{33}
+=
+0
+\]
+aber auch
+\[
+\sigma_{22}
+=
+\sigma_{33}
+\neq 0
+.
+\]
+Die Spannung $\sigma_{11}$ wird durch die aufgebrachte Kraft mit
+\[
+\sigma_{11}
+=
+\frac{F}{A}
+\]
+und die Dehnung $\varepsilon_{11}$ jeweils mit den entsprechenden Setzungen berechnet.
+Diese Randbedingungen können in die vereinfachte Gleichung (Nrxxx) eingesetzt werden.
+Diese lautet nun:
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}-\sigma_{33} \\
+	\sigma_{11}+2\sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\frac{E_{OED}}{(1+\nu)} &                             0 \\
+                          0 & \frac{E_{OED}}{3(1-2\nu)}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{11}
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Daraus lässt sich bei jedem Setzungsgrad der oedometrische Elastitzitätsmodul $E_{OED}$ und die seitlichen Spannungen $\sigma_{33}$ mit den 2 Gleichungen
+\[
+\sigma_{11}-\sigma_{33}
+=
+\frac{E_{OED}}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{11}
+\]
+und
+\[
+\sigma_{11}+2\sigma_{33}
+=
+\frac{E_{OED}}{3(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}
+\]
+berechnen.
+Mit diesen Gleichungen hat man das Gleichungssystem um $E_{OED}$ und $\sigma_{33}$ zu berechnen.
+Die Poisson-Zahl muss als Kennwert gemäss der Bodenklasse gewählt werden.
+Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung 1.7).
+Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark.
+Mit diesem ermittelten $E_{OED}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png}
+	\caption{Diagramm Charakteristik verschiedener Elastizitätsmodule bei gleichem Material}
+	\label{fig:DiagrammOedometer-Versuch}
+\end{figure}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/verkehr/Makefile.inc b/buch/papers/verkehr/Makefile.inc
index 7bd8de1..876d0df 100644
--- a/buch/papers/verkehr/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/verkehr/Makefile.inc
@@ -3,12 +3,10 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-dependencies-verkehr =						\
+dependencies-verkehr =							\
 	papers/verkehr/packages.tex					\
-	papers/verkehr/main.tex					\
-	papers/verkehr/references.bib				\
-	papers/verkehr/teil0.tex					\
-	papers/verkehr/teil1.tex					\
-	papers/verkehr/teil2.tex					\
-	papers/verkehr/teil3.tex
+	papers/verkehr/main.tex						\
+	papers/verkehr/section1.tex					\
+	papers/verkehr/section2.tex					\
+	papers/verkehr/references.bib
 
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png
new file mode 100644
index 0000000..14d4eca
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png
new file mode 100644
index 0000000..2d68681
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png b/buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png
new file mode 100644
index 0000000..02bded7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png b/buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png
new file mode 100644
index 0000000..3056f43
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png b/buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png
new file mode 100644
index 0000000..5a681bd
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png b/buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png
new file mode 100644
index 0000000..d9348d7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png
diff --git a/buch/papers/verkehr/main.tex b/buch/papers/verkehr/main.tex
index 332ee7e..6348993 100644
--- a/buch/papers/verkehr/main.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/main.tex
@@ -4,33 +4,13 @@
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
 \chapter{Thema\label{chapter:verkehr}}
-\lhead{Thema}
+\lhead{Verkehrsfluss und Verkehrsnetze}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Pascal Andreas Schmid und Robine Luchsinger}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
-
-\input{papers/verkehr/teil0.tex}
-\input{papers/verkehr/teil1.tex}
-\input{papers/verkehr/teil2.tex}
-\input{papers/verkehr/teil3.tex}
+\input{papers/verkehr/section1.tex}
+\input{papers/verkehr/section2.tex}
+\input{papers/verkehr/section3.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
new file mode 100644
index 0000000..6a5dc28
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -0,0 +1,70 @@
+\section{Einführung}
+\label{section:verkehr/einfuehrung}
+
+\subsection{Verkehrsnetze}
+Das Verkehrsnetz besteht aus allen Anlagen, auf oder unter der Erdoberfläche, auf denen eine räumliche Fortbewegung von Personen oder auch Gütern stattfindet. Verkehrsnetze sind ein Bestandteil der Verkehrsinfrastruktur, die auf topografischen Karten festgehalten werden. Sie umfassen den Schienenverkehr, alle Strassen und Wege, wie auch Flugplätze und alle dazugehörigen Bauwerke. 
+Aus verkehrsgeografischer Sicht besteht das Verkehrsnetz aus Kanten, Knotenpunkten und dem Hinterland. Die Knotenpunkte werden auch hier durch die Kanten verbunden, die den Verkehrsstrom aufnehmen, wobei das Hinterland durch einzelne Knoten versorgt wird. Die Aufteilung in Kanten und Knotenpunkte ermöglicht eine Vereinfachung komplexer Verkehrsnetze, damit sie mittels der Graphentheorie untersucht werden können.
+Grundsätzlich können kurze Wege zwischen den Knotenpunkten das Ziel beim
+Aufbau eines Verkehrsnetzes sein. Es kann aber auch versucht werden, die Bau- und Unterhaltskosten des Verkehrsnetzes in einem gewissen Rahmen zu halten. Aus diesen Vorgaben ergibt sich dann, je nach dem was gewünscht wird, eine grob- oder feinmaschige Struktur des Netzes. 
+Ziel ist aber ein möglichst wirtschaftliches und optimales Verkehrsnetz.
+
+\subsection{Suchalgorithmen}
+
+\subsubsection{Dijkstra-Algorithmus}
+Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Infomratikprofessor Edsger Dijkstra. Den Algorithmus hat er im Jahr 1959 erfunden.
+Der Algorithmus von Dijkstra ist ein Greedy-Algorithmus (gieriger Algorithmus), der schrittweise einen Folgezustand auswählt, damit beim Zeitpunkt der Wahl der grösste Gewinn bzw. das beste Ergebnis erzielt werden kann. 
+Trotz der Schnelligkeit der Greedy-Algorithmen, können viele Probleme nicht optimal gelöst werden.
+Vereinfacht wird beim Dijkstra-Algorithmus, ausgehend von einem Startknoten so lange dem kürzesten Pfad gefolgt, bis der Zielknoten erreicht wird. Dabei muss für jeden besuchten Knoten die Kostenfunktion als auch der Pfad dahin (vorheriger Knoten) gespeichert werden.
+Dadurch wird hingegen garantiert, dass, wenn der Zielknoten erreicht wird, auch der kürzeste Pfad gefunden wurde.
+Grundlegende Voraussetzung für den Dijkstra-Algorithmus ist die strikte Positivität der Kantengewichte. Andernfalls würde ein wiederholtes Ablaufen einer Kante mit negativem Gewicht zu einer stetigen Reduktion der Kostenfunktion führen, was zu einer unendlichen Schlaufe führen würde.
+
+\subsubsection{A*-Algorithmus}
+Suchalgorithmen werden nach einfachen (uninformierte) und heuristischen (informierten) Algorithmen unterschieden. Während einfache Algorithmen den Suchraum intuitiv durchsuchen, beziehen heuristische Algorithmen Wissen über den Suchraum mit ein.
+Der A*-Algorithmus geht auf seine Erfinder Peter Hart, Nils Nilsson und Bertram Raphael zurück, die den Algorithmus erstmals im Jahr 1968 beschrieben.
+Der A*-Algorithmus ist ein heuristischer Suchalgorithmus, der den kürzesten Pfad zwischen zwei Knoten in einem Graphen mit positiven Kantengewichten berechnet.
+Im Gegensatz zu einfachen Suchalgorithmen, wird beim A*-Algorithmus eine Schätzfunktion, die sogenannte Heuristik, verwendet. Dies ermöglicht ein zielgerichtetes Suchen und gleichzeitig wird die Laufzeit verringert. 
+Ausserdem findet der A*-Algorithmus immer eine optimale Lösung, sofern eine vorhanden ist.
+Der A*-Algorithmus wird als Verallgemeinerung gehandhabt und gilt als Erweiterung des Dijkstra-Algorithmus. 
+=======
+
+\subsubsection{Floyd-Warshall-Algorithmus}
+Der Floyd-Warshall-Algorithmus wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt.
+Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die kürzesten , beziehungsweise die optimalsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet, sofern der Graph keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist.
+Ein Kreis in einem Graphen ist ein Weg, bei dem Start- und Endpunkt den gleichen Knoten aufweisen. Dieser wird negativ, wenn die Summe der gewichteten Kanten kleiner als Null wird.
+
+\subsubsection{Euklidische Heuristik}
+Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heurstik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar.
+Was bei einem physischen Verkehrsnetz einfach zu bewältigen ist, da Koordinaten von Verkehrsnetzen zur Berechnung der Distanz verwendet werden können, ist bei virtuellen Netzwerken (z.B. Servernetzen) entweder nicht möglich, oder nicht relevant.
+
+\subsection{PageRank-Algorithmus}
+Der PageRank-Algorithmus wurde von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin im Jahr 1996 entwickelt und zum Patent angemeldet. Zwei Jahre später gründeten sie ihr Unternehmen Google Inc..
+Beim PageRank-Algorithmus handelt es sich um den Algorithmus von Google, aus dem die Google-Matrix abgeleitet wird.
+Die Google-Matrix ist eine immens grosse Matrix mit Millionen Zeilen und Spalten, die für die schnelle und vor allem exakte Bestimmung der PageRanks (Gewichtung) eine grosse Bedeutung hat.
+Der PageRank-Algorithmus analysiert und gewichtet beispielsweise die Verlinkungsstruktur verschiedener Websites des World Wide Web anhand ihrer Struktur. 
+Der PageRank wird umso höher, je mehr hochwertige Links auf eine Webseite verweisen und je höher die Gewichtung einer Webseite ist, desto grösser ist der Effekt.\\
+Dabei handelt es sich um einen iterativen Prozess. Ausgegangen wird von der Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt.
+
+%THEORIE...
+Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseinander, wie eine Suchmaschine wie Google Suchresultate bewertet und somit sortieren soll. Öfters aufgerufene Resultate sollen schliesslich höher gewichtet werden. Dabei wird angenommen, dass eine Website populärer ist, je mehr andere Websites darauf verweisen.
+
+\begin{equation}
+A_{i,j}=\left\{ \begin{matrix}
+1 & \text{Kante von $j$ nach $i$} \\ 0 & \text{keine Kante von $j$ nach $i$}  
+\end{matrix}
+ \right.
+\label{verkehr:Adja}
+\end{equation}
+
+
+Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1...n\right\}\end{equation}
+Beim PageRank-Algorithmus wird eine abgewandelte Form der Adjazenz-Matrix verwendet.
+Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt.
+\begin{equation} P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \end{equation}
+Anschliessend multipliziert man diese Matrix $P$ mit einem Spaltenvektor $\Vec{r_0}$ mit $n$ Einträgen, für welchen gilt:
+\begin{equation} \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1...n\right\} \end{equation}
+Dieser Vektor stellt ein neutrales Ranking dar. Alle Knoten werden gleich gewichtet.
+Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der das "erste" Ranking darstellt. Durch Multiplikation der ursprünglichen Matrix $P$ mit dem 1. Ranking-Vektor $\Vec{r_1}$ wird auf Basis des ersten Rankings ein zweites erstellt.
+\begin{equation} \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\end{equation}
+somit
+\begin{equation} \Vec{r_i} = P^i\cdot\Vec{r_0}\end{equation}
+Der Vektor $\Vec{r_i}$ konvergiert zu einem Eigenvektor von $P$ und stellt das abschliessende Ranking dar.
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new file mode 100644
index 0000000..638d9dd
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/section2.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+\section{Versuchsreihe}
+\label{section:verkehr/versuchsreihe}
+
+Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt.
+Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert.
+Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt.
+Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen.
+
+Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind.
+
+\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit}
+\label{verkehr:Knotenzahl}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=12cm]{papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png}
+
+\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
+\label{verkehr:Vr1}
+\end{figure}
+
+In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt.
+Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist.
+Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=12cm]{papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png}
+
+\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.}
+\label{verkehr:pathDifference}
+\end{figure}
+
+
+\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=12cm]{papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png}\\
+\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
+\label{verkehr:Vr2}
+\end{figure}
+
+Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\
+Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen  \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=6cm]{papers/verkehr/figures/network_dij.png}\qquad
+\includegraphics[width=6cm]{papers/verkehr/figures/network_aStar.png}
+\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.}
+\label{verkehr:Comparison}
+\end{figure}
+
+In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde.
diff --git a/buch/papers/verkehr/section3.tex b/buch/papers/verkehr/section3.tex
new file mode 100644
index 0000000..99a0d92
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/section3.tex
@@ -0,0 +1,8 @@
+\section{Ausblick}
+\subsection{Optimierungsprobleme bei Graphen}
+Das Finden eines kürzesten Pfades, sprich die Minimierung der Summe der Kantengewichte, ist nur eines der Optimierungsprobleme, die sich im Bereich von Grafen aufstellen lassen. Verschiedene, ähnliche Problemstellungen lassen sich teilweise mit denselben Algorithmen lösen.\\
+Im Bereich vom Computernetzwerken könnte zum Beispiel die Minimierung der Knotenzahl zur Datenübbertragung von Interesse sein. Dabei lässt sich dieses Problem einfach dadurch lösen, dass dem \emph{Dijkstra}, oder dem \emph{A*}-Algorithmus anstelle der Graph-Matrix (mit Kantengewichten als Einträgen) die Adjazenz-Matrix als Argument übergeben wird. Der gefundene kürzeste Pfad enstpricht der Anzahl benutzter Kanten, bzw. der Anzahl besuchter Knoten.  
+
+\subsection{Wahl der Heuristik}
+Ein grundlegendes Problem bei der Anwendung des \emph{A*} oder ähnlicher informierter Suchalgorithmen ist die Wahl der Heurstik. Bei einem physischen Verkehrsnetz kann bspw. die euklidische Distanz problems ermittelt werde. Bei einem regionalen Netzwerk ist die Annahme eines orthogonalen X-Y-Koordinatenetzes absolut ausreichend. Dies gilt z.B. auch für das Vernessungsnetz der Schweiz\footnote{Die aktuelle Schweizer Referenzsystem LV95 benutzt ein E/N-Koordinatennetz, wobei aufgrund zunehmender Abweichung vom Referenzellipsoid bei grosser Entfernung vom Nullpunkt ein Korrekturfaktor für die Höhe angebracht werden muss.} Bei überregionalen Netzwerken (Beispiel: Flugverbindungen) ist hingegen eine Berechnung im dreidimensionalen Raum, oder vereinfacht als Projektion auf das Geoid notwendig. Anonsten ist der Ablauf bei der Ausführung des Algorithmus allerdings identisch.\\
+In nicht-physischen Netzwerken stellt sich jedoch eine zweite Problematik. Da eine physische Distanz entweder nicht ermittelt werden kann, oder aber nicht ausschlaggebend ist, sind andere Netzwerk-Eigenschaften zur Beurteilung beizuziehen. Die Zuverlässigkeit ist dabei aber in den meisten Fällen nicht vergleichbar hoch, wie bei der euklidischen Heuristik. Oftmals werden deshalb bei derartigen Problem auch Algorithmen angewendet, die eine deutlich optimierte Zeitkomplexität aufweisen, dafür aber nicht mit Sicherheit den effizienstesten Pfad finden.
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deleted file mode 100644
index 5031841..0000000
--- a/buch/papers/verkehr/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{verkehr:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{verkehr:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
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-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/verkehr/teil1.tex b/buch/papers/verkehr/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 855aef8..0000000
--- a/buch/papers/verkehr/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{verkehr:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{verkehr:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{verkehr:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{verkehr:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{verkehr:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/verkehr/teil2.tex b/buch/papers/verkehr/teil2.tex
deleted file mode 100644
index 5170ded..0000000
--- a/buch/papers/verkehr/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2 
-\label{verkehr:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{verkehr:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/verkehr/teil3.tex b/buch/papers/verkehr/teil3.tex
deleted file mode 100644
index 8f79154..0000000
--- a/buch/papers/verkehr/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{verkehr:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
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-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{verkehr:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-